Ebenengleichungen: allgemein, durch drei Punkte, normal. Gleichung einer Ebene: Wie komponiert man? Arten von Ebenengleichungen Tangentenebene und ihre Gleichung

Wenn alle Zahlen A, B, C und D von Null verschieden sind, heißt die allgemeine Gleichung der Ebene vollständig. Ansonsten heißt die allgemeine Gleichung der Ebene unvollständig.

Betrachten wir alle möglichen allgemeinen unvollständigen Gleichungen der Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz im dreidimensionalen Raum.

Sei D = 0, dann haben wir eine allgemeine unvollständige Ebenengleichung der Form. Diese Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem Oxyz verläuft durch den Ursprung. Wenn wir die Koordinaten eines Punktes in die resultierende unvollständige Gleichung der Ebene einsetzen, gelangen wir tatsächlich zur Identität.

Für , oder , oder haben wir allgemeine unvollständige Gleichungen der Ebenen , oder , bzw. . Diese Gleichungen definieren Ebenen, die jeweils parallel zu den Koordinatenebenen Oxy, Oxz und Oyz liegen (siehe den Artikel für die Bedingung paralleler Ebenen) und durch die Punkte verlaufen und entsprechend. Bei. Da der Punkt gehört aufgrund der Bedingung zur Ebene, dann müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung der Ebene erfüllen, das heißt, die Gleichheit muss wahr sein. Von hier aus finden wir. Somit hat die erforderliche Gleichung die Form.

Lassen Sie uns den zweiten Weg zur Lösung dieses Problems vorstellen.

Da die Ebene, deren allgemeine Gleichung wir aufstellen müssen, parallel zur Ebene Oyz verläuft, können wir als Normalenvektor den Normalenvektor der Ebene Oyz nehmen. Der Normalenvektor der Koordinatenebene Oyz ist der Koordinatenvektor. Jetzt kennen wir den Normalenvektor der Ebene und den Punkt der Ebene und können daher ihre allgemeine Gleichung schreiben (wir haben ein ähnliches Problem im vorherigen Absatz dieses Artikels gelöst):
, dann müssen seine Koordinaten die Gleichung der Ebene erfüllen. Daher ist die Gleichheit wahr wo wir es finden. Jetzt können wir die gewünschte allgemeine Gleichung der Ebene schreiben, sie hat die Form .

Antwort:

Referenzliste.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Höhere Mathematik. Band eins: Elemente der linearen Algebra und der analytischen Geometrie.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie.

Eigenschaften einer Geraden in der euklidischen Geometrie.

Durch jeden Punkt können unendlich viele Geraden gezogen werden.

Durch zwei beliebige nicht zusammenfallende Punkte kann eine einzelne gerade Linie gezogen werden.

Zwei divergierende Linien in einer Ebene schneiden sich entweder in einem einzigen Punkt oder sind es

parallel (folgt aus dem vorherigen).

Im dreidimensionalen Raum gibt es drei Möglichkeiten für die relative Lage zweier Linien:

• Linien schneiden sich;

• Linien sind parallel;

• Geraden schneiden sich.

Gerade Linie— algebraische Kurve erster Ordnung: eine Gerade im kartesischen Koordinatensystem

ist in der Ebene durch eine Gleichung ersten Grades (lineare Gleichung) gegeben.

Allgemeine Gleichung einer Geraden.

Definition. Jede gerade Linie in der Ebene kann durch eine Gleichung erster Ordnung angegeben werden

Axt + Wu + C = 0,

und konstant A, B nicht gleichzeitig Null sind. Diese Gleichung erster Ordnung heißt allgemein

Gleichung einer Geraden. Abhängig von den Werten der Konstanten A, B Und MIT Folgende Sonderfälle sind möglich:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- Eine Gerade geht durch den Ursprung

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- Gerade parallel zur Achse Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- Gerade parallel zur Achse OU

. B = C = 0, A ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen OU

. A = C = 0, B ≠0- Die Gerade fällt mit der Achse zusammen Oh

Die Gleichung einer Geraden lässt sich darstellen in in verschiedenen Formen je nach gegebenem

Anfangsbedingungen.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Normalenvektor.

Definition. In einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem ein Vektor mit den Komponenten (A, B)

senkrecht zu der durch die Gleichung gegebenen Geraden

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt verläuft A(1, 2) senkrecht zum Vektor (3, -1).

Lösung. Mit A = 3 und B = -1 stellen wir die Gleichung der Geraden auf: 3x - y + C = 0. Um den Koeffizienten C zu ermitteln

Ersetzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes A in den resultierenden Ausdruck. Wir erhalten also: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Gesamt: die erforderliche Gleichung: 3x - y - 1 = 0.

Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft.

Gegeben seien zwei Punkte im Raum M 1 (x 1 , y 1 , z 1) Und M2 (x 2, y 2, z 2), Dann Gleichung einer Geraden,

durch diese Punkte gehen:

Wenn einer der Nenner Null ist, sollte der entsprechende Zähler gleich Null gesetzt werden. An

Ebene, die Gleichung der oben geschriebenen Geraden wird vereinfacht:

Wenn x 1 ≠ x 2 Und x = x 1, Wenn x 1 = x 2 .

Fraktion = k angerufen Neigung gerade.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2) und B(3, 4) verläuft.

Lösung. Wenn wir die oben geschriebene Formel anwenden, erhalten wir:

Gleichung einer Geraden unter Verwendung eines Punktes und einer Steigung.

Wenn die allgemeine Gleichung der Linie Axt + Wu + C = 0 führen zu:

und benennen , dann heißt die resultierende Gleichung

Gleichung einer Geraden mit Steigung k.

Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor.

In Analogie zum Punkt, der die Gleichung einer Geraden durch den Normalenvektor betrachtet, können Sie die Aufgabe eingeben

eine Gerade durch einen Punkt und ein Richtungsvektor einer Geraden.

Definition. Jeder Vektor ungleich Null (α 1 , α 2), deren Komponenten die Bedingung erfüllen

Aα 1 + Bα 2 = 0 angerufen Richtungsvektor einer Geraden.

Axt + Wu + C = 0.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Richtungsvektor (1, -1), die durch den Punkt A(1, 2) verläuft.

Lösung. Wir suchen nach der Gleichung der gewünschten Geraden in der Form: Ax + By + C = 0. Laut Definition ist

Koeffizienten müssen die folgenden Bedingungen erfüllen:

1 * A + (-1) * B = 0, d.h. A = B.

Dann hat die Geradengleichung die Form: Ax + Ay + C = 0, oder x + y + C / A = 0.

bei x = 1, y = 2 wir bekommen C/A = -3, d.h. erforderliche Gleichung:

x + y - 3 = 0

Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden Ах + Ву + С = 0 С≠0, dann erhalten wir durch Division durch -С:

oder wo

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten besteht darin, dass der Koeffizient a die Koordinate des Schnittpunkts ist

gerade mit Achse Oh, A B- Koordinate des Schnittpunkts der Linie mit der Achse OU.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung einer Geraden ist gegeben x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Axt + Wu + C = 0 durch Zahl dividieren Was heisst

Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

xcosφ + ysinφ - p = 0 -Normalgleichung einer Geraden.

Das Vorzeichen ± des Normierungsfaktors muss so gewählt werden μ*C< 0.

R- die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fällt,

A φ - der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Achse bildet Oh.

Beispiel. Die allgemeine Gleichung der Geraden ist gegeben 12x - 5y - 65 = 0. Zum Schreiben erforderlich Verschiedene Arten Gleichungen

diese gerade Linie.

Die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Die Gleichung dieser Geraden mit der Steigung: (durch 5 dividieren)

Gleichung einer Geraden:

cos φ = 12/13; Sünde φ= -5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden,

parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung verlaufend.

Der Winkel zwischen geraden Linien in einer Ebene.

Definition. Wenn zwei Zeilen angegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, dann der spitze Winkel zwischen diesen Linien

wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Linien stehen senkrecht zueinander

Wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz.

Direkte Axt + Wu + C = 0 Und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallel, wenn die Koeffizienten proportional sind

A 1 = λA, B 1 = λB. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden

werden als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden gefunden.

Gleichung einer durchgehenden Geraden dieser Punkt senkrecht zu dieser Linie.

Definition. Linie, die durch einen Punkt geht M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y = kx + b

dargestellt durch die Gleichung:

Abstand von einem Punkt zu einer Linie.

Satz. Wenn ein Punkt gegeben wird M(x 0, y 0), dann der Abstand zur Geraden Axt + Wu + C = 0 definiert als:

Nachweisen. Lassen Sie den Punkt M 1 (x 1, y 1)- die Basis einer Senkrechten, die von einem Punkt aus fällt M für ein gegebenes

Direkte. Dann der Abstand zwischen Punkten M Und M 1:

(1)

Koordinaten x 1 Und um 1 kann als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung der durchlaufenden Geraden angegebenen Punkt M 0 senkrecht

Gerade gegeben. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Gleichung einer Ebene. Wie schreibe ich eine Gleichung einer Ebene?
Gegenseitige Übereinkunft Flugzeuge. Aufgaben

Raumgeometrie ist nicht viel komplizierter als „flache“ Geometrie, und unsere Flüge im Weltraum beginnen mit diesem Artikel. Um das Thema zu beherrschen, müssen Sie ein gutes Verständnis dafür haben Vektoren Darüber hinaus ist es ratsam, mit der Geometrie der Ebene vertraut zu sein – es wird viele Ähnlichkeiten und Analogien geben, sodass die Informationen viel besser verdaut werden können. In einer Reihe meiner Lektionen wird die 2D-Welt mit einem Artikel eröffnet Gleichung einer Geraden in einer Ebene. Doch nun hat Batman den Flachbildfernseher verlassen und startet vom Kosmodrom Baikonur.

Beginnen wir mit Zeichnungen und Symbolen. Schematisch lässt sich die Ebene in Form eines Parallelogramms zeichnen, wodurch der Eindruck von Raum entsteht:

Die Ebene ist unendlich, aber wir haben die Möglichkeit, nur einen Teil davon darzustellen. In der Praxis wird neben dem Parallelogramm auch ein Oval oder sogar eine Wolke gezeichnet. Aus technischen Gründen ist es für mich bequemer, das Flugzeug genau so und in genau dieser Position darzustellen. Echte Flugzeuge, die wir in praktischen Beispielen betrachten, können auf beliebige Weise lokalisiert werden – nehmen Sie die Zeichnung gedanklich in die Hand und drehen Sie sie im Raum, wobei Sie der Ebene eine beliebige Neigung und einen beliebigen Winkel geben.

Bezeichnungen: Flugzeuge werden normalerweise in kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet, offenbar um sie nicht mit zu verwechseln gerade Linie in einer Ebene oder mit gerade Linie im Raum. Ich bin es gewohnt, den Buchstaben zu verwenden. In der Zeichnung ist es der Buchstabe „Sigma“ und überhaupt kein Loch. Obwohl das löchrige Flugzeug auf jeden Fall ziemlich lustig ist.

In manchen Fällen ist es zweckmäßig, zur Bezeichnung von Ebenen dieselben griechischen Buchstaben mit niedrigeren Indizes zu verwenden, zum Beispiel .

Es ist offensichtlich, dass die Ebene eindeutig durch drei verschiedene Punkte definiert ist, die nicht auf derselben Linie liegen. Daher sind dreibuchstabige Bezeichnungen von Flugzeugen sehr beliebt, beispielsweise anhand der dazugehörigen Punkte usw. Oft werden Buchstaben in Klammern gesetzt: , um die Ebene nicht mit einer anderen geometrischen Figur zu verwechseln.

Für erfahrene Leser werde ich geben Schnellzugriffsmenü:

• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und zwei Vektoren?
• Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir werden nicht in langem Warten schmachten:

Allgemeine Ebenengleichung

Die allgemeine Gleichung der Ebene hat die Form, wobei die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind.

Eine Reihe theoretischer Berechnungen und praktischer Probleme gelten sowohl für die übliche Orthonormalbasis als auch für die affine Basis des Raums (wenn das Öl Öl ist, kehren Sie zur Lektion zurück Lineare (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren). Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass alle Ereignisse in einer orthonormalen Basis und einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auftreten.

Nun üben wir ein wenig unser räumliches Vorstellungsvermögen. Es ist in Ordnung, wenn Ihres schlecht ist, jetzt werden wir es ein wenig weiterentwickeln. Auch das Spielen auf Nerven erfordert Training.

Im allgemeinsten Fall, wenn die Zahlen ungleich Null sind, schneidet die Ebene alle drei Koordinatenachsen. Zum Beispiel so:

Ich wiederhole noch einmal, dass das Flugzeug in alle Richtungen unendlich weiterläuft und wir die Möglichkeit haben, nur einen Teil davon darzustellen.

Betrachten wir die einfachsten Ebenengleichungen:

Wie ist diese Gleichung zu verstehen? Denken Sie darüber nach: „Z“ ist IMMER gleich Null, für alle Werte von „X“ und „Y“. Dies ist die Gleichung der „nativen“ Koordinatenebene. Tatsächlich kann die Gleichung formal wie folgt umgeschrieben werden: , wo man deutlich erkennen kann, dass es uns egal ist, welche Werte „x“ und „y“ annehmen, wichtig ist, dass „z“ gleich Null ist.

Ebenfalls:
– Gleichung der Koordinatenebene;
– Gleichung der Koordinatenebene.

Machen wir das Problem etwas komplizierter und betrachten wir eine Ebene (hier und weiter im Absatz gehen wir davon aus, dass die numerischen Koeffizienten ungleich Null sind). Schreiben wir die Gleichung in der Form um: . Wie sollen wir es verstehen? „X“ ist IMMER für alle Werte von „Y“ und „Z“ gleich einer bestimmten Zahl. Diese Ebene ist parallel zur Koordinatenebene. Beispielsweise ist eine Ebene parallel zu einer Ebene und geht durch einen Punkt.

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenebene ist.

Fügen wir Mitglieder hinzu: . Die Gleichung kann wie folgt umgeschrieben werden: Das heißt, „zet“ kann alles sein. Was bedeutet das? „X“ und „Y“ sind durch die Beziehung verbunden, die eine bestimmte Gerade in der Ebene zeichnet (Sie werden es herausfinden Gleichung einer Geraden in einer Ebene?). Da „z“ beliebig sein kann, wird diese Gerade in jeder Höhe „repliziert“. Somit definiert die Gleichung eine Ebene parallel zur Koordinatenachse

Ebenfalls:
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenachse verläuft;
– Gleichung einer Ebene, die parallel zur Koordinatenachse ist.

Wenn die freien Terme Null sind, verlaufen die Ebenen direkt durch die entsprechenden Achsen. Zum Beispiel die klassische „direkte Proportionalität“: . Zeichnen Sie eine gerade Linie in die Ebene und multiplizieren Sie sie im Geiste nach oben und unten (da „Z“ beliebig ist). Fazit: Die durch die Gleichung definierte Ebene verläuft durch die Koordinatenachse.

Wir vervollständigen die Rezension: die Gleichung der Ebene geht durch den Ursprung. Nun, hier ist es ziemlich offensichtlich, dass der Punkt diese Gleichung erfüllt.

Und schließlich der in der Zeichnung dargestellte Fall: – Die Ebene ist mit allen Koordinatenachsen befreundet, während sie immer ein Dreieck „abschneidet“, das in jedem der acht Oktanten liegen kann.

Lineare Ungleichungen im Raum

Um die Informationen zu verstehen, müssen Sie gut lernen lineare Ungleichungen in der Ebene, denn vieles wird ähnlich sein. Der Absatz wird einen kurzen Überblick mit mehreren Beispielen haben, da das Material in der Praxis recht selten ist.

Wenn die Gleichung eine Ebene definiert, dann die Ungleichungen
fragen Halbräume. Wenn die Ungleichung nicht streng ist (die letzten beiden in der Liste), dann umfasst die Lösung der Ungleichung neben dem Halbraum auch die Ebene selbst.

Beispiel 5

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor der Ebene .

Lösung: Ein Einheitsvektor ist ein Vektor, dessen Länge eins ist. Bezeichnen wir diesen Vektor mit . Es ist absolut klar, dass die Vektoren kollinear sind:

Zuerst entfernen wir den Normalenvektor aus der Gleichung der Ebene: .

Wie finde ich einen Einheitsvektor? Um den Einheitsvektor zu finden, benötigen Sie jeden Teilen Sie die Vektorkoordinate durch die Vektorlänge.

Schreiben wir den Normalenvektor in der Form um und ermitteln seine Länge:

Gemäß dem oben Gesagten:

Antwort:

Verifizierung: was verifiziert werden musste.

Leser, die den letzten Absatz der Lektion sorgfältig studiert haben, haben das wahrscheinlich bemerkt Die Koordinaten des Einheitsvektors sind genau die Richtungskosinusse des Vektors:

Machen wir eine Pause vom vorliegenden Problem: wenn Sie einen beliebigen Vektor ungleich Null erhalten, und je nach Bedingung ist es erforderlich, seinen Richtungskosinus zu finden (siehe die letzten Aufgaben der Lektion). Skalarprodukt von Vektoren), dann finden Sie tatsächlich einen Einheitsvektor, der kollinear zu diesem ist. Eigentlich zwei Aufgaben in einer Flasche.

Die Notwendigkeit, den Einheitsnormalenvektor zu finden, entsteht bei einigen Problemen der mathematischen Analyse.

Wir haben herausgefunden, wie man einen Normalenvektor herausfischt. Beantworten wir nun die entgegengesetzte Frage:

Wie erstellt man eine Gleichung einer Ebene aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

Diese starre Konstruktion aus einem Normalenvektor und einem Punkt ist von der Dartscheibe gut bekannt. Bitte strecken Sie Ihre Hand nach vorne und wählen Sie gedanklich einen beliebigen Punkt im Raum aus, zum Beispiel eine kleine Katze im Sideboard. Offensichtlich können Sie durch diesen Punkt eine einzelne Ebene senkrecht zu Ihrer Hand zeichnen.

Die Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt senkrecht zum Vektor verläuft, wird durch die Formel ausgedrückt:

Dieser Artikel gibt eine Vorstellung davon, wie man eine Gleichung für eine Ebene erstellt, die durch einen bestimmten Punkt im dreidimensionalen Raum senkrecht zu einer bestimmten Linie verläuft. Lassen Sie uns den gegebenen Algorithmus am Beispiel der Lösung typischer Probleme analysieren.

Finden der Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt im Raum senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft

Darin seien ein dreidimensionaler Raum und ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z gegeben. Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1), Linie a und Ebene α, die durch Punkt M 1 senkrecht zur Linie a verläuft, sind ebenfalls angegeben. Es ist notwendig, die Gleichung der Ebene α aufzuschreiben.

Bevor wir mit der Lösung dieses Problems beginnen, erinnern wir uns an den Geometriesatz aus dem Lehrplan für die Klassen 10-11, der besagt:

Definition 1

Durch einen gegebenen Punkt im dreidimensionalen Raum verläuft eine einzelne Ebene senkrecht zu einer gegebenen Geraden.

Schauen wir uns nun an, wie man die Gleichung dieser einzelnen Ebene findet, die durch den Startpunkt und senkrecht zur gegebenen Linie verläuft.

Es ist möglich, die allgemeine Gleichung einer Ebene aufzustellen, wenn die Koordinaten eines zu dieser Ebene gehörenden Punktes sowie die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene bekannt sind.

Die Bedingungen des Problems geben uns die Koordinaten x 1, y 1, z 1 des Punktes M 1, durch den die Ebene α verläuft. Wenn wir die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene α bestimmen, können wir die erforderliche Gleichung aufschreiben.

Der Normalenvektor der Ebene α ist, da er ungleich Null ist und auf der Linie a senkrecht zur Ebene α liegt, ein beliebiger Richtungsvektor der Linie a. Somit wird das Problem, die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene α zu finden, in das Problem der Bestimmung der Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a umgewandelt.

Die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a können bestimmt werden verschiedene Methoden: hängt von der Möglichkeit ab, in den Anfangsbedingungen die Gerade a anzugeben. Wenn beispielsweise die Gerade a in der Problemstellung durch kanonische Gleichungen der Form gegeben ist

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

oder parametrische Gleichungen der Form:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

dann hat der Richtungsvektor der Geraden die Koordinaten a x, a y und a z. Wenn die Gerade a durch zwei Punkte M 2 (x 2, y 2, z 2) und M 3 (x 3, y 3, z 3) dargestellt wird, werden die Koordinaten des Richtungsvektors bestimmt als ( x3 – x2, y3 – y2 , z3 – z2).

Definition 2

Algorithmus zum Finden der Gleichung einer Ebene, die durch einen bestimmten Punkt senkrecht zu einer bestimmten Linie verläuft:

Wir bestimmen die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a: a → = (a x, a y, a z) ;

Wir definieren die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene α als Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a:

n → = (A , B , C) , wobei A = a x , B = a y , C = a z;

Wir schreiben die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) verläuft und einen Normalenvektor hat n → = (A, B, C) in der Form A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. Dies ist die erforderliche Gleichung einer Ebene, die durch einen bestimmten Punkt im Raum verläuft und senkrecht zu einer bestimmten Linie steht.

Die resultierende allgemeine Gleichung der Ebene lautet: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 ermöglicht es, die Gleichung der Ebene in Segmenten oder die Normalgleichung der Ebene zu erhalten.

Lassen Sie uns mehrere Beispiele mit dem oben erhaltenen Algorithmus lösen.

Beispiel 1

Gegeben ist ein Punkt M 1 (3, - 4, 5), durch den die Ebene verläuft, und diese Ebene steht senkrecht auf der Koordinatenlinie O z.

Lösung

der Richtungsvektor der Koordinatenlinie O z ist der Koordinatenvektor k ⇀ = (0, 0, 1). Daher hat der Normalenvektor der Ebene die Koordinaten (0, 0, 1). Schreiben wir die Gleichung einer Ebene, die durch einen gegebenen Punkt M 1 (3, - 4, 5) verläuft, dessen Normalvektor die Koordinaten (0, 0, 1) hat:

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Antwort: z – 5 = 0 .

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen:

Beispiel 2

Eine Ebene, die senkrecht zur Linie O z steht, wird durch eine unvollständige allgemeine Ebenengleichung der Form C z + D = 0, C ≠ 0 gegeben. Bestimmen wir die Werte von C und D: diejenigen, bei denen die Ebene durch einen bestimmten Punkt verläuft. Setzen wir die Koordinaten dieses Punktes in die Gleichung C z + D = 0 ein, erhalten wir: C · 5 + D = 0. Diese. Zahlen, C und D sind durch die Beziehung verbunden - D C = 5. Wenn wir C = 1 nehmen, erhalten wir D = - 5.

Setzen wir diese Werte in die Gleichung C z + D = 0 ein und erhalten wir die erforderliche Gleichung einer Ebene senkrecht zur Geraden O z, die durch den Punkt M 1 (3, - 4, 5) verläuft.

Es sieht so aus: z – 5 = 0.

Antwort: z – 5 = 0 .

Beispiel 3

Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft und senkrecht zur Linie x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2 steht

Lösung

Basierend auf den Bedingungen des Problems kann argumentiert werden, dass der Richtungsvektor einer gegebenen Geraden als Normalenvektor n → einer gegebenen Ebene angesehen werden kann. Also: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Schreiben wir die Gleichung einer Ebene, die durch den Punkt O (0, 0, 0) verläuft und einen Normalenvektor n → = (- 3, - 7, 2) hat:

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Wir haben die erforderliche Gleichung einer Ebene erhalten, die durch den Koordinatenursprung senkrecht zu einer gegebenen Linie verläuft.

Antwort:- 3 x - 7 y + 2 z = 0

Beispiel 4

Im dreidimensionalen Raum ist ein rechteckiges Koordinatensystem O x y z gegeben, in dem sich zwei Punkte A (2, - 1, - 2) und B (3, - 2, 4) befinden. Die Ebene α verläuft durch den Punkt A senkrecht zur Linie A B. Es ist notwendig, eine Gleichung für die Ebene α in Segmenten zu erstellen.

Lösung

Die Ebene α steht senkrecht auf der Linie A B, dann ist der Vektor A B → der Normalenvektor der Ebene α. Die Koordinaten dieses Vektors sind definiert als die Differenz zwischen den entsprechenden Koordinaten der Punkte B (3, - 2, 4) und A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Die allgemeine Gleichung der Ebene wird wie folgt geschrieben:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Lassen Sie uns nun die erforderliche Gleichung der Ebene in Segmenten zusammenstellen:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Antwort:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Es sollte auch beachtet werden, dass es Probleme gibt, deren Anforderung darin besteht, eine Gleichung einer Ebene zu schreiben, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und senkrecht zu zwei gegebenen Ebenen verläuft. Im Allgemeinen besteht die Lösung dieses Problems darin, eine Gleichung für eine Ebene zu konstruieren, die durch einen bestimmten Punkt senkrecht zu einer bestimmten Linie verläuft, weil Zwei sich schneidende Ebenen definieren eine gerade Linie.

Beispiel 5

Gegeben ist ein rechtwinkliges Koordinatensystem O x y z, darin befindet sich ein Punkt M 1 (2, 0, - 5). Außerdem sind die Gleichungen zweier Ebenen 3 x + 2 y + 1 = 0 und x + 2 z – 1 = 0 angegeben, die sich entlang der Geraden a schneiden. Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene zu erstellen, die durch den Punkt M 1 senkrecht zur Geraden a verläuft.

Lösung

Bestimmen wir die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden a. Es steht senkrecht sowohl zum Normalenvektor n 1 → (3, 2, 0) der n → (1, 0, 2)-Ebene als auch zum Normalenvektor 3 x + 2 y + 1 = 0 der x + 2 z - 1 = 0 Ebene.

Dann nehmen wir als Richtungsvektor α → Linie a das Vektorprodukt der Vektoren n 1 → und n 2 →:

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Somit ist der Vektor n → = (4, - 6, - 2) der Normalenvektor der Ebene senkrecht zur Linie a. Schreiben wir die erforderliche Gleichung der Ebene auf:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Antwort: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

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Um die allgemeine Gleichung einer Ebene zu erhalten, analysieren wir die Ebene, die durch einen bestimmten Punkt verläuft.

Es gebe drei uns bereits bekannte Koordinatenachsen im Raum - Ochse, Oy Und Oz. Halten Sie das Blatt Papier so, dass es flach bleibt. Die Ebene wird das Blatt selbst und seine Fortsetzung in alle Richtungen sein.

Lassen P beliebige Ebene im Raum. Jeder dazu senkrechte Vektor wird aufgerufen Normalenvektor zu diesem Flugzeug. Natürlich sprechen wir von einem Vektor ungleich Null.

Wenn irgendein Punkt auf der Ebene bekannt ist P und einen Normalenvektor dazu, dann ist durch diese beiden Bedingungen die Ebene im Raum vollständig definiert(Durch einen bestimmten Punkt können Sie eine einzelne Ebene senkrecht zum angegebenen Vektor zeichnen.) Die allgemeine Gleichung der Ebene lautet:

Die Bedingungen, die die Gleichung der Ebene definieren, sind also. Um dich selbst zu bekommen Ebenengleichung Nehmen Sie mit der oben genannten Form das Flugzeug P willkürlich Punkt M mit variablen Koordinaten X, j, z. Dieser Punkt gehört nur dann zur Ebene, wenn Vektor senkrecht zum Vektor(Abb. 1). Dazu ist es gemäß der Bedingung der Rechtwinkligkeit der Vektoren notwendig und ausreichend, dass das Skalarprodukt dieser Vektoren gleich Null ist, d. h

Der Vektor wird durch die Bedingung angegeben. Wir ermitteln die Koordinaten des Vektors mithilfe der Formel :

.

Verwenden Sie nun die Formel für das Skalarprodukt von Vektoren , wir drücken das Skalarprodukt in Koordinatenform aus:

Da der Punkt M(x; y; z) auf der Ebene willkürlich gewählt wird, dann wird die letzte Gleichung durch die Koordinaten jedes auf der Ebene liegenden Punktes erfüllt P. Für einen Punkt N, nicht auf einer bestimmten Ebene liegend, d.h. Gleichheit (1) ist verletzt.

Beispiel 1. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch einen Punkt verläuft und senkrecht zum Vektor steht.

Lösung. Verwenden wir Formel (1) und schauen wir uns das noch einmal an:

In dieser Formel sind die Zahlen A , B Und C Vektorkoordinaten und Zahlen X0 , j0 Und z0 - Koordinaten des Punktes.

Die Berechnungen sind sehr einfach: Wir setzen diese Zahlen in die Formel ein und erhalten

Wir multiplizieren alles, was multipliziert werden muss, und addieren nur Zahlen (die keine Buchstaben haben). Ergebnis:

.

Es stellte sich heraus, dass die erforderliche Gleichung der Ebene in diesem Beispiel durch eine allgemeine Gleichung ersten Grades in Bezug auf variable Koordinaten ausgedrückt wurde x, y, z Jeder Punkt im Flugzeug.

Also eine Gleichung der Form

angerufen allgemeine Ebenengleichung .

Beispiel 2. Konstruieren Sie in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem eine durch die Gleichung gegebene Ebene .

Lösung. Um eine Ebene zu konstruieren, ist es notwendig und ausreichend, drei beliebige Punkte zu kennen, die nicht auf derselben Geraden liegen, beispielsweise die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen.

Wie finde ich diese Punkte? Den Schnittpunkt mit der Achse finden Oz, müssen Sie X und Y in der in der Problemstellung angegebenen Gleichung durch Nullen ersetzen: X = j= 0 . Deshalb bekommen wir z= 6. Somit schneidet die gegebene Ebene die Achse Oz am Punkt A(0; 0; 6) .

Auf die gleiche Weise ermitteln wir den Schnittpunkt der Ebene mit der Achse Oy. Bei X = z= 0 erhalten wir j= −3, also der Punkt B(0; −3; 0) .

Und schließlich finden wir den Schnittpunkt unserer Ebene mit der Achse Ochse. Bei j = z= 0 erhalten wir X= 2, also ein Punkt C(2; 0; 0) . Basierend auf den drei Punkten, die wir in unserer Lösung erhalten haben A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) und C(2; 0; 0) Konstruieren Sie die gegebene Ebene.

Lassen Sie uns nun überlegen Sonderfälle der allgemeinen Ebenengleichung. Dies sind Fälle, in denen bestimmte Koeffizienten der Gleichung (2) Null werden.

1. Wann D= 0 Gleichung definiert eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft, da die Koordinaten des Punktes sind 0 (0; 0; 0) erfüllen diese Gleichung.

2. Wann A= 0 Gleichung definiert eine Ebene parallel zur Achse Ochse, da der Normalenvektor dieser Ebene senkrecht zur Achse steht Ochse(seine Projektion auf die Achse Ochse gleich Null). Ebenso wann B= 0 Flugzeug parallel zur Achse Oy, und wann C= 0 Flugzeug parallel zur Achse Oz.

3. Wann A=D= Die Gleichung 0 definiert die Ebene, die durch die Achse verläuft Ochse, da es parallel zur Achse ist Ochse (A=D= 0). Ebenso geht die Ebene durch die Achse Oy und die Ebene durch die Achse Oz.

4. Wann A=B= Die Gleichung 0 definiert eine Ebene parallel zur Koordinatenebene xOy, da es parallel zu den Achsen ist Ochse (A= 0) und Oy (B= 0). Ebenso ist die Ebene parallel zur Ebene yOz, und das Flugzeug ist das Flugzeug xOz.

5. Wann A=B=D= 0-Gleichung (oder z = 0) definiert die Koordinatenebene xOy, da es parallel zur Ebene ist xOy (A=B= 0) und geht durch den Ursprung ( D= 0). Ebenso gilt Gl. y= 0 im Raum definiert die Koordinatenebene xOz, und die Gleichung x = 0 - Koordinatenebene yOz.

Beispiel 3. Erstellen Sie eine Gleichung der Ebene P, durch die Achse verlaufend Oy und Punkt.

Lösung. Die Ebene geht also durch die Achse Oy. Daher in ihrer Gleichung j= 0 und diese Gleichung hat die Form . Um die Koeffizienten zu bestimmen A Und C Machen wir uns die Tatsache zunutze, dass der Punkt zur Ebene gehört P .

Daher gibt es unter seinen Koordinaten diejenigen, die in die Ebenengleichung eingesetzt werden können, die wir bereits abgeleitet haben (). Schauen wir uns noch einmal die Koordinaten des Punktes an:

M0 (2; −4; 3) .

Unter ihnen X = 2 , z= 3 . Setze sie in die Gleichung ein Gesamtansicht und wir erhalten die Gleichung für unseren speziellen Fall:

2A + 3C = 0 .

Verlassen Sie 2 A Bewegen Sie auf der linken Seite der Gleichung 3 C auf die rechte Seite und wir bekommen

A = −1,5C .

Ersetzen des gefundenen Werts A in die Gleichung hinein, erhalten wir

oder .

Dies ist die in der Beispielbedingung erforderliche Gleichung.

Lösen Sie das Problem der Ebenengleichung selbst und schauen Sie sich dann die Lösung an

Beispiel 4. Definieren Sie eine Ebene (oder Ebenen, falls mehr als eine) in Bezug auf Koordinatenachsen oder Koordinatenebenen, wenn die Ebene(n) durch die Gleichung gegeben ist(en).

Lösungen für typische Probleme, die in auftreten Tests- im Handbuch „Ebenenprobleme: Parallelität, Rechtwinkligkeit, Schnittpunkt dreier Ebenen in einem Punkt.“

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte verläuft

Wie bereits erwähnt, ist es notwendig und ausreichender Zustand Um eine Ebene zu konstruieren, gibt es neben einem Punkt und dem Normalenvektor auch drei Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen.

Gegeben seien drei verschiedene Punkte , und , die nicht auf derselben Geraden liegen. Da die angegebenen drei Punkte nicht auf derselben Linie liegen, sind die Vektoren nicht kollinear, und daher liegt jeder Punkt in der Ebene in derselben Ebene wie die Punkte, und zwar genau dann, wenn die Vektoren , und koplanar, d.h. dann und nur wann gemischtes Produkt dieser Vektoren gleich Null.

Mit dem Ausdruck für das Mischprodukt in Koordinaten erhalten wir die Gleichung der Ebene

(3)

Nach der Offenlegung der Determinante wird diese Gleichung zu einer Gleichung der Form (2), d. h. allgemeine Gleichung der Ebene.

Beispiel 5. Schreiben Sie eine Gleichung für eine Ebene, die durch drei gegebene Punkte verläuft, die nicht auf derselben Geraden liegen:

und bestimmen Sie einen Sonderfall der allgemeinen Geradengleichung, falls einer auftritt.

Lösung. Nach Formel (3) gilt:

Normalebenengleichung. Abstand vom Punkt zur Ebene

Die Normalgleichung einer Ebene ist ihre Gleichung, geschrieben in der Form