Differenzgleichungsmethode zur Variation von Konstanten. Methode zur Variation einer beliebigen Konstante zur Lösung linearer inhomogener Gleichungen. Soziale Transformationen. Staat und Kirche
Die Methode der Variation beliebiger Konstanten wird zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen verwendet. Diese Lektion richtet sich an Studierende, die sich bereits mehr oder weniger gut mit dem Thema auskennen. Wenn Sie gerade erst anfangen, sich mit der Fernbedienung vertraut zu machen, d. h. Wenn Sie eine Teekanne sind, empfehle ich, mit der ersten Lektion zu beginnen: Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiele für Lösungen. Und wenn Sie bereits am Ende sind, verwerfen Sie bitte das mögliche Vorurteil, die Methode sei schwierig. Weil es einfach ist.
In welchen Fällen wird die Methode der Variation beliebiger Konstanten verwendet?
1) Zur Lösung kann die Methode der Variation einer beliebigen Konstante verwendet werden lineares inhomogenes DE 1. Ordnung. Da die Gleichung erster Ordnung ist, ist auch die Konstante eins.
2) Zur Lösung einiger wird die Methode der Variation beliebiger Konstanten verwendet lineare inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung. Hier variieren zwei Konstanten.
Es ist logisch anzunehmen, dass die Lektion aus zwei Absätzen bestehen wird... Also habe ich diesen Satz geschrieben und ungefähr 10 Minuten lang schmerzhaft darüber nachgedacht, welchen anderen cleveren Mist ich hinzufügen könnte, um einen reibungslosen Übergang zu praktischen Beispielen zu ermöglichen. Aber aus irgendeinem Grund habe ich nach den Feiertagen keine Gedanken mehr, obwohl ich anscheinend nichts missbraucht habe. Kommen wir daher gleich zum ersten Absatz.
Methode zur Variation einer beliebigen Konstante
für eine lineare inhomogene Gleichung erster Ordnung
Bevor Sie sich mit der Variationsmethode einer beliebigen Konstante befassen, sollten Sie sich mit dem Artikel vertraut machen Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. In dieser Lektion haben wir geübt erste Lösung inhomogenes DE 1. Ordnung. Ich erinnere Sie daran, dass diese erste Lösung aufgerufen wird Ersatzmethode oder Bernoulli-Methode(nicht zu verwechseln mit Bernoulli-Gleichung!!!)
Jetzt werden wir schauen zweite Lösung– Methode zur Variation einer beliebigen Konstante. Ich werde nur drei Beispiele nennen und diese aus der oben genannten Lektion übernehmen. Warum so wenig? Denn tatsächlich wird die Lösung auf dem zweiten Weg der Lösung auf dem ersten Weg sehr ähnlich sein. Darüber hinaus wird nach meinen Beobachtungen die Methode der Variation beliebiger Konstanten seltener verwendet als die Ersetzungsmethode.
Beispiel 1
(Abweichung von Beispiel Nr. 2 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)
Lösung: Diese Gleichung ist linear inhomogen und hat eine bekannte Form: 
Im ersten Schritt muss eine einfachere Gleichung gelöst werden: 
Das heißt, wir setzen dummerweise die rechte Seite zurück und schreiben stattdessen Null.
Die gleichung Ich werde anrufen Hilfsgleichung.
In diesem Beispiel müssen Sie die folgende Hilfsgleichung lösen:
Vor uns trennbare Gleichung, dessen Lösung (hoffentlich) für Sie nicht mehr schwierig ist: 
Auf diese Weise: 
– allgemeine Lösung der Hilfsgleichung.
Im zweiten Schritt wir werden ersetzen einige konstant zur Zeit unbekannte Funktion, die von „x“ abhängt:
Daher der Name der Methode – wir variieren die Konstante. Alternativ könnte die Konstante eine Funktion sein, die wir jetzt finden müssen.
IN Original inhomogene Gleichung Machen wir einen Ersatz:
Ersetzen wir und 
in die Gleichung ein :
Kontrollpunkt - die beiden Terme auf der linken Seite heben sich auf. Sollte dies nicht der Fall sein, sollten Sie nach dem oben genannten Fehler suchen.
Als Ergebnis der Ersetzung wurde eine Gleichung mit trennbaren Variablen erhalten. Wir trennen die Variablen und integrieren.
Was für ein Segen, die Exponenten streichen auch:
Wir fügen der gefundenen Funktion eine „normale“ Konstante hinzu:
In der letzten Phase erinnern wir uns an unseren Ersatz:
Die Funktion wurde gerade gefunden!
Die allgemeine Lösung lautet also: 
Antwort: gemeinsame Entscheidung: 
Wenn Sie die beiden Lösungen ausdrucken, werden Sie leicht feststellen, dass wir in beiden Fällen die gleichen Integrale gefunden haben. Der einzige Unterschied besteht im Lösungsalgorithmus.
Nun zu etwas Komplizierterem, ich werde auch das zweite Beispiel kommentieren:
Beispiel 2
Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 
(Abweichung von Beispiel Nr. 8 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)
Lösung: Reduzieren wir die Gleichung auf die Form :
Lassen Sie uns die rechte Seite zurücksetzen und die Hilfsgleichung lösen:
Allgemeine Lösung der Hilfsgleichung:
In der inhomogenen Gleichung führen wir die Ersetzung durch:
Nach der Produktdifferenzierungsregel: 
Ersetzen wir und in die ursprüngliche inhomogene Gleichung:
Die beiden Begriffe auf der linken Seite heben sich auf, was bedeutet, dass wir auf dem richtigen Weg sind: 
Lassen Sie uns nach Teilen integrieren. Der leckere Buchstabe aus der partiellen Integrationsformel ist bereits in der Lösung enthalten, daher verwenden wir beispielsweise die Buchstaben „a“ und „be“:
Erinnern wir uns nun an den Ersatz:
Antwort: gemeinsame Entscheidung:
Und ein Beispiel für eine unabhängige Lösung:
Beispiel 3
Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht.
,
(Abweichung von Beispiel Nr. 4 der Lektion Lineare inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung)
Lösung:
Dieses DE ist linear inhomogen. Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten. Lösen wir die Hilfsgleichung:
Wir trennen die Variablen und integrieren: 
Gemeinsame Entscheidung: 
In der inhomogenen Gleichung führen wir die Ersetzung durch: 
Führen wir die Substitution durch: 
Die allgemeine Lösung lautet also: 
Finden wir eine bestimmte Lösung, die der gegebenen Anfangsbedingung entspricht: 
Antwort: private Lösung:
Die Lösung am Ende der Lektion kann als Beispiel für die Bearbeitung der Aufgabe dienen.
Methode zur Variation beliebiger Konstanten
für eine lineare inhomogene Gleichung zweiter Ordnung
mit konstanten Koeffizienten
Ich habe oft die Meinung gehört, dass die Methode zur Variation beliebiger Konstanten für eine Gleichung zweiter Ordnung keine einfache Sache ist. Ich gehe aber von folgendem aus: Höchstwahrscheinlich erscheint die Methode vielen als schwierig, weil sie nicht so oft vorkommt. In Wirklichkeit gibt es jedoch keine besonderen Schwierigkeiten – der Entscheidungsverlauf ist klar, transparent und verständlich. Und schön.
Um die Methode zu beherrschen, ist es wünschenswert, inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung lösen zu können, indem eine bestimmte Lösung basierend auf der Form der rechten Seite ausgewählt wird. Diese Methode wird im Artikel ausführlich besprochen. Inhomogene DEs 2. Ordnung. Wir erinnern uns, dass eine lineare inhomogene Gleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten die Form hat:
Die Auswahlmethode, die in der obigen Lektion besprochen wurde, funktioniert nur in einer begrenzten Anzahl von Fällen, wenn die rechte Seite Polynome, Exponentiale, Sinus und Kosinus enthält. Aber was tun, wenn rechts beispielsweise ein Bruch, ein Logarithmus oder ein Tangens steht? In einer solchen Situation hilft die Methode der Konstantenvariation.
Beispiel 4
Finden Sie die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung 
Lösung: Auf der rechten Seite dieser Gleichung befindet sich ein Bruch, sodass wir sofort sagen können, dass die Methode zur Auswahl einer bestimmten Lösung nicht funktioniert. Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten.
Es gibt keine Anzeichen eines Gewitters; der Beginn der Lösung ist völlig normal:
Wir werden finden gemeinsame Entscheidung geeignet homogen Gleichungen: 
Lassen Sie uns die charakteristische Gleichung zusammenstellen und lösen: 
– Konjugierte komplexe Wurzeln werden erhalten, daher lautet die allgemeine Lösung:
Achten Sie auf die Aufzeichnung der allgemeinen Lösung. Wenn Klammern vorhanden sind, öffnen Sie diese.
Jetzt machen wir fast den gleichen Trick wie bei der Gleichung erster Ordnung: Wir variieren die Konstanten und ersetzen sie durch unbekannte Funktionen. Also, allgemeine Lösung von Inhomogenität Wir suchen nach Gleichungen in der Form:
Wo - zur Zeit unbekannte Funktionen.
Es sieht aus wie eine Mülldeponie, aber jetzt klären wir alles.
Die Unbekannten sind die Ableitungen der Funktionen. Unser Ziel ist es, Ableitungen zu finden, und die gefundenen Ableitungen müssen sowohl die erste als auch die zweite Gleichung des Systems erfüllen.
Woher kommen die „Griechen“? Der Storch bringt sie. Wir betrachten die zuvor erhaltene allgemeine Lösung und schreiben:
Finden wir die Ableitungen:
Die linken Teile wurden bearbeitet. Was ist rechts?
ist die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung, in in diesem Fall:
Der Koeffizient ist der Koeffizient der zweiten Ableitung:
In der Praxis fast immer, und unser Beispiel bildet da keine Ausnahme.
Alles ist klar, jetzt können Sie ein System erstellen: 
Das System ist normalerweise gelöst nach Cramers Formeln unter Verwendung des Standardalgorithmus. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir anstelle von Zahlen Funktionen haben.
Finden wir die Hauptdeterminante des Systems: 
Wenn Sie vergessen haben, wie die Zwei-mal-Zwei-Determinante aufgedeckt wird, lesen Sie die Lektion Wie berechnet man die Determinante? Der Link führt zum Board of Shame =)
Also: Das bedeutet, dass das System eine einzigartige Lösung hat.
Finden der Ableitung: 
Aber das ist noch nicht alles, bisher haben wir nur die Ableitung gefunden.
Die Funktion selbst wird durch Integration wiederhergestellt:
Schauen wir uns die zweite Funktion an: 
Hier fügen wir eine „normale“ Konstante hinzu
Erinnern wir uns im Endstadium der Lösung, in welcher Form wir nach einer allgemeinen Lösung der inhomogenen Gleichung gesucht haben? In solch:
Die von Ihnen benötigten Funktionen wurden gerade gefunden! 
Jetzt müssen Sie nur noch die Substitution durchführen und die Antwort aufschreiben:
Antwort: gemeinsame Entscheidung:
Im Prinzip hätte die Antwort die Klammern erweitern können.
Eine vollständige Überprüfung der Antwort erfolgt nach dem in der Lektion besprochenen Standardschema. Inhomogene DEs 2. Ordnung. Die Überprüfung wird jedoch nicht einfach sein, da es notwendig ist, ziemlich schwere Derivate zu finden und umständliche Substitutionen durchzuführen. Das unangenehme Eigenschaft, wenn Sie ähnliche Diffusoren lösen.
Beispiel 5
Lösen Sie eine Differentialgleichung, indem Sie beliebige Konstanten variieren
Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Tatsächlich gibt es auf der rechten Seite auch einen Bruch. Lass uns erinnern trigonometrische FormelÜbrigens muss es während der Lösung angewendet werden.
Die Methode der Variation beliebiger Konstanten ist die universellste Methode. Es kann jede Gleichung lösen, die gelöst werden kann Methode zur Auswahl einer bestimmten Lösung basierend auf der Form der rechten Seite. Es stellt sich die Frage: Warum nicht auch dort die Methode der Variation beliebiger Konstanten anwenden? Die Antwort liegt auf der Hand: die Auswahl einer bestimmten Lösung, die im Unterricht besprochen wurde Inhomogene Gleichungen zweiter Ordnung, beschleunigt die Lösung erheblich und verkürzt die Aufzeichnung – kein Aufwand mit Determinanten und Integralen.
Schauen wir uns zwei Beispiele mit an Cauchy-Problem.
Beispiel 6
Finden Sie eine bestimmte Lösung der Differentialgleichung, die den gegebenen Anfangsbedingungen entspricht
, 
Lösung: Auch hier befinden sich Bruch und Exponent an einer interessanten Stelle.
Wir verwenden die Methode der Variation beliebiger Konstanten.
Wir werden finden gemeinsame Entscheidung geeignet homogen Gleichungen: 
– Es werden unterschiedliche reelle Wurzeln erhalten, daher lautet die allgemeine Lösung:
Allgemeine Lösung von Inhomogenität Wir suchen nach Gleichungen in der Form: , wobei – zur Zeit unbekannte Funktionen.
Lassen Sie uns ein System erstellen:
In diesem Fall:
,
Derivate finden: 
, 
Auf diese Weise: 
Lösen wir das System mit den Formeln von Cramer:
, was bedeutet, dass das System über eine einzigartige Lösung verfügt.
Wir stellen die Funktion durch Integration wieder her:
Wird hier verwendet Methode, eine Funktion unter dem Differentialzeichen zu subsumieren.
Wir stellen die zweite Funktion durch Integration wieder her: 
Dieses Integral ist gelöst Variablenersetzungsmethode:
Aus dem Ersatz selbst drücken wir aus:
Auf diese Weise: 
Dieses Integral kann gefunden werden vollständige quadratische Extraktionsmethode, aber bei Beispielen mit Diffusoren ziehe ich es vor, den Anteil zu erweitern Methode der unbestimmten Koeffizienten:
Beide Funktionen gefunden:
Infolgedessen lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:
Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung finden, die die Anfangsbedingungen erfüllt .
Technisch gesehen erfolgt die Suche nach einer Lösung standardmäßig, was im Artikel besprochen wurde Inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung.
Moment, jetzt finden wir die Ableitung der gefundenen allgemeinen Lösung:
Das ist so eine Schande. Es ist nicht notwendig, es zu vereinfachen; es ist einfacher, sofort ein Gleichungssystem zu erstellen. Entsprechend den Anfangsbedingungen :
Ersetzen wir die gefundenen Werte der Konstanten 
zur allgemeinen Lösung:
In der Antwort können die Logarithmen etwas gepackt werden.
Antwort: private Lösung: 
Wie Sie sehen, können bei Integralen und Ableitungen Schwierigkeiten auftreten, nicht jedoch beim Algorithmus der Variationsmethode beliebiger Konstanten selbst. Nicht ich habe Sie eingeschüchtert, es ist alles Kusnezows Sammlung!
Zur Entspannung noch ein letztes, einfacheres Beispiel zum Selbstlösen:
Beispiel 7
Lösen Sie das Cauchy-Problem
, 
Das Beispiel ist einfach, aber kreativ. Wenn Sie ein System erstellen, schauen Sie es sich genau an, bevor Sie eine Entscheidung treffen ;-),
Als Ergebnis lautet die allgemeine Lösung:
Finden wir eine bestimmte Lösung, die den Anfangsbedingungen entspricht .
Setzen wir die gefundenen Werte der Konstanten in die allgemeine Lösung ein:
Antwort: private Lösung:
Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante oder die Lagrange-Methode ist eine weitere Möglichkeit, lineare Differentialgleichungen erster Ordnung und die Bernoulli-Gleichung zu lösen.
Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind Gleichungen der Form y’+p(x)y=q(x). Wenn auf der rechten Seite eine Null steht: y’+p(x)y=0, dann ist dies eine Lineare homogen Gleichung 1. Ordnung. Dementsprechend lautet eine Gleichung mit einer rechten Seite ungleich Null, y’+p(x)y=q(x). heterogen Lineare Gleichung 1. Ordnung.
Methode zur Variation einer beliebigen Konstante (Lagrange-Methode) ist wie folgt:
1) Wir suchen nach einer allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y’+p(x)y=0: y=y*.
2) In der allgemeinen Lösung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C = C (x). Wir finden die Ableitung der allgemeinen Lösung (y*)‘ und setzen den resultierenden Ausdruck für y* und (y*)‘ in die Anfangsbedingung ein. Aus der resultierenden Gleichung finden wir die Funktion C(x).
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung ersetzen wir anstelle von C den gefundenen Ausdruck C(x).
Schauen wir uns Beispiele für die Methode zum Variieren einer beliebigen Konstante an. Nehmen wir die gleichen Aufgaben wie in, vergleichen wir den Fortschritt der Lösung und stellen wir sicher, dass die erhaltenen Antworten übereinstimmen.
1) y’=3x-y/x
Schreiben wir die Gleichung in Standardform um (im Gegensatz zur Bernoulli-Methode, bei der wir die Notationsform nur brauchten, um zu sehen, dass die Gleichung linear ist).
y’+y/x=3x (I). Nun geht es nach Plan weiter.
1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’+y/x=0. Dies ist eine Gleichung mit trennbaren Variablen. Stellen Sie sich y’=dy/dx vor, ersetzen Sie: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dx und dividieren durch xy≠0: dy/y=-dx/x. Integrieren wir:
2) In der resultierenden allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C=C(x). Von hier
Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in Bedingung (I) ein:
Integrieren wir beide Seiten der Gleichung:
hier ist C bereits eine neue Konstante.
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y=C/x, bei der wir C=C(x) angenommen haben, also y=C(x)/x, ersetzen wir anstelle von C(x) den gefundenen Ausdruck x³ +C: y=(x³ +C)/x oder y=x²+C/x. Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.
Antwort: y=x²+C/x.
2) y’+y=cosx.
Hier ist die Gleichung bereits in Standardform geschrieben; eine Transformation ist nicht erforderlich.
1) Lösen Sie die homogene lineare Gleichung y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integrieren wir:
Um eine bequemere Form der Notation zu erhalten, nehmen wir den Exponenten hoch C als neues C:
Diese Transformation wurde durchgeführt, um das Finden der Ableitung einfacher zu machen.
2) In der resultierenden allgemeinen Lösung der linearen homogenen Gleichung betrachten wir C nicht als Konstante, sondern als Funktion von x: C=C(x). Unter dieser Bedingung
Wir setzen die resultierenden Ausdrücke y und y’ in die Bedingung ein:
Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit
Wir integrieren beide Seiten der Gleichung mithilfe der Teileintegrationsformel und erhalten:
Hier ist C keine Funktion mehr, sondern eine gewöhnliche Konstante.
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung
Ersetzen Sie die gefundene Funktion C(x):
Wir erhielten die gleiche Antwort wie bei der Lösung nach der Bernoulli-Methode.
Die Methode der Variation einer beliebigen Konstante ist auch zur Lösung anwendbar.
y'x+y=-xy².
Wir bringen die Gleichung in die Standardform: y’+y/x=-y² (II).
1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung mit dx und dividieren durch y: dy/y=-dx/x. Jetzt integrieren wir:
Wir setzen die resultierenden Ausdrücke in Bedingung (II) ein:
Vereinfachen wir:
Wir haben eine Gleichung mit trennbaren Variablen für C und x erhalten:
Hier ist C bereits eine gewöhnliche Konstante. Während des Integrationsprozesses haben wir einfach C statt C(x) geschrieben, um die Notation nicht zu überladen. Und am Ende kehrten wir zu C(x) zurück, um C(x) nicht mit dem neuen C zu verwechseln.
3) In der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung y=C(x)/x ersetzen wir die gefundene Funktion C(x):
Wir haben die gleiche Antwort erhalten wie bei der Lösung mit der Bernoulli-Methode.
Beispiele für Selbsttests:
1. Schreiben wir die Gleichung in der Standardform um: y’-2y=x.
1) Lösen Sie die homogene Gleichung y’-2y=0. y’=dy/dx, also dy/dx=2y, multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dx, dividiere durch y und integriere:
Von hier aus finden wir y:
Wir ersetzen die Ausdrücke für y und y‘ in der Bedingung (der Kürze halber verwenden wir C statt C(x) und C‘ statt C"(x)):
Um das Integral auf der rechten Seite zu finden, verwenden wir die Formel für die partielle Integration:
Jetzt setzen wir u, du und v in die Formel ein:
Hier ist C =const.
3) Jetzt setzen wir homogen in die Lösung ein
Methode zur Variation beliebiger Konstanten
Methode zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion einer Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = F(T)
besteht darin, beliebige Konstanten zu ersetzen C k in der allgemeinen Lösung
z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)
entsprechende homogene Gleichung
A N (T)z (N) (T) + A N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + A 1 (T)z"(T) + A 0 (T)z(T) = 0
für Hilfsfunktionen C k (T) , deren Ableitungen das lineare algebraische System erfüllen
Die Determinante des Systems (1) ist die Wronskische Funktion z 1 ,z 2 ,...,z N , was seine einzigartige Lösbarkeit in Bezug auf gewährleistet.
Wenn Stammfunktionen für sind, genommen bei festen Werten der Integrationskonstanten, dann ist die Funktion
ist eine Lösung der ursprünglichen linearen inhomogenen Differentialgleichung. Die Integration einer inhomogenen Gleichung bei Vorliegen einer allgemeinen Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung wird somit auf Quadraturen reduziert.
Methode zur Variation beliebiger Konstanten zur Konstruktion von Lösungen für ein System linearer Differentialgleichungen in Vektornormalform
besteht darin, eine bestimmte Lösung (1) in der Form zu konstruieren
Wo Z(T) ist die Grundlage für Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung, geschrieben in Form einer Matrix, und die Vektorfunktion, die den Vektor beliebiger Konstanten ersetzt, wird durch die Beziehung definiert. Die erforderliche Einzellösung (mit Null-Anfangswerten bei T = T 0 sieht aus wie
Für ein System mit konstanten Koeffizienten wird der letzte Ausdruck vereinfacht:
Matrix Z(T)Z− 1 (τ) angerufen Cauchy-Matrix Operator L = A(T) .
Betrachten wir nun die lineare inhomogene Gleichung
. (2)
Sei y 1 ,y 2 ,.., y n ein fundamentales Lösungssystem und sei die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0. Ähnlich wie bei Gleichungen erster Ordnung suchen wir nach einer Lösung für Gleichung (2) in der Form
. (3)
Stellen wir sicher, dass es eine Lösung in dieser Form gibt. Dazu setzen wir die Funktion in die Gleichung ein. Um diese Funktion in die Gleichung einzusetzen, ermitteln wir ihre Ableitungen. Die erste Ableitung ist gleich 
. (4)
Bei der Berechnung der zweiten Ableitung erscheinen auf der rechten Seite von (4) vier Terme, bei der Berechnung der dritten Ableitung erscheinen acht Terme und so weiter. Zur Vereinfachung weiterer Berechnungen wird daher der erste Term in (4) gleich Null gesetzt. Unter Berücksichtigung dessen ist die zweite Ableitung gleich 
. (5)
Aus den gleichen Gründen wie zuvor setzen wir auch in (5) den ersten Term gleich Null. Schließlich ist die n-te Ableitung 
. (6)
Wenn wir die erhaltenen Werte der Ableitungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir 
. (7)
Der zweite Term in (7) ist gleich Null, da die Funktionen y j , j=1,2,..,n, Lösungen der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0 sind. In Kombination mit dem vorherigen erhalten wir ein System algebraischer Gleichungen zum Finden der Funktionen C" j (x) 
(8)
Die Determinante dieses Systems ist die Wronski-Determinante des fundamentalen Lösungssystems y 1 ,y 2 ,..,y n der entsprechenden homogenen Gleichung L(y)=0 und ist daher ungleich Null. Folglich gibt es eine einzigartige Lösung für System (8). Nachdem wir es gefunden haben, erhalten wir die Funktionen C" j (x), j=1,2,…,n und folglich C j (x), j=1,2,…,n Durch Einsetzen dieser Werte in (3) erhalten wir eine Lösung einer linearen inhomogenen Gleichung.
Die vorgestellte Methode wird als Variationsmethode einer beliebigen Konstante oder Lagrange-Methode bezeichnet.
Beispiel Nr. 1. Finden wir die allgemeine Lösung der Gleichung y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Betrachten wir die entsprechende homogene Gleichung y"" + 4y" + 3y = 0. Die Wurzeln ihrer charakteristischen Gleichung r 2 + 4r + 3 = 0 sind gleich -1 und -3. Daher besteht das grundlegende Lösungssystem einer homogenen Gleichung aus den Funktionen y 1 = e - x und y 2 = e -3 x. Wir suchen nach einer Lösung der inhomogenen Gleichung in der Form y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Um die Ableitungen C" 1 , C" 2 zu finden, erstellen wir ein Gleichungssystem (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
Wenn wir das lösen, finden wir , Integrieren der erhaltenen Funktionen, wir haben 
Endlich bekommen wir
Beispiel Nr. 2. Lösen Sie lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mithilfe der Methode der Variation beliebiger Konstanten: 
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Lösung:
Diese Differentialgleichung bezieht sich auf lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Wir werden nach einer Lösung der Gleichung in der Form y = e rx suchen. Dazu stellen wir die charakteristische Gleichung einer linearen homogenen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4
Wurzeln der charakteristischen Gleichung: r 1 = 4, r 2 = 2
Folglich besteht das grundlegende Lösungssystem aus den Funktionen: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Suchen Sie nach einer bestimmten Lösung, indem Sie eine beliebige Konstante variieren.
Um die Ableitungen von C" i zu finden, stellen wir ein Gleichungssystem auf:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Drücken wir C" 1 aus der ersten Gleichung aus:
C" 1 = -c 2 e -2x
und ersetzen Sie es durch das zweite. Als Ergebnis erhalten wir:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Wir integrieren die erhaltenen Funktionen C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Da y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, schreiben wir die resultierenden Ausdrücke in der Form:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Somit hat die allgemeine Lösung der Differentialgleichung die Form:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
oder
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Lassen Sie uns eine bestimmte Lösung unter der Bedingung finden:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3
Wenn wir x = 0 in die gefundene Gleichung einsetzen, erhalten wir:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Wir finden die erste Ableitung der erhaltenen allgemeinen Lösung:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Wenn wir x = 0 einsetzen, erhalten wir:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Wir erhalten ein System aus zwei Gleichungen:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
oder
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
oder
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Aus: C 1 = 0, C * 2 = 2
Die private Lösung wird wie folgt geschrieben:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Es wird eine Methode zur Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten durch die Methode der Variation der Lagrange-Konstanten betrachtet. Die Lagrange-Methode ist auch auf die Lösung linearer inhomogener Gleichungen anwendbar, wenn das grundlegende Lösungssystem der homogenen Gleichung bekannt ist.
InhaltSiehe auch:
Lagrange-Methode (Variation von Konstanten)
Betrachten Sie eine lineare inhomogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten beliebiger n-ter Ordnung:
(1)
.
Die Methode der Variation einer Konstante, die wir für eine Gleichung erster Ordnung betrachtet haben, ist auch für Gleichungen höherer Ordnung anwendbar.
Die Lösung erfolgt in zwei Schritten. Im ersten Schritt verwerfen wir die rechte Seite und lösen die homogene Gleichung. Als Ergebnis erhalten wir eine Lösung mit n beliebigen Konstanten. Im zweiten Schritt variieren wir die Konstanten. Das heißt, wir glauben, dass diese Konstanten Funktionen der unabhängigen Variablen x sind und finden die Form dieser Funktionen.
Wir betrachten hier zwar Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, aber Die Methode von Lagrange ist auch auf die Lösung beliebiger linearer inhomogener Gleichungen anwendbar. Dazu muss jedoch das grundlegende Lösungssystem der homogenen Gleichung bekannt sein.
Schritt 1. Lösung der homogenen Gleichung
Wie bei Gleichungen erster Ordnung suchen wir zunächst nach der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung, indem wir die rechte inhomogene Seite mit Null gleichsetzen:
(2)
.
Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lautet:
(3)
.
Hier sind beliebige Konstanten; - n linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung (2), die ein grundlegendes Lösungssystem dieser Gleichung bilden.
Schritt 2. Variation von Konstanten – Ersetzen von Konstanten durch Funktionen
Im zweiten Schritt beschäftigen wir uns mit der Variation von Konstanten. Mit anderen Worten, wir ersetzen die Konstanten durch Funktionen der unabhängigen Variablen x:
.
Das heißt, wir suchen nach einer Lösung der ursprünglichen Gleichung (1) in der folgenden Form:
(4)
.
Wenn wir (4) in (1) einsetzen, erhalten wir eine Differentialgleichung für n Funktionen. In diesem Fall können wir diese Funktionen mit zusätzlichen Gleichungen verbinden. Dann erhält man n Gleichungen, aus denen sich n Funktionen bestimmen lassen. Zusätzliche Gleichungen können auf verschiedene Arten geschrieben werden. Aber wir werden dies tun, damit die Lösung die einfachste Form hat. Dazu müssen Sie beim Differenzieren die Terme, die Ableitungen der Funktionen enthalten, mit Null gleichsetzen. Lassen Sie uns das demonstrieren.
Um die vorgeschlagene Lösung (4) in die ursprüngliche Gleichung (1) einzusetzen, müssen wir die Ableitungen der ersten n Ordnungen der in der Form (4) geschriebenen Funktion finden. Wir differenzieren (4) nach den Regeln der Differenzierung von Summe und Produkt:
.
Lassen Sie uns die Mitglieder gruppieren. Zuerst schreiben wir die Terme mit Ableitungen von auf und dann die Terme mit Ableitungen von:
.
Stellen wir den Funktionen die erste Bedingung auf:
(5.1)
.
Dann hat der Ausdruck für die erste Ableitung nach eine einfachere Form:
(6.1)
.
Mit der gleichen Methode finden wir die zweite Ableitung:
.
Stellen wir den Funktionen eine zweite Bedingung auf:
(5.2)
.
Dann
(6.2)
.
Usw. In zusätzlichen Bedingungen setzen wir Terme, die Ableitungen von Funktionen enthalten, mit Null gleich.
Wenn wir also die folgenden zusätzlichen Gleichungen für die Funktionen wählen:
(5.k) ,
dann haben die ersten Ableitungen nach die einfachste Form:
(6.k) .
Hier .
Finden Sie die n-te Ableitung:
(6.n)
.
Setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung (1) ein:
(1)
;
.
Berücksichtigen wir, dass alle Funktionen Gleichung (2) erfüllen:
.
Dann ergibt die Summe der Terme, die Null enthalten, Null. Als Ergebnis erhalten wir:
(7)
.
Als Ergebnis erhielten wir ein System linearer Gleichungen für Ableitungen:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .
Wenn wir dieses System lösen, finden wir Ausdrücke für Ableitungen als Funktion von x. Durch Integrieren erhalten wir:
.
Hier sind Konstanten, die nicht mehr von x abhängen. Durch Einsetzen in (4) erhalten wir eine allgemeine Lösung der ursprünglichen Gleichung.
Beachten Sie, dass wir zur Bestimmung der Werte der Ableitungen nie die Tatsache genutzt haben, dass die Koeffizienten a i konstant sind. Deshalb Die Methode von Lagrange ist zur Lösung beliebiger linearer inhomogener Gleichungen anwendbar, wenn das grundlegende Lösungssystem der homogenen Gleichung (2) bekannt ist.
Beispiele
Lösen Sie Gleichungen mit der Methode der Variation von Konstanten (Lagrange).
Lösung von Beispielen > > >
Lösen von Gleichungen höherer Ordnung mit der Bernoulli-Methode
Lösung linearer inhomogener Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten durch lineare Substitution
