Энергия магнитного поля определение. Энергия магнитного поля. Магнитное поле обладает энергией Как обозначается энергия магнитного поля катушки
B {\displaystyle \mathbf {B} } (вектор индукции магнитного поля) . С математической точки зрения B = B (x , y , z) {\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (x,y,z)} - векторное поле , определяющее и конкретизирующее физическое понятие магнитного поля.Ещё одной фундаментальной характеристикой магнитного поля (альтернативной магнитной индукции и тесно с ней взаимосвязанной, практически равной ей по физическому значению) является векторный потенциал .
Нередко в литературе в качестве основной характеристики магнитного поля в вакууме (то есть в отсутствие магнитной среды) выбирают не вектор магнитной индукции B , {\displaystyle \mathbf {B} ,} а вектор напряжённости магнитного поля , что формально можно сделать, так как в вакууме эти два вектора совпадают ; однако в магнитной среде вектор H {\displaystyle \mathbf {H} } не несёт уже того же физического смысла , являясь важной, но всё же вспомогательной величиной. Поэтому при формальной эквивалентности обоих подходов для вакуума, с систематической точки зрения следует считать основной характеристикой магнитного поля именно B . {\displaystyle \mathbf {B} .}
Магнитное поле можно назвать особым видом материи , посредством которой осуществляется взаимодействие между движущимися заряженными частицами или телами, обладающими магнитным моментом .
Магнитные поля являются необходимым (в контексте специальной теории относительности) следствием существования электрических полей.
- С точки зрения квантовой теории поля магнитное взаимодействие - как частный случай электромагнитного взаимодействия переносится фундаментальным безмассовым бозоном - фотоном (частицей, которую можно представить как квантовое возбуждение электромагнитного поля), часто (например, во всех случаях статических полей) - виртуальным.
Источники магнитного поля
Магнитное поле создаётся (порождается) током заряженных частиц , или изменяющимся во времени электрическим полем , или собственными магнитными моментами частиц (последние для единообразия картины могут быть формальным образом сведены к электрическим токам).
Вычисление
В простых случаях магнитное поле проводника с током (в том числе и для случая тока, распределённого произвольным образом по объёму или пространству) может быть найдено из закона Био - Савара - Лапласа или теоремы о циркуляции (она же - закон Ампера). Этот способ ограничивается случаем (приближением) магнитостатики - то есть случаем постоянных (если речь идёт о строгой применимости) или достаточно медленно меняющихся (если речь идёт о приближенном применении) магнитных и электрических полей.
В более сложных ситуациях ищется как решение уравнений Максвелла .
Проявление магнитного поля
Магнитное поле проявляется в воздействии на магнитные моменты частиц и тел, на движущиеся заряженные частицы (или проводники с током). Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле электрически заряженную частицу, называется силой Лоренца , которая всегда направлена перпендикулярно к векторам v и B . Она пропорциональна заряду частицы q , составляющей скорости v , перпендикулярной направлению вектора магнитного поля B , и величине индукции магнитного поля B . В Международной системе единиц (СИ) сила Лоренца выражается так:
F = q [ v , B ] , {\displaystyle \mathbf {F} =q[\mathbf {v} ,\mathbf {B} ],} F = q c [ v , B ] , {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{c}}[\mathbf {v} ,\mathbf {B} ],}где квадратными скобками обозначено векторное произведение .
Также (вследствие действия силы Лоренца на движущиеся по проводнику заряженные частицы) магнитное поле действует на проводник с током . Сила, действующая на проводник с током называется силой Ампера . Эта сила складывается из сил, действующих на отдельные движущиеся внутри проводника заряды.
Взаимодействие двух магнитов
Одно из наиболее часто встречающихся в обычной жизни проявлений магнитного поля - взаимодействие двух магнитов : одинаковые полюса отталкиваются, противоположные притягиваются. Представляется заманчивым описать взаимодействие между магнитами как взаимодействие между двумя монополями , и с формальной точки зрения эта идея вполне реализуема и часто весьма удобна, а значит практически полезна (в расчётах); однако детальный анализ показывает, что на самом деле это не полностью правильное описание явления (наиболее очевидным вопросом, не получающим объяснения в рамках такой модели, является вопрос о том, почему монополи никогда не могут быть разделены, то есть почему эксперимент показывает, что никакое изолированное тело на самом деле не обладает магнитным зарядом; кроме того, слабостью модели является то, что она неприменима к магнитному полю, создаваемому макроскопическим током, а значит, если не рассматривать её как чисто формальный приём, приводит лишь к усложнению теории в фундаментальном смысле).
Правильнее будет сказать, что на магнитный диполь , помещённый в неоднородное поле, действует сила, которая стремится повернуть его так, чтобы магнитный момент диполя был сонаправлен с магнитным полем. Но никакой магнит не испытывает действия (суммарной) силы со стороны однородного магнитного поля. Сила, действующая на магнитный диполь с магнитным моментом m выражается по формуле :
F = (m ⋅ ∇) B . {\displaystyle \mathbf {F} =\left(\mathbf {m} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} .}Сила, действующая на магнит (не являющийся одиночным точечным диполем) со стороны неоднородного магнитного поля, может быть определена суммированием всех сил (определяемых данной формулой), действующих на элементарные диполи, составляющие магнит.
Впрочем, возможен подход, сводящий взаимодействие магнитов к силе Ампера, а сама формула выше для силы, действующей на магнитный диполь, тоже может быть получена, исходя из силы Ампера.
Явление электромагнитной индукции
История развития представлений о магнитном поле
Хотя магниты и магнетизм были известны гораздо раньше, изучение магнитного поля началось в 1269 году, когда французский учёный Пётр Перегрин (рыцарь Пьер из Мерикура) отметил магнитное поле на поверхности сферического магнита, применяя стальные иглы, и определил, что получающиеся линии магнитного поля пересекались в двух точках, которые он назвал «полюсами » по аналогии с полюсами Земли. Почти три столетия спустя, Уильям Гильберт Колчестер использовал труд Петра Перегрина и впервые определённо заявил, что сама Земля является магнитом. Опубликованная в 1600 году, работа Гилберта «De Magnete » , заложила основы магнетизма как науки.
Три открытия подряд бросили вызов этой «основе магнетизма». Во-первых, в 1819 году Ханс Кристиан Эрстед обнаружил, что электрический ток создаёт магнитное поле вокруг себя. Затем, в 1820 году, Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, по которым идёт ток в одном и том же направлении, притягиваются друг к другу. Наконец, Жан-Батист Био и Феликс Савар в 1820 году открыли закон, названный законом Био-Савара-Лапласа , который правильно предсказывал магнитное поле вокруг любого провода, находящегося под напряжением.
Расширив эти эксперименты, Ампер издал свою собственную успешную модель магнетизма в 1825 году. В ней он показал эквивалентность электрического тока в магнитах, и вместо диполей магнитных зарядов модели Пуассона, предложил идею, что магнетизм связан с постоянно текущими петлями тока. Эта идея объясняла, почему магнитный заряд не может быть изолирован. Кроме того, Ампер вывел закон, названный его именем , который, как и закон Био-Савара-Лапласа, правильно описал магнитное поле, создаваемое постоянным током, а также была введена теорема о циркуляции магнитного поля . Кроме того, в этой работе, Ампер ввёл термин «электродинамика » для описания взаимосвязи между электричеством и магнетизмом.
Между 1861 и 1865 годами Джеймс Клерк Максвелл разработал и опубликовал уравнения Максвелла , которые объяснили и объединили электричество и магнетизм в классической физике . Первая подборка этих уравнений была опубликована в статье в 1861 году, озаглавленной «On Physical Lines of Force » . Эти уравнения были признаны действительными, хотя и неполными. Максвелл завершил свои уравнения в своей более поздней работе 1865 года
Если в контуре с индуктивностью L течёт ток I, то в момент размыкания цепи возникает индукционный ток и им совершается работа. Эта работа совершается за счёт энергии исчезнувшего при размыкании цепи магнитного поля. На основании закона сохранения и превращения энергию магнитного поля превращается главным образом в энергию электрического поля, за счёт которой происходит нагревание проводников. Работа может быть определена из соотношения
Так как , то
Уменьшение энергии магнитного поля равно работе тока, поэтому
(16.18)
Формула справедлива для любого контура и показывает, что энергия магнитного поля зависит от индуктивности контура и силы тока, протекающего по нему.
Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле L = μμ 0 n 2 V. B этом случае формула энергии примет вид
Учитывая, что напряжённость поля внутри бесконечно длинного соленоида Н=In, получаем
(16.19)
Выразим энергию через индукцию магнитного поля B= μμ 0 H:
(16.20)
(16.21)
Вследствие того, что магнитное поле соленоида однородно и локализовано внутри соленоида, энергия распределена по объёму соленоида с постоянной плотностью
(16.22)
Учитывая последние три формулы, получаем
Учитывая правило Ленца, можно заметить, что явление самоиндукции аналогично проявлению инертности тел в механике. Так, вследствие инертности тело не мгновенно приобретает определённую скорость, а постепенно. Так же постепенно происходит и его торможение. То же самое, как мы видели, происходит и с силой тока при самоиндукции. Эту аналогию можно провести и дальше.
и
эти уравнения эквивалентны.
т.е. m ~L , υ~I
Эквивалентны и формулы
Примеры решения задач
Пример . В магнитном поле, изменяющемся по закону B=B 0 cosωt (B 0 =5мТл,
ω=5с -1), помещён круговой проволочный виток радиусом r=30см, причём нормаль к витку образует с направлением поля угол α=30º. Определите ЭДС индукции, возникающую в витке в момент времени t=10с.
Дано : B=B 0 cosωt; B 0 =5мТл=5∙10 -3 Тл; ω=5с -1 ; r=30см=0,3 м; α=30º; t=10 с.
Найти: ε i .
Решение: Согласно закону Фарадея,
,
(1)
Где магнитный поток, сцепленный с витком при произвольном его расположении относительно магнитного поля.
По условию задачи B=B 0 cosωt, а площадь кольца S=πr 2 , поэтому
Ф=πr 2 B 0 cosωt∙cosα. (2)
Подставив выражение (2) в формулу (1) и продифференцировав, получаем искомую ЭДС индукции в заданный момент времени:
Ответ: ε i =4,69 мВ.
Пример В соленоиде длиной ℓ=50см и диаметром d=6см сила тока равномерно увеличивается на 0,3А за одну секунду. Определите число витков соленоида, если сила индукционного тока в кольце радиусом 3,1 см из медной проволоки (ρ=17нОм∙м), надетом на катушку, I к =0,3 А.
Дано:
ℓ=50см=0,5
м; d=6см=0,06м;
;r к =3,1см=3.1∙10 -2 м;
ρ=17нОм∙м=17∙10 -9
Ом∙м; I к =0,3
А.
Найти : N.
Решение . При изменении силы тока в соленоиде возникает ЭДС самоиндукции
(1)
где
-
индуктивность соленоида. Подставив это
выражение в (1)
с
учётом
.
ЭДС индукции, возникающая в одном кольце, в N раз меньше, чем найденное значение ЭДС самоиндукции в соленоиде, состоящем из N витков, т.е.
.
(2)
Согласно закону Ома, сила индукционного тока в кольце
,
(3)
где
-
сопротивление кольца. Поскольку ℓ к =πd,
а S к =πr к 2 ,
выражение (3) примет вид
Подставив в эту формулу выражение (2), найдём искомое число витков соленоид
.
Ответ : N=150
Пример В однородном магнитном поле подвижная сторона (её длина ℓ=20см) прямоугольной рамки (см. рисунок) перемещается перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью υ=5 м/с. Определите индукцию В магнитного поля, если возникающая в рамке ЭДС индукции ε i =0,2 В.
Дано: ℓ=20см=0,2 м; υ=5 м/с; ε i =0,2 В.
Найти : B.
Р
ешение
.
При движении в магнитном поле подвижной
стороны рамки поток Ф вектора магнитной
индукции сквозь рамку возрастает, что,
согласно закону Фарадея,
,
(1)
приводит к возникновению ЭДС индукции.
Поток вектора магнитной индукции, сцепленный с рамкой,
Подставив выражение (2) в формулу (1) и учитывая, что B и ℓ - величины постоянные, получаем
откуда искомая индукция магнитного поля
Ответ : В=0,2 Тл.
Пример В однородном магнитном поле с индукцией В=0,2 Тл равномерно вращается катушка, содержащая N=600 витков, с частотой n=6 с -1 . Площадь S поперечного сечения катушка 100см 2 . Ось вращения перпендикулярна оси катушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС индукции вращающейся катушки.
Дано: В=0,2 Тл; N=600; n=6 с -1 ; S=100см 2 =10 -2 м 2 .
Найти : (ε i) max .
Решение . Согласно закону Фарадея,
где Ф – полный магнитный поток, сцеплённый со всеми витками катушки. При произвольном расположении катушки относительно магнитного поля
Ф=NBScosωt, (1)
где круговая частота ω=2πn. Подставив ω в (1), получим
ε i =-NBS2πn(-sin2πnt)=2πnNBSsin2πnt,
ε i =(ε i) max при sin2πnt=1, поэтому
(ε i) max =2πnNBS
Ответ : (ε i) max =45,2 В.
Пример Однослойная длинная катушка содержит N=300 витков, плотно прилегающих друг к другу. Определите индуктивность катушки, если диаметр проволоки d=0,7 мм (изоляция ничтожной толщины) и она намотана на картонный цилиндр радиусом r=1 см. .
Дано: N=300; d=0,7 мм=7∙10 -4 м; r=1 см=10 -2 м.
Найти : L.
Решение . Индуктивность катушки
(1)
где Ф – полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки; I - сила тока в катушке.
Учитывая, что полный магнитный поток
(N-число витков катушки; В – магнитная индукция; S – площадь поперечного сечения катушки); магнитная индукция в катушке без сердечника
(μ 0 – магнитная постоянная; ℓ- длина катушки), длина катушки
(d-диаметр проволоки; витки вплотную прилегают друг к другу), площадь поперечного сечения катушки
Получим осле подстановки записанных выражений в формулу (1) искомую индуктивность катушки:
Ответ: L=1,69 мГн.
Пример Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэффициентом трансформации k=0,1 включена в сеть с источником переменного напряжения с ЭДС ε 1 =220 В. Пренебрегая потерями энергии в первичной обмотке, определите напряжение U 2 на зажимах вторичной обмотки, если её сопротивление R 2 =5 Ом и сила тока в ней I 2 =2А.
Дано: k=0,1; ε 1 =220 В; R 2 =5 Ом; I 2 =2А.
Найти : U 2 .
Решение . В первичной обмотке под действием переменной ЭДС ε 1 возникает переменный ток I 1 , создающий в сердечнике трансформатора переменногый магнитный поток Ф, который пронизывает вторичную обмотку. Согласно закону Ома, для первичной обмотки
где R 1 – сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I 1 R 1 при быстропеременных полях мало по сравнению с ε 1 и ε 2 . Тогда можем записать:
(1)
ЭДС взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,
(2)
Из выражений (1) и (2) получаем
,
где
-
коэффициент трансформации, а знак «-»
показывает, что ЭДС в первичной и
вторичной обмотках противоположны по
фазе. Следовательно, ЭДС во вторичной
обмотке
Напряжение на зажимах вторичной обмотки
U 2 = ε 2 -I 2 R 2 = kε 1 -I 2 R 2 .
Ответ : U 2 =12 В.
Пример Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d=0,4 мм имеет длину ℓ=0.5 м и поперечное сечение S=60см 2 . За какое время при напряжении U=10 В и силе тока I=1,5 А в обмотке выделится количество теплоты, равное энергии поля внутри соленоида? Поле считать однородным.
Дано: d=0,4 мм=0,4∙10 -4 м; ℓ=0,5 м; S=60см 2 =6∙10 -3 м 2 ; I=1,5А; U=10В; Q=W.
Найти : t.
Решение . При прохождении тока I при напряжении U в обмотке за время t выделяется теплота
Энергия поля внутри соленоида
(2)
где
(N
– общее число витков соленоида). Если
витки вплотную прилегают друг к другу,
то ℓ=Nd,
откуда
.
Подставив выражение для В иN
в
(2), получаем
.
(3)
Согласно условию задачи, Q=W. Приравняв выражение (1) и (3),найдём искомое время:
Ответ: t =1,77 мс.
Пример Катушка без сердечника длиной ℓ=50 см содержит N=200 витков. По катушке течёт ток I=1А. Определите объёмную плотность энергии магнитного поля внутри катушки..
Дано : ℓ=50 см=0,5 м; N=200; I=1 А.
Найти : ω.
Решение . Объёмная плотность энергии магнитного поля (энергия единицы объёма)
,
(1)
где
-
энергия магнитного поля (L
- индуктивность катушки); V=Sℓ-
объём катушки (S
- площадь катушки; ℓ- длина катушки).
Магнитная индукция поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью μ равна
.
Полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида,
.
Учитывая, что Ф=LI, получаем формулу для индуктивности соленоида:
(2)
Подставив
выражение (2) в формулу (1) с учётом того,
что
,
найдём искомую объёмную плотность
энергии магнитного поля внутри катушки:
Электрический ток обладает запасом так называемой магнитной энергии. Если в процессе вычисления данной энергии принимать все провода за идеально проводящие, то это не повлияет на результат, по той причине, что магнитная энергия зависима лишь от величины и распределения токов, а также от магнитных свойств заполняющей пространство среды.
Вывод формулы энергии магнитного поля
Для начала рассмотрим случай с одиночным неподвижным замкнутым контуром (витком проводника).
Пример 1
Пускай изначально сила тока в нем равняется нулю. Не важно каким способом доводим значение тока в витке до I . Вместе с ростом тока в контуре повышается и значение магнитного потока Ф, проходящего через него. Возникает электродвижущая сила (ЭДС) индукции. Элементарная работа, производимая внешним источником против ЭДС индукции, будет эквивалентна следующему выражению: δ A в н е ш = - ε и н д I d t .
Применяя закон Фарадея, выводим: δ A в н е ш = 1 c I d Φ .
Данное соотношение носит общий характер. Оно является справедливым и для ферромагнитных материалов, ведь в процессе его вывода относительно магнитных свойств среды не вводилось никаких предположений. Однако стоит отметить, что в случае, когда среда не обладает гистерезисом, к примеру, являясь пара- или диамагнетиком, δ A в н е ш будет применяться исключительно в целях роста значения магнитной энергии W m , соответственно:
d W m = I c d Φ .
Исходя из условий закона Био-Савара-Лапласа, можно заявить, что индукция магнитного поля тока линейно зависима от силы тока. В условиях переменной силы тока, протекающего по жесткому неподвижному контуру, картина силовых линий не претерпевает изменений, а индукция в каждой точке прогрессирует пропорционально силе тока. Соответственно, поток магнитной индукции Ф, проходящий через неизменную и недвижимую площадь, тоже пропорционален силе тока, по этой причине: Φ = L I c ,
где L представляет собой индуктивность контура, постоянный коэффициент пропорциональности, не обладающий зависимостью от силы тока и индукции магнитного поля. Подставим (5) в (4) , получим:
Из формулы (6) следует, что:
Определение 1
Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c определяет энергию магнитного поля, формирующегося током (I) , который протекает по контуру с индуктивностью L .
Формула W m = L 2 I c 2 = 1 2 c может быть записана в следующем виде: W m = 1 c ∫ ∑ I i " d Φ i " .
Для справедливости формул W m = L 2 I c 2 = 1 2 c и I Φ = Φ 2 2 L незначительно, что виток в процессе возрастания тока остается неподвижным, по той причине, что энергия зависима лишь от состояния системы, а не от способа достижения такого состояния.
Примеры решения задач
Пример 2Задание: Сила тока в витке эквивалентна I = 1 А. Магнитный поток Ф, проходящий через площадь витка составляет 100 м к В б. Найдите энергию магнитного поля в витке.
Решение
В качестве фундамента решения задачи примем формулу: W m = 1 2 I Φ .
Переведем величину магнитного потока, заданного в условиях задачи, в систему С И: 100 м к В б = 10 - 4 В б.
Проведем вычисления: W m = 1 2 · 1 · 10 - 4 = 5 · 10 - 3 (Д ж) .
Ответ: W m = 5 · 10 - 3 (Д ж) .
Пример 3
Задание: Рядом друг с другом расположены два витка проводника. По первому протекает ток I = 1 А. Второй соединен с баллистическим гальванометром, при выключении тока в контуре (1) через гальванометр проходит заряд q = 10 - 8 К л. Полное сопротивление цепи равно R = 5 О м. Чему равняется взаимная индуктивность витков?
Решение
Магнитная энергия (W m) витка с током может быть записана как: W m = L I 2 2 . С другой стороны энергия витка, который соединен с гальванометром, может быть рассчитана как: W m " = q U 2 . Заряд на втором контуре появляется благодаря тому, что он находится в переменном магнитном поле первого витка, и по закону сохранения энергии мы можем записать, что: W m " = W m . Следовательно, мы можем приравнять и правые части выражений W m = L I 2 2 и W m " = q U 2 , получим: L I 2 2 = q U 2 → L I 2 = q U . Из уравнения выше выразим индуктивность: L = q U I 2 . По закону Ома для участка цепи имеем: U = I R . Соответственно: L = q R I .
Эта задача может быть решена иным способом. Обозначим через ε 2 ЭДС индукции, которая вызвана переменным магнитным полем, которое создается в момент выключения тока в первом контуре: ε 2 = - L d I d t . ЭДС индукции можно записать по закону Ома следующим образом: ε 2 = I 2 R , где силу тока найдем как: I 2 = d q d t , в таком случае выражение ε 2 = I 2 R преобразуется в формулу вида: ε 2 = d q d t R . Приравняем правые части выражений ε 2 = - L d I d t и ε 2 = d q d t R , на выходе получим: - L d I d t = d q d t R → - L d I = R d q .
Проинтегрируем приведенную выше формулу с учетом того, что ток в первом контуре меняется от I до нуля, а заряд во втором от нуля до q , получим: - L ∫ I 0 d I = R ∫ 0 q d q → L I = R q → L = R q I .
Данный метод дает абсолютно такой же результат. Таким образом, раз все величины в условиях задачи приведены в системе С И, произведем вычисления: L = 10 - 8 · 5 1 = 5 · 10 - 8 (Г н) .
Ответ: L = 50 н Г н.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
1. Полученное нами выражение энергии магнитного взаимодействия токов в отсутствие ферромагнетиков
по своей форме соответствует представлению о магнитном взаимодействии токов на расстоянии. В этом отношении оно вполне аналогично выражению энергии покоящихся электрических зарядов (15.5):
Действительно, входящий в уравнение (79.6) член
может быть истолкован как энергия магнитного взаимодействия токов и а член
как «собственная» энергия тока т. е. как энергия взаимодействия бесконечно тонких нитей тока, на которые может быть
так что представляет собой некое среднее расстояние между контурами токов и
2 Нетрудно, однако, выразить магнитную энергию токов в форме интеграла по всему объему поля этих токов и тем самым, как и в случае электрического поля (§ 16), получить возможность интерпретировать энергию в духе теории близкодействия как энергию поля, а не как энергию взаимодействия токов.
С этой целью мы воспользуемся формулами (79.7) и (65.9):
Выражая согласно уравнению (62.7), через получим
Но, согласно общей формуле векторного анализа (44,
причем, согласно уравнению (62.10), rot А можно заменить через В:
Внося это выражение под знак интеграла и применив теорему Гаусса [уравнение (17], получим
Если мы распространим интегрирование на весь объем полного поля токов, то интеграл по пограничной поверхности этого поля обратится в нуль, и выражение для примет вид
При этом под полным магнитным полем токов в соответствии с определением полного поля электрических зарядов (см § 16) понимается область пространства V, охватывающая все взаимодействующие токи и все поле этих токов. Если, как это обычно
бывает, поле токов простирается в бесконечность, то под полным полем можно и нужно понимать все бесконечное пространство при непременном условии (см. § 16), что подынтегральные выражения в интересующих нас интегралах по пограничной поверхности поля (в данном случае убывают при удалении этой поверхности в бесконечность быстрее, чем
Если все токи расположены в конечной области пространства, то это условие выполнено, ибо при удалении в бесконечность произведение убывает не медленнее, чем (см. § 46, с. 217).
3. С точки зрения теории поля, формула (81.3) может быть истолкована следующим образом: магнитная энергия локализована в поле и распределена по его объему со вполне определенной плотностью , равной
В квазистационарных магнитных полях оба приведенных понимания магнитной энергии (как энергии взаимодействия токов и как энергии поля), разумеется, совершенно равноправны, ибо вытекают они из математически эквивалентных друг другу выражений (79.6) и (81.3) (ср. § 16). Однако при переходе к быстропеременным электромагнитным полям эквивалентность этих выражений нарушается, и мы убедимся в следующей главе, что лишь представление о локализации магнитной энергии в поле может быть согласовано с данными опыта.
4. Заметим, что наша исходная формула (79.7), как неоднократно упоминалось, справедлива лишь при условии отсутствия в поле ферромагнетиков. Этим ограничивается, таким образом, и область приложимости всех формул этого параграфа.
Так как в отсутствие ферромагнетиков
то формулы (81.3) и (81.4) могут быть записаны также следующим образом:
Таким образом, при заданной напряженности поля энергия единицы его объема пропорциональна магнитной проницаемости среды. В случае поля в вакууме
5. Рассмотрим энергию магнитного поля двух токов находящихся в произвольной диа- и парамагнитной среде.
Если суть напряженности поля, создаваемого каждым из этих токов в отдельности, то
и общая энергия поля токов будет равна
Очевидно, что первый и последний члены правой части этого равенства (обозначим их через могут быть названы собственной энергией каждого из токов а второй член - взаимной энергией этих токов
Данные в § 65 выражения коэффициентов взаимной индукции и самоиндукции (65.7), как указывалось, применимы лишь в однородной магнитной среде Сравнивая же выражение (81.7) с выражением энергии (79.5):
получаем для более общего случая произвольной (но не ферромагнитной) среды:
Так как при заданной конфигурации проводников пропорциональны соответственно то определяемые формулой (81.8) значения индукционных коэффициентов зависят лишь от геометрической конфигурации проводников и от магнитной проницаемости среды, но не от силы токов в проводниках. При значения эти должны совпадать со значениями коэффициентов индукции, определяемых формулой (65.7).
Уравнения (81.8) представляют собой наиболее общее, годное при определение коэффициентов индукции. Из этого определения явствует, что коэффициенты индукции являются, в сущности, мерой энергии магнитного поля токов (при заданной силе этих токов). С этим наиболее существенным значением коэффициентов индукции, как легко убедиться, неразрывно связана как роль этих коэффициентов в определении пондеромоторных сил, испытываемых токами в магнитном поле (§ 51 и 65), так и роль их в определении электродвижущих сил индукции (§ 78).
Приведем теперь два примера вычисления коэффициента самоиндукции, при решении которых удобнее всего исходить непосредственно из энергетического определения (81.8) этого коэффициента.
Пример 1. Самоиндукция кругового тока. Цилиндрический провод радиуса согнут так, что он образует окружность радиуса По нему протекает ток Объем проводника обозначим через объем окружающего его пространства через V, а энергию поля тока в V и в соответственно через :
Если провести опирающуюся на контур провода условную перегородку (рис. 71, на котором изображено сечение провода меридиональной плоскостью), то поле тока вне проводника можно будет считать обладающим потенциалом причем потенциал этот будет испытывать на перегородке скачок [см. уравнение (54.4), остающееся, очевидно, справедливым и в произвольной магнитной среде]. Энергия внешнего поля тока выразится при этом формулой
Ввиду того, что получаем на основании уравнения (43):
следовательно, на основании теоремы Гаусса получаем
причем поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по границе объема V, образуемой поверхностью проводника (интеграл по внешней поверхности полного поля равен нулю), и, во-вторых, по обеим сторонам поверхности разрыва потенциала. Последний из этих поверхностных интегралов, очевидно, равен
где есть слагающая В по направлению положительной нормали к (см. рис. 71).
Таким образом,
Предположим теперь для определенности, что пространство вне провода заполнено однородным магнетиком проницаемости тогда как проницаемость проводника равна Предположим, далее, что радиус провода о
весьма мал по сравнению с радиусом образуемой им окружности и рассмотрим участок провода длины I, удовлетворяющий условию Ввиду того, что участок этот можно считать прямолинейным. Так как, кроме того, , то поле внутри провода и в непосредственной близости от его поверхности будет лишь весьма незначительно отличаться от поля бесконечно длинного прямолинейного тока и с достаточной точностью будет определяться формулами,
где есть расстояние рассматриваемой точки поля от оси провода. Таким образом, вне провода на достаточно близком расстоянии от его поверхности поле рассматриваемого нами тока совпадает с полем линейного тока той же силы, сосредоточенного на оси провода. С другой стороны, поле тока должно совпадать с полем линейного тока и на больших расстояниях от поверхности провода на которых распределение тока по сечению провода сказываться не может. Так как любая точка внешнего пространства V удовлетворяет хотя бы одному из этих условий (ввиду того, что либо либо то при определении поля во всем пространстве V мы можем считать ток сосредоточенным на оси провода. Стало быть, входящий в выражение для интеграл должен равняться потоку индукции посылаемому этим линейным круговым током радиуса через концентрическую окружность радиуса образованную пересечением внутренней стороны поверхности провода с плоскостью Следовательно, если обозначить через коэффициент взаимной индукции двух концентрических окружностей радиусов то, согласно уравнению (65.6),
Так как при указанных условиях индукция (и напряженность) магнитного поля у поверхности провода касательна к этой поверхности, то первый член в выражении для равен нулю и, стало быть,
Обращаясь к выражению для и внося в него приведенное выше значение напряженности получим
Итак, общая энергия поля тока равна
откуда на основании (81.8) следует:
Величина является мерой энергии запасенной внутри провода, и может быть названа его «внутренней» самоиндукцией, а величина являющаяся мерой энергии может быть названа «внешней» самоиндукцией провода Обозначая внешнюю и внутреннюю самоиндукции через можем написать На обоих концах проводника внутренний и внешний его цилиндры соединены между собой, так что совокупность обоих цилиндров составляет замкнутую проводящую цепь, по которой циркулирует ток При этом направление тока во внешнем цилиндре, разумеется, обратно направлению его во внутреннем цилиндре. Подобную цепь тока мы будем условно называть здесь и в § 106 и 107 кабелем, хотя термин этот имеет, конечно, более широкое значение.
Если длина кабеля достаточно велика по сравнению с его радиусом, то вблизи средней его части поле протекающего по кабелю тока будет такое же, как и в случае кабеля бесконечной длины. Понятие самоиндукции бесконечного кабеля, разумеется, смысла не имеет, ибо при увеличении длины кабеля общая энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция кабеля растут до бесконечности. Целесообразно, однако, ввести в рассмотрение самоиндукцию единицы длины бесконечного кабеля, понимая под этим меру той доли энергии его поля, которая заключается между двумя перпендикулярными кабелю плоскостями, находящимися на единичном расстоянии друг от друга. Если мы условимся отмечать звездочкой все величины, относящиеся к единице длины кабеля, то по аналогии с уравнением (81.8) можно написать
Наконец, вне цилиндра также равно нулю (ибо по внутренней и по внешней обкладкам кабеля протекают токи равной величины и противоположного направления). Следовательно, энергия приходящаяся на единицу длины кабеля, сосредоточена в пространстве между его обкладками, т. е. в полом цилиндре длины 1, внутренний и внешний радиусы которого равны Итак,
где означает проницаемость среды, заключенной между обкладками кабеля. Сравнивая это с предыдущим уравнением, получим окончательно:
Магнитное поле обладает энергией. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим электрическую цепь, содержащую соленоид, имеющий индуктивность и сопротивление (рис. 6.6). При размыкании ключа К ток не сразу падает до нуля. В течение некоторого времени он продолжает течь, поддерживаемый возникающей в катушке электродвижущей силой самоиндукции, и при этом на сопротивлении выделяется тепло, согласно закону Джоуля–Ленца. Возникает вопрос, за счет каких запасов энергии выделяется тепло, ведь цепь разомкнута, и внешний источник отключен.
При уменьшении тока в цепи уменьшается и индукция магнитного поля. Поэтому можно, по-видимому, говорить об энергии электрического тока или энергии магнитного поля, создаваемого током. В случае постоянных токов нельзя однозначно определить, где локализована эта энергия. Ответ на этот вопрос можно дать, изучая переменные магнитные поля или электромагнитные волны. В электромагнитных волнах переменные магнитные поля могут существовать без токов, их поддерживающих. Так как электромагнитные волны переносят энергию, можно заключить, что энергия сосредоточена в магнитном поле.
Найдем величину энергии магнитного поля. Из закона сохранения энергии следует, что, когда ток прекратится, магнитное поле исчезнет, и вся энергия магнитного поля перейдет в тепловую энергию. Согласно закону Джоуля–Ленца, за малое время на сопротивлении R выделится количество теплоты . По закону Ома ток I равен
С учетом этого равенства выделившееся количество теплоты можно записать в виде:
в этом выражении так как ток убывает, а выделяющаяся теплота . Зависимость магнитного потока от силы тока можно представить графически (рис. 6.7). Очевидно, что количество теплоты, выделившейся за время , равно первоначальному запасу магнитной энергии и определяется площадью треугольника, составленного прямой , прямой и осью . Эта площадь равна . Таким образом, энергия магнитного поля, создаваемого током I в катушке с индуктивностью L , равна
| . |
Сравните выражение для магнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности, с выражением для энергии электрического поля, запасенной в конденсаторе:
Энергия электрического поля в конденсаторе пропорциональна квадрату заряда, энергия магнитного поля, запасенная в катушке индуктивности, пропорциональна квадрату силы тока, то есть зависит от скорости движения зарядов. Напомним, что магнитное поле создается движущимися зарядами.
Работа индукционного тока сопровождается нагреванием проводником за счет энергии магнитного поля, которое не может исчезнуть бесследно. Соленоид, таким образом, служит своеобразным резервуаром энергии, значение которой вычисляется по формуле
Так как магнитное поле внутри соленоида является однородным, то плотность энергии магнитного поля, запасенной в соленоиде, равна энергии, деленной на объем соленоида:
Пример
Определим энергию магнитного поля соленоида. Обычный лабораторный соленоид длиной 10 см , площадью поперечного сечения 75 см 2 и числом витков, намотанных в несколько слоев, равным 3 400, обладает индуктивностью . Сопротивление такого соленоида 50 Ом . При использовании 6-вольтной батарейки установится ток . Запасенная в соленоиде магнитная энергия равна Это небольшая энергия. Однако эта энергия пропорциональна квадрату силы тока и может достигать больших значений. Так, например, в электромагнитах, используемых для исследований, магнитная индукция при максимальном токе составляет обычно от 1 до 1,5 Тл . Магнитная проницаемость железа достигает значений в сотни и тысячи единиц, поэтому в электромагните большая часть энергии сосредоточена в зазоре между полюсами электромагнита. Если объем зазора составляет 0,2 ,то запасенная энергия
/ = 1,8 Дж.
Это уже немалая энергия! Если, без специальных мер предосторожности, быстро разомкнуть цепь электромагнита, то при мгновенная мощность составит Р = 1,8 МВт.
Взаимная индукция
Аналогично, если в контуре 2 течет ток силой , он создает магнитный поток через контур 1:
| . | (6.7) |
Коэффициенты пропорциональности и называют взаимной индуктивностью контуров. Из (6.6) и (6.7) видно, что взаимная индуктивность численно равна магнитному потоку через один из контуров при единичном токе в другом контуре. Коэффициенты и зависят от формы, размеров, взаимного расположения контуров, а также от магнитных свойств среды, окружающей контуры.
Можно показать, что при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты и одинаковы: . Это свойство называется теоремой взаимности. Теорема взаимности позволяет не делать различия между и , а говорить просто о взаимной индуктивности двух контуров. Согласно теореме взаимности, если в контурах текут одинаковые токи, то магнитный поток через контур 1, созданный током в контуре 2, равен магнитному потоку через контур 2, созданному током в контуре 1.
Если контуры неподвижны и ферромагнетиков вблизи них нет, то при изменении силы тока в одном из контуров в другом контуре возникает электродвижущая сила индукции. Это явление называется явлением взаимной индукции. Согласно закону электромагнитной индукции электродвижущие силы индукции, возникающие в контурах 1 и 2, равны соответственно
При данном направлении тока будет зависеть от выбора положительной нормали к поверхности, ограниченной контуром 2. Положительные направления для токов (и электродвижущих сил) в обоих контурах можно выбрать произвольно. При заданном направлении тока направление положительной нормали к поверхности контура определяется правилом правого винта. Если эти направления выбраны, величину нужно считать положительной, когда при положительных токах магнитные потоки взаимной индукции через контуры оказываются также положительными, то есть совпадают по знаку с потоками самоиндукции.
Другими словами, , если при положительных токах в обоих контурах они «подмагничивают» друг друга, в противном случае . В частных случаях можно заранее так установить положительные направления обхода контуров, чтобы получить желательный нам знак величины .
Пример
При отсутствии устойчивого сигнала сотовой связи телефон становится более чувствительным к электромагнитным помехам. Происходит это из-за изменения сигнала вследствие явления взаимоиндукции. Пример такого эффекта – ухудшение приема телефона при приближении к телевизору или радиоприемнику.
6.6. Примеры на применение явления
электромагнитной индукции
