Неравенства с натуральным логарифмом. Решение логарифмических неравенств. Основные формулы для логарифмов

Цели урока:

Дидактические:

• 1 уровень – научить решать простейшие логарифмические неравенства, применяя определение логарифма, свойства логарифмов;
• 2 уровень – решать логарифмические неравенства, выбирая самостоятельно способ решения;
• 3 уровень – уметь применять знания и умения в нестандартных ситуациях.

Развивающие: развивать память, внимание, логическое мышление, навыки сравнения, уметь обобщать и делать выводы

Воспитательные: воспитывать аккуратность, ответственность за выполняемое задание, взаимопомощь.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, частично-поисковый, самоуправления, контроля.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: фронтальный, индивидуальный, работа в парах.

Оборудование: набор тестовых заданий, опорный конспект, чистые листы для решений.

Тип урока: изучение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент. Объявляются тема и цели урока, схема проведения урока: каждому ученику выдается оценочный лист, который ученик заполняет в течении урока; для каждой пары учеников – печатные материалы с заданиями, выполнять задания нужно в парах; чистые листы для решений; опорные листы: определение логарифма; график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств.

Все решения после самооценки сдаются учителю.

Оценочный лист учащегося

2. Актуализация знаний.

Указания учителя. Вспомните определение логарифма, график логарифмической функции и ее свойства. Для этого прочитайте текст на с.88–90, 98–101 учебника “Алгебра и начала анализа 10–11” под редакцией Ш.А Алимова, Ю.М Колягина и др.

Ученикам раздаются листы, на которых записаны: определение логарифма; изображен график логарифмической функции, ее свойства; свойства логарифмов; алгоритм решения логарифмических неравенств, пример решения логарифмического неравенства, сводящегося к квадратному.

3. Изучение нового материала.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Учебный элемент № 1.

Цель: закрепить решение простейших логарифмических неравенств

Форма организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная работа.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут. Для каждого неравенства имеются несколько вариантов ответов, нужно выбрать верный и проверить по ключу.

КЛЮЧ: 13321, максимальное кол-во баллов – 6 б.

Учебный элемент № 2.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, применяя свойства логарифмов.

Указания учителя. Вспомните основные свойства логарифмов. Для этого прочитайте текст учебника на с.92, 103–104.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут.

КЛЮЧ: 2113, максимальное кол-во баллов – 8 б.

Учебный элемент № 3.

Цель: изучить решение логарифмических неравенств методом сведения к квадратному.

Указания учителя: метод сведения неравенства к квадратному состоит в том, что нужно преобразовать неравенство к такому виду, чтобы некоторую логарифмическую функцию обозначить новой переменной, получив при этом квадратное неравенство относительно этой переменной.

Применим метод интервалов.

Вы прошли первый уровень усвоения материала. Теперь вам придется самостоятельно выбрать метод решения логарифмических уравнений, используя все свои знания и возможности.

Учебный элемент № 4.

Цель: закрепить решение логарифмических неравенств, выбрав самостоятельно рациональный способ решения.

Задания для самостоятельной работы на 10 минут

Учебный элемент № 5.

Указания учителя. Молодцы! Вы освоили решение уравнений второго уровня сложности. Целью дальнейшей вашей работы является применение своих знаний и умений в более сложных и нестандартных ситуациях.

Задания для самостоятельного решения:

Указания учителя. Замечательно, если вы справились со всем заданием. Молодцы!

Оценка за весь урок зависит от числа набранных баллов по всем учебным элементам:

• если N ≥ 20, то вы получаете оценку “5”,
• при 16 ≤ N ≤ 19 – оценка “4”,
• при 8 ≤ N ≤ 15 – оценка “3”,
• при N < 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оценочные лисы сдать учителю.

5. Домашнее задание: если вы набрали не более 15 б – выполните работу над ошибками (решения можно взять у учителя), если вы набрали более 15 б – выполните творческое задание по теме “Логарифмические неравенства”.

При изучении логарифмической функции мы рассматривали в основном неравенства вида
log а х < b и log а х ≥ b. Рассмотрим решение более сложных логарифмических неравенств. Обычным способом решения таких неравенств является переход от данного неравенства к более простому неравенству или системе неравенств, которая имеет то же самое множество решений.

Решить неравенство lg (х + 1) ≤ 2 (1).

Решение .

1) Правая часть рассматриваемого неравенства смысл имеет при всех значенияхх, а левая часть – при х + 1 > 0, т.е. при х > -1.

2) Промежуток х > -1 называют областью определения неравенства (1). Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, следовательно, при условии х + 1 > 0 неравенство (1) выполняется, если х + 1 ≤ 100 (так как 2 = lg 100). Таким образом, неравенство (1) и система неравенств

{х > -1, (2)
{х + 1 ≤ 100,

равносильны, иными словами, множество решений неравенства (1) и системы неравенств (2) одно и то же.

3) Решая систему (2), находим -1 < х ≤ 99.

Ответ. -1 < х ≤ 99.

Решить неравенство log 2 (х – 3) + log 2 (х – 2) ≤ 1 (3).

Решение.

1) Областью определения рассматриваемой логарифмической функции является множество положительных значений аргумента, поэтому левая часть неравенства смысл имеет при х – 3 > 0 и х – 2 > 0.

Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3.

2) По свойствам логарифма неравенство (3) при х > 3 равносильно неравенству log 2 (х – 3)(х – 2) ≤ log 2 (4).

3) Логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если (х – 3)(х – 2) ≤ 2.

4) Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств

{(х – 3)(х – 2) ≤ 2,
{х > 3.

Решая первое неравенство этой системы, получаем х 2 – 5х + 4 ≤ 0, откуда 1 ≤ х ≤ 4. Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3, получаем 3 < х ≤ 4.

Ответ. 3 < х ≤ 4.

Решить неравенство log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ -4. (5)

Решение.

1) Область определения неравенства находим из условия х 2 + 2х – 8 > 0.

2) Неравенство (5) можно записать в виде:

log 1/2 (х 2 + 2х – 8) ≥ log 1/2 16.

3) Так как логарифмическая функция с основанием ½ убывающая, то для всех х из всей области определения неравенства получаем:

х 2 + 2х – 8 ≤ 16.

Таким образом, исходное равенство (5) равносильно системе неравенств

{х 2 + 2х – 8 > 0, или {х 2 + 2х – 8 > 0,
{х 2 + 2х – 8 ≤ 16, {х 2 + 2х – 24 ≤ 0.

Решая первое квадратное неравенство, получаем х < -4, х > 2. Решая второе квадратное неравенство, получаем -6 ≤ х ≤ 4. Следовательно, оба неравенства системы выполняются одновременно при -6 ≤ х < -4 и при 2 < х ≤ 4.

Ответ. -6 ≤ х < -4; 2 < х ≤ 4.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Решая логарифмические неравенства, мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Также мы используем определение логарифма и основные логарифмические формулы.

Давайте повторим, что такое логарифмы:

Логарифм положительного числа по основанию - это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

При этом

Основное логарифмическое тождество:

Основные формулы для логарифмов:

(Логарифм произведения равен сумме логарифмов)

(Логарифм частного равен разности логарифмов)

(Формула для логарифма степени)

Формула перехода к новому основанию:

Алгоритм решения логарифмических неравенств

Можно сказать, что логарифмические неравенства решаются по определенному алгоритму. Нам нужно записать область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Привести неравенство к виду Знак здесь может быть любой: Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились логарифмы по одному и тому же основанию.

И после этого «отбрасываем» логарифмы! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что знак неравенства меняется на противоположный.

Конечно, мы не просто «отбрасываем» логарифмы. Мы пользуемся свойством монотонности логарифмической функции. Если основание логарифма больше единицы, логарифмическая функция монотонно возрастает, и тогда большему значению х соответствует большее значение выражения .

Если основание больше нуля и меньше единицы, логарифмическая функция монотонно убывает. Большему значению аргумента х будет соответствовать меньшее значение

Важное замечание: лучше всего записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

Перейдем к практике. Как всегда, начнем с самых простых неравенств.

1. Рассмотрим неравенство log 3 x > log 3 5.
Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы x был положительным. Условие x > 0 называется областью допустимых значений (ОДЗ) данного неравенства. Только при таких x неравенство имеет смысл.

Что ж, эта формулировка лихо звучит и легко запоминается. Но почему мы все-таки можем это сделать?

Мы люди, мы обладаем интеллектом. Наш разум устроен так, что все логичное, понятное, имеющее внутреннюю структуру запоминается и применяется намного лучше, чем случайные и не связанные между собой факты. Вот почему важно не механически вызубрить правила, как дрессированная собачка-математик, а действовать осознанно.

Так почему же мы все-таки «отбрасываем логарифмы»?

Ответ простой: если основание больше единицы (как в нашем случае), логарифмическая функция монотонно возрастает, значит, большему значению x соответствует большее значение y и из неравенства log 3 x 1 > log 3 x 2 следует, что x 1 > x 2 .


Обратите внимание, мы перешли к алгебраическому неравенству, и знак неравенства при этом - сохраняется.

Итак, x > 5.

Следующее логарифмическое неравенство тоже простое.

2. log 5 (15 + 3x) > log 5 2x

Начнём с области допустимых значений. Логарифмы определены только для положительных чисел, поэтому

Решая эту систему, получим: x > 0.

Теперь от логарифмического неравенства перейдем к алгебраическому - «отбросим» логарифмы. Поскольку основание логарифма больше единицы, знак неравенства при этом сохраняется.

15 + 3x > 2x.

Получаем: x > −15.

Ответ: x > 0.

А что же будет, если основание логарифма меньше единицы? Легко догадаться, что в этом случае при переходе к алгебраическому неравенству знак неравенства будет меняться.

Приведем пример.

Запишем ОДЗ. Выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительно, то есть

Решая эту систему, получим: x > 4,5.

Поскольку , логарифмическая функция с основанием монотонно убывает. А это значит, что большему значению функции отвечает меньшее значение аргумента:


И если , то
2x − 9 ≤ x.

Получим, что x ≤ 9.

Учитывая, что x > 4,5, запишем ответ:

В следующей задаче показательное неравенство сводится к квадратному. Так что тему «квадратные неравенства» рекомендуем повторить.

Теперь более сложные неравенства:

4. Решите неравенство

5. Решите неравенство

Если , то . Нам повезло! Мы знаем, что основание логарифма больше единицы для всех значений х, входящих в ОДЗ.

Сделаем замену

Обратите внимание, что сначала мы полностью решаем неравенство относительно новой переменной t. И только после этого возвращаемся к переменной x. Запомните это и не ошибайтесь на экзамене!

Запомним правило: если в уравнении или неравенстве присутствуют корни, дроби или логарифмы - решение надо начинать с области допустимых значений. Поскольку основание логарифма должно быть положительно и не равно единице, получим систему условий:

Упростим эту систему:

Это область допустимых значений неравенства.

Мы видим, что переменная содержится в основании логарифма. Перейдем к постоянному основанию. Напомним, что

В данном случае удобно перейти к основанию 4.

Сделаем замену

Упростим неравенство и решим его методом интервалов:

Вернемся к переменной x :

Мы добавили условие x > 0 (из ОДЗ).

7. Следующая задача тоже решается с помощью метода интервалов

Как всегда, решение логарифмического неравенства начинаем с области допустимых значений. В данном случае

Это условие обязательно должно выполняться, и к нему мы вернемся. Рассмотрим пока само неравенство. Запишем левую часть как логарифм по основанию 3:

Правую часть тоже можно записать как логарифм по основанию 3, а затем перейти к алгебраическому неравенству:

Видим, что условие (то есть ОДЗ) теперь выполняется автоматически. Что ж, это упрощает решение неравенства.

Решаем неравенство методом интервалов:

Ответ:

Получилось? Что же, повышаем уровень сложности:

8. Решите неравенство:

Неравенство равносильно системе:

9. Решите неравенство:

Выражение 5 -x 2 навязчиво повторяется в условии задачи. А это значит, что можно сделать замену:

Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, t > 0. Тогда

Неравенство примет вид:

Уже лучше. Найдем область допустимых значений неравенства. Мы уже сказали, что t > 0. Кроме того, (t − 3) (5 9 · t − 1) > 0

Если это условие выполнено, то и частное будет положительным.

А еще выражение под логарифмом в правой части неравенства должно быть положительно, то есть (625t − 2) 2 .

Это означает, что 625t − 2 ≠ 0, то есть

Аккуратно запишем ОДЗ

и решим получившуюся систему, применяя метод интервалов.

Итак,

Ну что ж, полдела сделано - разобрались с ОДЗ. Решаем само неравенство. Сумму логарифмов в левой части представим как логарифм произведения.