Edukativni istraživački rad o matematičkoj logici. Istraživački rad „Metode rješavanja logičkih problema. Predloženi zadaci za Jedinstveni državni ispit
MINISTARSTVO OBRAZOVANJA
REPUBLIKA BELORUSIJA
Minsk region Borisov okrug
Državna obrazovna ustanova
"Okružna gimnazija Loshnitsa"
Istraživanja
matematike
Karpovič Ana Igorevna, učenica 11. razreda,
Meleh Aleksej Vladimirovič, učenik 9. razreda,
Demidchik Artyom Alekseevich, učenik 9. razreda
Supervizor:
Yakimenko Ivan Viktorovič, nastavnik matematike
Lošnica, 2006-2008
Uvod 3
Relevantnost odabrane teme 3
Pregled literature na temu 4
Formiranje pojmova 4
Stepen razvijenosti problema 4
Predmet proučavanja 5
Predmet studija 5
Postavljanje ciljeva 5
Postavljanje ciljeva 5
Glavni dio 6
Empirijska osnova studije 6
Opis istraživačkih puteva i metoda 6
1. Proučavanje bibliografije 6
2. Proba i greška 6
3. Varijacija 7
Rezultati istraživanja 8
Pouzdanost dobijenih rezultata 8
Zaključak 9
Rezimirajući. Zaključci 9
Praktični značaj dobijenih rezultata 9
Naučna novina dobijenih rezultata 9
Prijave 10
Dodatak 1. Klasifikacija logičkih igara 10
Dodatak 2. Pravila igre “Dozen” 10
Dodatak 3. Pravila igre “Devil's Dozen” 10
Dodatak 4. Klasifikacija figura u igri “Deset” 11
Dodatak 5. Dodatni dijelovi igre “Dozen” 12
Dodatak 6. Figure iz igre “Devil's Dozen” 17
Literatura 18
Uvod
Relevantnost odabrane teme
Nijedno dijete, od prvačića do maturanta, nikada nije odbilo da se samo igra, pogotovo umjesto ili tokom časa.Za to vam nije potrebna nikakva posebna oprema, samo list za svesku i olovka. Školske igre se lako igraju, uvijek imaju završetak i garantuju sva tri ishoda: pobjedu, poraz, neriješeno.
Međutim, većina igara koje školarci igraju odavno su poznate, pa stoga proučavane i nezanimljive. Na primjer, dva jaka igrača nikada neće izgubiti jedan od drugog u tic-tac-toe. Ovaj „vakum igre“ neminovno vodi ka potrazi za novitetom u jednom od sljedećih pravaca:
- u pravilima igre ry (“Tic Tac Toe” do pet),
- u veličini igrališta(bezdimenzionalni „uglovi“),
- u broju igrača(crossover "Battleship").
U tom smislu, smatramo relevantnim izmišljanje, testiranje i istraživanje novih igara za školarce.
Relevantnost istraživačke teme potvrđuje neograničeno interesovanje za šarade, rebuse i zagonetke, koje učenicima služe kao poligon za testiranje svojih sposobnosti u rješavanju problema i zadataka bilo koje složenosti. Drugim riječima, razvijajući logiku, učimo da preživimo.
Gottfried-Wilhelm Leibniz je u pismu svom kolegi naveo: „...čak i igre, kako one koje zahtijevaju spretnost, tako i one zasnovane na slučaju, pružaju ogroman materijal za naučna proučavanja. Štaviše, najobičnija dječja zabava mogla bi privući pažnju najvećeg matematičara.”(, str. 19-20).
I konačno, proganjale su nas lovorike Ernea Rubika, izumitelja najpoznatije (i najkomercijalnije!) slagalice - Rubikove kocke.
Tokom prethodne godine kreirali smo igru „Dozen“ (vidi. Dodatak 2). Rad na igrici nastavljen je i ove godine s ciljem usavršavanja, istraživanja kombinacija igara i razvoja novih opcija igre.
Pregled literature na tu temu
Formiranje pojmova
Logika. 1. Nauka o zakonima mišljenja i njegovim oblicima. 2. Tok rasuđivanja, zaključci. 3. Razumnost, unutrašnja pravilnost.(, str.167)Igra. Raditi nešto što služi za zabavu, opuštanje ili učestvovanje na takmičenjima u nečemu.(, str.127)
Već pri prvom poređenju upada u oči nedosljednost ova dva pojma, pa čak i fraza "logičke igre" generalno izgleda kao verbalna glupost.
Na osnovu gornjih definicija, logička igra se može smatrati kao aktivnost za zabavu i razvoj mišljenja.
U ovom radu će se koristiti sljedeći termini:
"igra papira" je igra za dva ili više igrača koja koristi komad papira i olovku.
Ispod "kompjuterska igra" razumjet ćemo papirnu ili drugu logičku igru za koju postoji ili može biti kreirana kompjuterska verzija.
Termin "igra inventara" se shvata kao igra koja zahteva dodatnu, posebno napravljenu opremu.
"Matematička igra"- igra koja zahtijeva matematičko znanje iz različitih grana algebre ili geometrije.
"Pobednička strategija" se tumači u uobičajenom smislu, odnosno kao način igranja igre koja neminovno vodi do pobjede.
"Ishod igre"- kraj igre. Postoje tri moguća ishoda igre: pobjeda, poraz, remi.
Stepen razvijenosti problema
Proučavajući literaturu o problematici koja se proučava, uočili smo da se, po dolasku matematičarima u oči, svaka činjenica, zavisnost, pojava odmah mjeri, izračunava, klasifikuje i tako dalje."Problem kraljice"(, str. 100) je detaljno opisan u teoriji i za n=8 ima dokazano 92 rješenja (ibid.).
Drevna matematička zabava "Bashe's Game", "Jianshizi" I "nim" se općenito nazivaju igrama, „čija je teorija razvijena potpuno potpuno” (str. 59).
Međutim, u proučavanim izvorima nije bilo ni spomena tako poznate igre kao što je "tačke".
Široko rasprostranjen problem popunjavanja šahovskog polja potezom šahovskog viteza (, str. 104) razmatra se i za polje nxn i za polje mxn. Međutim, u literaturi problem ima samo jednu varijaciju za skraćeno polje 9x9 bez uglova (, str. 20), što znači da može imati druge, neistražene početne uslove.
Pitanje da li postoje rješenja za "Magični kvadrati" bilo koje veličine i dalje ostaje otvoren (, str.25, , str.89).
Dakle, proučavanje u literaturi logičkih igara, zadataka domišljatosti, igračkih i zabavnih zadataka ne iscrpljuje čitavu raznolikost uslova i rješenja, što znači stepen razvijenosti problema može se definisati kao nedovoljan.
Predmet proučavanja
Predmet studije je obrazovni I kreativna interesovanja učenika 8-11 razredi.Predmet studija
Predmet istraživanja je igra koju su kreirali autori "tucet" i njen nastavak - igra "Baker's tucet".Postavljanje ciljeva
Svrha ove studije je razvoj, testiranje i proučavanje novih logičkih igara.Postavljanje ciljeva
Realizacija ovog cilja zahtijeva rješavanje sljedećih konkretnih zadataka:
Proučite literaturu na temu od interesa.
Razvrstaj pobjedničke ishode igre (komade).
Poboljšajte i proširite vlastitu igru.
Pojasnite relevantnost i potražnju kreiranih igara.
Formulirajte preporuke za kreiranje igara.
Glavni dio
Empirijska osnova studije
Empirijska osnova našeg istraživanja su rezultati nakon testiranja igre "tucet".Ovo uključuje i brojne rukom pisane verzije same igre, koje su testirali autori i ispitanici, te mini-turnir koji se održava u okviru sedmice egzaktnih nauka.
Opis istraživačkih puteva i metoda
Tokom rada korišćene su sledeće metode:1. Proučavanje bibliografije
U ovoj fazi, proučavajući literaturu o temi od interesa (uglavnom knjige o zabavnoj matematici), tražili smo logičke igre i klasifikovali ih prema određenim kriterijumima. (vidi Dodatak 3).Ispostavilo se da nijedna od igara nije specifična, tj. ne može se odnositi samo na jednu vrstu.
Na primjer, igra "Pentamino"(, str. 13) sastoji se od upotrebe bilo kojih pentomino figura (ravne figure sastavljene od pet jednakih kvadrata) da se formira velika figura - kvadrat, pravougaonik, itd. Na kockasti papir crtamo pentomino - igra papira, izrezujemo ih iz kartona - igra inventara. Ali nama je ova igra više poznata kao nastavak kompjuterske igre. "tetris" – "Pentix".
Osim toga, još jednom smo se uvjerili da su sve igre u jednoj ili drugoj mjeri edukativne i razvijaju misaone sposobnosti igrača.
2. Proba i greška
Ukratko opišite pravila igre "tucet" Pobjeđuje onaj ko prvi dobije jedan od unaprijed dogovorenih komada (vidjeti dodatke 2,4,5).Na prvi pogled, s ovakvim pravilima igra ne može imati neriješeno ishodište, jer samo jedan igrač povlači konačni potez i jednostavno je nemoguće ne izvući barem jednu figuru sa takvom raznolikošću. Međutim, oba igrača treba da imaju jednake šanse, pa im dozvolimo da naprave jednak broj poteza i onda mogu "obojica da pobede".
Podsjetimo da je igra dobila ime po broju rizika koji čine dobitnu cifru.
Razvoj teme bila je kompjuterska interpretacija. Igra ima tri elektronske verzije: jednu u MicroSoft Wordu i dvije u MicroSoft Excelu. Da bi igrao "Tucet", potrebno je da prilagodite Office interfejs, za šta je zgodno kreirati novi radni panel.
3. Varijacija
Metoda varijacije sastoji se od igranja (prolaženja, promišljanja) različitih opcija za situaciju. Varijacija je rad logičkog mišljenja. U našem slučaju to je:Formuliranje najlakših i najbrže pamtljivih pravila igre,
Određivanje optimalnih veličina polja,
Povećanje broja mogućih figura.
Pokušavajući da se postavimo na mjesto lidera ili autsajdera, tražili smo izlaze iz trenutne pozicije na terenu. Najvažnija stvar u ovom radu bila je potraga za mogućim pobednička strategija, jer ako se tako nešto nađe, nakon nekog vremena naša igra će postati isto tako hackasta kao i ostale.
Polje za igru je skup rizika:
Horizontalno – 6x7=42,
Vertikalni – 6x7=42,
Dijagonala – 2x36=72,
Ukupno – 2x42+72=156.
Elementarni proračun - 156:12 = 13 pokazuje da se na terenu istovremeno može konstruisati 13 figura koje se sastoje od potrebnih 12 bodova. Višestrukost ukupnog broja rizika na broj 13 postala je prvi trag za promjenu pravila igre.
^ Opća uputstva Sljedeće izmjene pravila su varirale:
zabrana crtanja druge dijagonale (znatno ubrzava igru i pruža dodatne prilike za remi);
zabrana korišćenja tuđih rizika (čini igru previše „transparentnom“ za protivnika);
promjena veličine polja (povećanje je imalo negativan efekat; smanjenjem se gube neke osnovne brojke);
dodatak osnovnom setu pobjedničkih komada (asimetrični, nekonveksni poligoni, otvorene figure);
povećanje broja oznaka u osnovnim ciframa .
Rezultati istraživanja
Upravo su posljednja dva pravca varijacije dala najviše ohrabrujućih rezultata. Prvo, raznolikost rezultirajućih figura bila je tolika da je za njih morala biti izmišljena posebna klasifikacija (vidi. Dodatak 4). Štoviše, većina figura dobivenih prema pravilima igre su nekonveksni osnosimetrični poligoni.Drugo, prelazak na asimetrične figure, osjetili smo hitna potreba dodajte još jedan rizik brojkama! Sa dodavanjem 13. oznake postalo je teško postići simetriju. To je igru učinilo još uzbudljivijom. Naziv nove igre pojavio se sam po sebi: „Bakerova tuceta».
Istraživanje modernizirane igre vjerovatno će dovesti do značajnih promjena pravila. Na primjer, ako dozvolite različite figure na terenu, u jednoj igri možete "zaraditi" onoliko bodova koliko pobjednička figura sadrži rizike. Za komade različitih oblika(pogledajte Klasifikacija) također možete unijeti bonus bodove, itd.
Pouzdanost dobijenih rezultata
Pouzdanost rezultata istraživanja osiguravaju:
praktična potvrda osnovnih odredbi studije (stvorena igra je ogroman prostor za istraživanje za školarce bilo koje dobi);
pažljiva obrada podataka dobijenih tokom studije (prilikom promjene pravila igre uzimaju se u obzir svi opći pravci promjene ishoda igre i pobjedničke strategije).
Zaključak
Rezimirajući. zaključci
Igra „Deset„može se koristiti u izučavanju matematike na svim nivoima obrazovanja.
Igra „Bakerova tuceta“je nastavak, logičan razvoj igre „Deset».
„Bakerova tuceta» u potpunosti ispunjava zahtjeve postavljene prilikom postavljanja ciljeva.
Tema zahtijeva razvoj u formi proučavanja logičkih igara.
Praktični značaj dobijenih rezultata
Modernizirana igra ima praktičnu vrijednostKako edukativno sredstvo Za:
Matematičari (razvijanje logičkog mišljenja, poznavanje geometrijskih likova).
Informatičari (upoznavanje sa programima MicroSoft Office, veštine miša, rad sa Office clipboard-om).
Osnovci i srednjoškolci (modernizacija igara u sklopu istraživačkog rada).
Igrači svih uzrasta (takmičenja, turniri).
Naučna novina dobijenih rezultata
Originalna igra "12" i modernizovana igra "13", prema rečima autora, menadžera i ispitanika, nemaju analoga i intelektualno su vlasništvo njihovih programera.Prijave
Dodatak 1. Klasifikacija logičkih igara
Inventar
Papir
Obrazovni (matematički)
Lingvistički
Računar
Dodatak 2. Pravila igre “Dozen”
Igra "Dozen" ("Dvanaest") namijenjena je školarcima od 6-16 godina.Zadatak igrača je da nacrta unaprijed dogovorenu figuru koja se sastoji od 12 linija ispred protivnika. Da biste dobili figuru, možete koristiti i svoj i rizik koji je izvukao vaš protivnik.
Dodatak 3. Pravila igre “Devil's Dozen”
Igra "Devil's Dozen" ("Trinaest") namijenjena je školarcima od 10-17 godina.Polje za igru je kvadrat 6x6. Dvoje ljudi igraju. Potez se smatra crtanjem jedne od 4 linije: horizontalne strane ćelije, vertikalne strane ćelije ili bilo koje dijagonale ćelije. Pokret se može napraviti samo iz već izvučenog rizika. Dijagonalne oznake se mogu ukrštati.
Zadatak igrača je da nacrta unaprijed dogovorenu figuru koja se sastoji od 13 linija ispred protivnika. Da biste dobili figuru, možete koristiti i svoj i rizik koji je izvukao vaš protivnik.
Bonusom se smatra prijem novog komada (po obostranom dogovoru igrača).
Dodatak 4. Klasifikacija figura u igri “Deset”
Po simetriji:1) aksijalna simetrija:
bočna simetrija (os simetrije ide duž strane ćelije);
dijagonalna simetrija (os simetrije ide duž dijagonale ćelije);
sekundarni (os simetrije prolazi unutar ćelije).
3) univerzalna simetrija (bočna, dijagonalna i centralna istovremeno);
4) asimetrija.
Po konveksnosti:
konveksan;
nekonveksan.
geometrijske figure;
animirani objekti;
neživih predmeta.
Dodatak 5. Dodatni dijelovi igre “Dozen”
srce
kratke hlače
vuk
bumerang
leptir
swift
Dodatak 6. Figure iz igre “Devil's Dozen”
zmija
vuk
jež
avion
Književnost
Barabanov E.A. i drugi Međunarodno matematičko takmičenje “Kengur” u Bjelorusiji - Mn.: NVO “Bel. vanr. “Konkurencija”, 2005. – 96 str.; ill.
Bakhankov A.E.; Objašnjavajući rečnik ruskog jezika. Mn.: NVO „Bel. vanr. “Konkurencija”, 2006. – 416 str.
Bondareva L.A. i sl.; zadataka sa zvjezdicom. Mn.: NVO „Bel. vanr. “Konkurencija”, 2006. – 159 str.
Germanovich P.Yu.; Zbirka zadataka iz matematike za inteligenciju. M.: “Učpedgiz”, 1960. – 224 str.
Domoryad A.P.; Matematičke igre i zabava. M.: Državna izdavačka kuća fizičke i matematičke literature, 1961. – 264 str.
Zhikalkina T.K.; Igrovi i zabavni zadaci iz matematike, 2. razred. M.: “Prosvjeta”, 1987. – 62 str.
Kordemsky B.A.; Eseji o matematičkim problemima za domišljatost. M.: “Učpedgiz”, 1958. – 116 str.
Leman Johannes, prijevod s njemačkog Danilov; Ch. urednik L.A. Erlykin. Fascinantna matematika. M.: Izdavačka kuća “Znanje”, 1985. - 270 str.
Lehman Johannes; urednik E.K. Vakulina; 2x2 = šala. M.: “Prosvjeta” 1974. – 192 str.
Minskin E.M.; Od igre do znanja: Razvojne i edukativne igre za osnovce. M.: Prosveta, 1982. - 192 str.; ill.
Mikhailova Z.A.; urednik: L.G. Fronina. Igra zabavni zadaci za predškolsku djecu; M.: “Prosvjeta”, 1990. – 95 str.
Petrakov I.S.; Matematički klubovi 8-10 razreda; M.: Obrazovanje, 1987. – 224 str.
Repkin V.V.; Obrazovni rečnik ruskog jezika. M.: Infoline, 1999. – 656 str.: ilustr.
Sobolevsky R.F.; Logičke i matematičke igre. Mn., “Nar. Asveta“, 1977. – 96 str.
Ed. Hinn O.G.; Istražujem svijet: Dječija enciklopedija: Matematika / M.: DOO "Firma Publishing House AST", 1999. - 480 str.
Da biste vidjeli ovu PDF datoteku s formatiranjem i oznakama, preuzmite je i otvorite na svom računalu.
Ministarstvo obrazovanja Orenburške oblasti
Državna autonomna stručna obrazovna ustanova
"Orsk mašinski fakultet"
Orsk, oblast Orenburg
Istraživanja
matematike
«
MATEMATIKA BEZ
FORMULE, JEDNAČINE I
NEJEDNAKOSTI
»
Pripremljeno
:
Thorik Ekaterina
,
grupni student
15LP
Supervizor:
Marchenko O.V.
.,
nastavnik matematike
matiki
Matematika
–
ovo je poseban svijet u kojem formule igraju vodeću ulogu,
simboli i geometrijski objekti. U istraživanju
odlučili smo
saznajte što se događa ako uklonite formule, jednadžbe i
nejednakost?
Relevantnost ove studije je u tome
iz godine u godinu
Izgubio interesovanje za matematiku. Ne vole matematiku, posebno zato što
-
za formule.
U ovom
U svom radu želimo ne samo pokazati ljepotu matematike, već i
prevazilaženje novih ideja o „suhoti“ u glavama učenika,
formalni karakter, izolovanost ove nauke od života i prakse.
Svrha rada: dokazati da će matematika ostati potpuna
napredna nauka, sa
ovo je zanimljivo i višestruko, ako uklonite formule, jednadžbe i
nejednakosti.
Ciljevi posla:
pokaži tog matematičara
A
bez formula, jednadžbi i
nejednakosti
je kompletna nauka
; sprovesti anketu
oboje
cha
Yu
radni; studija
informativni
e izvori; upoznati se sa glavnim rješenjima
logički problemi.
Pod pretpostavkom da su matematičke formule
-
samo pogodan jezik
predstaviti ideje i metode matematike, onda se te ideje mogu opisati,
koristeći poznate i vizuelne slike iz
život u okruženju.
Predmet našeg istraživanja bile su metode za rješavanje matematičkih
problemi bez formula, jednačina i nejednačina.
Naši studenti su zamoljeni da odgovore na pitanje: šta
šta će se dogoditi s matematikom ako su formule, jednačine i ostalo
jednakost?
odabirom jednog odgovora između sljedećih opcija:
a) ostat će brojevi, brojevi, slova b) ostat će samo teorija
c) teoreme i dokazi će ostati d) grafovi će ostati
e) matematika će postati književnost g) ništa neće ostati
Rezultati ovoga
anketa je pokazala da je većina učenika samouvjerena i bez
formule, jednačine i nejednačine, matematika će postati književnost. Odlučili smo
opovrgnuti ovo mišljenje. Bez formula, jednačina i nejednačina u matematici, u
prije svega, postojat će logički zadaci koji
e najčešće čine
većinu zadataka na matematičkoj olimpijadi. Raznolikost logičkog
zadaci su veoma veliki. Postoji i mnogo načina za njihovo rješavanje. Ali najveći
Postali su rašireni: metoda zaključivanja, metoda tablica, metoda
grafovi, krugovi Hej
Lera, blok metoda
-
sheme
Metoda rasuđivanja
najprimitivniji način. Na ovaj način
rješavaju se najjednostavniji logički problemi. Njegova ideja je da mi
izvršiti rasuđivanje koristeći sekcesivno sve uslove problema, i
dolazimo do zaključka da
će biti odgovor na problem.
Na ovaj način
obično rješavaju jednostavne logičke probleme.
Glavna tehnika koja se koristi pri rješavanju logike teksta
zadaci je
građevinski stolovi
. Tablice ne samo da vam omogućavaju da jasno
trenutno stanje h
problema ili njen odgovor, ali oni dosta pomažu
donose ispravne logičke zaključke prilikom rješavanja problema.
Metod grafa.
Graf
-
to je skup objekata sa vezama između njih.
Objekti su predstavljeni kao vrhovi ili čvorovi grafa (označeni su
To
naočare) i veze
-
poput lukova ili rebara. Ako je veza jednosmjerna
označeno na dijagramu linijama sa strelicama, ako je veza između objekata
dvostrano je na dijagramu označeno linijama bez strelica.
Metoda Eulerovog kruga.
U rješavanju se koriste Ojlerovi dijagrami
velika grupa logičkih problema. Uobičajeno, svi ovi zadaci se mogu podijeliti u tri
tip. U problemima prvog tipa potrebno je simbolički izraziti mnoge
gestovi,
osenčen na Ojlerovim dijagramima pomoću znaka
ki operacija raskrsnice,
kombinacije i dodaci.
U problemima drugog tipa, Ojlerovi dijagrami
koriste se za analizu situacija vezanih za definiciju klase. Treći tip
problemi za koje se koriste Ojlerovi dijagrami,
-
zadaci za
logički račun.
Blok metoda
-
sheme
.
Ova vrsta logičkog rješavanja problema
uključeno u kurs
podučavanje učenika opšteobrazovnih ustanova kursu informatike.
Programiranje na jeziku
Pascal
.
Pored logičkih problema iz matematike,
ory riješiti jednostavno
matematičke probleme morate raditi apsurdne stvari koje idu dalje
ra
ograničenja naše logike, našeg razmišljanja.
Apsurdno
–
iz matematike i logike,
znači šta
-
tada element nema značenje unutar datog
teorije,
sistemi ili
polja, fundamentalno nekompatibilna s njima, iako element
što je u ovom sistemu apsurdno
može imati smisla na drugi način.
U matematici se sofizmi (vještina, vještina) svrstavaju u posebnu grupu.
-
kompleksan zaključak, koji je, ipak, nakon površnog ispitivanja
izgleda ispravno.
Bez formula u matematici može nastati situacija gdje
drugi može
postoji u stvarnosti, ali nema logično objašnjenje. Takva situacija
naziva paradoksom. Pojava paradoksa nije nešto
-
To
nepravilno, neočekivano, slučajno u istoriji razvoja nauke
razmišljanje. Njihova pojava je signalizirana
govori o potrebi revizije prethodnog
teorijske ideje, iznošenje adekvatnijih koncepata, principa
i metode istraživanja.
Svijet nauke kao što je matematika nije ograničen samo na rješavanje
posebne vrste zadataka. Pored svih poteškoća,
ima nesto lepo i zanimljivo,
ponekad čak i smešno. Matematički humor, kao i matematički svijet,
sofisticiran i poseban.
Dakle, bez formula, jednačina i nejednačina, matematika će ostati
puna nauka, istovremeno zanimljiva i višestruka.
Bibliografska lista.
Agafonova, I. G. Učenje razmišljanja: zabavni logički zadaci,
testovi i vježbe za djecu. Tutorial [Tex] /
I. G. Agafonova
SPb.
IKF MiM
–
ekspresno, 1996.
–
Balayan E.N. 1001 olimpijada i zabavni zadaci
i po
matematike
[Tex]
/ E.N. Balayan.
-
3
-
e ed.
-
Rostov n/d: Phoenix, 2008.
-
Farkov, A.V. Matematičke olimpijade u školi. 5
-
11. razred.
[Tex]/
A. V. Farkov.
-
8
-
e ed., rev. i dodatne
-
M.: Iris
-
štampa, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
Turnir nazvan po M. V. Lomonosova (Moskva)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Priloženi fajlovi
Uvod. 3
1. Matematička logika (besmislena logika) i logika „zdravog razuma“ 4
2. Matematički sudovi i zaključci. 6
3. Matematička logika i “zdrav razum” u 21. vijeku. jedanaest
4. Neprirodna logika u osnovama matematike. 12
Zaključak. 17
Reference… 18
Širenje područja logičkih interesovanja povezano je sa opštim trendovima u razvoju naučnih saznanja. Dakle, pojava matematičke logike sredinom 19. veka bila je rezultat viševekovnih težnji matematičara i logičara da izgrade univerzalni simbolički jezik, oslobođen „nedostataka“ prirodnog jezika (prvenstveno njegove polisemije, tj. polisemije). .
Dalji razvoj logike povezan je sa kombinovanom upotrebom klasične i matematičke logike u primenjenim oblastima. Neklasične logike (deontička, relevantna, pravna logika, logika odlučivanja, itd.) često se bave neizvjesnošću i nejasnošću objekata koji se proučavaju, sa nelinearnom prirodom njihovog razvoja. Dakle, kada se analiziraju prilično složeni problemi u sistemima veštačke inteligencije, javlja se problem sinergije između različitih tipova zaključivanja pri rešavanju istog problema. Izgledi za razvoj logike u skladu sa konvergencijom sa informatikom povezani su sa stvaranjem određene hijerarhije mogućih modela rezonovanja, uključujući rasuđivanje na prirodnom jeziku, uvjerljivo zaključivanje i formalizirane deduktivne zaključke. Ovo se može riješiti korištenjem klasične, matematičke i neklasične logike. Dakle, ne govorimo o različitim „logikama“, već o različitim stepenima formalizacije mišljenja i „dimenziji“ logičkih značenja (dvovrednosna, viševrednosna itd. logika).
Identifikacija glavnih pravaca moderne logike:
1. opšta ili klasična logika;
2. simbolička ili matematička logika;
3. neklasična logika.
Matematička logika je prilično nejasan koncept, zbog činjenice da postoji i beskonačno mnogo matematičkih logika. Ovdje ćemo raspravljati o nekima od njih, odajući više počast tradiciji nego zdravom razumu. Jer, vrlo je moguće da je to zdrav razum... Logično?
Matematička logika vas uči logičkom rasuđivanju ništa više od bilo koje druge grane matematike. To je zbog činjenice da je “logičnost” zaključivanja u logici određena samom logikom i može se ispravno koristiti samo u samoj logici. U životu, kada logično razmišljamo, po pravilu koristimo različite logike i različite metode logičkog zaključivanja, besramno miješajući dedukciju s indukcijom... Štaviše, u životu svoje razmišljanje gradimo na kontradiktornim premisama, na primjer, „Don ne odlažite do sutra ono što možete učiniti danas” i “Nasmejaćete ljude u žurbi.” Često se dešava da logičan zaključak koji nam se ne sviđa dovede do revizije početnih premisa (aksioma).
Možda je došlo vrijeme da se kaže o logici, možda najvažnijoj stvari: klasična logika se ne bavi značenjem. Ni zdrav ni bilo koji drugi! Usput, za proučavanje zdravog razuma postoji psihijatrija. Ali u psihijatriji je logika prilično štetna.
Naravno, kada razlikujemo logiku od smisla, prije svega mislimo na klasičnu logiku i svakodnevno razumijevanje zdravog razuma. U matematici nema zabranjenih pravaca, stoga je proučavanje značenja putem logike, i obrnuto, u različitim oblicima prisutno u nizu modernih grana logičke nauke.
(Posljednja rečenica je dobro funkcionirala, iako neću pokušavati ni približno definirati pojam “logičke nauke”). Značenjem, ili semantikom ako hoćete, bavi se, na primjer, teorija modela. I općenito, termin semantika se često zamjenjuje terminom interpretacija. A ako se složimo sa filozofima da je interpretacija (prikaz!) objekta njegovo poimanje u nekom datom aspektu, onda granične sfere matematike, koje se mogu koristiti za napad na smisao u logici, postaju neshvatljive!
U praktičnom smislu, teorijsko programiranje je prisiljeno da se zainteresuje za semantiku. A u njemu, osim samo semantike, ima i operativnog, i denotacijskog, i proceduralnog, itd. i tako dalje. semantika...
Spomenimo samo apoteozu - TEORIJU KATEGORIJA, koja je semantiku dovela do formalne, nejasne sintakse, u kojoj je značenje već tako jednostavno - izloženu po policama da je običnom smrtniku potpuno nemoguće doći do dna. to... Ovo je za elitu.
Dakle, šta logika radi? Barem u svom najklasičnijem dijelu? Logika radi samo ono što radi. (I ona to definiše izuzetno striktno). Glavna stvar u logici je da se to striktno definiše! Postavite aksiomatiku. A onda bi logični zaključci trebali biti (!) uglavnom automatski...
Obrazloženje o ovim zaključcima je druga stvar! Ali ovi argumenti su već izvan granica logike! Stoga im je potreban strogi matematički smisao!
Može se činiti da se radi o jednostavnom verbalnom balansiranju. NE! Kao primjer određenog logičkog (aksiomatskog) sistema, uzmimo dobro poznatu igru 15. Postavimo (pomiješamo) početni raspored kvadratnih žetona. Tada se igrom (logičan zaključak!), a konkretno premještanjem žetona na prazan prostor, može upravljati nekim mehaničkim uređajem, a vi strpljivo možete gledati i radovati se kada se kao rezultat mogućih pokreta pojavi niz od 1 do 15 se formira u kutiji, ali niko ne zabranjuje kontrolisanje mehaničkog uređaja i podsticanje, NA OSNOVU ZDRAVOG RAZUMA, pravilnim pokretima čipova kako bi se proces ubrzao. Ili možda čak i dokazati, koristeći za logičko rasuđivanje, na primjer, granu matematike kao što je KOMBINATORIKA, da je sa datim početnim rasporedom čipova uopće nemoguće dobiti traženu konačnu kombinaciju!
Nema više zdravog razuma u onom dijelu logike koji se zove LOGIČKA ALGEBRA. Ovdje se uvode LOGIČKE OPERACIJE i definiraju njihova svojstva. Kao što je praksa pokazala, u nekim slučajevima zakoni ove algebre mogu odgovarati logici života, ali u drugima ne. Zbog takve nedosljednosti, zakoni logike se ne mogu smatrati zakonima sa stanovišta životne prakse. Njihovo znanje i mehanička upotreba mogu ne samo pomoći, već i naškoditi. Posebno psiholozi i advokati. Situacija je komplicirana činjenicom da, uz zakone algebre logike, koji ponekad odgovaraju ili ne odgovaraju životnom rasuđivanju, postoje logički zakoni koje neki logičari kategorički ne prepoznaju. Ovo se prvenstveno odnosi na takozvane zakone ISKLJUČIVOG TREĆE i KONTRADIKCIJE.
2. Matematički sudovi i zaključci
U mišljenju se pojmovi ne pojavljuju odvojeno, oni su međusobno povezani na određeni način. Oblik međusobnog povezivanja pojmova je sud. U svakom sudu uspostavlja se neka veza ili neki odnos između pojmova, čime se potvrđuje postojanje veze ili odnosa između objekata obuhvaćenih odgovarajućim pojmovima. Ako sudovi ispravno odražavaju ove objektivno postojeće zavisnosti između stvari, tada takve prosudbe nazivamo istinitim, inače će sudovi biti lažni. Tako, na primjer, tvrdnja “svaki romb je paralelogram” je istinita; tvrdnja "svaki paralelogram je romb" je lažna tvrdnja.
Dakle, sud je oblik mišljenja koji odražava prisustvo ili odsustvo samog objekta (prisustvo ili odsustvo bilo koje njegove karakteristike i veze).
Misliti znači donositi presude. Uz pomoć sudova, misao i koncept dobijaju svoj dalji razvoj.
Budući da svaki koncept odražava određenu klasu predmeta, pojava ili odnosa između njih, svaki se sud može smatrati uključivanjem ili neuključivanjem (djelimično ili potpuno) jednog pojma u klasu drugog pojma. Na primjer, propozicija “svaki kvadrat je romb” ukazuje na to da je koncept “kvadrat” uključen u koncept “romb”; propozicija “prave koje se seku nisu paralelne” ukazuje na to da prave koje se seku ne pripadaju skupu pravih koji se nazivaju paralelne.
Presuda ima svoju jezičku ljusku – rečenicu, ali nije svaka rečenica presuda.
Karakteristična karakteristika presude je obavezno prisustvo istine ili neistine u rečenici koja to izražava.
Na primjer, rečenica “trougao ABC je jednakokračan” izražava neki sud; rečenica "Hoće li ABC biti jednakokraka?" ne izražava sud.
Svaka nauka u suštini predstavlja određeni sistem sudova o objektima koji su predmet njenog proučavanja. Svaki od sudova je formaliziran u obliku određenog prijedloga, izraženog terminima i simbolima svojstvenim ovoj nauci. Matematika takođe predstavlja određeni sistem sudova izraženih u matematičkim rečenicama kroz matematičke ili logičke termine ili njihove odgovarajuće simbole. Matematički pojmovi (ili simboli) označavaju one koncepte koji čine sadržaj matematičke teorije, logički termini (ili simboli) označavaju logičke operacije uz pomoć kojih se iz nekih matematičkih propozicija konstruišu drugi matematički iskazi, iz nekih sudova formiraju se drugi sudovi. , čija cjelina čini matematiku kao nauku.
Uopšteno govoreći, sudovi se formiraju u razmišljanju na dva glavna načina: direktno i indirektno. U prvom slučaju, rezultat percepcije se izražava uz pomoć suda, na primjer, "ova figura je krug". U drugom slučaju, rasuđivanje nastaje kao rezultat posebne mentalne aktivnosti koja se naziva zaključivanje. Na primjer, „skup datih tačaka na ravni je takav da je njihova udaljenost od jedne tačke ista; To znači da je ova figura krug.”
U procesu ove mentalne aktivnosti obično se vrši prijelaz sa jednog ili više međusobno povezanih sudova na novi sud, koji sadrži nova saznanja o predmetu proučavanja. Ovaj prelaz je zaključak, koji predstavlja najviši oblik mišljenja.
Dakle, zaključak je proces dobijanja novog zaključka iz jedne ili više datih presuda. Na primjer, dijagonala paralelograma dijeli ga na dva podudarna trokuta (prva tvrdnja).
Zbir unutrašnjih uglova trougla je 2d (druga tvrdnja).
Zbir unutrašnjih uglova paralelograma jednak je 4d (novi zaključak).
Kognitivna vrijednost matematičkih zaključaka je izuzetno velika. Oni proširuju granice našeg znanja o predmetima i pojavama stvarnog svijeta zbog činjenice da je većina matematičkih tvrdnji zaključak iz relativno malog broja osnovnih sudova, koji se po pravilu dobijaju neposrednim iskustvom i koji odražavaju naše najjednostavnije i najopćenitije znanje o svojim objektima.
Zaključak se razlikuje (kao oblik mišljenja) od pojmova i sudova po tome što je logička operacija nad pojedinačnim mislima.
Ne čini svaka kombinacija sudova među sobom zaključak: između sudova mora postojati određena logička veza, koja odražava objektivnu vezu koja postoji u stvarnosti.
Na primjer, ne može se izvući zaključak iz tvrdnji “zbir unutrašnjih uglova trougla je 2d” i “2*2=4”.
Jasno je kakav značaj u sistemu našeg matematičkog znanja ima sposobnost pravilnog konstruisanja različitih matematičkih rečenica ili izvođenja zaključaka u procesu zaključivanja. Govorni jezik je slabo prikladan za izražavanje određenih sudova, a još manje za identifikaciju logičke strukture rasuđivanja. Stoga je prirodno da je postojala potreba da se poboljša jezik koji se koristi u procesu zaključivanja. Matematički (tačnije, simbolički) jezik pokazao se najpogodnijim za to. Posebna oblast nauke koja je nastala u 19. veku, matematička logika, ne samo da je u potpunosti rešila problem stvaranja teorije matematičkog dokaza, već je imala i veliki uticaj na razvoj matematike u celini.
Formalna logika (koja je nastala u antičko doba u djelima Aristotela) se ne poistovjećuje sa matematičkom logikom (koja je nastala u 19. stoljeću u djelima engleskog matematičara J. Boolea). Predmet formalne logike je proučavanje zakona odnosa sudova i pojmova u zaključcima i pravilima dokaza. Matematička logika se razlikuje od formalne logike po tome što, na osnovu osnovnih zakona formalne logike, istražuje obrasce logičkih procesa zasnovanih na upotrebi matematičkih metoda: „Logičke veze koje postoje između sudova, pojmova itd. izražavaju se u formule čije je tumačenje oslobođeno nejasnoća koje bi lako mogle proizaći iz verbalnog izražavanja. Dakle, matematičku logiku karakterizira formalizacija logičkih operacija, potpunija apstrakcija od specifičnog sadržaja rečenica (izražavanje bilo kakvog suda).
Ilustrirajmo to jednim primjerom. Razmotrite sljedeći zaključak: “Ako su sve biljke crvene i svi psi su biljke, onda su svi psi crveni.”
Svaka od presuda koja se ovdje koristi i presuda koju smo dobili kao rezultat suzdržanog zaključivanja izgleda kao očita besmislica. Međutim, sa stanovišta matematičke logike, ovdje je riječ o istinitoj rečenici, budući da u matematičkoj logici istinitost ili neistinitost zaključka ovisi samo o istinitosti ili neistinitosti njegovih sastavnih premisa, a ne o njihovom specifičnom sadržaju. Dakle, ako je jedan od osnovnih koncepata formalne logike sud, onda je analogni koncept matematičke logike koncept iskaza-iskaza, za koji jedino ima smisla reći da li je istinit ili lažan. Ne treba misliti da svaku izjavu karakteriše nedostatak „zdravog razuma“ u svom sadržaju. Samo što smisleni dio rečenice koji čini ovu ili onu tvrdnju bledi u pozadinu u matematičkoj logici i nije bitan za logičku konstrukciju ili analizu ovog ili onog zaključka. (Iako je, naravno, bitno za razumijevanje sadržaja onoga o čemu se raspravlja kada se razmatra ovo pitanje.)
Jasno je da se u samoj matematici razmatraju smisleni iskazi. Uspostavljanjem različitih veza i odnosa između pojmova, matematički sudovi potvrđuju ili poriču bilo kakve odnose između objekata i pojava stvarnosti.
3. Matematička logika i “zdrav razum” u 21. vijeku.
Logika nije samo čisto matematička, već i filozofska nauka. U 20. stoljeću pokazalo se da su ove dvije međusobno povezane hipostaze logike razdvojene u različitim smjerovima. S jedne strane, logika se shvaća kao nauka o zakonima ispravnog mišljenja, a s druge strane predstavlja se kao skup labavo povezanih umjetnih jezika, koji se nazivaju formalni logički sistemi.
Za mnoge je očigledno da je mišljenje složen proces uz pomoć kojeg se rješavaju svakodnevni, naučni ili filozofski problemi i rađaju briljantne ideje ili fatalne zablude. Jezik mnogi shvataju jednostavno kao sredstvo kojim se rezultati mišljenja mogu preneti savremenicima ili ostaviti potomcima. Ali, povezujući u svojoj svijesti razmišljanje s konceptom „procesa“, a jezik sa pojmom „sredstva“, mi u suštini prestajemo da primjećujemo nepromjenjivu činjenicu da u ovom slučaju „sredstvo“ nije u potpunosti podređeno „procesu“ , ali u zavisnosti od našeg ciljanog ili nesvjesnog odabira određenih ili verbalnih klišea ima snažan utjecaj na tok i rezultat samog „procesa“. Štaviše, ima mnogo slučajeva u kojima se takav „obrnuti uticaj“ pokaže ne samo kao prepreka ispravnom razmišljanju, već ponekad čak i kao razarač.
Sa filozofske tačke gledišta, zadatak postavljen u okviru logičkog pozitivizma nikada nije završen. Konkretno, u svojim kasnijim studijama, jedan od osnivača ovog trenda, Ludwig Wittgenstein, došao je do zaključka da se prirodni jezik ne može reformisati u skladu sa programom koji su razvili pozitivisti. Čak je i jezik matematike u cjelini odolio snažnom pritisku „logičnosti“, iako su mnogi termini i strukture jezika koje su predložili pozitivisti ušli u neke dijelove diskretne matematike i značajno ih dopunili. Popularnost logičkog pozitivizma kao filozofskog pravca u drugoj polovini 20. stoljeća primjetno je opala – mnogi filozofi su došli do zaključka da je odbacivanje mnogih „nelogičnosti“ prirodnog jezika, pokušaj da se on ugura u okvire temeljnih principa. logičkog pozitivizma podrazumijeva dehumanizaciju procesa spoznaje, a ujedno i dehumanizaciju ljudske kulture u cjelini.
Mnoge metode zaključivanja koje se koriste u prirodnom jeziku često je vrlo teško nedvosmisleno preslikati u jezik matematičke logike. U nekim slučajevima, takvo preslikavanje dovodi do značajnog izobličenja suštine prirodnog zaključivanja. I ima razloga vjerovati da su ovi problemi posljedica inicijalnog metodološkog stava analitičke filozofije i pozitivizma o nelogičnosti prirodnog jezika i potrebi njegove radikalne reforme. Vrlo originalna metodološka postavka pozitivizma također ne podnosi kritiku. Optužiti govorni jezik da je nelogičan jednostavno je apsurdno. Naime, nelogičnost ne karakteriše sam jezik, ali mnogi korisnici ovog jezika koji jednostavno ne znaju ili ne žele da se služe logikom i tu manu kompenzuju psihološkim ili retoričkim tehnikama uticaja na javnost, ili u svom rasuđivanju koriste kao logika sistem koji se logikom naziva samo nesporazumom. Istovremeno, postoji mnogo ljudi čiji se govor odlikuje jasnoćom i logikom, a ove kvalitete nisu određene poznavanjem ili nepoznavanjem osnova matematičke logike.
U rasuđivanju onih koji se mogu svrstati u zakonodavce ili sljedbenike formalnog jezika matematičke logike, često se otkriva svojevrsna “sljepoća” u odnosu na elementarne logičke greške. Jedan od velikih matematičara, Henri Poincaré, skrenuo je pažnju na ovo sljepilo u fundamentalnim djelima G. Cantora, D. Hilberta, B. Russela, J. Peana i drugih početkom našeg vijeka.
Jedan primjer takvog nelogičnog pristupa rasuđivanju je formulacija poznatog Raselovog paradoksa, u kojem su dva čisto heterogena koncepta "element" i "skup" neopravdano pobrkani. U mnogim modernim radovima iz logike i matematike, u kojima je primjetan uticaj Hilbertovog programa, mnoge izjave koje su jasno apsurdne sa stanovišta prirodne logike nisu objašnjene. Odnos između “elementa” i “skupa” je najjednostavniji primjer ove vrste. Mnogi radovi u ovom pravcu tvrde da određeni skup (nazovimo ga A) može biti element drugog skupa (nazovimo ga B).
Na primjer, u poznatom priručniku o matematičkoj logici naći ćemo sljedeću frazu: „Skupovi sami po sebi mogu biti elementi skupova, tako da, na primjer, skup svih skupova cijelih brojeva ima skupove kao svoje elemente.“ Imajte na umu da ova izjava nije samo odricanje od odgovornosti. On je sadržan kao „skriveni“ aksiom u formalnoj teoriji skupova, koju mnogi stručnjaci smatraju osnovom moderne matematike, kao i u formalnom sistemu koji je matematičar K. Gödel izgradio dokazujući svoju čuvenu teoremu o nepotpunosti formalnih sistema. Ova teorema se odnosi na prilično usku klasu formalnih sistema (oni uključuju formalnu teoriju skupova i formalnu aritmetiku), čija logička struktura očigledno ne odgovara logičkoj strukturi prirodnog zaključivanja i opravdanja.
Međutim, više od pola vijeka bio je predmet žučne rasprave među logičarima i filozofima u kontekstu opšte teorije znanja. Uz tako široku generalizaciju ove teoreme, ispada da su mnogi elementarni koncepti u osnovi nespoznatljivi. Ali s trezvenijim pristupom, ispada da je Gödelova teorema samo pokazala nedosljednost programa formalnog opravdanja matematike koji je predložio D. Hilbert i koji su prihvatili mnogi matematičari, logičari i filozofi. Širi metodološki aspekt Gödelove teoreme teško se može smatrati prihvatljivim dok se ne odgovori na sljedeće pitanje: da li je Hilbertov program za opravdanje matematike jedini mogući? Da bismo razumjeli dvosmislenost tvrdnje „skup A je element skupa B“, dovoljno je postaviti jednostavno pitanje: „Od kojih elemenata je skup B formiran u ovom slučaju?“ Sa stanovišta prirodne logike moguća su samo dva međusobno isključiva objašnjenja. Objašnjenje prvo. Elementi skupa B su imena nekih skupova i, posebno, naziv ili oznaka skupa A. Na primjer, skup svih parnih brojeva sadržan je kao element u skupu svih imena (ili oznaka) skupova koji se razlikuju po nekim karakteristikama od skupa svih cijelih brojeva. Da damo jasniji primjer: skup svih žirafa sadržan je kao element u skupu svih poznatih životinjskih vrsta. U širem kontekstu, skup B se također može formirati iz konceptualnih definicija skupova ili referenci na skupove. Objašnjenje drugo. Elementi skupa B su elementi nekih drugih skupova i, posebno, svi elementi skupa A. Na primjer, svaki paran broj je element skupa svih cijelih brojeva, ili je svaka žirafa element skupa skup svih životinja. Ali onda se ispostavi da u oba slučaja izraz „skup A je element skupa B“ nema smisla. U prvom slučaju ispada da element skupa B nije sam skup A, već njegovo ime (ili oznaka, ili referenca na njega). U ovom slučaju se implicitno uspostavlja odnos ekvivalencije između skupa i njegove oznake, što nije neprihvatljivo ni sa stanovišta običnog zdravog razuma, ni sa stanovišta matematičke intuicije, što je nespojivo sa preteranim formalizmom. U drugom slučaju ispada da je skup A uključen u skup B, tj. je njegov podskup, ali nije element. I ovdje postoji očigledna zamjena pojmova, budući da relacija uključivanja skupova i relacija pripadnosti (kao element skupa) u matematici imaju fundamentalno različita značenja. Raselov čuveni paradoks, koji je potkopao poverenje logičara u koncept skupa, zasniva se na ovom apsurdu – paradoks se zasniva na dvosmislenoj premisi da skup može biti element drugog skupa.
Moguće je i drugo moguće objašnjenje. Neka je skup A definiran jednostavnim nabrajanjem njegovih elemenata, na primjer, A = (a, b). Skup B se, pak, specificira nabrajanjem nekih skupova, na primjer, B = ((a, b), (a, c)). U ovom slučaju, čini se očiglednim da element B nije ime skupa A, već sam skup A, ali čak i u ovom slučaju, elementi skupa A nisu elementi skupa B, već skupa A se ovdje smatra neodvojivom zbirkom, koja se može zamijeniti njenim imenom. Ali ako bismo sve elemente skupova sadržanih u njemu smatrali elementima B, tada bi u ovom slučaju skup B bio jednak skupu (a, b, c), a skup A u ovom slučaju ne bi bio element B, ali njegov podskup. Tako se ispostavlja da se ova verzija objašnjenja, ovisno o našem izboru, svodi na prethodno navedene opcije. A ako se ne ponudi izbor, onda nastaje elementarna dvosmislenost, koja često dovodi do „neobjašnjivih“ paradoksa.
Na ove terminološke nijanse bilo bi moguće ne obraćati posebnu pažnju da nije jedna okolnost. Ispostavilo se da su mnogi paradoksi i nedosljednosti moderne logike i diskretne matematike direktna posljedica ili imitacija ove dvosmislenosti.
Na primjer, u modernom matematičkom zaključivanju često se koristi koncept "samoprimjenjivosti", koji leži u osnovi Raselovog paradoksa. U formulaciji ovog paradoksa, samoprimjenjivost implicira postojanje skupova koji su sami elementi. Ova izjava odmah dovodi do paradoksa. Ako uzmemo u obzir skup svih "nesamoprimenljivih" skupova, ispada da je on i "samoprimenljiv" i "nesamoprimenljiv".
Matematička logika je mnogo doprinela brzom razvoju informacionih tehnologija u 20. veku, ali koncept „suda“ koji se pojavio u logici još u Aristotelovo vreme i na kome, kao temelj, počiva logička osnova prirodnog jezika. , ispao iz vidnog polja. Takav propust nimalo nije doprinio razvoju logičke kulture u društvu, čak je kod mnogih stvorio iluziju da kompjuteri ne mogu razmišljati ništa gore od samih ljudi. Mnogima nije ni neugodno što su u pozadini sveopće kompjuterizacije uoči trećeg milenijuma logični apsurdi unutar same nauke (da ne spominjemo politiku, zakonodavstvo i pseudonauku) još češći nego na kraju 19. stoljeća. . A da bi se razumjela suština ovih apsurda, nema potrebe da se okrećemo složenim matematičkim strukturama s relacijama na više mjesta i rekurzivnim funkcijama koje se koriste u matematičkoj logici. Ispada da je za razumijevanje i analizu ovih apsurda sasvim dovoljno primijeniti mnogo jednostavniju matematičku strukturu prosuđivanja, koja ne samo da nije u suprotnosti s matematičkim osnovama moderne logike, već ih na neki način dopunjuje i proširuje.
Bibliografija
1. Vasiliev N. A. Imaginarna logika. Odabrani radovi. - M.: Nauka. 1989; - str. 94-123.
2. Kulik B.A. Osnovni principi filozofije zdravog razuma (kognitivni aspekt) // Artificial Intelligence News, 1996, br. 3, str. 7-92.
3. Kulik B.A. Logički temelji zdravog razuma / Uredio D.A. Pospelov. - Sankt Peterburg, Politehnika, 1997. 131 str.
4. Kulik B.A. Logika zdravog razuma. - Zdrav razum, 1997, br. 1(5), str. 44 - 48.
5. Styazhkin N. I. Formiranje matematičke logike. M.: Nauka, 1967.
6. Solovjev A. Diskretna matematika bez formula. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja je jednostavno. Koristite obrazac ispod
Studenti, postdiplomci, mladi naučnici koji koriste bazu znanja u svom studiranju i radu biće vam veoma zahvalni.
Objavljeno na http://www.allbest.ru/
DIPLOMSKI RAD
Tema diplomskog rada
“Upotreba elemenata matematičke logike na časovima matematike u osnovnoj školi”
matematička logika elementarna
Uvod
Poglavlje 1. Teorijske osnove za izučavanje elemenata matematičke logike u osnovnoj školi
1.1 Razumijevanje logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica
1.2 Proučavanje logike kao grane matematike
1.3 Logičko zaključivanje
Zaključci za Poglavlje 1
Poglavlje 2. Upotreba elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi
2.1 Upotreba elemenata logike u početnom kursu matematike
2.2 Psihološko-pedagoške osnove korištenja elemenata matematičke logike prema obrazovnom kompleksu „Perspektivna osnovna škola“
2.3 Sistem zadataka za razvijanje koncepta „elemenata matematičke logike“ među učenicima po završetku osnovne škole
Zaključci o poglavlju 2
Zaključak
Bibliografija
Prijave
Uvod
Trenutno, zemlja aktivno traži načine za poboljšanje matematičkog obrazovanja. Na osnovu Federalnog državnog obrazovnog standarda novog opšteg obrazovanja, učenici osnovnih škola moraju se pridržavati uslova za rezultate savladavanja osnovnog obrazovnog programa osnovnog opšteg obrazovanja iz predmeta matematika:
1) koristi osnovna matematička znanja za opisivanje i objašnjenje okolnih objekata, procesa, pojava, kao i za procenu njihovih kvantitativnih i prostornih odnosa;
2) ovlada osnovama logičkog i algoritamskog mišljenja, prostorne imaginacije i matematičkog govora, merenja, preračunavanja, procene i evaluacije, vizuelnog predstavljanja podataka i procesa, snimanja i izvođenja algoritama;
3) biti sposoban da izvodi usmene i pismene računske operacije sa brojevima i numeričkim izrazima, rješava riječne zadatke, umije da djeluje u skladu sa algoritmom i gradi jednostavne algoritme, istražuje, prepoznaje i prikazuje geometrijske oblike, radi sa tabelama, dijagramima, grafikonima i dijagrame, lance, agregate, prezentirati, analizirati i interpretirati podatke.
Danas je matematičko obrazovanje dio srednjoškolskog obrazovnog sistema i ujedno svojevrsna samostalna faza obrazovanja. Novi sadržaj matematičkog obrazovanja usmjeren je uglavnom na formiranje kulture i samostalnosti mišljenja mlađih školaraca, elemente obrazovne aktivnosti matematičkim sredstvima i metodama. Tokom obuke djeca moraju naučiti opšte metode djelovanja, provođenje korak-po-korak kontrole i samoevaluacije izvršenih aktivnosti kako bi se utvrdila usklađenost svojih akcija sa predviđenim planom.
Zato nije slučajno što se u programima matematike posebna pažnja poklanja formiranju algoritamskih, logičkih i kombinatornih linija, koje se razvijaju u procesu proučavanja aritmetičkih, algebarskih i geometrijskih dijelova programa.
U djelima matematičara A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva i drugi ističu temeljna pitanja unapređenja školskog matematičkog obrazovanja, posebno pitanja koja se odnose na jačanje logičke osnove školskog predmeta, uključujući elemente matematičke logike u njemu.
U posljednjoj deceniji, kada je škola ušla u proces modernizacije, u praksu uvode novi standardi, tehnologije, metode i različita nastavna sredstva, pitanje kontinuiteta u obrazovanju između osnovnog i osnovnog nivoa postaje najvažnije. Prisustvo kompleta udžbenika je važna komponenta kontinuiteta između ovih nivoa. Prema A.A. Stolyar „potreban je mentalni, logičan program koji bi trebao biti implementiran u osnovnim i srednjim razredima škole“.
Istraživanje psihologa i nastavnika V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Davidova, N.M. Skatkina i drugi pokazuju da je pod određenim uslovima moguće postići ne samo visok nivo znanja, vještina i sposobnosti, već i opći razvoj. U tradicionalnoj nastavi razvoj se pojavljuje kao poželjan, ali daleko od predvidivog proizvoda učenja.
Prema našem mišljenju, u psihološko-metodičkoj literaturi problem formiranja elemenata matematičke logike kod učenika djelimično se razmatra u odnosu na nastavu matematike u srednjoj školi.
Dakle, brojčani skup, počevši od prvih razreda opšteobrazovne škole, predstavlja laboratoriju u kojoj se kod učenika može jasnije razvijati veštine rasuđivanja koje su osnova za utvrđivanje istinitosti ili neistinitosti određenog pristupa, tj. posebna formulacija problema. Postavlja se pitanje: „Da li je takav zadatak glavni cilj procesa nastave matematike u školi i koliki se udio ovog problema javlja u osnovnoj školi?“ Odgovor na ovo pitanje može se dobiti tek nakon detaljne analize programa i udžbenika matematike za I-IV razred.
Aktuelnost problema je unapređenje sadržaja nastave matematike u osnovnim razredima kako bi se kod mlađih školaraca formirali elementi matematičke logike.
Svrha studije razmotriti proučavanje elemenata matematičke logike u okviru predmeta matematike u nastavi matematike u 1-4 razredu i razviti nastavno-metodička sredstva za njegovu implementaciju.
Predmet proučavanja- proces izučavanja elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi.
Stavka- metode i sredstva formiranja elemenata matematičke logike kod učenika 1-4 razreda.
Istraživačka hipoteza je da je moguće organizovati proces nastave matematike kojim ćemo, uz pripremu matematičkih znanja i vještina, svjesno i sistematski razvijati logičke vještine.
Za postizanje cilja i implementaciju hipoteze identifikovano je sljedeće: ciljevi istraživanja:
1. Dati pojam logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica;
2. Proučavati logiku kao nauku i granu matematike;
3. Saznajte šta je logičko rasuđivanje i dajte njegove definicije;
4. Analizirati obrazovne standarde, nastavne planove i programe i postojeće školske udžbenike iz matematike sa stanovišta logičkog razvoja učenika;
5. Utvrditi psihološke, pedagoške i metodičke osnove za formiranje elemenata matematičke logike kod djece u procesu nastave matematike u osnovnoj školi;
6. Provesti eksperimentalnu studiju za testiranje efikasnosti razvijenih metoda u osnovnoj školi.
Teorijsku i metodološku osnovu studije činili su: osnovni principi dijalektičko-materijalističke filozofije i na njihovoj osnovi razvijena doktrina lično-aktivnog pristupa učenju (A.S. Vigotski, A.N. Leontijev, S.L. Rubinštajn, itd.); polazišta teorije razvojnog učenja (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya, itd.); fundamentalne ideje metodoloških matematičara (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).
Poglavlje 1. Teorijske osnove za izučavanje elemenata matematičke logike u osnovnoj školi
1.1 Razumijevanje logičke strukture matematičkih pojmova i rečenica
Prilikom izučavanja matematike u školi potrebno je savladati određeni sistem pojmova, tvrdnji i dokaza, ali da bi se savladao ovaj sistem i potom uspješno primjenjivala stečena znanja i vještine, podučavajući mlađe školarce i rješavajući problem njihovog razvoja primjenom matematike. , morate razumjeti koje su karakteristike matematičkih pojmova, kako su strukturirane definicije, rečenice koje izražavaju svojstva pojmova i dokazi.
Profesoru osnovne škole takvo znanje je potrebno jer on prvi uvodi djecu u svijet matematičkog znanja, a od toga koliko će to kompetentno i uspješno raditi zavisi njegov odnos prema budućem učenju matematike.
Proučavanje ovog materijala povezano je sa ovladavanjem teoretskim jezikom skupova, koji će se koristiti ne samo pri razmatranju logičke strukture matematičkih pojmova, propozicija i dokaza, već i pri konstruisanju čitavog kursa.
Koncepti koji se uče u uvodnom kursu matematike obično su predstavljeni u četiri grupe. Prvi uključuje pojmove vezane za brojeve i operacije nad njima: broj, zbrajanje, pojam, veći itd. Ovo uključuje algebarske koncepte: izraz, jednakost, jednačinu, itd. Treću grupu čine geometrijski pojmovi: prava linija, segment, trougao itd. Četvrtu grupu čine pojmovi koji se odnose na veličine i njihovo mjerenje.
Za proučavanje takvog obilja vrlo različitih koncepata, potrebno je imati ideju o konceptu kao logičkoj kategoriji i karakteristikama matematičkih koncepata.
U logici se pojmovi smatraju oblikom mišljenja koji odražava objekte (predmete ili pojave) u njihovim bitnim i općim svojstvima. Jezički oblik pojma je riječ ili grupa riječi.
Misliti o nekom objektu znači biti u stanju razlikovati ga od drugih sličnih objekata. Matematički koncepti imaju niz karakteristika. Glavna stvar je da matematički objekti u odnosu na koje se formiraju koncepti zapravo ne postoje. Sve matematičke objekte stvara ljudski um. Idealno za objekte koji odražavaju stvarne objekte ili pojave.
Na primjer, u geometriji proučavaju oblik i veličinu objekata ne uzimajući u obzir druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Oni su od svega toga odvučeni, apstrahovani. Stoga se u geometriji umjesto riječi “objekat” kaže “geometrijska figura”.
Rezultat apstrakcije su takvi matematički koncepti kao što su "broj" i "veličina".
Općenito, matematički objekti postoje samo u ljudskom mišljenju i u onim znakovima i simbolima koji formiraju matematički jezik.
Proučavajući prostorne oblike i kvantitativne odnose materijalnog svijeta, matematika ne koristi samo različite tehnike apstrakcije, već i sama apstrakcija djeluje kao višestepeni proces.
Pojava u matematici novih pojmova, a samim tim i novih pojmova koji označavaju ove pojmove, pretpostavlja njihovu definiciju.
Definicija je obično rečenica koja objašnjava suštinu novog pojma (ili oznake). U pravilu se to radi na osnovu prethodno uvedenih koncepata.
Pošto je definicija pojma kroz rod i specifičnu razliku u suštini uslovni dogovor da se uvede novi termin ili zameni bilo koji skup poznatih pojmova, ne može se reći o definiciji da li je tačna ili netačna; nije ni dokazano ni opovrgnuto. Ali kada formuliraju definicije, oni se pridržavaju brojnih pravila:
· Određivanje mora biti proporcionalno. To znači da se obim definisanih i definisanih pojmova mora podudarati. Ovo pravilo proizilazi iz činjenice da su definisani i definisani koncepti međusobno zamenljivi;
· U definiciji (ili njihovom sistemu) ne bi trebalo biti začaranog kruga. To znači da ne možete definirati pojam kroz sebe (pojam koji definira ne bi trebao sadržavati pojam koji se definira) ili ga definirati kroz drugi, koji, pak, kroz njega definira. Zato što u matematici ne razmatraju samo pojedinačne koncepte. A njihov sistem, onda ovo pravilo zabranjuje začarani krug u sistemu definicija;
· Definicija mora biti jasna. Ovo na prvi pogled nije očigledno pravilo, ali mnogo znači. Prije svega, potrebno je da značenje pojmova uključenih u definitivni koncept bude poznato do trenutka uvođenja definicije novog pojma. Uslovi za jasnoću definicije takođe uključuju preporuku da se u specifičnu razliku uključi samo onoliko svojstava koliko je neophodno i dovoljno da se definisani objekti izoluju iz opsega generičkog koncepta.
Prilikom izučavanja matematike u osnovnoj školi rijetko se koriste definicije kroz razlikovanje rodova i vrsta. Postoji mnogo koncepata u početnom kursu matematike.
Prilikom izučavanja matematike u osnovnoj školi najčešće se koriste tzv. implicitne definicije. U njihovoj strukturi nemoguće je razlikovati određeno i određujuće. Među njima se razlikuju kontekstualni i ostenzivni.
U kontekstualnim definicijama, sadržaj novog pojma otkriva se kroz odlomak teksta, kroz kontekst, kroz analizu konkretne situacije. Opisivanje značenja uvedenog pojma. Kroz kontekst se uspostavlja veza između definiranog pojma i drugih poznatih pojmova, a time se indirektno otkriva njegov sadržaj. Primjer kontekstualne definicije bi bila definicija jednadžbe i njenog rješenja.
Ostenzivne definicije su definicije demonstracijom. Koriste se za uvođenje pojmova demonstriranjem objekata na koje se termini odnose. Na primjer, na ovaj način se u osnovnoj školi mogu definirati pojmovi jednakosti i nejednakosti.
Proučavanje stvarnih procesa, matematički opisi, koriste se kao prirodni verbalni jezik i simboličko značenje. Opisi se grade pomoću rečenica. Ali da bi matematičko znanje bilo tačan, adekvatan odraz stvarnosti koja nas okružuje, ovi prijedlozi moraju biti istiniti. Svaku matematičku tezu karakterizira sadržaj i logička forma (struktura), a sadržaj je neraskidivo povezan s formom, te je prvu nemoguće razumjeti bez razumijevanja druge.
1) Broj 12 je paran;
Vidimo da se rečenice koje se koriste u matematici mogu pisati i na prirodnom (ruskom) jeziku i na matematičkom jeziku, koristeći simbole. Za rečenice 1,4,5 i 6 možemo reći da nose istinite informacije, a za rečenicu 2 - lažne. Što se tiče rečenice x +5 = 8, generalno je nemoguće reći da li je tačna ili netačna. Gledanje na rečenicu sa stanovišta da li je istinita ili netačna dovelo je do koncepta iskaza.
1.2 Proučavanje logike kao grane matematike
Logika je jedna od najstarijih nauka. Trenutno nije moguće tačno utvrditi ko se, kada i gdje prvi put obratio onim aspektima mišljenja koji čine predmet logike. Kako ističe Ivin A.A. , neki od porijekla logičkog učenja mogu se naći u Indiji, na kraju 2. milenijuma prije Krista. međutim, ako govorimo o nastanku logike kao nauke, odnosno o manje-više sistematizovanom korpusu znanja, onda bi bilo pošteno smatrati veliku civilizaciju antičke Grčke rodnom grudom logike. Bilo je ovdje u 5. - 4. vijeku prije nove ere. U periodu naglog razvoja demokratije i povezanog neviđenog oživljavanja društveno-političkog života, temelje ove nauke postavili su radovi Demokrita, Platona i Sokrata. Predak, "otac" logike, s pravom se smatra najvećim misliocem antike. Platonov učenik je Aristotel (384-322 pne). Upravo je on u svojim radovima, objedinjenim pod opštim nazivom „Organon“ (oruđe spoznaje), prvi put temeljito analizirao i opisao osnovne logičke forme i pravila rasuđivanja, odnosno: oblike zaključaka iz tzv. pod nazivom kategorički sudovi - kategorički silogizam („Prva analitika“), formulisana su osnovna načela naučnih dokaza („Druga analitika“), data je analiza značenja određenih vrsta iskaza („O tumačenju“) i skicirana glavna pristupi razvoju doktrine pojmova (“Kategorije”). Aristotel je takođe posvetio ozbiljnu pažnju razotkrivanju raznih vrsta logičkih grešaka i sofističkih tehnika u sporovima (“O sofističkim opovrgavanjima”).
Logika ima dugu i bogatu istoriju, neraskidivo povezana sa istorijom razvoja društva u celini.
Nastanku logike kao teorije prethodila je praksa razmišljanja hiljadama godina unazad. Razvojem radnih, materijalnih i proizvodnih aktivnosti ljudi postepeno je dolazilo do poboljšanja i razvoja njihovih misaonih sposobnosti, posebno sposobnosti apstrakcije i zaključivanja. A to je, prije ili kasnije, ali neminovno trebalo dovesti do toga da je predmet istraživanja postalo samo mišljenje sa svojim oblicima i zakonima.
Kako ističe Ivin A.A. , istorija pokazuje da su se individualni logički problemi pojavili pred ljudskim umom prije više od 2,5 hiljade godina - prvo u staroj Indiji i staroj Kini. Zatim dobijaju potpuniji razvoj u staroj Grčkoj i Rimu. Tek postepeno se oblikuje manje-više koherentan sistem logičkog znanja i formira se nezavisna nauka.
Koji su razlozi za pojavu logike? Ivin A.A. smatra da postoje dva glavna. Jedan od njih je nastanak i početni razvoj nauka, posebno matematike. Ovaj proces datira još od 6. veka. BC. i dobija svoj najpotpuniji razvoj u staroj Grčkoj. Rođena u borbi protiv mitologije i religije, nauka je bila zasnovana na teorijskom razmišljanju, uključujući zaključke i dokaze. Otuda potreba za proučavanjem prirode samog mišljenja kao sredstva spoznaje.
Prema Kurbatovu V.I. , logika je nastala, prije svega, kao pokušaj da se identificiraju i opravdaju oni zahtjevi koje naučno mišljenje mora zadovoljiti da bi njegovi rezultati odgovarali stvarnosti.
Drugi, možda čak i važniji razlog je razvoj govorništva, uključujući i sudsku umjetnost, koja je procvjetala u uvjetima antičke grčke demokratije. Najveći rimski govornik i naučnik Ciceron (106-43. p.n.e.), govoreći o moći govornika, vlasnika „božanskog dara“ elokvencije, naglasio je: „On može sigurno ostati čak i među naoružanim neprijateljima, zaštićen ne toliko od njegovo osoblje, koliko po njegovoj tituli govornika; on može svojom riječju izazvati ogorčenje svojih sugrađana i srušiti kaznu na krivce za zločin i prevaru, a nevine snagom svog talenta spasiti od suđenja i kazne; u stanju je potaknuti plašljive i neodlučne ljude na junaštvo, u stanju je da ih izvede iz zablude, sposoban je da ih raspali protiv nitkova i smiri gunđanje protiv dostojnih ljudi; zna kako, konačno, jednom riječju može i uzbuditi i smiriti sve ljudske strasti kada okolnosti slučaja to zahtijevaju.”
Prema Ivin A.A., osnivač logike - ili, kako se ponekad kaže, "otac logike" - smatra se najvećim starogrčkim filozofom i enciklopedistom Aristotelom (384-322 pne). Treba, međutim, imati na umu da je prvi prilično detaljan i sistematičan prikaz logičkih problema zapravo dao raniji starogrčki filozof i prirodnjak Demokrit (460. - približno 370. pne.). Među njegovim brojnim djelima bila je i opsežna rasprava u tri knjige “O logici ili o kanonima”. Ovdje je otkrivena ne samo suština znanja, njegovi glavni oblici i kriteriji istine, već je prikazana i ogromna uloga logičkog rasuđivanja u znanju, te je data klasifikacija sudova. Neke vrste inferencijalnog znanja bile su oštro kritizirane i učinjen je pokušaj da se razvije induktivna logika – logika eksperimentalnog znanja. Nažalost, ova Demokritova rasprava, kao i sve druge, nije stigla do nas.
Nova, viša faza u razvoju logike počinje u 17. veku. Ova faza je organski povezana sa stvaranjem u njenim okvirima, uz deduktivnu logiku, induktivne logike. On odražava različite procese sticanja opšteg znanja zasnovanog na sve više akumuliranom empirijskom materijalu. Potrebu za sticanjem takvog znanja najpotpunije je shvatio i izrazio u svojim radovima istaknuti engleski filozof i prirodnjak F. Bacon (1561-1626). Postao je osnivač induktivne logike. “...logika koja sada postoji je beskorisna za otkrivanje znanja”, izrekao je svoju oštru presudu. Stoga, kao da je u suprotnosti sa starim Aristotelovim „Organonom“, Bekon je napisao „Novi organon...“, gde je izneo induktivnu logiku. Najveću pažnju posvetio je razvoju induktivnih metoda za određivanje uzročne zavisnosti pojava. Ovo je Beconova velika zasluga. Međutim, pokazalo se da doktrina indukcije koju je on stvorio, ironično, nije poricanje prethodne logike. I njeno dalje obogaćivanje i razvoj. To je doprinijelo stvaranju generalizirane teorije zaključivanja. I to je prirodno, jer, kao što će biti pokazano u nastavku, indukcija i dedukcija ne isključuju, već pretpostavljaju jedna drugu i nalaze se u organskom jedinstvu.
Ruski naučnici dali su poznati doprinos razvoju tradicionalne formalne logike. Dakle, već u prvim raspravama o logici, počevši od 10. veka. činjeni su pokušaji da se nezavisno komentarišu dela Aristotela i drugih naučnika. Originalni logički koncepti u Rusiji su razvijeni u 18. veku. a vezuju se prvenstveno za imena M. Lomonosova (1711-1765) i A. Radiščova (1749-1802). Procvat logičkog istraživanja u našoj zemlji datira s kraja 19. vijeka.
Grandiozan pokušaj da se razvije integralni sistem nove, dijalektičke logike, napravio je nemački filozof G. Hegel (1770-1831). U svom temeljnom djelu “Nauka o logici” on je, prije svega, otkrio temeljnu kontradikciju između postojećih logičkih teorija i stvarne prakse mišljenja, koja je do tada dostigla značajne visine.
Kako ističe Kurbatov V.I., Hegel je preispitao prirodu mišljenja, njegove zakone i forme. S tim u vezi, došao je do zaključka da “dijalektika čini prirodu samog mišljenja, da kao razum mora pasti u samonegaciju, u kontradikciju”. Mislilac je svoj zadatak vidio u pronalaženju načina da razriješi ove kontradikcije. Hegel je oštro kritikovao staru, običnu logiku zbog njene povezanosti s metafizičkim metodom saznanja. Ali u ovoj kritici otišao je tako daleko da je odbacio njene principe zasnovane na zakonu identiteta i zakonu kontradikcije.
Ivin A.A. kaže da su problemi dijalektičke logike, njen odnos sa formalnom logikom našli dalju konkretizaciju i razvoj u radovima njemačkih filozofa i naučnika K. Marxa) 1818-1883) i F. Engelsa (1820-1895). Koristeći najbogatiji intelektualni materijal akumuliran od strane filozofije, prirodnih i društvenih nauka, stvorili su kvalitativni novi, dijalektičko-materijalistički sistem, koji je oličen u djelima kao što su "Kapital" K. Marxa, "Anti-Dühring" i "Dijalektika prirode". ” od F. Engelsa. Sa ovih opštih filozofskih pozicija, Marx i Engels su procenjivali posebno „učenje mišljenja i njegovih zakona” – logiku i dijalektiku. Nisu poricali važnost formalne logike, nisu je smatrali „besmislicom“, ali su naglašavali njen istorijski karakter. Tako je Engels primijetio da je teorijsko razmišljanje svake epohe povijesni proizvod, koji u različito vrijeme poprima vrlo različite oblike i istovremeno vrlo različit sadržaj. “Shodno tome, nauka o mišljenju, kao i svaka druga nauka, jeste istorijska nauka, nauka o istorijskom razvoju ljudskog mišljenja.”
Poslednjih decenija u našoj zemlji učinjeno je mnogo plodonosnih pokušaja da se dijalektička logika sistematski prikaže. Razvoj se odvija u dva glavna pravca. S jedne strane, to je razotkrivanje obrazaca refleksije razvojne stvarnosti u ljudskom mišljenju, njenih objektivnih kontradikcija, a s druge strane, razotkrivanje obrazaca razvoja samog mišljenja, njegove vlastite dijalektike.
U uslovima naučne i tehnološke revolucije, kada nauke prelaze na nove, dublje nivoe znanja i kada se povećava uloga dijalektičkog mišljenja, potreba za dijalektičkom logikom se sve više pojačava. Dobija nove podsticaje za svoj dalji razvoj.
Pravu revoluciju u logičkim istraživanjima izazvalo je stvaranje matematičke logike u drugoj polovini 19. stoljeća, koja se nazivala i simboličkom i označila je novu, modernu etapu u razvoju logike.
Počeci ove logike mogu se pratiti već kod Aristotela, kao i kod njegovih sljedbenika, stoika, u obliku elemenata predikatske logike i teorije modalnih zaključaka, kao i propozicionalne logike. Međutim, sistematski razvoj njenih problema datira iz mnogo kasnijeg vremena.
Kako ističe Ivin A.A., sve veći uspjesi u razvoju matematike i prodor matematičkih metoda u druge nauke već u drugoj polovini 17. stoljeća snažno su pokrenuli dva temeljna problema. S jedne strane, to je upotreba logike za razvoj teorijskih osnova matematike, as druge, matematiizacija same logike kao nauke. Najdublji i najplodonosniji pokušaj rješavanja nastalih problema učinio je najveći njemački filozof i matematičar G. Leibniz (1646-1416). Tako je postao, u suštini, osnivač matematičke logike. Leibniz je sanjao o vremenu kada se naučnici neće baviti empirijskim istraživanjima, već računom s olovkom u ruci. U tu svrhu nastojao je izmisliti univerzalni simbolički jezik pomoću kojeg bi se svaka empirijska nauka mogla racionalizirati. Novo saznanje će, po njegovom mišljenju, biti rezultat logičkog proračuna - računice.
Prema V.I.Kurbatovu, Leibnizove ideje dobile su određeni razvoj u 18. vijeku i prvoj polovini 19. stoljeća. Međutim, najpovoljniji uslovi za snažan razvoj simboličke logike nastali su tek u drugoj polovini 19. veka. Do tog vremena matematiizacija nauka je postigla posebno značajan napredak, a novi temeljni problemi njenog opravdanja pojavili su se u samoj matematici. Engleski naučnik, matematičar i logičar Railway. Boole (1815-1864) je prvenstveno primjenjivao matematiku na logiku u svojim djelima. Dao je matematičku analizu teorije zaključivanja i razvio logički račun (“Boolean algebra”). Njemački logičar i matematičar G. Frege (1848-1925) primjenjivao je logiku u proučavanju matematike. Kroz prošireni predikatski račun konstruisao je formalizovani sistem aritmetike.
Time je otvorena nova, moderna faza u razvoju logičkog istraživanja. Možda je najvažnija odlika ove faze razvoj i upotreba novih metoda za rješavanje tradicionalnih logičkih problema. To je razvoj i upotreba vještačkog, takozvanog formaliziranog jezika - jezika simbola, tj. alfabetski i drugi znakovi (otuda i najčešći naziv za modernu logiku - "simboličko").
Kako ističe Ivin A.A. , postoje dvije vrste logičkog računa: propozicijski račun i predikatski račun. Kod prve je dozvoljena apstrakcija od unutrašnje, konceptualne strukture sudova, a kod druge se ova struktura uzima u obzir i, shodno tome, simbolički jezik se obogaćuje i dopunjuje novim znakovima.
Važnost simboličkih jezika u logici teško je precijeniti. G. Frege ga je uporedio sa značenjem teleskopa i mikroskopa. A nemački filozof G. Klaus (1912-1974) je verovao da stvaranje formalizovanog jezika ima isti značaj za tehnologiju logičkog zaključivanja kao što je prelazak sa ručnog rada na mašinski rad imao u sferi proizvodnje. Nastala na temelju tradicionalne formalne logike, simbolička logika, s jedne strane, pojašnjava, produbljuje i generalizira dosadašnje ideje o logičkim zakonima i oblicima, posebno u teoriji zaključivanja, as druge strane, sve više proširuje i obogaćuje logičke probleme. . Savremena logika je složen i visoko razvijen sistem znanja. Uključuje mnoge pravce, odvojene, relativno nezavisne „logike“, sve potpunije izražavajući potrebe prakse i na kraju odražavajući raznolikost složenosti okolnog svijeta, jedinstvo i raznolikost razmišljanja o samom svijetu.
Simbolička logika se sve više koristi u drugim naukama - ne samo u matematici, već i u fizici, biologiji, kibernetici, ekonomiji i lingvistici. To dovodi do pojave novih grana znanja (matematike). Posebno je impresivna i jasna uloga logike u sferi proizvodnje. Otvarajući mogućnost automatizacije procesa zaključivanja, omogućava prenošenje nekih funkcija mišljenja na tehničke uređaje. Njegovi rezultati se sve više koriste u tehnologiji: u stvaranju relejnih kontaktnih kola, računara, informaciono-logičkih sistema itd. Prema figurativnom izrazu jednog od naučnika, moderna logika nije samo „oruđe“ preciznog mišljenja, već i „misao“ preciznog instrumenta, elektronskog automata. U pravnoj sferi koriste se i dostignuća moderne logike. Tako se u forenzičkoj nauci u različitim fazama proučavanja vrši logička i matematička obrada prikupljenih informacija.
Sve veće potrebe naučnog i tehnološkog napretka određuju dalji intenzivan razvoj moderne logike.
Ostaje da se kaže da su ruski naučnici dali važan doprinos razvoju sistema simboličke logike. Među njima se posebno ističe P. Poretsky (1846-1907). Bio je prvi u Rusiji koji je počeo da drži predavanja o matematičkoj logici. Matematička logika nastavlja da se razvija i danas.
Prema V. I. Kurbatovu, proučavanje matematičke logike disciplinuje um. Sjećajući se čuvene izreke M.V. Lomonosova o matematici, možemo reći da matematička logika, više od bilo koje druge matematičke nauke, „dovodi um u red“.
Jezik bilo koje algebre sastoji se od skupa znakova koji se nazivaju abeceda ovog jezika.
Znakovi abecede, po analogiji sa znakovima alfabeta prirodnog jezika, nazivaju se slovima.
Postavlja se prirodno pitanje: koja slova treba da budu sadržana u abecedi jezika numeričke algebre?
Prije svega, očito, moramo imati slova za označavanje elemenata skupa - nosioca algebre, u ovom slučaju za označavanje brojeva, i varijable za elemente ovog skupa.
Koristeći decimalni brojevni sistem za označavanje brojeva, moramo u abecedu numeričke algebre uključiti deset slova koja se nazivaju brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, uz pomoć kojih, prema prema određenim pravilima, imena bilo kojih brojeva.
Kao numeričke varijable (varijable za brojeve bilo kojeg od skupova N, N0, Z, Q ili R) koriste se slova latinice a, b, c, x, y, z ili jedno od ovih slova sa indeksom, za primjer X1, X2, Xn.
Ponekad se slova latinice koriste i kao numeričke konstante, odnosno kao nazivi brojeva (kada je riječ o određenom, ali nije bitno o kojem konkretnom broju). U ovom slučaju, početna slova latiničnog alfabeta a, b, c se obično koriste kao konstante, a posljednja slova x, y, z se koriste kao varijable.
Takođe su nam potrebna slova koja predstavljaju operacije. Za sabiranje i množenje koriste se dobro poznati znakovi (slova) + i *.
Osim toga, ulogu znakova interpunkcije u jeziku algebre igraju zagrade (lijeve i desne).
Dakle, abeceda jezika u kojem se opisuje bilo koja numerička algebra mora uključivati skup koji se sastoji od četiri klase slova: I - brojevi od kojih se konstruišu imena brojeva; II - slova latinice - numeričke varijable ili konstante; III - znakovi rada; IV -- zagrade.
Znakovi oduzimanja (--) i dijeljenja (:) mogu se uvesti definicijama odgovarajućih operacija.
Postepeno, abeceda numeričke algebre se dopunjuje drugim „slovima“, a posebno se uvode znaci binarnih odnosa „jednako“, „manje od“, „veće“.
Svi navedeni znakovi uključeni su u abecedu matematičkog jezika, vještačkog jezika koji je nastao u vezi sa potrebom za preciznim, sažetim i nedvosmisleno shvaćenim formulacijama matematičkih zakona, pravila i dokaza.
Istorijski gledano, simbolika matematike nastajala je vekovima uz učešće mnogih istaknutih naučnika. Tako se smatra da je označavanje nepoznatih veličina slovima koristio Diofant (3. vek), a široka upotreba velikih slova latinice u algebri počela je sa Vietom (16. vek). mala slova ovog alfabeta uveo je za označavanje R. Descartes (XVII vek). znak jednakosti (=) se prvi put pojavio u radovima engleskog naučnika R. Recorda (XVI vek), ali je postao uobičajen u upotrebi tek u XVIII veku. Znakovi nejednakosti (< , >) pojavili su se početkom 17. veka, uveo ih je engleski matematičar Gariot. I iako su znakovi “=”, “>”, “<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .
Izjava u matematici je rečenica o kojoj pitanje ima smisla: istinito ili netačno.
Mogu se donijeti različiti sudovi o konceptima i odnosima između njih. Jezički oblik presude su deklarativne rečenice. Na primjer. U osnovnom kursu matematike možete pronaći sljedeće rečenice:
1) Broj 12 je paran;
4) broj 15 sadrži jednu deseticu i 5 jedinica;
5) proizvod se ne menja preuređivanjem faktora;
6) Neki brojevi su djeljivi sa 3.
Vidimo da se rečenice koje se koriste u matematici mogu pisati i na prirodnom (ruskom) jeziku i na matematičkom jeziku, koristeći simbole. Za rečenice 1,4,5 i 6 možemo reći da nose istinite informacije, a za rečenicu 2 - lažne. Što se tiče rečenice x +5 = 8, generalno je nemoguće reći da li je tačna ili netačna.
Ako su dati iskazi A i B, onda se od njih mogu napraviti novi iskazi koristeći veznike "i", "ili", "ako ... onda ...", "ili ... ili ...", "ako i samo ako ako“, kao i čestica „ne“. Na primjer, neka A znači izjavu "Sada je sunčano", a B znači izjavu "Sada je vjetrovito". Tada izjava "A i B" znači: "Sada je sunčano i vjetrovito", izjava "Ako nije A, onda nije B" znači "Ako sada nije sunčano, onda nije vjetrovito."
Takvi iskazi se nazivaju složenim, a iskazi A i B uključeni u njih nazivaju se elementarni iskazi. Kaže se da su dva složena iskaza A i B ekvivalentna ako su oba tačna i u isto vrijeme netačna pod bilo kojom pretpostavkom o istinitosti elementarnih iskaza uključenih u njih. U ovom slučaju pišu: A=B.
Već od prvog časa matematike osnovci se susreću sa tvrdnjama, uglavnom istinitim. Upoznaju se sa sljedećim tvrdnjama: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.
Ako je A neka izjava, onda tvrdnjom da je lažna, dobijamo novu izjavu koja se zove odbijanje izjave A i označen je simbolom B.
Dakle, ako je izjava istinita, onda je njena negacija lažna, i obrnuto. Ovaj zaključak se može napisati pomoću tabele u kojoj “I” znači tačan iskaz, a “L” netočan. Tabele ovog tipa nazivaju se tablice istinitosti (vidi Dodatak 2, sl. 1).
Neka su A i B dva elementarna iskaza. Povezujući ih veznikom “i”, dobijamo novi iskaz pod nazivom konjunkcija podaci izjave i označen je A? B. Unos A? B je čitao: "A i B."
Po definiciji, konjunkcija dva iskaza je tačna ako i samo ako su oba iskaza tačna. Ako je barem jedan od njih netačan, onda je konjunkcija lažna (vidi Dodatak 2, sl. 2).
Razmotrite izjavu "7 - 4 = 3 i 4 je paran broj." To je spoj dvaju iskaza: “7 - 4 = 3” i “4 je paran broj”. Pošto su obe tvrdnje tačne, onda je njihova konjunkcija tačna.
Ako u konjunkciji A? Ako zamijenimo izjave A i B, onda ćemo dobiti konjunkciju oblika B? ODGOVOR: Iz tabele istinitosti jasno je da formule A? B i B? A za različita značenja iskaza A i B su ili istovremeno tačni ili istovremeno netačni.
Prema tome, oni su ekvivalentni, a za bilo koje izjave A i B imamo: A? B = B? A
Ova notacija izražava komutativno svojstvo konjunkcije, što omogućava da se članovi konjunkcije zamijene.
Nakon što ste sastavili tabele istinitosti za (A? B)? S i A? (B? C), dobijamo da su za bilo koje istinite vrijednosti iskaza A, B, C istinite vrijednosti iskaza (A? B) ? S i A? (B? C) utakmica.
Dakle, (A? B) ? C = A? (B? C).
Ova jednakost izražava asocijativno svojstvo veznika. Takva konjunkcija je istinita ako i samo ako su tačne sve tvrdnje uključene u nju.
Povezivanjem dva elementarna iskaza A i B veznikom “ili” dobijamo novi iskaz pod nazivom disjunkcija podaci izjave . Disjunkcija iskaza A i B označena je sa A?B i glasi "A ili B". Disjunkcija je lažna samo ako su oba iskaza od kojih je formirana lažna; u svim ostalim slučajevima disjunkcija je tačna. Tabela istinitosti disjunkcije ima oblik (vidi dodatak 2, sl. 3).
Za disjunkciju, kao i za konjunkciju, može se navesti više ekvivalencija. Za bilo koje A, B i C imamo:
A? B = B? A (komutativna disjunkcija);
(Ha? B) ? C = A? (B? C) (asocijativnost disjunkcije).
Asocijativno svojstvo disjunkcije nam omogućava da izostavimo zagrade i napišemo A? IN? C umjesto (A? B) ? WITH.
Koristeći tablice istinitosti to je lako utvrditi
(Ha? B) ? C = (A? C) ? (B? C)
(Ha? B) ? C = (A? C) ? (B?C)
Prva jednakost izražava distributivni zakon konjunkcije u odnosu na disjunkciju, a druga - distributivni zakon disjunkcije u odnosu na konjunkciju.
Operacije konjunkcije, disjunkcije i negacije povezane su sljedećim relacijama, čija se valjanost može utvrditi pomoću tablica istinitosti:
Ove relacije se nazivaju de Morganove formule.
Razmotrimo složenu izjavu, koja se formira od dva elementarna pomoću riječi “ako ... onda ...”.
Neka se, na primjer, daju izjave A: “Jučer je bila nedjelja” i B: “Nisam bio na poslu.” Zatim složena izjava „Ako je jučer bila nedelja, onda nisam bio na poslu“ ima formulu „Ako je A, onda B“.
Poziva se izjava „Ako je A, onda B“. implikacija izjava A, B i uz pomoć simbola pišu se ovako: A => B. Iskaz A, uključen u implikaciju A => B, naziva se uslov implikacije, a izjava B je njen zaključak.
Dakle, tabela istinitosti implikacije „Ako je A, onda B“ izgleda ovako (vidi Dodatak 2, sl. 4).
Od dvije izjave A i B možete napraviti novu izjavu koja glasi ovako: "I ako i samo ako B." Ova izjava se zove ekvivalentne izjave A i B i označavaju: A B. Iskaz A B se smatra istinitim ako su oba iskaza A i B tačna ili su oba iskaza A i B netačna. U drugim slučajevima (tj. ako je jedan iskaz tačan, a drugi netačan), ekvivalentnost se smatra lažnom. Dakle, tabela istinitosti za ekvivalentnost A i B ima oblik (vidi Dodatak 2, sl. 5).
1.3 Logičko rezonovanje
Svako rezonovanje se sastoji od lanca izjava koje slijede jedna iz druge prema određenim pravilima. Sposobnost rasuđivanja i ispravnog potkrepljivanja zaključaka neophodna je ljudima bilo koje profesije. Čovek uči da rasuđuje od trenutka kada počne da govori, ali ciljana obuka u logici rasuđivanja počinje u školi. Već početni kurs matematike pretpostavlja razvijanje sposobnosti učenika u poređenju, klasifikovanju objekata, analizi činjenica i dokazivanju najjednostavnijih tvrdnji. Logičko rasuđivanje je potrebno ne samo za rješavanje matematičkih problema, već i za gramatičku analizu, savladavanje principa prirodne povijesti itd. Dakle, nastavnik u osnovnoj školi mora biti upoznat sa logikom, tj. sa naukom o zakonima i oblicima mišljenja, o opštim obrascima zaključivanja.
Glavne vrste sudova i zaključaka razmatraju se u klasičnoj logici, koju je stvorio starogrčki filozof Aristotel (384-322 pne.).
U logici, rasuđivanje se dijeli na:
1. ispravan;
2. netačno.
Ispravno rasuđivanje je rasuđivanje u kojem se poštuju sva pravila i zakoni logike. Netačno zaključivanje je rasuđivanje u kojem se prave logičke greške zbog kršenja pravila ili zakona logike.
Postoje dvije vrste logičkih grešaka:
1. paralogizmi;
2. sofizam.
Paralogizmi su logičke greške koje su napravljene nenamjerno (iz neznanja) u procesima zaključivanja.
Sofizmi su logičke greške koje se prave u procesima rasuđivanja namjerno s ciljem da se zavede protivnik, opravda lažni iskaz, kakve gluposti itd.
Sofistika je poznata od davnina. Sofisti su naširoko koristili takva razmatranja u svojoj praksi. Od njih potiče naziv "sofizam" Brojni primjeri rasuđivanja koje su sofisti koristili u raznim sporovima preživjeli su do danas. Navedimo neke od njih.
Najpoznatiji antički sofizam je obrazloženje pod nazivom "Rogati".
Zamislite situaciju: jedna osoba želi uvjeriti drugu da ima rogove. Opravdanje za to je dato: „Ono što nisi izgubio, imaš. Nisi izgubio rogove. Dakle, imaš rogove."
Na prvi pogled, ovo razmišljanje izgleda ispravno. Ali sadrži logičku grešku koju osoba koja ne razumije logiku vjerojatno neće moći odmah pronaći.
Dajemo još jedan primjer. Protagora (osnivač škole sofista) bio je Euatlov učenik. Nastavnik i učenik sklopili su dogovor prema kojem će Evatl plaćati školarinu tek nakon što dobije svoju prvu parnicu. Ali, nakon što je završio studije, Evatl nije žurio da se pojavi na sudu. Učiteljevo je strpljenje ponestalo i on je tužio svog učenika „U svakom slučaju, Euathlus će mi morati platiti“, pomisli Protagora. - Ili će dobiti ovo suđenje ili ga izgubiti. Ako pobedi, plati po dogovoru; ako izgubi platit će po sudskoj presudi.” "Ništa slično", prigovorio je Evatl. - Zaista, ili ću dobiti suđenje ili ga izgubiti.
Ako pobijedim, sudska odluka će me osloboditi plaćanja, ali ako izgubim, neću platiti prema našem dogovoru *.
U ovom primjeru postoji i logička zabluda. A koji tačno - saznaćemo dalje.
Glavni zadatak logike je analiza tačnih razmatranja. Logičari nastoje identificirati i istražiti obrasce takvih razmatranja, definirati njihove različite vrste itd. Netačno zaključivanje u logici analizira se samo sa stanovišta grešaka koje su u njima napravljene.
Treba napomenuti da ispravnost rezonovanja ne znači istinitost njegovih premisa i zaključka. Općenito, logika se ne bavi utvrđivanjem istinitosti ili lažnosti premisa i zaključaka razmatranja. Ali u logici postoji takvo pravilo: ako je razmatranje pravilno konstruirano (u skladu s pravilima i zakonima logike) i istovremeno se temelji na istinitim premisama, onda će zaključak takvog rasuđivanja uvijek biti bezuvjetno istinit. U drugim slučajevima, istinitost zaključka se ne može garantovati.
Dakle, ako je rasuđivanje pogrešno konstruirano, onda, čak i uprkos činjenici da su njegove premise istinite, zaključak takvog rasuđivanja može biti istinit u jednom slučaju, a lažan u drugom.
Razmotrimo, na primjer, sljedeća dva razmatranja, koja su konstruirana prema istoj pogrešnoj shemi:
(1) Logika je nauka.
Alhemija nije logika.
Alhemija nije nauka.
(2) Logika je nauka.
Zakon nije logika.
Pravo nije nauka.
Očigledno je da je u prvom obrazloženju zaključak tačan, ali u drugom netačan, iako su premise u oba slučaja istiniti iskazi.
Takođe je nemoguće garantovati istinitost zaključka argumenta kada je barem jedna od njegovih premisa netačna, čak i ako je ovo rezonovanje ispravno.
Ispravno rasuđivanje je rasuđivanje u kojem neke misli (zaključci) nužno slijede iz drugih mišljenja (premisa).
Primjer ispravnog rezonovanja mogao bi biti sljedeći zaključak: „Svaki građanin Ukrajine mora priznati svoj Ustav. Svi narodni poslanici Ukrajine su državljani Ukrajine. Dakle, svako od njih mora priznati Ustav svoje države”, a primjer prave misli je presuda: “Postoje građani Ukrajine koji ne priznaju barem neke članove Ustava svoje države.”
Sljedeće obrazloženje treba smatrati netačnim: “Budući da se ekonomska kriza u Ukrajini jasno osjeti nakon proglašenja njene nezavisnosti, potonja je uzrok ove krize.” Ova vrsta logičke greške naziva se "nakon ovoga - zbog ovoga". Ona leži u činjenici da se vremenski slijed događaja u takvim slučajevima poistovjećuje s kauzalnošću. Primjer neistinitog mišljenja može biti svaki stav koji ne odgovara stvarnosti, recimo, izjava da ukrajinska nacija uopće ne postoji.
Svrha spoznaje je sticanje istinskog znanja. Da biste stekli takvo znanje rasuđivanjem, morate, prvo, imati istinite premise, a drugo, pravilno ih kombinovati, razum prema zakonima logike. Kada koriste lažne premise, prave činjenične greške, a kada krše zakone logike, pravila za konstruisanje razmatranja, prave logičke greške. Činjenične greške se, naravno, moraju izbjegavati, što nije uvijek moguće. Što se tiče logičkih, osoba visoke intelektualne kulture može izbjeći ove greške, jer su osnovni zakoni logički ispravnog mišljenja, pravila za građenje rasuđivanja, pa čak i smisleno tipične greške u rasuđivanju odavno formulirani.
Logika vas uči pravilnom rasuđivanju, izbjegavanju logičkih grešaka i razlikovanju ispravnog zaključivanja od pogrešnog. Ona klasifikuje ispravna razmatranja kako bi ih sistematski razumela. U tom kontekstu može se postaviti pitanje: budući da postoji mnogo razmatranja, da li je moguće, prema riječima Kozme Prutkova, obuhvatiti neograničeno? Da, moguće je, budući da logika uči razumu, fokusirajući se ne na konkretan sadržaj misli koje su dio rasuđivanja, već na shemu, strukturu rasuđivanja, oblik kombiniranja ovih misli. Recimo oblik rezonovanja kao što je “Svako x je y, a ovo z je x; Prema tome, dato r je tačno, a znanje o njegovoj ispravnosti uključuje mnogo bogatije informacije od znanja o ispravnosti zasebnog smislenog argumenta sličnog oblika. I oblik rezonovanja prema šemi „Svako x je y, a z je takođe y; dakle, z je x" odnosi se na netačne. Kao što gramatika proučava oblike riječi i njihove kombinacije u rečenici, apstrahirajući od specifičnog sadržaja jezičkih izraza, tako i logika proučava oblike mišljenja i njihove kombinacije, apstrahirajući od specifičnog sadržaja tih misli.
Da bi se otkrio oblik misli ili razmatranja, on mora biti formaliziran.
Zaključci za Poglavlje 1
Na osnovu navedenog mogu se izvući sljedeći zaključci:
1. Logika je nastala kao grana filozofskog znanja. Glavni razlozi za njegovu pojavu su razvoj nauke i govorništva. Budući da je nauka zasnovana na teorijskom mišljenju, koje uključuje konstrukciju zaključaka i dokaza, postoji potreba da se proučava samo mišljenje kao oblik spoznaje.
2. U modernoj nauci značaj simboličke logike je veoma velik. Nalazi primjenu u kibernetici, neurofiziologiji i lingvistici. Simbolička logika je moderna faza u razvoju formalne logike. Proučava procese zaključivanja i dokazivanja kroz svoje predstavljanje u logičkim sistemima. Dakle, po svom predmetu ova nauka je logika, a po svom metodu matematika.
Nakon proučavanja materijala, razjasnili smo naše ideje o matematičkim konceptima:
Ovo su koncepti idealnih objekata;
Svaki matematički koncept ima pojam, obim i sadržaj;
Koncepti su dati definicije; mogu biti eksplicitne ili implicitne. Implicitne uključuju kontekstualne i ostenzivne definicije;
Učenje koncepta odvija se od razreda do razreda uz prošireno istraživanje teme.
Proučavajući gradivo, upoznali smo se s pojmovima uz pomoć kojih smo razjasnili značenje veznika „i“, „ili“, čestice „ne“, riječi „svako“, „postoji“, „dakle“ i “ekvivalentno” korišteno u matematici. Ovo su koncepti:
Izjava;
Elementarne izjave;
Logički spojevi;
Složene izjave;
Povezivanje izjava;
Disjunkcija izjava;
Poricanje izjava.
Pregledao pravila:
Određivanje istinitosti složene izjave;
Konstrukcije negacije rečenica različite strukture.
Poglavlje 2. Upotreba elemenata matematičke logike u nastavi matematike u osnovnoj školi
2.1 Upotrebaelementi logike u početnom kursu matematike
Matematika daje stvarne preduslove za razvoj logičkog mišljenja, zadatak nastavnika je da te mogućnosti što bolje iskoristi u podučavanju djece matematici. Međutim, ne postoji poseban program za razvoj tehnika logičkog mišljenja koji bi trebalo formulisati prilikom proučavanja ovog predmeta. Kao rezultat, rad na razvoju logičkog mišljenja odvija se bez poznavanja sistema potrebnih tehnika, bez poznavanja njihovog sadržaja i redoslijeda formiranja.
Barakina V.T. ističe sljedeće zahtjeve za znanjem, vještinama i sposobnostima učenika prilikom izučavanja elemenata logike u osnovnoj školi:
1. Elementi teorije skupova:
Upoznati skupove različite prirode na konkretnim primjerima i načinima njihovog pisanja (nabrajanjem);
Naučite identificirati elemente skupa;
Upoznajte se sa glavnim tipovima relacija između skupova i načinom na koji su oni predstavljeni pomoću Euler-Vennovih krugova;
Naučite izvoditi neke operacije nad skupovima (unija, sjecište).
2. Elementi teorije propozicije:
Upoznati iskaz na nivou ideja;
Naučite razlikovati izjave od drugih rečenica;
Upoznajte se sa glavnim tipovima izjava;
Naučite izvoditi neke operacije nad iskazima (negacija, konjunkcija, disjunkcija).
3. Elementi kombinatorike:
Upoznajte se sa ovim konceptom na nivou ideja;
Naučite razlikovati kombinatorne probleme od drugih vrsta riječnih zadataka obrađenih u lekcijama matematike;
Naučite rješavati probleme za određivanje broja položaja n elemenata po m elemenata.
Elementi logike u osnovnoj školi obrađuju se i na časovima matematike i informatike. Istovremeno, nivo zahtjeva za znanjem, vještinama i sposobnostima učenika, kao i sadržaj obuke u ovoj sekciji, donekle se razlikuje u različitim programima. To je prije svega zbog činjenice da trenutno Federalni državni obrazovni standard za osnovno opšte obrazovanje ne zahtijeva obavezno razmatranje ove teme u razredima 1-4.
Trenutno su svi predmeti matematike usmjereni na razvoj učenika. Na primjer, kurs Istomine N.B. njen glavni cilj je razvoj metoda misaone aktivnosti učenika, mentalnih operacija: analiza, sinteza, poređenje, klasifikacija, analogija, generalizacija.
...Slični dokumenti
Proučavanje kursa matematičke logike. Osnova logike je svijest o strukturi matematičke nauke i njenih temeljnih pojmova. Istorijska skica. Ekvivalencija rečenica. Poricanje izjava. Logično praćenje.
teza, dodana 08.08.2007
Vannastavne aktivnosti kao jedan od oblika rada. Pedagoške osnove za izučavanje matematičke logike u srednjoj školi u okviru vannastavnih aktivnosti. Analiza postojećih metoda za razvoj općih logičkih i logičkih vještina kod školaraca.
kurs, dodan 19.11.2012
Osnove metoda za proučavanje matematičkih pojmova. Matematički pojmovi, njihov sadržaj i obim, klasifikacija pojmova. Psihološko-pedagoške karakteristike nastave matematike u 5-6 razredima. Psihološki aspekti formiranja pojmova.
teza, dodana 08.08.2007
Jezičke osnove učenja pridjeva u osnovnoj školi. Psihološko-pedagoške osnove učenja pridjeva u osnovnoj školi. Metodika rada na pridevima po sistemu razvojnog vaspitanja L.V. Zankova.
teza, dodana 03.04.2007
Teorijske osnove pripreme djece za učenje matematike u školi. Pitanja pripreme djece za školu u psihološko-pedagoškoj i metodičkoj literaturi. Pojam, suština, značenje matematičke spremnosti za učenje u školi. Istraživački program.
kurs, dodan 23.10.2008
Osobine izučavanja matematike u osnovnoj školi prema Federalnom državnom obrazovnom standardu za osnovno opšte obrazovanje. Sadržaj kursa. Analiza osnovnih matematičkih pojmova. Suština individualnog pristupa u didaktici.
kurs, dodato 29.09.2016
Psihološko-pedagoške osnove za razvoj logičkog mišljenja kod osnovnoškolaca. Izrada metodologije za rješavanje problema razvijanja logičke pismenosti učenika na nastavi matematike u osnovnoj školi, primjeri rješavanja nestandardnih aritmetičkih zadataka.
disertacije, dodato 31.03.2012
Teorijske i metodološke osnove testnih zadataka i njihove vrste. Psihološke i pedagoške osnove. Testovi na časovima matematike. Analiza iskustva nastavnika u korištenju testnih zadataka. Kratak opis prednosti upotrebe testnog oblika kontrole.
kurs, dodato 17.04.2017
Psihološke karakteristike mlađeg školskog djeteta. Tehnike i metode upotrebe elemenata etimološke analize u nastavi osnovne škole. Karakteristike podučavanja kompetentnog pisanja mlađih školaraca. Analiza obrazovnog kompleksa "Ruski jezik" u osnovnim razredima.
teze, dodato 24.03.2015
Razvoj govora učenika na nastavi matematike. Tehnike razvoja matematičkog govora. Veze između govora, mišljenja i jezika. Razvoj logike, ekspresivnosti, dokazanosti i tačnosti matematičkog govora. Podizanje nivoa govorne kulture učenika.
Ovaj dio naše web stranice predstavlja teme istraživačkog rada o logici u obliku logičkih problema, sofizama i paradoksa u matematici, zanimljivih igara o logici i logičkom mišljenju. Rukovodilac rada treba direktno voditi i pomoći studentu u njegovom istraživanju.
Teme predstavljene u nastavku za istraživački i dizajnerski rad na logici pogodne su za djecu koja vole logično razmišljati, rješavati nestandardne probleme i primjere, istraživati paradokse i matematičke probleme i igrati nestandardne logičke igre.
Na listi ispod možete odabrati temu logičkog projekta za bilo koji razred srednje škole, od osnovne do srednje škole. Da biste vam pomogli da pravilno osmislite matematički projekat o logici i logičkom razmišljanju, možete koristiti razvijene zahtjeve za dizajn rada.
Sljedeće teme za projekte istraživanja logike nisu konačne i mogu se mijenjati zbog zahtjeva postavljenih prije projekta.
Teme istraživačkih radova o logici:
Primjeri tema za istraživačke radove o logici za studente:
Zanimljiva logika u matematici.
Algebra logika
Logika i mi
Logika. Zakoni logike
Logic box. Zbirka zabavnih logičkih zadataka.
Logički zadaci sa brojevima.
Logički problemi
Logički problemi "Smiješna aritmetika"
Logički problemi u matematici.
Logički zadaci za određivanje broja geometrijskih oblika.
Logički zadaci za razvoj mišljenja
Logički zadaci na časovima matematike.
Logic games
Logički paradoksi
Matematička logika.
Metode rješavanja logičkih problema i metode za njihovo sastavljanje.
Simulacija logičkih problema
Edukativni prikaz "Osnovi logike".
Osnovne vrste logičkih problema i metode za njihovo rješavanje.
Stopama Sherlocka Holmesa, ili Metode rješavanja logičkih problema.
Primjena teorije grafova u rješavanju logičkih problema.
Problemi četiri boje.
Rješavanje logičkih problema
Rješavanje logičkih zadataka metodom grafa.
Rješavanje logičkih problema na različite načine.
Rješavanje logičkih zadataka korištenjem grafova
Rješavanje logičkih zadataka pomoću dijagrama i tabela.
Rješavanje logičkih problema.
Silogizmi. Logički paradoksi.
Teme logičkih projekata
Primjeri tema za logičke projekte za studente:
Sofistika
Sofistika oko nas
Sofizmi i paradoksi
Metode sastavljanja i metode rješavanja logičkih zadataka.
Naučiti rješavati logičke probleme
Algebra logike i logičke osnove računara.
Vrste zadataka za logičko razmišljanje.
Dva načina rješavanja logičkih problema.
Logika i matematika.
Logika kao nauka
Logičke zagonetke.
