Diferencijalne jednadžbe na mreži. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika

Budući da su neraskidivo povezani, oba su se već nekoliko stoljeća aktivno koristila u rješavanju gotovo svih problema koji su se pojavili u procesu ljudske naučne i tehničke djelatnosti.

Pojava koncepta diferencijala

Čuveni njemački matematičar Gottfried Wilhelm Leibniz, jedan od tvoraca (zajedno sa Isakom Njutnom) diferencijalnog računa, prvi je objasnio šta je diferencijal. Pre toga, matematičari 17. veka. korištena je vrlo nejasna i nejasna ideja o nekom beskonačno malom “nedjeljivom” dijelu bilo koje poznate funkcije, koji je predstavljao vrlo malu konstantnu vrijednost, ali ne jednaku nuli, manju od koje vrijednost funkcije jednostavno ne može biti. Odavde je bio samo jedan korak do uvođenja koncepta infinitezimalnih prirasta argumenata funkcija i odgovarajućih prirasta samih funkcija, izraženih kroz derivate ovih potonjih. A ovaj korak su gotovo istovremeno preduzela dva gore pomenuta velika naučnika.

Na osnovu potrebe da se reše hitni praktični problemi mehanike, koje su pred nauku postavljale industrija i tehnologija koje se brzo razvijaju, Newton i Leibniz su stvorili opšte metode za pronalaženje brzine promene funkcija (prvenstveno u odnosu na mehaničku brzinu tela duž poznata putanja), što je dovelo do uvođenja takvih koncepata kao što su derivacija i diferencijal funkcije, a takođe je pronađen algoritam za rješavanje inverznog problema kako pronaći pređenu udaljenost koristeći poznatu (promjenjivu) brzinu, što je dovelo do pojave koncepta integrala.

U radovima Leibniza i Newtona prvi put se pojavila ideja da su diferencijali glavni dijelovi prirasta funkcija Δy proporcionalni priraštajima argumenata Δx, koji se mogu uspješno koristiti za izračunavanje vrijednosti potonjih. Drugim riječima, otkrili su da se prirast funkcije može u bilo kojoj tački (unutar domena njene definicije) izraziti kroz njenu derivaciju kao Δu = y"(x) Δh + αΔh, gdje je α Δh preostali član koji teži ka nula kao Δh→ 0, mnogo brže od samog Δx.

Prema osnivačima matematičke analize, diferencijali su upravo prvi pojmovi u izrazima za priraštaje bilo koje funkcije. Nemajući još jasno formulisan koncept granice nizova, oni su intuitivno shvatili da vrednost diferencijala teži derivaciji funkcije kao Δh→0 - Δu/Δh→ y"(x).

Za razliku od Newtona, koji je prvenstveno bio fizičar i koji je matematički aparat smatrao pomoćnim alatom za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je više pažnje posvetio samom ovom kompletu alata, uključujući sistem vizuelnih i razumljivih notacija za matematičke veličine. On je predložio općeprihvaćenu notaciju za diferencijale funkcije dy = y"(x)dx, argument dx i derivaciju funkcije u obliku njihovog omjera y"(x) = dy/dx.

Moderna definicija

Šta je razlika sa stanovišta moderne matematike? Usko je povezan sa konceptom povećanja promenljive veličine. Ako varijabla y prvo uzme vrijednost y = y 1, a zatim y = y 2, tada se razlika y 2 ─ y 1 naziva prirastom y.

Prirast može biti pozitivan. negativan i jednak nuli. Riječ “inkrement” označava se sa Δ, a oznaka Δu (čitaj “delta y”) označava povećanje vrijednosti y. pa je Δu = y 2 ─ y 1 .

Ako se vrijednost Δu proizvoljne funkcije y = f (x) može predstaviti u obliku Δu = A Δh + α, gdje A nema ovisnost o Δh, tj. A = const za dati x, a pojam α za Δh →0 teži tome čak i brže od samog Δx, tada je prvi (“glavni”) pojam, proporcionalan Δx, za y = f (x) diferencijal, označen dy ili df(x) (čitaj “de igrek” , “de ef od x”). Stoga su diferencijali „glavne“ komponente prirasta funkcije koji su linearni u odnosu na Δx.

Mehanička interpretacija

Neka je s = f (t) udaljenost pravolinijskog vozila od početne pozicije (t je vrijeme putovanja). Inkrement Δs je putanja tačke tokom vremenskog intervala Δt, a diferencijal ds = f" (t) Δt je put koji bi tačka prešla za isto vreme Δt da je zadržala brzinu f"(t ) postignuto u trenutku t. Za beskonačno mali Δt, imaginarni put ds se razlikuje od pravog Δs za beskonačno mali iznos, koji ima viši red u odnosu na Δt. Ako brzina u trenutku t nije nula, tada ds daje približnu vrijednost malog pomaka tačke.

Geometrijska interpretacija

Neka je linija L grafik od y = f(x). Tada je Δ x = MQ, Δu = QM" (vidi sliku ispod). Tangenta MN dijeli segment Δy na dva dijela, QN i NM." Prvi je proporcionalan Δh i jednak je QN = MQ∙tg (ugao QMN) = Δh f "(x), tj. QN je diferencijal dy.

Drugi dio NM" daje razliku Δu ─ dy, sa Δh→0 dužina NM" opada čak i brže od priraštaja argumenta, tj. njegov red male veličine je veći od Δh. U slučaju koji se razmatra, za f "(x) ≠ 0 (tangenta nije paralelna sa OX), segmenti QM" i QN su ekvivalentni; drugim riječima, NM" opada brže (njegov red malenosti je veći) od ukupnog prirasta Δu = QM". To se vidi na slici (kako se M "približava M, segment NM" čini sve manji procenat segmenta QM").

Dakle, grafički, diferencijal proizvoljne funkcije jednak je prirastu ordinate njene tangente.

Derivat i diferencijal

Koeficijent A u prvom članu izraza za prirast funkcije jednak je vrijednosti njene derivacije f "(x). Dakle, vrijedi sljedeća relacija - dy = f "(x)Δx, ili df (x) = f "(x)Δx.

Poznato je da je prirast nezavisnog argumenta jednak njegovom diferencijalu Δh = dx. Prema tome, možemo napisati: f "(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad nazvano “rješavanjem”) diferencijala slijedi ista pravila kao i za derivate. Njihova lista je data u nastavku.

Što je univerzalnije: povećanje argumenta ili njegov diferencijal

Ovdje treba dati neka pojašnjenja. Predstavljanje diferencijala vrijednošću f "(x)Δx je moguće kada se x razmatra kao argument. Ali funkcija može biti kompleksna, u kojoj x može biti funkcija nekog argumenta t. Zatim predstavljanje diferencijala izrazom f "( x)Δx je po pravilu nemoguće; osim u slučaju linearne zavisnosti x = at + b.

Što se tiče formule f "(x)dx = dy, onda i u slučaju nezavisnog argumenta x (onda dx = Δx) i u slučaju parametarske zavisnosti x od t, ona predstavlja diferencijal.

Na primjer, izraz 2 x Δx predstavlja za y = x 2 njegov diferencijal kada je x argument. Stavimo sada x = t 2 i razmotrimo t kao argument. Tada je y = x 2 = t 4.

Ovaj izraz nije proporcionalan Δt i stoga sada 2xΔx nije diferencijal. Može se naći iz jednačine y = x 2 = t 4. Ispada da je jednako dy=4t 3 Δt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, onda on predstavlja diferencijal y = x 2 za bilo koji argument t. Zaista, za x = t 2 dobijamo dx = 2tΔt.

To znači 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, tj. diferencijalni izrazi napisani u terminima dvije različite varijable su se poklopili.

Zamjena inkremenata diferencijalima

Ako je f "(x) ≠ 0, tada su Δu i dy ekvivalentni (za Δh→0); ako je f "(x) = 0 (što znači dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x 2, onda je Δu = (x + Δh) 2 ─ x 2 = 2xΔh + Δh 2, i dy = 2xΔh. Ako je x=3, onda imamo Δu = 6Δh + Δh 2 i dy = 6Δh, koji su ekvivalentni zbog Δh 2 →0, pri x=0 vrijednosti Δu = Δh 2 i dy=0 nisu ekvivalentne.

Ova činjenica, zajedno sa jednostavnom strukturom diferencijala (tj. linearnost u odnosu na Δx), često se koristi u aproksimativnim proračunima, pod pretpostavkom da je Δy ≈ dy za male Δx. Pronalaženje diferencijala funkcije obično je lakše od izračunavanja točne vrijednosti prirasta.

Na primjer, imamo metalnu kocku s rubom x = 10,00 cm, ivica je produžena za Δx = 0,001 cm. Imamo V = x 2, pa je dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). Povećanje zapremine ΔV je ekvivalentno diferencijalu dV, pa je ΔV = 3 cm 3 . Potpuni proračun bi dao ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Ali u ovom rezultatu sve brojke osim prve su nepouzdane; to znači da nije bitno, potrebno je zaokružiti na 3 cm 3.

Očigledno, takav pristup je koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu greške koju on donosi.

Funkcijski diferencijal: primjeri

Pokušajmo pronaći diferencijal funkcije y = x 3 bez pronalaženja izvoda. Dajmo argumentu inkrement i definirajmo Δu.

Δu = (Δh + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δh + (3xΔh 2 + Δh 3).

Ovdje koeficijent A = 3x 2 ne zavisi od Δx, tako da je prvi član proporcionalan Δx, dok drugi član 3xΔx 2 + Δx 3 na Δx→0 opada brže od prirasta argumenta. Stoga je izraz 3x 2 Δx diferencijal y = x 3:

dy=3x 2 Δh=3x 2 dx ili d(x 3) = 3x 2 dx.

U ovom slučaju, d(x 3) / dx = 3x 2.

Nađimo sada dy funkcije y = 1/x kroz njen izvod. Tada je d(1/x) / dx = ─1/x 2. Stoga dy = ─ Δx/x 2.

Diferencijali osnovnih algebarskih funkcija su dati u nastavku.

Približni proračuni pomoću diferencijala

Često nije teško izračunati funkciju f (x), kao i njenu derivaciju f"(x) na x=a, ali to isto učiniti u blizini tačke x=a nije lako. Tada je približni izraz dolazi u pomoć

f(a + Δh) ≈ f "(a)Δh + f(a).

On daje približnu vrijednost funkcije za male priraštaje Δh kroz njen diferencijal f "(a)Δh.

Posljedično, ova formula daje približan izraz za funkciju u krajnjoj točki određenog dijela dužine Δx u obliku sume njene vrijednosti u početnoj tački ovog odsječka (x=a) i diferencijala na istom početnom tačka. Greška ove metode određivanja vrijednosti funkcije je ilustrovana na slici ispod.

Međutim, poznat je i tačan izraz za vrijednost funkcije za x=a+Δh, dat formulom konačnog priraštaja (ili, drugim riječima, Lagrangeovom formulom)

f(a+ Δh) ≈ f "(ξ) Δh + f(a),

gde se tačka x = a+ ξ nalazi na segmentu od x = a do x = a + Δx, iako je njen tačan položaj nepoznat. Tačna formula vam omogućava da procijenite grešku približne formule. Ako stavimo ξ = Δx /2 u Lagrangeovu formulu, onda iako prestaje biti tačna, obično daje mnogo bolju aproksimaciju od originalnog izraza kroz diferencijal.

Procjena greške formula pomoću diferencijala

U principu, oni su netačni i unose odgovarajuće greške u podatke mjerenja. Karakterizira ih marginalna ili, ukratko, maksimalna greška - pozitivan broj koji je očito veći od ove greške u apsolutnoj vrijednosti (ili, u ekstremnim slučajevima, jednak njoj). Granica je količnik njene podjele apsolutnom vrijednošću mjerene veličine.

Neka se za izračunavanje funkcije y koristi tačna formula y= f (x), ali vrijednost x je rezultat mjerenja i stoga unosi grešku u y. Zatim, da biste pronašli maksimalnu apsolutnu grešku │‌‌Δu│funkcije y, koristite formulu

│‌‌Δu│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δh│,

gdje je │Δh│ maksimalna greška argumenta. Vrijednost │‌‌Δu│ treba zaokružiti naviše, jer Sama zamjena obračuna prirasta proračunom diferencijala je netačna.

Ako je funkcija diferencibilan u tački , tada se njegov prirast može predstaviti kao zbir dva člana

. Ovi pojmovi su beskonačno male funkcije na
.Prvi član je linearan u odnosu na
, drugi je infinitezimal višeg reda od
.Stvarno,

Dakle, drugi mandat u
teži nuli brže kada se pronađe prirast funkcije
prvi mandat igra glavnu ulogu
ili (od
)
.

Definicija . Glavni dio inkrementa funkcije
u tački , linearno u odnosu na
,zove diferencijal funkcije u ovom trenutku i određen jedyilidf(x)

. (2)

Dakle, možemo zaključiti: diferencijal nezavisne varijable poklapa se sa njenim prirastom, tj
.

Relacija (2) sada poprima oblik

(3)

Komentar . Formula (3) za sažetost se često piše u obliku

(4)

Geometrijsko značenje diferencijala

Razmotrimo graf diferencijabilne funkcije
. Poeni
i pripadaju grafu funkcije. U tački M povučena tangenta TO na graf funkcije čiji je ugao sa pozitivnim smjerom ose
označiti sa
. Hajde da nacrtamo prave linije MN paralelno sa osom Ox I
paralelno sa osom Oy. Prirast funkcije jednak je dužini segmenta
. Iz pravouglog trougla
, u kojem
, dobijamo

Gorenavedena razmatranja nam omogućavaju da zaključimo:

Funkcijski diferencijal
u tački predstavljeno je povećanjem ordinate tangente na graf ove funkcije u njenoj odgovarajućoj tački
.

Odnos između diferencijala i derivacije

Razmotrimo formulu (4)

Podijelimo obje strane ove jednakosti sa dx, Onda

dakle, derivacija funkcije jednaka je omjeru njenog diferencijala i diferencijala nezavisne varijable.

Često ovakav stav tretira se jednostavno kao simbol koji označava derivaciju funkcije at argumentom X.

Pogodne oznake za derivat su također:

,
i tako dalje.

Unosi se također koriste

,
,

posebno zgodno kada se uzima derivat kompleksnog izraza.

2. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika.

Budući da se diferencijal dobija iz derivacije množenjem diferencijalom nezavisne varijable, onda se, poznavajući izvode osnovnih elementarnih funkcija, kao i pravila za pronalaženje izvoda, može doći do sličnih pravila za nalaženje diferencijala.

1 0 . Diferencijal konstante je nula

2 0 . Diferencijal algebarskog zbira konačnog broja diferencijabilnih funkcija jednak je algebarskom zbiru diferencijala ovih funkcija

3 0 . Diferencijal umnoška dviju diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda prve funkcije diferencijalom druge i druge funkcije diferencijalom prve

Posljedica. Konstantni množitelj se može izvaditi iz diferencijalnog predznaka

Primjer. Pronađite diferencijal funkcije.

Rješenje: Zapišimo ovu funkciju u formu

onda dobijamo

4. Parametarski definirane funkcije, njihova diferencijacija.

Definicija . Funkcija
kaže se da je dat parametarski ako su obje varijable X I at svaka se definira zasebno kao jednovrijedne funkcije iste pomoćne varijable - parametrat:

Gdjetvarira unutar
.

Komentar . Parametarska specifikacija funkcija se široko koristi u teorijskoj mehanici, gdje je parametar t označava vrijeme i jednačine
predstavljaju zakone promjene projekcija pokretne tačke
na osi
I
.

Komentar . Predstavimo parametarske jednačine kruga i elipse.

a) Krug sa centrom u početku i poluprečnikom r ima parametarske jednadžbe:

Gdje
.

b) Zapišimo parametarske jednačine za elipsu:

Gdje
.

Isključivanjem parametra t Iz parametarskih jednačina linija koje se razmatraju mogu se doći do njihovih kanonskih jednačina.

Teorema . Ako je funkcija y iz argumenta x je parametarski dat jednadžbama
, Gdje
I
diferenciran u odnosu natfunkcije i
, To

Primjer. Pronađite izvod funkcije at od X, dato parametarskim jednadžbama.

Rješenje.
.

Aplikacija

Rješavanje diferencijalnih jednadžbi online na web stranici kako bi učenici konsolidirali materijal koji su pokrili. I obučite svoje praktične vještine. Diferencijalne jednadžbe online. Difurs online, rješavanje matematike online. Korak po korak rješenja matematičkih problema na mreži. Red, ili stepen, diferencijalne jednadžbe je najviši red izvedenica uključenih u nju. Diferencijalne jednadžbe online. Proces rješavanja diferencijalne jednadžbe naziva se integracija. Problem integracije diferencijalne jednadžbe se smatra riješenim ako se pronalaženje nepoznate funkcije može dovesti do kvadrature, bez obzira da li je rezultirajući integral u konačnom obliku izražen u terminima poznatih funkcija ili ne. Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Sve diferencijalne jednadžbe se mogu podijeliti na obične diferencijalne jednadžbe (ODE), koje uključuju samo funkcije (i njihove derivate) jednog argumenta, i parcijalne diferencijalne jednadžbe (PDE), u kojima ulazne funkcije zavise od mnogih varijabli. Diferencijalne jednadžbe online. Postoje i stohastičke diferencijalne jednačine (SDE) koje uključuju slučajne procese. Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. U zavisnosti od kombinacija izvoda, funkcija i nezavisnih varijabli, diferencijalne jednadžbe se dijele na linearne i nelinearne, sa konstantnim ili promjenjivim koeficijentima, homogene ili nehomogene. Zbog važnosti primjene, kvazilinearne (linearne u odnosu na više izvode) parcijalne diferencijalne jednadžbe se svrstavaju u posebnu klasu. Rješenja diferencijalnih jednadžbi dijele se na opća i partikularna rješenja. Diferencijalne jednadžbe online. Opća rješenja uključuju neodređene konstante, a za parcijalne diferencijalne jednadžbe proizvoljne funkcije nezavisnih varijabli, koje se mogu rafinirati iz dodatnih uvjeta integracije (početni uvjeti za obične diferencijalne jednadžbe, početni i granični uvjeti za parcijalne diferencijalne jednadžbe). Korak po korak rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži. Nakon određivanja tipa naznačene konstantne i neodređene funkcije, rješenja postaju partikularna. Potraga za rješenjima običnih diferencijalnih jednadžbi dovela je do uspostavljanja klase specijalnih funkcija - funkcija koje se često susreću u aplikacijama koje se ne mogu izraziti kroz poznate elementarne funkcije. Diferencijalne jednadžbe online. Njihova svojstva su detaljno proučena, sastavljene tablice vrijednosti, utvrđene međusobne veze itd. . Skup nabrojanih brojeva može se istražiti. Najbolji odgovor na zadati problem. Kako pronaći, kao prvu aproksimaciju, odlazni vektor u područje konvergencije oko diferencijalnih jednadžbi bez pronalaženja pronađene gornje granice. Izbor je očigledan za povećanje matematičkih funkcija. Postoji progresivna metoda iznad nivoa istraživanja. Usklađivanje početnog stanja problema s rješavanjem diferencijalnih jednadžbi pomoći će vam da pronađete jedinstveno odabranu vrijednost. Može biti da odmah može identifikovati nepoznato. Kao iu prethodnom primjeru specificiranja rješenja matematičkog problema, linearne diferencijalne jednadžbe su odgovor na određeni problem unutar određenog vremenskog okvira. Održavanje istraživačkog postupka nije lokalno određeno. Bit će da se za svakog učenika nađe primjer i rješenje diferencijalnih jednačina će odrediti osoba koja je dodijeljena odgovornoj osobi iz najmanje dvije vrijednosti. Uzmite funkciju opće vrijednosti na određenom segmentu i upozorite duž koje ose će doći do prekida. Proučavanjem diferencijalnih jednadžbi na internetu, moguće je nedvosmisleno pokazati koliko je rezultat važan, ako je predviđen početnim uslovima. Izrezivanje područja iz definicije funkcije je nemoguće, jer ne postoji lokalna definicija zadatka. Budući da je pronađen iz sistema jednačina, odgovor sadrži varijablu koja je prebrojiva u opštem smislu, ali rješavanje diferencijalne jednadžbe na mreži će prirodno biti moguće bez ove radnje određivanja navedenog stanja. Pored intervala segmenta možete vidjeti kako rješavanje diferencijalnih jednadžbi online može unaprijediti rezultat istraživanja u pozitivnom smjeru u trenutku prekida znanja učenika. Najbolje ne proizlazi uvijek iz općeprihvaćenog pristupa poslovanju. Na nivou 2x, korisno je pregledati sve potrebne linearne diferencijalne jednadžbe u prirodnom prikazu, ali sposobnost izračunavanja numeričke vrijednosti rezultirat će poboljšanim znanjem. Prema bilo kojoj metodi u matematici, postoje diferencijalne jednadžbe koje su predstavljene u suštinski različitim izrazima, kao što su homogeni ili složeni. Nakon opće analize proučavanja funkcije, postaje jasno da rješavanje diferencijala kao skupa mogućnosti predstavlja jasnu grešku u vrijednostima. Istina u tome leži u prostoru iznad apscisa. Negdje u domenu definicije kompleksne funkcije, u nekom trenutku njene definicije, linearne diferencijalne jednadžbe će moći dati odgovor u analitičkom obliku. odnosno uopšteno kao suštinu. Ništa se ne mijenja kada promijenite varijablu. Međutim, odgovor morate pogledati s posebnim zanimanjem. U suštini, kalkulator na kraju menja odnos, odnosno kako je rešenje diferencijalnih jednačina proporcionalno globalnoj vrednosti i označava se u granicama željenog rešenja. U nekim slučajevima, masovno upozorenje o grešci je neizbježno. Online diferencijalne jednadžbe implementiraju opću ideju problema, ali je na kraju potrebno što prije obezbijediti pozitivne aspekte vektorskog proizvoda. U matematici, slučajevi zabluda u teoriji brojeva nisu neuobičajeni. Provjera će svakako biti potrebna. Naravno, bolje je to pravo dati profesionalcima u svojoj oblasti i oni će vam pomoći da riješite diferencijalnu jednadžbu na mreži, jer je njihovo iskustvo kolosalno i pozitivno. Razlika na površinama figura i površini je tolika da ne rješavanje diferencijalnih jednadžbi na mreži koje će vam omogućiti da vidite, već je skup objekata koji se ne sijeku takav da je prava paralelna s osom. Kao rezultat, možete dobiti dvostruko više vrijednosti. Iako nije eksplicitno, naše razumijevanje ispravnosti formalne notacije uključuje linearne diferencijalne jednadžbe kako u području gledanja tako iu odnosu na namjerno precjenjivanje kvaliteta rezultata. Panel diskusija na temu od interesa za sve studente recenzira se nekoliko puta. Tokom izučavanja čitavog kursa predavanja, fokusiraćemo našu veliku pažnju na diferencijalne jednačine i srodna područja naučnog proučavanja, ako to nije u suprotnosti sa istinom. Mnogi koraci se mogu izbjeći na početku putovanja. Ako je rješavanje diferencijalnih jednadžbi još uvijek u osnovi nešto novo za učenike, onda se staro uopće ne zaboravlja, već napreduje u budućnost velikom brzinom razvoja. U početku se uslovi za problem u matematici razlikuju, ali to je naznačeno u pasusu desno. Nakon što prođe vrijeme određeno definicijom, ne može se isključiti mogućnost proporcionalno zavisnog ishoda na različitim ravnima kretanja vektora. Takav jednostavan slučaj može se ispraviti na isti način kao što su linearne diferencijalne jednadžbe opisane na kalkulatoru u općenitom obliku, to će biti brže i pomak proračuna neće dovesti do pogrešnog mišljenja. Samo pet slučajeva imenovanih prema teoriji može pomjeriti granice onoga što se dešava. Naše rješenje diferencijalnih jednadžbi pomoći će vam da ručno izračunate vrijednost u brojevima već u prvim fazama dekompozicije funkcionalnog prostora. Na pravim mjestima potrebno je predstaviti dodirnu tačku četiri linije u opštem značenju. Ali ako morate zamijeniti zadatak, onda će biti lako izjednačiti složenost. Početni podaci su dovoljni za projektovanje susjednog kraka, a online diferencijalne jednadžbe izgledaju lijevo poravnate i površina je jednostrano usmjerena prema rotoru vektora. Iznad gornje granice moguće su numeričke vrijednosti izvan naznačenog stanja. Moguće je uzeti u obzir matematičku formulu i online riješiti diferencijalnu jednadžbu koristeći tri nepoznanice u općoj vrijednosti proporcije. Lokalna metoda obračuna je priznata kao važeća. Koordinatni sistem je pravougaonog oblika u relativnom kretanju ravni. Opće rješenje diferencijalnih jednadžbi na mreži omogućava nam da nedvosmisleno izvučemo zaključak u korist proračunskog prolaska kroz definicije matrice na cijeloj pravoj liniji koja se nalazi iznad grafa eksplicitno određene funkcije. Rješenje je jasno vidljivo ako vektor kretanja primijenite na dodirnu tačku tri hemisfere. Cilindar se dobija rotacijom pravougaonika oko stranice i linearne diferencijalne jednadžbe će moći da pokažu smer kretanja tačke prema datim izrazima njenog zakona kretanja. Početni podaci su tačni i problem iz matematike je zamjenjiv pod jednim jednostavnim uvjetom. Međutim, zbog okolnosti, zbog složenosti postavljenog podzadatka, diferencijalne jednačine pojednostavljuju proces izračunavanja numeričkih prostora na nivou trodimenzionalnog prostora. Lako je dokazati suprotno, ali se može izbjeći, kao u datom primjeru. U višoj matematici daju se sljedeće tačke: kada se problem svede na pojednostavljeni oblik, na njega treba uložiti najveći mogući napor učenika. Uzimaju se u obzir linije koje su postavljene jedna na drugu. O rješavanju diferencijala i dalje se nastavlja prednost navedene metode na krivoj liniji. Ako prvo prepoznate nešto što vam nije potrebno, onda će matematička formula stvoriti novo značenje izraza. Cilj je optimalan pristup rješavanju zadataka koje postavlja profesor. Ne treba pretpostaviti da će linearne diferencijalne jednadžbe u pojednostavljenom obliku premašiti očekivani rezultat. Postavljamo tri vektora na konačno složenu površinu. ortogonalne jedna na drugu. Izračunajmo proizvod. Dodajmo veći broj simbola i ispišemo sve varijable funkcije iz rezultirajućeg izraza. Postoji proporcija. Nekoliko radnji koje prethode kraju proračuna neće dati nedvosmislen odgovor na rješenje diferencijalnih jednadžbi odmah, već tek nakon što zadano vrijeme protekne duž y-ose. Lijevo od točke diskontinuiteta, specificirane implicitno iz funkcije, povlačimo os ortogonalnu na najbolji rastući vektor i postavljamo online diferencijalne jednadžbe duž najmanje granične vrijednosti donje strane matematičkog objekta. Dodatni argument dodajemo u područje prekida funkcije. Desno od tačaka u kojima se nalazi kriva linija, formule koje smo napisali za svođenje na zajednički nazivnik pomoći će vam da riješite diferencijalnu jednadžbu na mreži. Zauzet ćemo jedini ispravan pristup koji će rasvijetliti neriješene probleme iz teorije u praksu, u opštem slučaju nedvosmisleno. Prave u smjeru koordinata datih tačaka nikada nisu zatvarale ekstremni položaj kvadrata, ali rješavanje diferencijalnih jednadžbi na mreži pomoći će studentima, nama i tek početnicima u ovoj oblasti u proučavanju matematike. Govorimo o mogućnosti zamjene vrijednosnog argumenta u sve značajne linije jednog polja. U principu, kao što bi se očekivalo, naše linearne diferencijalne jednadžbe su nešto izolovano u jedan koncept datog značenja. Za pomoć studentima, jedan od najboljih kalkulatora među sličnim servisima. Pohađajte sve kurseve i izaberite najbolji za sebe.

24.1. Pojam diferencijalne funkcije

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.

Tada, prema teoremi o povezanosti funkcije, njene granice i infinitezimalne funkcije, možemo napisati D u/D x=ƒ"(x)+α, gdje je α→0 na ∆h→0, ili ∆u =ƒ"(x) ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ"(x) ∆x i a ∆x, koji su beskonačno mali za ∆x→0. Štaviše, prvi član je infinitezimalna funkcija istog reda kao ∆x, pošto a drugi član je infinitezimalna funkcija višeg reda od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ"(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

Funkcijski diferencijal y=ƒ(x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak proizvodu derivacije funkcije i priraštaja argumenta, i označava se du (ili dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆h. (24.1)

Du diferencijal se takođe naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, tj. diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (24.1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (24.1) može napisati na sljedeći način:

dy=ƒ"(h)dh, (24.2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (24.2) slijedi jednakost dy/dx=ƒ"(x). Sada je notacija

derivacija dy/dx se može smatrati omjerom diferencijala dy i dx.

<< Пример 24.1

Naći diferencijal funkcije ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x).

Rješenje: Pomoću formule dy=ƒ"(x) dx nalazimo

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Pronađite diferencijal funkcije

Izračunajte dy za x=0, dx=0,1.

Rješenje:

Zamjenom x=0 i dx=0.1 dobijamo

24.2. Geometrijsko značenje diferencijalne funkcije

Hajde da saznamo geometrijsko značenje diferencijala.

Da bismo to učinili, nacrtajmo tangentu MT na graf funkcije y=ƒ(x) u tački M(x; y) i razmotrimo ordinatu ove tangente za tačku x+∆x (vidi sliku 138). Na slici ½ AM½ =∆h, |AM 1 |=∆u. Iz pravouglog trougla MAV imamo:

Ali, prema geometrijskom značenju derivacije, tga=ƒ"(x). Dakle, AB=ƒ"(x) ∆x.

Upoređujući dobijeni rezultat sa formulom (24.1), dobijamo dy=AB, tj. diferencijal funkcije y=ƒ(x) u tački x jednak je prirastu u ordinati tangente na graf funkcije u ovoj tački tačka, kada x dobije povećanje ∆x.

Ovo je geometrijsko značenje diferencijala.

24.3 Osnovne teoreme o diferencijalima

Osnovne teoreme o diferencijalima mogu se lako dobiti pomoću veze između diferencijala i izvoda funkcije (dy=f"(x)dx) i odgovarajućih teorema o derivacijama.

Na primjer, pošto je derivacija funkcije y=c jednaka nuli, onda je diferencijal konstantne vrijednosti jednak nuli: dy=s"dx=0 dx=0.

Teorema 24.1. Diferencijal zbira, proizvoda i količnika dvije diferencibilne funkcije određen je sljedećim formulama:

Dokažimo, na primjer, drugu formulu. Po definiciji diferencijala imamo:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorema 24.2. Diferencijal kompleksne funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije u odnosu na međuargument i diferencijal ovog međuargumena.

Neka su y=ƒ(u) i u=φ(x) dvije diferencibilne funkcije koje formiraju kompleksnu funkciju y=ƒ(φ(x)). Koristeći teoremu o izvodu kompleksne funkcije, možemo pisati

y" x =y" u u" x.

Pomnožeći obje strane ove jednakosti sa dx, saznajemo y" x dx=y" u u" x dx. Ali y" x dx=dy i u" x dx=du. Shodno tome, posljednja jednakost se može prepisati na sljedeći način:

dy=u" u du.

Uspoređujući formule dy=y" x dx i dy=y" u du, vidimo da je prvi diferencijal funkcije y=ƒ(x) određen istom formulom bez obzira da li je njen argument nezavisna varijabla ili je funkcija drugog argumenta.

Ovo svojstvo diferencijala naziva se invarijantnost (nepromjenjivost) oblika prvog diferencijala.

Formula dy=y" x dx po izgledu se poklapa sa formulom dy=y" u du, ali postoji fundamentalna razlika između njih: u prvoj formuli x je nezavisna varijabla, dakle dx=∆x, u drugoj formuli postoji funkcija od x , dakle, općenito govoreći, du≠∆u.

Koristeći definiciju diferencijala i osnovne teoreme o diferencijalima, lako je pretvoriti tablicu derivacija u tablicu diferencijala.

Na primjer: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferencijalna tablica

24.5. Primjena diferencijala na približne proračune

Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije y=ƒ(x) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(x) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 u ∆h→0, ili ∆u= dy+α ∆h Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆h višeg reda od ∆h, dobijamo približnu jednakost.

∆u≈dy, (24.3)

Štaviše, ova jednakost je tačnija što je ∆h manji.

Ova jednakost nam omogućava da približno izračunamo prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.

Diferencijal je obično mnogo jednostavnije pronaći nego inkrement funkcije, pa se formula (24.3) široko koristi u računarskoj praksi.

<< Пример 24.3

Odrediti približnu vrijednost prirasta funkcije y=x 3 -2x+1 pri x=2 i ∆x=0,001.

Rešenje: Primenjujemo formulu (24.3): ∆u≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Dakle, ∆u» 0,01.

Pogledajmo koja je greška napravljena izračunavanjem diferencijala funkcije umjesto njenog prirasta. Da bismo to učinili, nalazimo ∆u:

∆u=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Apsolutna greška aproksimacije je

|∆u-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Zamjenom vrijednosti ∆u i dy u jednakost (24.3), dobijamo

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(h+∆h)≈ƒ(h)+ƒ"(h) ∆h. (24.4)

Formula (24.4) se koristi za izračunavanje približnih vrijednosti funkcija.

<< Пример 24.4

Izračunajte približno arktan (1,05).

Rješenje: Razmotrite funkciju ƒ(x)=arctgx. Prema formuli (24.4) imamo:

arctg(x+∆h)≈arctgx+(arctgx)" ∆h,

tj.

Pošto je x+∆x=1,05, onda pri x=1 i ∆x=0,05 dobijamo:

Može se pokazati da apsolutna greška formule (24.4) ne prelazi vrijednost M (∆x) 2, gdje je M najveća vrijednost |ƒ"(x)| na segmentu [x;x+∆x].

<< Пример 24.5

Koju će udaljenost preći tijelo tokom slobodnog pada na Mjesec za 10,04 s od početka pada? Jednačina slobodnog pada tijela

H=g l t 2 /2, g l =1,6 m/s 2.

Rješenje: Moramo pronaći H(10,04). Koristimo približnu formulu (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. Pri t=10 s i ∆t=dt=0,04 s, H"(t)=g l t, nalazimo

Problem (za samostalno rješenje). Tijelo mase m=20 kg kreće se brzinom ν=10,02 m/s. Približno izračunajte kinetičku energiju tijela

24.6. Diferencijali višeg reda

Neka je y=ƒ(x) diferencijabilna funkcija i neka je njen argument x nezavisna varijabla. Tada je njegov prvi diferencijal dy=ƒ"(x)dx također funkcija od x; diferencijal ove funkcije se može naći.

Poziva se diferencijal diferencijala funkcije y=ƒ(x). njen drugi diferencijal(ili diferencijal drugog reda) i označava se sa d 2 y ili d 2 ƒ(x).

Dakle, po definiciji, d 2 y=d(dy). Nađimo izraz za drugi diferencijal funkcije y=ƒ(x).

Pošto dx=∆h ne zavisi od x, onda prilikom diferenciranja smatramo dx konstantom:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 tj.

d 2 y=ƒ"(h)dh 2. (24.5)

Ovdje dx 2 označava (dx) 2.

Diferencijal trećeg reda definiran je i pronađen na sličan način

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .

I, općenito, diferencijal n-tog reda je diferencijal od diferencijala (n-1)-tog reda: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

Odavde nalazimo da, posebno, za n=1,2,3

shodno tome dobijamo:

to jest, derivacija funkcije se može smatrati omjerom njenog diferencijala odgovarajućeg reda i odgovarajućeg stepena diferencijala nezavisne varijable.

Imajte na umu da su sve gornje formule važeće samo ako je x nezavisna varijabla. Ako je funkcija y=ƒ(x), gdje je x funkcija neke druge nezavisne varijable, onda diferencijali drugog i višeg reda nemaju svojstvo invarijantnosti oblika i računaju se pomoću drugih formula. Pokažimo to na primjeru diferencijala drugog reda.

Koristeći diferencijalnu formulu proizvoda (d(uv)=vdu+udv), dobijamo:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(x))dx+ƒ"(x) d(dx)=ƒ"(x)dx dx+ƒ"(x) d 2 x , tj.

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x. (24.6)

Uspoređujući formule (24.5) i (24.6), uvjeravamo se da se u slučaju kompleksne funkcije mijenja diferencijalna formula drugog reda: pojavljuje se drugi član ƒ"(x) d 2 x.

Jasno je da ako je x nezavisna varijabla, onda

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

a formula (24.6) prelazi u formulu (24.5).

<< Пример 24.6

Pronađite d 2 y ako je y = e 3x i x je nezavisna varijabla.

Rješenje: Kako je y"=3e 3x, y"=9e 3x, onda prema formuli (24.5) imamo d 2 y=9e 3x dx 2.

<< Пример 24.7

Naći d 2 y ako je y=x 2 i x=t 3 +1 i t je nezavisna varijabla.

Rješenje: Koristimo formulu (24.6): pošto

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

To d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Drugo rješenje: y=x 2, x=t 3 +1. Dakle, y=(t 3 +1) 2. Tada prema formuli (24.5)

d 2 y=y ¢¢ dt 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

Diferencijal argumenta je njegov prirast dx = ∆ x .

Diferencijal funkcije je proizvod derivacije i prirasta argumenta dy = f ′( x )∙∆ x ili dy = f ′( x )∙ dx .

komentar:

Poređenje inkrementalnog diferencijala.

Neka ∆ y i ∆x su istog reda male veličine.

Dy i ∆x istog reda malenosti, tj. dy i ∆y istog reda malenosti.

α∙∆x je infinitezimal višeg reda male veličine od ∆x.

.Diferencijal je glavni dio prirasta funkcije .

Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimalnu

viši red od prirasta argumenta.

Geometrijsko značenje diferencijalne funkcije.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Diferencijal je jednak prirastu ordinate tangente.

Diferencijalna svojstva.

Diferencijal zbira jednak je zbiru diferencijala.

d ( u + v) = du + dv.

Diferencijal proizvoda d ( u v ) = du ∙ v + u dv .

Diferencijal kompleksne funkcije.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′ x dx =

dy = f ′( u ) du – invarijantnost oblika diferencijala.

Diferencijali višeg reda.

dy = f ′(x)∙ dx, odavde

Hiperboličke funkcije.

U mnogim primjenama matematičke analize susreću se kombinacije eksponencijalnih funkcija.

Definicije.

Iz definicija hiperboličkih funkcija slijede relacije:

ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ. Derivati hiperboličkih funkcija.

Rolleova teorema.

Ako je funkcija f ( x ) je definiran i kontinuiran na zatvorenom intervalu [ a , b ], ima derivaciju u svim unutrašnjim točkama ovog intervala i uzima jednake vrijednosti na krajevima intervala, tada unutar intervala postoji barem jedna takva tačkax = ξ, koji f ′(ξ) = 0.

Geometrijsko značenje.

f(a) = f(b), k cas = 0.

ACBNa glatkom luku [a, b] postoji takva tačka

f(a) f(b) C, u kojem je tangenta paralelna tetivi.

a ξ b x

Lagrangeova teorema (1736-1813, Francuska).

Ako je funkcija definirana i kontinuirana na zatvorenom intervalu [ a , b ] i ima derivaciju u svim unutrašnjim tačkama ovog intervala, onda unutar ovog intervala postoji barem jedna tačka x = ξ takva da jef ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).