Pronađite izvod: algoritam i primjeri rješenja. Pravila za izračunavanje izvoda Izvod proizvoda funkcija nalazi se prema pravilu

Šta je derivirana funkcija - to je osnovni matematički koncept koji je u analizi na istom nivou kao i integrali. Ova funkcija u određenoj tački daje karakteristiku brzine promjene funkcije u ovoj tački.
Koncepti kao što su diferencijacija i integracija, prvi se dešifruje kao radnja traženja derivata, drugi, naprotiv, obnavlja funkciju počevši od date derivacije.
Izračuni derivata igraju važnu ulogu u diferencijalnim proračunima.
Za jasan primjer, oslikajmo derivaciju na koordinatnoj ravni.

u funkciji y=f(x) fiksiramo tačke M u kojima (x0; f(X0)) i N f (x0+?x) na svakoj apscisi postoji prirast u obliku?x. Prirast je proces kada se apscisa mijenja, a zatim se mijenja i ordinata. Označeno kao?y.
Nađimo tangentu ugla u trouglu MPN koristeći tačke M i N za ovo.

tg? = NP/MP = ?u/?x.

As?x ide na 0. Presjecanje MN sve je bliže tangenti MT i kutu? hoće?. Dakle, tg? maksimalna vrijednost za tg?.

tg? = lim od?x-0 tg ? = lim od?x-0 ?y/?x

Tabela derivata

Ako izgovorite formulaciju svakog derivativne formule. Tabela će se lakše zapamtiti.
1) Derivat konstantne vrijednosti je 0.
2) X sa prostim brojem je jedan.
3) Ako postoji konstantni faktor, jednostavno ga uzimamo kao izvod.
4) Da biste pronašli izvedeni stepen, potrebno je da pomnožite eksponent datog stepena sa stepenom iste baze, čiji je eksponent manji za 1.
5) Pronalaženje korijena jednako je jednom podijeljenom sa 2 od ovih korijena.
6) Derivat jedinice podijeljen sa X jednak je jednoj podijeljen sa X na kvadrat, sa predznakom minus.
7) P sinus je kosinus
8) P kosinus je jednak sinusu sa predznakom minus.
9) P tangenta je jednaka jedinici podijeljenoj kosinusom na kvadrat.
10) P kotangens je jednak jedinici sa predznakom minus, podijeljen sa sinusom na kvadrat.

Postoje i pravila u razlikovanju koja je također lakše naučiti ako ih izgovorite naglas.

1) Vrlo jednostavno, n članova je njihov zbir.
2) Derivat u množenju jednak je množenju prve vrijednosti sa drugom, sabirajući sebi množenje druge vrijednosti sa prvom.
3) Izvod u dijeljenju je jednak množenju prve vrijednosti drugom, oduzimajući množenje druge vrijednosti prvom. Razlomak podijeljen s drugom vrijednošću na kvadrat.
4) Formulacija je poseban slučaj treće formule.

Ako slijedite definiciju, tada je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:

Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte koristiti ovu formulu da izračunate, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.

Za početak, napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo razlikovati takozvane elementarne funkcije. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati odavno izračunati i tabelarizirani. Takve funkcije je prilično lako zapamtiti - zajedno sa njihovim derivatima.

Derivati elementarnih funkcija

Osnovne funkcije su sve one navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih uopće teško zapamtiti - zato su elementarni.

Dakle, derivati elementarnih funkcija:

Ime	Funkcija	Derivat
Konstantno	f(x) = C, C ∈ R	0 (da, nula!)
Potencija s racionalnim eksponentom	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = grijeh x	cos x
Kosinus	f(x) = cos x	−sin x(minus sinus)
Tangenta	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	− 1/grijeh 2 x
Prirodni logaritam	f(x) = log x	1/x
Proizvoljni logaritam	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Eksponencijalna funkcija	f(x) = e x	e x(ništa se nije promijenilo)

Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:

(C · f)’ = C · f ’.

Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne posebno elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.

Derivat zbira i razlike

Neka su funkcije zadane f(x) I g(x), čiji su nam derivati poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept „oduzimanja“. Postoji koncept „negativnog elementa“. Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:

f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;

Slično razmišljamo o funkciji g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat proizvoda

Matematika je logička nauka, pa mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda je derivacija proizvoda štrajk">jednako umnošku derivata. Ali jebi se! Derivat proizvoda se izračunava po potpuno drugoj formuli. Naime:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)

Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali se opća shema ne mijenja. Očigledno, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegov izvod je izvod zbira. Imamo:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to ne treba da se radi, ali većina derivata se ne izračunavaju sami, već da se ispita funkcija. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz faktoriziran.

Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:

Nije slabo, zar ne? Odakle minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučiti na konkretnim primjerima.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija:

Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:

Prema tradiciji, hajde da faktoriziramo brojilac - ovo će uvelike pojednostaviti odgovor:

Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. To će uspjeti f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Takođe ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći koristeći pravila o kojima smo gore govorili.

Sta da radim? U takvim slučajevima, zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije pomaže:

f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x je zamijenjen sa t(x).

Po pravilu, situacija s razumijevanjem ove formule je još tužnija nego s derivacijom količnika. Stoga je bolje i to objasniti na konkretnim primjerima, uz detaljan opis svakog koraka.

Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)

Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga pravimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivat kompleksne funkcije koristeći formulu:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A sada - pažnja! Vršimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobijamo:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’

Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. onda:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

To je sve! Kao što se može vidjeti iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje sume derivata.

odgovor:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „prime“. Na primjer, hod zbroja je jednak zbiru poteza. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.

Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje od tih istih poteza prema pravilima o kojima smo gore govorili. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:

(x n)’ = n · x n − 1

Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0.5. Šta ako postoji nešto fensi ispod korijena? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole da daju takve konstrukcije na testovima i ispitima.

Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:

Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sada pravimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod pronalazimo pomoću formule:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Uradimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Konačno, povratak korijenima:

U ovoj lekciji nastavljamo da proučavamo derivate funkcija i prelazimo na napredniju temu, naime, derivate proizvoda i količnika. Ako ste gledali prethodnu lekciju, vjerovatno ste shvatili da smo razmatrali samo najjednostavnije konstrukcije, odnosno izvod funkcije stepena, zbir i razliku. Konkretno, naučili smo da je derivacija zbira jednaka njihovom zbiru, a derivacija razlike jednaka njihovoj razlici. Nažalost, u slučaju kvocijenata i derivata proizvoda, formule će biti mnogo složenije. Počećemo sa formulom za derivaciju proizvoda funkcija.

Derivati trigonometrijskih funkcija

Za početak, dozvolite mi da napravim malu lirsku digresiju. Činjenica je da ćemo pored standardne funkcije snage - $y=((x)^(n))$, u ovoj lekciji naići i na druge funkcije, naime, $y=\sin x$, kao i $ y=\ cos x$ i druga trigonometrija - $y=tgx$ i, naravno, $y=ctgx$.

Ako svi savršeno dobro znamo izvod funkcije stepena, naime $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, onda kao za trigonometrijske funkcije, potrebno je posebno spomenuti. Hajde da to zapišemo:

\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

Ali vi vrlo dobro znate ove formule, idemo dalje.

Šta je derivat proizvoda?

Prvo, najvažnija stvar: ako je funkcija proizvod dvije druge funkcije, na primjer, $f\cdot g$, tada će derivacija ove konstrukcije biti jednaka sljedećem izrazu:

Kao što vidite, ova formula je značajno drugačija i složenija od formula koje smo ranije pogledali. Na primjer, derivacija sume se izračunava na elementaran način - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$, ili derivat od razlika, koja se takođe izračunava na elementaran način - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.

Pokušajmo primijeniti prvu formulu za izračunavanje izvoda dviju funkcija koje su nam date u zadatku. Počnimo s prvim primjerom:

Očigledno, sljedeća konstrukcija djeluje kao proizvod, tačnije, kao množitelj: $((x)^(3))$, možemo je smatrati kao $f$, a $\left(x-5 \right) $ možemo smatrati kao $g$. Tada će njihov proizvod biti upravo proizvod dvije funkcije. Odlučujemo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \desno))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \ desno))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].

Pogledajmo pobliže svaki naš termin. Vidimo da i prvi i drugi član sadrže stepen $x$: u prvom slučaju to je $((x)^(2))$, au drugom je $((x)^(3)) $. Uzmimo najmanji stepen iz zagrada, ostavljajući u zagradama:

\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \desno)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(poravnati)\]

To je to, našli smo odgovor.

Vratimo se našim problemima i pokušajmo ih riješiti:

Dakle, hajde da prepišemo:

Opet napominjemo da govorimo o proizvodu proizvoda dvije funkcije: $x$, koji se može označiti sa $f$, i $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, koji može biti označeno sa $g$.

Dakle, opet imamo pred sobom proizvod dvije funkcije. Da bismo pronašli derivaciju funkcije $f\left(x \right)$, ponovo ćemo koristiti našu formulu. Dobijamo:

\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \desno))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]

Odgovor je pronađen.

Zašto faktorski derivati?

Upravo smo koristili nekoliko vrlo važnih matematičkih činjenica, koje same po sebi nisu vezane za derivate, ali bez njihovog znanja, svako dalje proučavanje ove teme jednostavno nema smisla.

Prvo, dok smo rješavali prvi problem i već smo se riješili svih znakova derivacija, iz nekog razloga smo počeli faktorizirati ovaj izraz.

Drugo, prilikom rješavanja sljedećeg zadatka, nekoliko puta smo prelazili s korijena na stepen s racionalnim eksponentom i nazad, koristeći formulu za 8-9. razred, koju bi vrijedilo posebno ponoviti.

Što se tiče faktorizacije - zašto su potrebni svi ti dodatni napori i transformacije? U stvari, ako problem jednostavno kaže “pronađi derivaciju funkcije”, onda ovi dodatni koraci nisu potrebni. Međutim, u stvarnim problemima koji vas čekaju na svim vrstama ispita i testova, jednostavno pronalaženje izvedenice često nije dovoljno. Činjenica je da je izvod samo alat pomoću kojeg možete saznati, na primjer, povećanje ili smanjenje funkcije, a za to morate riješiti jednadžbu i faktorizirati je. I tu će ova tehnika biti vrlo prikladna. I općenito, mnogo je zgodnije i ugodnije raditi s funkcijom faktoriziranom u budućnosti ako su potrebne bilo kakve transformacije. Stoga, pravilo br. 1: ako se izvod može faktorizirati, to je ono što biste trebali učiniti. I odmah pravilo broj 2 (u stvari, ovo je materijal za 8-9. razred): ako problem sadrži korijen n--ti stepen, a korijen je očito veći od dva, onda se ovaj korijen može zamijeniti običnim stepenom s racionalnim eksponentom, a u eksponentu će se pojaviti razlomak, gdje n― upravo taj stepen ― će biti u nazivniku ovog razlomka.

Naravno, ako postoji neki stepen ispod korena (u našem slučaju to je stepen k), onda ne ide nikuda, već jednostavno završi u brojniku upravo ovog stepena.

Sada kada ste sve ovo razumjeli, vratimo se na izvode proizvoda i izračunajmo još nekoliko jednačina.

Ali prije nego što pređemo direktno na proračune, želio bih vas podsjetiti na sljedeće obrasce:

\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Razmotrimo prvi primjer:

Opet imamo proizvod dvije funkcije: prva je $f$, druga je $g$. Da vas podsjetim na formulu:

\[((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]

Hajde da odlučimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \desno) \\\end(align)\]

Pređimo na drugu funkciju:

Opet, $\left(3x-2 \right)$ je funkcija od $f$, $\cos x$ je funkcija od $g$. Ukupno, derivacija proizvoda dvije funkcije bit će jednaka:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ lijevo(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \desno)\cdot \sin x \\\end(align)\]

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]

Zapišimo to posebno:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \desno)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]

Ovaj izraz ne činimo faktorima, jer ovo još nije konačan odgovor. Sada moramo riješiti drugi dio. Hajde da to ispišemo:

\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]

Vratimo se sada našem prvobitnom zadatku i sve spojimo u jednu strukturu:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]

To je to, ovo je konačan odgovor.

Prijeđimo na posljednji primjer - on će biti najsloženiji i najobimniji u smislu proračuna. Dakle, primjer:

\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]

Svaki dio posebno računamo:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]

\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

Vraćajući se na originalnu funkciju, izračunajmo njenu derivaciju u cjelini:

\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]

To je, u stvari, sve što sam hteo da vam kažem o izvedenim delima. Kao što vidite, glavni problem formule nije u njenom pamćenju, već u činjenici da uključuje prilično veliku količinu proračuna. Ali to je u redu, jer sada prelazimo na izvod količnika, gdje ćemo morati jako puno raditi.

Šta je derivat količnika?

Dakle, formula za izvod količnika. Ovo je možda najsloženija formula u školskom kursu o izvedenicama. Recimo da imamo funkciju oblika $\frac(f)(g)$, gdje su $f$ i $g$ također funkcije iz kojih također možemo ukloniti prost. Tada će se izračunati prema sljedećoj formuli:

Brojnik nas donekle podsjeća na formulu za derivaciju proizvoda, ali između članova postoji znak minus, a nazivniku je dodan i kvadrat originalnog nazivnika. Pogledajmo kako ovo funkcionira u praksi:

Pokušajmo riješiti:

\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left (((x)^(2))-1 \desno))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]

Predlažem da svaki dio napišete posebno i zapišete:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ desno))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(poravnati)\]

Prepišimo naš izraz:

\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\levo(x+2 \desno))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\levo(x+2 \desno))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\levo(x+2 \desno) ))^(2))) \\\end(align)\]

Našli smo odgovor. Pređimo na drugu funkciju:

Sudeći po činjenici da mu je brojilac jednostavno jedan, izračuni će ovdje biti malo jednostavniji. Dakle, napišimo:

\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \desno)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\levo(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Izračunajmo svaki dio primjera posebno:

\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \desno))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]

Prepišimo naš izraz:

\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)((\left(((x)^(2) )+4 \desno))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \desno))^(2)))\]

Našli smo odgovor. Kao što se i očekivalo, ispostavilo se da je količina proračuna znatno manja nego za prvu funkciju.

Koja je razlika između oznaka?

Pažljivi učenici vjerovatno već imaju pitanje: zašto u nekim slučajevima funkciju označavamo kao $f\left(x \right)$, a u drugim slučajevima jednostavno pišemo $y$? Zapravo, sa stanovišta matematike, nema apsolutno nikakve razlike - imate pravo koristiti i prvu oznaku i drugu, a neće biti kazni na ispitima ili testovima. Za one koje još zanima, objasniću zašto autori udžbenika i zadataka u nekim slučajevima pišu $f\left(x \right)$, a u drugim (mnogo češće) - jednostavno $y$. Činjenica je da pisanjem funkcije u obliku \ implicitno nagovještavamo onima koji čitaju naše proračune da govorimo upravo o algebarskoj interpretaciji funkcionalne ovisnosti. Odnosno, postoji određena varijabla $x$, razmatramo zavisnost od ove varijable i označavamo je $f\left(x \right)$. U isto vrijeme, nakon što je vidio takvu oznaku, onaj koji čita vaše proračune, na primjer, inspektor, podsvjesno će očekivati da ga u budućnosti čekaju samo algebarske transformacije - bez grafova i bez geometrije.

S druge strane, koristeći notacije oblika \, tj. označavajući varijablu jednim slovom, odmah jasno stavljamo do znanja da nas u budućnosti zanima geometrijska interpretacija funkcije, tj. sve, u svom grafikonu. Shodno tome, kada se suoči sa zapisom obrasca\, čitalac ima pravo da očekuje grafičke proračune, odnosno grafikone, konstrukcije itd., ali, ni u kom slučaju, analitičke transformacije.

Takođe bih želeo da vam skrenem pažnju na jednu karakteristiku dizajna zadataka koje danas razmatramo. Mnogi studenti misle da dajem previše detaljne proračune, a mnogi od njih bi se mogli preskočiti ili jednostavno riješiti u glavi. Međutim, upravo tako detaljan zapis će vam omogućiti da se riješite uvredljivih grešaka i značajno povećate postotak ispravno riješenih problema, na primjer, u slučaju samopripreme za testove ili ispite. Stoga, ako još uvijek niste sigurni u svoje sposobnosti, ako tek počinjete proučavati ovu temu, nemojte žuriti - opišite svaki korak do detalja, zapišite svaki faktor, svaki potez i vrlo brzo ćete naučiti bolje rješavati takve primjere od mnogih školskih nastavnika. Nadam se da je ovo jasno. Nabrojimo još nekoliko primjera.

Nekoliko zanimljivih zadataka

Ovog puta, kao što vidimo, trigonometrija je prisutna u izvodnicama koje se računaju. Stoga, da vas podsjetim na sljedeće:

\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(align )\]

Naravno, ne možemo bez derivacije količnika, odnosno:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Razmotrimo prvu funkciju:

\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(poravnati)\]

Tako smo pronašli rješenje za ovaj izraz.

Pređimo na drugi primjer:

Očigledno, njegov izvod će biti složeniji, makar samo zato što je trigonometrija prisutna i u brojniku i u nazivniku ove funkcije. Odlučujemo:

\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]

Imajte na umu da imamo derivat proizvoda. U ovom slučaju će biti jednako:

\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \ desno))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]

Vratimo se našim proračunima. Zapisujemo:

\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \desno))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)((\cos )^(2))x) \\\end(poravnati)\]

To je sve! Izračunali smo.

Kako svesti izvod količnika na jednostavnu formulu za derivaciju proizvoda?

I ovdje bih želio napraviti jednu vrlo važnu primjedbu u vezi sa trigonometrijskim funkcijama. Činjenica je da naša originalna konstrukcija sadrži izraz oblika $\frac(\sin x)(\cos x)$, koji se lako može zamijeniti jednostavno sa $tgx$. Dakle, izvod količnika svodimo na jednostavniju formulu za izvod proizvoda. Izračunajmo ponovo ovaj primjer i uporedimo rezultate.

Dakle, sada moramo razmotriti sljedeće:

\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Prepišimo našu originalnu funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ uzimajući u obzir ovu činjenicu. Dobijamo:

izbrojimo:

\[\begin(align)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]

Sada, ako uporedimo dobijeni rezultat sa onim što smo ranije dobili pri računanju na drugačiji način, onda ćemo se uveriti da smo dobili isti izraz. Dakle, bez obzira kojim putem idemo pri izračunavanju derivacije, ako je sve ispravno izračunato, onda će odgovor biti isti.

Važne nijanse pri rješavanju problema

U zaključku, želio bih vam reći još jednu suptilnost u vezi s izračunavanjem derivacije količnika. Ono što ću vam sada reći nije bilo u originalnom scenariju video lekcije. Međutim, nekoliko sati prije snimanja, učio sam s jednim od svojih učenika i upravo smo razgovarali o temi kvocijentnih derivata. I, kako se ispostavilo, mnogi studenti ne razumiju ovu poentu. Dakle, recimo da moramo izračunati potez uklanjanja sljedeće funkcije:

U principu, na prvi pogled u tome nema ničeg natprirodnog. Međutim, u procesu proračuna možemo napraviti mnogo glupih i uvredljivih grešaka, o kojima bih sada želio da razgovaramo.

Dakle, izračunavamo ovu derivaciju. Prije svega, napominjemo da imamo pojam $3((x)^(2))$, pa je prikladno podsjetiti se na sljedeću formulu:

\[((\left(((x)^(n)) \desno))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Osim toga, imamo pojam $\frac(48)(x)$ - bavit ćemo se njime kroz izvod količnika, odnosno:

\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]

Dakle, odlučimo:

\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]

Sa prvim mandatom nema problema, pogledajte:

\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]

Ali sa prvim pojmom, $\frac(48)(x)$, morate raditi odvojeno. Činjenica je da mnogi učenici brkaju situaciju kada treba da pronađu $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ i kada treba da pronađu $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. To jest, oni se zbune kada je konstanta u nazivniku i kada je konstanta u brojniku, respektivno, kada je varijabla u brojniku ili u nazivniku.

Počnimo s prvom opcijom:

\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]

S druge strane, ako pokušamo da uradimo isto sa drugim razlomkom, dobićemo sledeće:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right) ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(align)\]

Međutim, isti primjer bi se mogao izračunati drugačije: u fazi u kojoj smo prešli na derivaciju kvocijenta, možemo smatrati $\frac(1)(x)$ kao potenciju sa negativnim eksponentom, tj. dobijamo sljedeće :

\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \desno))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]

I tako, i tako dobili smo isti odgovor.

Tako smo se još jednom uvjerili u dvije važne činjenice. Prvo, isti izvod se može izračunati na potpuno različite načine. Na primjer, $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ se može smatrati i kao izvod količnika i kao izvod funkcije stepena. Štaviše, ako se svi proračuni izvode ispravno, onda će odgovor uvijek biti isti. Drugo, kada se računaju derivati koji sadrže i varijablu i konstantu, fundamentalno je važno gdje se varijabla nalazi - u brojniku ili u nazivniku. U prvom slučaju, kada je varijabla u brojniku, dobijamo jednostavnu linearnu funkciju koja se lako može izračunati. A ako je varijabla u nazivniku, onda dobijamo složeniji izraz s prethodno datim popratnim proračunima.

U ovom trenutku lekcija se može smatrati završenom, pa ako ne razumijete ništa o izvedenicama količnika ili proizvoda, i općenito, ako imate bilo kakvih pitanja na ovu temu, ne oklijevajte - idite na moju web stranicu , pišite, zovite, i svakako ću probati mogu li vam pomoći.

Derivati sami po sebi nisu kompleksna tema, ali su veoma opsežni, a ono što sada proučavamo koristit će se u budućnosti pri rješavanju složenijih problema. Zato je bolje odmah, odmah, identifikovati sve nesporazume vezane za izračunavanje izvedenica količnika ili proizvoda. Ne kada su ogromna gruda nesporazuma, već kada su mala teniska loptica s kojom je lako izaći na kraj.

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Nakon prva dva primjera data je tabela izvedenica i pravila diferencijacije.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Izvod proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Druga uobičajena greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiju smo derivaciju upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo: