Raabe-Grenzzeichen mit Nachweis. Numerische Reihe von erhöhter Komplexität. Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer vorzeichenpositiven Zahlenreihe
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Formulierung in Grenzform
Kommentar. Wenn ein Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): R=1, dann beantwortet das Raabe-Kriterium die Frage nach der Konvergenz der Reihe nicht.
Nachweisen
Der Beweis basiert auf der Verwendung eines verallgemeinerten Vergleichskriteriums im Vergleich zu einer verallgemeinerten harmonischen Reihe
siehe auch
- Der d'Alembert-Konvergenztest ist ein ähnlicher Test, der auf dem Verhältnis benachbarter Terme basiert.
Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Zeichen von Raabe"
Literatur
- Arkhipov, G. I., Sadovnichij, V. A., Chubarikov, V. N. Vorlesungen über mathematische Analyse: Lehrbuch der Universitäten und ped. Universitäten / Ed. V. A. Sadovnichy. - M .: Höhere Schule, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
- - Artikel aus der Mathematischen Enzyklopädie
Verknüpfungen
- Weissstein, Eric W.(Englisch) auf der Website von Wolfram MathWorld.
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6. Zeichen von Raabe
Satz 6. Wenn es einen Grenzwert gibt:
dann: 1) für die Reihe (A) konvergiert, 2) für die Reihe divergiert.
Nachweisen. Eine Hilfsaussage wird bewiesen:
Aussage 1. (12)
Nachweisen. Der Ausdruck wird betrachtet:
Wir haben beide Seiten der Gleichung logarithmiert:
Ans Limit zurückgekehrt:
Aus Gleichheit (11), basierend auf der Definition des Grenzwertes einer Zahlenfolge, folgt, dass für jede beliebig kleine so gilt, dass für die Ungleichung gilt:
1) Dann lassen Sie. Wir haben also angegeben, dass ausgehend von der Zahl folgt aus der Ungleichung (13), dass die folgende Ungleichung wahr ist:
nimm irgendeine Zahl. Nach (12) gilt für hinreichend groß:
Daraus folgt nach (14):
Rechts - das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Mitglieder der Dirichlet-Reihe bei; nach Anwendung von Theorem 4 wird die Konvergenz der Reihe (A) offensichtlich.
2) Es folgt also analog zu Absatz (1) aus (13) die folgende Ungleichung:
Von hier aus fanden wir sofort:
nach Anwendung von Theorem 4 auf die Reihe (A) und die Dirichlet-Reihe wird die Divergenz der Reihe (A) deutlich.
Bemerkung 5. Der Raabe-Test ist viel stärker als der d'Alembert-Test
Bemerkung 6. Das Raabe-Kriterium gibt keine Antwort auf die gestellte Frage.
11) Erkunden Sie die Reihe anhand der Zeichen von d'Alembert und Raabe:
Der Test von d'Alembert gibt keine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz dieser Reihe. Die Reihe wird mit dem Raabe-Test untersucht:
Dies führte zu Typunsicherheit, also haben wir die 1. L'Hospital-Bernoulli-Regel angewendet:
Rad divergiert bei, konvergiert bei und bei , das Raabe-Zeichen beantwortet die Frage der Konvergenz nicht.
12) Erkunden Sie die Serie anhand des Raabe-Zeichens:
Es stellte sich die Typunschärfe heraus, aber vor der Anwendung der 1. L'Hopital-Bernoulli-Regel wird die Ableitung des Ausdrucks gefunden, dafür logarithmiert und die Ableitung des Logarithmus gesucht:
Jetzt können Sie die Ableitung des Ausdrucks finden:
Zurück an die Grenze. Es gilt die 1. L'Hospital-Bernoulli-Regel:
Der Ausdruck wird berücksichtigt. Nach Anwendung der 1. L'Hospital-Bernoulli-Regel darauf:
Daraus folgt:
Setzen Sie diese Gleichheit in den Ausdruck ein:
Daraus folgt nach dem Raabe-Test, dass die gegebene Reihe bei divergiert, bei und konvergiert, wenn der Raabe-Test die Frage nach der Konvergenz der Reihe nicht beantwortet.
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Satz (Leibniz-Test). Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn: Die Folge der Beträge der Terme der Reihe monoton abnimmt, d.h. ; Der gemeinsame Term der Reihe geht gegen Null:. Außerdem erfüllt die Summe S der Reihe die Ungleichungen. Bemerkungen...
Satz 1 (d'Alembert-Test). Gegeben sei eine Reihe, bei der alle > 0 sind. Wenn es einen Grenzwert gibt, dann bei 0<1 ряд сходится, а при >1 Reihe konvergiert.
Wechselnde und wechselnde Serien
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Wechselnde und wechselnde Serien
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Konvergenz positiver Reihen
Satz 6. Wenn es einen Grenzwert gibt: (18) dann: 1) wenn die Reihe (A) konvergiert, 2) wenn - divergiert. Nachweisen. Bewiesen mit Kummers Schema. Lassen. Wir betrachten eine Reihe. Vergleichen wir sie mit einer Reihe, die divergiert...
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In Fällen, in denen der d'Alembert- und der Cauchy-Test kein Ergebnis liefern, kann manchmal eine bejahende Antwort durch Zeichen gegeben werden, die auf einem Vergleich mit anderen Reihen basieren, die "langsamer" als die Reihe konvergieren oder divergieren geometrischer Verlauf.
Lassen Sie uns ohne Beweis die Formulierung von vier umständlicheren Kriterien für die Konvergenz von Reihen präsentieren. Die Beweise dieser Kriterien basieren auch auf den Vergleichssätzen 1–3 (Satz 2.2 und 2.3) der untersuchten Reihe mit einigen Reihen, deren Konvergenz oder Divergenz bereits festgestellt wurde. Diese Beweise finden sich beispielsweise im Grundlagenlehrbuch von G. M. Fikhtengol'ts (Bd. 2).
Satz 2.6. Zeichen von Raabe. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer Zahl M die Ungleichung
(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)
dann konvergiert (divergiert) die Reihe.
Raabes Zeichen in der Grenzform. Wenn die Bedingungen der obigen Reihe die Bedingung erfüllen
Bemerkung 6. Wenn wir den d'Alembert- und den Raabe-Test vergleichen, können wir zeigen, dass der zweite viel stärker ist als der erste.
Wenn die Serie ein Limit hat
dann hat die Raabe-Folge einen Grenzwert
Wenn also der d'Alembert-Test eine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz oder Divergenz der Reihe gibt, dann gibt es der Raabe-Test auch, und diese Fälle werden nur von zwei der möglichen Werte von R abgedeckt: +¥ und -¥. Alle anderen Fälle von endlichem R ¹ 1, wenn der Raabe-Test die Frage nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe bejaht, entsprechen dem Fall D = 1, also dem Fall, dass der d'Alembert-Test keine Antwort gibt bejahende Antwort auf die Frage nach Konvergenz oder Divergenz der Reihe.
Satz 2.7. Kummer-Zeichen. Sei (ñn) eine beliebige Folge positiver Zahlen. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer Zahl M die Ungleichung
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
dann konvergiert die Reihe 
.
Kummers Test in der Grenzform. Wenn es ein Limit für die oben genannten Serien gibt
dann konvergiert die Reihe .
Aus dem Kummer-Test ist es als Folge davon leicht, Beweise für die Tests von d'Alembert, Raabe und Bertrand zu erhalten. Letzteres erhält man, wenn man als Folge (ñn)
cn=nln n, "n í N,
wozu die Serie
divergiert (die Divergenz dieser Reihe wird in den Beispielen dieses Abschnitts gezeigt).
Satz 2.8. Bertrands Kriterium in der Grenzform. Gilt für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe die Bertrand-Folge
(2.12)
(Rn ist die Raabe-Folge) hat einen Grenzwert
dann konvergiert (divergiert) die Reihe.
Im Folgenden formulieren wir den Gauß-Test – den mächtigsten in der Reihenfolge der aufsteigend geordneten Anwendungsbereiche der Konvergenzkriterien der Reihe: d’Alembert, Raabe und Bertrand. Der Gauß-Test verallgemeinert die gesamte Leistungsfähigkeit der vorherigen Tests und ermöglicht es Ihnen, viel komplexere Reihen zu untersuchen, aber andererseits erfordert seine Anwendung subtilere Studien, um eine asymptotische Erweiterung des Verhältnisses benachbarter Terme der Reihe zu erhalten auf die zweite Ordnung der Kleinheit in Bezug auf .
Satz 2.9. Gauß-Zeichen. Wenn für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer Zahl M die Gleichheit gilt
, "n ³ M, (2.13)
wobei l und p Konstanten sind und tn ein beschränkter Wert ist.
a) für l > 1 oder l = 1 und p > 1 konvergiert die Reihe;
b) für l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. Cauchy-Maclaurin-Integraltest,
"Teleskopisches" Zeichen von Cauchy und Zeichen von Ermakov
Die oben betrachteten Kriterien für die Konvergenz von Reihen basieren auf Vergleichstheoremen und sind ausreichend, d.h. wenn die Bedingungen des Merkmals für eine gegebene Reihe erfüllt sind, können bestimmte Aussagen über ihr Verhalten gemacht werden, aber wenn die Bedingungen des Merkmals erfüllt sind nicht erfüllt, so kann über die Konvergenz der Reihe nichts ausgesagt werden, sie kann sowohl konvergieren als auch divergieren.
Der Cauchy-Maclaurin-Integraltest unterscheidet sich von den oben untersuchten inhaltlich, da er notwendig und ausreichend ist, und auch in der Form, basierend auf einem Vergleich einer unendlichen Summe (Reihe) mit einem unendlichen (uneigentlichen) Integral, und demonstriert eine natürliche Beziehung zwischen den Reihentheorie und Integraltheorie. Dieser Zusammenhang lässt sich auch leicht am Beispiel von Vergleichskriterien nachvollziehen, deren Analoga für uneigentliche Integrale erfolgen und deren Formulierungen sich fast wörtlich mit den Formulierungen für Reihen decken. Eine vollständige Analogie wird auch in den Formulierungen von hinreichenden Kriterien für die Konvergenz beliebiger numerischer Reihen beobachtet, die im nächsten Abschnitt untersucht werden, und Kriterien für die Konvergenz von uneigentlichen Integralen, wie z. B. den Kriterien für die Konvergenz von Abel und Dirichlet.
Im Folgenden geben wir auch das „teleskopische“ Cauchy-Kriterium und das ursprüngliche Kriterium für die Konvergenz von Reihen an, das vom russischen Mathematiker V.P. Ermakov; Ermakovs Test in seiner Macht hat ungefähr den gleichen Umfang wie der Cauchy-Maclaurin-Integraltest, enthält jedoch nicht die Begriffe und Konzepte der Integralrechnung in der Formulierung.
Satz 2.10. Das Cauchy-Maclaurin-Zeichen. Sei für Mitglieder einer positiven Zahlenreihe ab einer Zahl M die Gleichheit
wobei die Funktion f(x) auf der Halbgerade (x ³ M) nichtnegativ und nichtsteigend ist. Die Zahlenreihe konvergiert genau dann, wenn das uneigentliche Integral konvergiert
Das heißt, die Reihe konvergiert, wenn es einen Grenzwert gibt
, (2.15)
und die Reihe divergiert, wenn der Grenzwert I = +¥ ist.
Nachweisen. Aufgrund von Bemerkung 3 (siehe § 1) ist es offensichtlich, dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit M = 1 annehmen können, da, nachdem wir (M – 1) Terme der Reihe verworfen und die Ersetzung k = (n – M + 1), kommen wir zur Betrachtung der Reihe , für die
, 
,
und dementsprechend zur Betrachtung des Integrals .
Weiterhin stellen wir fest, dass die nicht negative und nicht auf der Halblinie (x ³ 1) ansteigende Funktion f(x) die Bedingungen der Riemannschen Integrierbarkeit auf jedem endlichen Intervall erfüllt, und daher die Betrachtung des entsprechenden uneigentlichen Integrals sinnvoll ist .
Kommen wir zum Beweis. Auf jedem Segment der Einheitslänge m £ x £ m + 1, da f(x) nicht zunimmt, die Ungleichung
Indem wir es über ein Segment integrieren und die entsprechende Eigenschaft eines bestimmten Integrals verwenden, erhalten wir die Ungleichung
, . (2.16)
Summiert man diese Ungleichungen Term für Term von m = 1 bis m = n, erhält man
Da f (x) eine nicht negative Funktion ist, ist das Integral
ist eine nicht fallende stetige Funktion des Arguments A. Dann
, .
Daraus und aus der Ungleichung (15) folgt:
1) wenn ich< +¥
(т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая
последовательность частичных сумм 
beschränkt, d.h. die Reihe konvergiert;
2) wenn I = +¥ (d. h. das uneigentliche Integral divergiert),
dann ist auch die nicht fallende Folge von Partialsummen unbeschränkt, d.h. die Reihe divergiert.
Wenn wir andererseits bezeichnen, erhalten wir aus der Ungleichung (16):
1) wenn s< +¥
(т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³
1 существует номер n такой, что n + 1 ³
А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £
S, а следовательно, 
, d.h. das Integral konvergiert;
2) wenn S = +¥ (d.h. die Reihe divergiert), dann existiert für jedes hinreichend große A ein n £ A mit I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), d.h. das Integral divergiert. Q.E.D.
Lassen Sie uns zwei weitere interessante Kriterien für Konvergenz ohne Beweis präsentieren.
Satz 2.11. "Teleskop"-Schild von Cauchy. Eine positive numerische Reihe, deren Terme monoton fallend sind, konvergiert genau dann, wenn die Reihe konvergiert.
Satz 2.12. Ermakovs Zeichen. Die Mitglieder einer positiven Zahlenreihe seien so, dass ausgehend von einer Zahl M0 die Gleichheiten
an = ¦(n), "n ³ Ì0,
wobei die Funktion ¦(x) stückweise stetig, positiv ist und monoton abnimmt als x ³ M0.
Dann existiert eine Zahl M ³ M0 derart, dass für alle x ³ M die Ungleichung gilt
,
dann konvergiert (divergiert) die Reihe.
2.6. Beispiele für die Anwendung von Konvergenzkriterien
Unter Verwendung von Theorem 2 ist es einfach, die Konvergenz der folgenden Reihe zu untersuchen
(a > 0, b ³ 0; "a, b Î R).
Ist a £ 1, dann ist das notwendige Konvergenzkriterium (Eigenschaft 2) verletzt (siehe § 1).
,
daher divergiert die Reihe.
Ist a > 1, so erfüllt ñn die Abschätzung , woraus aufgrund der Konvergenz der geometrischen Progressionsreihe die Konvergenz der betrachteten Reihe folgt.
konvergiert nach Vergleichstest 1 (Satz 2.2), da wir die Ungleichung haben
,
und die Reihe konvergiert als eine Reihe geometrischer Progression.
Zeigen wir die Divergenz mehrerer Reihen, die aus dem Vergleichskriterium 2 (Korollar 1 von Theorem 2.2) folgt. Die Zeile
weicht ab, weil
.
weicht ab, weil
.
weicht ab, weil
.
(p > 0)
weicht ab, weil
.
konvergiert durch den d'Alembert-Test (Satz 2.4). Wirklich
.
konvergiert nach dem d'Alembert-Test. Wirklich
.
.
konvergiert im Cauchy-Test (Satz 2.5). Wirklich
.
Lassen Sie uns ein Beispiel für die Anwendung des Raabe-Kriteriums geben. Betrachten Sie die Serie
,
wobei die Notation (k)!! bedeutet das Produkt aller geraden (ungerade) Zahlen von 2 bis k (von 1 bis k), wenn k gerade (ungerade) ist. Unter Verwendung des d'Alembert-Tests erhalten wir
Der d'Alembert-Test erlaubt also keine eindeutige Aussage über die Konvergenz der Reihe. Wir wenden das Raabe-Zeichen an:
daher konvergiert die Reihe.
Lassen Sie uns Beispiele für die Anwendung des Cauchy-Maclaurin-Integraltests geben.
Verallgemeinerte harmonische Reihe
gleichzeitig mit dem uneigentlichen Integral konvergiert oder divergiert
Es ist offensichtlich, dass ich< +¥ при p >1 (das Integral konvergiert) und I = +¥ für p £ 1 (divergiert). Somit konvergiert auch die ursprüngliche Reihe für p > 1 und divergiert für p £ 1.
divergiert gleichzeitig mit dem uneigentlichen Integral
also divergiert das Integral.
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§ 3. Vorzeichenwechselnde Zahlenreihe
3.1. Absolute und bedingte Konvergenz von Reihen
In diesem Abschnitt untersuchen wir die Eigenschaften von Reihen, deren Mitglieder reelle Zahlen mit beliebigem Vorzeichen sind.
Definition 1. Zahlenreihe
heißt absolut konvergent, wenn die Reihe konvergiert
Definition 2. Eine Zahlenreihe (3.1) heißt bedingt konvergent oder nicht absolut konvergent, wenn die Reihe (3.1) konvergiert und die Reihe (3.2) divergiert.
Satz 3.1. Wenn eine Reihe absolut konvergiert, dann konvergiert sie.
Nachweisen. Nach dem Cauchy-Kriterium (Satz 1.1) ist die absolute Konvergenz der Reihe (3.1) gleichbedeutend mit der Erfüllung der Relationen
" e > 0, $ M > 0, so dass " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
Da bekannt ist, dass der Betrag der Summe mehrerer Zahlen die Summe ihrer Beträge nicht überschreitet („Dreiecksungleichung“), folgt aus (3.3) die Ungleichung (gültig für dieselben Zahlen wie in (3.3), Zahlen e , M, n, p)
Die Erfüllung der letzten Ungleichung bedeutet die Erfüllung der Bedingungen des Cauchy-Kriteriums für die Reihe (3.1), also konvergiert diese Reihe.
Korollar 1. Die Reihe (3.1) konvergiere absolut. Lassen Sie uns aus den positiven Termen der Reihe (3.1) eine positive numerische Reihe zusammensetzen, indem wir sie der Reihe nach neu nummerieren (wie sie im Prozess der Indexerhöhung auftreten).
, (uk = ). (3.4)
In ähnlicher Weise bilden wir aus den Modulen der negativen Terme der Reihe (3.1), indem wir sie der Reihe nach neu nummerieren, die folgende positive numerische Reihe:
, (vm = ). (3.5)
Dann konvergieren die Reihen (3.3) und (3.4).
Wenn wir die Summen der Reihen (3.1), (3.3), (3.4) jeweils mit den Buchstaben A, U, V bezeichnen, dann ist die Formel
A = U - V. (3.6)
Nachweisen. Bezeichnen wir die Summe der Reihe (3.2) mit A*. Nach Satz 2.1 haben wir, dass alle Partialsummen der Reihe (3.2) durch die Zahl A* begrenzt sind, und da die Partialsummen der Reihen (3.4) und (3.5) durch Summieren einiger Terme der Partialsummen erhalten werden Summen der Reihen (3.2), ist es offensichtlich, dass sie stärker durch A* eingeschränkt sind. Dann erhalten wir durch Einführung der entsprechenden Notation die Ungleichungen
;
woraus nach Satz 2.1 die Reihen (3.4) und (3.5) konvergieren.
(3.7)
Da die Zahlen k und m von n abhängen, ist es offensichtlich, dass, da n ® ¥, k ® ¥ und m ® ¥ gleichzeitig. Wenn wir dann Gleichheit (3.7) auf den Grenzwert übertragen (alle Grenzwerte existieren aufgrund von Satz 3.1 und wie oben bewiesen), erhalten wir
d.h. Gleichheit (3.6) ist bewiesen.
Korollar 2. Die Reihe (3.1) konvergiere bedingt. Dann divergieren die Reihen (3.4) und (3.5) und die Formel (3.6) für bedingt konvergente Reihen ist nicht wahr.
Nachweisen. Betrachten wir die n-te Teilsumme der Reihe (3.1), so lässt sie sich wie im vorigen Beweis schreiben
(3.8)
Andererseits kann man für die n-te Partialsumme der Reihe (3.2) den Ausdruck analog schreiben
(3.9)
Nimm das Gegenteil an, d.h. lass mindestens eine der Reihen (3.3) oder (3.4) konvergieren. Dann folgt aus Formel (3.8) im Hinblick auf die Konvergenz der Reihen (3.1), dass die zweite der Reihen (bzw. (3.5) oder (3.4)) als Differenz zweier konvergenter Reihen konvergiert. Aber dann impliziert Formel (3.9) die Konvergenz der Reihe (3.2), also die absolute Konvergenz der Reihe (3.1), was der Bedingung des Satzes auf seine bedingte Konvergenz widerspricht.
Aus (3.8) und (3.9) folgt also seit
Q.E.D.
Bemerkung 1. Assoziativgesetz für Reihen. Die Summe einer unendlichen Reihe unterscheidet sich im Wesentlichen von der Summe einer endlichen Anzahl von Elementen dadurch, dass sie den Übergang zum Grenzwert beinhaltet. Daher werden die üblichen Eigenschaften endlicher Summen für Reihen oft verletzt, oder sie bleiben nur unter bestimmten Bedingungen erhalten.
Für endliche Summen gilt also das assoziative (assoziative) Gesetz, nämlich: Die Summe ändert sich nicht, wenn die Elemente der Summe in beliebiger Reihenfolge gruppiert werden
Betrachten Sie eine beliebige Gruppierung (ohne Permutation) der Terme der Zahlenreihe (3.1). Bezeichnen Sie die aufsteigende Zahlenfolge
und führe die Notation ein
Dann kann die durch das obige Verfahren erhaltene Reihe geschrieben werden als
Der folgende Satz sammelt ohne Beweis einige wichtige Aussagen, die sich auf die Kombinationseigenschaft von Reihen beziehen.
Satz 3.2.
1. Wenn die Reihe (3.1) konvergiert und die Summe A hat (bedingte Konvergenz genügt), dann konvergiert eine beliebige Reihe der Form (3.10) und hat die gleiche Summe A. Das heißt, die konvergente Reihe hat die Kombinationseigenschaft.
2. Die Konvergenz einer Reihe der Form (3.10) impliziert nicht die Konvergenz der Reihe (3.1).
3. Wenn die Reihe (3.10) durch eine spezielle Gruppierung erhalten wird, so dass innerhalb jeder der Klammern Terme mit nur einem Vorzeichen stehen, dann impliziert die Konvergenz dieser Reihe (3.10) die Konvergenz der Reihe (3.1).
4. Wenn Reihe (3.1) positiv ist und einige Reihen der Form (3.10) dafür konvergieren, dann konvergiert Reihe (3.1).
5. Wenn die Folge von Termen der Reihe (3.1) unendlich klein ist (d. h. an) und die Anzahl der Terme in jeder Gruppe, einem Mitglied der Reihe (3.10), durch eine Konstante M begrenzt ist (d. h. nk –nk– 1 £ M, "k = 1, 2,…), dann impliziert die Konvergenz der Reihe (3.10) die Konvergenz der Reihe (3.1).
6. Wenn die Reihe (3.1) bedingt konvergiert, dann ist es ohne Permutation immer möglich, die Terme der Reihe so zu gruppieren, dass die resultierende Reihe (3.10) absolut konvergent ist.
Bemerkung 2. Kommutativgesetz für Reihen. Für endliche Zahlensummen gilt ein kommutatives (kommutatives) Gesetz, nämlich: die Summe ändert sich bei keiner Permutation der Terme
wobei (k1, k2, …, kn) eine beliebige Permutation aus der Menge der natürlichen Zahlen (1, 2, …, n) ist.
Es stellt sich heraus, dass eine ähnliche Eigenschaft für absolut konvergente Reihen gilt und nicht für bedingt konvergente Reihen.
Die Menge der natürlichen Zahlen sei eineindeutig auf sich selbst abgebildet: N ® N, d. h. jeder natürlichen Zahl k entspricht eine eindeutige natürliche Zahl nk, und die Menge gibt die gesamte natürliche Zahlenreihe lückenlos wieder. Die aus der Reihe (3.1) erhaltene Reihe sei mit Hilfe einer willkürlichen Permutation entsprechend obiger Abbildung wie folgt bezeichnet:
Die Regeln zur Anwendung der Kommutativeigenschaften von Reihen spiegeln sich in den unten angegebenen Sätzen 3.3 und 3.4 ohne Beweis wider.
Satz 3.3. Wenn Reihe (3.1) absolut konvergiert, dann konvergiert auch Reihe (3.11), die durch eine beliebige Permutation der Terme von Reihe (3.1) erhalten wird, absolut und hat dieselbe Summe wie die ursprüngliche Reihe.
Satz 3.4. Satz von Riemann. Wenn die Reihe (3.1) bedingt konvergiert, können die Terme dieser Reihe so umgeordnet werden, dass ihre Summe gleich einer gegebenen Zahl D (endlich oder unendlich: ±¥) oder undefiniert ist.
Basierend auf den Sätzen 3.3 und 3.4 lässt sich leicht feststellen, dass die bedingte Konvergenz der Reihen aus gegenseitiger Aufhebung resultiert ntes Wachstum Partialsumme als n ® ¥, indem entweder positive oder negative Terme zur Summe hinzugefügt werden, und daher hängt die bedingte Konvergenz der Reihe im Wesentlichen von der Reihenfolge der Terme der Reihe ab. Die absolute Konvergenz der Reihe ist das Ergebnis einer schnellen Abnahme der absoluten Werte der Terme der Reihe
und hängt nicht von ihrer Reihenfolge ab.
3.2. Abwechselnde Reihe. Leibniz-Zeichen
Unter den Wechselserien sticht eine wichtige besondere Klasse von Serien hervor - die Wechselserien.
Definition 3. Sei eine Folge positiver Zahlen bп > 0, "n н N. Dann eine Reihe der Form
wird als alternierende Reihe bezeichnet. Für Reihen der Form (3.12) gilt die folgende Behauptung.
Satz 5. Leibniz-Test. Wenn die aus den Beträgen der Glieder der Wechselreihe (3.8) zusammengesetzte Folge monoton auf Null abfällt
bn > bn+1, "n í N; (3.13)
dann heißt eine solche alternierende Reihe (3.12) eine Leibniz-Reihe. Die Leibniz-Reihe konvergiert immer. Für den Rest der Leibniz-Reihe
Es gibt eine Schätzung
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "níN. (3.14)
Nachweisen. Schreiben wir eine beliebige Partialsumme der Reihe (3.12) mit gerader Gliederzahl in die Form
Nach Bedingung (3.13) ist jede der Klammern auf der rechten Seite dieses Ausdrucks eine positive Zahl, daher wächst die Folge mit wachsendem k monoton. Andererseits kann jedes Mitglied der B2k-Sequenz geschrieben werden als
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
und da nach Bedingung (3.13) in jeder der Klammern der letzten Gleichheit eine positive Zahl steht, gilt die Ungleichung offensichtlich
B2k< b1, "k ³ 1.
Wir haben also eine monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge , und eine solche Folge hat nach dem bekannten Satz aus der Grenzwerttheorie einen endlichen Grenzwert
B2k–1 = B2k + b2k,
und unter Berücksichtigung, dass der gemeinsame Term der Reihe (gemäß der Hypothese des Theorems) für n ® ¥ gegen Null geht, erhalten wir
Damit haben wir bewiesen, dass die Reihe (3.12) unter Bedingung (3.13) konvergiert und ihre Summe gleich B ist.
Beweisen wir die Abschätzung (3.14). Oben wurde gezeigt, dass Teilsummen gerader Ordnung B2k monoton ansteigend gegen die Grenze B, die Summe der Reihe, streben.
Betrachten Sie Partialsummen ungerader Ordnung
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
Aus diesem Ausdruck ist ersichtlich (da Bedingung (3.13) erfüllt ist), dass die Folge abnimmt und folglich nach dem oben Bewiesenen von oben gegen ihren Grenzwert B strebt. Damit haben wir die Ungleichung bewiesen
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
Betrachten wir nun den Rest der Reihe (3.12)
als neue alternierende Reihe mit dem ersten Term bÀ+1, dann können wir für diese Reihe aufgrund der Ungleichung (3.15) für gerade bzw. ungerade Indizes schreiben
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
Damit haben wir bewiesen, dass der Rest der Leibniz-Reihe immer das Vorzeichen seines ersten Gliedes hat und betragsmäßig kleiner als dieser ist, d.h. Abschätzung (3.14) dafür erfüllt ist. Der Satz ist bewiesen.
3.3. Konvergenzzeichen beliebiger Zahlenreihen
In diesem Unterabschnitt präsentieren wir ohne Beweis ausreichende Konvergenzkriterien für Zahlenreihen mit Termen, die beliebige reelle Zahlen (mit beliebigem Vorzeichen) sind, außerdem sind diese Kriterien auch für Reihen mit komplexen Termen geeignet.
2) Die Folge ist eine gegen Null konvergierende Folge (bÀ ® 0 als n ® ¥) mit begrenzter Änderung.
Dann konvergiert Reihe (3.16).
Satz 3.9. Dirichlet-Zeichen. Die Terme der Zahlenreihe (3.16) erfüllten die Bedingungen:
die Folge der Partialsummen der Reihe ist beschränkt (Ungleichungen (3.17));
2) die Folge ist eine monotone Folge, die gegen Null konvergiert (bÀ ® 0 als n ®¥).
Dann konvergiert Reihe (3.16).
Satz 3.10. Das zweite verallgemeinerte Zeichen von Abel. Die Terme der Zahlenreihe (3.16) erfüllten die Bedingungen:
1) die Reihe konvergiert;
2) die Sequenz ist eine willkürliche Sequenz mit begrenzter Änderung.
Dann konvergiert Reihe (3.16).
Satz 3.11. Abel-Zeichen. Die Terme der Zahlenreihe (3.16) erfüllten die Bedingungen:
1) die Reihe konvergiert;
2) die Folge ist eine monoton beschränkte Folge.
Dann konvergiert Reihe (3.16).
Satz 3.12. Satz von Cauchy. Wenn die Reihen und absolut konvergieren und ihre Summen gleich A bzw. B sind, dann ist die Reihe aus allen Produkten der Form aibj (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) , in beliebiger Reihenfolge nummeriert, konvergiert ebenfalls absolut und ihre Summe ist gleich AB.
3.4. Beispiele
Betrachten wir zunächst einige Beispiele absoluter Konvergenz von Reihen. Im Folgenden nehmen wir an, dass die Variable x eine beliebige reelle Zahl sein kann.
2) divergiert bei |x| > e auf der gleichen Grundlage von d'Alembert;
3) divergiert für |x| = e durch den d'Alembert-Test in unbegrenzter Form, da
aufgrund der Tatsache, dass der Exponentialverlauf im Nenner gegen seine Grenze strebt, monoton steigend,
(a ¹ 0 ist eine reelle Zahl)
1) konvergiert absolut für |x/a|< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в dieser Fall wir haben eine Reihe aus Gliedern einer fallenden geometrischen Folge mit dem Nenner q = x/a oder durch den radikalen Cauchy-Test (Satz 2.5);
2) divergiert bei |x/a| ³ 1, also für |x| ³ |a|, da in diesem Fall das notwendige Konvergenzkriterium verletzt wird (Eigenschaft 2 (siehe § 1))
Standardmethoden, aber mit einem anderen Beispiel in eine Sackgasse geraten.
Was ist die Schwierigkeit und wo kann es hakt? Lassen Sie uns das Seifenseil beiseite legen, analysieren Sie in Ruhe die Gründe und machen Sie sich mit den praktischen Lösungsmethoden vertraut.
Das erste und wichtigste: Um die Konvergenz einer Reihe zu untersuchen, ist es in den allermeisten Fällen notwendig, eine vertraute Methode anzuwenden, aber der allgemeine Begriff der Reihe ist mit so kniffliger Fülle gefüllt, dass es überhaupt nicht offensichtlich ist, was damit zu tun ist . Und man dreht sich im Kreis: Das erste Zeichen geht nicht, das zweite geht nicht, die dritte, vierte, fünfte Methode geht nicht, dann werden die Entwürfe weggeworfen und alles beginnt von vorne. Dies ist normalerweise auf mangelnde Erfahrung oder Lücken in anderen Abschnitten der Analysis zurückzuführen. Insbesondere beim Laufen Sequenzgrenzen und oberflächlich zerlegt Funktionsgrenzen, dann wird es schwierig.
Mit anderen Worten, eine Person sieht aufgrund fehlender Kenntnisse oder Erfahrungen einfach nicht die notwendige Lösung.
Manchmal ist auch „Eclipse“ schuld, wenn beispielsweise das notwendige Kriterium für die Konvergenz einer Reihe einfach nicht erfüllt ist, dies aber aus Unwissenheit, Unaufmerksamkeit oder Nachlässigkeit aus dem Blickfeld gerät. Und es stellt sich heraus wie in jenem Fahrrad, wo der Mathematikprofessor ein Kinderproblem mit Hilfe von wilden wiederkehrenden Folgen und Zahlenreihen gelöst hat =)
In bester Tradition unmittelbar lebendige Beispiele: Reihen 
und ihre Verwandten - divergieren, da es theoretisch bewiesen ist Sequenzgrenzen. Höchstwahrscheinlich werden Sie im ersten Semester für einen Beweis von 1-2-3 Seiten aus der Seele geschlagen, aber im Moment reicht es aus, um zu zeigen, dass die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Serie nicht erfüllt ist zu bekannten Tatsachen. Berühmt? Wenn der Student nicht weiß, dass die Wurzel des n-ten Grades eine extrem mächtige Sache ist, dann, sagen wir, die Reihe 
brachte ihn ins Stolpern. Obwohl die Lösung wie zwei und zwei ist: , d.h. Aus offensichtlichen Gründen divergieren beide Reihen. Ein bescheidener Kommentar „diese Grenzen sind theoretisch bewiesen“ (oder sogar deren Fehlen) reicht zur Aufrechnung völlig aus, schließlich sind die Berechnungen ziemlich schwer und gehören definitiv nicht in den Bereich der Zahlenreihen.
Und nachdem Sie die nächsten Beispiele studiert haben, werden Sie von der Kürze und Transparenz vieler Lösungen nur überrascht sein:
Beispiel 1
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Lösung: Überprüfen Sie zunächst die Ausführung notwendiges Konvergenzkriterium. Das ist keine Formalität, sondern eine große Chance, sich mit dem Beispiel „kleines Blutvergießen“ auseinanderzusetzen.
"Inspection of the Scene" suggeriert eine abweichende Reihe (Fall einer verallgemeinerten harmonischen Reihe), aber es stellt sich wieder die Frage, wie man den Logarithmus im Zähler berücksichtigt?
Ungefähre Beispiele für Aufgaben am Ende der Lektion.
Es ist nicht ungewöhnlich, dass Sie eine Zwei-Wege- (oder sogar Drei-Wege-) Argumentation durchführen müssen:
Beispiel 6
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
Lösung: Gehen Sie zuerst vorsichtig mit dem Kauderwelsch des Zählers um. Die Reihenfolge ist begrenzt: . Dann: 
Vergleichen wir unsere Serie mit der Serie . Aufgrund der soeben erhaltenen doppelten Ungleichung gilt für alle „en“: 
Vergleichen wir nun die Reihe mit der divergenten harmonischen Reihe.
Bruch Nenner weniger der Nenner des Bruchs, also die Fraktion selbst – mehr Brüche (schreiben Sie die ersten Terme auf, falls nicht klar). Also für jedes "en": 
Also im Vergleich die Serie 
weicht ab zusammen mit der harmonischen Reihe.
Wenn wir den Nenner ein wenig ändern: 
, dann wird der erste Teil der Argumentation ähnlich sein: 
. Aber um die Divergenz der Reihe zu beweisen, ist bereits der Grenztest des Vergleichs anwendbar, da die Ungleichung falsch ist.
Bei konvergierenden Reihen verhält es sich „spiegelverkehrt“, dh beispielsweise können für eine Reihe beide Vergleichskriterien verwendet werden (die Ungleichung ist wahr), und für eine Reihe nur das einschränkende Kriterium (die Ungleichung ist falsch).
Wir setzen unsere Safari durch die Wildnis fort, wo eine Herde anmutiger und saftiger Antilopen am Horizont auftaucht:
Beispiel 7
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Lösung: Das notwendige Konvergenzkriterium ist erfüllt, und wir stellen wieder die klassische Frage: Was tun? Vor uns liegt so etwas wie eine konvergente Reihe, allerdings gibt es hier keine klare Regel – solche Assoziationen sind oft trügerisch.
Oft, aber diesmal nicht. Mit Hilfe Vergleichskriterium einschränken Vergleichen wir unsere Reihe mit der konvergenten Reihe . Bei der Berechnung des Limits verwenden wir wunderbare Grenze 
, wohingegen unendlich klein steht: 
konvergiert zusammen mit neben .
Anstelle der üblichen künstlichen Technik der Multiplikation und Division durch eine „Drei“ konnte zunächst mit einer konvergenten Reihe verglichen werden.
Aber hier ist eine Einschränkung wünschenswert, dass der Konstantenmultiplikator des allgemeinen Terms die Konvergenz der Reihe nicht beeinflusst. Und genau in diesem Stil ist die Lösung des folgenden Beispiels gestaltet:
Beispiel 8
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Probe am Ende der Lektion.
Beispiel 9
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Lösung: In den vorherigen Beispielen haben wir die Beschränktheit des Sinus verwendet, aber jetzt spielt diese Eigenschaft keine Rolle mehr. Der Nenner eines Bruchteils eines höheren Reihenfolge des Wachstums als der Zähler, also wenn das Sinusargument und der gesamte gemeinsame Term unendlich klein. Wie Sie verstehen, ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz erfüllt, was uns nicht erlaubt, uns vor der Arbeit zu drücken.
Wir werden Aufklärung durchführen: in Übereinstimmung mit bemerkenswerte Gleichwertigkeit 
, verwerfen Sie den Sinus gedanklich und erhalten Sie eine Reihe. Naja sowas in der Art….
Eine Entscheidung treffen:
Vergleichen wir die untersuchte Reihe mit der abweichenden Reihe. Wir verwenden das Grenzvergleichskriterium: 
Ersetzen wir das Infinitesimal durch das Äquivalent: für 
.
Erhalten endliche Zahl, was von Null verschieden ist, was bedeutet, dass die untersuchte Reihe weicht ab zusammen mit der harmonischen Reihe.
Beispiel 10
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.
Für die Planung weiterer Aktionen in solchen Beispielen hilft die gedankliche Ablehnung von Sinus, Arkussinus, Tangens, Arkustangens sehr. Aber denken Sie daran, diese Möglichkeit besteht nur, wenn unendlich klein Argument, vor nicht allzu langer Zeit bin ich auf eine provokative Serie gestoßen:
Beispiel 11
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
.
Lösung: Es ist sinnlos, hier die Begrenztheit des Arcustangens zu verwenden, und die Äquivalenz funktioniert auch nicht. Die Ausgabe ist überraschend einfach: 
Studienreihe weicht ab, da das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe nicht erfüllt ist.
Der zweite Grund"Gag on the job" besteht in einer anständigen Raffinesse des gemeinsamen Mitglieds, die technische Schwierigkeiten verursacht. Wenn die oben diskutierten Serien grob gesagt in die Kategorie „Zahlen, die Sie erraten“ fallen, dann gehören diese in die Kategorie „Sie entscheiden“. Eigentlich nennt man das Komplexität im „üblichen“ Sinne. Nicht jeder wird mehrere Fakultäten, Grade, Wurzeln und andere Bewohner der Savanne richtig auflösen. Natürlich verursachen Fakultäten die meisten Probleme:
Beispiel 12
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Wie potenziert man eine Fakultät? Leicht. Gemäß der Regel der Operationen mit Potenzen ist es notwendig, jeden Faktor des Produkts zu potenzieren:
Und natürlich Achtung und nochmals Achtung, das d'Alembert-Zeichen selbst funktioniert traditionell: 
So die untersuchte Serie konvergiert.
Ich erinnere Sie an eine rationale Technik zur Beseitigung von Ungewissheit: wenn es klar ist Reihenfolge des Wachstums Zähler und Nenner - es ist überhaupt nicht nötig, die Klammern zu leiden und zu öffnen.
Beispiel 13
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Das Biest ist sehr selten, aber es wird gefunden, und es wäre unfair, es mit einem Kameraobjektiv zu umgehen.
Was ist eine Fakultät mit doppeltem Ausrufezeichen? Die Fakultät "windet" das Produkt positiver gerader Zahlen: 
In ähnlicher Weise „wickelt“ die Fakultät das Produkt von positiv auf ungerade Zahlen:
Analysieren Sie, was der Unterschied zwischen ist
Beispiel 14
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Und versuchen Sie bei dieser Aufgabe, sich nicht mit den Abschlüssen zu verwechseln, wunderbare Äquivalenzen und wunderbare Grenzen.
Musterlösungen und Antworten am Ende der Lektion.
Doch der Student darf nicht nur Tiger füttern – auch gerissene Leoparden spüren ihre Beute auf:
Beispiel 15
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
Lösung: das notwendige Konvergenzkriterium, das Grenzkriterium, die d'Alembert- und Cauchy-Kriterien verschwinden fast augenblicklich. Aber am schlimmsten ist, dass das Feature mit Ungleichungen, das uns immer wieder gerettet hat, machtlos ist. Tatsächlich ist ein Vergleich mit einer divergierenden Reihe unmöglich, da die Ungleichung 
falsch - der Multiplikator-Logarithmus erhöht nur den Nenner und reduziert den Bruch selbst 
in Bezug auf die Fraktion. Und noch eine globale Frage: Warum sind wir uns zunächst sicher, dass unsere Serie 
zwangsläufig divergieren und mit einer divergierenden Reihe verglichen werden muss? Passt er überhaupt?
Integrales Merkmal? Unechtes Integral 
ruft eine traurige Stimmung hervor. Nun, wenn wir Streit hätten 
… dann ja. Halt! So werden Ideen geboren. Wir treffen eine Entscheidung in zwei Schritten:
1) Zuerst untersuchen wir die Konvergenz der Reihe 
. Wir gebrauchen integrales Merkmal:
Integriert kontinuierlich auf der
Also eine Zahl 
zusammen mit dem entsprechenden uneigentlichen Integral divergiert.
2) Vergleichen Sie unsere Reihe mit der divergenten Reihe 
. Wir verwenden das Grenzvergleichskriterium:
Eine endliche Zahl ungleich Null wird erhalten, was bedeutet, dass die untersuchte Reihe weicht ab zusammen mit nebeneinander 
.
Und an einer solchen Entscheidung ist nichts Ungewöhnliches oder Kreatives - so sollte es entschieden werden!
Ich schlage vor, unabhängig voneinander die folgenden zwei Züge zu erstellen:
Beispiel 16
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
Ein Schüler mit etwas Erfahrung sieht in den meisten Fällen sofort, ob die Reihe konvergiert oder divergiert, aber es kommt vor, dass sich ein Raubtier geschickt im Gebüsch tarnt:
Beispiel 17
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
Lösung: Auf den ersten Blick ist überhaupt nicht klar, wie sich diese Serie verhält. Und wenn wir Nebel vor uns haben, dann ist es logisch, mit einer groben Überprüfung der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe zu beginnen. Um Unsicherheiten auszuschließen, verwenden wir ein unsinkbares Boot Multiplikations- und Divisionsmethode durch adjungierten Ausdruck:
Das notwendige Zeichen der Konvergenz hat nicht funktioniert, aber unseren Tambow-Genossen ans Licht gebracht. Als Ergebnis der durchgeführten Transformationen wurde eine äquivalente Reihe erhalten 
, die wiederum stark einer konvergenten Reihe ähnelt.
Wir schreiben eine saubere Lösung:
Vergleichen Sie diese Reihe mit der konvergenten Reihe. Wir verwenden das Grenzvergleichskriterium:
Multipliziere und dividiere durch den adjungierten Ausdruck:
Eine endliche Zahl ungleich Null wird erhalten, was bedeutet, dass die untersuchte Reihe konvergiert zusammen mit neben .
Vielleicht haben einige eine Frage, woher kamen die Wölfe auf unserer afrikanischen Safari? Weiß nicht. Wahrscheinlich haben sie es mitgebracht. Sie erhalten den folgenden Trophäen-Skin:
Beispiel 18
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe 
Eine Beispiellösung am Ende der Lektion
Und zum Schluss noch ein Gedanke, der viele Studierende verzweifelt besucht: anstatt ob ein selteneres Kriterium für die Konvergenz der Reihe verwendet werden soll? Zeichen von Raabe, Zeichen von Abel, Zeichen von Gauß, Zeichen von Dirichlet und andere unbekannte Tiere. Die Idee funktioniert, aber in realen Beispielen wird sie sehr selten umgesetzt. Ich persönlich habe in all den Jahren der Praxis nur 2-3 mal darauf zurückgegriffen Zeichen von Raabe wenn aus dem Standardarsenal nichts wirklich half. Ich gebe den Verlauf meiner extremen Suche vollständig wieder:
Beispiel 19
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Reihe
Lösung: Ohne Zweifel ein Zeichen von d'Alembert. Im Zuge von Berechnungen nutze ich aktiv die Eigenschaften von Graden sowie zweite wunderbare Grenze:
Hier ist einer für dich. D'Alemberts Zeichen gab keine Antwort, obwohl nichts ein solches Ergebnis ankündigte.
Nachdem ich das Handbuch durchgesehen hatte, fand ich eine wenig bekannte Grenze, die theoretisch bewiesen war, und wandte ein stärkeres radikales Cauchy-Kriterium an:
Hier sind zwei für dich. Und vor allem ist es überhaupt nicht klar, ob die Reihe konvergiert oder divergiert (eine extrem seltene Situation für mich). Notwendiges Vergleichszeichen? Ohne große Hoffnung - selbst wenn ich auf unvorstellbare Weise die Wachstumsreihenfolge von Zähler und Nenner herausfinde, garantiert dies noch keine Belohnung.
Ein kompletter d'Alembert, aber das Schlimmste ist, dass die Serie gelöst werden muss. Brauchen. Schließlich wird dies das erste Mal sein, dass ich aufgebe. Und dann erinnerte ich mich, dass es anscheinend noch mächtigere Zeichen gab. Vor mir war kein Wolf mehr, kein Leopard und kein Tiger. Es war ein riesiger Elefant, der einen großen Rüssel schwenkte. Ich musste einen Granatwerfer aufheben:
Zeichen von Raabe
Betrachten Sie eine positive Zahlenreihe.
Wenn es eine Grenze gibt 
, dann:
a) In einer Reihe weicht ab. Außerdem kann der resultierende Wert Null oder negativ sein.
b) In einer Reihe konvergiert. Insbesondere konvergiert die Reihe für .
c) Wann Raabes Zeichen gibt keine Antwort.
Wir bilden den Grenzwert und vereinfachen den Bruch sorgfältig: 
Ja, das Bild ist, gelinde gesagt, unangenehm, aber ich war nicht mehr überrascht. örtliche Regeln, und der erste Gedanke erwies sich, wie sich später herausstellte, als richtig. Aber zunächst habe ich etwa eine Stunde lang mit „üblichen“ Methoden am Limit gedreht und gedreht, aber die Unsicherheit wollte sich nicht beseitigen lassen. Und das Gehen im Kreis ist erfahrungsgemäß ein typisches Zeichen dafür, dass der falsche Lösungsweg gewählt wurde.
Ich musste mich an die russische Volksweisheit wenden: "Wenn nichts hilft, lesen Sie die Anweisungen." Und als ich den 2. Band von Fichtenholtz aufschlug, fand ich zu meiner großen Freude eine Studie einer identischen Reihe vor. Und dann ging die Lösung nach Muster.
Dieser Artikel hat die Informationen gesammelt und strukturiert, die notwendig sind, um fast jedes Beispiel zum Thema Zahlenreihen zu lösen, von der Ermittlung der Summe einer Reihe bis zur Untersuchung ihrer Konvergenz.
Artikelrezension.
Beginnen wir mit den Definitionen einer Reihe mit positivem Vorzeichen und alternierendem Vorzeichen und dem Konzept der Konvergenz. Betrachten Sie als Nächstes Standardreihen, wie z. B. eine harmonische Reihe, eine verallgemeinerte harmonische Reihe, und erinnern Sie sich an die Formel zum Ermitteln der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge. Danach wenden wir uns den Eigenschaften konvergenter Reihen zu, verweilen bei der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe und geben hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Reihe an. Wir werden die Theorie verwässern, indem wir typische Beispiele mit detaillierten Erklärungen lösen.
Seitennavigation.
Grundlegende Definitionen und Konzepte.
Lassen Sie uns eine Zahlenfolge haben, wo 
.
Hier ist ein Beispiel für eine Zahlenfolge: 
.
Zahlenreihe ist die Summe der Glieder einer numerischen Folge der Form 
.
Als Beispiel für eine Zahlenreihe können wir die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge mit dem Nenner q = -0,5 angeben: 
.
werden genannt gemeinsames Mitglied der Zahlenreihe oder das k-te Mitglied der Reihe.
Für das vorherige Beispiel ist der gemeinsame Begriff der Zahlenreihe .
Teilsumme einer Zahlenreihe ist eine Summe der Form , wobei n eine natürliche Zahl ist. auch n-te Teilsumme der Zahlenreihe genannt.
Zum Beispiel die vierte Teilsumme der Reihe 
Es gibt 
.
Teilsummen 
eine unendliche Folge von Teilsummen einer Zahlenreihe bilden.
Für unsere Reihe ergibt sich die n-te Partialsumme aus der Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge 
, das heißt, wir haben die folgende Folge von Partialsummen: 
.
Der Zahlenstrahl wird aufgerufen konvergierend, falls es einen endlichen Grenzwert der Folge von Partialsummen gibt . Wenn der Grenzwert der Folge von Partialsummen einer Zahlenreihe nicht existiert oder unendlich ist, dann heißt die Reihe abweichend.
Die Summe einer konvergenten Zahlenreihe heißt Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen, d. h. 
.
In unserem Beispiel also die Serie konvergiert, und ihre Summe ist gleich sechzehn Drittel: 
.
Ein Beispiel für eine divergierende Reihe ist die Summe einer geometrischen Folge mit einem Nenner größer als eins: 
. Die n-te Teilsumme ist gegeben durch 
, und der Grenzwert der Partialsummen ist unendlich: 
.
Ein weiteres Beispiel für eine divergierende Zahlenreihe ist die Summe der Form . In diesem Fall kann die n-te Teilsumme berechnet werden als . Die Grenze der Teilsummen ist unendlich 
.
Summenansicht 
genannt harmonische Zahlenreihe.
Summenansicht 
, wobei s eine reelle Zahl ist, aufgerufen verallgemeinerte harmonische Zahlenreihe.
Die obigen Definitionen reichen aus, um die folgenden sehr häufig verwendeten Aussagen zu untermauern, wir empfehlen Ihnen, sich diese zu merken.
DIE HARMONISCHE REIHE IST Divergent.
Beweisen wir die Divergenz der harmonischen Reihe.
Nehmen wir an, die Reihe konvergiert. Dann gibt es einen endlichen Grenzwert seiner Teilsummen. In diesem Fall können wir und schreiben, was uns zur Gleichheit führt 
.
Andererseits, 
Die folgenden Ungleichungen stehen außer Zweifel. Auf diese Weise, . Die resultierende Ungleichheit sagt uns, dass die Gleichheit nicht erreicht werden, was unserer Annahme über die Konvergenz der harmonischen Reihe widerspricht.
Fazit: Die harmonische Reihe divergiert.
DIE SUMMATION EINES GEOMETRISCHEN FORTSCHRITTS VOM TYP MIT EINEM NENNER q IST EINE KONVERGENTE ZAHLENREIHE IF UND EINE DIVERGENTE REIHE AT .
Beweisen wir es.
Wir wissen, dass die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge durch die Formel gefunden wird 
.
Wenn fair 
was die Konvergenz der Zahlenreihe anzeigt.
Für q = 1 haben wir eine Zahlenreihe 
. Seine Partialsummen werden als gefunden, und die Grenze der Partialsummen ist unendlich 
, was in diesem Fall die Divergenz der Reihe anzeigt.
Wenn q \u003d -1, dann nimmt die Zahlenreihe die Form an 
. Teilsummen nehmen einen Wert für ungerade n und für gerade n an. Daraus können wir schließen, dass der Grenzwert der Partialsummen nicht existiert und die Reihe divergiert.
Wenn fair 
was die Divergenz der Zahlenreihe anzeigt.
GENERALISIERTE HARMONISCHE REIHE KONVERGIERT FÜR s > 1 UND DIVERS FÜR .
Nachweisen.
Für s = 1 erhalten wir die harmonische Reihe , und oben haben wir ihre Divergenz festgestellt.
Bei s gilt die Ungleichung für alle natürlichen k . Aufgrund der Divergenz der harmonischen Reihe kann argumentiert werden, dass die Folge ihrer Partialsummen unbegrenzt ist (da es keine endliche Grenze gibt). Dann ist die Folge der Partialsummen der Zahlenreihe umso unbegrenzter (jedes Glied dieser Reihe ist größer als das entsprechende Glied der harmonischen Reihe), daher divergiert die verallgemeinerte harmonische Reihe bei s.
Es bleibt die Konvergenz der Reihe für s > 1 zu beweisen.
Schreiben wir den Unterschied: 
Na klar, dann 
Schreiben wir die resultierende Ungleichung für n = 2, 4, 8, 16, … 
Unter Verwendung dieser Ergebnisse können die folgenden Aktionen mit der ursprünglichen Zahlenreihe durchgeführt werden: 
Ausdruck 
ist die Summe einer geometrischen Folge, deren Nenner ist. Da wir den Fall für s > 1 betrachten, gilt . Deshalb 
. Die Folge der Partialsummen der verallgemeinerten harmonischen Reihe für s > 1 ist also wachsend und gleichzeitig nach oben begrenzt durch den Wert , hat also einen Grenzwert, der die Konvergenz der Reihe anzeigt. Der Beweis ist vollständig.
Der Zahlenstrahl wird aufgerufen Vorzeichen positiv wenn alle seine Terme positiv sind, das heißt, 
.
Der Zahlenstrahl wird aufgerufen abwechselnd wenn die Vorzeichen seiner Nachbarglieder unterschiedlich sind. Eine alternierende Zahlenreihe kann geschrieben werden als 
oder 
, wo .
Der Zahlenstrahl wird aufgerufen abwechselnd wenn es unendlich viele positive und negative Terme enthält.
Eine alternierende Zahlenreihe ist ein Sonderfall einer alternierenden Zahlenreihe.
Reihen 
sind vorzeichenpositiv, vorzeichenwechselnd bzw. vorzeichenwechselnd.
Für eine alternierende Reihe gibt es das Konzept der absoluten und bedingten Konvergenz.
absolut konvergent, wenn eine Reihe von Absolutwerten ihrer Mitglieder konvergiert, dh eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen konvergiert.
Zum Beispiel Zahlenreihen 
und 
absolut konvergieren, da die Reihe konvergiert 
, die die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist.
Die alternierende Reihe heißt bedingt konvergent wenn die Reihe divergiert und die Reihe konvergiert.
Ein Beispiel für eine bedingt konvergente Zahlenreihe ist die Reihe 
. Zahlenreihe 
, zusammengesetzt aus den absoluten Werten der Mitglieder der ursprünglichen Reihe, abweichend, da harmonisch. Gleichzeitig ist die ursprüngliche Reihe konvergent, was leicht mit festzustellen ist. Also die vorzeichenwechselnde Zahlenreihe bedingt konvergent.
Eigenschaften konvergenter Zahlenreihen.
Beispiel.
Beweisen Sie die Konvergenz der Zahlenreihe.
Lösung.
Lassen Sie uns die Serie in einer anderen Form schreiben 
. Die Zahlenreihe konvergiert, da die verallgemeinerte harmonische Reihe für s > 1 konvergiert und aufgrund der zweiten Eigenschaft der konvergenten Zahlenreihe auch die Reihe mit dem Zahlenkoeffizienten konvergiert.
Beispiel.
Konvergiert die Zahlenreihe?
Lösung.
Lassen Sie uns die ursprüngliche Serie umwandeln: 
. Somit haben wir die Summe zweier numerischer Reihen und erhalten, und jede von ihnen konvergiert (siehe vorheriges Beispiel). Daher konvergiert aufgrund der dritten Eigenschaft konvergenter Zahlenreihen auch die ursprüngliche Reihe.
Beispiel.
Beweisen Sie die Konvergenz der Zahlenreihe 
und berechne seine Summe.
Lösung.
Diese Zahlenreihe kann als Differenz zweier Reihen dargestellt werden: 
Jede dieser Reihen ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, also konvergent. Die dritte Eigenschaft konvergenter Reihen erlaubt uns zu behaupten, dass die ursprüngliche numerische Reihe konvergiert. Lassen Sie uns seine Summe berechnen.
Der erste Term der Reihe ist eins, und der Nenner der entsprechenden geometrischen Folge ist 0,5, daher ist 
.
Der erste Term der Reihe ist 3, und der Nenner der entsprechenden unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist 1/3, also 
.
Lassen Sie uns die erhaltenen Ergebnisse verwenden, um die Summe der ursprünglichen Zahlenreihe zu finden: 
Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Reihe.
Wenn die Zahlenreihe konvergiert, dann ist der Grenzwert ihres k-ten Terms gleich Null: .
Bei der Untersuchung einer numerischen Reihe auf Konvergenz muss zunächst die Erfüllung der notwendigen Konvergenzbedingung überprüft werden. Die Nichteinhaltung dieser Bedingung zeigt die Divergenz der Zahlenreihe an, dh wenn , dann divergiert die Reihe.
Andererseits muss klar sein, dass diese Bedingung nicht ausreichend ist. Das heißt, die Erfüllung der Gleichheit zeigt nicht die Konvergenz der Zahlenreihe an. Beispielsweise ist für eine harmonische Reihe die notwendige Konvergenzbedingung erfüllt, und die Reihe divergiert.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz.
Lösung.
Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe: 
Grenze Das n-te Glied der Zahlenreihe ist ungleich Null, daher divergiert die Reihe.
Hinreichende Bedingungen für die Konvergenz einer positiven Vorzeichenreihe.
Wenn Sie genügend Funktionen verwenden, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen, müssen Sie sich ständig mit beschäftigen, daher empfehlen wir Ihnen, bei Schwierigkeiten auf diesen Abschnitt zurückzugreifen.
Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen.
Für die Konvergenz einer vorzeichenpositiven Zahlenreihe 
es ist notwendig und ausreichend, dass die Folge ihrer Partialsummen beschränkt ist.
Beginnen wir mit den Serienvergleichsfunktionen. Ihr Wesen besteht darin, die untersuchte Zahlenreihe mit einer Reihe zu vergleichen, deren Konvergenz oder Divergenz bekannt ist.
Erstes, zweites und drittes Vergleichszeichen.
Das erste Zeichen für den Vergleich von Zeilen.
Seien und zwei Zahlenreihen mit positivem Vorzeichen und die Ungleichung gilt für alle k = 1, 2, 3, ... Dann impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz , und die Divergenz der Reihe impliziert die Divergenz .
Das erste Vergleichskriterium wird sehr oft verwendet und ist ein sehr mächtiges Werkzeug, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. Das Hauptproblem ist die Auswahl einer geeigneten Vergleichsreihe. Die Vergleichsreihe wird normalerweise (aber nicht immer) so gewählt, dass der Exponent ihres k-ten Glieds gleich der Differenz zwischen den Exponenten des Zählers und des Nenners des k-ten Glieds der untersuchten Zahlenreihe ist. Zum Beispiel sei die Differenz zwischen den Exponenten des Zählers und des Nenners 2 - 3 = -1, daher wählen wir zum Vergleich eine Reihe mit dem k-ten Glied, also eine harmonische Reihe. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel.
Legen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe fest.
Lösung.
Da der Grenzwert des gemeinsamen Gliedes der Reihe gleich Null ist, ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe erfüllt.
Es ist leicht zu sehen, dass die Ungleichung für alle natürlichen k gilt. Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert, daher ist nach dem ersten Vergleichszeichen auch die ursprüngliche Reihe divergent.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz.
Lösung.
Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe ist erfüllt, da 
. Es ist offensichtlich, dass die Ungleichheit 
für jeden natürlichen Wert von k. Die Reihe konvergiert, weil die verallgemeinerte harmonische Reihe für s > 1 konvergiert. Somit erlaubt uns das erste Zeichen des Reihenvergleichs, die Konvergenz der ursprünglichen Zahlenreihe anzugeben.
Beispiel.
Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Zahlenreihe.
Lösung.
, also ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe erfüllt. Welche Zeile zum Vergleich wählen? Eine Zahlenreihe bietet sich an, und um s zu bestimmen, untersuchen wir die Zahlenfolge sorgfältig. Die Glieder der Zahlenfolge wachsen gegen unendlich. Beginnend bei einer Zahl N (nämlich ab N = 1619 ) sind die Terme dieser Folge größer als 2 . Ab dieser Zahl N gilt die Ungleichung. Die Zahlenreihe konvergiert aufgrund der ersten Eigenschaft der konvergenten Reihe, da sie aus einer konvergenten Reihe durch Verwerfen der ersten N - 1 Terme erhalten wird. Somit ist die Reihe gemäß dem ersten Vergleichszeichen konvergent, und aufgrund der ersten Eigenschaft konvergenter numerischer Reihen wird die Reihe auch konvergieren.
Das zweite Vergleichszeichen.
Seien und vorzeichenpositive Zahlenreihen. Wenn , dann impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz von . Wenn , dann impliziert die Divergenz der Zahlenreihe die Divergenz von .
Folge.
Wenn und , dann impliziert die Konvergenz einer Reihe die Konvergenz der anderen, und die Divergenz impliziert die Divergenz.
Mit dem zweiten Vergleichskriterium untersuchen wir die Reihe auf Konvergenz. Nehmen wir eine konvergente Reihe als Reihe. Lassen Sie uns die Grenze des Verhältnisses der k-ten Mitglieder der Zahlenreihe finden: 
Somit impliziert nach dem zweiten Vergleichskriterium die Konvergenz der Zahlenreihe die Konvergenz der ursprünglichen Reihe.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe.
Lösung.
Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe 
. Die Bedingung ist erfüllt. Um das zweite Vergleichszeichen anzuwenden, nehmen wir eine harmonische Reihe. Lassen Sie uns die Grenze des Verhältnisses der k-ten Terme finden: 
Folglich folgt die Divergenz der ursprünglichen Reihe aus der Divergenz der harmonischen Reihe nach dem zweiten Vergleichskriterium.
Zur Information stellen wir das dritte Kriterium für den Reihenvergleich vor.
Das dritte Vergleichszeichen.
Seien und vorzeichenpositive Zahlenreihen. Ist die Bedingung ab einer bestimmten Zahl N erfüllt, so impliziert die Konvergenz der Reihe die Konvergenz und die Divergenz der Reihe die Divergenz.
Zeichen von d'Alembert.
Kommentar.
Das Zeichen von d'Alembert gilt, wenn der Grenzwert unendlich ist, dh wenn 
, dann konvergiert die Reihe wenn 
, dann divergiert die Reihe.
Wenn , dann liefert der d'Alembert-Test keine Informationen über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe, und zusätzliche Forschung ist erforderlich.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz anhand von d'Alembert.
Lösung.
Überprüfen wir die Erfüllung der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe, wir berechnen den Grenzwert durch:
Die Bedingung ist erfüllt.
Verwenden wir das Zeichen von d'Alembert: 
Somit konvergiert die Reihe.
Cauchys radikales Zeichen.
Sei eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen. Wenn , dann konvergiert die Reihe, wenn , dann divergiert die Reihe.
Kommentar.
Der Radikaltest von Cauchy ist gültig, wenn der Grenzwert unendlich ist, dh wenn 
, dann konvergiert die Reihe wenn 
, dann divergiert die Reihe.
Wenn , dann gibt der Cauchy-Radikaltest keine Auskunft über die Konvergenz oder Divergenz der Reihen und zusätzliche Forschung ist erforderlich.
Es ist normalerweise leicht genug, die Fälle zu sehen, in denen es am besten ist, den radikalen Cauchy-Test zu verwenden. Ein charakteristischer Fall liegt vor, wenn der gemeinsame Term der Zahlenreihe ein exponentieller Potenzausdruck ist. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.
Beispiel.
Untersuchen Sie eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen auf Konvergenz mit dem Radikal-Cauchy-Test.
Lösung.
. Durch den radikalen Cauchy-Test erhalten wir 
.
Daher konvergiert die Reihe.
Beispiel.
Konvergiert die Zahlenreihe? 
.
Lösung.
Wenden wir den radikalen Cauchy-Test an 
, also konvergiert die Zahlenreihe.
Integraler Cauchy-Test.
Sei eine Zahlenreihe mit positivem Vorzeichen. Lassen Sie uns eine Funktion mit kontinuierlichem Argument y = f(x) zusammensetzen, ähnlich der Funktion . Die Funktion y = f(x) sei positiv, stetig und fallend auf dem Intervall , wobei ). Dann im Falle einer Konvergenz uneigentliche Integrale konvergiert die untersuchten Zahlenreihen. Wenn das uneigentliche Integral divergiert, dann divergiert auch die ursprüngliche Reihe.
Wenn Sie den Zerfall einer Funktion y = f(x) über ein Intervall überprüfen, finden Sie möglicherweise die Theorie im Abschnitt nützlich.
Beispiel.
Untersuchen Sie die Zahlenreihe mit positiven Termen auf Konvergenz.
Lösung.
Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe ist erfüllt, da 
. Betrachten wir eine Funktion. Es ist positiv, kontinuierlich und nimmt im Intervall ab. Die Kontinuität und Positivität dieser Funktion steht außer Zweifel, aber lassen Sie uns etwas detaillierter auf die Abnahme eingehen. Finden wir die Ableitung: 
. Sie ist im Intervall negativ, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.
