Mathematische Erwartung der Verteilungstabelle. Eigenschaften der mathematischen Erwartung. Varianz einer diskreten Zufallsvariablen

Mathematische Erwartung ist die Definition

Schachmattwarten ist eines der wichtigsten Konzepte der mathematischen Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie, das die Werteverteilung charakterisiert bzw Wahrscheinlichkeiten zufällige Variable. Wird normalerweise als gewichteter Durchschnitt aller möglichen Parameter einer Zufallsvariablen ausgedrückt. Weit verbreitet in der technischen Analyse und Forschung Zahlenreihe, das Studium kontinuierlicher und langfristiger Prozesse. Es ist wichtig für die Risikobewertung, die Vorhersage von Preisindikatoren beim Handel auf Finanzmärkten und wird bei der Entwicklung von Strategien und Methoden für Spieltaktiken verwendet Glücksspieltheorien.

Schachmatt wartet- Das Mittelwert einer Zufallsvariablen, Verteilung Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariable wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie berücksichtigt.

Schachmattwarten ist ein Maß für den Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Setzen Sie den Erwartungswert einer Zufallsvariablen schachmatt X bezeichnet durch M(x).

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

Schachmattwarten ist

Schachmattwarten ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein gewichteter Durchschnitt aller möglichen Werte, die eine Zufallsvariable annehmen kann.

Schachmattwarten ist die Summe der Produkte aller möglichen Werte einer Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeiten dieser Werte.

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

Schachmattwarten ist der durchschnittliche Nutzen einer bestimmten Entscheidung, sofern eine solche Entscheidung im Rahmen der Theorie der großen Zahlen und der großen Distanz betrachtet werden kann.

Schachmattwarten ist In der Glücksspieltheorie die Höhe der Gewinne, die ein Spekulant im Durchschnitt bei jeder Wette verdienen oder verlieren kann. In der Sprache des Glücksspiels Spekulanten Dies wird manchmal als „Vorteil“ bezeichnet. Spekulant" (wenn es für den Spekulanten positiv ist) oder "Hausvorteil" (wenn es für den Spekulanten negativ ist).

Die mathematische Erwartung (Bevölkerungsdurchschnitt) beträgt

Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein spezieller Zweig der Mathematik, der nur von Studierenden höherer Bildungseinrichtungen studiert wird. Magst du Berechnungen und Formeln? Haben Sie keine Angst davor, sich mit der Normalverteilung, der Ensembleentropie, dem mathematischen Erwartungswert und der Streuung einer diskreten Zufallsvariablen vertraut zu machen? Dann wird dieses Thema für Sie sehr interessant sein. Machen wir uns mit einigen der wichtigsten Grundkonzepte dieses Wissenschaftszweigs vertraut.

Erinnern wir uns an die Grundlagen

Auch wenn Sie sich an die einfachsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie erinnern, sollten Sie die ersten Absätze des Artikels nicht vernachlässigen. Der Punkt ist, dass Sie ohne ein klares Verständnis der Grundlagen nicht in der Lage sein werden, mit den unten besprochenen Formeln zu arbeiten.

Es kommt also zu einem zufälligen Ereignis, zu einem Experiment. Als Ergebnis der Maßnahmen, die wir ergreifen, können wir verschiedene Ergebnisse erzielen – einige davon treten häufiger auf, andere weniger häufig. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der tatsächlich erzielten Ergebnisse einer Art zur Gesamtzahl der möglichen. Nur wenn Sie die klassische Definition dieses Konzepts kennen, können Sie mit der Untersuchung des mathematischen Erwartungswerts und der Streuung kontinuierlicher Zufallsvariablen beginnen.

Arithmetische Mittel

Schon in der Schule hast du im Mathematikunterricht angefangen, mit dem arithmetischen Mittel zu arbeiten. Dieses Konzept wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie häufig verwendet und kann daher nicht ignoriert werden. Das Wichtigste für uns ist dieser Moment ist, dass wir es in den Formeln für den mathematischen Erwartungswert und die Streuung einer Zufallsvariablen antreffen werden.

Wir haben eine Zahlenfolge und wollen das arithmetische Mittel ermitteln. Alles, was von uns verlangt wird, ist, alles Verfügbare zusammenzufassen und durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz zu dividieren. Nehmen wir Zahlen von 1 bis 9 an. Die Summe der Elemente ergibt 45 und wir teilen diesen Wert durch 9. Antwort: - 5.

Streuung

In wissenschaftlicher Hinsicht ist die Streuung das durchschnittliche Quadrat der Abweichungen der erhaltenen Werte eines Merkmals vom arithmetischen Mittel. Es wird mit einem lateinischen Großbuchstaben D bezeichnet. Was wird zur Berechnung benötigt? Für jedes Element der Folge berechnen wir die Differenz zwischen der vorhandenen Zahl und dem arithmetischen Mittel und quadrieren sie. Es wird genau so viele Werte geben, wie es Ergebnisse für das von uns betrachtete Ereignis geben kann. Als nächstes summieren wir alles, was wir erhalten, und teilen es durch die Anzahl der Elemente in der Sequenz. Wenn wir fünf mögliche Ergebnisse haben, dividieren Sie durch fünf.

Dispersion hat auch Eigenschaften, die man sich merken muss, um sie bei der Lösung von Problemen nutzen zu können. Wenn beispielsweise eine Zufallsvariable um das X-fache zunimmt, erhöht sich die Varianz um das X-Quadrat (d. h. X*X). Er ist nie kleiner als Null und hängt nicht davon ab, dass Werte um gleiche Beträge nach oben oder unten verschoben werden. Darüber hinaus ist bei unabhängigen Versuchen die Varianz der Summe gleich der Summe der Varianzen.

Jetzt müssen wir unbedingt Beispiele für die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert betrachten.

Nehmen wir an, wir haben 21 Experimente durchgeführt und 7 verschiedene Ergebnisse erhalten. Wir haben jeden von ihnen 1, 2, 2, 3, 4, 4 bzw. 5 Mal beobachtet. Wie hoch wird die Varianz sein?

Berechnen wir zunächst das arithmetische Mittel: Die Summe der Elemente beträgt natürlich 21. Teilen Sie es durch 7 und erhalten Sie 3. Subtrahieren Sie nun 3 von jeder Zahl in der ursprünglichen Reihenfolge, quadrieren Sie jeden Wert und addieren Sie die Ergebnisse. Das Ergebnis ist 12. Jetzt müssen wir nur noch die Zahl durch die Anzahl der Elemente dividieren, und das ist scheinbar alles. Aber da ist ein Fang! Lassen Sie uns darüber diskutieren.

Abhängigkeit von der Anzahl der Experimente

Es stellt sich heraus, dass bei der Berechnung der Varianz der Nenner eine von zwei Zahlen enthalten kann: entweder N oder N-1. Hier ist N die Anzahl der durchgeführten Experimente oder die Anzahl der Elemente in der Sequenz (was im Wesentlichen dasselbe ist). Wovon hängt das ab?

Wenn die Anzahl der Tests in Hunderten gemessen wird, müssen wir N in den Nenner setzen. Wenn in Einheiten, dann N-1. Wissenschaftler haben beschlossen, die Grenze ganz symbolisch zu zeichnen: Heute geht sie durch die Zahl 30. Wenn wir weniger als 30 Experimente durchgeführt haben, teilen wir die Menge durch N-1, und wenn mehr, dann durch N.

Aufgabe

Kehren wir zu unserem Beispiel der Lösung des Problems der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts zurück. Wir erhielten eine Zwischenzahl 12, die durch N oder N-1 geteilt werden musste. Da wir 21 Experimente durchgeführt haben, also weniger als 30, werden wir die zweite Option wählen. Die Antwort lautet also: Die Varianz beträgt 12 / 2 = 2.

Erwarteter Wert

Kommen wir zum zweiten Konzept, das wir in diesem Artikel berücksichtigen müssen. Die mathematische Erwartung ist das Ergebnis der Addition aller möglichen Ergebnisse multipliziert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Es ist wichtig zu verstehen, dass der erhaltene Wert sowie das Ergebnis der Varianzberechnung nur einmal für das gesamte Problem erhalten wird, unabhängig davon, wie viele Ergebnisse darin berücksichtigt werden.

Die Formel für die mathematische Erwartung ist recht einfach: Wir nehmen das Ergebnis, multiplizieren es mit seiner Wahrscheinlichkeit, addieren dasselbe für das zweite, dritte Ergebnis usw. Alles, was mit diesem Konzept zusammenhängt, ist nicht schwer zu berechnen. Beispielsweise ist die Summe der Erwartungswerte gleich dem Erwartungswert der Summe. Dasselbe gilt auch für die Arbeit. Nicht jede Größe in der Wahrscheinlichkeitstheorie ermöglicht die Durchführung solch einfacher Operationen. Nehmen wir das Problem und berechnen wir die Bedeutung zweier Konzepte, die wir gleichzeitig untersucht haben. Außerdem waren wir von der Theorie abgelenkt – es ist Zeit zum Üben.

Noch ein Beispiel

Wir führten 50 Versuche durch und erhielten 10 Arten von Ergebnissen – Zahlen von 0 bis 9 –, die in unterschiedlichen Prozentsätzen auftraten. Dies sind jeweils: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Denken Sie daran, dass Sie zum Erhalten von Wahrscheinlichkeiten die Prozentwerte durch 100 dividieren müssen. Somit erhalten wir 0,02; 0,1 usw. Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems für die Varianz einer Zufallsvariablen und den mathematischen Erwartungswert präsentieren.

Das arithmetische Mittel berechnen wir nach der Formel, die wir aus der Grundschule kennen: 50/10 = 5.

Lassen Sie uns nun die Wahrscheinlichkeiten in die Anzahl der Ergebnisse „in Stücken“ umwandeln, um das Zählen zu erleichtern. Wir erhalten 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 und 9. Von jedem erhaltenen Wert subtrahieren wir das arithmetische Mittel und quadrieren anschließend jedes der erhaltenen Ergebnisse. Sehen Sie sich am Beispiel des ersten Elements an, wie das geht: 1 - 5 = (-4). Als nächstes: (-4) * (-4) = 16. Für andere Werte führen Sie diese Operationen selbst aus. Wenn Sie alles richtig gemacht haben, erhalten Sie nach der Addition 90.

Fahren wir mit der Berechnung der Varianz und des Erwartungswerts fort, indem wir 90 durch N dividieren. Warum wählen wir N statt N-1? Richtig, denn die Anzahl der durchgeführten Experimente übersteigt 30. Also: 90/10 = 9. Wir haben die Varianz erhalten. Wenn Sie eine andere Nummer erhalten, verzweifeln Sie nicht. Höchstwahrscheinlich haben Sie bei den Berechnungen einen einfachen Fehler gemacht. Überprüfen Sie noch einmal, was Sie geschrieben haben, und wahrscheinlich wird alles zusammenpassen.

Denken Sie abschließend an die Formel für den mathematischen Erwartungswert. Wir geben nicht alle Berechnungen an, sondern verfassen lediglich eine Antwort, die Sie nach Abschluss aller erforderlichen Verfahren überprüfen können. Der erwartete Wert beträgt 5,48. Erinnern wir uns nur daran, wie Operationen ausgeführt werden, indem wir die ersten Elemente als Beispiel verwenden: 0*0,02 + 1*0,1... und so weiter. Wie Sie sehen, multiplizieren wir einfach den Ergebniswert mit seiner Wahrscheinlichkeit.

Abweichung

Ein weiteres Konzept, das eng mit der Streuung und dem mathematischen Erwartungswert zusammenhängt, ist die Standardabweichung. Es wird entweder mit den lateinischen Buchstaben sd oder mit dem griechischen Kleinbuchstaben „Sigma“ bezeichnet. Dieses Konzept zeigt, wie stark die Werte im Durchschnitt vom zentralen Merkmal abweichen. Um seinen Wert zu ermitteln, müssen Sie die Quadratwurzel der Varianz berechnen.

Wenn Sie ein Normalverteilungsdiagramm zeichnen und die quadratische Abweichung direkt darauf sehen möchten, kann dies in mehreren Schritten erfolgen. Nehmen Sie die Hälfte des Bildes links oder rechts vom Modus (Mittelwert) und zeichnen Sie eine Senkrechte zur horizontalen Achse, sodass die Flächen der resultierenden Figuren gleich sind. Die Größe des Segments zwischen der Mitte der Verteilung und der resultierenden Projektion auf die horizontale Achse stellt die Standardabweichung dar.

Software

Wie aus den Beschreibungen der Formeln und den vorgestellten Beispielen hervorgeht, ist die Berechnung der Varianz und des mathematischen Erwartungswerts aus arithmetischer Sicht nicht das einfachste Verfahren. Um keine Zeit zu verschwenden, ist es sinnvoll, das an Hochschulen verwendete Programm zu verwenden – es heißt „R“. Es verfügt über Funktionen, mit denen Sie Werte für viele Konzepte aus Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie berechnen können.

Sie geben beispielsweise einen Wertevektor an. Dies geschieht wie folgt: Vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Abschließend

Streuung und mathematische Erwartung sind Faktoren, ohne die es schwierig ist, etwas in der Zukunft zu berechnen. Im Hauptstudium der Vorlesungen an Universitäten werden sie bereits in den ersten Monaten des Fachstudiums besprochen. Gerade aufgrund des mangelnden Verständnisses dieser einfachen Konzepte und der Unfähigkeit, sie zu berechnen, fallen viele Studierende im Programm sofort ins Hintertreffen und erhalten am Ende des Kurses schlechte Noten, was ihnen die Stipendien vorenthält.

Üben Sie mindestens eine Woche lang eine halbe Stunde am Tag und lösen Sie Aufgaben, die denen in diesem Artikel ähneln. Dann werden Sie bei jedem Test in der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Lage sein, die Beispiele ohne überflüssige Tipps und Spickzettel zu bewältigen.

1. Die mathematische Erwartung eines konstanten Wertes ist gleich der Konstante selbst M(S)=C .
2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen: M(CX)=CM(X)
3. Die mathematische Erwartung des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Der mathematische Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme: M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Satz. Die mathematische Erwartung M(x) der Häufigkeit des Auftretens von Ereignissen A in n unabhängigen Versuchen ist gleich dem Produkt dieser Versuche mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens von Ereignissen in jedem Versuch: M(x) = np.

Lassen X - Zufallsvariable und M(X) – seine mathematische Erwartung. Betrachten wir die Differenz als neue Zufallsvariable X - M(X).

Die Abweichung ist die Differenz zwischen einer Zufallsvariablen und ihrem mathematischen Erwartungswert.

Die Abweichung hat das folgende Verteilungsgesetz:

Lösung: Finden wir den mathematischen Erwartungswert:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Schreiben wir das Verteilungsgesetz der quadratischen Abweichung:

Lösung: Finden wir den mathematischen Erwartungswert von M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5

Schreiben wir das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen X 2

Finden wir den mathematischen Erwartungswert M(x 2):M(x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Die erforderliche Varianz beträgt D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05

Dispersionseigenschaften:

1. Varianz eines konstanten Wertes MIT gleich Null: D(C)=0
2. Der konstante Faktor kann durch Quadrieren aus dem Dispersionszeichen entnommen werden. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen dieser Variablen. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Die Varianz der Binomialverteilung ist gleich dem Produkt aus der Anzahl der Versuche und den Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten und Nichteintreten eines Ereignisses in einem Versuch D(X)=npq

Um die Streuung möglicher Werte einer Zufallsvariablen um ihren Mittelwert abzuschätzen, werden neben der Streuung auch einige andere Merkmale verwendet. Dazu gehört die Standardabweichung.

Standardabweichung einer Zufallsvariablen X heißt Quadratwurzel der Varianz:

σ(X) = √D(X) (4)

Beispiel. Die Zufallsvariable X wird durch das Verteilungsgesetz spezifiziert

Finden Sie die Standardabweichung σ(x)

Lösung: Finden wir den mathematischen Erwartungswert von X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Finden wir den mathematischen Erwartungswert von X 2: M(x 2)=2 2 0,1+3 2 0,4+10 2 0,5=54
Finden wir die Varianz: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Die erforderliche Standardabweichung σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61

Satz. Die Standardabweichung der Summe einer endlichen Anzahl voneinander unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Standardabweichungen dieser Variablen:

Beispiel. Auf einem Regal mit 6 Büchern, 3 Büchern über Mathematik und 3 Büchern über Physik. Drei Bücher werden zufällig ausgewählt. Finden Sie das Gesetz zur Verteilung der Anzahl der Bücher über Mathematik unter den ausgewählten Büchern. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert und die Varianz dieser Zufallsvariablen.

D(X)= M(X 2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45

Wie bereits bekannt ist, charakterisiert das Verteilungsgesetz eine Zufallsvariable vollständig. Allerdings ist das Verteilungsgesetz oft unbekannt und man muss sich auf weniger Informationen beschränken. Manchmal ist es sogar noch gewinnbringender, Zahlen zu verwenden, die die Zufallsvariable insgesamt beschreiben; solche Nummern werden aufgerufen numerische Eigenschaften einer Zufallsvariablen.

Eines der wichtigen numerischen Merkmale ist der mathematische Erwartungswert.

Der mathematische Erwartungswert entspricht ungefähr dem Durchschnittswert der Zufallsvariablen.

Mathematischer Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen ist die Summe der Produkte aller seiner möglichen Werte und ihrer Wahrscheinlichkeiten.

Wenn eine Zufallsvariable durch eine endliche Verteilungsreihe gekennzeichnet ist:

dann die mathematische Erwartung M(X) bestimmt durch die Formel:

Der mathematische Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen wird durch die Gleichheit bestimmt:

Wo ist die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen? X.

Beispiel 4.7. Finden Sie den mathematischen Erwartungswert für die Anzahl der Punkte, die beim Würfeln erscheinen.

Lösung:

Zufälliger Wert X nimmt die Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 an. Erstellen wir das Gesetz seiner Verteilung:

Dann ist die mathematische Erwartung:

Eigenschaften der mathematischen Erwartung:

1. Der mathematische Erwartungswert eines konstanten Wertes ist gleich der Konstante selbst:

M (S) = S.

2. Der konstante Faktor lässt sich aus dem mathematischen Erwartungszeichen entnehmen:

M (CX) = CM (X).

3. Der mathematische Erwartungswert des Produkts zweier unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

M(XY) = M(X)M(Y).

Beispiel 4.8. Unabhängige Zufallsvariablen X Und Y sind durch folgende Verteilungsgesetze gegeben:

Finden Sie den mathematischen Erwartungswert der Zufallsvariablen XY.

Lösung.

Lassen Sie uns die mathematischen Erwartungen für jede dieser Größen ermitteln:

Zufällige Variablen X Und Y unabhängig, daher ist die erforderliche mathematische Erwartung:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Folge. Der mathematische Erwartungswert des Produkts mehrerer voneinander unabhängiger Zufallsvariablen ist gleich dem Produkt ihrer mathematischen Erwartungen.

4. Der mathematische Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Folge. Der mathematische Erwartungswert der Summe mehrerer Zufallsvariablen ist gleich der Summe der mathematischen Erwartungen der Terme.

Beispiel 4.9. Es werden 3 Schüsse abgefeuert, wobei die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu treffen, gleich ist S. 1 = 0,4; p2= 0,3 und S. 3= 0,6. Ermitteln Sie den mathematischen Erwartungswert der Gesamtzahl der Treffer.

Lösung.

Die Anzahl der Treffer beim ersten Schuss ist eine Zufallsvariable X 1, die nur zwei Werte annehmen kann: 1 (Treffer) mit Wahrscheinlichkeit S. 1= 0,4 und 0 (Fehltreffer) mit Wahrscheinlichkeit q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Die mathematische Erwartung der Anzahl der Treffer beim ersten Schuss ist gleich der Trefferwahrscheinlichkeit:

Ebenso finden wir die mathematischen Erwartungen an die Anzahl der Treffer für den zweiten und dritten Schuss:

M(X 2)= 0,3 und M(X 3)= 0,6.

Die Gesamtzahl der Treffer ist ebenfalls eine Zufallsvariable, die aus der Summe der Treffer bei jedem der drei Schüsse besteht:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Die erforderliche mathematische Erwartung X Wir finden es mithilfe des Satzes über den mathematischen Erwartungswert der Summe.

Jeder einzelne Wert wird vollständig durch seine Verteilungsfunktion bestimmt. Um praktische Probleme zu lösen, reicht es außerdem aus, mehrere numerische Merkmale zu kennen, wodurch es möglich wird, die Hauptmerkmale einer Zufallsvariablen in Kurzform darzustellen.

Diese Mengen umfassen in erster Linie erwarteter Wert Und Streuung .

Erwarteter Wert— der Durchschnittswert einer Zufallsvariablen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Bezeichnet als .

Im einfachsten Fall der mathematische Erwartungswert einer Zufallsvariablen X(w), finden Sie heraus, wie IntegralLebesgue in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsmaß R Original Wahrscheinlichkeitsraum

Sie können den mathematischen Erwartungswert eines Werts auch als finden Lebesgue-Integral aus X durch Wahrscheinlichkeitsverteilung R X Mengen X:

wo ist die Menge aller möglichen Werte X.

Mathematische Erwartung von Funktionen aus einer Zufallsvariablen X durch Verbreitung gefunden R X. Zum Beispiel, Wenn X- eine Zufallsvariable mit Werten in und f(x)- eindeutig BorelsFunktion X , Das:

Wenn F(x)- Verteilungsfunktion X, dann ist die mathematische Erwartung darstellbar IntegralLebesgue - Stieltjes (oder Riemann - Stieltjes):

in diesem Fall Integrierbarkeit X im Sinne ( * ) entspricht der Endlichkeit des Integrals

In bestimmten Fällen, wenn X hat eine diskrete Verteilung mit wahrscheinlichen Werten x k, k=1, 2, . , und Wahrscheinlichkeiten also

Wenn X hat eine absolut stetige Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte p(x), Das

In diesem Fall ist die Existenz einer mathematischen Erwartung gleichbedeutend mit der absoluten Konvergenz der entsprechenden Reihe oder des entsprechenden Integrals.

Eigenschaften des mathematischen Erwartungswerts einer Zufallsvariablen.

• Die mathematische Erwartung eines konstanten Wertes ist gleich diesem Wert:

C- konstant;

• M=C.M[X]

• Der mathematische Erwartungswert der Summe zufällig ermittelter Werte ist gleich der Summe ihrer mathematischen Erwartungen:

• Die mathematische Erwartung des Produkts unabhängiger Zufallsvariablen = das Produkt ihrer mathematischen Erwartungen:

M=M[X]+M[Y]

Wenn X Und Y unabhängig.

wenn die Reihe konvergiert:

Algorithmus zur Berechnung der mathematischen Erwartung.

Eigenschaften diskreter Zufallsvariablen: Alle ihre Werte können durch natürliche Zahlen umnummeriert werden; Weisen Sie jedem Wert eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null zu.

1. Multiplizieren Sie die Paare einzeln: x i An p i.

2. Addieren Sie das Produkt jedes Paares x i p i.

Zum Beispiel, Für N = 4 :

Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariablen schrittweise steigt sie an den Punkten sprunghaft an, deren Wahrscheinlichkeiten ein positives Vorzeichen haben.

Beispiel: Finden Sie den mathematischen Erwartungswert mithilfe der Formel.