Ein Parallelepiped ist gleich dem Produkt seiner Länge. Formeln zum Ermitteln des Volumens eines Parallelepipeds. II. Band aus Prisma und Pyramide

KAPITEL DREI

POLYeder

II VOLUMEN VON PRISM UND PYRAMIDE

82. Grundannahmen in Bänden. Die Größe des von einem geometrischen Körper eingenommenen Raumteils wird als Volumen dieses Körpers bezeichnet.

Wir stellen uns die Aufgabe, einen Ausdruck für diese Größe in Form einer bestimmten Zahl zu finden, die diese Größe misst. Dabei orientieren wir uns an folgenden Ausgangspunkten:

1) Gleiche Körper haben gleiche Volumina.

2) Das Volumen eines Körpers(zum Beispiel jedes in Abb. 87 gezeigte Parallelepiped), aus Teilen bestehend(P und Q), gleich der Summe der Volumina dieser Teile.

Zwei Körper mit gleichem Volumen heißen gleich groß.

83. Volumeneinheit. Bei der Volumenmessung wird das Volumen eines Würfels, bei dem jede Kante einer linearen Einheit entspricht, als Volumeneinheit verwendet. Es werden also Kubikmeter (m3), Kubikzentimeter (cm3) usw. verwendet.

Volumen eines Parallelepipeds

84. Satz.Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich dem Produkt seiner drei Dimensionen.

In einem so kurzen Ausdruck sollte dieser Satz wie folgt verstanden werden: Die Zahl, die das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds in einer kubischen Einheit ausdrückt, ist gleich dem Produkt von Zahlen, die seine drei Dimensionen in der entsprechenden linearen Einheit ausdrücken, d. h. in einer Einheit, die ist eine Kante eines Würfels, dessen Volumen als Kubikeinheit angenommen wird. Also, wenn X ist eine Zahl, die das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds in Kubikzentimetern angibt, und a, b Und Mit-Zahlen, die ihre drei Dimensionen in linearen Zentimetern ausdrücken, dann besagt das Theorem x = abc.

Im Beweis werden wir insbesondere die folgenden drei Fälle berücksichtigen:

1) Maße werden ausgedrückt ganze Zahlen.

Die Maße seien zum Beispiel (Abb. 88): AB = A, Sonne = B und BD = C,
Wo a, b Und Mit- einige ganze Zahlen (zum Beispiel wie in unserer Zeichnung gezeigt: A = 4, B= 2 und Mit= 5). Dann enthält die Basis des Parallelepipeds ab solche Quadrate, von denen jedes eine entsprechende Quadrateinheit darstellt. Jedes dieser Quadrate kann offensichtlich eine Kubikeinheit aufnehmen. Dann erhalten Sie eine Schicht (in der Zeichnung dargestellt), bestehend aus ab Kubikeinheiten. Da die Höhe dieser Schicht einer linearen Einheit entspricht, enthält sie auch die Höhe des gesamten Parallelepipeds Mit Solche Einheiten können wir dann innerhalb des Parallelepipeds platzieren Mit solche Schichten. Daher ist das Volumen dieses Parallelepipeds gleich ABC Kubikeinheiten.

2) Maße werden ausgedrückt Bruchzahlen. Die Abmessungen des Parallelepipeds seien:

M / N , P / Q , R / S

. (Einige dieser Brüche können einer ganzen Zahl entsprechen). Wenn wir die Brüche auf denselben Nenner reduzieren, erhalten wir:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Nehmen wir 1 / nqs der Anteil einer linearen Einheit für eine neue (Hilfs-)Längeneinheit. Dann werden sie in dieser neuen Maßeinheit dieses Parallelepipeds in ganzen Zahlen ausgedrückt, nämlich: mqs, pns Und rnq, und daher ist nach den Beweisen (im Fall 1) das Volumen des Parallelepipeds gleich dem Produkt ( mqs) (pns) (rnq), wenn wir dieses Volumen mit einer neuen Kubikeinheit messen, die einer neuen linearen Einheit entspricht. Eine kubische Einheit, die der vorherigen linearen Einheit entspricht, enthält ( nqs) 3 ; das bedeutet, dass die neue Kubikeinheit 1/( nqs) 3 ehemalige. Daher ist das Volumen des Parallelepipeds, ausgedrückt in den vorherigen Einheiten, gleich:

3) Maße werden ausgedrückt irrationale Zahlen. Dieses Parallelepiped (Abb. 89), das wir der Kürze halber mit einem Buchstaben Q bezeichnen, habe die Abmessungen:

AB = α; AC = β; AD = γ,

wobei alle Zahlen α, β und γ oder nur einige davon irrational sind.

Jede der Zahlen α, β und γ kann als Unendlich dargestellt werden Dezimal. Nehmen wir ungefähre Werte dieser Brüche mit P in Dezimalstellen, zuerst mit einem Defizit und dann mit einem Überschuss. Werte mit einem Nachteil werden mit α bezeichnet N , β N , γ N, Werte mit Überschuss α" N , β" N , γ" N. Legen wir auf der Kante AB, ausgehend vom Punkt A, zwei Segmente AB 1 = α fest N und AB 2 = α" N.
Auf der Kante AC vom gleichen Punkt A zeichnen wir die Strecken AC 1 = β ein N und AC 2 = β" N und auf der Kante AD aus demselben Punktsegment AD 1 = γ N und AD 2 = γ" N.

In diesem Fall haben wir:

AB 1< АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Konstruieren wir nun zwei Hilfsquader; eines (nennen wir es Q 1) mit den Maßen AB 1, AC 1 und AD 1 und das andere (nennen wir es Q 2) mit den Maßen AB 2, AC 2 und AD 2. Das Parallelepiped Q 1 passt vollständig in das Parallelepiped Q und das Parallelepiped Q 2 enthält das Parallelepiped Q.

Aufgrund dessen, was (im Fall 2) bewiesen wurde, erhalten wir:

Volumen Q 1 = α N β N γ N (1)

Volumen Q 2 = α" N β" N γ" N (2)

Definieren wir das Volumen Q 1< объёма Q 2 .

Beginnen wir nun damit, die Zahl zu erhöhen P. Das bedeutet, dass wir Näherungswerte der Zahlen α, β, γ mit immer größerer Genauigkeit annehmen.

Sehen wir uns an, wie sich die Volumina der Parallelepipede Q 1 und Q 2 ändern.

Mit unbegrenzter Steigerung P Volumen Q 1 nimmt offensichtlich aufgrund der Gleichheit (1) mit unendlichem Anstieg zu N hat als Grenzwert den Grenzwert des Produkts (α N β N γ N). Das Volumen Q 2 nimmt offensichtlich ab und hat aufgrund der Gleichheit (2) den Grenzwert des Produkts (α" N β" N γ" N). Aus der Algebra ist jedoch bekannt, dass beide Produkte
α N β N γ N und α" N β" N γ" N mit unbegrenzter Vergrößerung P haben einen gemeinsamen Grenzwert, der das Produkt der irrationalen Zahlen αβγ ist.

Wir nehmen diesen Grenzwert als Maß für das Volumen des Parallelepipeds Q: Volumen Q = αβγ.

Es kann nachgewiesen werden, dass das so ermittelte Volumen die für das Volumen aufgestellten Bedingungen (§ 82) erfüllt. Tatsächlich haben gleiche Parallelepipede mit dieser Definition des Volumens offensichtlich gleiche Volumina. Damit ist die erste Voraussetzung (§ 82) erfüllt. Teilen wir nun dieses Parallelepiped Q durch eine Ebene parallel zu seiner Basis in zwei Teile: Q 1 und Q 2 (Abb. 90).

Dann haben wir:

Volumen Q = AB AC AD,
Volumen Q 1 = AB AA 1 AD,
Volumen Q 2 = A 1 B 1 A 1 C A 1 D 1.

Wenn wir die letzten beiden Gleichungen Term für Term addieren und beachten, dass A 1 B 1 = AB und A 1 D 1 = AD, erhalten wir:

Volumen Q 1 + Volumen Q 2 = AB AA 1 AD + AB A 1 C AD = AB AD (AA 1 + A 1 C) = AB AD AC, von hier aus erhalten wir:

Volumen Q 1 + Volumen Q 2 = Volumen Q.

Folglich ist die zweite Bedingung von § 82 auch dann erfüllt, wenn das Parallelepiped aus zwei Teilen gefaltet wird, die durch Schneiden mit einer Ebene parallel zu einer der Flächen entstehen.

85. Konsequenz. Lassen Sie die Abmessungen eines rechteckigen Parallelepipeds, die als Seiten seiner Basis dienen, durch Zahlen ausgedrückt werden A Und B und die dritte Dimension (Höhe) ist eine Zahl Mit. Dann bezeichnen wir sein Volumen in den entsprechenden Kubikeinheiten mit dem Buchstaben V und können schreiben:

V= ABC.

Seit der Arbeit ab drückt die Fläche der Basis aus, dann können wir das sagen Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe .

Kommentar. Das Verhältnis zweier kubischer Einheiten unterschiedlichen Namens ist gleich der dritten Potenz des Verhältnisses derjenigen linearen Einheiten, die als Kanten für diese kubischen Einheiten dienen. Das Verhältnis eines Kubikmeters zu einem Kubikdezimeter beträgt also 10 3, also 1000. Wenn wir also beispielsweise einen Würfel mit einer Kantenlänge haben A lineare Einheiten und ein weiterer Würfel mit einer Kantenlänge von 3 A lineare Einheiten, dann ist das Verhältnis ihrer Volumina gleich 3 3, also 27, was aus Zeichnung 91 deutlich ersichtlich ist.

86. Lemma. Ein geneigtes Prisma hat die gleiche Größe wie ein gerades Prisma, dessen Basis dem senkrechten Abschnitt des geneigten Prismas entspricht und dessen Höhe seiner Seitenkante entspricht.

Gegeben sei das geneigte Prisma ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (Abb. 92).

Lassen Sie uns alle Seitenkanten und Seitenflächen in eine Richtung fortsetzen.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Fortsetzung einer Kante A und zeichne einen senkrechten Schnitt durch sie abcde. Dann beiseite legen ahh 1 = AA 1, lass uns durchziehen A 1 senkrechter Abschnitt A 1 B 1 C 1 D 1 e 1 . Da die Ebenen beider Abschnitte dann parallel sind bb 1 = ss 1 =dd 1 = sie 1 = aa 1 = AA 1 (§17). Als Ergebnis das Polyeder A 1 D, für die die von uns gezeichneten Abschnitte als Basis genommen werden, ist ein gerades Prisma, das im Satz diskutiert wird.

Beweisen wir, dass dieses geneigte Prisma gleich groß wie diese Gerade ist. Dazu stellen wir zunächst sicher, dass die Polyeder A D und A 1 D 1 sind gleich. Ihre Gründe abcde Und A 1 B 1 C 1 D 1 e 1 sind gleich wie die Grundflächen eines Prismas A 1 D; andererseits addiert man zu beiden Seiten der Gleichheit A 1 A = A 1 A entlang des gleichen Liniensegments A 1 A, wir bekommen: A A = A 1 A 1; so was B B = B 1 in 1, Mit C = Mit 1 C 1 usw. Stellen wir uns nun das Polyeder vor A D ist in ein Polyeder eingebettet A 1 D 1 so dass ihre Basen zusammenfallen; dann fallen auch die Seitenrippen zusammen, die senkrecht zu den Basen stehen und entsprechend gleich sind; also Polyeder A D wird mit dem Polyeder kompatibel sein A 1 D 1 ; Das bedeutet, dass diese Körper gleich sind. Beachten Sie nun, dass es sich um ein gerades Prisma handelt A 1 D Füge ein Polyeder hinzu A D, und zum geneigten Prisma A 1 D fügen wir ein Polyeder hinzu A 1 D 1 gleich A D, dann erhalten wir das gleiche Polyeder A 1 D. Daraus folgt, dass zwei Prismen A 1 D und A 1 D gleich groß.

87. Satz. Das Volumen eines Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Zuvor haben wir diesen Satz für ein rechteckiges Parallelepiped bewiesen, jetzt werden wir ihn für ein gerades Parallelepiped und dann für ein geneigtes Parallelepiped beweisen.

1). Sei (Abb. 93) AC 1 ein rechtwinkliges Parallelepiped, d. h. eines, dessen Basis ABCD eine Art Parallelogramm ist und dessen Seitenflächen alle Rechtecke sind.

Nehmen wir als Basis die Seitenfläche AA 1 B 1 B; dann wird das Parallelepiped sein
geneigt. Wenn wir es als Sonderfall eines geneigten Prismas betrachten, können wir basierend auf dem Lemma des vorherigen Absatzes behaupten, dass dieses Parallelepiped die gleiche Größe hat wie ein gerades Parallelepiped, dessen Basis ein senkrechter Abschnitt MNPQ ist und dessen Höhe BC ist. Das Viereck MNPQ ist ein Rechteck, weil seine Winkel als lineare Winkel rechter Diederwinkel dienen; Daher muss ein rechtwinkliges Parallelepiped mit einer rechteckigen Grundfläche MNPQ rechteckig sein und daher ist sein Volumen gleich dem Produkt seiner drei Dimensionen, für die die Strecken MN, MQ und BC genommen werden können. Auf diese Weise,

Volumen AC 1 = MN MQ BC = MN (MQ BC).

Das Produkt MQ BC drückt also die Fläche des Parallelogramms ABCD aus

Volumen ACX = (Fläche ABCD) MN = (Fläche ABCD) BB 1.

2) Sei (Abb. 94) AC 1 ein geneigtes Parallelepiped.

Sie ist gleich groß wie eine Gerade, deren Basis der Senkrechtschnitt MNPQ (d. h. senkrecht zu den Kanten AD, BC, ...) ist und deren Höhe die Kante BC ist. Aber nach Beweisen ist das Volumen eines Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe; Bedeutet,

Volumen AC 1 = (Fläche MNPQ) BC.

Wenn RS die Höhe des Abschnitts MNPQ ist, dann ist die Fläche MNPQ = MQ RS, also

Volumen AC 1 = MQ RS BC = (BC MQ) RS.

Das Produkt BC MQ drückt die Fläche des Parallelogramms ABCD aus; daher ist Volumen AC 1 = (Fläche ABCOD) RS.

Es bleibt nun noch zu beweisen, dass die Strecke RS die Höhe des Parallelepipeds darstellt. Tatsächlich ist der Abschnitt MNPQ senkrecht zu den Kanten BC, B 1 C 1, .. . , muss senkrecht zu den Flächen ABCD, BB 1 C 1 C, ... sein, die durch diese Kanten verlaufen (§ 43). Wenn wir also vom Punkt S aus eine Senkrechte zur ABCD-Ebene konstruieren, muss diese vollständig in der MNPQ-Ebene liegen (§ 44) und daher mit der Geraden RS verschmelzen, die in dieser Ebene liegt und senkrecht zu MQ steht . Das bedeutet, dass die Strecke SR die Höhe des Parallelepipeds ist. Somit ist das Volumen eines geneigten Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Folge. Wenn V, B und H Zahlen sind, die in den entsprechenden Einheiten das Volumen, die Grundfläche und die Höhe des Parallelepipeds ausdrücken, können wir schreiben.

Das Prisma heißt Parallelepiped, wenn seine Basen Parallelogramme sind. Cm. Abb.1.

Eigenschaften eines Parallelepipeds:

Die gegenüberliegenden Flächen eines Parallelepipeds sind parallel (d. h. sie liegen in parallelen Ebenen) und gleich.

Die Diagonalen eines Parallelepipeds schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt halbiert.

Benachbarte Flächen eines Parallelepipeds– zwei Flächen, die eine gemeinsame Kante haben.

Gegenüberliegende Flächen eines Parallelepipeds– Flächen, die keine gemeinsamen Kanten haben.

Gegenüberliegende Eckpunkte eines Parallelepipeds– zwei Eckpunkte, die nicht zur selben Fläche gehören.

Diagonale eines Parallelepipeds– ein Segment, das gegenüberliegende Eckpunkte verbindet.

Stehen die Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächenebenen, spricht man von einem Parallelepiped Direkte.

Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundflächen Rechtecke sind, heißt rechteckig. Man nennt ein Prisma, dessen Flächen alle Quadrate sind Würfel.

Parallelepiped- ein Prisma, dessen Grundflächen Parallelogramme sind.

Rechter Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zur Grundebene stehen.

Rechteckiges Parallelepiped ist ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen Grundflächen Rechtecke sind.

Würfel– ein rechteckiges Parallelepiped mit gleichen Kanten.

Parallelepiped ein Prisma genannt, dessen Basis ein Parallelogramm ist; Ein Parallelepiped hat also sechs Flächen und alle sind Parallelogramme.

Gegenüberliegende Flächen sind paarweise gleich und parallel. Das Parallelepiped hat vier Diagonalen; Sie schneiden sich alle in einem Punkt und werden dort in zwei Hälften geteilt. Als Basis kann jedes Gesicht genommen werden; das Volumen ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe: V = Sh.

Ein Parallelepiped, dessen vier Seitenflächen Rechtecke sind, wird als gerades Parallelepiped bezeichnet.

Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen sechs Flächen Rechtecke sind, heißt rechteckig. Cm. Abb.2.

Das Volumen (V) eines Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus Grundfläche (S) und Höhe (h): V = Sh .

Für ein rechteckiges Parallelepiped gilt zusätzlich die Formel V=abc, wobei a,b,c Kanten sind.

Die Diagonale (d) eines rechteckigen Parallelepipeds hängt durch die Beziehung mit seinen Kanten zusammen d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Rechteckiges Parallelepiped- ein Parallelepiped, dessen Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen stehen und dessen Grundflächen Rechtecke sind.

Eigenschaften eines rechteckigen Parallelepipeds:

Bei einem rechteckigen Parallelepiped sind alle sechs Flächen Rechtecke.

Alle Diederwinkel eines rechteckigen Parallelepipeds sind rechtwinklig.

Das Quadrat der Diagonale eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate seiner drei Dimensionen (den Längen von drei Kanten, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben).

Die Diagonalen eines rechteckigen Parallelepipeds sind gleich.

Ein rechteckiges Parallelepiped, dessen Flächen alle Quadrate sind, wird Würfel genannt. Alle Kanten des Würfels sind gleich; Das Volumen (V) eines Würfels wird durch die Formel ausgedrückt V=a 3, wobei a die Kante des Würfels ist.

Beliebig geometrischer Körper kann durch Oberfläche (S) und Volumen (V) charakterisiert werden. Fläche und Volumen sind überhaupt nicht dasselbe. Ein Objekt kann beispielsweise ein relativ kleines V und ein großes S haben, so funktioniert das menschliche Gehirn. Für einfache geometrische Formen ist es viel einfacher, diese Indikatoren zu berechnen.

Parallelepiped: Definition, Typen und Eigenschaften

Ein Parallelepiped ist ein viereckiges Prisma mit einem Parallelogramm an seiner Basis. Warum benötigen Sie möglicherweise eine Formel, um das Volumen einer Figur zu ermitteln? Bücher, Verpackungskartons und viele andere Dinge von Alltagsleben. Räume in Wohn- und Bürogebäuden sind in der Regel rechteckige Parallelepipede. Um Lüftung und Klimaanlage zu installieren und die Anzahl der Heizelemente in einem Raum zu bestimmen, ist es notwendig, das Raumvolumen zu berechnen.

Die Figur hat 6 Flächen – Parallelogramme und 12 Kanten, die als Basen bezeichnet werden. Es gibt verschiedene Arten von Parallelepipeden. Die Unterschiede sind auf die Winkel zwischen benachbarten Kanten zurückzuführen. Die Formeln zum Ermitteln der Vs verschiedener Polygone unterscheiden sich geringfügig.

Wenn es 6 Gesichter gibt geometrische Figur Sind Rechtecke, dann nennt man es auch rechteckig. Ein Würfel ist ein Sonderfall eines Parallelepipeds, bei dem alle sechs Flächen gleiche Quadrate sind. In diesem Fall müssen Sie zum Ermitteln von V nur die Länge einer Seite ermitteln und diese auf die dritte Potenz erhöhen.

Um Probleme zu lösen, benötigen Sie nicht nur Kenntnisse über vorgefertigte Formeln, sondern auch über die Eigenschaften der Figur. Die Liste der Grundeigenschaften eines rechteckigen Prismas ist klein und sehr leicht zu verstehen:

Die gegenüberliegenden Seiten der Figur sind gleich und parallel. Das bedeutet, dass die gegenüberliegenden Rippen in Länge und Neigungswinkel gleich sind.
Alle Seitenflächen eines Parallelepipeds sind Rechtecke.
Die vier Hauptdiagonalen einer geometrischen Figur schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen in zwei Hälften geteilt.
Das Quadrat der Diagonale eines Parallelepipeds ist gleich der Summe der Quadrate der Abmessungen der Figur (folgt aus dem Satz des Pythagoras).

Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Flächen von Quadraten, die auf den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gebildet werden, gleich der Fläche eines Dreiecks ist, das auf der Hypotenuse desselben Dreiecks gebildet wird.

Der Beweis der letzten Eigenschaft ist im Bild unten zu sehen. Der Lösungsprozess des Problems ist einfach und erfordert keine detaillierten Erklärungen.

Formel für das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds

Die Formel zum Finden ist für alle Arten von geometrischen Figuren dieselbe: V=S*h, wobei V das erforderliche Volumen ist, S die Fläche der Basis des Parallelepipeds ist, h die vom gegenüberliegenden Scheitelpunkt abgesenkte Höhe ist und senkrecht zur Basis. In einem Rechteck fällt h mit einer der Seiten der Figur zusammen. Um das Volumen eines rechteckigen Prismas zu ermitteln, müssen Sie also drei Dimensionen multiplizieren.

Das Volumen wird normalerweise in cm3 ausgedrückt. Wenn man alle drei Werte von a, b und c kennt, ist es überhaupt nicht schwierig, das Volumen einer Figur zu ermitteln. Das häufigste Problem beim Einheitlichen Staatsexamen besteht darin, das Volumen oder die Diagonale eines Parallelepipeds zu ermitteln. Vieles lösen typische Aufgaben Das Einheitliche Staatsexamen ohne die Formel für das Volumen eines Rechtecks ist unmöglich. Ein Beispiel für eine Aufgabe und den Entwurf ihrer Lösung ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Anmerkung 1. Die Oberfläche eines rechteckigen Prismas kann ermittelt werden, indem die Summe der Flächen der drei Flächen der Figur mit 2 multipliziert wird: der Basis (ab) und zwei benachbarten Seitenflächen (bc + ac).

Anmerkung 2. Die Fläche der Seitenflächen lässt sich leicht ermitteln, indem man den Umfang der Grundfläche mit der Höhe des Parallelepipeds multipliziert.

Basierend auf der ersten Eigenschaft von Parallelepipeden AB = A1B1 und Fläche B1D1 = BD. Nach den Folgerungen des Satzes des Pythagoras beträgt die Summe aller Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck 180°, und der Schenkel gegenüber dem 30°-Winkel ist gleich der Hypotenuse. Wenn wir dieses Wissen auf ein Dreieck anwenden, können wir leicht die Länge der Seiten AB und AD ermitteln. Dann multiplizieren wir die erhaltenen Werte und berechnen das Volumen des Parallelepipeds.

Formel zur Bestimmung des Volumens eines geneigten Parallelepipeds

Um das Volumen eines geneigten Parallelepipeds zu ermitteln, muss die Fläche der Basis der Figur mit der Höhe multipliziert werden, die von der gegenüberliegenden Ecke auf die angegebene Basis abgesenkt wird.

Somit kann das erforderliche V in Form von h dargestellt werden – der Anzahl der Blätter mit einer Grundfläche S, sodass das Volumen des Decks aus den Vs aller Karten besteht.

Beispiele für Problemlösungen

Die Aufgaben der einheitlichen Prüfung müssen in abgeschlossen werden bestimmte Zeit. Typische Aufgaben enthalten in der Regel keine große Menge Berechnungen und komplexe Brüche. Oft wird ein Schüler gefragt, wie er das Volumen einer unregelmäßigen geometrischen Figur ermitteln kann. In solchen Fällen sollten Sie sich an die einfache Regel erinnern, dass das Gesamtvolumen gleich der Summe der Vs der Einzelteile ist.

Wie Sie anhand des Beispiels im Bild oben sehen können, ist die Lösung solcher Probleme nicht schwierig. Aufgaben aus komplexeren Abschnitten erfordern Kenntnisse des Satzes des Pythagoras und seiner Konsequenzen sowie der Formel für die Länge der Diagonale einer Figur. Um Testaufgaben erfolgreich zu lösen, reicht es aus, sich vorab mit Beispielen typischer Problemstellungen vertraut zu machen.

Lemma 1. Das Volumen rechteckiger Parallelepipede mit gleicher Grundfläche hängt von ihrer Höhe ab.

Wenn rechteckige Parallelepipede gleiche Grundflächen haben, können sie ineinander verschachtelt werden.

Seien AG und AP (Abb.) zwei solcher Parallelepipede. Betrachten wir zwei Fälle.

1. Die Höhen von BF und BN sind vergleichbar.

Das allgemeine Höhenmaß sei m-mal in BF und n-mal in BN enthalten.

Zeichnen wir durch die Teilungspunkte eine Reihe von Ebenen parallel zur Basis.

Dann wird das Parallelepiped AG in m und das Parallelepiped AP in n gleiche Teile geteilt.

Somit erhalten wir:

$\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)$ und $\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(m)(n) $

Somit:

$\frac(Volumen AG)(Volumen AP)=\frac(BF)(BN) $

2. Die Höhen von BF und BN sind inkommensurabel.

Teilen Sie BN in n gleiche Teile und setzen Sie einen Teil so oft wie möglich auf BF.

Der 1/n-Anteil an BN sei mehr als m-mal, aber weniger als m+1-mal in BF enthalten.

Dann zeichnen wir wie zuvor eine Reihe von Ebenen parallel zur Basis und teilen das par-d AP in n so gleiche Teile, dass das par-de AG mehr als m, aber weniger als m+1 enthält.

Somit:

ca.rel. $\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)$ und ca.rel. $\frac(Volumen AG)(Volumen AP)=\frac(m)(n)$

Somit sind ungefähre Verhältnisse, die mit willkürlicher, aber gleicher Präzision berechnet wurden, gleich. Und das ist die Gleichheit inkommensurabler Beziehungen.

Lemma 2. Das Volumen rechteckiger Parallelepipede mit gleicher Höhe hängt von der Fläche ihrer Grundfläche ab.

Es seien (Abb.) P und P 1 zwei rechteckige Parallelepipede. Bezeichnen wir die ungleichen Basen der einen mit a und b und der anderen mit a 1 und b 1.

Nehmen wir ein rechteckiges Hilfsquader Q, dessen Höhe mit denen dieser Körper übereinstimmt und dessen Grundfläche ein Rechteck mit den Seiten a und b 1 ist.

Die Parallelepipede P und Q haben gleiche Vorderflächen. Wenn wir diese Flächen als Basis nehmen, dann sind die Höhen b und b 1 und daher:

Volumen P/Volumen Q = b/b1

Die Parallelepipede Q und P 1 haben gleiche Seitenflächen. Wenn wir diese Flächen als Basis nehmen, dann sind die Höhen a und a 1 und daher:

Volumen Q/Volumen P 1 = a/a1

Durch Multiplikation der Gleichungen und erhalten wir:

Volumen P/Volumen P 1 = ab/a 1 b 1

Da ab die Fläche der Basis des Par-da P ausdrückt und a 1 b 1 die Fläche der Basis des Par-da P 1 ist, ist das Lemma bewiesen.

Satz. Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Sei (Abb.) P ein rechteckiges Parallelepiped und P 1 eine kubische Einheit.

Bezeichnen wir Grundfläche und Höhe des ersten mit B und H und des zweiten mit B 1 und H 1.

Nehmen wir ein Hilfsquader Q mit der Grundfläche B 1 und der Höhe H.

Wenn wir P mit Q und dann Q mit P 1 vergleichen, finden wir:

Um. P/Vol. Q = B/B1 und Bd. Q/Rev. P1 = H/H1

Wenn wir diese Gleichungen multiplizieren, erhalten wir:

Um. P/Vol. P1 = B/B1 * H/H1

Die in dieser Gleichung enthaltenen Verhältnisse sind Zahlen, die das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines bestimmten Parallelepipeds in den entsprechenden kubischen, quadratischen und linearen Einheiten ausdrücken. Daher kann die letzte Gleichheit wie folgt ausgedrückt werden:

Die Zahl, die das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ausdrückt, ist gleich dem Produkt der Zahlen, die die Grundfläche und die Höhe in den entsprechenden Einheiten ausdrücken.

Dies lässt sich kurz wie folgt ausdrücken: Das Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe, also

Dabei sind V, B und H Zahlen, die in den entsprechenden Einheiten das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines rechteckigen Parallelepipeds angeben.

Wenn wir die drei Dimensionen eines rechteckigen Par-Da (ausgedrückt in Zahlen) mit den Buchstaben a, b und c bezeichnen, können wir schreiben:

weil die Grundfläche durch das Produkt zweier dieser Dimensionen ausgedrückt wird und die Höhe gleich der dritten Dimension ist.

Folgen:

Das Volumen eines Würfels entspricht der dritten Potenz seiner Kante.
Das Verhältnis zweier kubischer Einheiten ist gleich der dritten Potenz des Verhältnisses der entsprechenden linearen Einheiten. Das Verhältnis von m3 zu dm3 beträgt also 10 3, d.h. 1000.

Volumen eines beliebigen Parallelepipeds

Lemma. Ein geneigtes Prisma hat die gleiche Größe wie ein gerades Prisma, dessen Grundfläche gleich dem senkrechten Abschnitt des geneigten Prismas ist und dessen Höhe gleich seiner Seitenkante ist.

Durch einen Punkt a (Abb.) einer der Seitenkanten des geneigten Prismas A 1 d zeichnen wir einen senkrechten Schnitt abcde. Dann fahren wir fort, alle Seiten zeigen nach unten, legen aa 1 =AA 1 beiseite und zeichnen durch den Punkt a 1 einen senkrechten Abschnitt a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 .

Da die Ebenen der beiden Abschnitte parallel sind, sind die zwischen ihnen eingeschlossenen Teile der Seitenrippen gleich, d.h.
bb 1 = ss 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .

Infolgedessen ist das Polyeder a 1 d ein gerades Prisma, dessen Basis ein senkrechter Abschnitt ist und dessen Höhe (oder was dasselbe ist, die Seitenkante) gleich der Seitenkante des geneigten Prismas ist.

Beweisen wir, dass ein geneigtes Prisma gleich groß ist wie ein gerades Prisma.

Dazu stellen wir zunächst sicher, dass die Polyeder aD und a 1 D 1 gleich sind.

Ihre Grundflächen abcde und a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 sind gleich, wie die Grundflächen eines Prismas a 1 d.

Wenn wir andererseits von beiden Seiten die Gleichungen A 1 A = a 1 a entlang derselben Geraden A 1 a subtrahieren, erhalten wir aA = a 1 A 1 .

Ähnlich: bB = b 1 B 1, cC = c 1 C 1 usw.

Stellen wir uns nun vor, dass das Polyeder aD in ein 1 D 1 eingebettet ist, so dass ihre Basen zusammenfallen. Dann fallen auch die Seitenrippen zusammen, die senkrecht zu den Basen stehen und entsprechend gleich sind.

Daher ist das Polyeder aD mit a 1 D 1 kompatibel. Das bedeutet, dass diese Körper gleich sind.

Beachten Sie nun, dass wir ein direktes Prisma erhalten, wenn wir den Teil aD vom gesamten Polyeder a 1 D subtrahieren. Und wenn wir den Teil a 1 D 1 vom gleichen Polyeder subtrahieren, erhalten wir ein geneigtes Prisma.

Daraus folgt, dass diese beiden Prismen gleich groß sind, da ihre Volumina die Differenzen der Volumina gleicher Körper sind.

Satz. Das Volumen eines Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe.

Zuvor haben wir diesen Satz für ein rechteckiges Parallelepiped bewiesen, jetzt werden wir ihn für ein gerades Parallelepiped und dann für ein geneigtes Parallelepiped beweisen.

1. Sei (Abb.) AC 1 gerade par-d, d.h. eines, dessen Basis ABCD eine Art Parallelogramm ist und dessen Seitenflächen alle Rechtecke sind.

Nehmen wir als Basis die Fläche AA 1 B 1 B. Dann wird das Parallelepiped geneigt sein.

Wenn wir es als Sonderfall eines geneigten Prismas betrachten, können wir auf der Grundlage des Lemmas des vorherigen Absatzes behaupten, dass dieses par-d einer geraden Linie entspricht, deren Basis ein senkrechter Abschnitt MNPQ und die Höhe BC ist.

Das Viereck MNPQ ist ein Rechteck, da seine Winkel als lineare Winkel rechter Diederwinkel dienen. Daher muss ein rechtwinkliges Parallelepiped mit dieser Grundfläche rechteckig sein, und daher ist sein Volumen gleich dem Produkt aus der Grundfläche MNPQ und der Höhe BC.

Aber die Fläche von MNPQ ist gleich MN * MQ. Bedeutet:

Volumen AC1 = MN * MQ * BC

Das Produkt MQ * BC drückt die Fläche des Parallelogramms ABCD aus. Deshalb:

Volumen AC 1 = (Fläche ABCD) * MN

2. Sei (Abb.) AC 1 geneigt. Sie ist gleich groß wie eine Gerade, deren Basis der Senkrechte MNPQ und deren Höhe die Kante BC ist.

Aber nach Beweisen ist das Volumen eines Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe. Bedeutet:

Volumen AC 1 = (Fläche MNPQ) * BC

Wenn RS die Höhe des Abschnitts MNPQ ist, dann ist die Fläche MNPQ = MQ * RS. Deshalb:

Volumen AC1 = MQ * RS * BC

Das Produkt BC * MQ drückt die Fläche des Parallelogramms ABCD aus. Somit:

Volumen AC 1 = (Fläche ABCD) * RS

Diese. Das Volumen eines jeden Parallelepipeds ist gleich dem Produkt aus der Grundfläche und der Höhe .

Folge. Wenn V, B und H Zahlen sind, die in den entsprechenden Einheiten das Volumen, die Grundfläche und die Höhe eines Parallelepipeds ausdrücken, dann können wir schreiben:

Aufgabe. Die Basis eines geraden Parallelepipeds ist eine Raute, deren Fläche gleich S ist. Die Flächen der Diagonalabschnitte sind gleich S 1 und S 2. Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds.

Um das Volumen eines Parallelepipeds zu ermitteln, müssen Sie seine Höhe H ermitteln (Abb. 242).