Präsentation - Brüche in Babylon, Rom, Ägypten - Entdeckung der Dezimalbrüche. Forschungsarbeit "Die Geschichte der Entstehung von Brüchen" Was war das System der Brüche im alten Rom

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Auch heute noch heißt es manchmal: "Er hat dieses Thema gewissenhaft studiert." Das bedeutet, dass das Thema zu Ende studiert wurde, dass nicht die geringste Unklarheit geblieben ist. Und das seltsame Wort "skrupulös" kommt vom römischen Namen 1/288 assa - "scrupulus". Es gab auch solche Namen: "semis" - die Hälfte des Esels, "sextans" - sein sechster Anteil, "seven ounce" - eine halbe Unze, d.h. 1/24 Arsch usw. Insgesamt angewendet 18 verschiedene Titel Brüche. Um mit Brüchen zu arbeiten, musste man sich die Additionstabelle und das Einmaleins für diese Brüche merken. Daher wussten die römischen Kaufleute genau, dass beim Hinzufügen von Triens (1/3 Esel) und Sextans ein Semis erhalten wird, und wenn ein Dämon (2/3 Esel) mit einer Sescution (2/3 Unzen, dh 1/8) multipliziert wird Arsch), eine Unze erhalten wird . Um die Arbeit zu erleichtern, wurden spezielle Tabellen zusammengestellt, von denen einige uns überliefert sind. Auch heute noch heißt es manchmal: "Er hat dieses Thema gewissenhaft studiert." Das bedeutet, dass das Thema zu Ende studiert wurde, dass nicht die geringste Unklarheit geblieben ist. Und das seltsame Wort "skrupulös" kommt vom römischen Namen 1/288 assa - "scrupulus". Es gab auch solche Namen: "semis" - die Hälfte des Esels, "sextans" - sein sechster Anteil, "seven ounce" - eine halbe Unze, d.h. 1/24 Arsch usw. Insgesamt wurden 18 verschiedene Namen von Fraktionen verwendet. Um mit Brüchen zu arbeiten, musste man sich die Additionstabelle und das Einmaleins für diese Brüche merken. Daher wussten die römischen Kaufleute genau, dass beim Hinzufügen von Triens (1/3 Esel) und Sextans ein Semis erhalten wird, und wenn ein Dämon (2/3 Esel) mit einer Sescution (2/3 Unzen, dh 1/8) multipliziert wird Arsch), eine Unze erhalten wird . Um die Arbeit zu erleichtern, wurden spezielle Tabellen zusammengestellt, von denen einige uns überliefert sind.

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Da es im Duodezimalsystem keine Brüche mit den Nennern 10 oder 100 gibt, fiel es den Römern schwer, durch 10, 100 usw. zu dividieren. Bei der Division von 1001 Assen durch 100 erhielt ein römischer Mathematiker zunächst 10 Asse, dann teilte er die Esel in Unzen usw. e) Aber er wurde den Rest nicht los. Um sich mit solchen Berechnungen nicht auseinanderzusetzen, begannen die Römer, Prozentsätze zu verwenden. Da es im Duodezimalsystem keine Brüche mit den Nennern 10 oder 100 gibt, fiel es den Römern schwer, durch 10, 100 usw. zu dividieren. Bei der Division von 1001 Assen durch 100 erhielt ein römischer Mathematiker zunächst 10 Asse, dann teilte er die Esel in Unzen usw. e) Aber er wurde den Rest nicht los. Um sich mit solchen Berechnungen nicht auseinanderzusetzen, begannen die Römer, Prozentsätze zu verwenden. Da die Wörter "einhundert" im Lateinischen "etwa ein Centum" klangen, wurde ein Hundertstel als Prozentsatz bezeichnet.

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Brüche im alten Rom. Ein interessantes System von Brüchen gab es im alten Rom. Es basierte auf einer Unterteilung in 12 Teile einer Gewichtseinheit, die als Arsch bezeichnet wurde. Der Zwölftel eines Asses wurde Unze genannt. Und die Art und Weise, Zeit und andere Größen wurden mit einer visuellen Sache verglichen - dem Gewicht. Zum Beispiel könnte ein Römer sagen, dass er sieben Unzen der Straße gegangen ist oder fünf Unzen eines Buches gelesen hat. In diesem Fall ging es natürlich nicht um das Abwägen des Weges oder des Buches. Das bedeutete, dass 7/12 des Weges zurückgelegt oder 5/12 des Buches gelesen wurden. Und für Brüche, die durch Kürzen von Brüchen mit einem Nenner von 12 oder Teilen von Zwölftel in kleinere erhalten wurden, gab es spezielle Namen.

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Mathematik Klasse 6

Zusammenfassung andere Präsentationen

"Körper des Rotationskegels" - Kegel. Der zweite Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks r ist der Radius an der Basis des Kegels. Die Vereinigung der Generatoren eines Kegels wird als Erzeugende (oder seitliche) Oberfläche des Kegels bezeichnet. Das Segment, das die Spitze und den Rand der Basis verbindet, wird als Erzeugende des Kegels bezeichnet. Scan. Der Winkel des Sektors in der Entwicklung der Mantelfläche des Kegels wird durch die Formel bestimmt: ? = 360° (r/l). Die Mantellinie eines Kegels ist eine Kegelfläche.

"Mathematical Brain Ring" - Wahl der Jury. Prüfung. Ecke. Dreieck und Quadrat. Prozent. Überlege dir mathematische Konzepte. Kegel. Wie viele Schnitte hast du gemacht? Fehler. Anruf. Ernstes Thema. Mannschaft. Fraktion. Wettbewerb der Kapitäne. Was ist schwerer als ein Kilogramm Nägel oder Watte? Anagramm. Turniertisch. Sich warm laufen. Fünf Minuten. Anagramme. Zentimeter. Befehlspräsentation. Eine Zahl, die weder prim noch zusammengesetzt ist. Die kleinste natürliche Zahl.

"Parallele Linien in einem Flugzeug" - Pappus (III. Jahrhundert n. Chr.). Moderne Definition. (Euklid). Unterschiedliche Definitionen von parallelen Linien... Im Leben begegnen wir oft dem Konzept der Parallelität. "Zwei Linien, die in derselben Ebene liegen und gleich weit voneinander entfernt sind." Zugunglück. Kurzschluss, kein Strom. Aus der Geschichte paralleler Linien. W. Outred (1575-1660). Gestartet. Euklid (im III. Jahrhundert v. Chr.). Die Säulen des Parthenon (Antikes Griechenland, 447-438 v. Chr.) sind ebenfalls parallel.

"Maßeinheiten" - Maßeinheiten. Zeiteinheiten. Aufgaben für das Verhältnis von Zeiteinheiten. Aufgaben für Längeneinheiten. In welchem Jahrhundert wurde die Leibeigenschaft in Russland abgeschafft? Körperlänge eines Zwergaffen. Längeneinheiten. Gebietseinheiten. Volumeneinheiten. Aquarienabmessungen.

"Probleme auf der Fläche von Figuren" - Ein wörtlicher Ausdruck zum Auffinden von S und P. Schreiben Sie die Formeln für die Fläche und den Umfang der Figuren auf. Rechteckiges Parallelepiped. Das Gartengrundstück ist von einem Zaun umgeben. 39 m Teppich gekauft. Finde das S und P der ganzen Figur. Quadrat und Rechteck. Für den Bau eines Wohnhauses wurde ein Grundstück zugeteilt. Finden Sie den Bereich der schattierten Figur. Das Resort verfügt über einen Swimmingpool. Parallelepiped. Im Kinderzimmer muss der Boden mit Teppich isoliert werden.

"Beziehung in der Mathematik" - Oder welcher Teil der ersten Zahl von der zweiten ist. Sich warm laufen. Was zeigt das Verhältnis zweier Zahlen? Freundliche Beziehungen. Wie oft ist die erste Zahl größer als die zweite. Was zeigt Haltung? Der Lehrer ist streng mit den Schülern. Welcher Teil ist die erste Zahl der zweiten. Längenverhältnis. Familienbeziehungen. Massenverhältnis. Die Antwort kann auch als Dezimalzahl oder als Prozentsatz geschrieben werden. Von einem 5 m langen Stoffstück wurden 2 m abgeschnitten. Welcher Teil des Stoffstücks wurde abgeschnitten?

2.1.2. Brüche im alten Rom

Die Römer verwendeten hauptsächlich nur konkrete Brüche, die die abstrakten Teile durch Unterteilungen der verwendeten Maße ersetzten. Sie richteten ihr Augenmerk auf das Maß „Esel“, das bei den Römern als Hauptmaßeinheit für Masse, aber auch als Geldeinheit diente. Asse wurde in zwölf Teile geteilt - Unzen. Davon wurden alle Brüche mit einem Nenner von 12 addiert, also 1/12, 2/12, 3/12 ...

So entstanden römische Duodezimalbrüche, also Brüche, bei denen der Nenner immer die Zahl 12 war. Statt 1/12 sagten die Römer „eine Unze“, 5/12 – „fünf Unzen“ usw. Drei Unzen wurden als Viertel bezeichnet, vier Unzen als Drittel, sechs Unzen als halbe.

Jetzt ist "Arsch" ein Apothekerpfund.

2.1.3. Brüche im alten Ägypten

Der erste Bruchteil, den die Leute trafen, war wahrscheinlich die Hälfte. Es folgten 1/4, 1/8 ..., dann 1/3, 1/6 usw., also die einfachsten Brüche, Teile eines Ganzen, Einheits- oder Grundbrüche genannt. Ihr Zähler ist immer eins. Einige Völker der Antike und vor allem die Ägypter drückten jeden Bruch als Summe von nur Grundbrüchen aus. Erst viel später bei den Griechen, dann bei den Indianern und anderen Völkern begannen Bruchzahlen in Gebrauch zu kommen. Gesamtansicht, gewöhnlich genannt, bei der Zähler und Nenner beliebige natürliche Zahlen sein können.

Im alten Ägypten erreichte die Architektur einen hohen Entwicklungsstand. Um grandiose Pyramiden und Tempel zu bauen, Längen, Flächen und Volumen von Figuren zu berechnen, musste man rechnen können.

Aus den entschlüsselten Informationen auf den Papyri erfuhren Wissenschaftler, dass die Ägypter vor 4.000 Jahren ein dezimales (aber kein Positions-) Zahlensystem hatten und viele Probleme im Zusammenhang mit den Bedürfnissen des Bauwesens, des Handels und des Militärs lösen konnten.

So schrieben die Ägypter ihre Brüche auf. Wenn beispielsweise als Ergebnis der Messung eine Bruchzahl 3/4 erhalten wurde, wurde sie für die Ägypter als Summe der Einheitsbrüche ½ + ¼ dargestellt.

2.1.4. Babylonische Sexagesimalbrüche

Ausgrabungen, die im 20. Jahrhundert unter den Ruinen antiker Städte im südlichen Teil Mesopotamiens durchgeführt wurden, enthüllten große Menge keilschriftliche mathematische Tafeln. Wissenschaftler, die sie studierten, fanden das 2000 Jahre vor Christus heraus. e. Die Mathematik erreichte bei den Babyloniern einen hohen Entwicklungsstand.

Die schriftliche sexagesimale Nummerierung der Babylonier wurde aus zwei Zeichen kombiniert: einem vertikalen Keil ▼, der eins bezeichnet, und einem konventionellen Zeichen ◄, das zehn bezeichnet. In den babylonischen Keilschrifttexten begegnet man erstmals dem Positionszahlensystem. Der vertikale Keil bedeutete nicht nur 1, sondern auch 60, 602, 603 usw. Anfangs hatten die Babylonier im positionellen Sixagesimalsystem kein Zeichen für Null. Später wurde das èè-Zeichen eingeführt, das die moderne Null ersetzte, um die Ziffern voneinander zu trennen.

Die Entstehung des sexagesimalen Zahlensystems bei den Babyloniern hängt laut Wissenschaftlern damit zusammen, dass die babylonischen Geld- und Gewichtsmaßeinheiten aufgrund historischer Gegebenheiten in 60 gleiche Teile unterteilt wurden:

1 Talent = 60 min;

Die Sechziger waren im Leben der Babylonier üblich. Deshalb verwendete man sexagesimale Brüche, die immer den Nenner 60 bzw. dessen Potenzen haben: 602 = 3600, 603 = 216000 usw. Insofern lassen sich sexagesimale Brüche mit unseren Dezimalbrüchen vergleichen.

Die babylonische Mathematik beeinflusste die griechische Mathematik. Spuren des babylonischen Sexagesimalzahlensystems haben sich in der modernen Wissenschaft bei der Messung von Zeit und Winkeln erhalten. Bis heute hat sich die Einteilung einer Stunde in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden, eines Kreises in 360 Grad, eines Grades in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden erhalten.

Die Babylonier leisteten einen wertvollen Beitrag zur Entwicklung der Astronomie. Bis ins 17. Jahrhundert wurden sexagesimale Brüche in der Astronomie von Wissenschaftlern aller Nationen verwendet und als astronomische Brüche bezeichnet. Im Gegensatz dazu wurden die allgemeinen Brüche, die wir verwenden, gewöhnliche Brüche genannt.

2.1.5. Nummerierung und Brüche im antiken Griechenland

Im antiken Griechenland wurde die Arithmetik – das Studium der allgemeinen Eigenschaften von Zahlen – von der Logistik – der Kunst des Rechnens – getrennt. Die Griechen glaubten, dass Fraktionen nur in der Logistik verwendet werden könnten. Hier treffen wir uns zum ersten Mal allgemeines Konzept Brüche der Form m/n. Somit kann davon ausgegangen werden, dass sich spätestens im 5. Jahrhundert v. Chr. im antiken Griechenland erstmals der Bereich der natürlichen Zahlen auf den Bereich der zusätzlichen rationalen Zahlen ausdehnte. e. Die Griechen operierten bei allen Rechenoperationen frei mit Brüchen, erkannten diese aber nicht als Zahlen.

Im antiken Griechenland gab es zwei Systeme der schriftlichen Nummerierung: attisch und ionisch oder alphabetisch. Sie wurden nach den antiken griechischen Regionen Attika und Ionien benannt. Im attischen System, auch herodianisches System genannt, sind die meisten Zahlenzeichen die Anfangsbuchstaben der entsprechenden griechischen Ziffern, zum Beispiel GENTE (gente oder cente) - fünf, ΔEKA (deca) - zehn usw. Dieses System wurde in Attika bis zum 1. Jahrhundert n. Chr. verwendet, aber in anderen Gebieten des antiken Griechenlands wurde es noch früher durch eine bequemere alphabetische Nummerierung ersetzt, die sich schnell in ganz Griechenland verbreitete.

Die Griechen verwendeten neben einzelnen "ägyptischen" Brüchen auch gewöhnliche gewöhnliche Brüche. Unter den verschiedenen Einträgen wurde auch folgendes verwendet: Oben steht der Nenner, darunter der Zähler des Bruchs. 5/3 bedeutete zum Beispiel drei Fünftel und so weiter.

AUFSATZ

Fach: "Mathematik"

Zu diesem Thema: "Außerordentliche ordentliche Brüche"

Aufgeführt:

Schüler der 5. Klasse

Frolova Natalia

Supervisor:

Drushchenko E.A.

Mathematiklehrer

Streschewoi, Gebiet Tomsk

		Seite Nummer.
	Einführung
ICH.	Aus der Geschichte gewöhnliche Brüche.
1.1	Die Entstehung von Fraktionen.
1.2	Brüche im alten Ägypten.
1.3	Brüche im alten Babylon.
1.4	Brüche im alten Rom.
1.5	Brüche im antiken Griechenland.
1.6	Fraktionen in Russland.
1.7	Brüche im alten China.
1.8	Brüche in anderen Staaten der Antike und des Mittelalters.
II.	Die Verwendung gewöhnlicher Brüche.
2.1	Fraktionen aliquotieren.
2.2	Statt kleiner Anteile große.
2.3	Partitionen unter schwierigen Umständen.
III.	Unterhaltsame Fraktionen.
3.1	Domino.
3.2	Aus den Tiefen der Jahrhunderte.
	Fazit
	Referenzliste
	Anhang 1. Natürliche Tonleiter.
	Anhang 2. Alte Probleme mit gewöhnlichen Brüchen.
	Anhang 3. Unterhaltsame Probleme mit gewöhnlichen Brüchen.
	Anhang 4. Domino-Fraktionen

Einführung

Dieses Jahr haben wir begonnen, gewöhnliche Brüche zu studieren. Sehr ungewöhnliche Zahlen, angefangen bei ihrer ungewöhnlichen Notation bis hin zu komplexen Regeln für die Arbeit mit ihnen. Obwohl von der ersten Bekanntschaft mit ihnen an klar war, dass man sie auch in Deutschland nicht missen kann gewöhnliches Leben, da wir uns jeden Tag mit dem Problem auseinandersetzen müssen, ein Ganzes in Teile zu teilen, und sogar in einem bestimmten Moment schien es mir, dass wir nicht mehr von ganzen Zahlen, sondern von Bruchzahlen umgeben waren. Mit ihnen gestaltete sich die Welt schwieriger, aber gleichzeitig auch interessanter. Ich habe ein paar Fragen. Sind Brüche notwendig? Sind sie wichtig? Ich wollte wissen, woher die Brüche kommen, wer sich die Regeln für die Arbeit mit ihnen ausgedacht hat. Wobei das Wort erfunden wahrscheinlich nicht sehr passend ist, denn in der Mathematik muss alles überprüft werden, da alle Wissenschaften und Branchen in unserem Leben auf Klartext basieren mathematische Gesetze weltweit tätig. Es kann nicht sein, dass bei uns die Addition von Brüchen nach einer Regel erfolgt und irgendwo in England anders.

Im Laufe der Arbeit an der Zusammenfassung musste ich mich einigen Schwierigkeiten stellen: Bei neuen Begriffen und Konzepten musste ich mir den Kopf zerbrechen, Probleme lösen und die von den antiken Wissenschaftlern vorgeschlagenen Lösungen analysieren. Außerdem stieß ich beim Tippen zum ersten Mal auf die Notwendigkeit, Brüche und Bruchausdrücke zu drucken.

Der Zweck meines Essays: die Geschichte der Entwicklung des Konzepts eines gewöhnlichen Bruchs nachzuzeichnen, die Notwendigkeit und Bedeutung der Verwendung gewöhnlicher Brüche bei der Lösung praktischer Probleme aufzuzeigen. Die Aufgaben, die ich mir gestellt habe: Material zum Thema des Essays und seiner Systematisierung sammeln, alte Probleme studieren, das bearbeitete Material zusammenfassen, das verallgemeinerte Material entwerfen, eine Präsentation vorbereiten, das Abstract präsentieren.

Meine Arbeit besteht aus drei Kapiteln. Ich habe Materialien aus 7 Quellen studiert und verarbeitet, darunter pädagogische, wissenschaftliche und enzyklopädische Literatur, die Internetseite. Ich habe eine Anwendung entworfen, die eine Auswahl von Problemen aus alten Quellen, einige unterhaltsame Probleme mit gewöhnlichen Brüchen und eine Präsentation enthält, die im Power Point-Editor erstellt wurde.

I. Aus der Geschichte der gewöhnlichen Brüche

Die Entstehung von Fraktionen

Zahlreiche historische und mathematische Studien zeigen, dass gebrochene Zahlen auftauchten verschiedene Völker in der Antike kurz nach den natürlichen Zahlen. Das Auftreten von Brüchen ist mit praktischen Bedürfnissen verbunden: Aufgaben, bei denen in Teile geteilt werden muss, waren sehr verbreitet. Außerdem musste ein Mensch im Leben nicht nur Gegenstände zählen, sondern auch Mengen messen. Die Leute trafen sich mit Messungen von Längen, Flächen Grundstücke, Volumen, Massen von Körpern. In diesem Fall kam es vor, dass die Maßeinheit nicht ganzzahlig in den Messwert passte. Beim Messen der Länge eines Abschnitts in Schritten ist beispielsweise eine Person auf folgendes Phänomen gestoßen: Zehn Schritte passen in die Länge, und der Rest war weniger als ein Schritt. Daher sollte der zweite wichtige Grund für das Auftreten von Bruchzahlen die Messung von Mengen mit der gewählten Maßeinheit sein.

So entstand in allen Zivilisationen das Konzept einer Fraktion aus dem Prozess, das Ganze in gleiche Teile zu zerkleinern. Der russische Begriff „Bruch“ kommt, wie seine Gegenstücke in anderen Sprachen, von lat. fractura, was wiederum eine Übersetzung des gleichbedeutenden arabischen Begriffs ist: brechen, zermalmen. Daher waren wahrscheinlich die ersten Brüche überall Brüche der Form 1/n. Die Weiterentwicklung geht natürlich dahin, diese Brüche als Einheiten zu betrachten, aus denen sich Brüche m/n - rationale Zahlen zusammensetzen lassen. Dieser Weg wurde jedoch nicht von allen Zivilisationen beschritten: Beispielsweise wurde er in der altägyptischen Mathematik nie verwirklicht.

Der erste Bruchteil, den die Leute trafen, war die Hälfte. Obwohl die Namen aller folgenden Brüche mit den Namen ihrer Nenner verbunden sind (drei - "drittel", vier - "Viertel" usw.), ist dies für die Hälfte nicht der Fall - ihr Name in allen Sprachen hat nichts mit dem Wort "zwei" zu tun.

Das System zur Aufzeichnung von Brüchen und die Regeln für die Arbeit mit ihnen unterschieden sich sowohl zwischen den verschiedenen Völkern als auch in andere Zeiten von denselben Leuten. Eine wichtige Rolle spielten auch zahlreiche Ideenanleihen bei kulturellen Kontakten zwischen verschiedenen Zivilisationen.

Brüche im alten Ägypten

Im alten Ägypten wurden nur die einfachsten Brüche verwendet, bei denen der Zähler gleich eins ist (die wir "Aktien" nennen). Mathematiker nennen solche Brüche Aliquots (vom lateinischen Aliquot - mehrere). Es wird auch der Name Basisfraktionen oder Einheitsfraktionen verwendet.

den größten Teil des Auges 1/2 (oder 32/64) Augenbraue 1/8 (oder 8/64) Tropfen Tränen (?) 1/32 (oder ²/64) Kleinigkeit 63 / 64

Darüber hinaus verwendeten die Ägypter auf der Hieroglyphe basierende Schriftformen Auge des Horus (Wagget). Die Antike zeichnet sich durch die Verflechtung des Bildes der Sonne und des Auges aus. In der ägyptischen Mythologie wird oft der Gott Horus erwähnt, der die geflügelte Sonne verkörpert und eines der häufigsten heiligen Symbole ist. Im Kampf mit den Feinden der Sonne, verkörpert in Form von Set, wird Horus zunächst besiegt. Seth reißt das Auge heraus – das wundersame Auge – und reißt es in Fetzen. Thoth – der Gott des Lernens, der Vernunft und der Gerechtigkeit – faltete die Teile des Auges erneut zu einem zusammen und erschuf das „gesunde Auge des Horus“. Bilder von Teilen des gespaltenen Auges wurden im alten Ägypten schriftlich verwendet, um Brüche von 1 / 2 bis 1 / 64 anzuzeigen.

Die Summe der sechs im Wadget enthaltenen und auf einen gemeinsamen Nenner gebrachten Zeichen: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Diese Brüche wurden zusammen mit anderen Formen ägyptischer Brüche zum Teilen verwendet haha, das wichtigste Volumenmaß im alten Ägypten. Diese kombinierte Notation wurde auch verwendet, um das Volumen von Getreide, Brot und Bier zu messen. Wenn nach der Aufzeichnung der Menge in Form eines Bruchteils des Auges des Horus ein Rest übrig blieb, wurde er in der üblichen Form als Vielfaches von ro aufgezeichnet, einer Maßeinheit, die 1/320 eines Hekat entspricht.

Zum Beispiel so:

Gleichzeitig wurde der „Mund“ allen Hieroglyphen vorangestellt.

Hekat Gerste: 1/2 + 1/4 + 1/32 (d. h. 25/32 Gerstengefäße).

Hekat betrug ungefähr 4,785 Liter.

Die Ägypter stellten jeden zweiten Bruch als Summe aliquoter Brüche dar, zum Beispiel 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 und so weiter.

Es wurde so geschrieben: /2 /16; /2 /4 /8.

In einigen Fällen scheint dies einfach genug. Zum Beispiel 2/7 = 1/7 + 1/7. Aber eine andere Regel der Ägypter war das Fehlen sich wiederholender Zahlen in einer Reihe von Brüchen. Das heißt, 2/7 waren ihrer Meinung nach 1/4 + 1/28.

Nun wird die Summe mehrerer aliquoter Brüche als ägyptischer Bruch bezeichnet. Mit anderen Worten, jeder Bruchteil der Summe hat einen Zähler gleich eins und einen Nenner, der eine natürliche Zahl ist.

Verschiedene Berechnungen durchzuführen, alle Brüche durch Einer auszudrücken, war natürlich sehr schwierig und zeitaufwändig. Daher kümmerten sich ägyptische Wissenschaftler darum, die Arbeit des Schreibers zu erleichtern. Sie haben spezielle Tabellen mit Erweiterungen von Brüchen in einfache zusammengestellt. Die mathematischen Dokumente des alten Ägypten sind keine wissenschaftlichen mathematischen Abhandlungen, sondern praktische Lehrbücher mit Beispielen aus dem Leben. Zu den Aufgaben, die ein Schüler der Schreiberschule lösen musste, gehörten die Berechnung der Scheunenkapazität, des Korbvolumens, der Feldfläche und der Aufteilung des Eigentums unter den Erben. und andere. Der Schreiber musste sich diese Muster merken und in der Lage sein, sie schnell für Berechnungen anzuwenden.

Einer der frühesten bekannten Hinweise auf ägyptische Brüche ist der Rhind Mathematical Papyrus. Drei ältere Texte, die ägyptische Brüche erwähnen, sind die ägyptische mathematische Lederrolle, der Moskauer mathematische Papyrus und die Akhmim-Holztafel.

Das älteste Denkmal der ägyptischen Mathematik, der sogenannte „Moskauer Papyrus“, ist ein Dokument des 19. Jahrhunderts v. Es wurde 1893 von Golenishchev, einem Sammler antiker Schätze, erworben und ging 1912 in den Besitz des Moskauer Museums der Schönen Künste über. Es enthielt 25 verschiedene Aufgaben.

Beispielsweise wird das Problem betrachtet, 37 durch die als (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7) angegebene Zahl zu teilen. Durch sukzessives Verdoppeln dieser Bruchzahl und Ausdrücken der Differenz zwischen 37 und dem, was passiert ist, sowie durch ein Verfahren, das im Wesentlichen analog zum Finden eines gemeinsamen Nenners ist, erhält man die Antwort: Der Quotient ist 16 + 1/56 + 1/679 + 1/ 776.

Das größte mathematische Dokument – ein Papyrus-Leitfaden für Berechnungen des Schreibers Ahmes – wurde 1858 vom englischen Sammler Rhind gefunden. Der Papyrus wurde im 17. Jahrhundert v. Chr. zusammengestellt. Es ist 20 Meter lang und 30 Zentimeter breit. Es enthält 84 mathematische Probleme, deren Lösungen und Antworten als ägyptische Brüche geschrieben sind.

Der Papyrus des Ahmes beginnt mit einer Tabelle, in der alle Brüche der Form 2\n von 2/5 bis 2/99 als Summen aliquoter Brüche geschrieben sind. Die Ägypter wussten auch, wie man Brüche multipliziert und dividiert. Aber für die Multiplikation musste man Brüche mit Brüchen multiplizieren und dann vielleicht wieder die Tabelle verwenden. Noch schwieriger war die Teilung. Zum Beispiel, wie 5 durch 21 geteilt wurde:

Ein häufiges Problem aus dem Ahmes Papyrus: „Lasst euch sagen: Teilt 10 Maß Gerste auf 10 Personen auf; der Unterschied zwischen jeder Person und seinem Nachbarn beträgt 1/8 eines Maßes. Der durchschnittliche Anteil ist ein Maß. Subtrahieren Sie eins von 10; Rest 9. Machen Sie die Hälfte der Differenz aus; es ist 1/16. Nimm es 9 mal. Wenden Sie es auf den mittleren Schlag an; Ziehe 1/8 des Maßes für jedes Gesicht ab, bis du das Ende erreichst.“

Ein weiteres Problem aus dem Ahmes-Papyrus, das die Verwendung von aliquoten Brüchen demonstriert: "Sieben Brote unter 8 Personen verteilen."
Wenn Sie jedes Brot in 8 Stücke schneiden, müssen Sie 49 Schnitte machen.
Und im Ägyptischen wurde dieses Problem so gelöst. Der Bruch 7/8 wurde als Anteile geschrieben: 1/2 + 1/4 + 1/8. Das bedeutet, dass jeder Person ein halbes Brot, ein viertel Brot und ein achtes Brot gegeben werden muss; Deshalb schneiden wir vier Brote in zwei Hälften, zwei Brote - in 4 Teile und ein Brot - in 8 Teile, danach geben wir jeden Teil davon.

Ägyptische Bruchtafeln und verschiedene babylonische Tafeln sind die ältesten uns bekannten Rechenhilfen.

Ägyptische Brüche wurden trotz der Bemerkungen antiker Mathematiker bis ins Mittelalter im antiken Griechenland und später von Mathematikern auf der ganzen Welt verwendet. Zum Beispiel sprach Claudius Ptolemäus über die Unbequemlichkeit der Verwendung ägyptischer Brüche im Vergleich zum babylonischen System (Positionszahlensystem). Eine wichtige Arbeit zum Studium ägyptischer Brüche wurde vom Mathematiker Fibonacci aus dem 13. Jahrhundert in seinem Werk „Liber Abaci“ durchgeführt – dies sind Berechnungen mit Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen, die schließlich die ägyptischen Brüche verdrängten. Fibonacci verwendete eine komplexe Notation für Brüche, einschließlich der Notation von Zahlen mit gemischter Basis und der Notation als Summen von Brüchen, und häufig wurden ägyptische Brüche verwendet. In dem Buch wurden auch Algorithmen zum Umwandeln von gewöhnlichen Brüchen in ägyptische angegeben.

Brüche im alten Babylon.

Es ist bekannt, dass im alten Babylon das sexagesimale Zahlensystem verwendet wurde. Wissenschaftler führen diese Tatsache darauf zurück, dass die babylonischen Geld- und Gewichtseinheiten aufgrund historischer Gegebenheiten in 60 gleiche Teile unterteilt wurden: 1 Talent = 60 min; 1 Mine = 60 Schekel. Die Sechziger waren im Leben der Babylonier üblich. Deshalb verwendeten sie sexagesimale Brüche, die immer die Zahl 60 oder ihre Potenzen als Nenner haben: 60 2 \u003d 3600, 60 3 \u003d 216000 usw. Dies sind die weltweit ersten systematischen Brüche, d.h. Brüche, deren Nenner Potenzen gleicher Zahl sind. Mit solchen Brüchen mussten die Babylonier viele Brüche ungefähr darstellen. Das ist der Nachteil und gleichzeitig der Vorteil dieser Fraktionen. Diese Brüche wurden bis zum 15. Jahrhundert zu einem ständigen Instrument wissenschaftlicher Berechnungen durch griechische und dann arabischsprachige und mittelalterliche europäische Wissenschaftler, bis sie den Dezimalbrüchen Platz machten. Aber sexagesimale Brüche wurden in der Astronomie von Wissenschaftlern aller Völker bis zum 17. Jahrhundert verwendet und als astronomische Brüche bezeichnet.

Hexadezimales Zahlensystem vorgegeben große Rolle in der Mathematik von Babylon verschiedene Tabellen. Ein vollständiges babylonisches Einmaleins müsste Produkte von 1x1 bis 59x59 enthalten, also 1770 Zahlen, und nicht 45 wie unser Einmaleins. Es ist fast unmöglich, sich eine solche Tabelle zu merken. Auch in schriftlicher Form wäre es sehr umständlich. Daher gab es sowohl für die Multiplikation als auch für die Division einen umfangreichen Satz verschiedener Tabellen. Die Divisionsoperation in der babylonischen Mathematik kann als „Problem Nummer eins“ bezeichnet werden. Die Division der Zahl m durch die Zahl n wurde von den Babyloniern auf die Multiplikation der Zahl m mit dem Bruch 1 \\ n reduziert, und sie hatten nicht einmal den Begriff „Teilen“. Wenn wir zum Beispiel berechnen, was wir als x = m: n schreiben würden, haben sie immer so argumentiert: Nimm den Kehrwert von n, du wirst 1 \ n finden, m mit 1 \ n multiplizieren, und du wirst x sehen. Natürlich riefen die Bewohner Babylons anstelle unserer Buchstaben bestimmte Nummern an. Die wichtigste Rolle in der babylonischen Mathematik spielten daher zahlreiche Reziproktafeln.

Darüber hinaus haben die Babylonier für Berechnungen mit Brüchen die umfangreichsten Tabellen zusammengestellt, in denen die Grundbrüche in Sexagesimalbrüchen ausgedrückt werden. Zum Beispiel:

1\16 = 3\60 + 45\60 2 , 1\54 = 1\60 + 6\60 2 + 40\60 3 .

Die Addition und Subtraktion von Brüchen wurde bei den Babyloniern ähnlich durchgeführt wie die entsprechenden Operationen mit ganzen Zahlen und Dezimalbrüchen in unserem Stellenzahlensystem. Aber wie wurde ein Bruch mit einem Bruch multipliziert? Eine ziemlich hohe Entwicklung der Messgeometrie (Vermessung, Flächenmessung) legt nahe, dass die Babylonier diese Schwierigkeiten mit Hilfe der Geometrie überwunden haben: Eine 60-fache Änderung des linearen Maßstabs ergibt eine 60 × 60-fache Änderung des Flächenmaßstabs. Anzumerken ist, dass in Babylon die Erweiterung des Reiches der natürlichen Zahlen auf das Reich der positiven rationalen Zahlen nicht endgültig erfolgte, da die Babylonier nur endliche sexagesimale Brüche betrachteten, in deren Bereich eine Teilung nicht immer machbar ist. Außerdem verwendeten die Babylonier die Brüche 1\2,1\3,2\3,1\4,1\5,1\6,5\6, für die es einzelne Vorzeichen gab.

Spuren des babylonischen Sexagesimalzahlensystems haben sich in der modernen Wissenschaft bei der Messung von Zeit und Winkeln erhalten. Die Einteilung einer Stunde in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden, eines Kreises in 360 Grad, eines Grades in 60 Minuten, einer Minute in 60 Sekunden hat sich bis heute erhalten.

(kleines Teil).

Brüche im alten Rom.

Die Römer verwendeten hauptsächlich nur konkrete Brüche, die die abstrakten Teile durch Unterteilungen der verwendeten Maße ersetzten. Dieses System von Brüchen basierte auf der Teilung in 12 Teile einer Gewichtseinheit, die als Arsch bezeichnet wurde. So entstanden römische Duodezimalbrüche, d.h. Brüche, deren Nenner immer 12 ist. Der Zwölftel eines Asses wurde Unze genannt. Anstelle von 1/12 sagten die Römer "eine Unze", 5/12 - "fünf Unzen" usw. Drei Unzen wurden als Viertel bezeichnet, vier Unzen als Drittel, sechs Unzen als halbe.

Und die Art und Weise, Zeit und andere Größen wurden mit einer visuellen Sache verglichen - dem Gewicht. Zum Beispiel könnte ein Römer sagen, dass er sieben Unzen der Straße gegangen ist oder fünf Unzen eines Buches gelesen hat. Dabei ging es natürlich nicht um das Abwägen des Weges oder des Buches. Das bedeutete, dass 7/12 des Weges zurückgelegt oder 5/12 des Buches gelesen wurden. Und für Brüche, die durch Kürzen von Brüchen mit einem Nenner von 12 oder Teilen von Zwölftel in kleinere erhalten wurden, gab es spezielle Namen. Insgesamt wurden 18 verschiedene Namen von Fraktionen verwendet. Beispielsweise wurden die folgenden Namen verwendet:

„scrupulus“ - 1/288 assa,

"semis" - halber Arsch,

"Sextans" - sein sechster Anteil,

„sieben Unze“ – eine halbe Unze, d.h. 1/24 Arsch usw.

Um mit solchen Brüchen zu arbeiten, musste man sich die Additionstabelle und das Einmaleins für diese Brüche merken. Daher wussten die römischen Kaufleute genau, dass beim Hinzufügen von Triens (1/3 Esel) und Sextans ein Semis erhalten wird, und wenn ein Dämon (2/3 Esel) mit einer Sescution (2/3 Unzen, dh 1/8) multipliziert wird Arsch), eine Unze erhalten wird . Um die Arbeit zu erleichtern, wurden spezielle Tabellen zusammengestellt, von denen einige uns überliefert sind.

Eine Unze wurde durch einen Bindestrich - halbes Assa (6 Unzen) - mit dem Buchstaben S gekennzeichnet (das erste im lateinischen Wort Semis ist halb). Diese beiden Zeichen dienten dazu, beliebige duodezimale Brüche zu schreiben, von denen jeder seinen eigenen Namen hatte. Zum Beispiel wurde 7 \ 12 so geschrieben: S-.

Schon im 1. Jahrhundert v. Chr. sagte der herausragende römische Redner und Schriftsteller Cicero: „Ohne Kenntnis der Brüche kann niemand als arithmetisch Bewandert anerkannt werden!“.

Charakteristisch ist folgender Auszug aus dem Werk des berühmten römischen Dichters des 1. Jahrhunderts v. Chr. Horaz über ein Gespräch zwischen einem Lehrer und einem Schüler in einer der römischen Schulen jener Zeit:

Lehrer: Lass den Sohn von Albin sagen, wie viel übrig bleibt, wenn eine Unze von fünf Unzen weggenommen wird!

Schüler: Ein Drittel.

Lehrer: Richtig, du kennst dich gut mit Brüchen aus und wirst in der Lage sein, dein Eigentum zu retten.

Brüche im antiken Griechenland.

Im antiken Griechenland wurde die Arithmetik – das Studium der allgemeinen Eigenschaften von Zahlen – von der Logistik – der Kunst des Rechnens – getrennt. Die Griechen glaubten, dass Fraktionen nur in der Logistik verwendet werden könnten. Die Griechen operierten bei allen Rechenoperationen frei mit Brüchen, erkannten diese aber nicht als Zahlen. In den griechischen Schriften zur Mathematik gab es keine Brüche. Griechische Wissenschaftler glaubten, dass Mathematik sich nur mit ganzen Zahlen befassen sollte. Sie versorgten Kaufleute, Handwerker, aber auch Astronomen, Landvermesser, Mechaniker und andere „Schwarze“ mit Bruchstücken. „Wenn Sie die Einheit teilen wollen, werden die Mathematiker Sie verspotten und Ihnen dies nicht erlauben“, schrieb der Gründer der Athener Akademie, Plato.

Aber nicht alle antiken griechischen Mathematiker stimmten Platon zu. So verwendet Archimedes in der Abhandlung „Über die Messung des Kreises“ Brüche. Heron of Alexandria war auch frei, mit Bruchteilen umzugehen. Er teilt wie die Ägypter den Bruch in die Summe der Grundbrüche. Statt 12\13 schreibt er 1\2 + 1\3 + 1\13 + 1\78, statt 5\12 schreibt er 1\3 + 1\12 usw. Sogar Pythagoras, der die natürlichen Zahlen mit heiliger Ehrfurcht behandelte, als er die Theorie der Tonleiter entwickelte, verband die wichtigsten musikalischen Intervalle mit Brüchen. Es stimmt, Pythagoras und seine Schüler verwendeten nicht das eigentliche Konzept eines Bruchs. Sie erlaubten sich, nur über die Beziehungen ganzer Zahlen zu sprechen.

Da sich die Griechen nur sporadisch mit Brüchen befassten, verwendeten sie andere Schreibweisen. Heron und Diophantus schrieben Brüche in alphabetischer Form, mit dem Zähler unter dem Nenner. Für einige Brüche wurden getrennte Bezeichnungen verwendet, zum Beispiel für 1 \ 2 - L ′′, aber im Allgemeinen ermöglichte ihre alphabetische Nummerierung kaum die Bezeichnung von Brüchen.

Für Einheitsbrüche wurde eine spezielle Notation verwendet: Der Nenner des Bruchs wurde rechts von einem Strich begleitet, der Zähler wurde nicht geschrieben. Im alphabetischen System bedeutete dies beispielsweise 32 und "- der Bruch 1 \ 32. Es gibt solche Aufzeichnungen gewöhnlicher Brüche, bei denen der Zähler mit einem Strich und der Nenner mit zwei Strichen zweimal nebeneinander in einer Zeile geschrieben sind So schrieb zum Beispiel Heron von Alexandria den Bruch 3 \vier auf: .

Die Mängel der griechischen Notation für Bruchzahlen sind darauf zurückzuführen, dass die Griechen das Wort „Zahl“ als eine Menge von Einheiten verstanden, was wir heute als eine einzelne rationale Zahl – einen Bruch – betrachten, verstanden die Griechen als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen. Dies erklärt, warum gewöhnliche Brüche in der griechischen Arithmetik selten waren. Bevorzugt wurden entweder Brüche mit einem einzigen Zähler oder sexagesimale Brüche. Der Bereich, in dem praktische Berechnungen den größten Bedarf an exakten Brüchen hatten, war die Astronomie, und hier war die babylonische Tradition so stark, dass sie von allen Völkern, einschließlich Griechenland, verwendet wurde.

Fraktionen in Russland

Der erste uns namentlich bekannte russische Mathematiker, der Mönch des Nowgoroder Klosters Kirik, befasste sich mit Fragen der Chronologie und des Kalenders. In seinem handgeschriebenen Buch „The Teaching by Him to Know to Man the Numbers of All Years“ (1136), d.h. „Unterweisung, wie ein Mensch die Zahl der Jahre erkennen kann“ gilt die Einteilung der Stunde in Fünftel, Fünfundzwanzig usw. Brüche, die er „Stundenbruchteile“ oder „Stunden“ nannte. Er kommt zu den siebten Stundenbruchteilen, von denen es 937.500 an einem Tag oder in einer Nacht gibt, und er sagt, dass aus den siebten Stundenbruchteilen nichts gewonnen wird.

In den ersten Lehrbüchern der Mathematik (7. Jahrhundert) wurden Brüche Brüche genannt, später „gebrochene Zahlen“. Auf Russisch tauchte das Wort Bruch im 8. Jahrhundert auf, es kommt vom Verb "crush" - brechen, in Stücke brechen. Beim Schreiben einer Zahl wurde eine horizontale Linie verwendet.

In alten Handbüchern gibt es die folgenden Namen von Fraktionen in Russland:

1/2 - halb, halb

1/3 - Drittel

1/4 - vier

1/6 - ein halbes Drittel

1/8 - halbe Stunde

1/12 - ein halbes Drittel

1/16 - halb nach

1/24 - halbes halbes Drittel (kleines Drittel)

1/32 - halb und halb und halb (kleines Viertel)

1/5 - fünf

1/7 - Woche

1/10 - Zehnter.

In Russland wurde ein Viertel und ein kleineres Landmaß verwendet -

ein halbes Viertel, das Oktopus genannt wurde. Dies waren spezifische Brüche, Einheiten zur Messung der Erdfläche, aber der Oktopus konnte weder Zeit noch Geschwindigkeit usw. messen. Viel später begann der Oktopus einen abstrakten Bruch 1/8 zu bedeuten, der jeden ausdrücken kann Wert.

Über die Verwendung von Brüchen in Russland im 17. Jahrhundert können Sie in dem Buch von V. Bellustin „Wie allmählich die Menschen zur echten Arithmetik kamen“ Folgendes lesen: „In der Handschrift des 17. Jahrhunderts. „Der Zahlenartikel über alle Aktien, das Dekret“ beginnt unmittelbar mit der schriftlichen Bezeichnung der Brüche und mit der Angabe von Zähler und Nenner. Bei der Aussprache von Brüchen sind folgende Besonderheiten interessant: Der vierte Teil wurde Viertel genannt, während die Anteile mit einem Nenner von 5 bis 11 in Worten mit der Endung „ina“ ausgedrückt wurden, also 1/7 eine Woche ist, 1/5 ist eine Fünf, 1/10 ist ein Zehnter; Aktien mit Nennern größer als 10 wurden mit den Worten "Fohlen" ausgesprochen, zum Beispiel 5/13 - fünf dreizehnte Lose. Die Nummerierung der Brüche wurde direkt aus westlichen Quellen entlehnt ... Der Zähler wurde die obere Zahl genannt, der Nenner die untere.“

Seit dem 16. Jahrhundert erfreut sich das Plankenkonto in Russland großer Beliebtheit – Berechnungen mit einem Instrument, das der Prototyp russischer Konten war. Es ermöglichte, komplexe Rechenoperationen schnell und einfach durchzuführen. Das Plankenkonto war unter Kaufleuten, Angestellten von Moskauer Orden, "Vermessern" - Landvermessern, klösterlichen Haushältern usw. sehr verbreitet.

In seiner ursprünglichen Form wurde der Boardcount speziell an die Bedürfnisse der fortgeschrittenen Arithmetik angepasst. Dies ist das Steuersystem in Russland im 15. bis 17. Jahrhundert, in dem neben der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von ganzen Zahlen seitdem die gleichen Operationen mit Brüchen durchgeführt werden mussten herkömmliche Einheit Besteuerung - Pflug, in Teile geteilt.

Das Plankenkonto bestand aus zwei Faltschachteln. Jede Kiste war zweigeteilt (später nur noch unten); die zweite Box war aufgrund der Besonderheiten des Geldkontos notwendig. In der Kiste wurden Knochen an gespannten Schnüren oder Draht aufgereiht. Entsprechend dem dezimalen Zahlensystem hatten die Zeilen für ganze Zahlen 9 oder 10 Knochen; Operationen mit Brüchen wurden an unvollständigen Reihen durchgeführt: Eine Reihe von drei Knochen machte drei Drittel, eine Reihe von vier Knochen - vier Viertel (Cheti). Ниже располагались ряды, в которых было по одной кости: каждая кость представляла половину от той дроби, под которой она располагалась (например, кость расположенная под рядом из трех костей, составляла половину от одной трети, кость под ней - половину от половины одной трети, usw.). Die Addition zweier identischer „ähnlicher“ Brüche ergibt einen Bruch der nächsthöheren Kategorie, zum Beispiel 1/12+1/12=1/6 usw. Auf der Rechnung entspricht die Addition von zwei solchen Brüchen dem Übergang zum nächsten höheren Knöchel.

Brüche wurden ohne Kürzung auf einen gemeinsamen Nenner summiert, zum Beispiel „ein Viertel und eine Hälfte und eine Hälfte“ (1/4 + 1/6 + 1/16). Manchmal wurden Operationen mit Brüchen wie mit ganzen Zahlen durchgeführt, indem das Ganze (Pflug) mit einem bestimmten Geldbetrag gleichgesetzt wurde. Wenn zum Beispiel Sokha = 48 Geldeinheiten ist, ist der obige Bruch 12 + 8 + 3 = 23 Geldeinheiten.

In der Sosh-Arithmetik musste man mit kleineren Brüchen umgehen. Einige Manuskripte enthalten Zeichnungen und Beschreibungen von "Rechenkästen", die den eben betrachteten ähnlich sind, jedoch mit einer großen Anzahl von Reihen mit einem Knochen, so dass Brüche bis zu 1/128 und 1/96 darauf abgelegt werden können. Zweifellos wurden auch entsprechende Geräte hergestellt. Zur Vereinfachung der Rechner wurden viele Regeln des "Code of Small Bones" angegeben, d.h. Addition von Brüchen, die im Sosh-Konto verwendet werden, wie: drei Viertel eines Pflugs und ein halber Pflug und ein halber und ein halber Pflug usw. bis halb-halb-halb-halb-halb ein Pflug ist ein Pflug ohne halb-halb-halb-halb-halb ein viertel, d.h. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 usw.

Von den Brüchen wurden aber nur 1/2 und 1/3 berücksichtigt, sowie die daraus durch sukzessive Division durch 2 gewonnenen. Für Operationen mit Brüchen anderer Serien wurde die „Brettzahl“ nicht angepasst. Bei der Arbeit mit ihnen musste auf spezielle Tabellen verwiesen werden, in denen die Ergebnisse verschiedener Kombinationen von Fraktionen angegeben waren.

1703 Das erste gedruckte russische Lehrbuch der Mathematik „Arithmetik“ erscheint. Autor Magnitsky Leonty Filippovich. Im 2. Teil dieses Buches „Über unterbrochene Zahlen oder mit Teilen“ wird die Bruchlehre ausführlich beschrieben.

Bei Magnitsky hat es einen fast modernen Charakter. Magnitsky geht detaillierter auf die Berechnung von Aktien ein als moderne Lehrbücher. Magnitsky betrachtet Brüche als benannte Zahlen (nicht nur 1/2, sondern 1/2 Rubel, Pud usw.) und er untersucht Aktionen mit Brüchen im Prozess der Problemlösung. Dass es eine gebrochene Zahl gibt, antwortet Magnitsky: „Eine gebrochene Zahl ist nichts anderes, nur ein Teil einer Sache, die durch eine Zahl deklariert wird, dh ein halber Rubel wird geschrieben, aber es wird in Rubel oder Rubel oder geschrieben Rubel oder zwei Fünftel und alle möglichen Dinge, die beide als Zahl deklariert sind, das heißt, eine gebrochene Zahl. Magnitsky gibt die Namen aller echten Brüche mit Nennern von 2 bis 10 an. Zum Beispiel Brüche mit einem Nenner von 6: eins sechzehn, zwei sechzehn, drei sechzehn, vier sechzehn, fünf sechzehn.

Magnitsky verwendet den Namen Zähler, Nenner, betrachtet unechte Brüche, gemischte Zahlen, zusätzlich zu allen Aktionen sondert er den ganzen Teil aus einem unechten Bruch heraus.

Die Bruchlehre war immer der schwierigste Zweig der Arithmetik, aber gleichzeitig erkannten die Menschen in allen früheren Epochen die Bedeutung des Studiums von Brüchen, und Lehrer in Versen und Prosa versuchten, ihre Schüler aufzuheitern. L. Magnitsky schrieb:

Aber es gibt keine Arithmetik

Ijo im ganzen Angeklagten,

Und in diesen Aktien ist nichts,

Du kannst Antworten.

freu dich über dich,

In Teilen können.

Brüche im alten China

In China waren bereits im 2. Jahrhundert v. Chr. fast alle Rechenoperationen mit gewöhnlichen Brüchen etabliert. BC e.; sie sind im grundlegenden Korpus des mathematischen Wissens des alten China beschrieben – „Mathematik in neun Büchern“, dessen Endausgabe Zhang Cang gehört. Chinesische Mathematiker rechneten nach einer ähnlichen Regel wie der Euklid-Algorithmus (der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner) und reduzierten Brüche. Die Multiplikation von Brüchen wurde als Ermittlung der Fläche eines rechteckigen Grundstücks dargestellt, dessen Länge und Breite in Bruchzahlen ausgedrückt werden. Die Teilung wurde unter Verwendung der Idee der Teilung in Betracht gezogen, während chinesische Mathematiker sich nicht schämten, dass die Anzahl der Teilnehmer an der Teilung ein Bruchteil sein könnte, zum Beispiel 3⅓ Personen.

Anfänglich verwendeten die Chinesen die einfachsten Brüche, die mit der Bani-Hieroglyphe benannt wurden:

Bäder ("halb") -1 \ 2;

shao ban ("kleine Hälfte") -1\3;

tai ban ("große Hälfte") -2 \ 3.

Der nächste Schritt war die Entwicklung einer allgemeinen Vorstellung von Brüchen und die Bildung von Regeln für den Umgang mit ihnen. Wenn im alten Ägypten nur aliquote Fraktionen verwendet wurden, galten sie in China als Fraktionen-Fen als eine der Sorten von Fraktionen und nicht als die einzig möglichen. Die chinesische Mathematik befasst sich seit der Antike mit gemischten Zahlen. Der früheste mathematische Text, das Zhou Bi Suan Jing (Kanon der Berechnung des Zhou-Gnomons/Mathematische Abhandlung über den Gnomon), enthält Berechnungen, bei denen Zahlen wie 247933/1460 potenziert werden.

In „Ju zhang suan shu“ („Regeln zum Zählen in neun Abschnitten“) wird ein Bruch als Teil eines Ganzen betrachtet, was sich in der n-ten Zahl seiner Brüche ausdrückt – fen – m (n< m). Дробь – это «застывший» процесс деления одного числа на другое – делимого на делитель. Дробь всегда меньше единицы. Если в результате деления одного числа на другое получается остаток, то он принимается как числитель дроби, знаменателем которой является делитель. Например, при делении 22 на 5 получается 4 и остаток 2, который дает дробь 2\5.

Im ersten Abschnitt von "Ju Zhang Suan Shu", der sich allgemein der Messung von Feldern widmet, werden die Regeln zum Kürzen, Addieren, Subtrahieren, Dividieren und Multiplizieren von Brüchen sowie deren Vergleich und "Ausgleichen", d.h. ein solcher Vergleich von drei Brüchen, bei dem es notwendig ist, ihr arithmetisches Mittel zu finden (eine einfachere Regel zum Berechnen des arithmetischen Mittels zweier Zahlen wird im Buch nicht angegeben).

Um beispielsweise die Summe der Brüche in diesem Aufsatz zu erhalten, wird die folgende Anweisung angeboten: „Multiplizieren (hu cheng) abwechselnd die Zähler mit den Nennern. Addiere - das ist die Dividende (shi). Multipliziere die Nenner – das ist der Divisor (fa). Kombiniere den Dividenden mit dem Divisor zu Eins (und). Wenn es einen Rest gibt, ordnen Sie ihn dem Divisor zu. Diese Anweisung bedeutet, dass wenn mehrere Brüche addiert werden, der Zähler jedes Bruchs mit den Nennern aller anderen Brüche multipliziert werden muss. Beim „Kombinieren“ des Dividenden (als Summe der Ergebnisse einer solchen Multiplikation) mit dem Divisor (dem Produkt aller Nenner) erhält man einen Bruch, der ggf. gekürzt und von dem der ganze Teil durch Division abgetrennt werden sollte , dann ist der „Rest“ der Zähler und der reduzierte Teiler der Nenner. Die Summe einer Menge von Brüchen ist das Ergebnis einer solchen Division, bestehend aus einer ganzen Zahl plus einem Bruch. Die Anweisung „Multipliziere die Nenner“ bedeutet eigentlich, die Brüche auf den größten gemeinsamen Nenner zu bringen.

Die Bruchreduktionsregel in Jiu Zhang Xuan Shu enthält einen Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner, der derselbe ist wie der sogenannte Euklid-Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen. Ist letzteres aber bekanntlich in den "Prinzipien" in geometrischer Formulierung angegeben, dann stellt sich der chinesische Algorithmus rein arithmetisch dar. Chinesischer Algorithmus zum Finden des größten gemeinsamen Teilers

Die Entstehungsgeschichte der Brüche

Einführung

Das Bedürfnis nach Bruchzahlen entstand beim Menschen schon in einem sehr frühen Entwicklungsstadium. Schon die Aufteilung der Beute, die aus mehreren erlegten Tieren bestand, unter den Jagdteilnehmern, wenn sich herausstellte, dass die Zahl der Tiere kein Vielfaches der Zahl der Jäger war, konnte den Urmenschen auf den Begriff einer gebrochenen Zahl führen.

Neben der Notwendigkeit, Objekte zu zählen, mussten die Menschen der Antike Länge, Fläche, Volumen, Zeit und andere Größen messen. Messergebnisse lassen sich nicht immer durch eine natürliche Zahl ausdrücken, außerdem müssen Teile des verwendeten Maßes berücksichtigt werden. Brüche sind historisch im Prozess der Messung entstanden.

Die Notwendigkeit genauerer Messungen führte dazu, dass die anfänglichen Maßeinheiten in 2, 3 oder mehr Teile geteilt wurden. Die kleinere Maßeinheit, die durch Zersplitterung entstanden ist, erhielt einen individuellen Namen, und die Werte wurden bereits von dieser kleineren Einheit gemessen.

Brüche im alten Rom

Bei den Römern die Hauptmaßeinheit der Masse, sowie die Geldeinheit diente als "Arsch". Ass wurde in 12 gleiche Teile geteilt - Unzen. Von diesen wurden alle Brüche mit einem Nenner von 12 addiert, dh 1/12, 2/12, 3/12 ... Im Laufe der Zeit wurden Unzen zur Messung beliebiger Mengen verwendet.

So sieht der Römer aus Duodezimalbrüche, also Brüche, deren Nenner immer eine Zahl ist 12 . Anstelle von 1/12 sagten die Römer "eine Unze", 5/12 - "fünf Unzen" usw. Drei Unzen wurden als Viertel bezeichnet, vier Unzen als Drittel, sechs Unzen als halbe.

Es wurden nur 18 verschiedene Fraktionen verwendet:

SIMIS - ein halbes Ass;

SEKSTANCE - sein sechster Anteil;

SITZUNG - die achte;

TRIENCE - ein Drittel eines Asses;

BES - zwei Drittel;

Unze - der Zwölftel eines Esels;

SEMI-UNCE - eine halbe Unze.

Brüche im alten Ägypten

Viele Jahrhunderte lang nannten die Ägypter Brüche "gebrochene Zahlen", und der erste Bruch, den sie trafen, war 1/2. Es folgten 1/4, 1/8, 1/16, ..., dann 1/3, 1/6, ..., also Die einfachsten Brüche heißen Einheit oder basische Fraktionen. Ihr Zähler ist immer eins. Erst viel später wurden bei den Griechen, dann bei den Indern und anderen Völkern Brüche einer allgemeinen Form, sogenannte gewöhnliche Brüche, verwendet, bei denen Zähler und Nenner beliebige natürliche Zahlen sein können.

Einer der frühesten bekannten Hinweise auf ägyptische Brüche ist der mathematische Papyrus Rhind. Drei ältere Texte, die ägyptische Brüche erwähnen, sind die ägyptische mathematische Lederrolle, der Moskauer mathematische Papyrus und die Akhmim-Holztafel. Der Rhinda-Papyrus enthält eine Tabelle mit ägyptischen Brüchen für rationale Zahlen der Form 2/ n, sowie 84 mathematische Probleme, ihre Lösungen und Antworten, geschrieben in Form von ägyptischen Brüchen.

Die Ägypter setzten die Hieroglyphe ( ep, "[eines] von" oder betreffend, Mund) über der Zahl, um einen Einheitsbruch in der gewöhnlichen Notation zu bezeichnen, und in heiligen Texten verwendeten sie einen Strich. Z.B:

Sie hatten auch spezielle Symbole für Brüche 1/2, 2/3 und 3/4, die auch verwendet werden konnten, um andere Brüche (größer als 1/2) zu schreiben.

Die restlichen Brüche schrieben sie als Summe von Aktien. Sie schrieben den Bruch als
, aber das "+"-Zeichen wurde nicht angezeigt. Und die Menge
im Formular eingetragen . Daher hat sich seitdem ein solcher Datensatz mit gemischten Zahlen (ohne das "+" -Zeichen) erhalten.

Babylonische Sexagesimalbrüche

Die Bewohner des alten Babylon schufen etwa dreitausend Jahre v. Chr. ein Maßsystem ähnlich unserem metrischen, nur basierte es nicht auf der Zahl 10, sondern auf der Zahl 60, in der die kleinere Maßeinheit war Teil der höheren Einheit. Dieses System wurde von den Babyloniern zur Messung von Zeit und Winkeln vollständig beibehalten, und wir erbten von ihnen die Einteilung von Stunde und Grad in 60 Minuten und Minuten in 60 Sekunden.

Forscher erklären das Auftreten des sexagesimalen Zahlensystems bei den Babyloniern auf unterschiedliche Weise. Höchstwahrscheinlich wurde hier die Basis 60 berücksichtigt, die ein Vielfaches von 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 und 60 ist, was alle möglichen Berechnungen stark vereinfacht.

Die Sechziger waren im Leben der Babylonier üblich. Deshalb haben sie verwendet sexagesimal Brüche, die immer die Zahl 60 oder ihre Potenzen als Nenner haben: 60 2, 60 3 usw. Insofern lassen sich sexagesimale Brüche mit unseren Dezimalbrüchen vergleichen.

Die Babylonier leisteten einen wertvollen Beitrag zur Entwicklung der Astronomie. Sexagesimale Brüche wurden in der Astronomie von Wissenschaftlern aller Völker bis zum 17. Jahrhundert verwendet und nannten sie astronomisch Brüche. Im Gegensatz dazu wurden die von uns verwendeten allgemeinen Brüche aufgerufen gewöhnliche.

Nummerierung und Brüche im antiken Griechenland

Da sich die Griechen nur sporadisch mit Brüchen befassten, verwendeten sie andere Schreibweisen. Heron und Diophantus, die berühmtesten Arithmetiker unter den antiken griechischen Mathematikern, schrieben Brüche in alphabetischer Form, mit dem Zähler unter dem Nenner. Aber im Prinzip wurden entweder Brüche mit einem einzigen Zähler oder sexagesimale Brüche bevorzugt.

Die Mängel der griechischen Notation für Bruchzahlen, einschließlich der Verwendung von Sexagesimalbrüchen im Dezimalzahlensystem, waren nicht auf Mängel an grundlegenden Prinzipien zurückzuführen. Die Mängel des griechischen Zahlensystems sind vielmehr auf ihren hartnäckigen Streben nach Strenge zurückzuführen, der die mit der Analyse des Verhältnisses inkommensurabler Größen verbundenen Schwierigkeiten deutlich erhöhte. Die Griechen verstanden das Wort „Zahl“ als eine Menge von Einheiten, was wir heute als eine einzelne rationale Zahl – einen Bruch – betrachten, verstanden die Griechen als das Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Dies erklärt, warum gewöhnliche Brüche in der griechischen Arithmetik selten waren.

Fraktionen in Russland

In der russischen Handschriftarithmetik des 17. Jahrhunderts wurden Brüche Brüche genannt, später „gebrochene Zahlen“. In alten Handbüchern finden wir die folgenden Namen von Fraktionen in Russland:

1/2 - halb, halb

1/3 - Drittel

1 / 4 - vier

1 / 6 - ein halbes Drittel

1 / 8 - halbe Stunde

1/12 - ein halbes Drittel

1/16 - eine halbe Stunde

1/24 - ein halbes halbes Drittel (kleines Drittel)

1/32 - halb und halb und halb (kleines Viertel)

1 / 5 - fünf

1/7 - Woche

1/10 - Zehnter

Die slawische Nummerierung wurde in Russland bis zum 16. Jahrhundert verwendet, dann begann das dezimale Positionsnummernsystem allmählich das Land zu durchdringen. Sie ersetzte schließlich die slawische Nummerierung unter Peter I.

Brüche in anderen Staaten der Antike

Im Chinesischen „Mathematics in Nine Sections“ finden bereits Bruchkürzungen und alle Aktionen mit Brüchen statt.

Bei dem indischen Mathematiker Brahmagupta finden wir ein ziemlich entwickeltes System von Brüchen. Er hat verschiedene Brüche: sowohl Basis- als auch Ableitungen mit einem beliebigen Zähler. Zähler und Nenner werden wie jetzt geschrieben, aber ohne horizontalen Strich, sondern einfach übereinander gelegt.

Die Araber waren die ersten, die den Zähler vom Nenner mit einem Balken trennten.

Leonardo von Pisa schreibt bereits Brüche auf, setzt bei gemischten Zahlen die ganze Zahl rechts, liest sie aber wie wir es gewohnt sind. Jordan Nemorarius (13. Jahrhundert) dividiert Brüche, indem er den Zähler durch den Zähler und den Nenner durch den Nenner dividiert und die Division mit der Multiplikation vergleicht. Dazu müssen Sie die Terme des ersten Bruchs um Faktoren ergänzen:

Im XV- XVI Jahrhundert die Lehre von den Brüchen nimmt die uns bereits vertraute Form an und nimmt ungefähr in den Abschnitten Gestalt an, die in unseren Lehrbüchern zu finden sind.

Es sollte beachtet werden, dass die Aufteilung der Arithmetik über Brüche seit langem eine der schwierigsten ist. Kein Wunder, dass die Deutschen das Sprichwort beibehalten haben: "In Brüche geraten", was bedeutete - in eine aussichtslose Situation zu geraten. Es wurde geglaubt, dass diejenigen, die keine Brüche kennen, auch keine Arithmetik kennen.

Dezimalstellen

Dezimalbrüche erschienen in den Werken arabischer Mathematiker im Mittelalter und unabhängig davon antikes China. Aber schon früher, im alten Babylon, wurden Brüche des gleichen Typs verwendet, nur sexagesimal.

Später veröffentlichte der Naturwissenschaftler Hartmann Beyer (1563-1625) den Aufsatz „Dezimallogistik“, in dem er schrieb: „... Mir ist aufgefallen, dass Techniker und Handwerker, wenn sie irgendeine Länge messen, es sehr selten und nur in Ausnahmefällen ausdrücken gleichnamige ganze Zahlen; normalerweise müssen sie entweder kleine Maßnahmen ergreifen oder auf Brüche zurückgreifen. Ebenso messen Astronomen Größen nicht nur in Grad, sondern auch in Gradbruchteilen, d.h. Minuten, Sekunden usw. Ihre Unterteilung in 60 Teile ist nicht so bequem wie die Unterteilung in 10, 100 Teile usw., weil es im letzteren Fall viel einfacher ist, arithmetische Operationen zu addieren, zu subtrahieren und allgemein auszuführen; Es scheint mir, dass Dezimalteile, wenn sie anstelle von Sexagesimal eingeführt würden, nicht nur für die Astronomie, sondern auch für alle Arten von Berechnungen nützlich wären.

Heute verwenden wir Dezimalzahlen natürlich und frei. Was uns natürlich erscheint, diente den Wissenschaftlern des Mittelalters jedoch als echter Stolperstein. Westeuropa im 16. Jahrhundert Neben der weit verbreiteten dezimalen Darstellung ganzer Zahlen wurden überall sexagesimale Brüche in Berechnungen verwendet, die auf die alte Tradition der Babylonier zurückgehen. Es bedurfte des klugen Kopfes des niederländischen Mathematikers Simon Stevin, um die Aufzeichnungen sowohl ganzer als auch gebrochener Zahlen in einem einzigen System zu vereinen. Anstoß für die Bildung von Dezimalbrüchen waren offenbar die von ihm erstellten Zinseszinstabellen. 1585 veröffentlichte er das Buch „Der Zehnte“, in dem er Dezimalbrüche erklärte.

Ab Anfang des 17. Jahrhunderts beginnt eine intensive Durchdringung von Dezimalbrüchen in Wissenschaft und Praxis. In England wurde ein Punkt als Zeichen eingeführt, das den ganzzahligen Teil vom Bruchteil trennt. Ein Komma, wie ein Punkt, als Trennzeichen wurde 1617 vom Mathematiker Napier vorgeschlagen.

Die Entwicklung von Industrie und Handel, Wissenschaft und Technik erforderte immer umständlichere Berechnungen, die mit Hilfe von Dezimalbrüchen leichter durchzuführen waren. Dezimalbrüche wurden im 19. Jahrhundert nach der Einführung des metrischen Systems von Maßen und Gewichten, die eng mit ihnen verwandt sind, weit verbreitet. Zum Beispiel in unserem Land Landwirtschaft und Industrie werden Dezimalbrüche und ihre besondere Form - Prozentsätze - viel häufiger verwendet als gewöhnliche Brüche.

Literatur:

M.Ya.Vygodsky „Arithmetik und Algebra in der Antike“ (M. Nauka, 1967)

G. I. Glazer „Geschichte der Mathematik in der Schule“ (M. Education, 1964)

I.Ya.Depman „Geschichte der Arithmetik“ (M. Enlightenment, 1959)

Präsentation - Brüche in Babylon, Rom, Ägypten - Entdeckung der Dezimalbrüche. Forschungsarbeit "Die Geschichte der Entstehung von Brüchen" Was war das System der Brüche im alten Rom

Mathematik Klasse 6

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