Параллелепипеда равен произведению длины. Формулы для нахождения объема параллелепипеда. Ii объем призмы и пирамиды

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

МНОГОГРАННИКИ

II ОБЪЕМ ПРИЗМЫ И ПИРАМИДЫ

82. Основные допущения в объёмах. Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объёмом этого тела.

Мы ставим, задачу - найти для этой величины выражение в виде некоторого числа, измеряющего эту величину. При этом мы будем руководствоваться следующими исходными положениями:

1) Равные тела имеют равные объёмы .

2) Объём какого-нибудь тела (например, каждого параллелепипеда, изображённого на черт. 87), состоящего из частей (Р и Q), равен сумме объёмов этих частей .

Два тела, имеющие одинаковые объемы, называются равновеликими.

83. Единица объёма. За единицу объёмов при измерении их берут объём такого куба, у которого каждое ребро равно линейной единице. Так, употребительны кубические метры (м 3), кубические сантиметры (см 3) и т. д.

Объём параллелепипеда

84. Теорема. Объём прямоугольного параллелепипедa равен произведению трёх его измерений.

В таком кратком выражения теорему эту надо понимать так: число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубической единице, равно произведению чисел, выражающих три его измерения в соответствующей линейной единице, т. е. в единице, являющейся ребром куба, объём которого принят за кубическую единицу. Так, если х есть число, выражающее объём прямоугольного параллелепипеда в кубических сантиметрах, и а, b и с -числа, выражающие три его измерения в линейных сантиметрах, то теорема утверждает, что x = abc .

При доказательстве рассмотрим особо следующие три случая:

1) Измерения выражаются целыми числами .

Пусть, например, измерения будут (черт. 88): АВ = а , ВС = b и BD = c ,
где а, b и с - какие-нибудь целые числа (например, как изображено у нас на чертеже: а = 4, b = 2 и с = 5). Тогда основание параллелепипеда содержит ab таких квадратов, из которых каждый представляет собой соответствующую квадратную единицу. На каждом из этих квадратов, очевидно, можно поместить по одной кубической единице. Тогда получится слой (изображённый на чертеже), состоящий из ab кубических единиц. Так как высота этого слоя равна одной линейной единице, а высота всего параллелепипеда содержит с таких единиц, то внутри параллелепипеда можно поместить с таких слоев. Следовательно, объём этого параллелепипеда равен abc кубических единиц.

2) Измерения выражаются дробными числами . Пусть измерения параллелепипеда будут:

m / n , p / q , r / s

. (некоторые из этих дробей могут равняться целому числу). Приведя дроби к одинаковому знаменателю, будем иметь:

mqs / nqs , pns / nqs , rnq / nqs

Примем 1 / nqs долю линейной единицы за новую (вспомогательную) единицу длины. Тогда в этой новой единице измерения данного параллелепипеда выразятся целыми числами, а именно: mqs, pns и rnq , и потому по доказанному (в случае 1) объём параллелепипеда равен произведению (mqs ) (pns ) (rnq ), если измерять этот объём новой кубической единицей, соответствующей новой линейной единице. Таких кубических единиц в одной кубической единице, соответствующей прежней линейной единице, содержится (nqs ) 3 ; значит, новая кубическая единица составляет 1 /(nqs ) 3 прежней. Поэтому объём параллелепипеда, выраженный в прежних единицах, равен:

3) Измерения выражаются иррациональными числами . Пусть у данного параллелепипеда (черт. 89), который для краткости мы, обозначим одной буквой Q, измерения будут:

АВ = α ; AС = β; AD = γ,

где все числа α , β и γ или только некоторые из них иррациональные.

Каждое из чисел α , β и γ может быть представлено в виде бесконечной десятичной дроби. Возьмём приближённые значения этих дробей с п десятичными знаками сначала с недостатком, а затем с избытком. Значения с недостатком обозначим α n , β n , γ n , значения с избытком α" n , β" n , γ" n . Отложим на ребре АВ, начиная от точки А, два отрезка AB 1 = α n и АВ 2 = α" n .
На ребре АС от той же точки А отложим отрезки АС 1 = β n и AС 2 = β" n и на ребре AD от той же точки-отрезки АD 1 = γ n и AD 2 = γ" n .

При этом мы будем иметь:

AB 1 < АВ < АВ 2 ; АС 1 < АС < АС 2 ; AD 1 < AD < AD 2 .

Построим теперь два вспомогательных параллелепипеда; один (обозначим его Q 1) с измерениями АВ 1 , АС 1 и AD 1 и другой (обозначим его Q 2) с измерениями АВ 2 , АС 2 и AD 2 . Параллелепипед Q 1 будет весь помещаться внутри параллелепипеда Q, а параллелепипед Q 2 будет содержать внутри себя параллелепипед Q.

По доказанному (в случае 2) будем иметь:

объём Q 1 = α n β n γ n (1)

объём Q 2 = α" n β" n γ" n (2)

Оричём объём Q 1 < объёма Q 2 .

Начнём теперь увеличивать число п . Это значит, что мы берём приближённые значения чисел α , β , γ всё с большей и большей степенью точности.

Посмотрим, как при этом изменяются объемы параллелепипедов Q 1 и Q 2 .

При неограниченном возрастании п объём Q 1 , очевидно, увеличивается и в силу равенства (1) при беспредельном увеличении n имеет споим пределом предел произведения (α n β n γ n ). Объём Q 2 , очевидно, уменьшается и в силу равенства (2) имеет пределом предел произведения (α" n β" n γ" n ). Но из алгебры известно, что оба произведения
α n β n γ n и α" n β" n γ" n при неограниченном увеличении п имеют общий предел, который является произведением иррациональных чисел αβγ.

Этот предел мы и принимаем за меру объёма параллелепипеда Q: объём Q = αβγ.

Можно доказать, что определённый таким образом объём удовлетворяет тем условиям, которые установлены для объёма (§ 82). В самом деле, при таком определении объёма равные параллелепипеды, очевидно, имеют равные объёмы. Следовательно, первое условие (§ 82) выполняется. Разобьём теперь данный параллелепипед Q плоскостью, параллельной его основанию, надвое: Q 1 и Q 2 (черт. 90).

Тогда будем иметь:

объём Q = АВ АС АD,
объём Q 1 = АВ АА 1 АD,
объём Q 2 = А 1 В 1 А 1 С А 1 D 1 .

Складывая почленно два последних равенства и замечая, что А 1 В 1 = АВ и А 1 D 1 =АD, получим:

объём Q 1 +объём Q 2 = АВ АА 1 АD+АВ А 1 С АD = АВ АD (АА 1 + А 1 С) = АВ АD АC, отсюда получаем:

объём Q 1 +объём Q 2 = объёму Q.

Следовательно, и второе условие § 82 тоже выполняется, если параллелепипед складывать из двух частей, полученных разрезанием его плоскостью, параллельной одной из граней.

85. Следствие. Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда, служащие сторонами его основания, выражаются числами а и b , а третье измерение (высота)-числом с . Тогда, обозначая объём его в соответствующих кубических единицах буквой V, можем написать:

V = аbс .

Так как произведение аb выражает площадь основания, то можнo сказать, что объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Замечание. Отношение двух кубических единиц разных названий равно третьей степени отношения тех линейных единиц, которые служат рёбрами для этих кубических единиц. Так, отношение кубического метра к кубическому дециметру равно 10 3 , т. е. 1000. Поэтому, например, если мы имеем куб с ребром длиной а линейных единиц и другой куб с ребром длиной 3а линейных единиц, то отношение их объёмов будет равно 3 3 , т. е. 27, что ясно видно из чертежа 91.

86. Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, основание которой равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - её боковому ребру.

Пусть дана наклонная призма ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 (черт. 92).

Продолжим все её боковые рёбра и боковые грани в одном направлении.

Возьмём на продолжении одного какого-нибудь ребра произвольную точку а и проведём через неё перпендикулярное сечение abcde . Затем, отложив аа 1 = АА 1 , проведём через а 1 перпендикулярное сечение a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 . Так как плоскости обоих сечений параллельны, то bb 1 = сс 1 = dd 1 = ее 1 = аа 1 = АА 1 (§17). Вследствие этого многогранник a 1 d , у которого за основания приняты проведённые нами сечения, есть прямая призма, о которой говорится в теореме.

Докажем, что данная наклонная призма равновелика этой прямой. Для этого предварительно убедимся, что многогранники a D и a 1 D 1 равны. Основания их abcde и a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 равны как основания призмы a 1 d ; с другой стороны, прибавив к обеим частям равенства А 1 А = а 1 а по одному и тому же отрезку прямой А 1 а , получим: а А = а 1 А 1 ; подобно этому b В = b 1 В 1 , с С = с 1 С 1 и т. д. Вообразим теперь, что многогранник a D вложен в многогранник a 1 D 1 так, что основания их совпали; тогда боковые рёбра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут; поэтому многогранник a D совместится с многогранником a 1 D 1 ; значит, эти тела равны. Теперь заметим, что если к прямой призме a 1 d добавим многогранник a D, а к наклонной призме A 1 D добавим многогранник a 1 D 1 , равный a D, то получим один и тот же многогранник a 1 D. Из этого следует, что две призмы A 1 D и a 1 d равновелики.

87. Теорема. Объём параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда п р я м о у г о л ь н о г о, теперь докажем её для параллелепипеда п р я м о г о, а потом и н а к л о н н о г о.

1). Пусть (черт. 93) АС 1 - прямой параллелепипед, т. е. такой, у которого основание ABCD - какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмём в нём за основание боковую грань АА 1 В 1 В; тогда параллелепипед будет
н а к л о н н ы й. Рассматривая его как частный случай наклонной п р и з м ы, мы на основании леммы предыдущего параграфа можем утверждать, что этот параллелепипед равновелик такому прямому параллелепипеду, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота ВС. Четырёхугольник MNPQ- прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов; поэтому прямой параллелепипед, имеющий основанием прямоугольник MNPQ, должен быть прямоугольным и, следовательно, его объём равен произведению трёх его измерений, за которые можно принять отрезки МN, МQ и ВС. Таким образом,

объём AС 1 = МN МQ ВС = МN (МQ ВС).

Но произведение МQ ВС выражает площадь параллелограмма АВСD, поэтому

объём АСХ = (площади АВСD) МN = (площади АВСD) ВВ 1 .

2) Пусть (черт. 94) АС 1 - наклонный параллелепипед.

Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение МNРQ (т. е. перпендикулярное к рёбрам АD, ВС, . . .), а высотой - ребро ВС. Но, по доказанному, объём прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту; значит,

объём АС 1 = (площади МNРQ) ВС.

Если RS есть высота сечения МNРQ, то площадь МNРQ = МQ RS, поэтому

объём АС 1 = МQ RS ВС = (ВС MQ) RS.

Произведение ВС MQ выражает площадь параллелограмма АВСD; следовательно, объём АС 1 = (площади АВСОD) RS.

Остаётся теперь доказать, что отрезок RS представляет собой высоту параллелепипеда. Действительно, сечение МNРQ, будучи перпендикулярно к рёбрам ВС, В 1 С 1 , .. . , должно быть перпендикулярно к граням АВСD, ВВ 1 С 1 С, .... проходящим через эти рёбра (§ 43). Поэтому если мы из точки S восставим перпендикуляр к плоскости АВСD, то он должен лежать весь в плоскости МNРQ (§ 44) и, следовательно, должен слиться с прямой RS, лежащей в этой плоскости и перпендикулярной к МQ. Значит, отрезок SR есть высота параллелепипеда. Таким образом, объем и наклонного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, В и H суть числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту параллелепипеда, то можно написать.

Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .

Свойства параллелепипеда:

Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.

Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.

Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.

Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.

Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .

Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .

Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.

Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.

Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.

Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.

Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.

Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.

Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .

Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .

Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.

Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .

Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.

Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).

Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.

Любое геометрическое тело можно охарактеризовать площадью (S) поверхности и объемом (V). Площадь и объем совсем не одно и то же. Объект может иметь сравнительно небольшой V и большую S, например, так устроен мозг человека. Вычислить данные показатели для простых геометрических фигур гораздо проще.

Параллелепипед: определение, виды и свойства

Параллелепипед – это четырехугольная призма, в основании которой находится параллелограмм. Для чего же может потребоваться формула нахождения объема фигуры? Подобную форму имеют книги, упаковочные коробки и еще множество вещей из повседневной жизни. Комнаты в жилых и офисных домах, как правило, являются прямоугольными параллелепипедами. Для установки вентиляции, кондиционеров и определение количества обогревательных элементов в комнате необходимо рассчитать объем помещения.

У фигуры 6 граней – параллелограммов и 12 ребер, две произвольно выбранные грани называют основаниями. Параллелепипед может быть нескольких видов. Различия обусловлены углами между смежными ребрами. Формулы для нахождения V-ов различных многоугольников немного отличаются.

Если 6 граней геометрической фигуры представляют собой прямоугольники, то ее тоже называют прямоугольной. Куб – это частный случай параллелепипеда, в котором все 6 граней представляют собой равные квадраты. В этом случае, чтобы найти V, нужно узнать длину только одной стороны и возвести ее в третью степень.

Для решения задач понадобятся знания не только готовых формул, но свойств фигуры. Перечень основных свойств прямоугольной призмы невелик и очень прост для понимания:

Противолежащие грани фигуры равны и параллельны. Это значит, что ребра расположенные напротив одинаковы по длине и углу наклона.
Все боковые грани прямого параллелепипеда – прямоугольники.
Четыре главные диагонали геометрической фигуры пересекаются в одной точкой, и делятся ею пополам.
Квадрат диагонали параллелепипеда равен суме квадратов измерений фигуры (следует из теоремы Пифагора).

Теорема Пифагора гласит, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади треугольника, построенного на гипотенузе того же треугольника.

Доказательство последнего свойства можно разобрать на изображении представленном ниже. Ход решения поставленной задачи прост и не требует подробных объяснений.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Формула нахождения для всех видов геометрической фигуры одна: V=S*h, где V- искомый объем, S – площадь основания параллелепипеда, h – высота, опущенная из противоположной вершины и перпендикулярная основанию. В прямоугольнике h совпадает с одной из сторон фигуры, поэтому чтобы найти объем прямоугольной призмы необходимо перемножить три измерения.

Объем принято выражать в см3. Зная все три значения a, b и c найти объем фигуры совсем не сложно. Наиболее часто встречающийся тип задач в ЕГЭ – это поиск объема или диагонали параллелепипеда. Решить многие типовые задания ЕГЭ без формулы объема прямоугольника – невозможно. Пример задания и оформления его решения приведен на рисунке ниже.

Примечание 1 . Площадь поверхности прямоугольной призмы можно найти, если умножить на 2 сумму площадей трех граней фигуры: основания (ab) и двух смежных боковых граней (bc + ac).

Примечание 2 . Площадь поверхности боковых граней легко узнать умножив периметр основания на высоту параллелепипеда.

Исходя из первого свойства параллелепипедов AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Согласно следствиям из теоремы Пифагора сумма всех углов в прямоугольном треугольнике равна 180°, а катет, лежащий против угла в 30°, равен гипотенузы. Применив данные знания для треугольника, легко находим длину сторон AB и AD. Затем перемножаем полученные значения и вычисляем объем параллелепипеда.

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Примеры решения задач

Задания единого экзамена должны быть выполнены за определенное время. Типовые задачи, как правило, не содержать большого количества вычислений и сложных дробей. Часто школьнику предлагают как найти объем неправильной геометрической фигуры. В таких случаях следует помнить простое правило, что общий объем равен сумме V-ов составных частей.

Как видно из примера на изображении выше, ничего сложного в решении подобных задач нет. Задания из более сложных разделов предполагают знания теоремы Пифагора и ее следствий, а так же формулу длины диагонали фигуры. Для успешного решения заданий тестов достаточно заранее ознакомится с образцами типовых задач.

Лемма 1. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные основания, относятся, как их высоты.

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

Таким образом мы получим:

$\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}$ и $\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n} $

Следовательно:

$\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{BF}{BN} $

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Следовательно:

прибл.отн. $\frac{BF}{BN}=\frac{m}{n}$ и прибл.отн. $\frac{Объем AG}{Объем AP}=\frac{m}{n}$

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.

Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P 1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a 1 и b 1 .

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b 1 .

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b 1 , и следовательно:

Объем P/Объем Q = b/b1

У параллелепипедов Q и P 1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a 1 , и следовательно:

Объем Q/Объем P 1 = a/a1

Перемножив равенства и , найдем:

Объем P/Объем P 1 = ab/a 1 b 1

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a 1 b 1 - площадь основания пар-да P 1 , то лемма доказана.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P 1 какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B 1 и H 1 .

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B 1 , а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P 1 , находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Об. P/Об. P1 = B/B1 * H/H1

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

Следствия:

Объем куба равен третьей степени его ребра.
Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10 3 , т.е. 1000.

Объем любого параллелепипеда

Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота - ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A 1 d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa 1 =AA 1 и через точку a 1 проведем перпендикулярное сечение a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 .

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb 1 = сс 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .

Вследствие этого многогранник a 1 d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a 1 D 1 равны.

Основания их abcde и a 1 b 1 с 1 d 1 e 1 равны, как основания призмы a 1 d.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A 1 A = a 1 a по одной и той же прямой A 1 a , получим aA = a 1 A 1 .

Подобно этому: bB = b 1 B 1 , сС = с 1 С 1 и т.д.

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a 1 D 1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a 1 D 1 . Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a 1 D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a 1 D 1 , то получим наклонную призму.

Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.

Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC 1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани - прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA 1 B 1 B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Объем AC1 = MN * MQ * BC

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

Объем AC 1 = (площ.ABCD) * MN

2. Пусть (рис.) AC 1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Объем AC 1 = (площ.MNPQ) * BC

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Объем AC1 = MQ * RS * BC

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Объем AC 1 = (площ.ABCD) * RS

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту .

Следствие. Если V, B и H - числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого - нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S 1 и S 2 . Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).