Hogyan lehet racionális egyenletet megoldani. Racionális egyenletrendszerek a matematikában Racionális egyenletek és racionális egyenletrendszerek
Utasítás
Behelyettesítési módszer Egy változót fejez ki, és behelyettesíti egy másik egyenletbe. Belátása szerint bármilyen változót kifejezhet. Például fejezze ki y-t a második egyenletből:
x-y=2 => y=x-2Ezután mindent behelyettesít az első egyenletbe:
2x+(x-2)=10 Helyezzen mindent az „x” nélkül a jobb oldalra, és számítsa ki:
2x+x=10+2
3x=12 Ezután, hogy x-et kapjunk, osszuk el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal:
x=4. Tehát megtalálta az „x. Keresse meg az "y. Ehhez írja be az „x”-et abba az egyenletbe, amelyből az „y”-t kifejezte:
y=x-2=4-2=2
y=2.
Csinálj egy ellenőrzést. Ehhez helyettesítse be a kapott értékeket az egyenletekbe:
2*4+2=10
4-2=2
Az ismeretleneket helyesen találták meg!
Egyenletek összeadása vagy kivonása Azonnal szabaduljon meg minden változótól. Esetünkben ez könnyebben megtehető az „y.
Mivel az egyenletben az „y”-nek „+”, a másodikban „-” jele van, akkor elvégezheti az összeadási műveletet, pl. hajtsa be a bal oldalt a balral, a jobb oldalt a jobbal:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertálás:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Helyettesítse be az „x”-et bármely egyenletbe, és keresse meg az „y”-t:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Az 1. módszerrel ellenőrizheti, hogy a gyökerek megfelelően találhatóak-e.
Ha nincsenek egyértelműen meghatározott változók, akkor az egyenleteket kissé át kell alakítani.
Az első egyenletben van „2x”, a másodikban pedig egyszerűen „x”. Ha összeadásakor vagy kivonásakor x-et szeretne csökkenteni, szorozza meg a második egyenletet 2-vel:
x-y=2
2x-2y=4 Ezután vonja ki a másodikat az első egyenletből:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Vegye figyelembe, hogy ha a zárójel előtt mínusz van, akkor nyitás után változtassa a jeleket az ellenkezőre:
2x+y-2x+2y=6
3у=6
keresse meg az y=2x-et bármely egyenletből kifejezve, azaz.
x=4
Videó a témáról
Differenciálegyenletek megoldása során az x argumentum (vagy fizikai feladatokban a t idő) nem mindig érhető el kifejezetten. Mindazonáltal ez egy differenciálegyenlet megadásának leegyszerűsített speciális esete, ami gyakran segít az integrál keresésének egyszerűsítésében.
Utasítás
Tekintsünk egy fizikai problémát, amely egy differenciálegyenletet eredményez, amelyben hiányzik a t argumentum. Ez egy függőleges síkban elhelyezkedő r hosszúságú menetre felfüggesztett m tömegű rezgésekkel kapcsolatos probléma. Az inga mozgásegyenletére akkor van szükség, ha kezdetben mozdulatlan volt, és az egyensúlyi állapotból α szöggel kibillent. Az erőket figyelmen kívül kell hagyni (lásd 1a. ábra).
Megoldás. A matematikai inga egy olyan anyagi pont, amely egy súlytalan és nyújthatatlan menetre van felfüggesztve az O pontban. A pontra két erő hat: a G=mg gravitációs erő és a menet N feszítőereje. Mindkét erő a függőleges síkban fekszik. . Ezért a probléma megoldásához alkalmazhatja egy pont forgómozgásának egyenletét az O ponton átmenő vízszintes tengely körül. Egy test forgási egyenlete az ábrán látható formában van. 1b. Ebben az esetben az I az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka; j a menet forgási szöge a ponttal együtt, a függőleges tengelytől az óramutató járásával ellentétes irányban mérve; M az anyagi pontra ható erők nyomatéka.
Számítsa ki ezeket az értékeket. I=mr^2, M=M(G)+M(N). De M(N)=0, mivel az erő hatásvonala átmegy az O ponton. M(G)=-mgrsinj. A „-” jel azt jelenti, hogy az erőnyomaték a mozgással ellentétes irányba irányul. Helyettesítse be a tehetetlenségi nyomatékot és az erőnyomatékot a mozgásegyenletbe, és kapja meg az ábrán látható egyenletet. 1s. A tömeg csökkentésével összefüggés alakul ki (lásd 1d. ábra). Itt nincs vita.
Megtanultuk már a másodfokú egyenletek megoldását. Most terjesszük ki a vizsgált módszereket a racionális egyenletekre.
Mi a racionális kifejezés? Ezzel a fogalommal már találkoztunk. Racionális kifejezések számokból, változókból, ezek hatványaiból és matematikai műveletek szimbólumaiból álló kifejezések.
Ennek megfelelően a racionális egyenletek a következő alakú egyenletek: , ahol 
- racionális kifejezések.
Korábban csak azokat a racionális egyenleteket vettük figyelembe, amelyek lineárisra redukálhatók. Most nézzük meg azokat a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekre redukálhatók.
1. példa
Oldja meg az egyenletet: .
Megoldás:
Egy tört akkor és csak akkor egyenlő 0-val, ha a számlálója 0, a nevezője pedig nem egyenlő 0-val.
A következő rendszert kapjuk:
A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet. Mielőtt megoldanánk, osszuk el az összes együtthatóját 3-mal.
Két gyökeret kapunk: ; .
Mivel a 2 soha nem egyenlő 0-val, két feltételnek kell teljesülnie: 
. Mivel a fent kapott egyenlet egyik gyöke sem esik egybe a változó érvénytelen értékeivel, amelyeket a második egyenlőtlenség megoldása során kaptunk, mindkettő ennek az egyenletnek a megoldása.
Válasz:.
Tehát fogalmazzunk meg egy algoritmust a racionális egyenletek megoldására:
1. Mozgassa az összes kifejezést a bal oldalra úgy, hogy a jobb oldalon 0 legyen.
2. A bal oldal átalakítása és egyszerűsítése, az összes tört közös nevezőre hozása.
3. A kapott törtet 0-val egyenlővé teszi a következő algoritmus segítségével: 
.
4. Írja fel azokat a gyököket, amelyeket az első egyenletben kapott, és teljesítse a válaszban a második egyenlőtlenséget!
Nézzünk egy másik példát.
2. példa
Oldja meg az egyenletet: 
.
Megoldás
A legelején az összes tagot balra mozgatjuk, hogy a 0 a jobb oldalon maradjon.
Most hozzuk az egyenlet bal oldalát egy közös nevezőre:
Ez az egyenlet ekvivalens a rendszerrel:
A rendszer első egyenlete egy másodfokú egyenlet.
Ennek az egyenletnek az együtthatói: . Kiszámoljuk a diszkriminánst:
Két gyökeret kapunk: ; .
Most oldjuk meg a második egyenlőtlenséget: a tényezők szorzata akkor és csak akkor nem egyenlő 0-val, ha egyik tényező sem egyenlő 0-val.
Két feltételnek kell teljesülnie: 
. Azt találjuk, hogy az első egyenlet két gyöke közül csak az egyik alkalmas - 3.
Válasz:.
Ebben a leckében megemlékeztünk arról, hogy mi a racionális kifejezés, és megtanultuk, hogyan kell megoldani a racionális egyenleteket, amelyek másodfokú egyenletekké redukálódnak.
A következő leckében a racionális egyenleteket, mint valós helyzetek modelljeit, és a mozgási problémákat is megvizsgáljuk.
Bibliográfia
- Bashmakov M.I. Algebra, 8. osztály. - M.: Oktatás, 2004.
- Dorofejev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. és mások Algebra, 8. 5. kiadás. - M.: Oktatás, 2010.
- Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. osztály. Tankönyv általános oktatási intézmények számára. - M.: Oktatás, 2006.
- Pedagógiai ötletek fesztiválja "Nyílt lecke" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Házi feladat
549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Egy tetszőlegesen választott (a rendszerből) egyenletbe illessze be a 11-es számot a már megtalált „játék” helyett, és számítsa ki a második ismeretlent:
X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A válasz erre az egyenletrendszerre x=116, y=11.
Grafikus módszer.
Ez abból áll, hogy gyakorlatilag megtaláljuk annak a pontnak a koordinátáit, ahol az egyenletrendszerben matematikailag felírt egyenesek metszik egymást. Mindkét egyenes grafikonját külön-külön, ugyanabban a koordinátarendszerben kell megrajzolni. Az egyenes egyenletének általános alakja: – у=khх+b. Egy egyenes felépítéséhez elegendő két pont koordinátáit megkeresni, és x-et tetszőlegesen választjuk ki.
Legyen adott a rendszer: 2x – y=4
I=-3x+1.
Az első egyenlet alapján egy egyenest készítünk, a kényelem kedvéért fel kell írni: y = 2x-4. Találjon ki (könnyebb) értékeket x-hez, helyettesítse be az egyenletbe, oldja meg, és keresse meg y-t. Két pontot kapunk, amelyek mentén egyenest szerkesztünk. (Lásd a képen)
x 0 1
y -4 -2
A második egyenlet segítségével egy egyenest szerkesztünk: y=-3x+1.
Készítsen egy egyenest is. (Lásd a képen)
y 1 -5
Keresse meg a grafikonon két megszerkesztett egyenes metszéspontjának koordinátáit (ha az egyenesek nem metszik egymást, akkor az egyenletrendszernek nincs megoldása - ez történik).
Videó a témáról
Hasznos tanács
Ha ugyanazt az egyenletrendszert három különböző módon oldja meg, a válasz ugyanaz lesz (ha a megoldás helyes).
Források:
- 8. osztályos algebra
- oldjon meg egy egyenletet két ismeretlennel online
- Példák lineáris egyenletrendszerek megoldására kettővel
Egy egyenletrendszer megoldása kihívást és izgalmas. Minél bonyolultabb a rendszer, annál érdekesebb a megoldása. Leggyakrabban a középiskolai matematikában vannak két ismeretlennel rendelkező egyenletrendszerek, de a felsőbb matematikában több változó is előfordulhat. A rendszereket többféle módszerrel lehet megoldani.
Utasítás
Az egyenletrendszer megoldásának leggyakoribb módja a helyettesítés. Ehhez egy változót egy másikkal kell kifejezni, és be kell cserélni a rendszer második egyenletébe, így az egyenletet egy változóra redukálni. Például a következő egyenletekkel: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.
A második kifejezésből célszerű az egyik változót kifejezni, minden mást a kifejezés jobb oldalára mozgatni, nem felejtve el megváltoztatni az együttható előjelét: x = 3-y.
Nyissa ki a zárójeleket: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. A kapott y értéket behelyettesítjük a következő kifejezésbe: x=3-y;x=3-1;x=2 .
Az első kifejezésben minden kifejezés 2, a 2-t a zárójelek közé tehetjük
A fenti egyenletet a 7. §-ban vezettük be. Először is emlékezzünk vissza, mi a racionális kifejezés. Ez egy algebrai kifejezés, amely számokból és x változóból áll összeadás, kivonás, szorzás, osztás és hatványozás természetes kitevőjével.
Ha r(x) racionális kifejezés, akkor az r(x) = 0 egyenletet racionális egyenletnek nevezzük.
A gyakorlatban azonban célszerűbb a „racionális egyenlet” fogalmának kissé tágabb értelmezését használni: ez egy h(x) = q(x) alakú egyenlet, ahol h(x) és q(x) racionális kifejezések.
Eddig egyetlen racionális egyenletet sem tudtunk megoldani, csak olyat, amely különféle átalakítások és okfejtések eredményeként redukálódott lineáris egyenlet. Most sokkal nagyobbak a képességeink: képesek leszünk megoldani egy racionális egyenletet, amely nem csak lineárisra redukál
mu, hanem a másodfokú egyenlethez is.
Idézzük fel, hogyan oldottunk meg korábban racionális egyenleteket, és próbáljunk meg egy megoldási algoritmust megfogalmazni.
1. példa Oldja meg az egyenletet
Megoldás. Írjuk át az egyenletet a formába
Ebben az esetben szokás szerint kihasználjuk, hogy az A = B és az A - B = 0 egyenlőségek ugyanazt az összefüggést fejezik ki A és B között. Ez lehetővé tette, hogy a kifejezést az egyenlet bal oldalára helyezzük a ellentétes jel.
Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát. Nekünk van
Emlékezzünk vissza az egyenlőség feltételeire törtek nulla: akkor és csak akkor, ha két reláció egyidejűleg teljesül:
1) a tört számlálója nulla (a = 0); 2) a tört nevezője különbözik a nullától).
Ha az (1) egyenlet bal oldalán lévő tört számlálóját nullával egyenlővé tesszük, azt kapjuk
Továbbra is ellenőrizni kell a fent jelzett második feltétel teljesülését. A reláció az (1) egyenletre azt jelenti, hogy . Az x 1 = 2 és x 2 = 0,6 értékek kielégítik a feltüntetett összefüggéseket, ezért az (1) egyenlet gyökeként szolgálnak, és egyben az adott egyenlet gyökeként is.
1) Alakítsuk át az egyenletet formává
2) Alakítsuk át ennek az egyenletnek a bal oldalát:
(egyszerre megváltoztatta a jeleket a számlálóban és
törtek).
Így az adott egyenlet alakot ölt
3) Oldja meg az x 2 - 6x + 8 = 0 egyenletet. Keresse meg
4) A talált értékeknél ellenőrizze a feltétel teljesülését 
. A 4-es szám teljesíti ezt a feltételt, de a 2-es nem. Ez azt jelenti, hogy a 4 az adott egyenlet gyöke, a 2 pedig egy idegen gyök.
VÁLASZ: 4.
2. Racionális egyenletek megoldása új változó bevezetésével
Az új változó bevezetésének módja ismerős számodra, nem egyszer használtuk. Példákkal mutassuk be, hogyan használják racionális egyenletek megoldásában.
3. példa Oldja meg az x 4 + x 2 - 20 = 0 egyenletet.
Megoldás. Vezessünk be egy új y = x 2 változót. Mivel x 4 = (x 2) 2 = y 2, akkor az adott egyenlet átírható így
y 2 + y - 20 = 0.
Ez egy másodfokú egyenlet, melynek gyökerei az ismert segítségével kereshetők képletek; azt kapjuk, hogy y 1 = 4, y 2 = - 5.
De y = x 2, ami azt jelenti, hogy a probléma két egyenlet megoldására redukálódott:
x 2 = 4; x 2 = -5.
Az első egyenletből azt találjuk, hogy a második egyenletnek nincs gyökere.
Válasz: .
Az ax 4 + bx 2 +c = 0 alakú egyenletet bikvadratikus egyenletnek nevezzük (a „bi” kettő, azaz egyfajta „kettős másodfokú” egyenlet). Az imént megoldott egyenlet pontosan biquadratikus volt. Bármely kétnegyedes egyenletet a 3. példa egyenletével megegyező módon oldjuk meg: vezessünk be egy új y = x 2 változót, oldjuk meg a kapott másodfokú egyenletet az y változóhoz képest, majd térjünk vissza az x változóhoz.
4. példa Oldja meg az egyenletet
Megoldás. Vegye figyelembe, hogy ugyanaz az x 2 + 3x kifejezés kétszer jelenik meg itt. Ez azt jelenti, hogy van értelme új y = x 2 + 3x változót bevezetni. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy az egyenletet egyszerűbb és kellemesebb formában írjuk át (ami valójában egy új változó- és a felvétel egyszerűsítése
világosabbá válik, és világosabbá válik az egyenlet szerkezete):
Most használjuk az algoritmust egy racionális egyenlet megoldására.
1) Helyezzük az egyenlet összes tagját egy részbe:
= 0
2) Alakítsa át az egyenlet bal oldalát!
Tehát a megadott egyenletet formára alakítottuk
3) A - 7y 2 + 29y -4 = 0 egyenletből azt találjuk (te és én már elég sok másodfokú egyenletet megoldottunk, így valószínűleg nem érdemes mindig részletes számításokat megadni a tankönyvben).
4) Ellenőrizzük a talált gyökereket az 5 (y - 3) (y + 1) feltétel segítségével. Mindkét gyökér megfelel ennek a feltételnek.
Tehát az új y változó másodfokú egyenlete megoldva: 
Mivel y = x 2 + 3x, és y, mint megállapítottuk, két értéket vesz fel: 4 és , még két egyenletet kell megoldanunk: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Az első egyenlet gyökerei az 1 és -4 számok, a második egyenlet gyökei a számok
A vizsgált példákban az új változó bevezetésének módja – ahogy a matematikusok szokták mondani – adekvát volt a helyzetnek, vagyis jól megfelelt annak. Miért? Igen, mert ugyanaz a kifejezés többször is egyértelműen szerepelt az egyenletben, és indokolt volt ezt a kifejezést új betűvel jelölni. De ez nem mindig történik meg, néha csak az átalakulási folyamat során „feltűnik” egy új változó. Pontosan ez fog történni a következő példában.
5. példa Oldja meg az egyenletet
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Megoldás. Nekünk van
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.
Ez azt jelenti, hogy az adott egyenlet átírható a formába
(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24
Most egy új változó „megjelent”: y = x 2 - 3x.
Segítségével az egyenlet y (y + 2) = 24, majd y 2 + 2y - 24 = 0 alakba írható át. Ennek az egyenletnek a gyökerei a 4 és -6 számok.
Visszatérve az eredeti x változóhoz, két x 2 - 3x = 4 és x 2 - 3x = - 6 egyenletet kapunk. Az első egyenletből x 1 = 4, x 2 = - 1; a második egyenletnek nincs gyöke.
VÁLASZ: 4, - 1.
A szerző megközelítése a témához nem véletlen. Két változós egyenletekkel először a 7. osztályos kurzuson találkozunk. Egy két változós egyenletnek végtelen számú megoldása van. Ezt világosan szemlélteti egy lineáris függvény grafikonja, amely ax + by=c formában van megadva. Az iskolai kurzusban a hallgatók két egyenletrendszert tanulnak két változóval. Ennek eredményeként az egyenlet együtthatójára vonatkozó korlátozott feltételekkel rendelkező problémák egész sora, valamint azok megoldási módjai kiesnek a tanár és így a tanuló látóköréből.
Olyan egyenlet megoldásáról beszélünk, amelyben két ismeretlen egész vagy természetes számok szerepelnek.
Az iskolában a természetes számokat és az egész számokat tanulják a 4-6. Mire befejezik az iskolát, nem minden diák emlékszik a különbségekre ezeknek a számoknak a halmazai között.
Az olyan probléma azonban, mint az „egy ax + by=c formájú egyenlet megoldása egész számokban”, egyre gyakrabban fordul elő az egyetemi felvételi vizsgákon és az egységes államvizsga-anyagokban.
A bizonytalan egyenletek megoldása fejleszti a logikus gondolkodást, az intelligenciát és az elemzésre való figyelmet.
Több leckét is javaslok ebben a témában. Nincsenek egyértelmű ajánlásaim ezeknek a leckéknek az időzítésére vonatkozóan. Egyes elemek 7. osztályban is használhatók (erős osztályhoz). Ezeket a leckéket lehet alapul venni és kialakítani egy kis választható kurzust a szakmai előképzésről a 9. osztályban. És természetesen ezt az anyagot a 10-11. évfolyamon fel lehet használni a vizsgákra való felkészüléshez.
Az óra célja:
- ismeretek ismétlése és általánosítása „Első és másodrendű egyenletek” témában
- a téma iránti kognitív érdeklődés felkeltése
- az elemzés, az általánosítás, a tudás új helyzetbe történő átadása képességének fejlesztése
1. lecke.
Az órák alatt.
1) Org. pillanat.
2) Alapvető ismeretek frissítése.
Meghatározás. A két változóból álló lineáris egyenlet a forma egyenlete
mx + ny = k, ahol m, n, k számok, x, y változók.
Példa: 5x+2y=10
Meghatározás. A kétváltozós egyenlet megoldása egy olyan változó értékpár, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja.
A két változót tartalmazó egyenleteket, amelyeknek ugyanaz a megoldása, ekvivalensnek nevezzük.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Ennek az egyenletnek tetszőleges számú megoldása lehet. Ehhez elegendő bármilyen x értéket felvenni, és megkeresni a megfelelő y értéket.
Legyen x = 2, y = -2,5 2+6 = 1
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Számpárok (2;1); (4;-4) – az (1) egyenlet megoldásai.
Ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van.
3) Történelmi háttér
A határozatlan (diofantin) egyenletek egynél több változót tartalmazó egyenletek.
3. században. HIRDETÉS – Alexandriai Diophantus írta az „Aritmetikát”, amelyben a számok halmazát racionálisra bővítette, és bevezette az algebrai szimbolikát.
Diophantus is foglalkozott a határozatlan egyenletek megoldásának problémáival, és módszereket adott a másod- és harmadfokú határozatlan egyenletek megoldására.
4) Új anyag tanulmányozása.
Definíció: Egy elsőrendű, inhomogén diofantinuszi egyenlet két ismeretlennel x, y egy mx + ny = k alakú egyenlet, ahol m, n, k, x, y Z k0
1. állítás.
Ha az (1) egyenletben szereplő k szabad tag nem osztható az m és n számok legnagyobb közös osztójával (GCD), akkor az (1) egyenletnek nincs egész megoldása.
Példa: 34x – 17y = 3.
GCD (34; 17) = 17, 3 nem osztható egyenletesen 17-tel, egész számokban nincs megoldás.
Legyen k osztva gcd-vel (m, n). Az összes együttható elosztásával biztosíthatjuk, hogy m és n relatív prímmá váljon.
2. állítás.
Ha az (1) egyenlet m és n értéke viszonylag prímszám, akkor ennek az egyenletnek van legalább egy megoldása.
3. állítás.
Ha az (1) egyenlet m és n együtthatói koprímszámok, akkor ennek az egyenletnek végtelen sok megoldása van:
Ahol (; ) az (1) egyenlet bármely megoldása, t Z
Meghatározás. Egy elsőrendű homogén diofantini egyenlet két ismeretlennel x, y egy mx + ny = 0 alakú egyenlet, ahol (2)
4. állítás.
Ha m és n koprímszámok, akkor a (2) egyenlet bármely megoldásának alakja van 
5) Házi feladat. Oldja meg az egyenletet egész számokkal:
- 9x – 18 év = 5
- x + y= xy
- Több gyerek almát szedett. Minden fiú 21 kg-ot, a lány 15 kg-ot gyűjtött. Összesen 174 kg-ot gyűjtöttek. Hány fiú és hány lány szedett almát?
Megjegyzés. Ez a lecke nem ad példákat az egyenletek egész számokban történő megoldására. Ezért a gyerekek az 1. állítás és a kiválasztás alapján oldják meg a házi feladatot.
2. lecke.
1) Szervezési mozzanat
2) Házi feladat ellenőrzése
1) 9x – 18y = 5
Az 5 nem osztható 9-cel, egész számban nincsenek megoldások.
A kiválasztási módszer segítségével megoldást találhat
Válasz: (0;0), (2;2)
3) Készítsünk egy egyenletet:
Legyen a fiúk x, x Z, a lányok pedig y, y Z, akkor létrehozhatjuk a 21x + 15y = 174 egyenletet.
Sok diák, miután felírt egy egyenletet, nem fogja tudni megoldani.
Válasz: 4 fiú, 6 lány.
3) Új anyagok elsajátítása
Miután nehézségekbe ütköztek a házi feladatok elkészítése során, a tanulók meggyőződtek arról, hogy meg kell tanulniuk bizonytalan egyenletek megoldási módszereiket. Nézzünk meg néhányat közülük.
I. Az osztási maradékok figyelembevételének módszere.
Példa. Oldja meg az egyenletet egész számokkal 3x – 4y = 1.
Az egyenlet bal oldala osztható 3-mal, ezért a jobb oldalnak oszthatónak kell lennie. Nézzünk három esetet.
Válasz: hol m Z.
A leírt módszer kényelmesen használható, ha az m és n számok nem kicsik, hanem egyszerű tényezőkre bonthatók.
Példa: Oldja meg az egyenleteket egész számokkal.
Legyen y = 4n, akkor 16 - 7y = 16 - 7 4n = 16 - 28n = 4*(4-7n) elosztjuk 4-gyel.
y = 4n+1, akkor 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nem osztható 4-gyel.
y = 4n+2, akkor 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nem osztható 4-gyel.
y = 4n+3, akkor 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nem osztható 4-gyel.
Ezért y = 4n, akkor
4x = 16-7 4n = 16-28n, x = 4-7n
Válasz: , ahol n Z.
II. 2. fokú bizonytalan egyenletek
Ma a leckében csak a másodrendű diofantinuszi egyenletek megoldását érintjük.
És minden típusú egyenlet közül figyelembe vesszük azt az esetet, amikor alkalmazhatjuk a négyzetek különbségi képletét vagy más faktorizálási módszert.
Példa: Oldjon meg egy egyenletet egész számokkal.
A 13 prímszám, ezért csak négyféleképpen faktorálható: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)
Nézzük ezeket az eseteket
Válasz: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Házi feladat.
Példák. Oldja meg az egyenletet egész számokkal:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | nem illik | nem illik |
| 2x = -4 | nem illik | nem illik |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Válasz: (-2;0), (2;0).
Válaszok: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Válasz: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Eredmények. Mit jelent egész számokban megoldani egy egyenletet?
Milyen módszereket ismer a bizonytalan egyenletek megoldására?
Alkalmazás:
Gyakorlatok edzéshez.
1) Oldja meg egész számokkal.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2 m, y = 4 + 9 m, m Z |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, n Z |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z |
2) Keressen egész számú, nem negatív megoldást az egyenletre:
Megoldás: Z (2; -1)
Irodalom.
- Gyermekenciklopédia „Pedagógia”, Moszkva, 1972.
- Algebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO „Science”, Novoszibirszk, 1992
- Versenyfeladatok számelmélet alapján. V.Ya. Galkin, D. Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moszkva, 2005.
- Fokozott nehézségű feladatok az algebra tanfolyamon 7-9. N.P. Kosrykina. „Felvilágosodás”, Moszkva, 1991
- Algebra 7, Makarychev Yu.N., „Felvilágosodás”.
