Для нахождения корней нелинейного уравнения используется. Методы решения систем нелинейных уравнений. Алгебра. Метод простых итераций

Уравнения, в которых содержатся неизвестные функции, произведенные в степень больше единицы, называются нелинейными.
Например, y=ax+b – линейное уравнение, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – нелинейное (в общем виде записывается как F(x)=0).

Системой нелинейных уравнений считается одновременное решение нескольких нелинейных уравнений с одной или несколькими переменными.

Существует множество методов решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, которые принято относить в 3 группы: численные, графические и аналитические. Аналитические методы позволяют определить точные значения решения уравнений. Графические методы наименее точны, но позволяют в сложных уравнениях определить наиболее приближенные значения, с которых в дальнейшем можно начинать находить более точные решения уравнений. Численное решение нелинейных уравнений предполагает прохождения двух этапов: отделение корня и его уточнение до определенно заданной точности.
Отделение корней осуществляется различными способами: графически, при помощи различных специализированных компьютерных программ и др.

Рассмотрим несколько методов уточнения корней с определенно заданной точностью.

Методы численного решения нелинейных уравнений

Метод половинного деления.

Суть метода половинного деления заключается в делении интервала пополам (с=(a+b)/2) и отбрасывании той части интервала, в которой отсутствует корень, т.е. условие F(a)xF(b)

Рис.1. Использование метода половинного деления при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример.

Разделим отрезок на 2 части: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Если произведение F(a)*F(x)>0, то начала отрезка a переносится в x (a=x), иначе, конец отрезка b переносится в точку x (b=x). Полученный отрезок делим опять пополам и т.д. Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.2. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

Метод хорд.

При использовании метода хорд, задается отрезок , в котором есть только один корень с установленной точностью e. Через точки в отрезке a и b, которые имеют координаты (x(F(a);y(F(b)), проводится линия (хорда). Далее определяются точки пересечения этой линии с осью абсцисс (точка z).
Если F(a)xF(z)

Рис.3. Использование метода хорд при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e

В общем виде уравнение имеет вид: F(x)= х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Найдем значения F(x) на концах отрезка :

F(-1) = - 0,2>0;

Определим вторую производную F’’(x) = 6x-0,4.

F’’(-1)=-6,4
F’’(0)=-0,4

На концах отрезка условие F(-1)F’’(-1)>0 соблюдается, поэтому для определения корня уравнения воспользуемся формулой:

Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.4. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

Метод касательных (Ньютона)

Данный метод основывается на построении касательных к графику, которые проводятся на одном из концов интервала . В точке пересечения с осью X (z1) строится новая касательная. Данная процедура продолжается до тех пор, пока полученное значение не будет сравним с нужным параметром точности e (F(zi)

Рис.5. Использование метода касательных (Ньютона) при решении нелинейных уравнений.

Рассмотрим пример. Необходимо решить уравнение х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 с точностью до e

В общем виде уравнение имеет вид: F(x)= х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Определим первую и вторую производные: F’(x)=3x^2-0,4x+0,5, F’’(x)=6x-0,4;

F’’(-1)=-6-0,4=-6,4
F’’(0)=-0,4
Условие F(-1)F’’(-1)>0 выполняется, поэтому расчеты производим по формуле:

Где x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Весь произведенный расчет отражен ниже в таблице.

Рис.6. Таблица результатов вычислений

В результате вычислений получаем значение с учетом требуемой точности, равной x=-0,946

где функция f (x ) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале x (a , b ) .

Однократный корень называется простым . Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические (функция f (x ) является алгебраической) и трансцендентные в противном случае. Уже на примере алгебраического многочлена известно, что нули f (x ) могут быть как действительными, так и комплексными. Поэтому более точная постановка задачи состоит в нахождении корней уравнения (6.1), расположенных в заданной области комплексной плоскости. Можно рассматривать также задачу нахождения действительных корней, расположенных на заданном отрезке. Иногда, пренебрегая точностью формулировок, просто говорят, что требуется решить уравнение (6.1). Большинство алгебраических и трансцендентных нелинейных уравнений аналитически (т.е. точно) не решается, поэтому на практике для нахождения корней используются численные методы. В связи с этим под решением уравнения (6.1) будем понимать задачу приближенного нахождения корней

уравнения вида (6.1). При этом под близостью приближенного значения x к корню ξ уравнения, как правило, понимают выполнение неравенства

| ξ − x | < ε при малых ε > 0 ,

т.е. абсолютную погрешность приближенного равенства x ≈ ξ .

Используют также и относительную погрешность, т.е. величину | ξ − x | .

Нелинейная функция f (x ) в своей области определения может иметь конечное или бесконечное количество нулей или может не иметь их вовсе.

Численное решение нелинейного уравнения (6.1) заключается в нахождении с заданной точностью значений всех или некоторых корней уравнения и распадается на несколько подзадач:

во-первых, надо исследовать количество и характер корней (вещественные или комплексные, простые или кратные),

во-вторых, определить их приближенное расположение, т.е. значения начала и конца отрезка, на котором лежит только один корень,

в-третьих, выбрать интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью.

Большинство методов нахождения корней требует знания промежутков, где заведомо имеется и притом единственный нуль функции. В связи с этим вторая задача называется отделением корней . Решив ее, по сути дела, находят приближенные значения корней с погрешностью, не превосходящей длины отрезка, содержащего корень.

6.1. Отделение корней нелинейного уравнения

Для функций общего вида нет универсальных способов решения задачи отделения корней. Отметим два простых приема отделения действительных корней уравнения – табличный и графический .

Первый прием состоит в вычислении таблицы значений функции в заданных точках x i , расположенных на условно небольшом расстоянии h одна от другой и использовании следующих теорем математического анализа:

1. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,b] и f(a)f(b)<0, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0.

2. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а,b], f(a)f(b) < 0 и f′(x) на интервале (a,b) сохраняет знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0.

Выполнив вычисление значений функции в этих точках (или только определив знаки f (x i ) ), сравнивают их в соседних точках, т.е. проверяют, не

выполняется ли на отрезке [ x i − 1 , x i ] условие f (x i − 1 ) f (x i ) ≤ 0 . Таким образом, если при некотором i числа f (x i − 1 ) и f (x i ) имеют разные знаки, то это означает, что на интервале (x i − 1 , x i ) уравнение имеет по крайней мере

один действительный корень нечетной кратности (точнее - нечетное число корней). Выявить по таблице корень четной кратности очень сложно. Если заранее известно количество корней в исследуемой области, то, измельчая шаг поиска h , таким процессом можно либо их локализовать, либо довести

процесс до состояния, позволяющего утверждать наличие пар корней, не различимых с точностью h = ε . Это хорошо известный способ перебора.

По таблице можно построить график функции y = f (x ) . Корнями

уравнения (6.1) являются те значения х , при которых график функции пересекает ось абсцисс. Этот способ более нагляден и даёт неплохие приближённые значения корней. Построение графика функции даже с малой точностью обычно дает представление о расположении и характере корней уравнения (иногда позволяет выявить даже корни четной кратности). Во многих задачах техники такая точность уже достаточна.

Если построение графика функции y = f (x ) вызывает затруднение, следует преобразовать исходное уравнение к виду ϕ 1 (x ) = ϕ 2 (x ) таким образом, чтобы графики функций y = ϕ 1 (x ) и y = ϕ 2 (x ) были достаточно

просты. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения.

ξ 2 .

Допустим, что искомый корень уравнения отделен, т.е. найден отрезок , на котором имеется только один корень уравнения. Для вычисления корня с требуемой точностью ε обычно применяют какую-либо итерационную процедуру уточнения корня, строящую числовую последовательность значений x n , сходящуюся к искомому корню уравнения.

Начальное приближение x 0 выбирают на отрезке , продолжают

вычисления, пока не выполнится неравенство x n − 1 − x n < ε , и считают, что x n – есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Имеется

множество различных методов построения таких последовательностей и выбор алгоритма – весьма важный момент при практическом решении задачи. Немалую роль при этом играют такие свойства метода, как простота, надежность, экономичность, важнейшей характеристикой является его скорость сходимости.

α =1 сходимость называется линейной, при 1<α <2 – сверхлинейной, при α =2 – квадратичной. С ростом α алгоритм, как правило, усложняется и условия сходимости становятся более жесткими.

Приближённые значения корней уточняют различными итерационными методами. Рассмотрим наиболее эффективные из них.

6.2. Метод половинного деления (бисекции, дихотомии)

Пусть функция f (x ) определена и непрерывна при всех x [ a , b ] и на меняет знак, т.е. f (a ) f (b ) < 0 . Тогда согласно теореме 1 уравнение имеет на (a , b ) хотя бы один корень. Возьмем произвольную точку c (a , b ) . Будем называть в этом случае отрезок промежутком

существования, корня, а точку c - пробной точкой. Поскольку речь здесь идет лишь о вещественных функциях вещественной переменной, то

вычисление значения f (c ) приведет к какой-либо одной из следующих

взаимоисключающих ситуаций:

А) f (a ) f (c ) < 0 Б) f (c ) f (b ) < 0 В) f (c ) = 0

Если f (c ) = 0 , то корень уравнения найден. В противном случае из двух частей отрезка [ a , c ] или [ c , b ] выберем ту, на концах которой функция имеет разные знаки, так как один из корней лежит на этой половине.

За один шаг метода половинного деления промежуток существования корня сокращается ровно вдвое. Поэтому, если за k -е приближение к корню ξ уравнения примем точку x k , являющуюся серединой полученного на k -м шаге отрезка [ a k , b k ] , полагая a 0 = a , b 0 = b , то придем к неравенству

которое, с одной стороны, позволяет утверждать, что последовательность (x k ) имеет предел – искомый корень ξ уравнения (6.1), с другой стороны, является априорной оценкой абсолютной погрешности равенства x k ≈ ξ , что дает возможность подсчитать число шагов (итераций) метода половинного деления, достаточное для получения корня ξ с заданной точностью ε .Для

чего нужно лишь найти наименьшее натуральное k удовлетворяющее неравенству

b 2 − k a < ε .

Проще говоря, если требуется найти корень с точностью ε , то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2ε . Тогда середина последнего отрезка даст значения корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надёжна: к простому корню она сходится для любых непрерывных функций f (x ) , в том числе недифференцируемых;

при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости невелика: за одну итерацию точность увеличивается примерно вдвое, т.е. уточнение трёх цифр требует 10 итераций. Зато точность ответа гарантируется.

К основным недостаткам метода дихотомии можно отнести следующие.

1. Для начала расчёта необходимо найти отрезок, на котором функция изменяет знак. Если в этом отрезке несколько корней, то заранее неизвестно, к какому из них сойдётся процесс (хотя к одному из них обязательно сойдётся).

2. Метод неприменим к корням чётной кратности.

3. Для корней нечётной высокой кратности он сходится, но менее точен и менее устойчив к ошибкам округления, возникающим при вычислении значений функции.

Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надёжность счёта, а скорость сходимости малосущественна.

Один из недостатков дихотомии – сходимость неизвестно к какому корню – характерен почти для всех итерационных методов. Его можно устранить удалением уже найденного корня.

Если x 1 есть простой корень уравнения и f (x ) липшиц-непрерывна, то вспомогательная функция g (x ) = f (x ) /(x − x 1 ) непрерывна, причём все нули функций f(x) и g(x) совпадают, за исключением x 1 , так как g (x 1 ) ≠ 0. Если x 1 - кратный корень уравнения, то он будет нулём g(x) кратности на единицу

меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы. Поэтому найденный корень можно удалить, т.е. перейти к функции

этого корня она близка к g(x ) . Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, нужно вычислять каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения.

6.3. Метод хорд

Логично предположить, что в семействе методов дихотомии можно достичь несколько лучших результатов, если отрезок делить точкой c не пополам, а пропорционально величинам ординат f (a ) и f (b ) .

Это означает, что точку c есть смысл находить, как абсциссу точки пересечения

оси Ох с прямой, проходящей через точки A (a , f (a )) и B (b , f (b )) , иначе, с хордой

дуги графика функции f (x ) . Такой способ

выбора пробной точки, называют методом хорд или методом линейной интерполяции .

Запишем уравнение прямой проходящей через точки А и В :

Метод хорд подобно алгоритму метода бисекции строит последовательность вложенных отрезков [а n ,b n ], но в качестве x n берется точка пересечения хорды с осью абсцисс :

Длина промежутка локализации корня при этом может не стремится к нулю, поэтому обычно счет ведется до совпадения значений двух очередных приближений с точностью ε . Метод сходится линейно, но близость двух очередных приближений не всегда означает, что корень найден с требуемой точностью. Поэтому, если 0 < m ≤ | f ′ (x )| ≤ M , x [ a , b ] ,

M − m

Более надежным практическим критерием окончания итераций в методе хорд является выполнение неравенства

сходилась к корню данного уравнения

знакопостоянная функция. Выберем некоторое нулевое приближение х 0 и вычислим дальнейшие приближения по формулам

Эти формулы определяют одношаговый общий итерационный метод, называемым методом простых итераций . Попытаемся понять, каким

требованиям должна удовлетворять функция ϕ (x ) , чтобы последовательность (x k ) , определяемая (6.7) была сходящаяся, и как

построить функцию ϕ (x ) по функции f (x ) , чтобы эта последовательность

f (x) = 0 .

Пусть ϕ (x ) - непрерывная на некотором отрезке [ a , b ] функция. Если определяемая формулой (6.7) последовательность (x k ) сходится к

некоторому числу ξ , т.е. ξ = lim x k , то, переходя к пределу в равенстве

k →∞

(6.7), получаем ξ = ϕ (ξ ) . Это равенство означает, что ξ - корень

уравнения (6.6) и эквивалентного ему исходного уравнения.

Нахождение корня уравнения (6.6) называется задачей о неподвижной точке. Существование и единственность этого корня основывается на принципе сжимающих отображений.

Определение: Непрерывная функция ϕ (x ) называется сжимающей на отрезке [ a , b ] если:

1) ϕ (x ) , x

2) q (0,1) : |ϕ (x 2 )− ϕ (x 1 )|≤ q |x 2 − x 1 |, x 1 ,x 2 .

Второе условие для дифференцируемой на [ a , b ] функции равносильно выполнению неравенства ϕ " (x ) ≤ q < 1 на этом отрезке.

Метод простых итераций имеет простую геометрическую интерпретацию: нахождение корня уравнения f(x)=0 равносильно обнаружению неподвижной точки функции x= ϕ (x) , т.е. точки пересечения

графиков функций y= ϕ (x) и y=x . Метод простой итерации не всегда обеспечивает сходимость к корню уравнения. Достаточным условием сходимости этого метода является выполнение неравенства ϕ " (x ) ≤ q < 1 на

Проиллюстрируем (рис. 6.4) геометрически поведение сходящейся итерационной последовательности (x k ) , не отмечая значения ϕ (x k ) , а

отражая их на ось абсцисс с помощью биссектрисы координатного угла

y= x .

Рис.6.4 Сходимость метода простой итерации при ϕ " (x ) ≤ q < 1 .

Как видно из рис. 6.4, если производная ϕ ′ (x ) < 0 , то последовательные приближения колеблются около корня, если же производная ϕ ′ (x ) > 0 , то

последовательные приближения сходятся к корню монотонно. Справедлива следующая теорема о неподвижной точке.

Теорема: Пусть ϕ (x ) определена и дифференцируема на [ a , b ] . Тогда, если выполняются условия:

Вблизи корня итерации сходятся примерно как геометрическая прогрессия со

выбрано ϕ (x ) .

Например, для извлечения квадратного корня, т.е. для решения

Очевидно, уравнение имеет три корня, расположенные на отрезках [ − 3; − 2] , [− 1;0] и . Наименьший находится на отрезке [ − 3; − 2] .

Т.к. на этом отрезке x 2 ≠ 0 , разделим уравнение на x 2 . Получим:

Замечание: Для нахождения двух других корней исходного уравнения методом простой итерации уже нельзя пользоваться формулой: x = x 1 2 − 3 ,

Условие сходимости на этих отрезках не выполнено.

Метод релаксации - один из вариантов метода простой итерации, в котором

ϕ (x) = x − τ f (x) ,

т.е. равносильное уравнение имеет вид:

x = x − τ f (x) .

функции f (x ) . Пусть

0 ≤α ≤ f ′(x ) ≤γ <∞

Параметр τ подбирается таким, чтобы производная ϕ ′ (x ) = 1 − τ f ′ (x ) в нужной области была малой по модулю.

1 − τ γ ≤ ϕ′ (x ) ≤ 1 − λα

и значит,

|ϕ ′ (x )|≤ q (τ ) = max{|1− τα |,|1− τγ |}

Пусть задана функция, непрерывная вместе со своими несколькими производными. Требуется найти все или некоторые вещественные корни уравнения

Данная задача распадается на несколько подзадач. Во-первых, необходимо определить количество корней, исследовать их характер и расположение. Во-вторых, найти приближенные значения корней. В-третьих, выбрать из них интересующие нас корни и вычислить их с требуемой точностью. Первая и вторая задачи решаются, как правило, аналитическими или графическими методами. В случае, когда ищутся только вещественные корни уравнения (1), полезно составить таблицу значений функции. Если в двух соседних узлах таблицы функция имеет разные знаки, то между этими узлами лежит нечетное число корней уравнения (по меньшей мере, один). Если эти узлы близки, то, скорее всего, корень между ними только один.

Найденные приближенные значения корней можно уточнить с помощью различных итерационных методов. Рассмотрим три метода: 1) метод дихотомиии (или деление отрезка пополам); 2) метод простой итерации и 3) метод Ньютона.

Методы решения задачи

Метод деления отpезка пополам

Наиболее простым методом, позволяющим найти корень нелинейного уравнения (1), является метод половинного деления.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, т.е. то это означает, что внутри данного отрезка находится нечетное число корней. Пусть для определенности корень один. Суть метода состоит в сокращении на каждой итерации вдвое длины отрезка. Находим середину отрезка (см. рис. 1) Вычисляем значение функции и выбираем тот отрезок, на котором функция меняет свой знак. Новый отрезок вновь делим пополам. И этот процесс продолжаем до тех пор, пока длина отрезка не сравняется с наперед заданной погрешностью вычисления корня. Построение нескольких последовательных приближений по формуле (3) приведено на рисунке 1.

Итак, алгоритм метода дихотомии:

1. Задать отрезок и погрешность.

2. Если f(a) и f(b) имеют одинаковые знаки, выдать сообщение о невозможности отыскания корня и остановиться.

Рис.1.

3. В противном случае вычислить c=(a+b)/2

4. Если f(a) и f(c) имеют разные знаки, положить b=c, в противном случае a=c.

5. Если длина нового отрезка, то вычислить значение корня c=(a+b)/2 и остановиться, в противном случае перейти к шагу 3.

Так как за N шагов длина отрезка сокращается в 2 N раз, то заданная погрешность отыскания корня будет достигнута за итераций.

Как видно, скорость сходимости мала, но к достоинствам метода относятся простота и безусловная сходимость итерационного процесса. Если отрезок содержит больше одного корня (но нечетное число), то всегда будет найден какой-нибудь один.

Замечание. Для определения интервала, в котором лежит корень, необходим дополнительный анализ функции, основанный либо на аналитических оценках, либо на использование графического способа решения. Можно также организовать перебор значений функции в различных точках, пока не встретится условие знакопеременности функции

Общий вид нелинейного уравнения

f (x )=0, (6.1)

где функция f (x ) – определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале.

По виду функции f (x ) нелинейные уравнения можно разделить на два класса:

Алгебраические;

Трансцендентные.

Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией.

Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.)

Решить нелинейное уравнение – значит найти его корни или корень.

Всякое значение аргумента х , обращающее функцию f (x ) в нуль называется корнем уравнения (6.1) или нулем функции f (x ).

6.2. Методы решения

Методы решения нелинейных уравнений делятся на:

Итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения квадратного уравнения, биквадратного уравнения (так называемых простейших алгебраических уравнений), а также тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений.

Однако, встречающиеся на практике уравнения, не удается решить такими простыми методами, потому что

Вид функции f (x ) может быть достаточно сложным;

Коэффициенты функции f (x ) в некоторых случаях известны лишь приблизительно, поэтому задача о точном определении корней теряет смысл.

В этих случаях для решения нелинейных уравнений используются итерационные методы, то есть методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения, следует отметить изолированного , то есть такого, для которого существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения, состоит из двух этапов:

отделение корня , а именно, определение приближенного значения корня или отрезка, который содержит один и только один корень.

уточнение приближенного значения корня , то есть доведение его значения до заданной степени точности.

На первом этапе приближенное значение корня (начальное приближение ) может быть найдено различными способами:

Из физических соображений;

Из решения аналогичной задачи;

Из других исходных данных;

Графическим методом.

Более подробно рассмотрим последний способ. Действительный корень уравнения

f(x) =0

приближенно можно определить как абсциссу точки пересечения графика функции у= f (x ) с осью 0х. Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом они легко определяются. На практике часто бывает выгодным уравнение (6.1) заменить равносильным

f 1 (x)=f 2 (x)

где f 1 (x ) и f 2 (x ) – более простые, чем f (x ) . Тогда, построив графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ), искомый корень (корни) получим как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Отметим, что графический метод, при всей своей простоте, как правило, применим лишь для грубого определения корней. Особенно неблагоприятным, в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.

Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a , b , между которыми функция имеет один и только один корень. Для этого действия полезно помнить две теоремы.

Теорема 1. Если непрерывная функция f (x ) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a , b ], то есть

f (a ) f (b )<0, (6.2)

то внутри этого отрезка находится, по меньшей мере, один корень уравнения.

Теорема 2. Корень уравнения на отрезке [a , b ] будет единственным, если первая производная функции f ’(x ), существует и сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то есть

(6.3)

Выбор отрезка [a , b ] выполняется

Графически;

Аналитически (путем исследования функции f (x ) или путем подбора).

На втором этапе находят последовательность приближенных значений корня х 1 , х 2 , … , х n . Каждый шаг вычисления x i называется итерацией . Если x i с увеличением n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Для нахождения корня уравнения можно воспользоваться функциейroot(f (x ) ,x ), где первым аргументом служит функция f (x ) , а вторым аргументом служит имя неизвестной величины, т.е. x . Перед обращением к этой функции нужно искомой переменной присвоить начальное значение, желательно близкое к ожидаемому ответу.

Приведенное описание функции пригодно для всех версий системы МС. Эту функцию можно вызвать с помощью кнопки f(x) на панели инструментов, выбрав в левом списке пункт Solving. В МС14 выбранная таким образом функция имеет четыре аргумента. Первые два из них − такие же, как было описано выше, а третьим и четвертым аргументами служат левая и правая границы интервала, на котором лежит искомый корень. Если задать третий и четвертый аргументы, то начальное значение переменной можно и не присваивать.

Рассмотрим использование этой функции на примере уравнения
. Сначала выполним отделение корней. Для этого построим графики функций в правой и левой части (рис.19). Из рисунка видно, что уравнение имеет два корня. Один лежит на отрезке [–2; 0], другой же – на . Воспользуемся первым вариантом формата функцииroot. Правый корень уравнения по графику приближенно равен 1. Поэтому выполним присвоение x := 1, вызовем функцию root, укажем два первых аргумента
и нажмем клавишу =. На экране получим результат 1.062. Теперь воспользуемся вторым вариантом шаблона. Снова вызовем функциюroot, укажем четыре аргумента и нажмем клавишу =. На экране получим результат

Второй корень найдем так:

Число выведенных на экран знаков вычисленного корня не совпадает с точностью нахождения результата. В памяти компьютера число хранится с пятнадцатью знаками, а на экран из этой записи выводится то количество знаков, которое установлено в меню Format. Насколько найденное значение корня отличается от точного, зависит от метода вычисления корня и от числа итераций в этом методе. Это регулируется системной переменной TOL, которая по умолчанию равна 0,001. В системе МС14 функция root ориентирована на достижение точности
, если
, и на достижение точности, задаваемое переменнойTOL, если ее значение меньше
. Значение этой переменной меньше, чем
, задавать не рекомендуется, т.к. может нарушиться сходимость вычислительного процесса.

Следует учесть, что в некоторых исключительных случаях результат может отклоняться от точного значения корня значительно больше, чем на величину TOL. Изменить значение TOL можно или простым присвоением, или с помощью меню Tools пункт Worksheet Options пункт Built-In Variables.

Для нахождения корней многочлена можно воспользоваться другой функцией, которая выдаст все корни многочлена, включая комплексные. Это функция polyroots(■), где аргументом служит вектор, координатами которого являются коэффициенты многочлена, первая координата – свободный член, вторая – коэффициент при первой степени переменного, последняя – коэффициент при старшей степени. Функция вызывается так же, как и функция root. Например, корни многочлена
можно получить так:

.

Некоторые простые уравнения можно решать и с помощью символьных преобразований. Можно найти корни многочлена второй или третьей степени, если коэффициенты являются целыми числами или обыкновенными дробями. В качестве примера возьмем многочлены, корни которых известны. Эти многочлены мы получим как произведение линейных множителей. Возьмем многочлен
. Получим его запись по степенямx . Для этого, как было описано в первом занятии, выделим в этой записи переменное x , выберем в меню Symbolics пункт Variable и в раскрывшемся окне пункт Collect:

.

В полученном результате выделим переменное x , выберем в меню Symbolics пункт Variable и в раскрывшемся окне пункт Solve. Получим

.

Как видим, корни найдены правильно. Возьмем многочлен третьей степени
. Найдем его корни тремя способами:

,

,

и символьными преобразованиями (результат на рис. 20).

Как видим, последний результат мало пригоден для использования, хотя и является «абсолютно» точным. Этот результат будет еще «хуже», если в многочлен добавить член с . Попробуйте с помощью символьных преобразований найти корни такого многочлена. Попробуйте с помощью символьных преобразований найти корни многочлена четвертой степени.

Символьные вычисления эффективны, если корни являются целыми или рациональными числами:

.

В этом примере символьные вычисления произведены с помощью панели Symbolic. Приведено также решение с помощью функции polyroots. Последние результаты менее эффектны, хотя с точки зрения вычислений ничем не хуже, так как разумный инженер округлит второй корень до числа – i .

Символьное нахождение корней можно применять и для уравнений, содержащих функции, отличные от многочленов:

.При использовании символьных вычислений следует быть осторожными. Так при нахождении нулей следующей функции МС14 выдает только одно значение: , хотя на промежутке
эта функция имеет 6 нулей:
. В более ранней версии системы (МС2000) указывались все нули.

Для полного ответа к ним нужно добавить число, кратное
.

Решим более сложную задачу. Функция y (x ) задана неявно уравнением
. Требуется построить график этой функцииy (x ) на отрезке .

Для решения этой задачи естественно воспользоваться функцией root. Однако она требует указания отрезка, на котором лежит искомый корень. Для этого найдем значение y графически при нескольких значениях x . (Графики приводятся ниже в виде отдельных рисунков, а не так как они размещены на экране MATHCAD).

Строим график (рис.21). На нем видно, что «разумные» значения y лежат в промежутке [– 5; 5]. Построим график в этом диапазоне. Изменения можно внести в шаблоны на имеющемся рисунке. Результат приведен на рис. 22. Видим, что корень лежит на отрезке . Возьмем следующее значение x . На бумаге – это новые записи, а на экране достаточно внести изменения в блоке, где x присваивается значение. При
получим рис.23. Согласно ему корень лежит на отрезке . При
получим рис. 24. Корень лежит на отрезке . В итоге можно ожидать, что корень при любыхx лежит на отрезке

Введем функцию пользователя .Построим график этой функции, считая переменным z , причем шаблоны по вертикальной оси можно не заполнять, система сама произведет масштабирование. График приведен на рис.25. По данному графику можно отследить значения функции с помощью панели X-Y Trace, как было описано выше.