Применение математической логики исследовательская работа. Методы решения логических задач. Тема: "Метод математической индукции"
ХI РЕГИОНАЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ»
Секция «Математика»
Тема
«Решение логических задач»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
школа №2 ст. Архонская,
7 класс.
Научный руководитель
учитель математики МБОУ СОШ №2 ст. Архонская
Тримасова Н.И.
«Решение логических задач»
7 класс
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
Аннотация
В данной работе рассматриваются разные способы решения логических задач и разнообразие приемов. Каждый из них имеет свою область применения. Кроме этого, в работе можно познакомиться с основными понятиями направления "математики без формул" - математической логики, узнать о создателях этой науки. Ещё можно увидеть результаты диагностики «решение логических задач среди учащихся среднего звена».
Содержание
1.Введение_____________________________________________________ 4
2.Основоположники науки «логика»_____________________________ 6
3.Как научиться решать логические задачи?______________________ _8
4. Типы и способы решения логических задач______________________ 9
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»_____________________________ 9
а) Метод графов___________________________________________ 9
б) Табличный способ__________________________________________ 11
4.2 Тактические задачи______________________________________ 13
а) метод рассуждений_________________________________________ 13
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств__________________________________________________ 14
а) Круги Эйлера_____________________________________________ 14
Буквенные ребусы и задачи со звездочками__________________ 16
4.5 Истинностные задачи_____________________________________ 17
4.6 Задачи типа «Шляпы»_____________________________________ 18
5. Практическая часть____________________________________________ 19
5.1 Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена_________________________________________________________ 19
6. Заключение____________________________________________________ 23
7. Литература____________________________________________________ 24
«Решение логических задач»
Крутоголова Диана Александровна
7 класс
Муниципальное бюджетное общеобразовательное
учреждение средняя общеобразовательная
школа №2, ст. Архонская.
1. Введение
Развитию творческой активности, инициативы, любознательности, смекалки способствует решение нестандартных задач. Несмотря на то, что школьный курс математики содержит большое количество интересных задач, многие полезные задачи не рассматриваются. К этим задачам можно отнести логические задачи.
Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики - нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, ни векторов, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь. В то же время дух математики в них чувствуется ярче всего - половина решения любой математической задачи (а иногда и гораздо больше половины) состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии, распутать все связи между участвующими объектами.
Математическая задача неизменно помогает вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения. В тоже время решение задач способствует развитию логического мышления.
Готовя данную работу, я ставила цель - развить свои способности умения рассуждать и делать правильные выводы. Только решение трудной, нестандартной задачи приносит радость победы. При решении логических задач предоставляется возможность подумать над необычным условием, рассуждать. Это у меня вызывает и сохраняет интерес к математике. Логически обоснованное решение – лучший способ раскрытия творческих способностей.
Актуальность. В наше время очень часто успех человека зависит от его способности четко мыслить, логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Задачи: 1) ознакомление с понятиями «логика» и «математическая логика»; 2) изучение основных методов решения логических задач; 3) проведение диагностики на выявление уровня логического мышления учащихся 5-8 классов.
Методы исследований: сбор, изучение, обобщение экспериментального и теоретического материала
2. Основоположники науки «логика»
Логика - одна из древнейших наук. Точно установить, кто, когда и где впервые обратился к тем аспектам мышления, которые составляют предмет логики, в настоящее время не представляется возможным. Отдельные истоки логического учения можно обнаружить еще в Индии, в конце II тысячелетия до н. э. Однако если говорить о возникновении логики как науки, то есть о более или менее систематизированной совокупности знаний, то справедливым будет считать родиной логики великую цивилизацию Древней Греции. Именно здесь в V-IV веках до н. э. в период бурного развития демократии и связанного с ним небывалого оживления общественно-политической жизни трудами Демокрита, Сократа и Платона были заложены основы этой науки.
Основоположником логики как науки является древнегреческий философ и ученый Аристотель (384-322 гг. до н. э.). Он впервые разработал теорию дедукции, то есть теорию логического вывода. Именно он обратил внимание на то, что в рассуждениях мы из одних утверждений выводим другие, исходя не из конкретного содержания утверждений, а из определенной взаимосвязи между их формами, структурами.
Уже тогда в Древней Греции были созданы школы, в которых люди учились дискутировать. Ученики этих школ учились искусству поиска истины и убеждения других людей в своей правоте. Они учились из множества фактов отбирать нужные, строить цепочки рассуждений, связывающие отдельные факты между собой, делать правильные выводы.
Уже с этих времен было принято считать, что логика есть наука о мышлении, а не о предметах объективной истинности.
Древнегреческий математик Евклид (330-275 гг. до н. э.) впервые предпринял попытку упорядочить накопившиеся к тому времени обширные сведения по геометрии. Он положил начало осознанию геометрии как аксиоматической теории, а всей математики - как совокупности аксиоматических теорий.
На протяжении многих веков различными философами и целыми философскими школами дополнялось, усовершенствовалась и изменялась логика Аристотеля. Это был первый, до математический, этап развития формальной логики. Второй этап связан с применением в логике математических методов, начало которому положил немецкий философ и математик Г. В. Лейбниц (1646-1716 гг.) . Он пытался построить универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, а затем и вовсе все «идеи заменить вычислениями» .
Важный период становления математической логики начинается с работы английского математика и логика Джорджа Буля (1815-1864 гг.) «Математический анализ логики» (1847) и «Исследования законов мышления» (1854). Он применил к логике методы современной ему алгебры - язык символов и формул, составление и решение уравнений. Им была создана своеобразная алгебра - алгебра логики. В этот период она оформилась, как алгебра высказываний и была значительно развита в работах шотландского логика А. де Моргана (1806-1871 гг.) , английского - У. Джевонса (1835-1882 гг.) , американского - Ч. Пирса и др. Создание алгебры логики явилось заключительным звеном в развитии формальной логики.
Значительный толчок к новому периоду развития математической логики дало создание в первой половине XIX века великим русским математиком Н. И. Лобачевским (1792-1856 гг.) и независимо от него венгерским математиком Я. Бояи (1802-1860 гг.) неевклидовой геометрии. Кроме того, создание анализа бесконечно малых подвело к необходимости обоснования понятия числа как фундаментального понятия всей математики. Довершали картину парадоксы, обнаруженные в конце XIX века в теории множеств: они отчетливо показали, что трудности обоснования математики являются трудностями логического и методологического характера. Таким образом, перед математической логикой встали задачи, которые перед логикой Аристотеля не возникали. В развитии математической логики сформировались три направления обоснования математики, в которых создатели по-разному пытались преодолеть возникшие трудности.
3. Как научиться решать логические задачи?
Многие люди только мыслят, что мыслят.
Им неприятен мыслительный процесс:
для этого нужен навык и известные усилия,
а зачем усилия, когда можно без.
Огден Неш
Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной).
Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
все высказывания истинны;
не все высказывания истинны;
задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
Итак, мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения. Познакомившись подробно, разберёмся в каких случаях удобнее использовать тот или другой метод.
4. Типы и способы решения логических задач
4.1 Задачи типа «Кто есть кто?»
Задачи типа «Кто есть кто?» очень разнообразны по сложности, содержанию и способности решения. Они, несомненно, представляют интерес.
а) Метод графов
Один из способов – решение с помощью графов. Граф – это несколько точек, часть которых соединены друг с другом отрезками или стрелками (в таком случае граф называется ориентированным). Пусть нам требуется установить соответствие между двумя типами объектов (множествами). Точками обозначаются элементы множеств, а соответствие между ними – отрезками. Штриховой отрезок будет объеденять два элемента, не соответствующих друг другу.
Задача 1 . Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Решение. Решить задачу просто, если учесть, что:
Каждому элементу одного множества обязательно соответствует элемент другого множества, но только один
Если элемент каждого множества соединен со всеми элементами (кроме одного) другого множества штриховыми отрезками, то с последним он соединен сплошным отрезком.
Вместо сплошных штриховых отрезков можно использовать цветные, в таком случае решение получается более красочным,
Обозначим на рисунке фамилии девочек буквами Б, Ч, К, соединим пунктирной линией букву Б и белое платье, что будет означать: «Белова не в белом платье». Далее получим еще три пунктирные линии, соответствующие минусам в таблице. Белое платье может быть только на Красновой - букву К и белое платье соединим сплошной линией, что будет означать «Краснова в белом платье», и т.д.
Таким же способом можно находить соответствие между тремя множествами.
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Решение. Сначала все условия наносятся на схему. Решение же сводится к нахождению трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (рис.2.).
Белов Чернов Рыжов
скульптор скрипач художник
белый черный рыжий
Художник- черноволосый
При решении мы можем получить треугольники трех видов:
а) все стороны являются сплошными отрезками (решение задачи);
б) одна сторона – сплошной отрезок, а другие – штриховые;
в) все стороны – штриховые отрезки.
Таким образом, нельзя получить треугольник, у которого бы две стороны были сплошными отрезками, а третья – штриховой отрезок.
Задача3. Кто где?
Дуб, клен, сосна, береза, пень!
За ними спрятавшись, таятся
Бобр, заяц, белка, рысь, олень.
Кто где? Попробуй разобраться".
Где рысь, ни зайца, ни бобра
Ни слева нет, ни справа - ясно.
И рядом с белкой - вот хитра –
Их также не ищи напрасно.
С оленем рядом рыси нет.
И зайца справа нет и слева.
А белка справа, где олень!
Теперь берись за поиск смело.
И хочет дать тебе совет
Поросший мхом высокий пень:
- Кто где? Напасть на верный след
Помогут белка и олень.
Решение. Найдем ответ с помощью графов, обозначая каждого зверя точкой, а размещение – стрелками. Остается только подсчитать стрелки (рис.)
Рысь Заяц
Белка Заяц Бобр Олень Белка Рысь
Олень Дуб Клен Сосна Береза Пень
бобр
б) Табличный способ
Второй способ решения логических задач – с помощью таблиц – также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов.
Задача 4. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя.
Решение. Решая задачу, мы заведомо знаем, что у каждого мужчины одна фамилия и одна жена.
Правило 1: В каждой строке и в каждом столбце таблицы может стоять только один знак соответствия (например «+»).
Правило 2: Если в строке (или столбце) все «места», кроме одного, заняты элементарным запретом (знак несоответствия, например «-»), то на свободное место нужно поставить знак «+»; если в строке (или столбце) уже есть знак «+», то остальные места должны быть заняты знаком «-».
Начертив таблицу, нужно разместить в ней известные запреты исходя из условия задачи. Заполнив по условию задачи таблицу, сразу получем решения: (рис. 3).
Тоня
Люся
Лена
Света
Маша
Оля
Галя
Владимиров
Федоров
Назаров
Викторов
Степанов
Матвеев
Тарасов
4.2 Тактические задачи
Решение тактических и теоретико-множественных задач заключается в составлении плана действий, который приводит к правильному ответу. Сложность состоит в том, что выбор нужно сделать из очень большого числа вариантов, т.е. эти возможности не известны, их нужно придумать.
а)Задачи на перемещение или правильное размещение фигур можно решать двумя способами: практическим (действия в перемещении фигур, подборе) и мысленном (обдумывание хода, предугадывание результата, предположение решения- метод рассуждений ).
В методе рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Этим способом обычно решают несложные логические задачи.
Задача 5 . Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Решение. Составим схему:
Лена Оля Таня
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
Рассмотрим простую задачу.
Задача6 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Решение.
Заяц - 1 2
Лиса - 2
Лось - 1
Если предположить что верное утверждение- заяц пришел 1, то лиса 2 тогда не верно, т.е. во второй группе утверждений остаются оба варианта неверные, но это противоречит условию. Ответ: Лось - 1, Лиса - 2, Заяц - 3.
4.3 Задачи на нахождение пересечения или объединение множеств (круги Эйлера)
Ещё один тип задач – задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объеденение, соблюдая условия задачи.
Решим задачу7:
Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 - и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием?
Решение. В условии этой задачи не так легко разобраться. Если сложить 23 и 35, то получится больше 52. Это объясняется тем, что некоторых школьников мы здесь учли дважды, а именно тех, которые собирают и значки, и марки. Чтобы облегчить рассуждения, воспользуемся кругами Эйлера
На рисунке большой круг обозначает 52 школьника, о которых идет речь; круг 3 изображает школьников, собирающих значки, а круг М - школьников, собирающих марки.
Большой круг разбивается кругами 3 и М на несколько областей. Пересечению кругов 3 и М соответствуют школьники, собирающие и значки, и марки (рис.). Части круга 3, не принадлежащей кругу М, соответствуют школьники, собирающие только значки, а части круга М, не принадлежащей кругу 3, - школьники, собирающие только марки. Свободная часть большого круга обозначает школьников, не увлекающихся коллекционированием.
Будем последовательно заполнять нашу схему, вписывая в каждую область соответствующее число. По условию и значки, и марки собирают 16 человек, поэтому в пересечение кругов 3 и М впишем число 16 (рис.).
Так как значки собирают 23 школьника, а и значки, и марки - 16 школьников, то только значки собирают 23 - 16 = 7 человек. Точно так же только марки собирают 35 - 16 = 19 человек. Числа 7 и 19 впишем в соответствующие области схемы.
Из рисунка ясно, сколько всего человек занимается коллекционированием. Чтобы узнать это, надо сложить числа 7, 9 и 16. Получим 42 человека. Значит, не увлеченных коллекционированием остается 52 - 42 = 10 школьников. Это и есть ответ задачи, его можно вписать в свободное поле большого круга.
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также значительно упрощает рассуждения.
4.4 Буквенные ребусы и задачи со звездочками
Методом подбора и рассмотрения различных вариантов решаются буквенные ребусы и примеры со звездочками.
Такие задачи различны по сложности и схеме решения. Рассмотрим один такой пример.
Задача8 Решите числовой ребус
КИС
КСИ
ИСК
Решение. Сумма И
+ С
(в разряде десятков) оканчивается на С, но И ≠ 0 (см. разряд единиц). Значит, И = 9 и 1 десяток в разряде единиц запомнили. Теперь легко найти К в разряде сотен: К = 4. Для С остается одна возможность: С = 5.
4.5 Истинностные задачи
Задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний назовем истинностными задачами.
Задача9 . Три друга Коля, Олег и Петя играли во дворе, и один из них случайно разбил мячом оконное стекло. Коля сказал: «Это не я разбил стекло». Олег сказал: «Это Петя разбил стекло». Позднее выяснилось, что одно из этих утверждений верное, а другое - нет. Кто из мальчиков разбил стекло?
Решение. Предположим, что Олег сказал правду, тогда и Коля сказал правду, а это противоречит условию задачи. Следовательно, Олег сказал неправду, а Коля - правду. Из их утверждений следует, что стекло разбил Олег.
Задача10 Четыре ученика - Витя, Петя, Юра и Сергей - заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос, какие места они заняли, были даны ответы:
а) Петя - второе, Витя - третье;
б) Сергей - второе, Петя - первое;
в) Юра - второе, Витя - четвертое.
Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.
Решение. Предположим, что высказывание «Петя - II» верно, тогда оба высказывания второго человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Сергей - II» верно, тогда оба высказывания первого человека неверны, а это противоречит условию задачи.
Предположим, что высказывание «Юра - II» верно, тогда первое высказывание первого человека неверно, а второе верно. И первое высказывание второго человека неверно, а второе верно.
Ответ: первое место – Петя, второе место - Юра, третье место - Витя, четвертое место Сергей.
4.6 Задачи типа «Шляпы»
Наиболее известна задача про мудрецов, которым нужно определить цвет шляпы на своей голове. Чтобы решить такую задачу, нужно восстановить цепочку логических рассуждений.
Задача 11 . «Какого цвета береты?».
Три подруги, Аня, Шура и Соня, сидели в амфитеатре одна за другой без биретов. Соне и Шуре нельзя оглядываться назад. Шура видит только голову сидящей ниже ее Сони, а Аня видит головы обеих подруг. Из коробки, в которой находятся 2 белых и 3 черных берета (об этом все три подруги знают), вынули три и надели их на головы, не говоря о том, какого цвета берет; два берета остались в коробке. Когда спросили Аню о цвете берета, который ей надели, она не сумела ответить. Шура слышала ответ Ани и сказала, что она также не может определить цвет своего берета. Может ли Соня на основании ответов своих подруг определить цвет своего берета?
Решение. Рассуждать можно таким образом. Из ответов Ани обе подружки заключили, что они обе не могут иметь на голове двух белых беретов. (Иначе Аня сразу бы сказала, что у нее на голове черный берет). Они имеют либо два черных, либо белый и черный. Однако, если бы на голове Сони был белый берет, то Шура тоже сказала, что не знает, какой у нее берет на голове, то, следовательно, у Сони на голове черный берет.
5. Практическая часть
Исследование уровня логического мышления учащихся среднего звена.
В практической части научно-исследовательской работы я подобрала логические задачи типа: Кто есть кто?
Задачи соответствовали уровню знаний 5-го и 6-го, 7-го и 8-го класса соответственно. Учащиеся решили эти задачи, а я проанализировала полученные результаты. Рассмотрим полученные результаты более подробно.
Для 5-го и 6-го классов были предложены следующие задачи:
Задача1 . Кросс осенний вспоминая, Спорят белки два часа:
Победил в забеге заяц. А второй была лиса!
- Нет, - твердит другая белка,
- Ты мне шутки эти брось. Заяц был вторым, конечно,
Первым был, я помню, - лось!
- Я, - промолвил филин важный,
- В спор чужой не стану лезть.
Но у вас в словах у каждой
По одной ошибке есть.
Белки фыркнули сердито.
Неприятно стало им.
Вы уж взвесив все, решите,
Кто был первым, кто вторым.
Задача 2. Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было черное платье, на другой - красное, на третьей - белое. Девочка в белом платье говорит Черновой: «Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям». Кто в какое платье был одет?
Среди учащихся 5 и 6 классов, в количестве 25 человек с предложенными задачами типа "Кто есть кто?" справилось11 человек, среди которых 5 девочек и 6 мальчиков. Результаты решения логических задач учащимися 5,6 классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 44% успешно решили обе задачи «Кто есть кто?» С первой задачей справились почти все учащиеся, вторая задача, с применением графов или таблиц вызвала у детей затруднения.
Подводя итог, можно сделать вывод, что с задачами более простыми в целом ученики 5-го и 6-го классов справляются, но если добавляются немного больше элементов в рассуждениях то справляются с такими заданиями не все.
Для 7-го и 8-го классов были предложены следующие задачи:
Задача 1. Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто пришел раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Задача 2. В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии», - заметил черноволосый. «Ты прав», - сказал Белов. Какой цвет волос у художника?
Задача 3. Однажды на семейном празднике собрались семь супружеских пар. Фамилии мужчин: Владимиров, Федоров, Назаров, Викторов, Степанов, Матвеев и Тарасов. Женщин зовут: Тоня, Люся, Лена, Света, Маша, Оля и Галя. На вечере Владимиров танцевал с Леной и Светой, Назаров - с Машей и Светой, Тарасов - с Леной и Олей, Викторов - с Леной, Степанов - со Светой, Матвеев - с Олей. Затем стали играть в карты. Сперва Викторов и Владимиров играли с Олей и Галей, потом мужчин сменили Степанов и Назаров, а женщины продолжали игру. И, наконец, Степанов и Назаров сыграли одну партию с Тоней и Леной.
Попробуйте определить, кто на ком женат, если известно, что на вечере ни один мужчина не танцевал со своей женой и ни одна супружеская пара не садилась одновременно за стол при игре.
В 7х и 8х классах среди 33-х человек со всеми задачами типа "Кто есть кто?" справились 18 человек, среди которых 8 девочек и 10 мальчиков.
Результаты решения логических задач учащимися 7-го и 8-го классов представлены на рисунке:
Из рисунка видно, что 55 % учащихся справились со всеми задачами, первой задачей -91 %, успешно решили вторую задачу- 67%, и последняя задача оказалась для ребят самой сложной и с нею справилось всего 58% .
Анализируя полученные результаты, в целом можно сказать, что лучше с решением логических задач справились учащиеся 7-го и 8 -го классов. Ученики 5-го и 6-го класса показали хуже результаты, возможно причиной этому является, что для решения данного вида задач требуется хорошее знание математики, ученики 5х классов пока ещё не имеют опыта в решении таких задач.
Также я провела соц. опрос среди учащихся 5-8 классов. Всем задала вопрос: «Какие задачи легче решать: математические или логические? В опросе участвовали 15 человек. 10 человек ответили – математические, 3-логические, 2- никакие не смогут решить. Результат опроса представлен на рисунке:
На рисунке видно, что математические задачи легче решать 67-ми % опрошенных, логические – 20%, и 13% не смогут решить никакую задачу.
6.Заключение
В данной работе Вы познакомились с логическими задачами. С тем, что такое логика. Вашему вниманию были предложены различные логические задачи, которые помогают развивать логическое и образное мышление.
У любого нормального ребенка есть стремление к познанию, желание проверить себя. Чаще всего способности школьников так и остаются не раскрыты для них самих, они не уверены в своих силах, равнодушны к математике.
Для таких школьников я и предлагаю применять логические задачи. Эти задачи могут быть рассмотрены на кружковых и факультативных занятиях.
Они должны быть доступны, будить сообразительность, овладевать их вниманием, удивлять, пробуждать их к активной фантазии и самостоятельному решению.
Также я считаю, что логика помогает нам в нашей жизни справиться с любыми трудностями, и все что мы делаем, должно быть логически осмысленно и построено.
С логикой и логическими задачами мы сталкиваемся не только в школе на уроках математики, но и на других предметах.
7. Литература
Дорофеев Г.В. Математика 6 класс.-Просвещение,:2013.
Матвеева Г. Логические задачи // Математика. - 1999. № 25. - С. 4-8.
Орлова Е. Методы решения логических задач и задач на числа //
Математика. - 1999. № 26. - С. 27-29.
4. Шарыгин И.Ф. , Шевкин Е.А. Задачи на смекалку.-Москва,:Просвещение,1996.-65с.
Методы решения логических задач
Трошева Наталья, 7 класс
1 . Логика нужна любому специалисту, будь он математик, медик или биолог. Логика – это необходимый инструмент, освобождающий от лишних, ненужных запоминаний, помогающий найти в массе информации то ценное, что нужно человеку. Без логики – это слепая работа.
В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача – это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Особое место в математике занимают задачи, решение которых развивает логическое мышление, что способствует успешному изучению предмета. Эти задачи носят занимательный характер и не требуют большого запаса математических знаний, поэтому они привлекают даже тех учащихся, которые не очень любят математику.
2. Моя учебно- исследовательская работа носит теоретический характер.
Целью работы является знакомство с разными видами логических задач, алгоритмом и методами их решения.
Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:
1.изученить литературу с целью ознакомления с разными видами логических задач и методами их решения,
2. применить данные методы к решению разного вида логических задач, 3.подобрать логические задачи, решаемые определенным методом.
Объект исследования – логические задачи в программе по математике в образовательной школе.
Предмет исследования – разнообразие методов решения логических задач.
Методы исследования:
анализ и синтез, сравнение.
3. Решение многих логических задач связано с рассмотрением нескольких конечных множеств с одинаковым числом элементов, между которыми требуется установить соответствие. При решении таких задач удобно использовать алгоритм решения
При решении логических задач мы используем следующий алгоритм:
1)Определение содержания текста (выбор объектов или субъектов).
2)Составление полной информации о происшедшем событии.
3)Формирование задачи с помощью исключения части информации или её искажения.
4)Произвольное формулирование задачи. В случае необходимости (недостаток информации, искажение и т.д.) вводится дополнительное логическое условие.
5)Проверка возможности решения с помощью рассуждений. Получение единственного непротиворечивого ответа означает, что условие составлено, верно. Если нет, то необходимо обратиться к дополнительному п.6.
6)В составленном условии не хватает информации, либо имеющаяся информация противоречиво искажена. Изменяем или дополняем условие задачи, после чего необходимо обратиться к п.5.
4. Для развития памяти, обобщения полученных знаний интересны логические тесты. Для решения математических тестов кроме знаний из школьной математики необходимо умение наблюдать, сравнивать, обобщать, проводить аналогии, делать выводы и обосновывать их. В основном, тесты представляют собой задания творческого характера, способствующие развитию логического мышления.
Логические тесты подразделяются на три основные группы:
словесные
символико-графические
комбинированные
Мир символико-графических логических тестов очень разнообразен и богат. Задания представляют собой эффективный способ взаимосвязи алгебраического материала с изображением математических фигур.
Вставьте необходимую фигуру:
? 100
Пример. Вставьте пропущенное слово
математика 3≤x≤6 тема
дециметр 5≤x≤8 ?
Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания. Логика – это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь.
5. Текстовые логические задачи можно условно разделить на следующие виды:
все высказывания истинны;
не все высказывания истинны;
задачи о правдолюбцах и лжецах.
Желательно отрабатывать решение каждого вида задач постепенно, поэтапно.
6. Рассмотрим основные методы решения задач и применение некоторых методов к конкретным задачам.
Метод рассуждений
В методике рассуждений при решении помогают: схемы, чертежи, краткие записи, умение выбирать информацию, умение пользоваться правилом перебора.
Пример.
Лена, Оля, Таня участвовали в беге на 100 м. Лена прибежала на 2 с раньше Оли, Оля прибежала на 1 с позже Тани. Кто прибежал раньше: Таня или Лена и на сколько секунд?
Решение.
Составим схему:
Лена __________
Оля __________ __ __
Таня __________ __
Ответ. Раньше на 1с пришла Лена.
Метод описания предметов и их форм
По описанию можно представить себе предмет, место или событие, которое вам никогда не доводилось видеть. По приметам (признакам) преступника составляют его предполагаемый портрет – фоторобот.
По признакам (симптомам) болезни врач ставит диагноз, т.е. распознаёт болезнь.
Разгадывание многих загадок, шарад, решение кроссвордов основано на узнавании объекта по описанию.
Метод поиска родственных задач
Если задача трудна, то необходимо попытаться найти и решить более простую «родственную» задачу. Это даёт ключ к решению исходной задачи.
Метод «прочёсывания задач» (или «можно считать, что…»)
Можно решать задачу, как придётся, а можно предварительно преобразовать её к удобному для решения виду: переформулировать условие на более удобном языке (например, на языке чертежа), отбросить простые случаи, свести общий случай к частному.
Метод «чётно-нечётно»
Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых данная величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину надо «сконструировать», например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары. Заметить чередование состояния, раскрасить объекты в два цвета и т.д.
Примеры.
Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.
Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку. Количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.
Метод «»Обратного хода»
Если в задаче задана некоторая операция, и она обратима, то можно сделать «обратный» ход от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используют при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.
Метод таблиц
Данный метод заключается в составлении таблицы и внесение в неё данных по условию задачи
Метод граф
Слово «граф» в математической литературе появилось совсем недавно. Понятие графа используется не только в математике, но и в технике и даже в повседневной жизни под разными названиями – схема, диаграмма.
Особенно большую помощь графы оказывают при решении логических задач. Представляя изучаемые объекты в наглядной форме, «графы» помогают держать в памяти многочисленные факты, содержащиеся в условии задачи, устанавливать связь между ними.
Графом называется любое множество точек, некоторые из которых соединены линиями или стрелками. Точки, изображающие элементы множества, называют вершинами графа, соединяющие их отрезки – рёбрами графа. Точки пересечения рёбер графа не являются его вершинами. Во избежание путаницы вершины графа часто изображают не точками, а маленькими кружочками. Рёбра иногда удобнее изображать не прямолинейными отрезками, а дугами.
Метод кругов Эйлера
Этот метод дает еще более наглядное представление о возможном способе изображения условий, зависимости, отношений в логических задачах.
Один из величайших математиков петербургский академик Леонард Эйлер за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились эти круги. Эйлер писал тогда, что «они очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления». Наряду с кругами в подобных задачах применяют прямоугольники и другие фигуры.
Пример.
1. Часть жителей города умеет говорить только по-русски, часть – только по-узбекски и часть умеет говорить на обоих языках. По-узбекски говорят 85%, по-русски 75%. Сколько процентов жителей говорят на обоих языках?
Решение. Составим схему –
В кружке под буквой «У» обозначим жителей, говорящих по-узбекски, под буквой «Р» - по-русски. В общей части кружков обозначим жителей, говорящих на обоих языках. Теперь от всех жителей (100%) отнимем кружок «У» (85%), получим жителей, говорящих только по-русски (15%). А теперь от всех, говорящих по-русски (75%), отнимем эти 15%. Получим говорящих на обоих языках (60%).
Комбинированный метод
Метод, при котором задачу можно решить несколькими способами.
Предложенный материал «Методы решения логических задач » можно использовать как на уроках математики, так и на внеклассных занятиях учащимся 5-9-х классов, учителям с целью подготовки учащихся к решению олимпиадных заданий, интеллектуальным конкурсам «Марафон знаний», региональному конкурсу «Кенгуру».
Познакомившись с разными видами логических задач и методами их решения, считаю, что полученные знания смогу применить в своей учебной деятельности, самостоятельно выбрать тот или иной метод решения к определенной задаче, применить изученные методы к решению проблемы в реальной ситуации.
Вниманию студентов! Курсовая работа выполняется самостоятельно в строгом соответствии с выбранной темой. Дублирование тем не допускается! О выбранной теме убедительная просьба сообщить преподавателю любым удобным способом либо индивидуально, либо списком с указанием ФИО, номера группы и названия курсовой работы .
Примерные темы курсовых работ по дисциплине
«Математическая логика»
1. Метод резолюций и его применение в алгебре высказываний и алгебре предикатов.
2. Аксиоматические системы.
3. Минимальные и кратчайшие КНФ и ДНФ.
4. Применение методов математической логики в теории формальных языков.
5. Формальные грамматики как логические исчисления.
6. Методы решения текстовых логических задач.
7. Системы логического программирования.
8. Логическая игра.
9. Неразрешимость логики первого порядка.
10. Нестандартные модели арифметики.
11. Метод диагонализации в математической логике.
12. Машины Тьюринга и тезис Чёрча.
13. Вычислимость на абаке и рекурсивные функции.
14. Представимость рекурсивных функций и отрицательные результаты математической логики.
15. Разрешимость арифметики сложения.
16. Логика второго порядка и определимость в арифметике.
17. Метод ультрапроизведений в теории моделей.
18. Теорема Гёделя о неполноте формальной арифметики.
19. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории.
20. Интерполяционная лемма Крейга и ее приложения.
21. Простейшие преобразователи информации.
22. Переключательные схемы.
24. Контактные структуры.
25. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам.
26. Применение булевых функций в теории распознавания образов.
27. Математическая логика и системы искусственного интеллекта.
Курсовая работа должна состоять из 2 частей: теоретического содержания темы и набора задач по теме (не менее 10) с решениями. Также допускается написание курсовой работы научно-исследовательского типа с заменой второй части (решения задач) на самостоятельную разработку (например, рабочий алгоритм, программу, образец и т. п.), созданную на основе теоретического материала, рассмотренного в первой части работы.
1) Барвайс Дж. (ред.) Справочная книга по математической логике. - М.: Наука, 1982.
2) Братчиков языков программирования. - М.: Наука, 1975.
3) Булос Дж., ычислимость и логика. - М.: Мир, 1994.
4) Гиндикин логики в задачах. - М., 1972.
5) , Палютин логика. - М.: Наука, 1979.
6) Ершов разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука, 1980.
7) , Тайцлин теории // УМН, 1965, 20, № 4, с. 37-108.
8) Игошин -практикум по математической логике. - М.: Просвещение, 1986.
9) Игошин логика и теория алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991.
10) Ин Ц., спользование Турбо-Пролога. - М.: Мир, 1993.
11) ведение в метаматематику. - М., 1957.
12) атематическая логика. - М.: Мир, 1973.
13) огика в решении проблем. - М.: Наука, 1990.
14) Колмогоров логика: учебное пособие для вузов мат. специальностей / , - М.: Изд-во УРСС, 2004. - 238 с.
15) стория с узелками/ Пер. с англ. - М., 1973.
16) огическая игра/ Пер. с англ. - М., 1991.
17) , Максимова по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. - 4-е изд. - М., 2001.
18) , Сукачева логика. Курс лекций. Задачник-практикум и решения: Учебное пособие. 3-е изд., испр. - СПб.
19) Издательство «Лань», 2008. - 288 с.
20) Лыскова в информатике/ , . - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 160 с.
21) Математическая логика / Под общей редакцией и др. - Минск: Высшая школа, 1991.
22) ведение в математическую логику. - М.: Наука, 1984.
23) Мощенский по математической логике. - Минск, 1973.
24) Никольская с математической логикой. - М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998. - 128 с.
25) Никольская логика. - М., 1981.
26) Новиков математической логики. - М.: Наука, 1973.
27) Рабин теории. В кн.: Справочная книга по математической логике, ч.3. Теория рекурсии. - М.: Наука, 1982. - с. 77-111.
28) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 1. - М.: Мир, 1990.
29) Тей А., Грибомон П. и др. Логический подход к искусственному интеллекту. Т. 2. - М.: Мир, 1998.
30) Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое доказательство теорем. - М.: Наука, 1983.
31) ведение в математическую логику. - М.: Мир, 1960.
32) Шабунин логика. Логика высказываний и логика предикатов: учебное пособие / , отв. ред. ; Чуваш гос. ун-т им. . - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2003. - 56 с.
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
"Многопрофильный лицей" городского поселения "Рабочий поселок Чегдомын" Верхнебуреинского муниципального
района Хабаровского края.
Реферативно-исследовательская работа по математике:
Тема: "Метод математической индукции"
Выполнила: Антонова Светлана
ученица 11"Б" класса
Руководитель: Терентьева О. А.
учитель математики
пгт Чегдомын
1.Введение 3
2.История возникновения
метода математической индукции 4-5
3.Основные результаты исследования 6-14
4.Предпологаемые задания на ЕГЭ 15-18
5.Заключение 19 6.Список литературы 20
Введение:
В начале 10 класса мы приступили к изучению метода математической индукции, еще тогда меня очень заинтересовала эта тема, но только для изучения. Когда же мы начали интенсивную подготовку к сдаче ЕГЭ по математике, задания по этой теме мне довались очень легко и меня заинтересовали возможности данного методы при решении более сложных заданий. Вместе с преподавателем мы решили более подробно и тщательно изучить данный метод и его возможности при работе над проектом по этой теме.
Цель моей работы:
Познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить данный метод при решении математических задач и доказательстве теорем.
Задачи работы:
1. Актуализация практической значимости математических знаний.
2.Развитие нравственных представлений о природе математике, сущности и происхождении математической абстракции.
3. Освоение разных методов и методик работы.
4.Обобщение и систематизация знаний по данной теме.
5. Применение полученных знаний при решении заданий ЕГЭ.
Проблема:
Показать практическую значимость метода математической индукции.
Из истории возникновения метода математической индукции:
Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в XIX веке усиленное внимание к вопросам ее «обоснования», т.е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических примеров, употребляемых при этих доказательствах.
Только к концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, остающейся и до настоящего времени господствующими в практической работе математиков над развитием отдельных математических теорий.
Современная математическая логика дала на этот вопрос, определенный ответ: никакая единая дедуктивная теория не может исчерпать разнообразия проблем теории чисел.
Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов, т.е. полученные путем заключения от частного к общему.
В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, т.е. рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом – частный результат. Индукция применяется при переходе от частных результатов к общим, т.е. является методом, противоположным дедуктивному.
Метод математической индукции можно сравнить с прогрессом. Мы начинаем с низшего, в результате логического мышления приходим к высшему. Человек всегда стремился к прогрессу, к умению развивать свою мысль логически, а значит, сама природа предначертала ему размышлять индуктивно.
Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.
В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется неравенство
Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за…» тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.
Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства.
В математике уже издавна используется индуктивный метод, основанный на том, что то или иное общее утверждение делается на основании рассмотрения лишь нескольких частных случаев. История, например, сохранила следующее высказывание Э й л е р а: « У меня нет для доказательства никаких других доводов, за исключением длинной индукции, которую я провел так далеко, что никоим образом не могу сомневаться в законе, управляющем образованием этих членов… И кажется невозможным, чтобы закон, который, как было обнаружено, выполняется, например, для 20 членов, нельзя было бы наблюдать и для следующих».
Веря в непогрешимость индукции, ученые иногда допускали грубые ошибки.
К середине семнадцатого столетия в математике накопилось немало ошибочных выводов. Стала сильно ощущаться потребность в научно обоснованном методе, который позволял бы делать общие выводы на основании рассмотрения нескольких частных случаев. И такой метод был разработан. Основная заслуга в этом принадлежит французским математикам Паскалю (1623 - 1662) и Декарту, а также швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654-1705).
Основные результаты исследовательского этапа.
В процессе работы я выяснила, что все утверждения можно разделить на общие и частные. Примером общего утверждения является, например, утверждение:«В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны». Частным является, например, утверждение: «Число 136 делится на 2».
Переход от общих утверждений кчастным называется дедук цией. В математике дедуктивный метод мы применяем, например, в рассуждениях такого типа: данная фигура - прямоугольник; у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.
Но наряду с этим в математике часто приходится от частных утверждений переходить к общим, т.е. использовать метод, противоположный дедуктивному, который называется индукцией .
Индуктивный подход обычно начинается с анализа и сравнения, данных наблюдения или эксперимента. Многократность повторения какого-либо факта приводит к индуктивному обобщению. Результат, полученный индукцией, вообще говоря, не является логически обоснованным, доказанным. Известно много случаев, когда утверждения, полученные индукцией, были неверными. Т. е. индукция может привести как к верным, так и к неверным выводам.
Рассмотрим пример . Подставляя в квадратный трехчлен P (х)= х 2 + х+ 41 вместо х натуральные числа 1,2,3,4,5, найдем: Р(1)= 43; Р(2)=47; Р(3)= 53; Р(4)= 61; Р(5)= 71. Все значения данного трехчлена являются простыми числами. Подставляя вместо х числа 0, -1, -2, -3, -4, получим: Р(0)=41; Р(-1)=41; Р(-2)=43; Р(-3)=47; Р(-4) =53. Значения данного трехчлена при указанных значениях переменной х также являются простыми числами. Возникает гипотеза , что значение трехчлена Р(х) является простым числом при любом целом значении х . Но высказанная гипотеза ошибочна , так как, например, Р(41)= 41 2 +41+41=41∙43.
Так как при этом методе вывод делается после разбора нескольких примеров, не охватывающих всех возможных случаев, то этот метод называется неполной или несовершенной индукцией.
Метод неполной индукции, как мы видим, не приводит к вполне надежным выводам, но он полезен тем, что позволяет сформулировать гипотезу , которую потом можно доказать точным математическим рассуждением или опровергнуть. Иными словами, неполная индукция в математике не считается законным методом строгого доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин .
Если же вывод делается на основании разбора всех случаев, то такой метод рассуждений называют полной индукцией.
Вот пример подобного рассуждения. Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число п в пределах 10п этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения: 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7 . Эти шесть равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.
Пусть некоторое утверждение справедливо в нескольких частных случаях. Рассмотрение всех остальных случаев или совсем невозможно, или требует большого числа вычислений. Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще? Этот вопрос иногда удается решить посредством применения особого метода рассуждений, называемого методом математической индукции .В основе данного метода лежит принцип математической индукции .
Если предположение, зависящее от натурального числа n , истинно для n =1 и из того, что оно истинно для n = k (где k -любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n = k +1, то предположение истинно для любого натурального числа n .
Метод математической индукции - есть эффективный метод доказательства гипотез (утверждений), основанный на использовании принципа математической индукции, поэтому он приводит только к верным выводам.
Методом математической индукции можно решать не все задачи , а только задачи, параметризованные некоторой переменной. Эта переменная называется переменной индукции.
Метод математической индукции имеет наибольшее применение в арифметике, алгебре и теории чисел.
Пример 1
. Найти сумму S
п =
Сначала найдем суммы одного, двух и трех слагаемых. Имеем:
S
1
=
; S
2
=
;
S
3
= 
.
В каждом из этих случаев получается дробь, в числителе которой стоит число слагаемых, а в знаменателе - число, на единицу большее числа слагаемых. Это позволяет высказывать гипотезу ( предположение), что при любом натуральном п Sп = .
Для проверки этой гипотезы воспользуемся методом математической индукции.
1) При п = 1 гипотеза верна, так как S 1 = .
2) Предположим, что гипотеза верна при п = k, то есть
S k = 
.
Докажем, что тогда гипотеза должна бытьверной и при п = k + 1, то есть
S k +1 = .
Действительно, S k +1 = S k
S k +1 =
Таким образом, исходя из предположения, что гипотезаS п =
верна при п = k , мы доказали, что она верна и при п = k + 1.
Поэтому формула
S
п
=
верна при любом натуральном п
.
Пример 2. Доказать, что для любого натурального числа п и любого действительного числа а -1 имеет место неравенство, называемое неравенством Бернулли (названо в честь швейцарского математика XVII в. Якова Бернулли): (1+ a ) п ≥ 1 + ап.
1) Если п=1 , то очевидно, что неравенство верно: (1+а) 1 ≥ 1+а.
2) Предположим, что неравенство верно при n = k : (1+ a ) k ≥ 1 + ak .
Умножим обе части последнего неравенства на положительное число 1+ а, в результате чего получим (1+ a ) k +1 ≥ 1+ ak + a + a 2 k .
Отбрасывая последнее слагаемое в правой части неравенства, мы уменьшаем правую часть этого неравенства, а поэтому (1+ a ) k +1 ≥ a (k +1).
Полученный результат показывает, что неравенство верно и при n = k +1.
Обе части доказательства методом математической индукции проведены, и, следовательно, неравенство справедливо при любом натуральном п.
Заметим, что всё решение было разбито на четыре этапа :
1.база (показываем, что доказываемое утверждение верно для некоторых простейших частных случаев (п = 1);
2.предположение (предполагаем, что утверждение доказано для первых к случаев; 3 .шаг (в этом предположении доказываем утверждение для случая п = к + 1 ); 4.вывод (у тверждение верно для всех случаев, то есть для всех п) .
Второй вариант метода математической индукции.
Некоторые утверждения справедливы не для всех натуральных п, а лишь для натуральных п, начиная с некоторого числа р. Такие утверждения иногда удается доказать методом, несколько отличным от того, который описан выше, но вполне аналогичным ему. Состоит он в следующем.
Утверждение верно при всех натуральных значениях п ≥ р, если: 1)оно верно при п =р (а не при п = 1, как было сказано выше);
2)из справедливости этого утверждения при п = k , где k ≥ р (а не k ≥ 1, как сказано выше), вытекает, что оно верно и при п = k + 1.
Пример 1 . Докажите, что для любого справедливо равенство
Обозначим произведение в левой части равенства через , т.е.
мы должны доказать, что .
Для n=1 формула не верна (1- 1) = 1(неверно).
1) Проверим, что эта формула верна для n = 2. , - верно.
2) Пусть формула верна для n = k, т.е. 
3) Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.
По принципу математической индукции равенство справедливо для любого натурального .
Пример 2. Докажите, что 22n + 1 при любом натуральном n3.
1) При n = 3 неравенство верно. 223 + 1.
2) Предположим, что 22k + 1 (k3).
3) Докажем, что 2 2(k + 1) + 1.
В самом деле, 2 = 222(2k + 1) =(2k + 3)(2k - 1) 2k + 3, так как 2k – 10 при любом натуральном значении k. Следовательно, 22n + 1 при всех n3.
Замечание к методу математической индукции.
Доказательство методом математической индукции состоит из двух этапов.
l -й этап. Проверяем, верно ли утверждениепри п = 1 (или прип = р , если речь идет о методе, описанном выше).
2-й э т а п. Допускаем, что утверждение верно прип = k , и,исходя из этого, доказываем, что оно верно и при п = k +1.
Каждый из этих этапов по-своему важен, рассматривая пример P (х)= х 2 + х+41 , мы убедились, что утверждение может быть верным в целом ряде частных случаев, ноневерным вообще. Этот пример убеждает нас в том, насколько важен 2-йэтап доказательства методом математическойиндукции. Опустив его, можно прийти кневерному выводу.
Не следует, однако, думать, что 1-й этап менее важен, чем 2-й. Сейчас я приведу пример, показывающий,к какому нелепому выводу можно прийти, если опустить 1-й этап доказательства.
«Теорем а». При любом натуральном п число 2п +1 четное.
Доказат ел ьств о. Пусть эта теорема верна при п = k , то есть число 2 k + 1 четное. Докажем, что тогда число 2(k +1)+ 1 также четно.
Действительно, 2(k +1)+1 = (2 k +1 )+2.
По предположению число 2 k +1 четно, а поэтому его сумма с четным числом 2 также четна. Теорема «доказана».
Если бы мы не забыли проверить, верна ли наша «теорема» при п = 1, мы не пришли бы к такому «результату».
Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n1
.
Обозначим левую часть неравенства через .
Следовательно, при n=2 неравенство справедливо.
Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем 
, .
Сравнивая и , имеем 
, т.е. 
.
При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому . Но , значит, и .
Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .
Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т.е.
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.
Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано.
Пример 4:
Доказать неравенство
Где x 1 , x 2 ,…., x 3 – произвольные положительные числа.
Это важное неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим n чисел является простым следствием соотношения, доказанного в предыдущем примере. В самом деле, пусть х 1 , х 2 , ..., х n - произвольные положительные числа. Рассмотрим n чисел
Очевидно, что все эти числа положительны и произведение их равно единице. Следовательно, по доказанному в предыдущем примере их сумма больше или равна n, т.е.
≥ n
причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x 1 = х 2 = ... = х n .
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим n чисел часто оказывается полезным при доказательстве других неравенств, при отыскании наименьших и наибольших значений функций.
Применение метода математической индукции к суммированию рядов.
Пример 5. Доказать формулу
, n – натуральное число.
При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.
Предположим, что формула верна при n=k, т.е.
.
Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.
Пример 6. Доказать, что .
Метод математической индукции в решении задач на делимость.
С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.
Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции.
Пример 7 . Если n – натуральное число, то число четное.
При n=1 наше утверждение истинно: - четное число. Предположим, что - четное число. Так как , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность доказана при n=1, из четности выведена четность .Значит, четно при всех натуральных значениях n.
Пример 8. Доказать истинность предложения
A(n)={число 5 кратно 19}, n – натуральное число.
Высказывание А(1)={число кратно 19} истинно.
Предположим, что для некоторого значения n=k
А(k)={число кратно 19} истинно. Тогда, так как
Очевидно, что и A(k+1) истинно. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A(k) истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A(n) истинно при всех значениях n.
Доказательство тождеств
Пример 9 . Доказать, что при любом натуральном n справедливо равенство
Что и требовалось доказать.
Пример 10 . Докажите тождество
1) Проверим, что это тождество верно при n = 1.
2) Пусть тождество верно и для n = k, т.е.
3)Докажем, что это тождество верно и для n = k + 1, т.е.
М – сумма 2) и 3).
Метод математической индукции в решении задач на геометрическую прогрессию
Пример 11. Докажем, что общий член геометрической прогрессии равен
а п = а 1 ∙ q п-1 , методом математической индукции.
п=1:
a 1 = a 1 ∙q 0
a 1 = a 1 ∙1
левая часть = правой части.
п= k :
a k = a 1 ∙q k -1
п = k +1:
a k +1 = a 1 ∙q k
Доказательство:
a k +1 = a k ∙q = a 1 ∙q k -1 ∙ q = a 1 ∙q k ,
что и требовалось доказать.
Оба условия принципа математической индукции выполняются и поэтому формула a n = a 1 ∙ q n -1 верна для любого натурального числа п.
Задачи реальной действительности
Пример 12:
Докажем, что сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна π(n-2).
1. Минимальное число углов - три. Поэтому начнем
доказательство с n = 3. Получаем, что для треугольника
формула дает π (3~2) = π Утверждение для n = 3
справедливо.
2. Допустим, что формула
верна при n=k. Докажем, что
она верна для любого выпуклого
(к +1) -угольника. Разобьем
(к +1) -угольник диагональю
так, что получим k-угольник и треугольник (см. рисунок).
Так как формула верна для треугольника и k-угольника, получаем π (к - 2) + π = π (к -1).
То же мы получим, если в исходную формулу подставить п = к + 1: π (к +1 - 2) = π (к -1).
Предлагаемые задания на ЕГЭ.
Пример 1.
Докажите, что при любом натуральном числе п 9 п+1 - 8п – 9 кратно 16.
1) Проверим, что данное утверждение верно при п=1:
9 2 - 8 – 9 = 81- 8 – 9 = 64, 64 16.
При п=1 утверждение верно.
2) Предположим, что данное утверждение верно, при п = k :
(9 k +1 - 8 k - 9) 16.
3) И, докажем, что данное утверждение верно при п = k +1 :
(9 k +2 – 8 (k +1) - 9) 16.
Доказательство:
9 k +2 - 8(k +1) – 9 =9 k +1 ∙ 9 1 - 8 k – 8 – 9 = 9 k + 1 ∙ 9 - 8 k – 17 =
= 9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64 k + 64 = 9(9 k +1 - 8 k - 9) +64(k +1)=
= 9(9 k +1 – 8 k - 9)+ 64(k +1).
Следовательно: (9(9 k +1 - 8 k - 9) + 64(k -1)) 16.
Итак, оба условия принципа математической индукции выполняются, и поэтому 9 k +1 - 8п-9 кратно 16 при любом натуральном п.
Пример 2.
п выполняется условие:
1 3 +2 3 +3 3 +… n 3 =.
S n = .
Проверим, что данная формула верна при п=1:
Левая часть = 1 3 =1
Правая часть =
Формула верна при п=1.
n = k :
1 3 +2 3 +3 3 +… k 3 =.
S k =.
п= k +1:
1 3 +2 3 +3 3 +…+(k +1) 3 =.
S k +1 = .
Доказательство:
S k +1 = S k +(k +1) 3
Итак, данная формула верна в двух случаях и доказали, что верна при n = k +1 следовательно она верна при любом натуральном числе п.
Пример 3.
Доказать, что при любом натуральном числе п выполняется условие:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.
.
1) Проверим, что данная формула верна при п=1:
Левая часть = 1∙2∙3=6.
Правая часть = .
6 = 6; условие верно при п=1.
2) Предположим, что данная формула верна при n = k :
1∙2∙3+2∙3∙4+…+ k (k +1)(k +2)=.
S k =.
3) И, докажем, что данная формула верна при n = k +1:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k
+1)(k
+2)(k
+3)=
.
S
k
+1
=.
Доказательство:
Итак, данное условие верно в двух случаях и доказали, что верно при n = k +1, следовательно она верно при любом натуральном числе п.
Пример 4.
Доказать, что любом натуральном п справедливо равенство
1) При п=1 мы получаем верное равенство
2) Сделав предположение индукции, рассмотрим сумму, стоящую в левой части равенства, при n = k +1;
3) Для завершения доказательства заметим, что
Следовательно, равенство справедливо.
Пример 5.
В плоскости проведено п прямых, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через точку. Определить, на сколько частей разбивают плоскость эти прямые.
Нарисовав необходимые чертежи, мы можем записать следующее соответствие между числом п прямых, удовлетворяющих условию задачи, и числом а п частей, на которые разбивают плоскость эти прямые:
Судя по первым членам, последовательность, а п такова, что разности а 2 -а 1 , а 3 -а 2 , а 4 -а 3 ,… составляют арифметическую прогрессию. Если воспользоваться уже разобранным примером, то можно высказать гипотезу, что п прямых, удовлетворяющих условию задачи, разбивают плоскость на
частей. Эта формула легко проверяется для нескольких первых значений п , однако, конечно, из этого не следует еще, что она дает ответ на предложенную задачу. Это утверждение требует дополнительного доказательства методом математической индукции.
Отвлекаясь от проведенного только что «подбора», докажем, что п прямых (из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку) разбивают плоскость на а п частей, где а п вычисляется по формуле.
Очевидно, что при п=1 формула справедлива. Сделав предположение индукции, рассмотрим k +1 прямых, удовлетворяющих условию задачи. Выделив из них произвольным образом k прямых, мы можем сказать, что они делят плоскость на
частей. Присоединим теперь (k +1) -ю прямую. Так как она не параллельна ни одной из предыдущих прямых, то она пересечет все k прямых. Так как она не пройдет ни через одну из точек пересечения предыдущих прямых, то она пройдет по k +1 куску, на которые плоскость уже была разбита, и каждый из этих кусков разделит на две части, т.е. добавится еще k +1 кусков. Следовательно, общее число кусков, на которые плоскость разбивается k +1 прямыми, есть
Доказательство этим завершается.
Заключение
Итак, индукция (от лат. inductio - наведение, побуждение) - одна из форм умозаключения, приём исследования, применяя который от знания отдельных фактов приходят к общим положениям. Индукция бывает полная и неполная. Метод неполной индукции состоит в переходе к универсальной формулировке после проверки истинности частных формулировок для отдельных, но не всех значений n. Применяя полную индукцию, мы лишь тогда считаем себя вправе объявить об истинности универсальной формулировки, когда убедились в её истинности для каждого без исключения значения n. Метод математической индукции – метод доказательства, основанный на принципе математической индукции. Он позволяет в поисках общего закона испытывать гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.
Метод математической индукции является одной из теоретических основ при решении задач на суммирование, доказательстве тождеств, доказательстве и решении неравенств, решении вопроса делимости, при изучении свойств числовых последовательностей, при решении геометрических задач и т. д.
Знакомясь с методом математической индукции, я изучала специальную литературу, консультировалась с педагогом, анализировала данные и решения задач, пользовалась ресурсами Интернета, выполняла необходимые вычисления.
Вывод:
В ходе работы я узнала, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции.
Достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи. Недостатком неполной индукции является то, что порой она приводит к ошибочным выводам.
Обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедилась в необходимости знаний по теме «метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке.
Так же в ходе работы приобрела навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем.
Список литературы.
1.Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс.-М.: Просвещение, 1979г.
2.Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П., Шибасова З. Ф. За страницами учебника математики. Москва: Просвещение, 1996г.
3.Галицкий М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа: методические рекомендации, дидактические материалы.
4.Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницин Ю.П., Шварцбурд С.И. М.: Просвещение, 1990г.
5.Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя М.: Просвещение, 1987г.
6.Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач учебное пособие для 10 класса средней школы – М.: Просвещение,1989г.
