Hetimi i funksionit për lakim. Konveksiteti i funksioneve. Kushti i mjaftueshëm i lakimit

Për të përcaktuar konveksitetin (konkavitetin) e një funksioni në një interval të caktuar, mund të përdoren teoremat e mëposhtme.

Teorema 1. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në interval dhe të ketë një derivat të fundëm. Që një funksion të jetë konveks (konkav) në , është e nevojshme dhe e mjaftueshme që derivati ​​i tij të ulet (rritet) në këtë interval.

Teorema 2. Le të jetë funksioni i përcaktuar dhe i vazhdueshëm së bashku me derivatin e tij në dhe të ketë një derivat të dytë të vazhdueshëm brenda. Për konveksitetin (konkavitetin) e funksionit në të është e nevojshme dhe e mjaftueshme që brenda

Le të vërtetojmë teoremën 2 për rastin e konveksitetit të funksionit.

Nevoja. Le të marrim një pikë arbitrare. Ne zgjerojmë funksionin pranë pikës në një seri Taylor

Ekuacioni i një tangjente me një kurbë në një pikë që ka një abshisë:

Atëherë teprica e kurbës mbi tangjenten me të në pikë është e barabartë me

Kështu, pjesa e mbetur është e barabartë me tepricën e kurbës mbi tangjenten me të në pikën . Për shkak të vazhdimësisë, nëse , pastaj edhe për , që i përkasin një lagjeje mjaft të vogël të pikës , dhe për këtë arsye, padyshim, për ndonjë të ndryshme nga vlera e , që i përket lagjes së specifikuar.

Kjo do të thotë që grafiku i funksionit qëndron mbi tangjenten dhe kurba është konvekse në një pikë arbitrare.

Përshtatshmëria. Lëreni kurbën të jetë konvekse në intervalin . Le të marrim një pikë arbitrare.

Ngjashëm me atë të mëparshëm, ne zgjerojmë funksionin pranë pikës në një seri Taylor

Teprica e kurbës mbi tangjenten me të në pikën që ka abshissa, e përcaktuar nga shprehja është e barabartë me

Meqenëse teprica është pozitive për një lagje mjaftueshëm të vogël të pikës, derivati ​​i dytë është gjithashtu pozitiv. Ndërsa përpiqemi, e marrim atë për një pikë arbitrare .

Shembull. Hetoni për funksionin e konveksitetit (konkavitetit).

Derivati ​​i tij rritet në të gjithë boshtin real, kështu që nga Teorema 1 funksioni është konkav në .

Derivati ​​i dytë i tij , pra, nga teorema 2, funksioni është konkav në .

3.4.2.2 Pikat e lakimit

Përkufizimi. pika e përkuljes grafiku i një funksioni të vazhdueshëm quhet pika që ndan intervalet në të cilat funksioni është konveks dhe konkav.

Nga ky përkufizim rezulton se pikat e lakimit janë pikat e pikës ekstreme të derivatit të parë. Kjo nënkupton pohimet e mëposhtme për kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme të lakimit.

Teorema (kushti i domosdoshëm i lakimit). Në mënyrë që një pikë të jetë një pikë lakimi e një funksioni dy herë të diferencueshëm, është e nevojshme që derivati ​​i dytë i saj në këtë pikë të jetë i barabartë me zero ( ) ose nuk ekzistonte.

Teorema (kusht i mjaftueshëm për lakim). Nëse derivati ​​i dytë i një funksioni dy herë të diferencueshëm ndryshon shenjën kur kalon nëpër një pikë të caktuar, atëherë ka një pikë lakimi.

Vini re se derivati ​​i dytë mund të mos ekzistojë në vetë pikën.

Interpretimi gjeometrik i pikave të përkuljes është ilustruar në fig. 3.9

Në një fqinjësi të një pike, funksioni është konveks dhe grafiku i tij shtrihet nën tangjentën e vizatuar në këtë pikë. Në afërsi të një pike, funksioni është konkav dhe grafiku i tij qëndron mbi tangjenten e vizatuar në këtë pikë. Në pikën e lakimit, tangjentja e ndan grafikun e funksionit në rajone të konveksitetit dhe konkavitetit.

3.4.2.3 Ekzaminimi i një funksioni për konveksitetin dhe praninë e pikave të lakimit

1. Gjeni derivatin e dytë.

2. Gjeni pika në të cilat derivati ​​i dytë ose nuk ekziston.

Oriz. 3.9.

3. Shqyrtoni shenjën e derivatit të dytë majtas dhe djathtas të pikave të gjetura dhe nxirrni një përfundim për intervalet e konveksitetit ose konkavitetit dhe praninë e pikave të lakimit.

Shembull. Hulumtoni funksionin për konveksitetin dhe praninë e pikave të lakimit.

2. Derivati ​​i dytë është i barabartë me zero në .

3. Derivati ​​i dytë ndryshon shenjën në , kështu që pika është pika e lakimit.

Në intervalin , atëherë funksioni është konveks në këtë interval.

Në intervalin , atëherë funksioni është konkav në këtë interval.

3.4.2.4 Skema e përgjithshme për studimin e funksioneve dhe vizatimin

Kur studioni një funksion dhe vizatoni grafikun e tij, rekomandohet të përdorni skemën e mëposhtme:

1. Gjeni shtrirjen e funksionit.
2. Hetoni funksionin për çift - tek. Kujtojmë se grafiku i një funksioni çift është simetrik në lidhje me boshtin y, dhe grafiku i një funksioni tek është simetrik në lidhje me origjinën.
3. Gjeni asimptota vertikale.
4. Eksploroni sjelljen e një funksioni në pafundësi, gjeni asimptota horizontale ose të zhdrejta.
5. Gjeni ekstremet dhe intervalet e monotonitetit të funksionit.
6. Gjeni intervalet e konveksitetit të funksionit dhe pikat e lakimit.
7. Gjeni pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative.

Studimi i funksionit kryhet njëkohësisht me ndërtimin e grafikut të tij.

Shembull. Funksioni i eksplorimit dhe komplotoni atë.

1. Shtrirja e funksionit - .

2. Funksioni në studim është i barabartë , pra grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin y.

3. Emëruesi i funksionit zhduket në , kështu që grafiku i funksionit ka asimptota vertikale dhe .

Pikat janë pika ndërprerjeje të llojit të dytë, pasi kufijtë majtas dhe djathtas në këto pika priren të .

4. Sjellja e funksionit në pafundësi.

Prandaj, grafiku i funksionit ka një asimptotë horizontale.

5. Ekstremet dhe intervalet e monotonitetit. Gjetja e derivatit të parë

Për , pra, funksioni zvogëlohet në këto intervale.

Për , pra, funksioni rritet në këto intervale.

Për , pra, pika është një pikë kritike.

Gjetja e derivatit të dytë

Meqenëse, atëherë pika është pika minimale e funksionit.

6. Intervalet e konveksitetit dhe pikat e lakimit.

Funksioni në , pra funksioni është konkav në këtë interval.

Funksioni në , do të thotë që funksioni është konveks në këto intervale.

Funksioni nuk zhduket kurrë, kështu që nuk ka pika përkuljeje.

7. Pikat e kryqëzimit me boshtet koordinative.

Ekuacioni , ka një zgjidhje , që nënkupton pikën e prerjes së grafikut të funksionit me boshtin y (0, 1).

Ekuacioni nuk ka zgjidhje, që do të thotë se nuk ka pika të kryqëzimit me boshtin e abshisës.

Duke marrë parasysh hulumtimin e kryer, është e mundur të ndërtohet një grafik i funksionit

Grafiku skematik i një funksioni treguar në fig. 3.10.

Oriz. 3.10.

3.4.2.5 Asimptotat e grafikut të një funksioni

Përkufizimi. Asimptotë grafiku i funksionit quhet drejtëz, e cila ka vetinë që distanca nga pika () në këtë drejtëz të priret në 0 me një largim të pakufizuar të pikës grafike nga origjina.

Mbetet për t'u marrë parasysh konveksiteti, konkaviteti dhe lakimet e grafikut. Le të fillojmë me ushtrimet fizike kaq të dashura nga vizitorët e faqes. Ju lutemi ngrihuni dhe përkuluni përpara ose prapa. Kjo është një fryrje. Tani shtrini krahët përpara jush, pëllëmbët lart dhe imagjinoni se po mbani një trung të madh në gjoks… …epo, nëse trungu nuk ju pëlqen, le të ketë diçka/dikush tjetër =) Kjo është konkaviteti . Në disa burime ka terma sinonime fryrje lart Dhe fryrje poshtë, por unë jam përkrahës i emrave të shkurtër.

! Kujdes : disa autorë përkufizojnë konveksitetin dhe konkavitetin pikërisht në të kundërtën. Kjo është gjithashtu e vërtetë matematikisht dhe logjikisht, por shpesh krejtësisht e pasaktë nga pikëpamja thelbësore, duke përfshirë edhe në nivelin e kuptimit tonë filistin të termave. Kështu, për shembull, një lente bikonvekse quhet lente "me tuberkula", por jo me "dhëmbje" (bikonkave).
Dhe, të themi, një shtrat "konkav" - ai ende nuk "ngjitet" =) (megjithatë, nëse ngjiteni nën të, atëherë do të flasim tashmë për fryrje; =)) Unë i përmbahem një qasjeje që korrespondon me natyrën shoqatat njerëzore.

Përkufizimi zyrtar i konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut është mjaft i vështirë për një çajnik, kështu që ne kufizohemi në një interpretim gjeometrik të konceptit në shembuj konkretë. Konsideroni grafikun e një funksioni që e vazhdueshme në të gjithë vijën numerike:

Është e lehtë të ndërtohet me transformimet gjeometrike, dhe, me siguri, shumë lexues janë të vetëdijshëm se si merret nga një parabolë kub.

Le të thërrasim akord segmenti që lidh dy pika të ndryshme grafike.

Grafiku i funksionit është konveks në një interval, nëse ndodhet jo më pakçdo akord të intervalit të dhënë. Linja eksperimentale është konvekse në , dhe, padyshim, këtu çdo pjesë e grafikut ndodhet SIPER të sajën akord. Duke ilustruar përkufizimin, kam vizatuar tre segmente të zeza.

Funksionet e grafikut janë konkave në intervalin, nëse ndodhet jo me lartçdo akord të këtij intervali. Në këtë shembull, pacienti është konkav në hendek. Një palë segmente kafe tregon bindshëm se këtu dhe çdo pjesë e grafikut ndodhet nën të akord.

Pika në grafik ku ndryshon nga konveks në konkave ose konkaviteti në konveksitet quhet pika e përkuljes. Ne e kemi atë në një kopje të vetme (rasti i parë) dhe, në praktikë, pika e lakimit mund të nënkuptojë si pikën e gjelbër që i përket vetë rreshtit, ashtu edhe vlerën "x".

E RËNDËSISHME! Lakimet në grafik duhet të përshkruhen mjeshtërisht dhe shumë qetë. Të gjitha llojet e "parregullsive" dhe "vrazhdësive" janë të papranueshme. Është çështje pak praktikë.

Qasja e dytë për përkufizimin e konveksitetit / konkavitetit në teori jepet përmes tangjenteve:

Konveks në intervalin që ndodhet grafiku jo me lart tangjente e tërhequr ndaj saj në një pikë arbitrare të intervalit të caktuar. Konkave e njëjta gjë në grafikun e intervalit - jo më pakçdo tangjente në këtë interval.

Hiperbola është konkave në interval dhe konveks në:

Kur kalon përmes origjinës, konkaviteti ndryshon në konveksitet, por pika MOS MOS KONSIDERON pika e lakimit, që nga funksioni nuk është përcaktuar brenda saj.

Deklarata dhe teorema më rigoroze mbi këtë temë mund të gjenden në tekstin shkollor, dhe kalojmë në pjesën e pasur praktike:

Si të gjeni intervalet konvekse, intervalet e konkavitetit
dhe pikat e lakimit të grafikut?

Materiali është i thjeshtë, stencil dhe strukturor përsëritet studimi i një funksioni për një ekstrem.

Konveksiteti/konkaviteti i grafikut karakterizon derivati ​​i dytë funksione.

Le të jetë funksioni dy herë i diferencueshëm në një interval. Pastaj:

– nëse derivati ​​i dytë është në interval, atëherë grafiku i funksionit është konveks në intervalin e dhënë;

– nëse derivati ​​i dytë është në interval, atëherë grafiku i funksionit është konkav në intervalin e dhënë.

Në kurriz të shenjave të derivatit të dytë, një shoqatë prehistorike shëtit nëpër hapësirat e institucioneve arsimore: "-" tregon se "uji nuk mund të derdhet në grafikun e funksionit" (fryrje),
dhe "+" - "i jep një mundësi të tillë" (konkaviteti).

Kusht i domosdoshëm për lakimin

Nëse ka një lakim në grafikun e funksionit në pikë, pastaj:
ose vlera nuk ekziston(le ta kuptojmë, lexojmë!).

Kjo frazë nënkupton se funksioni e vazhdueshme në një pikë dhe në rastin është dy herë i diferencueshëm në disa nga lagjet e tij.

Domosdoshmëria e kushtit sugjeron që e kundërta nuk është gjithmonë e vërtetë. Domethënë nga barazia (ose mosekzistenca e vlerës) ende për të mos qenë ekzistenca e një lakimi të grafikut të funksionit në pikën . Por në të dyja situatat ata thërrasin pika kritike e derivatit të dytë.

Kushti i mjaftueshëm i lakimit

Nëse derivati ​​i dytë ndryshon shenjën kur kalon nëpër një pikë, atëherë në këtë pikë ka një lakim në grafikun e funksionit.

Pikat e lakimit (një shembull tashmë është plotësuar) mund të mos jenë fare, dhe në këtë kuptim, disa mostra elementare janë tregues. Le të analizojmë derivatin e dytë të funksionit:

Përftohet një funksion konstant pozitiv, d.m.th për çdo vlerë të "x". Faktet që shtrihen në sipërfaqe: parabola është konkave në të gjithë domenet, nuk ka pika lakimi. Është e lehtë të shihet se një koeficient negativ në "kthen" parabolën dhe e bën atë konveks (i cili do të na raportohet nga derivati ​​i dytë - një funksion konstant negativ).

Funksioni eksponencial është gjithashtu konkav në:

për çdo vlerë të "x".

Natyrisht, nuk ka asnjë pikë lakimi në grafik.

Ne shqyrtojmë grafikun e funksionit logaritmik për konveksitet / konkavitet:

Kështu, dega e logaritmit është konveks në intervalin . Derivati ​​i dytë përcaktohet gjithashtu në intervalin , por konsiderojeni atë ESHTE E NDALUAR, pasi ky interval nuk është i përfshirë në domain funksione . Kërkesa është e qartë - pasi nuk ka grafik logaritmi atje, atëherë, natyrisht, nuk flitet për ndonjë konveksitet / konkavitet / përkulje.

Siç mund ta shihni, gjithçka me të vërtetë të kujton shumë historinë e rritja, zvogëlimi dhe ekstremi i funksionit. Duket si veten time algoritmi i kërkimit të grafikut të funksionitpër konveksitetin, konkavitetin dhe praninë e përkuljeve:

2) Ne jemi në kërkim të vlerave kritike. Për ta bërë këtë, marrim derivatin e dytë dhe zgjidhim ekuacionin. Pikat në të cilat derivati ​​i dytë nuk ekziston, por që përfshihen në domenin e vetë funksionit, konsiderohen gjithashtu kritike!

3) Ne shënojmë në vijën numerike të gjitha pikat e gjetura të ndërprerjes dhe pikat kritike ( as njëra as tjetra nuk mund të rezultojë të jetë - atëherë nuk keni nevojë të vizatoni asgjë (si në një rast shumë të thjeshtë), mjafton të kufizoheni në një koment me shkrim). metoda e intervalit përcaktojmë shenjat në intervalet e fituara. Siç u shpjegua sapo, duhet marrë parasysh vetëm ato intervalet që përfshihen në fushëveprimin e funksionit . Ne nxjerrim përfundime për konveksitetin / konkavitetin dhe pikat e lakimit të grafikut të funksionit. Ne japim një përgjigje.

Mundohuni të aplikoni verbalisht algoritmin për veçoritë . Në rastin e dytë, meqë ra fjala, ekziston një shembull kur nuk ka përkulje të kurbës në pikën kritike. Sidoqoftë, le të fillojmë me detyra pak më të vështira:

Shembulli 1

Zgjidhje:
1) Funksioni është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në të gjithë vijën reale. Shume mire.

2) Gjeni derivatin e dytë. Ju mund të para-kuboni, por është shumë më fitimprurëse për t'u përdorur rregulla diferencimi i funksionit kompleks:

Vini re se , që do të thotë se funksioni është jo në rënie. Edhe pse kjo nuk ka të bëjë me detyrën, është gjithmonë e këshillueshme që t'i kushtoni vëmendje fakteve të tilla.

Gjeni pikat kritike të derivatit të dytë:

- pikë kritike

3) Le të kontrollojmë plotësimin e kushtit të lakimit të mjaftueshëm. Le të përcaktojmë shenjat e derivatit të dytë në intervalet e marra.

Kujdes! Tani po punojmë me derivatin e dytë (dhe jo me një funksion!)

Si rezultat, fitohet një pikë kritike: .

3) Ne shënojmë dy pika ndërprerjeje, një pikë kritike në vijën numerike dhe përcaktojmë shenjat e derivatit të dytë në intervalet e marra:

Ju kujtoj një të rëndësishme metoda e intervalit, e cila mund të përshpejtojë ndjeshëm zgjidhjen. Derivati ​​i dytë doli të jetë shumë i rëndë, kështu që nuk është e nevojshme të llogariten vlerat e tij, mjafton të bëhet një "vlerësim" në çdo interval. Le të zgjedhim, për shembull, një pikë që i përket intervalit të majtë,
dhe bëni zëvendësimin:

Tani le të analizojmë shumëzuesit:

Dy "minuse" dhe "plus" japin një "plus", pra, që do të thotë se derivati ​​i dytë është pozitiv në të gjithë intervalin.

Veprimet e komentuara janë të lehta për t'u kryer me gojë. Për më tepër, është e dobishme të injoroni shumëzuesin krejtësisht - është pozitiv për çdo "x" dhe nuk ndikon në shenjat e derivatit tonë të dytë.

Pra, çfarë informacioni na dha ajo?

Përgjigju: grafiku i funksionit është konkav në dhe konveks në . Në origjinë (është e qartë se) ka një lakim në grafik.

Kur kalon nëpër pika, derivati ​​i dytë gjithashtu ndryshon shenjë, por ato nuk konsiderohen pika lakimi, pasi funksioni vuan në to. pushime pafund.

Në shembullin e analizuar, derivati ​​i parë na tregon për rritjen e funksionit në tërësi domenet. Ajo do të jetë gjithmonë një freebie i tillë =) Përveç kësaj, prania e tre asimptotë. Janë marrë shumë të dhëna, të cilat bëjnë të mundur paraqitjen me një shkallë të lartë besueshmërie pamjen grafike. Tek grumbulli, funksioni është gjithashtu tek. Bazuar në faktet e vërtetuara, përpiquni të skiconi një draft. Foto në fund të mësimit.

Detyra për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 6

Shqyrtoni grafikun e funksionit për konveksitet, konkavitet dhe gjeni pikat e lakimit të grafikut, nëse ato ekzistojnë.

Nuk ka asnjë vizatim në mostër, por nuk është e ndaluar të parashtrohet një hipotezë;)

Ne bluajmë materialin pa numëruar pikat e algoritmit:

Shembulli 7

Shqyrtoni grafikun e funksionit për konveksitet, konkavitet dhe gjeni pikat e lakimit, nëse ka.

Zgjidhje: funksioni zgjat hendek i pafund në pikën.

Si zakonisht, gjithçka është në rregull me ne:

Derivatet nuk janë më të vështirat, gjëja kryesore është të jeni të kujdesshëm me "flokët" e tyre.
Në marafetin e induktuar, gjenden dy pika kritike të derivatit të dytë:

Le të përcaktojmë shenjat në intervalet e marra:

Në pikën ka një lakim të grafikut, le të gjejmë ordinatën e pikës:

Kur kalon nëpër një pikë, derivati ​​i dytë nuk ndryshon shenjë, prandaj, NUK ka lakim në grafikun në të.

Përgjigju: intervalet e konveksitetit: ; intervali i konkavitetit: ; pika e lakimit: .

Konsideroni shembujt e fundit me zile dhe bilbila shtesë:

Shembulli 8

Gjeni intervalet e konveksitetit, konkavitetit dhe pikave të lakimit të një grafiku

Zgjidhje: me vendndodhje domenet nuk ka probleme të veçanta:
, dhe funksioni pëson ndërprerje në pika.

Le të shkojmë në rrugën e rrahur:

- pikë kritike.

Le të përcaktojmë shenjat, duke marrë parasysh intervalet vetëm nga fushëveprimi i funksionit:

Në pikën që ka një lakim të grafikut, ne llogarisim ordinatën:

Kur shqyrtojmë një funksion dhe ndërtojmë grafikun e tij, në njërën nga fazat përcaktojmë pikat e lakimit dhe intervalet e konveksitetit. Këto të dhëna, së bashku me intervalet e rritjes dhe uljes, na lejojnë të paraqesim skematikisht grafikun e funksionit në studim.

Ajo që vijon supozon se ju njihni deri në një rend të caktuar dhe lloje të ndryshme.

Le të fillojmë studimin e materialit me përkufizimet dhe konceptet e nevojshme. Më pas, ne shprehim marrëdhënien midis vlerës së derivatit të dytë të një funksioni në një interval të caktuar dhe drejtimit të konveksitetit të tij. Pas kësaj, le të kalojmë te kushtet që na lejojnë të përcaktojmë pikat e lakimit të grafikut të funksionit. Në tekst do të japim shembuj tipikë me zgjidhje të detajuara.

Navigimi i faqes.

Konveksiteti, konkaviteti i një funksioni, pika e lakimit.

Përkufizimi.

konveks poshtë në intervalin X, nëse grafiku i tij ndodhet jo më i ulët se tangjentja ndaj tij në çdo pikë të intervalit X.

Përkufizimi.

Funksioni i diferencueshëm quhet konveks në intervalin X, nëse grafiku i tij nuk është më i lartë se tangjentja ndaj tij në çdo pikë të intervalit X.

Një funksion konveks lart quhet shpesh konveks, dhe konveks poshtë - konkave.

Shikoni vizatimin që ilustron këto përkufizime.

Përkufizimi.

Pika quhet pika e lakimit të grafikut të funksionit y \u003d f (x) nëse në një pikë të caktuar ka një tangjente me grafikun e funksionit (ai mund të jetë paralel me boshtin Oy) dhe ekziston një fqinjësi e tillë e pikës brenda së cilës majtas dhe djathtas pika M grafiku i funksionit ka drejtime të ndryshme konveksiteti.

Me fjalë të tjera, pika M quhet pikë e lakimit të grafikut të një funksioni nëse në këtë pikë ka një tangjente dhe grafiku i funksionit ndryshon drejtimin e konveksitetit, duke kaluar nëpër të.

Nëse është e nevojshme, referojuni seksionit për të kujtuar kushtet për ekzistencën e një tangjente jo vertikale dhe vertikale.

Figura më poshtë tregon disa shembuj të pikave të përkuljes (të shënuara me pika të kuqe). Vini re se disa funksione mund të mos kenë pika lakimi, ndërsa të tjerët mund të kenë një, disa ose pafundësisht shumë pika lakimi.

Gjetja e intervaleve të konveksitetit të një funksioni.

Ne formulojmë një teoremë që na lejon të përcaktojmë intervalet e konveksitetit të një funksioni.

Teorema.

Nëse funksioni y=f(x) ka një derivat të dytë të fundëm në intervalin X dhe nëse pabarazia (), atëherë grafiku i funksionit ka një konveksitet të drejtuar poshtë (lart) në X.

Kjo teoremë ju lejon të gjeni intervalet e konkavitetit dhe konveksitetit të një funksioni, ju duhet vetëm të zgjidhni pabarazitë dhe, përkatësisht, në fushën e përcaktimit të funksionit origjinal.

Duhet të theksohet se pikat në të cilat është përcaktuar funksioni y=f(x) dhe derivati ​​i dytë nuk ekziston do të përfshihen në intervalet e konkavitetit dhe konveksitetit.

Le ta trajtojmë këtë me një shembull.

Shembull.

Gjeni intervalet në të cilat grafiku i funksionit ka një konveksitet të drejtuar lart dhe një konveksitet të drejtuar nga poshtë.

Zgjidhje.

Fusha e një funksioni është tërësia e numrave realë.

Le të gjejmë derivatin e dytë.

Fusha e përkufizimit të derivatit të dytë përkon me domenin e përkufizimit të funksionit origjinal, prandaj, për të gjetur intervalet e konkavitetit dhe konveksitetit, mjafton të zgjidhen dhe përkatësisht.

Prandaj, funksioni është konveks poshtë në interval dhe konveks lart në interval.

Ilustrim grafik.

Një pjesë e grafikut të funksionit në intervalin konveks tregohet me blu, në intervalin e konkavitetit - me të kuqe.

Tani merrni parasysh një shembull ku domeni i derivatit të dytë nuk përkon me domenin e funksionit. Në këtë rast, siç e kemi vërejtur tashmë, pikat e fushës së përkufizimit në të cilat nuk ka derivat të dytë të fundëm duhet të përfshihen në intervalet e konveksitetit dhe (ose) konkavitetit.

Shembull.

Gjeni intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut të funksionit.

Zgjidhje.

Le të fillojmë me qëllimin e funksionit:

Le të gjejmë derivatin e dytë:

Fusha e derivatit të dytë është bashkësia . Siç mund ta shihni, x=0 është në domenin e funksionit origjinal, por jo në domenin e derivatit të dytë. Mos harroni për këtë pikë, do të duhet të përfshihet në intervalin e konveksitetit dhe (ose) konkavitetit.

Tani zgjidhim pabarazitë dhe në domenin e funksionit origjinal. E aplikueshme . Numëruesi i shprehjes shkon në zero në ose , emëruesi - në x = 0 ose x = 1. Ne i vizatojmë këto pika në mënyrë skematike në vijën numerike dhe zbulojmë shenjën e shprehjes në secilin nga intervalet e përfshira në domenin e përkufizimit të funksionit origjinal (ajo tregohet nga zona e hijezuar në vijën e poshtme të numrave). Një vlerë pozitive është një shenjë plus, një vlerë negative është një shenjë minus.

Në këtë mënyrë,

Dhe

Prandaj, duke përfshirë pikën x=0, marrim përgjigjen.

Në grafiku i funksionit ka një konveksitet të drejtuar nga poshtë, me - fryrje e drejtuar lart.

Ilustrim grafik.

Një pjesë e grafikut të funksionit në intervalin konveks tregohet me blu, në intervalet e konkavitetit - me të kuqe, vija e zezë me pika është asimptota vertikale.

Kushtet e nevojshme dhe të mjaftueshme për një lakim.

Kusht i domosdoshëm për një lakim.

Le të formulojmë kusht i domosdoshëm për lakimin grafiku i funksionit.

Le të ketë grafiku i funksionit y=f(x) një lak në një pikë dhe të ketë një derivat të dytë të vazhdueshëm për , atëherë barazia është e vërtetë.

Nga ky kusht rezulton se abshisat e pikave të lakimit duhet të kërkohen midis atyre në të cilat zhduket derivati ​​i dytë i funksionit. POR, ky kusht nuk është i mjaftueshëm, d.m.th., jo të gjitha vlerat në të cilat derivati ​​i dytë është i barabartë me zero janë abshisat e pikave të lakimit.

Duhet të theksohet gjithashtu se, sipas përcaktimit të pikës së lakimit, kërkohet ekzistenca e një vije tangjente, ajo mund të jetë edhe vertikale. Çfarë do të thotë kjo? Dhe kjo do të thotë si vijon: abshisat e pikave të lakimit mund të jenë gjithçka nga domeni i funksionit, për të cilin Dhe . Zakonisht këto janë pikat në të cilat emëruesi i derivatit të parë zhduket.

Kushti i parë i mjaftueshëm për një përkulje.

Pasi janë gjetur të gjitha që mund të jenë abshisa të pikave të lakimit, duhet të përdorni kushti i parë i mjaftueshëm për lakimin grafiku i funksionit.

Le të jetë funksioni y=f(x) i vazhdueshëm në pikën , të ketë një tangjente (mund të jetë vertikale) në të dhe le të ketë ky funksion një derivat të dytë në ndonjë fqinjësi të pikës . Atëherë, nëse brenda kësaj lagje në të majtë dhe në të djathtë të , derivati ​​i dytë ka shenja të ndryshme, atëherë është pika e lakimit të grafikut të funksionit.

Siç mund ta shihni, kushti i parë i mjaftueshëm nuk kërkon ekzistencën e derivatit të dytë në vetë pikën, por kërkon ekzistencën e tij në afërsi të pikës.

Tani ne përmbledhim të gjithë informacionin në formën e një algoritmi.

Algoritmi për gjetjen e pikave të lakimit të një funksioni.

Gjejmë të gjitha abshisat e pikave të mundshme të lakimit të grafikut të funksionit (ose Dhe ) dhe zbuloni, duke kaluar nëpër të cilën derivati ​​i dytë ndryshon shenjën. Vlera të tilla do të jenë abshisat e pikave të lakimit, dhe pikat që u korrespondojnë do të jenë pikat e lakimit të grafikut të funksionit.

Shqyrtoni dy shembuj të gjetjes së pikave të lakimit për sqarim.

Shembull.

Gjeni pikat e lakimit dhe intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit të grafikut të funksionit.

Zgjidhje.

Fusha e funksionit është tërësia e numrave realë.

Le të gjejmë derivatin e parë:

Fusha e derivatit të parë është gjithashtu i gjithë grupi i numrave realë, pra barazitë Dhe nuk ekzekutohet për asnjë .

Le të gjejmë derivatin e dytë:

Le të zbulojmë se në cilat vlera të argumentit x zhduket derivati ​​i dytë:

Pra, abshisat e pikave të mundshme të lakimit janë x=-2 dhe x=3 .

Tani mbetet të kontrollojmë, me anë të një testi të mjaftueshëm lakimi, në cilën prej këtyre pikave derivati ​​i dytë ndryshon shenjën. Për ta bërë këtë, vendosni pikat x=-2 dhe x=3 në boshtin real dhe, si në Metoda e intervalit të përgjithësuar, vendosim shenjat e derivatit të dytë mbi çdo interval. Në çdo interval, drejtimi i konveksitetit të grafikut të funksionit tregohet në mënyrë skematike me harqe.

Derivati ​​i dytë ndryshon shenjën nga plus në minus duke kaluar në pikën x=-2 nga e majta në të djathtë dhe ndryshon shenjën nga minus në plus duke kaluar përmes x=3. Prandaj, edhe x=-2 edhe x=3 janë abshisat e pikave të lakimit të grafikut të funksionit. Ato korrespondojnë me pikat e grafikut dhe .

Duke parë përsëri boshtin real dhe shenjat e derivatit të dytë në intervalet e tij, mund të konkludojmë për intervalet e konveksitetit dhe konkavitetit. Grafiku i funksionit është konveks në interval dhe konkav në intervalet dhe .

Ilustrim grafik.

Një pjesë e grafikut të funksionit në intervalin konveks tregohet me blu, në intervalet e konkavitetit - me të kuqe, pikat e lakimit tregohen si pika të zeza.

Shembull.

Gjeni abshisat e të gjitha pikave të lakimit të një grafiku funksioni .

Zgjidhje.

Fusha e këtij funksioni është tërësia e numrave realë.

Le të gjejmë derivatin.

Derivati ​​i parë, ndryshe nga funksioni origjinal, nuk përcaktohet në x=3. Por Dhe . Prandaj, në pikën me abshisën x=3, ka një tangjente vertikale me grafikun e funksionit origjinal. Pra x=3 mund të jetë abshisa e pikës së lakimit të grafikut të funksionit.

Ne gjejmë derivatin e dytë, fushën e tij të përkufizimit dhe pikat në të cilat ai zhduket:

Ne morëm dy abshisa të tjera të mundshme të pikave të lakimit. Shënojmë të tri pikat në vijën numerike dhe përcaktojmë shenjën e derivatit të dytë në secilin nga intervalet e fituara.

Derivati ​​i dytë ndryshon shenjën, duke kaluar nëpër secilën nga pikat, prandaj, ato janë të gjitha abshisa të pikave të lakimit.

Ilustrim grafik.

Pjesët e grafikut të funksionit në intervalet konvekse tregohen me blu, në intervalet e konkavitetit - me të kuqe, pikat e përkuljes tregohen si pika të zeza.

Kushti i parë i mjaftueshëm për lakimin e grafikut të funksionit lejon përcaktimin e pikave të lakimit dhe nuk kërkon ekzistencën e një derivati ​​të dytë në to. Prandaj, kushti i parë i mjaftueshëm mund të konsiderohet universal dhe më i përdorur.

Tani formulojmë dy kushte më të mjaftueshme për lakimin, por ato janë të zbatueshme vetëm nëse ka një derivat të fundëm në pikën e lakimit deri në një rend të caktuar.

Kushti i dytë i mjaftueshëm për një lakim.

Nëse , a , atëherë abshisa e pikës së lakimit të grafikut të funksionit y=f(x) x=3 është e ndryshme nga zero.

Natyrisht, vlera e derivatit të tretë është jo zero për çdo x, duke përfshirë x=3. Prandaj, sipas kushtit të dytë të mjaftueshëm për lakimin e grafikut të funksionit, pika është një pikë lakimi.

Ilustrim grafik.

Kushti i tretë i mjaftueshëm për një lakim.

Le të , dhe , atëherë nëse n është numër çift, atëherë është abshisa e pikës së lakimit të grafikut të funksionit y=f(x) .

Shembull.

Gjeni pikat e lakimit të grafikut të një funksioni .

Zgjidhje.

Funksioni përcaktohet në të gjithë grupin e numrave realë.

Le të gjejmë derivatin e tij: . Natyrisht, ai është përcaktuar gjithashtu për të gjithë x real, kështu që ka një tangjente jo vertikale në çdo pikë të grafikut të saj.

Le të përcaktojmë vlerat e x në të cilat zhduket derivati ​​i dytë.

Kështu, në pikën me abshisën x=3 mund të ketë një lakim në grafikun e funksionit. Për t'u siguruar që x=3 është me të vërtetë abshisa e pikës së lakimit, përdorim kushtin e tretë të mjaftueshëm.

Sipas kushtit të tretë të mjaftueshëm për lakimin e grafikut të funksionit, kemi n=4 (zhduket derivati ​​i pestë) - madje, pra x=3 është abshisa e pikës së lakimit dhe i përgjigjet pikës së grafikut të funksionit ( 3; 1).

Ilustrim grafik.

Një pjesë e grafikut të funksionit në intervalin konveks tregohet me blu, në intervalin e konkavitetit - me të kuqe, pika e përkuljes tregohet si një pikë e zezë.

Skema e përgjithshme e studimit të funksionit dhe e ndërtimit të një grafiku.
1. Hetimi i funksionit për konveksitet dhe konkavitet.

1. 
   
2. 
   Asimptotat e grafikut të një funksioni.

Prezantimi.

NË kursi shkollor Matematikanë, ju tashmë jeni përballur me nevojën për të hartuar grafikët e funksioneve. Në , keni përdorur metodën pikë për pikë. Duhet të theksohet se është e thjeshtë në koncept dhe relativisht shpejt të çon te qëllimi. Në rastet kur funksioni është i vazhdueshëm dhe ndryshon mjaft mirë, kjo metodë mund të sigurojë gjithashtu shkallën e nevojshme të saktësisë së paraqitjes grafike. Për këtë ju duhet të merrni më shumë pika për të arritur një dendësi të caktuar të vendosjes së tyre.

Tani le të supozojmë se funksioni në disa vende ka veçori në "sjelljen" e tij: ose vlerat e tij ndryshojnë ndjeshëm diku në një zonë të vogël, ose ka ndërprerje. Pjesët më domethënëse të grafikut mund të mos zbulohen në këtë mënyrë.

Kjo rrethanë zvogëlon vlerën e metodës së ndërtimit të një grafiku "nga pika".

Ekziston një mënyrë e dytë për të vizatuar grafikët, bazuar në studimin analitik të funksioneve. Krahasohet në mënyrë të favorshme me metodën e konsideruar në kursin e matematikës shkollore.

1. Hetimi i një funksioni për konveksitetin dhe konkavitetin .

Lëreni funksionin
është i diferencueshëm në intervalin (a, c). Pastaj ka një tangjente me grafikun e funksionit në çdo pikë
ky grafik (
), dhe tangjentja nuk është paralele me boshtin OY, pasi pjerrësia e saj është e barabartë me
, sigurisht.

RRETH
përkufizim Do të themi se grafiku i funksionit
në (a, c) ka një lëshim që tregon poshtë (lart) nëse ndodhet jo poshtë (jo sipër) ndonjë tangjente me grafikun e funksionit në (a, c).

a) lakorja konkave b) kurba konvekse

Teorema 1 (kusht i domosdoshëm për konveksitetin (konkavitetin) e kurbës).

Nëse grafiku i një funksioni dy herë të diferencueshëm është një kurbë konvekse (konkave), atëherë derivati ​​i dytë në intervalin (a, c) është negativ (pozitiv) në këtë interval.

Teorema 2(kusht i mjaftueshëm për konveksitetin (konkavitetin) e kurbës).

Nëse funksioni është dy herë i diferencueshëm në (a, b) dhe
(
) në të gjitha pikat e këtij intervali, atëherë kurba që është grafiku i funksionit është konveks (konkave) në këtë interval.

1. 
   Pikat e lakimit të grafikut të funksionit.

Përkufizimi Pika
quhet pika e lakimit të grafikut të funksionit, nëse në pikë
grafiku ka një tangjente, dhe ka një fqinjësi të tillë të pikës , brenda të cilit grafiku i funksionit majtas dhe djathtas të pikës ka drejtime të ndryshme konveksiteti.

RRETH është e qartë se në pikën e lakimit tangjentja kryqëzon grafikun e funksionit, pasi në njërën anë të kësaj pike grafiku shtrihet mbi tangjenten, dhe nga ana tjetër - nën të, dmth, në afërsi të pikës së lakimit, grafiku i funksionit kalon gjeometrikisht nga njëra anë e tangjentes në tjetrën dhe "përkulet" nëpër të. Nga këtu vjen emri "pika e përkuljes".

Teorema 3(kushti i domosdoshëm i pikës së lakimit). Le të ketë grafikun e funksionit një lakim në një pikë dhe le të ketë funksioni në një pikë derivat i dytë i vazhdueshëm. Pastaj
.
Jo çdo pikë për të cilën , është një pikë lakimi. Për shembull, grafiku i funksionit
nuk ka pikë lakimi në (0, 0), megjithëse
në
. Prandaj, barazia me zero e derivatit të dytë është vetëm kusht i nevojshëm lakimi.

Pikat e grafikut për të cilat thirret pikat kritikeII- qytetet.Është e nevojshme të hulumtohet më tej çështja e pranisë së përkuljes në çdo pikë kritike.

Teorema 4(kusht i mjaftueshëm për një pikë lakimi). Le të ketë funksioni një derivat të dytë në ndonjë fqinjësi të pikës. Pastaj, nëse brenda lagjes së caktuar
ka shenja të ndryshme majtas dhe djathtas pikës , atëherë grafiku ka një lakim në pikë .
Koment. Teorema mbetet e vërtetë nëse
ka një derivat të dytë në disa fqinjësi të pikës , me përjashtim të vetë pikës, dhe ka një tangjente me grafikun e funksionit në pikën
. Atëherë, nëse brenda lagjes së treguar ka shenja të ndryshme në të majtë dhe në të djathtë të pikës, atëherë grafiku i funksionit ka një lakim në pikën.
Skema e studimit të funksionit për konveksitetin, konkavitetin, pikat e lakimit.

Shembull. Funksioni i eksplorimit
konveksiteti, konkaviteti, pikat e përkuljes.
1.

2.
,
=

3. nuk ekziston në

	)	1	(1, +)
	-		+
		1

1. 
   Asimptotat e grafikut të një funksioni.

Kur studiohet sjellja e një funksioni në
ose afër pikave të ndërprerjes së llojit të 2-të, shpesh rezulton se grafiku i një funksioni i afrohet njërës ose tjetrës vijë të drejtë sa të pëlqen. Linja të tilla quhen.

RRETH përkufizimi 1. Drejt quhet asimptotë e lakores L nëse distanca nga pika e kurbës në këtë drejtëz tenton në zero ndërsa pika largohet përgjatë kurbës deri në pafundësi. Ekzistojnë tre lloje asimptotash: vertikale, horizontale, të zhdrejtë.

Përkufizimi 2. Drejt
quhet asimptotë vertikale e grafikut të funksionit nëse të paktën njëri nga kufijtë e njëanshëm është i barabartë me
, d.m.th., ose

Për shembull, grafiku i funksionit
ka një asimptotë vertikale
, sepse
, por
.

Përkufizimi 3. Vija e drejtë y \u003d A quhet asimptota horizontale e grafikut të funksionit kur
nëse
.

Për shembull, grafiku i një funksioni ka një asimptotë horizontale y=0, sepse
.

Përkufizimi 4. Drejt
(
) quhet asimptota e zhdrejtë e grafikut të funksionit për
nëse
;

Nëse të paktën një nga kufijtë nuk ekziston, atëherë kurba nuk ka asimptota. Nëse, atëherë këto kufizime duhet të kërkohen veçmas, për dhe
.

Për shembull. Gjeni asimptota të grafikut të një funksioni

; x=0 – asimptotë vertikale

;
.

është asimptota e zhdrejtë.
4. Skema e një studimi të plotë të funksionit dhe vizatimit.

Merrni parasysh mostër diagrami mbi të cilat është e leverdishme të hulumtohet sjellja e funksionit dhe të ndërtohet grafiku i tij.

Shembull. Funksioni i eksplorimit
dhe komplotoni atë.

1., përveç x=-1.

2.
funksion as çift e as tek

-

-



+

+

y

-4


t r.

0

konkluzioni.
Një tipar i rëndësishëm i metodës së konsideruar është se ajo bazohet kryesisht në zbulimin dhe studimin e veçorive karakteristike në sjelljen e kurbës. Vendet ku funksioni ndryshon pa probleme nuk studiohen në detaje dhe nuk ka nevojë për një studim të tillë. Por ato vende ku funksioni ka ndonjë veçori në sjellje i nënshtrohen hulumtimit të plotë dhe paraqitjes më të saktë grafike. Këto veçori janë pikat maksimale, minimale, pikat e ndërprerjes së funksionit etj.

Përcaktimi i drejtimit të konkavitetit dhe lakimeve, si dhe metoda e treguar për gjetjen e asimptotave, bëjnë të mundur studimin e funksioneve edhe më në detaje dhe marrjen e një ideje më të saktë të grafikëve të tyre.

Me një kalkulator në internet, mund të gjeni pikat e lakimit dhe intervalet e konveksitetit të një grafiku funksioni me hartimin e zgjidhjes në Word. Nëse një funksion i dy ndryshoreve f(x1,x2) është konveks, vendoset duke përdorur matricën Hessian.

Rregullat e hyrjes në funksion:

Drejtimi i konveksitetit të grafikut të funksionit. Pikat e lakimit

Përkufizim: Një kurbë y=f(x) quhet konvekse poshtë në intervalin (a; b) nëse shtrihet mbi tangjenten në çdo pikë të këtij intervali.

Përkufizim: Lakorja y=f(x) quhet konvekse lart në intervalin (a; b) nëse shtrihet nën tangjenten në çdo pikë të këtij intervali.

Përkufizim: Intervalet në të cilat grafiku i funksionit është konveks lart ose poshtë quhen intervalet e konveksitetit të grafikut të funksionit.

Konveksiteti poshtë ose lart i lakores, që është grafiku i funksionit y=f(x) , karakterizohet nga shenja e derivatit të dytë të saj: nëse në një interval f''(x) > 0, atëherë kurba është konvekse. poshtë në këtë interval; nëse f''(x)< 0, то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

Përkufizim: Pika e grafikut të funksionit y=f(x) që ndan intervalet e konveksitetit të drejtimeve të kundërta të këtij grafiku quhet pika e lakimit.

Vetëm pikat kritike të llojit të dytë mund të shërbejnë si pika lakimi; pikat që i përkasin domenit të funksionit y = f(x) , në të cilat derivati ​​i dytë f''(x) zhduket ose prishet.

Rregulli për gjetjen e pikave të lakimit të grafikut të funksionit y = f(x)

1. Gjeni derivatin e dytë f''(x) .
2. Gjeni pikat kritike të llojit të dytë të funksionit y=f(x) , d.m.th. pika në të cilën f''(x) zhduket ose prishet.
3. Hulumtoni shenjën e derivatit të dytë f''(x) në intervalet në të cilat pikat kritike të gjetura ndajnë domenin e funksionit f(x) . Nëse, në këtë rast, pika kritike x 0 ndan intervalet e konveksitetit të drejtimeve të kundërta, atëherë x 0 është abshisa e pikës së lakimit të grafikut të funksionit.
4. Llogaritni vlerat e funksionit në pikat e lakimit.

Shembulli 1. Gjeni boshllëqet e konveksitetit dhe pikat e lakimit të lakores së mëposhtme: f(x) = 6x 2 –x 3 .
Zgjidhje: Gjeni f '(x) = 12x - 3x 2 , f ''(x) = 12 - 6x.
Le të gjejmë pikat kritike nga derivati ​​i dytë duke zgjidhur ekuacionin 12-6x=0 . x=2.


f(2) = 6*2 2 - 2 3 = 16
Përgjigje: Funksioni është konveks lart për x∈(2; +∞) ; funksioni është konveks në rënie për x∈(-∞; 2) ; pika e lakimit (2;16) .

Shembulli 2. A ka funksioni pika lakimi: f(x)=x 3 -6x 2 +2x-1

Shembulli 3 . Gjeni intervalet ku grafiku i funksionit është konveks dhe konveks: f(x)=x 3 -6x 2 +12x+4