Raportin e gjejmë sipas progresionit të emëruesit. Progresioni gjeometrik. Shembull zgjidhje. Shuma e termave të një progresion gjeometrik

Formula për anëtarin e n-të të një progresion gjeometrik është një gjë shumë e thjeshtë. Si në kuptim ashtu edhe në përgjithësi. Por ka lloj-lloj problemesh për formulën e anëtarit të n-të - nga ato shumë primitive deri te ato mjaft serioze. Dhe në procesin e njohjes sonë, ne patjetër do t'i konsiderojmë të dy. Epo, le të takohemi?)

Pra, për fillim, në fakt formulën

Këtu është ajo:

b n = b 1 · q n -1

Formula si formulë, asgjë e mbinatyrshme. Duket edhe më e thjeshtë dhe më kompakte se formula e ngjashme për . Kuptimi i formulës është gjithashtu i thjeshtë, si një çizme e ndjerë.

Kjo formulë ju lejon të gjeni ÇDO anëtar të një progresion gjeometrik SIPAS NUMRIT TË TIJ " n".

Siç mund ta shihni, kuptimi është një analogji e plotë me një progresion aritmetik. Ne e dimë numrin n - ne gjithashtu mund të llogarisim termin nën këtë numër. Çfarë duam. Nuk shumëzohet në mënyrë sekuenciale me "q" shumë e shumë herë. Kjo është e gjithë çështja.)

E kuptoj që në këtë nivel pune me progresione, të gjitha sasitë e përfshira në formulë duhet të jenë tashmë të qarta për ju, por e konsideroj detyrën time të deshifroj secilën. Për çdo rast.

Pra, le të shkojmë:

b 1 – së pari pjesëtar i një progresion gjeometrik;

q – ;

n– numri i anëtarit;

b n – e nëntë (nth) pjesëtar i një progresioni gjeometrik.

Kjo formulë lidh katër parametrat kryesorë të çdo progresioni gjeometrik - bn, b 1 , q Dhe n. Dhe rreth këtyre katër figurave kryesore, të gjitha detyrat në progresion rrotullohen.

"Dhe si shfaqet?"- Dëgjoj një pyetje kurioze ... Fillore! Shikoni!

Çfarë është e barabartë me e dyta anëtar i progresionit? Nuk ka problem! Ne shkruajmë drejtpërdrejt:

b 2 = b 1 q

Dhe anëtari i tretë? As problem! Ne e shumëzojmë termin e dytë përsëri nëq.

Si kjo:

B 3 \u003d b 2 q

Kujtoni tani që termi i dytë, nga ana tjetër, është i barabartë me b 1 q dhe zëvendësoni këtë shprehje në barazinë tonë:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Ne marrim:

B 3 = b 1 q 2

Tani le të lexojmë hyrjen tonë në Rusisht: e treta termi është i barabartë me termin e parë të shumëzuar me q in e dyta shkallë. E kuptoni? Ende jo? Mirë, edhe një hap.

Cili është termi i katërt? Te gjitha njesoj! shumohen e mëparshme(d.m.th. termi i tretë) në q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 q 3

Dhe përsëri ne përkthejmë në Rusisht: e katërta termi është i barabartë me termin e parë të shumëzuar me q in e treta shkallë.

etj. Pra, si është ajo? E keni kapur modelin? Po! Për çdo term me çdo numër, numri i faktorëve të barabartë q (d.m.th. fuqia e emëruesit) do të jetë gjithmonë një më pak se numri i anëtarit të dëshiruarn.

Prandaj, formula jonë do të jetë, pa opsione:

b n =b 1 · q n -1

Kjo eshte e gjitha.)

Epo, le të zgjidhim problemet, apo jo?)

Zgjidhja e problemave me formulëntermi i një progresion gjeometrik.

Le të fillojmë, si zakonisht, me një aplikim të drejtpërdrejtë të formulës. Këtu është një problem tipik:

Dihet në mënyrë eksponenciale se b 1 = 512 dhe q = -1/2. Gjeni termin e dhjetë të progresionit.

Sigurisht, ky problem mund të zgjidhet pa asnjë formulë fare. Ashtu si një progresion gjeometrik. Por ne duhet të ngrohemi me formulën e mandatit të n-të, apo jo? Këtu po ndahemi.

Të dhënat tona për aplikimin e formulës janë si më poshtë.

Termi i parë është i njohur. Ky është 512.

b 1 = 512.

Emëruesi i progresionit është gjithashtu i njohur: q = -1/2.

Mbetet vetëm për të kuptuar se me çfarë numri i termit n është i barabartë. Nuk ka problem! A na intereson mandati i dhjetë? Pra, ne zëvendësojmë dhjetë në vend të n në formulën e përgjithshme.

Dhe llogaritni me kujdes aritmetikën:

Përgjigje: -1

Siç mund ta shihni, afati i dhjetë i progresionit doli të ishte me një minus. Nuk është çudi: emëruesi i progresionit është -1/2, d.m.th. negativ numri. Dhe kjo na tregon se shenjat e përparimit tonë alternojnë, po.)

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Dhe këtu është një problem i ngjashëm, por pak më i ndërlikuar për sa i përket llogaritjeve.

Në progresionin gjeometrik, ne e dimë se:

b 1 = 3

Gjeni termin e trembëdhjetë të progresionit.

Gjithçka është e njëjtë, vetëm këtë herë emëruesi i progresionit - irracionale. Rrënja e dy. Epo, nuk ka punë të madhe. Formula është një gjë universale, ajo përballon çdo numër.

Ne punojmë drejtpërdrejt sipas formulës:

Formula, natyrisht, funksionoi ashtu siç duhej, por ... këtu do të varen disa. Çfarë duhet bërë më pas me rrënjën? Si të ngrihet një rrënjë në fuqinë e dymbëdhjetë?

Si-si ... Ju duhet të kuptoni se çdo formulë, natyrisht, është një gjë e mirë, por njohuritë e të gjitha matematikave të mëparshme nuk anulohen! Si të rritet? Po, mbani mend vetitë e gradave! Le të ndryshojmë rrënjën në shkallë thyesore dhe - me formulën e ngritjes së një fuqie në një fuqi.

Si kjo:

Përgjigje: 192

Dhe të gjitha gjërat.)

Cila është vështirësia kryesore në zbatimin e drejtpërdrejtë të formulës së termit të n-të? Po! Vështirësia kryesore është punoni me diploma! Domethënë, fuqizimi i numrave negativë, thyesave, rrënjëve dhe ndërtimeve të ngjashme. Pra, ata që kanë probleme me këtë, një kërkesë urgjente për të përsëritur gradat dhe vetitë e tyre! Përndryshe, ju do të ngadalësoni në këtë temë, po ...)

Tani le të zgjidhim problemet tipike të kërkimit një nga elementët e formulës nëse jepen të gjitha të tjerat. Për zgjidhjen e suksesshme të problemeve të tilla, receta është e vetme dhe e thjeshtë deri në tmerr - shkruani formulënnanëtari në pamje e përgjithshme! Pikërisht në fletore pranë gjendjes. Dhe pastaj, nga gjendja, kuptojmë se çfarë na është dhënë dhe çfarë nuk mjafton. Dhe ne shprehim vlerën e dëshiruar nga formula. Gjithçka!

Për shembull, një problem kaq i padëmshëm.

Termi i pestë i një progresioni gjeometrik me emërues 3 është 567. Gjeni termin e parë të këtij progresioni.

Asgjë e komplikuar. Ne punojmë drejtpërdrejt sipas magjisë.

Shkruajmë formulën e mandatit të n-të!

b n = b 1 · q n -1

Çfarë na jepet? Së pari, është dhënë emëruesi i progresionit: q = 3.

Përveç kësaj, ne jemi të dhënë mandati i pestë: b 5 = 567 .

Gjithçka? Jo! Na jepet edhe numri n! Kjo është një pesë: n = 5.

Shpresoj se tashmë e keni kuptuar se çfarë është në procesverbal b 5 = 567 dy parametra fshihen menjëherë - ky është vetë anëtari i pestë (567) dhe numri i tij (5). Në një mësim të ngjashëm, kam folur tashmë për këtë, por mendoj se nuk është e tepërt të kujtoj këtu.)

Tani ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:

567 = b 1 3 5-1

Ne e konsiderojmë aritmetikën, thjeshtojmë dhe marrim një të thjeshtë ekuacioni linear:

81 b 1 = 567

Ne zgjidhim dhe marrim:

b 1 = 7

Siç mund ta shihni, nuk ka probleme me gjetjen e anëtarit të parë. Por kur kërkon emëruesin q dhe numrat n mund të ketë surpriza. Dhe gjithashtu duhet të përgatiteni për to (surpriza), po.)

Për shembull, një problem i tillë:

Anëtari i pestë i një progresioni gjeometrik me emërues pozitiv është 162, dhe anëtari i parë i këtij progresioni është 2. Gjeni emëruesin e progresionit.

Këtë herë na jepen anëtarët e parë dhe të pestë dhe na kërkohet të gjejmë emëruesin e progresionit. Këtu fillojmë.

Ne shkruajmë formulënnanëtari!

b n = b 1 · q n -1

Të dhënat tona fillestare do të jenë si më poshtë:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nuk ka vlerë të mjaftueshme q. Nuk ka problem! Le ta gjejmë tani.) Ne zëvendësojmë gjithçka që dimë në formulë.

Ne marrim:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Një ekuacion i thjeshtë i shkallës së katërt. Por tani - me kujdes! Në këtë fazë të zgjidhjes, shumë studentë nxjerrin menjëherë rrënjën (të shkallës së katërt) me gëzim dhe marrin përgjigjen. q=3 .

Si kjo:

q4 = 81

q = 3

Por në përgjithësi, kjo është një përgjigje e papërfunduar. Ose më mirë, e paplotë. Pse? Çështja është se përgjigja q = -3 gjithashtu përshtatet: (-3) 4 do të ishte gjithashtu 81!

Kjo është për shkak të ekuacionit të fuqisë x n = a gjithmonë ka dy rrënjë të kundërta në madjen . Plus dhe minus:

Të dyja përshtaten.

Për shembull, zgjidhja (d.m.th. e dyta gradë)

x2 = 9

Për disa arsye nuk jeni të befasuar nga pamja dy rrënjët x=±3? Është e njëjta gjë këtu. Dhe me ndonjë tjetër madje shkalla (e katërta, e gjashta, e dhjeta, etj.) do të jetë e njëjtë. Detaje - në temën rreth

Pra, zgjidhja e duhur do të ishte:

q 4 = 81

q= ±3

Mirë, ne i kemi zbuluar shenjat. Cila është e saktë - plus apo minus? Epo, ne lexojmë përsëri gjendjen e problemit në kërkim të informacion shtese. Ajo, natyrisht, mund të mos ekzistojë, por në këtë problem një informacion i tillë në dispozicion. Në gjendjen tonë thuhet drejtpërdrejt se jepet një progresion me emërues pozitiv.

Pra përgjigja është e qartë:

q = 3

Gjithçka është e thjeshtë këtu. Çfarë mendoni se do të ndodhte nëse deklarata e problemit do të ishte si kjo:

Termi i pestë i progresionit gjeometrik është 162, dhe termi i parë i këtij progresioni është 2. Gjeni emëruesin e progresionit.

Qfare eshte dallimi? Po! Në gjendje asgjë nuk përmendet emëruesi. As direkt e as indirekt. Dhe këtu problemi do të kishte tashmë dy zgjidhje!

q = 3 Dhe q = -3

Po Po! Dhe me plus dhe minus.) Matematikisht, ky fakt do të thotë se ka dy progresione që i përshtaten detyrës. Dhe për secilin - emëruesin e vet. Për argëtim, praktikoni dhe shkruani pesë termat e parë të secilit.)

Tani le të praktikojmë gjetjen e numrit të anëtarit. Kjo është më e vështira, po. Por edhe më kreative.

Duke pasur parasysh një progresion gjeometrik:

3; 6; 12; 24; …

Cili është numri 768 në këtë progresion?

Hapi i parë është i njëjtë: shkruani formulënnanëtari!

b n = b 1 · q n -1

Dhe tani, si zakonisht, ne zëvendësojmë të dhënat e njohura për ne në të. Hm... nuk shkon! Ku është anëtari i parë, ku është emëruesi, ku është gjithçka tjetër?!

Ku, ku ... Pse na duhen sytë? Rrahje qerpikësh? Këtë herë progresioni na jepet drejtpërdrejt në formë sekuencat. A mund ta shohim mandatin e parë? Ne shohim! Kjo është një treshe (b 1 = 3). Po emëruesi? Nuk e shohim ende, por është shumë e lehtë të numërosh. Nëse, sigurisht, e kuptoni.

Këtu kemi parasysh. Drejtpërsëdrejti sipas kuptimit të një progresion gjeometrik: marrim cilindo nga anëtarët e tij (përveç të parës) dhe ndajmë me atë të mëparshëm.

Të paktën kështu:

q = 24/12 = 2

Çfarë dimë tjetër? Ne gjithashtu njohim disa anëtarë të këtij progresioni, të barabartë me 768. Nën një numër n:

b n = 768

Ne nuk e dimë numrin e tij, por detyra jonë është pikërisht ta gjejmë atë.) Pra, ne po kërkojmë. Ne kemi shkarkuar tashmë të gjitha të dhënat e nevojshme për zëvendësim në formulë. Në mënyrë të padukshme.)

Këtu zëvendësojmë:

768 = 3 2n -1

Ne bëjmë ato elementare - i ndajmë të dy pjesët me tre dhe e rishkruajmë ekuacionin në formën e zakonshme: e panjohura në të majtë, e njohura në të djathtë.

Ne marrim:

2 n -1 = 256

Këtu është një ekuacion interesant. Duhet të gjejmë "n". Çfarë është e pazakontë? Po, nuk debatoj. Në fakt, është më e thjeshta. Quhet kështu sepse e panjohura (në këtë rast këtë numër n) qëndron brenda tregues shkallë.

Në fazën e njohjes me një progresion gjeometrik (kjo është klasa e nëntë), ekuacionet eksponenciale nuk mësohen të zgjidhen, po ... Kjo është një temë për shkollën e mesme. Por nuk ka asgjë të tmerrshme. Edhe nëse nuk e dini se si zgjidhen ekuacione të tilla, le të përpiqemi të gjejmë tonën n të udhëhequr nga logjika e thjeshtë dhe sensi i përbashkët.

Fillojmë të diskutojmë. Në të majtë kemi një deuce në një shkallë të caktuar. Nuk e dimë ende se çfarë është saktësisht kjo diplomë, por kjo nuk është e frikshme. Por nga ana tjetër, ne e dimë plotësisht se kjo shkallë është e barabartë me 256! Pra, ne kujtojmë se deri në çfarë mase deuce na jep 256. E mbani mend? Po! NË i teti gradë!

256 = 2 8

Nëse nuk e mbani mend ose me njohjen e shkallëve të problemit, atëherë është gjithashtu në rregull: ne thjesht i ngremë me radhë të dy në katror, ​​në kub, në fuqinë e katërt, të pestën, e kështu me radhë. Përzgjedhja, në fakt, por në këtë nivel, është mjaft e vështirë.

Në një mënyrë apo tjetër, ne do të marrim:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Pra 768 është i nënti anëtar i përparimit tonë. Kjo është ajo, problemi u zgjidh.)

Përgjigje: 9

Çfarë? E mërzitshme? Të lodhur nga elementet? Dakord. Edhe mua. Le të shkojmë në nivelin tjetër.)

Detyra më komplekse.

Dhe tani ne i zgjidhim enigmat më befas. Jo saktësisht super-cool, por në të cilën duhet të punoni pak për të arritur te përgjigjja.

Për shembull, si kjo.

Gjeni termin e dytë të një progresion gjeometrik nëse termi i katërt i tij është -24 dhe termi i shtatë është 192.

Ky është një klasik i zhanrit. Njihen dy anëtarë të ndryshëm të progresionit, por duhet gjetur një anëtar më shumë. Për më tepër, të gjithë anëtarët NUK janë fqinjë. Çfarë ngatërron në fillim, po...

Si në , ne konsiderojmë dy metoda për zgjidhjen e problemeve të tilla. Mënyra e parë është universale. algjebrike. Punon në mënyrë të përsosur me çdo të dhënë burimi. Pra, këtu do të fillojmë.)

Ne pikturojmë çdo term sipas formulës nanëtari!

Gjithçka është saktësisht e njëjtë si me një progresion aritmetik. Vetëm këtë herë po punojmë një tjetër formulë e përgjithshme. Kjo është e gjitha.) Por thelbi është i njëjtë: ne marrim dhe nga ana e tij ne i zëvendësojmë të dhënat tona fillestare në formulën e termit të n-të. Për secilin anëtar - të tyren.

Për mandatin e katërt shkruajmë:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

ka. Një ekuacion është i plotë.

Për mandatin e shtatë shkruajmë:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Në total, janë marrë dy ekuacione për të njëjtin progresion .

Ne mbledhim një sistem prej tyre:

Pavarësisht pamjes së tij të frikshme, sistemi është mjaft i thjeshtë. Mënyra më e dukshme për të zgjidhur është zëvendësimi i zakonshëm. shprehemi b 1 nga ekuacioni i sipërm dhe zëvendësojeni në atë të poshtëm:

Pak ngacmim me ekuacionin e poshtëm (duke reduktuar eksponentët dhe pjesëtuar me -24) jep:

q 3 = -8

Meqë ra fjala, i njëjti ekuacion mund të arrihet në një mënyrë më të thjeshtë! Çfarë? Tani do t'ju tregoj një mënyrë tjetër sekrete, por shumë të bukur, të fuqishme dhe të dobishme për të zgjidhur sisteme të tilla. Sisteme të tilla, në ekuacionet e të cilave ata ulen punon vetëm. Të paktën në një. thirrur metoda e ndarjes së afatit një ekuacion në tjetrin.

Pra, ne kemi një sistem:

Në të dy ekuacionet në të majtë - puna, dhe në të djathtë është vetëm një numër. Kjo është shumë shenjë e mirë.) Le të marrim dhe ... të ndajmë, le të themi, ekuacionin e poshtëm me atë të sipërm! Qe do te thote, pjesëtoni një ekuacion me një tjetër? Shume e thjeshte. Ne marrim ana e majte një ekuacion (më i ulët) dhe ne ndajmë ajo në ana e majte një ekuacion tjetër (sipër). Ana e djathtë është e ngjashme: anën e djathtë një ekuacion ne ndajmë në anën e djathtë një tjetër.

I gjithë procesi i ndarjes duket si ky:

Tani, duke reduktuar gjithçka që zvogëlohet, marrim:

q 3 = -8

Çfarë është e mirë për këtë metodë? Po, sepse në procesin e një ndarjeje të tillë, gjithçka e keqe dhe e papërshtatshme mund të reduktohet në mënyrë të sigurt dhe mbetet një ekuacion krejtësisht i padëmshëm! Kjo është arsyeja pse është kaq e rëndësishme të kesh vetëm shumëzimet në të paktën një nga ekuacionet e sistemit. Nuk ka shumëzim - nuk ka asgjë për të reduktuar, po ...

Në përgjithësi, kjo metodë (si shumë mënyra të tjera jo të parëndësishme të zgjidhjes së sistemeve) meriton edhe një mësim të veçantë. Unë patjetër do ta shikoj nga afër. Një ditë…

Sidoqoftë, pavarësisht se si e zgjidhni sistemin, në çdo rast, tani duhet të zgjidhim ekuacionin që rezulton:

q 3 = -8

Nuk ka problem: nxjerrim rrënjën (kubike) dhe - mbaruam!

Ju lutemi vini re se nuk është e nevojshme të vendosni plus / minus këtu gjatë nxjerrjes. Kemi një rrënjë tek (të tretë) të shkallës. Dhe përgjigja është e njëjtë, po.

Pra, është gjetur emëruesi i progresionit. Minus dy. Mirë! Procesi është duke u zhvilluar.)

Për termin e parë (të themi nga ekuacioni i sipërm) marrim:

Mirë! Ne e dimë termin e parë, ne e dimë emëruesin. Dhe tani kemi mundësinë të gjejmë ndonjë anëtar të progresionit. Përfshirë të dytën.)

Për anëtarin e dytë, gjithçka është mjaft e thjeshtë:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Përgjigje: -6

Pra, ne kemi renditur mënyrën algjebrike të zgjidhjes së problemit. E veshtire? Jo shumë, jam dakord. E gjatë dhe e mërzitshme? Po, patjetër. Por ndonjëherë ju mund të zvogëloni ndjeshëm sasinë e punës. Për këtë ka mënyrë grafike. I vjetër i mirë dhe i njohur për ne nga .)

Le të vizatojmë problemin!

Po! Pikërisht. Përsëri ne përshkruajmë përparimin tonë në boshtin e numrave. Jo domosdoshmërisht nga një vizore, nuk është e nevojshme të ruhen intervale të barabarta midis anëtarëve (që, meqë ra fjala, nuk do të jenë të njëjta, sepse përparimi është gjeometrik!), por thjesht në mënyrë skematike vizatoni sekuencën tonë.

E kam marrë kështu:

Tani shikoni foton dhe mendoni. Sa faktorë të barabartë ndajnë "q". e katërta Dhe i shtati anëtarët? Është e drejtë, tre!

Prandaj, ne kemi të drejtë të shkruajmë:

-24q 3 = 192

Nga këtu tani është e lehtë të gjesh q:

q 3 = -8

q = -2

Kjo është e mrekullueshme, emëruesi është tashmë në xhepin tonë. Dhe tani e shikojmë përsëri figurën: sa emërues të tillë qëndrojnë midis tyre e dyta Dhe e katërta anëtarët? Dy! Prandaj, për të regjistruar marrëdhëniet ndërmjet këtyre anëtarëve, do të ngremë emëruesin në katror.

Këtu shkruajmë:

b 2 · q 2 = -24 , ku b 2 = -24/ q 2

Ne e zëvendësojmë emëruesin tonë të gjetur në shprehjen për b 2, numërojmë dhe marrim:

Përgjigje: -6

Siç mund ta shihni, gjithçka është shumë më e thjeshtë dhe më e shpejtë sesa përmes sistemit. Për më tepër, këtu nuk kishim nevojë të numëronim fare mandatin e parë! Në të gjitha.)

Këtu është një mënyrë-dritë kaq e thjeshtë dhe vizuale. Por ka edhe një pengesë serioze. Menduar? Po! Është i mirë vetëm për pjesë shumë të shkurtra të përparimit. Ato ku distancat midis anëtarëve që na interesojnë nuk janë shumë të mëdha. Por në të gjitha rastet e tjera tashmë është e vështirë të vizatosh një pamje, po... Pastaj ne e zgjidhim problemin në mënyrë analitike, përmes një sistemi.) Dhe sistemet janë një gjë universale. Merreni me çdo numër.

Një tjetër epike:

Termi i dytë i progresionit gjeometrik është 10 më shumë se i pari dhe termi i tretë është 30 më shumë se i dyti. Gjeni emëruesin e progresionit.

Çfarë është e bukur? Aspak! Te gjitha njesoj. Ne përsëri përkthejmë gjendjen e problemit në algjebër të pastër.

1) Ne pikturojmë çdo term sipas formulës nanëtari!

Termi i dytë: b 2 = b 1 q

Termi i tretë: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Nga gjendja e problemit shkruajmë marrëdhëniet ndërmjet anëtarëve.

Leximi i kushtit: "Termi i dytë i një progresion gjeometrik është 10 më shumë se i pari." Ndaloni, kjo është e vlefshme!

Kështu shkruajmë:

b 2 = b 1 +10

Dhe ne e përkthejmë këtë frazë në matematikë të pastër:

b 3 = b 2 +30

Ne morëm dy ekuacione. Ne i kombinojmë ato në një sistem:

Sistemi duket i thjeshtë. Por ka shumë indekse të ndryshëm për shkronjat. Le të zëvendësojmë në vend të anëtarëve të dytë dhe të tretë të shprehjes së tyre nëpërmjet anëtarit dhe emëruesit të parë! Kot, apo çfarë, i kemi lyer?

Ne marrim:

Por një sistem i tillë nuk është më një dhuratë, po ... Si ta zgjidhim këtë? Për fat të keq, magji universale sekrete për të zgjidhur komplekse jolineare Nuk ka sisteme në matematikë dhe nuk mund të ketë. Është fantastike! Por gjëja e parë që duhet t'ju vijë në mendje kur përpiqeni të thyeni një arrë kaq të fortë është ta kuptoni Por a nuk është reduktuar një nga ekuacionet e sistemit në një formë të bukur, gjë që e bën të lehtë, për shembull, shprehjen e njërit prej variablave në terma të një tjetri?

Le të hamendësojmë. Ekuacioni i parë i sistemit është qartësisht më i thjeshtë se i dyti. Do ta torturojmë.) Pse të mos provojmë nga ekuacioni i parë diçka shprehin përmes diçka? Meqenëse duam të gjejmë emëruesin q, atëherë do të ishte më e dobishme për ne të shprehemi b 1 përtej q.

Pra, le të përpiqemi ta bëjmë këtë procedurë me ekuacionin e parë, duke përdorur të vjetrat e mira:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Gjithçka! Këtu jemi shprehur të panevojshme ne ndryshoren (b 1) deri e nevojshme(q). Po, jo shprehja më e thjeshtë e marrë. Një lloj fraksioni ... Por sistemi ynë është i një niveli të mirë, po.)

Tipike. Çfarë të bëjmë - ne e dimë.

Ne shkruajmë ODZ (domosdoshmërisht!) :

q ≠ 1

Ne shumëzojmë gjithçka me emëruesin (q-1) dhe zvogëlojmë të gjitha thyesat:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Ne ndajmë gjithçka me dhjetë, hapim kllapat, mbledhim gjithçka në të majtë:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Ne zgjidhim rezultatin dhe marrim dy rrënjë:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ka vetëm një përgjigje përfundimtare: q = 3 .

Përgjigje: 3

Siç mund ta shihni, mënyra për të zgjidhur shumicën e problemeve për formulën e anëtarit të n-të të një progresion gjeometrik është gjithmonë e njëjtë: lexojmë me kujdes kushti i problemit dhe, duke përdorur formulën e termit të n-të, ne përkthejmë të gjithë informacionin e dobishëm në algjebër të pastër.

Gjegjësisht:

1) E shkruajmë veçmas çdo anëtar të dhënë në problem sipas formulësnanëtari.

2) Nga gjendja e problemit, lidhjen midis anëtarëve e përkthejmë në një formë matematikore. Ne hartojmë një ekuacion ose një sistem ekuacionesh.

3) Ne zgjidhim ekuacionin ose sistemin e ekuacioneve që rezulton, gjejmë parametrat e panjohur të progresionit.

4) Në rast të një përgjigjeje të paqartë, ne lexojmë me kujdes gjendjen e problemit në kërkim të informacionit shtesë (nëse ka). Ne gjithashtu kontrollojmë përgjigjen e marrë me kushtet e ODZ-së (nëse ka).

Dhe tani ne rendisim problemet kryesore që më shpesh çojnë në gabime në procesin e zgjidhjes së problemeve të progresionit gjeometrik.

1. Aritmetika elementare. Veprimet me thyesa dhe numra negativë.

2. Nëse të paktën një nga këto tre pika është problem, atëherë në mënyrë të pashmangshme do të gaboni në këtë temë. Fatkeqësisht... Pra, mos u bëni dembel dhe përsëritni atë që u përmend më lart. Dhe ndiqni lidhjet - shkoni. Ndonjëherë ndihmon.)

Formula të modifikuara dhe të përsëritura.

Dhe tani le të shohim disa probleme tipike të provimit me një paraqitje më pak të njohur të gjendjes. Po, po, e keni marrë me mend! Kjo modifikuar Dhe të përsëritura formulat e anëtarit të n-të. Ne kemi hasur tashmë formula të tilla dhe kemi punuar në softuer. progresion aritmetik. Gjithçka është e ngjashme këtu. Thelbi është i njëjtë.

Për shembull, një problem i tillë nga OGE:

Progresioni gjeometrik jepet me formulë b n = 3 2 n . Gjeni shumën e termave të parë dhe të katërt.

Këtë herë përparimi na është dhënë jo si zakonisht. Një lloj formule. Edhe çfarë? Kjo formulë është gjithashtu një formulënanëtari! Të gjithë e dimë se formula e termit të n-të mund të shkruhet si në formë të përgjithshme, me shkronja dhe për progresion specifik. NGA specifike termi i parë dhe emëruesi.

Në rastin tonë, në fakt, na jepet një formulë e përgjithshme e termit për një progresion gjeometrik me parametrat e mëposhtëm:

b 1 = 6

q = 2

Le të kontrollojmë?) Le të shkruajmë formulën e termit të n-të në formë të përgjithshme dhe ta zëvendësojmë në të b 1 Dhe q. Ne marrim:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Ne thjeshtojmë, duke përdorur vetitë e faktorizimit dhe fuqisë, dhe marrim:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Siç mund ta shihni, gjithçka është e drejtë. Por qëllimi ynë me ju nuk është të demonstrojmë derivimin e një formule specifike. Kjo është kështu, një digresion lirik. Thjesht për të kuptuar.) Qëllimi ynë është të zgjidhim problemin sipas formulës që na jepet në kusht. E kapni?) Pra, ne po punojmë drejtpërdrejt me formulën e modifikuar.

Ne numërojmë mandatin e parë. Zëvendësues n=1 në formulën e përgjithshme:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Si kjo. Meqë ra fjala, nuk jam shumë dembel dhe edhe një herë do t'ju tërheq vëmendjen për një gabim tipik me llogaritjen e mandatit të parë. MOS e shikoni formulën b n= 3 2n, nxitojnë menjëherë të shkruajnë se anëtari i parë është një trojkë! Është një gabim i madh, po...)

Ne vazhdojmë. Zëvendësues n=4 dhe merrni parasysh termin e katërt:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Dhe së fundi, ne llogarisim shumën e kërkuar:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Përgjigje: 54

Një problem tjetër.

Progresioni gjeometrik jepet nga kushtet:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Gjeni termin e katërt të progresionit.

Këtu progresioni jepet nga formula e përsëritur. Epo, në rregull.) Si të punoni me këtë formulë - e dimë edhe ne.

Këtu po veprojmë. Hap pas hapi.

1) duke numëruar dy e suksesshme anëtar i progresionit.

Termi i parë tashmë na është dhënë. Minus shtatë. Por termi tjetër, i dytë, mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën rekursive. Nëse e kuptoni se si funksionon, sigurisht.)

Këtu kemi parasysh termin e dytë sipas të parës së famshme:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Ne konsiderojmë emëruesin e progresionit

Gjithashtu nuk ka problem. Drejt, ndaje e dyta kar në së pari.

Ne marrim:

q = -21/(-7) = 3

3) Shkruani formulënnth anëtar në formën e zakonshme dhe konsideroni anëtarin e dëshiruar.

Pra, ne e dimë termin e parë, edhe emëruesin. Këtu shkruajmë:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Përgjigje: -189

Siç mund ta shihni, puna me formula të tilla për një progresion gjeometrik në thelb nuk ndryshon nga ajo për një progresion aritmetik. Është e rëndësishme vetëm të kuptohet thelbi dhe kuptimi i përgjithshëm i këtyre formulave. Epo, kuptimi i progresionit gjeometrik gjithashtu duhet të kuptohet, po.) Dhe atëherë nuk do të ketë gabime të trashë.

Epo, le të vendosim vetë?)

Detyra mjaft elementare, për ngrohje:

1. Jepet një progresion gjeometrik në të cilin b 1 = 243, dhe q = -2/3. Gjeni termin e gjashtë të progresionit.

2. Termi i përbashkët i një progresion gjeometrik jepet me formulë b n = 5∙2 n +1 . Gjeni numrin e anëtarit të fundit treshifror të këtij progresioni.

3. Progresioni gjeometrik jepet nga kushtet:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Gjeni termin e pestë të progresionit.

Pak më e ndërlikuar:

4. Jepet një progresion gjeometrik:

b 1 =2048; q =-0,5

Cili është termi i gjashtë negativ i tij?

Çfarë duket super e vështirë? Aspak. Logjika dhe kuptimi i kuptimit të progresionit gjeometrik do të shpëtojë. Epo, formula e termit të n-të, sigurisht.

5. Anëtari i tretë i progresionit gjeometrik është -14 dhe anëtari i tetë është 112. Gjeni emëruesin e progresionit.

6. Shuma e anëtarëve të parë dhe të dytë të një progresioni gjeometrik është 75, dhe shuma e anëtarëve të dytë dhe të tretë është 150. Gjeni anëtarin e gjashtë të progresionit.

Përgjigjet (në rrëmujë): 6; -3888; -një; 800; -32; 448.

Kjo është pothuajse e gjitha. Mbetet vetëm për të mësuar se si të numëroni shuma e n termave të parë të një progresion gjeometrik po zbuloni progresion gjeometrik pafundësisht në rënie dhe sasinë e saj. Një gjë shumë interesante dhe e pazakontë, meqë ra fjala! Më shumë për këtë në mësimet e mëvonshme.)

Një shembull i një progresion gjeometrik: 2, 6, 18, 54, 162.

Këtu, çdo term pas të parës është 3 herë më i lartë se ai i mëparshmi. Kjo do të thotë, çdo term pasues është rezultat i shumëzimit të termit të mëparshëm me 3:

2 3 = 6

6 3 = 18

18 3 = 54

54 3 = 162 .

Në shembullin tonë, kur pjesëtojmë termin e dytë me të parin, të tretën me të dytin, e kështu me radhë. marrim 3. Numri 3 është emëruesi i këtij progresioni gjeometrik.

Shembull:

Le të kthehemi në progresionin tonë gjeometrik 2, 6, 18, 54, 162. Le të marrim termin e katërt dhe ta katrorojmë atë:
54 2 = 2916.

Tani i shumëzojmë termat majtas dhe djathtas të numrit 54:

18 162 = 2916.

Siç mund ta shihni, katrori i termit të tretë është i barabartë me produktin e termave të dytë dhe të katërt fqinjë.

Shembulli 1: Le të marrim një progresion gjeometrik, në të cilin termi i parë është i barabartë me 2, dhe emëruesi i progresionit gjeometrik është i barabartë me 1,5. Duhet të gjejmë afatin e 4-të të këtij progresi.

E dhënë:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Zgjidhje.

Zbatimi i formulës b n= b 1 q n- 1, duke futur vlerat e duhura në të:
b 4 \u003d 2 1,5 4 - 1 \u003d 2 1,5 3 \u003d 2 3,375 \u003d 6,75.

Përgjigju: Termi i katërt i një progresioni të caktuar gjeometrik është numri 6.75.

Shembulli 2: Gjeni termin e pestë të një progresion gjeometrik nëse termat e parë dhe të tretë janë përkatësisht 12 dhe 192.

E dhënë:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Zgjidhje.

1) Së pari duhet të gjejmë emëruesin e progresionit gjeometrik, pa të cilin është e pamundur të zgjidhet problemi. Si hap i parë, duke përdorur formulën tonë, nxjerrim formulën për b 3:

b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2

Tani mund të gjejmë emëruesin e një progresion gjeometrik:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q= √16 = 4 ose -4.

2) Mbetet për të gjetur vlerën b 5 .
Nëse q= 4, atëherë

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.

Në q= -4 rezultati do të jetë i njëjtë. Kështu, problemi ka një zgjidhje.

Përgjigju: Termi i pestë i progresionit të dhënë gjeometrik është numri 3072.

Shembull: Gjeni shumën e pesë termave të parë të progresionit gjeometrik ( b n), në të cilin termi i parë është i barabartë me 2, dhe emëruesi i një progresion gjeometrik është 3.

E dhënë:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Zgjidhje.

Ne zbatojmë formulën e dytë të dy më sipër:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Përgjigju: Shuma e pesë termave të parë të një progresioni të caktuar gjeometrik është 242.

Shuma e një progresion të pafund gjeometrik.

Është e nevojshme të bëhet dallimi midis koncepteve të "shumës së një progresion të pafund gjeometrik" dhe "shumës n anëtarët e një progresion gjeometrik. Koncepti i dytë i referohet çdo progresioni gjeometrik, dhe i pari - vetëm atij ku emëruesi është më pak se 1 modul.

Pra, le të ulemi dhe të fillojmë të shkruajmë disa numra. Për shembull:

Ju mund të shkruani çdo numër, dhe mund të ketë sa të doni (në rastin tonë, ata). Sado numra të shkruajmë, gjithmonë mund të themi se cili prej tyre është i pari, cili është i dyti dhe kështu me radhë deri në të fundit, domethënë mund t'i numërojmë. Ky është një shembull i një sekuence numrash:

Sekuenca numerikeështë një grup numrash, secilit prej të cilëve mund t'i caktohet një numër unik.

Për shembull, për sekuencën tonë:

Numri i caktuar është specifik për vetëm një numër të sekuencës. Me fjalë të tjera, nuk ka tre numra të dytë në sekuencë. Numri i dytë (si numri i -të) është gjithmonë i njëjtë.

Numri me numër quhet anëtari i -të i sekuencës.

Ne zakonisht e quajmë të gjithë sekuencën një shkronjë (për shembull,), dhe secilin anëtar të kësaj sekuence - të njëjtën shkronjë me një indeks të barabartë me numrin e këtij anëtari: .

Në rastin tonë:

Llojet më të zakonshme të progresionit janë aritmetik dhe gjeometrik. Në këtë temë, ne do të flasim për llojin e dytë - progresion gjeometrik.

Pse na duhet një progresion gjeometrik dhe historia e tij.

Edhe në kohët e lashta, matematikani italian, murgu Leonardo i Pizës (i njohur më mirë si Fibonacci), merrej me nevojat praktike të tregtisë. Murgu u përball me detyrën për të përcaktuar se cili është numri më i vogël i peshave që mund të përdoren për të peshuar mallin? Në shkrimet e tij, Fibonacci dëshmon se një sistem i tillë peshash është optimal: Kjo është një nga situatat e para në të cilat njerëzit duhej të përballeshin me një progresion gjeometrik, për të cilin ndoshta keni dëgjuar dhe keni të paktën. koncept i përgjithshëm. Pasi ta kuptoni plotësisht temën, mendoni pse një sistem i tillë është optimal?

Aktualisht, në praktikën e jetës, një progresion gjeometrik manifestohet kur investoni para në një bankë, kur shuma e interesit ngarkohet në shumën e akumuluar në llogari për periudhën e mëparshme. Me fjalë të tjera, nëse vendosni para në një depozitë me afat në një bankë kursimi, atëherë në një vit depozita do të rritet nga shuma origjinale, d.m.th. shuma e re do të jetë e barabartë me kontributin e shumëzuar me. Në një vit tjetër, kjo shumë do të rritet me, d.m.th. shuma e fituar në atë kohë përsëri shumëzohet me e kështu me radhë. Një situatë e ngjashme përshkruhet në problemet e llogaritjes së të ashtuquajturave interesi i përbërë- përqindja merret çdo herë nga shuma që është në llogari, duke marrë parasysh interesin e mëparshëm. Për këto detyra do të flasim pak më vonë.

Ka shumë raste më të thjeshta kur aplikohet një progresion gjeometrik. Për shembull, përhapja e gripit: një person infektoi një person, ata, nga ana tjetër, infektuan një person tjetër, dhe kështu vala e dytë e infeksionit është një person, dhe ata, nga ana tjetër, infektuan një tjetër ... dhe kështu me radhë .. .

Nga rruga, një piramidë financiare, e njëjta MMM, është një llogaritje e thjeshtë dhe e thatë sipas vetive të një progresion gjeometrik. Interesante? Le ta kuptojmë.

Progresioni gjeometrik.

Le të themi se kemi një sekuencë numrash:

Do të përgjigjeni menjëherë se është e lehtë dhe emri i një sekuence të tillë është me dallimin e anëtarëve të saj. Si thua për diçka të tillë:

Nëse zbrisni numrin e mëparshëm nga numri tjetër, atëherë do të shihni se çdo herë që merrni një ndryshim të ri (dhe kështu me radhë), por sekuenca ekziston patjetër dhe është e lehtë të vërehet - çdo numër tjetër është herë më i madh se ai i mëparshmi !

Ky lloj sekuence quhet progresion gjeometrik dhe është shënuar.

Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Kufizimet që termi i parë ( ) nuk është i barabartë dhe nuk janë të rastësishëm. Le të themi se nuk ka asnjë, dhe termi i parë është akoma i barabartë, dhe q është, hmm .. le, atëherë rezulton:

Dakord që ky nuk është përparim.

Siç e kuptoni, do të marrim të njëjtat rezultate nëse është ndonjë numër tjetër përveç zeros, por. Në këto raste, thjesht nuk do të ketë progres, pasi në tërësi seri numrash ose do të jenë të gjitha zerot, ose një numër dhe të gjitha zerat e tjera.

Tani le të flasim më në detaje për emëruesin e një progresion gjeometrik, domethënë rreth.

Përsëri, ky është numri sa herë ndryshon çdo term pasardhës progresion gjeometrik.

Çfarë mendoni se mund të jetë? Ashtu është, pozitive dhe negative, por jo zero (për këtë folëm pak më lart).

Le të themi se kemi një pozitiv. Le në rastin tonë, a. Cili është termi i dytë dhe? Ju lehtë mund t'i përgjigjeni kësaj:

Në rregull. Prandaj, nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive.

Po sikur të jetë negative? Për shembull, a. Cili është termi i dytë dhe?

Është një histori krejtësisht tjetër

Mundohuni të numëroni afatin e këtij progresi. Sa keni marrë? Une kam. Kështu, nëse, atëherë alternojnë shenjat e termave të progresionit gjeometrik. Kjo do të thotë, nëse shihni një progresion me shenja të alternuara në anëtarët e tij, atëherë emëruesi i tij është negativ. Kjo njohuri mund t'ju ndihmojë të provoni veten kur zgjidhni probleme në këtë temë.

Tani le të praktikojmë pak: përpiquni të përcaktoni se cilat sekuenca numerike janë një progresion gjeometrik dhe cilat janë një aritmetik:

E kuptova? Krahasoni përgjigjet tona:

• Progresioni gjeometrik - 3, 6.
• Progresioni aritmetik - 2, 4.
• Nuk është as një progresion aritmetik dhe as gjeometrik - 1, 5, 7.

Le të kthehemi në progresionin tonë të fundit, por le të përpiqemi ta gjejmë termin e tij në të njëjtën mënyrë si në aritmetikë. Siç mund ta keni marrë me mend, ka dy mënyra për ta gjetur atë.

Ne e shumëzojmë me radhë çdo term me.

Pra, anëtari i -të i progresionit gjeometrik të përshkruar është i barabartë me.

Siç e keni marrë tashmë me mend, tani ju vetë do të nxirrni një formulë që do t'ju ndihmojë të gjeni ndonjë anëtar të një progresion gjeometrik. Apo e keni nxjerrë tashmë për veten tuaj, duke përshkruar se si ta gjeni anëtarin e th në faza? Nëse po, atëherë kontrolloni korrektësinë e arsyetimit tuaj.

Le ta ilustrojmë këtë me shembullin e gjetjes së anëtarit -të të këtij progresioni:

Me fjale te tjera:

Gjeni vetë vlerën e një anëtari të një progresion të caktuar gjeometrik.

Ka ndodhur? Krahasoni përgjigjet tona:

Kushtojini vëmendje që morët saktësisht të njëjtin numër si në metodën e mëparshme, kur shumëzuam në mënyrë të njëpasnjëshme me çdo anëtar të mëparshëm të progresionit gjeometrik.
Le të përpiqemi ta "depersonalizojmë" këtë formulë - e sjellim atë në një formë të përgjithshme dhe marrim:

Formula e përftuar është e vërtetë për të gjitha vlerat - pozitive dhe negative. Kontrolloni vetë duke llogaritur termat e një progresion gjeometrik me kushtet e mëposhtme: , a.

A keni numëruar? Le të krahasojmë rezultatet:

Pajtohu që do të ishte e mundur të gjesh një anëtar të progresionit në të njëjtën mënyrë si një anëtar, megjithatë, ekziston mundësia e llogaritjes së gabuar. Dhe nëse kemi gjetur tashmë termin e th të një progresion gjeometrik, a, atëherë çfarë mund të jetë më e lehtë sesa përdorimi i pjesës "të cunguar" të formulës.

Një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie.

Kohët e fundit, ne folëm për atë që mund të jetë ose më e madhe ose më e vogël se zero, megjithatë, ka vlera të veçanta për të cilat quhet përparimi gjeometrik pafundësisht në rënie.

Pse mendoni se ka një emër të tillë?
Për të filluar, le të shkruajmë disa progresion gjeometrik të përbërë nga anëtarë.
Le të themi, atëherë:

Ne shohim se çdo term pasues është më pak se ai i mëparshmi në kohë, por a do të ketë ndonjë numër? Do të përgjigjeni menjëherë "jo". Kjo është arsyeja pse pafundësisht në rënie - zvogëlohet, zvogëlohet, por kurrë nuk bëhet zero.

Për të kuptuar qartë se si duket vizualisht, le të përpiqemi të vizatojmë një grafik të përparimit tonë. Pra, për rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:

Në grafikët, ne jemi mësuar të ndërtojmë varësi nga, prandaj:

Thelbi i shprehjes nuk ka ndryshuar: në hyrjen e parë, ne treguam varësinë e vlerës së një anëtari të progresionit gjeometrik nga numri i tij rendor, dhe në hyrjen e dytë, thjesht morëm vlerën e një anëtari të progresionit gjeometrik për, dhe numri rendor u caktua jo si, por si. Gjithçka që mbetet për të bërë është të vizatoni grafikun.
Le të shohim se çfarë keni. Këtu është grafiku që kam marrë:

Shiko? Funksioni zvogëlohet, priret në zero, por nuk e kalon kurrë atë, pra është pafundësisht në rënie. Le të shënojmë pikat tona në grafik, dhe në të njëjtën kohë çfarë do të thotë koordinata dhe:

Përpiquni të përshkruani skematikisht një grafik të një progresion gjeometrik nëse termi i parë i tij është gjithashtu i barabartë. Analizoni cili është ndryshimi me grafikun tonë të mëparshëm?

A ia dolët? Këtu është grafiku që kam marrë:

Tani që i keni kuptuar plotësisht bazat e temës së progresionit gjeometrik: ju e dini se çfarë është, ju e dini se si ta gjeni termin e tij dhe gjithashtu e dini se çfarë është një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, le të kalojmë te vetia e tij kryesore.

veti e një progresion gjeometrik.

A ju kujtohet vetia e anëtarëve të një progresion aritmetik? Po, po, si të gjesh vlerën e një numri të caktuar të një progresioni kur ka vlera të mëparshme dhe të mëvonshme të anëtarëve të këtij progresioni. kujtohet? Kjo:

Tani përballemi me të njëjtën pyetje për termat e një progresion gjeometrik. Për të nxjerrë një formulë të tillë, le të fillojmë të vizatojmë dhe të arsyetojmë. Do ta shihni, është shumë e lehtë, dhe nëse harroni, mund ta nxirrni vetë.

Le të marrim një tjetër progresion të thjeshtë gjeometrik, në të cilin dimë dhe. Si të gjeni? Me një progresion aritmetik, kjo është e lehtë dhe e thjeshtë, por si është këtu? Në fakt, nuk ka asgjë të komplikuar as në gjeometri - thjesht duhet të pikturoni secilën vlerë të dhënë sipas formulës.

Ju pyesni, dhe tani çfarë të bëjmë me të? Po, shumë e thjeshtë. Për të filluar, le t'i përshkruajmë këto formula në figurë dhe të përpiqemi të bëjmë manipulime të ndryshme me to për të arritur një vlerë.

Ne abstragojmë nga numrat që na janë dhënë, do të përqendrohemi vetëm në shprehjen e tyre përmes një formule. Ne duhet të gjejmë vlerën e theksuar në portokalli, duke ditur termat ngjitur me të. Le të përpiqemi të prodhojmë me ta aktivitete të ndryshme, si rezultat i të cilit mund të marrim.

Shtimi.
Le të përpiqemi të shtojmë dy shprehje dhe marrim:

Nga kjo shprehje, siç mund ta shihni, ne nuk do të jemi në gjendje të shprehemi në asnjë mënyrë, prandaj, do të provojmë një opsion tjetër - zbritjen.

Zbritja.

Siç mund ta shihni, as nga kjo nuk mund të shprehemi, prandaj do të përpiqemi t'i shumëzojmë këto shprehje me njëra-tjetrën.

Shumëzimi.

Tani shikoni me kujdes atë që kemi, duke shumëzuar termat e një progresion gjeometrik që na është dhënë në krahasim me atë që duhet gjetur:

Mendoni se për çfarë po flas? Në mënyrë korrekte, për ta gjetur atë, duhet të marrim rrënjën katrore të numrave të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar të shumëzuar me njëri-tjetrin:

Ja ku shkoni. Ju vetë e keni nxjerrë vetinë e një progresion gjeometrik. Mundohuni ta shkruani këtë formulë në formë të përgjithshme. Ka ndodhur?

Keni harruar kushtin kur? Mendoni pse është e rëndësishme, për shembull, përpiquni ta llogaritni vetë, në. Çfarë ndodh në këtë rast? Kjo është e drejtë, absurditet i plotë, pasi formula duket si kjo:

Prandaj, mos harroni këtë kufizim.

Tani le të llogarisim se çfarë është

Përgjigje e saktë - ! Nëse nuk keni harruar vlerën e dytë të mundshme gjatë llogaritjes, atëherë jeni një shok i shkëlqyeshëm dhe mund të vazhdoni menjëherë me stërvitjen, dhe nëse keni harruar, lexoni atë që analizohet më poshtë dhe kushtojini vëmendje pse duhet të shënohen të dyja rrënjët në përgjigje. .

Le të vizatojmë të dy progresionet tona gjeometrike - njëra me një vlerë dhe tjetra me një vlerë, dhe të kontrollojmë nëse të dy kanë të drejtë të ekzistojnë:

Për të kontrolluar nëse një progresion i tillë gjeometrik ekziston apo jo, është e nevojshme të shihet nëse është i njëjtë midis të gjithë anëtarëve të tij të dhënë? Njehsoni q për rastin e parë dhe të dytë.

Shihni pse duhet të shkruajmë dy përgjigje? Sepse shenja e termit të kërkuar varet nëse është pozitive apo negative! Dhe meqenëse nuk e dimë se çfarë është, duhet të shkruajmë të dyja përgjigjet me një plus dhe një minus.

Tani që keni zotëruar pikat kryesore dhe keni nxjerrë formulën për vetinë e një progresion gjeometrik, gjeni, duke ditur dhe

Krahasoni përgjigjet tuaja me ato të sakta:

Çfarë mendoni, po sikur të mos na jepeshin vlerat e anëtarëve të progresionit gjeometrik ngjitur me numrin e dëshiruar, por në distancë të barabartë prej tij. Për shembull, ne duhet të gjejmë, dhe të japim dhe. A mund të përdorim formulën që kemi nxjerrë në këtë rast? Përpiquni ta konfirmoni ose kundërshtoni këtë mundësi në të njëjtën mënyrë, duke përshkruar se nga çfarë përbëhet secila vlerë, siç keni bërë kur keni nxjerrë formulën nga fillimi, me.
Çfarë more?

Tani shikoni me kujdes përsëri.
dhe përkatësisht:

Nga kjo mund të konkludojmë se formula funksionon jo vetëm me fqinjët me termat e dëshiruar të një progresion gjeometrik, por edhe me të barabarta nga ajo që anëtarët kërkojnë.

Kështu, formula jonë origjinale bëhet:

Domethënë, nëse në rastin e parë e thamë këtë, tani themi se mund të jetë i barabartë me çdo numër natyror që është më i vogël. Gjëja kryesore është të jetë e njëjtë për të dy numrat e dhënë.

Praktikoni për shembuj konkretë thjesht jini jashtëzakonisht të kujdesshëm!

1. , . Per te gjetur.
2. , . Per te gjetur.
3. , . Per te gjetur.

E vendosur? Shpresoj se keni qenë jashtëzakonisht të vëmendshëm dhe keni vënë re një kapje të vogël.

Ne krahasojmë rezultatet.

Në dy rastet e para, ne zbatojmë me qetësi formulën e mësipërme dhe marrim vlerat e mëposhtme:

Në rastin e tretë, pas shqyrtimit të kujdesshëm të numrave serialë të numrave që na janë dhënë, kuptojmë se ata nuk janë të barabartë nga numri që kërkojmë: është numri i mëparshëm, por i hequr në pozicion, kështu që nuk është e mundur. për të zbatuar formulën.

Si ta zgjidhim atë? Në fakt nuk është aq e vështirë sa duket! Le të shkruajmë me ju se nga çfarë përbëhet secili numër që na është dhënë dhe numri i dëshiruar.

Pra kemi dhe. Le të shohim se çfarë mund të bëjmë me ta. Unë sugjeroj ndarjen. Ne marrim:

Ne i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën:

Hapi tjetër që mund të gjejmë - për këtë duhet të marrim rrënjën kubike të numrit që rezulton.

Tani le të shohim përsëri se çfarë kemi. Ne kemi, por duhet të gjejmë, dhe kjo, nga ana tjetër, është e barabartë me:

Ne gjetëm të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen. Zëvendësoni në formulë:

Përgjigja jonë: .

Mundohuni të zgjidhni vetë një problem tjetër të njëjtë:
E dhënë:,
Per te gjetur:

Sa keni marrë? Une kam - .

Siç mund ta shihni, në fakt, keni nevojë mbani mend vetëm një formulë- . Të gjitha të tjerat mund t'i tërhiqni pa asnjë vështirësi vetë në çdo kohë. Për ta bërë këtë, thjesht shkruani progresionin më të thjeshtë gjeometrik në një copë letër dhe shkruani se me çfarë është i barabartë, sipas formulës së mësipërme, secili nga numrat e tij.

Shuma e termave të një progresion gjeometrik.

Tani merrni parasysh formulat që na lejojnë të llogarisim shpejt shumën e termave të një progresion gjeometrik në një interval të caktuar:

Për të nxjerrë formulën për shumën e termave të një progresion të fundëm gjeometrik, ne i shumëzojmë të gjitha pjesët e ekuacionit të mësipërm me. Ne marrim:

Shikoni me kujdes: çfarë kanë të përbashkët dy formulat e fundit? Ashtu është, anëtarët e zakonshëm, për shembull e kështu me radhë, përveç anëtarit të parë dhe të fundit. Le të përpiqemi të zbresim ekuacionin e parë nga ekuacioni i 2-të. Çfarë more?

Tani shprehuni përmes formulës së një anëtari të një progresion gjeometrik dhe zëvendësoni shprehjen që rezulton në formulën tonë të fundit:

Gruponi shprehjen. Ju duhet të merrni:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të shprehemi:

Prandaj, në këtë rast.

Po nese? Cila formulë funksionon atëherë? Imagjinoni një progresion gjeometrik në. Si është ajo? Në mënyrë korrekte, një seri numrash identikë, përkatësisht, formula do të duket si kjo:

Ashtu si me progresionin aritmetik dhe gjeometrik, ka shumë legjenda. Një prej tyre është legjenda e Sethit, krijuesit të shahut.

Shumë njerëz e dinë se loja e shahut u shpik në Indi. Kur mbreti hindu e takoi atë, ai ishte i kënaqur me zgjuarsinë e saj dhe shumëllojshmërinë e pozicioneve të mundshme në të. Pasi mësoi se ishte shpikur nga një prej nënshtetasve të tij, mbreti vendosi ta shpërblente personalisht. Ai e thirri shpikësin pranë vetes dhe urdhëroi t'i kërkonte çfarë të donte, duke i premtuar se do të përmbushte edhe dëshirën më të shkathët.

Seta kërkoi kohë për të menduar dhe kur të nesërmen Seta doli para mbretit, ai e befasoi mbretin me modestinë e pashoqe të kërkesës së tij. Kërkoi një kokërr grurë për katrorin e parë të tabelës së shahut, grurë për të dytin, për të tretën, për të katërtin etj.

Mbreti u zemërua dhe e përzuri Sethin, duke thënë se kërkesa e shërbëtorit ishte e padenjë për bujarinë mbretërore, por premtoi se shërbëtori do të merrte kokrrat e tij për të gjitha qelitë e dërrasës.

Dhe tani pyetja është: duke përdorur formulën për shumën e anëtarëve të një progresion gjeometrik, llogaritni sa kokrra duhet të marrë Seth?

Le të fillojmë të diskutojmë. Meqenëse, sipas kushtit, Sethi kërkoi një kokërr gruri për qelizën e parë të tabelës së shahut, për të dytën, për të tretën, për të katërtën etj., shohim se problemi ka të bëjë me një progresion gjeometrik. Çfarë është e barabartë në këtë rast?
E drejta.

Totali i qelizave të tabelës së shahut. Përkatësisht,. Ne i kemi të gjitha të dhënat, mbetet vetëm të zëvendësojmë në formulë dhe të llogarisim.

Për të përfaqësuar të paktën përafërsisht "shkallët" e një numri të caktuar, ne transformojmë duke përdorur vetitë e shkallës:

Sigurisht, nëse dëshironi, mund të merrni një kalkulator dhe të llogarisni se me çfarë numri përfundoni, dhe nëse jo, do të duhet të pranoni fjalën time për të: vlera përfundimtare e shprehjes do të jetë.
Dmth:

kuintilion kuadrilion trilion miliardë miliardë milion mijë.

Fuh) Nëse dëshironi të imagjinoni përmasat e këtij numri, atëherë vlerësoni se çfarë madhësie do të kërkohet për të akomoduar të gjithë sasinë e grurit.
Me një lartësi hambari m dhe gjerësi m, gjatësia e tij do të duhej të shtrihej në km, d.m.th. dy herë më shumë se nga Toka në Diell.

Nëse mbreti do të ishte i fortë në matematikë, ai mund t'i ofronte vetë shkencëtarit të numëronte kokrrat, sepse për të numëruar një milion kokrra, do t'i duhej të paktën një ditë numërimi i palodhshëm dhe duke qenë se është e nevojshme të numërohen kuintilionat, kokrrat do të duhej të numëroheshin gjithë jetën.

Dhe tani do të zgjidhim një problem të thjeshtë mbi shumën e kushteve të një progresion gjeometrik.
Vasya, një nxënëse e klasës së 5-të, u sëmur nga gripi, por vazhdon të shkojë në shkollë. Çdo ditë, Vasya infekton dy persona, të cilët, nga ana tjetër, infektojnë dy persona të tjerë, e kështu me radhë. Vetëm një person në klasë. Për sa ditë e gjithë klasa do të sëmuret nga gripi?

Pra, anëtari i parë i një progresion gjeometrik është Vasya, domethënë një person. Anëtari i th i progresionit gjeometrik, këta janë dy personat të cilët ai i infektoi në ditën e parë të mbërritjes së tij. Shuma totale e anëtarëve të progresionit është e barabartë me numrin e nxënësve 5A. Prandaj, ne po flasim për një përparim në të cilin:

Le t'i zëvendësojmë të dhënat tona në formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik:

E gjithë klasa do të sëmuret brenda disa ditësh. Nuk besoni në formula dhe numra? Mundohuni ta portretizoni vetë “infeksionin” e nxënësve. Ka ndodhur? Shikoni si duket për mua:

Llogaritni vetë se sa ditë do të merreshin studentët nga gripi nëse të gjithë do të infektonin një person dhe do të kishte një person në klasë.

Çfarë vlere keni marrë? Doli që të gjithë filluan të sëmuren pas një dite.

Siç mund ta shihni, një detyrë e tillë dhe vizatimi për të i ngjan një piramide, në të cilën çdo pasues "sjell" njerëz të rinj. Megjithatë, herët a vonë vjen një moment kur ky i fundit nuk mund të tërheqë askënd. Në rastin tonë, nëse imagjinojmë se klasa është e izoluar, personi nga mbyll zinxhirin (). Kështu, nëse një person do të përfshihej në një piramidë financiare në të cilën jepeshin para nëse sillnit dy pjesëmarrës të tjerë, atëherë personi (ose në rastin e përgjithshëm) nuk do të sillte askënd, përkatësisht, do të humbiste gjithçka që investoi në këtë mashtrim financiar. .

Gjithçka që u tha më sipër i referohet një progresion gjeometrik në rënie ose në rritje, por, siç e mbani mend, ne kemi lloj i veçantëështë një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie. Si të llogaritet shuma e anëtarëve të saj? Dhe pse ky lloj progresi ka disa veçori? Le ta kuptojmë së bashku.

Pra, për fillestarët, le të shohim përsëri këtë pamje të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie nga shembulli ynë:

Dhe tani le të shohim formulën për shumën e një progresion gjeometrik, të nxjerrë pak më herët:
ose

Për çfarë po përpiqemi? Është e drejtë, grafiku tregon se priret në zero. Kjo është, kur, do të jetë pothuajse e barabartë, përkatësisht, kur llogaritim shprehjen, do të marrim pothuajse. Në këtë drejtim, ne besojmë se gjatë llogaritjes së shumës së një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, kjo kllapa mund të neglizhohet, pasi do të jetë e barabartë.

- formula është shuma e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie.

E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite që ne duhet të gjejmë shumën pafund numri i anëtarëve.

Nëse tregohet një numër specifik n, atëherë ne përdorim formulën për shumën e n termave, edhe nëse ose.

Dhe tani le të praktikojmë.

1. Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik me dhe.
2. Gjeni shumën e termave të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie me dhe.

Shpresoj se keni qenë shumë të kujdesshëm. Krahasoni përgjigjet tona:

Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik dhe është koha për të kaluar nga teoria në praktikë. Problemet më të zakonshme eksponenciale të gjetura në provim janë problemet e interesit të përbërë. Ne do të flasim për to.

Probleme për llogaritjen e interesit të përbërë.

Ju duhet të keni dëgjuar për të ashtuquajturën formula të interesit të përbërë. E kuptoni se çfarë do të thotë ajo? Nëse jo, le ta kuptojmë, sepse pasi të keni kuptuar vetë procesin, do të kuptoni menjëherë se çfarë lidhje ka progresioni gjeometrik me të.

Ne të gjithë shkojmë në bankë dhe e dimë se ka kushte të ndryshme për depozitat: ky është afati, mirëmbajtja shtesë dhe interesi me dy mënyra të ndryshme për llogaritjen e tij - të thjeshta dhe komplekse.

NGA interes i thjeshtë gjithçka është pak a shumë e qartë: interesi paguhet një herë në fund të afatit të depozitës. Kjo do të thotë, nëse po flasim për vendosjen e 100 rublave në vit, atëherë ato do të kreditohen vetëm në fund të vitit. Prandaj, deri në fund të depozitës, ne do të marrim rubla.

Interesi i përbërëështë një opsion në të cilin kapitalizimi i interesit, d.m.th. shtimi i tyre në shumën e depozitës dhe llogaritja e mëvonshme e të ardhurave jo nga fillestari, por nga shuma e grumbulluar e depozitës. Kapitalizimi nuk ndodh vazhdimisht, por me një farë periodiciteti. Si rregull, periudha të tilla janë të barabarta dhe më shpesh bankat përdorin një muaj, një çerek ose një vit.

Le të themi se kemi vënë të gjitha të njëjtat rubla në vit, por me një kapitalizim mujor të depozitës. Çfarë marrim?

A kupton gjithçka këtu? Nëse jo, le ta bëjmë hap pas hapi.

Ne sollëm rubla në bankë. Deri në fund të muajit, ne duhet të kemi një shumë në llogarinë tonë të përbërë nga rublat tona plus interesat mbi to, domethënë:

Dakord?

Mund ta nxjerrim nga kllapa dhe më pas marrim:

Dakord, kjo formulë është tashmë më e ngjashme me atë që shkruam në fillim. Mbetet të merremi me përqindje

Në gjendjen e problemit na thuhet për vjetore. Siç e dini, ne nuk shumëzojmë me - ne i konvertojmë përqindjet në dhjetore, dmth:

E drejtë? Tani ju pyesni, nga erdhi numri? Shume e thjeshte!
E përsëris: gjendja e problemit thotë rreth VJETOR interesi i përllogaritur MUJOR. Siç e dini, në një vit, respektivisht, banka do të na ngarkojë një pjesë të interesit vjetor në muaj:

E realizuar? Tani përpiquni të shkruani se si do të dukej kjo pjesë e formulës nëse do të thoja që interesi llogaritet çdo ditë.
A ia dolët? Le të krahasojmë rezultatet:

Te lumte! Le t'i kthehemi detyrës sonë: shkruani se sa do të kreditohet në llogarinë tonë për muajin e dytë, duke marrë parasysh që interesi ngarkohet në shumën e depozitës së akumuluar.
Ja çfarë më ndodhi:

Ose, me fjalë të tjera:

Unë mendoj se ju tashmë keni vënë re një model dhe keni parë një progresion gjeometrik në të gjithë këtë. Shkruani se me çfarë do të jetë anëtari i tij, ose, me fjalë të tjera, sa para do të marrim në fund të muajit.
U krye? Duke kontrolluar!

Siç mund ta shihni, nëse vendosni para në një bankë për një vit me një interes të thjeshtë, atëherë do të merrni rubla, dhe nëse i vendosni me një normë të përbërë, do të merrni rubla. Përfitimi është i vogël, por kjo ndodh vetëm gjatë vitit të th, por për një periudhë më të gjatë kapitalizimi është shumë më fitimprurës:

Konsideroni një lloj tjetër problemi të interesit të përbërë. Pas asaj që keni kuptuar, do të jetë elementare për ju. Pra, detyra është:

Zvezda filloi të investojë në industri në vitin 2000 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2001 ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Sa fitim do të marrë kompania Zvezda në fund të vitit 2003, nëse fitimi nuk tërhiqej nga qarkullimi?

Kapitali i kompanisë Zvezda në vitin 2000.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2001.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2002.
- kapitali i kompanisë Zvezda në 2003.

Ose mund të shkruajmë shkurt:

Për rastin tonë:

2000, 2001, 2002 dhe 2003.

Përkatësisht:
rubla
Vini re se në këtë problem nuk kemi pjesëtim as me as me, pasi përqindja jepet VJETOR dhe llogaritet VJETOR. Kjo do të thotë, kur lexoni problemin për interesin e përbërë, kushtojini vëmendje se çfarë përqindje është dhënë dhe në cilën periudhë tarifohet dhe vetëm atëherë vazhdoni me llogaritjet.
Tani ju dini gjithçka rreth progresionit gjeometrik.

Trajnimi.

1. Gjeni një term të një progresion gjeometrik nëse dihet se, dhe
2. Gjeni shumën e termave të parë të një progresion gjeometrik, nëse dihet se, dhe
3. MDM Capital filloi të investojë në industri në vitin 2003 me një kapital në dollarë. Çdo vit që nga viti 2004, ajo ka realizuar një fitim të barabartë me kapitalin e një viti më parë. Kompania “MSK Cash Flows” filloi të investojë në industri në vitin 2005 në vlerën 10.000$, duke filluar të realizojë fitim në vitin 2006 në vlerën prej. Me sa dollarë tejkalon kapitali i një shoqërie në fund të vitit 2007, nëse fitimet nuk do të tërhiqeshin nga qarkullimi?

Përgjigjet:

1. Meqenëse gjendja e problemit nuk thotë që progresioni është i pafund dhe kërkohet të gjendet shuma e një numri specifik të anëtarëve të tij, llogaritja kryhet sipas formulës:
2. 
   Kompania "MDM Capital":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - rritet me 100%, pra 2 herë.
   Përkatësisht:
   rubla
   Rrjedhat e parave të MSK:

   2005, 2006, 2007.
   - rritet me, domethënë herë.
   Përkatësisht:
   rubla
   rubla

Le të përmbledhim.

1) Një progresion gjeometrik ( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

2) Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik -.

3) mund të marrë çdo vlerë, përveç dhe.

• nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata pozitive;
• nëse, atëherë të gjithë anëtarët pasues të progresionit shenja alternative;
• at - progresion quhet pafundësisht në rënie.

4) , at është një veti e një progresion gjeometrik (terma fqinje)

ose
, në ( terma të barabarta)

Kur ta gjeni, mos harroni këtë duhet të ketë dy përgjigje..

Për shembull,

5) Shuma e anëtarëve të një progresion gjeometrik llogaritet me formulën:
ose

ose

E RËNDËSISHME! Ne përdorim formulën për shumën e termave të një progresioni gjeometrik pafundësisht në rënie vetëm nëse kushti thotë në mënyrë eksplicite se është e nevojshme të gjendet shuma e një numri të pafund termash.

6) Detyrat për interesin e përbërë llogariten gjithashtu me formulën e anëtarit të th të një progresion gjeometrik, me kusht që para të gatshme nuk hiqet nga qarkullimi:

PROGRESIONI GJEOMETRIK. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Progresioni gjeometrik( ) është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është i ndryshëm nga zero, dhe çdo term, duke filluar nga i dyti, është i barabartë me atë të mëparshëm, shumëzuar me të njëjtin numër. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik.

Emëruesi i një progresion gjeometrik mund të marrë çdo vlerë përveç dhe.

• Nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit kanë të njëjtën shenjë - ata janë pozitivë;
• nëse, atëherë të gjithë anëtarët e mëvonshëm të progresionit alternojnë shenjën;
• at - progresion quhet pafundësisht në rënie.

Ekuacioni i anëtarëve të një progresion gjeometrik - .

Shuma e termave të një progresion gjeometrik llogaritur me formulën:
ose

Nëse progresioni është pafundësisht në rënie, atëherë:

2/3 ARTIKUJT E MBETUR JANË TË DISPONUESHME VETËM PËR STUDENTET JUCLEVER!

Bëhuni student i YouClever,

Përgatituni për OGE ose PËRDORIM në matematikë me çmimin "një filxhan kafe në muaj",

Dhe gjithashtu merrni akses të pakufizuar në librin shkollor "YouClever", programin e trajnimit "100gia" (libër zgjidhjesh), provim të pakufizuar USE dhe OGE, 6000 detyra me analiza të zgjidhjeve dhe shërbime të tjera YouClever dhe 100gia.

Le të shqyrtojmë një seri.

7 28 112 448 1792...

Është absolutisht e qartë se vlera e ndonjë prej elementeve të tij është saktësisht katër herë më e madhe se ajo e mëparshme. Pra, ky serial është një progresion.

Një progresion gjeometrik është një sekuencë e pafundme numrash tipar kryesor që është se numri tjetër fitohet nga ai i mëparshmi duke shumëzuar me ndonjë numër specifik. Kjo shprehet me formulën e mëposhtme.

a z +1 =a z q, ku z është numri i elementit të zgjedhur.

Prandaj, z ∈ N.

Periudha kur studiohet një progresion gjeometrik në shkollë është klasa e 9-të. Shembujt do t'ju ndihmojnë të kuptoni konceptin:

0.25 0.125 0.0625...

Bazuar në këtë formulë, emëruesi i progresionit mund të gjendet si më poshtë:

As q as b z nuk mund të jenë zero. Gjithashtu, secili prej elementeve të progresionit nuk duhet të jetë i barabartë me zero.

Prandaj, për të zbuluar numrin tjetër në seri, duhet të shumëzoni atë të fundit me q.

Për të specifikuar këtë progresion, duhet të specifikoni elementin dhe emëruesin e tij të parë. Pas kësaj, është e mundur të gjendet ndonjë nga termat pasues dhe shuma e tyre.

Varietetet

Në varësi të q dhe a 1, ky progresion ndahet në disa lloje:

• Nëse edhe 1 edhe q janë më të mëdha se një, atëherë një sekuencë e tillë është një progresion gjeometrik që rritet me çdo element tjetër. Një shembull i tillë është paraqitur më poshtë.

Shembull: a 1 =3, q=2 - të dy parametrat janë më të mëdhenj se një.

Atëherë sekuenca numerike mund të shkruhet kështu:

3 6 12 24 48 ...

• Nëse |q| më pak se një, domethënë, shumëzimi me të është i barabartë me pjesëtimin, atëherë një progresion me kushte të ngjashme është një progresion gjeometrik në rënie. Një shembull i tillë është paraqitur më poshtë.

Shembull: a 1 =6, q=1/3 - a 1 është më e madhe se një, q është më e vogël.

Pastaj sekuenca numerike mund të shkruhet si më poshtë:

6 2 2/3 ... - çdo element është 3 herë më i madh se elementi pas tij.

• Shenjë-ndryshore. Nëse q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Shembull: a 1 = -3, q = -2 - të dy parametrat janë më pak se zero.

Pastaj sekuenca mund të shkruhet si kjo:

3, 6, -12, 24,...

Formulat

Për përdorim të përshtatshëm të progresioneve gjeometrike, ka shumë formula:

• Formula e anëtarit z. Ju lejon të llogaritni elementin nën një numër specifik pa llogaritur numrat e mëparshëm.

Shembull:q = 3, a 1 = 4. Kërkohet llogaritja e elementit të katërt të progresionit.

Zgjidhja:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Shuma e elementeve të parë numri i të cilëve është z. Ju lejon të llogaritni shumën e të gjithë elementëve të një sekuence deri nëa zpërfshirëse.

Që nga (1-q) është në emërues, atëherë (1 - q)≠ 0, pra q nuk është e barabartë me 1.

Shënim: nëse q=1, atëherë progresioni do të ishte një seri e një numri që përsëritet pafundësisht.

Shuma e një progresion gjeometrik, shembuj:a 1 = 2, q= -2. Llogaritni S 5.

Zgjidhja:S 5 = 22 - llogaritja me formulë.

• Shuma nëse |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Shembull:a 1 = 2 , q= 0,5. Gjeni shumën.

Zgjidhja:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Disa veti:

• veti karakteristike. Nëse kushti i mëposhtëm kryhet për ndonjëz, atëherë seria e dhënë e numrave është një progresion gjeometrik:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Gjithashtu, katrori i çdo numri të një progresioni gjeometrik gjendet duke mbledhur katrorët e çdo dy numrash të tjerë në një seri të caktuar, nëse ato janë në distancë të barabartë nga ky element.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , kutështë distanca ndërmjet këtyre numrave.

• Elementetndryshojnë në qnjë herë.
• Logaritmet e elementeve të progresionit gjithashtu formojnë një progresion, por tashmë aritmetik, domethënë secila prej tyre është më e madhe se e mëparshmja me një numër të caktuar.

Shembuj të disa problemeve klasike

Për të kuptuar më mirë se çfarë është një progresion gjeometrik, shembujt me një zgjidhje për klasën 9 mund të ndihmojnë.

• Kushtet:a 1 = 3, a 3 = 48. Gjeniq.

Zgjidhja: çdo element pasues është më i madh se ai i mëparshmi nëq një herë.Është e nevojshme që disa elementë të shprehen përmes të tjerëve duke përdorur një emërues.

Rrjedhimisht,a 3 = q 2 · a 1

Gjatë zëvendësimitq= 4

• Kushtet:a 2 = 6, a 3 = 12. Llogarit S 6 .

Zgjidhja:Për ta bërë këtë, mjafton të gjesh q, elementin e parë dhe ta zëvendësosh atë në formulë.

a 3 = q· a 2 , Si rrjedhim,q= 2

a 2 = q a 1,prandaj a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Gjeni elementin e katërt të progresionit.

Zgjidhja: për ta bërë këtë, mjafton të shprehni elementin e katërt përmes të parës dhe përmes emëruesit.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Shembull aplikimi:

• Klienti i bankës bëri një depozitë në shumën prej 10,000 rubla, sipas kushteve të së cilës çdo vit klienti do të shtojë 6% të saj në shumën e principalit. Sa para do të jenë në llogari pas 4 vjetësh?

Zgjidhja: Shuma fillestare është 10 mijë rubla. Pra, një vit pas investimit, llogaria do të ketë një shumë të barabartë me 10,000 + 10,000 · 0,06 = 10000 1,06

Prandaj, shuma në llogari pas një viti tjetër do të shprehet si më poshtë:

(10000 1.06) 0.06 + 10000 1.06 = 1.06 1.06 10000

Domethënë, çdo vit shuma rritet me 1.06 herë. Kjo do të thotë që për të gjetur shumën e fondeve në llogari pas 4 vitesh, mjafton të gjesh elementin e katërt të progresionit, i cili jepet nga elementi i parë i barabartë me 10 mijë, dhe emëruesi i barabartë me 1.06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625

Shembuj të detyrave për llogaritjen e shumës:

Në probleme të ndryshme, përdoret një progresion gjeometrik. Një shembull për gjetjen e shumës mund të jepet si më poshtë:

a 1 = 4, q= 2, llogaritS5.

Zgjidhja: të gjitha të dhënat e nevojshme për llogaritjen janë të njohura, thjesht duhet t'i zëvendësoni ato në formulë.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Llogaritni shumën e gjashtë elementëve të parë.

Zgjidhja:

Gjeom. progresion, çdo element tjetër është q herë më i madh se ai i mëparshmi, domethënë, për të llogaritur shumën, duhet të dini elementina 1 dhe emëruesq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Në mënyrë të ngjashme, ne duhet të gjejmëa 1 , duke ditura 2 Dheq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Një progresion gjeometrik është një sekuencë numerike, termi i parë i së cilës është jo zero, dhe çdo term tjetër është i barabartë me termin e mëparshëm të shumëzuar me të njëjtin numër jozero.

Progresioni gjeometrik shënohet b1,b2,b3, …, bn, ….

Raporti i çdo termi të gabimit gjeometrik me termin e tij të mëparshëm është i barabartë me të njëjtin numër, domethënë, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Kjo rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i një progresion aritmetik. Ky numër quhet emëruesi i një progresion gjeometrik. Zakonisht emëruesi i një progresion gjeometrik shënohet me shkronjën q.

Sekuenca monotonike dhe konstante

Një mënyrë për të vendosur një progresion gjeometrik është të vendosni termin e parë b1 dhe emëruesin e gabimit gjeometrik q. Për shembull, b1=4, q=-2. Këto dy kushte japin një progresion gjeometrik prej 4, -8, 16, -32, ... .

Nëse q>0 (q nuk është e barabartë me 1), atëherë progresioni është sekuencë monotone. Për shembull, sekuenca, 2, 4,8,16,32, ... është një sekuencë monotonike në rritje (b1=2, q=2).

Nëse emëruesi q=1 në gabimin gjeometrik, atëherë të gjithë anëtarët e progresionit gjeometrik do të jenë të barabartë me njëri-tjetrin. Në raste të tilla, progresi thuhet të jetë sekuencë konstante.

Formula e anëtarit të n-të të një progresion gjeometrik

Në mënyrë që sekuenca numerike (bn) të jetë një progresion gjeometrik, është e nevojshme që secili prej anëtarëve të tij, duke filluar nga i dyti, të jetë mesatarja gjeometrike e anëtarëve fqinjë. Kjo do të thotë, është e nevojshme të përmbushet ekuacioni i mëposhtëm
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), për çdo n>0, ku n i përket bashkësisë së numrave natyrorë N.

Formula për anëtarin e n-të të një progresion gjeometrik është:

bn=b1*q^(n-1),

ku n i përket bashkësisë së numrave natyrorë N.

Formula për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik

Formula për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik është:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) ku q nuk është e barabartë me 1.

Konsideroni një shembull të thjeshtë:

Në progresionin gjeometrik b1=6, q=3, n=8 gjeni Sn.

Për të gjetur S8, ne përdorim formulën për shumën e n termave të parë të një progresion gjeometrik.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.