Si të zgjidhim një ekuacion racional. Sistemet e ekuacioneve racionale në matematikë Ekuacionet racionale dhe sistemet e ekuacioneve racionale

Udhëzimet

Metoda e ZëvendësimitShprehni një variabël dhe zëvendësojeni atë me një ekuacion tjetër. Ju mund të shprehni çdo variabël sipas gjykimit tuaj. Për shembull, shprehni y nga ekuacioni i dytë:
x-y=2 => y=x-2 Më pas zëvendësoni gjithçka në ekuacionin e parë:
2x+(x-2)=10 Zhvendosni çdo gjë pa “x” në anën e djathtë dhe llogarisni:
2x+x=10+2
3x=12 Më pas, për të marrë x, pjesëtoni të dyja anët e ekuacionit me 3:
x=4. Pra, gjetët “x. Gjeni "y. Për ta bërë këtë, zëvendësoni "x" në ekuacionin nga i cili shprehët "y":
y=x-2=4-2=2
y=2.

Bëni një kontroll. Për ta bërë këtë, zëvendësoni vlerat që rezultojnë në ekuacionet:
2*4+2=10
4-2=2
Të panjohurat janë gjetur saktë!

Një mënyrë për të shtuar ose zbritur ekuacione Hiqni qafe çdo variabël menjëherë. Në rastin tonë, kjo është më e lehtë të bëhet me "y.
Meqenëse në ekuacionin "y" ka një shenjë "+", dhe në të dytën "-", atëherë mund të kryeni operacionin e mbledhjes, d.m.th. palosni anën e majtë me të majtën dhe të djathtën me të djathtën:
2x+y+(x-y)=10+2Konverto:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Zëvendësoni “x” në çdo ekuacion dhe gjeni “y”:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Duke përdorur metodën e parë, mund të kontrolloni nëse rrënjët janë gjetur saktë.

Nëse nuk ka variabla të përcaktuar qartë, atëherë është e nevojshme të transformohen pak ekuacionet.
Në ekuacionin e parë kemi "2x", dhe në të dytin kemi thjesht "x". Për të zvogëluar x gjatë mbledhjes ose zbritjes, shumëzojeni ekuacionin e dytë me 2:
x-y=2
2x-2y=4Pastaj zbritni të dytën nga ekuacioni i parë:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Vini re se nëse ka një minus përpara kllapës, atëherë pas hapjes, ndryshoni shenjat në ato të kundërta:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
gjeni y=2x duke u shprehur nga ndonjë ekuacion, d.m.th.
x=4

Video mbi temën

Kur zgjidhen ekuacionet diferenciale, argumenti x (ose koha t në problemet fizike) nuk është gjithmonë i disponueshëm në mënyrë eksplicite. Sidoqoftë, ky është një rast i veçantë i thjeshtuar i specifikimit të një ekuacioni diferencial, i cili shpesh ndihmon për të thjeshtuar kërkimin e integralit të tij.

Udhëzimet

Konsideroni një problem fizik që rezulton në një ekuacion diferencial në të cilin mungon argumenti t. Ky është një problem në lidhje me lëkundjet e një mase m të varur në një fije me gjatësi r të vendosur në një plan vertikal. Ekuacioni i lëvizjes së lavjerrësit kërkohet nëse fillimisht ka qenë i palëvizshëm dhe i anuar nga gjendja e ekuilibrit me një kënd α. Forcat duhet të neglizhohen (shih Fig. 1a).

Zgjidhje. Lavjerrësi matematik është një pikë materiale e varur në një fill pa peshë dhe të pazgjatur në pikën O. Dy forca veprojnë në pikë: forca e gravitetit G=mg dhe forca e tensionit të fillit N. Të dyja këto forca shtrihen në rrafshin vertikal . Prandaj, për të zgjidhur problemin, mund të aplikoni ekuacionin e lëvizjes rrotulluese të një pike rreth një boshti horizontal që kalon nga pika O. Ekuacioni i lëvizjes rrotulluese të një trupi ka formën e treguar në Fig. 1b. Në këtë rast, I është momenti i inercisë së pikës materiale; j është këndi i rrotullimit të fillit së bashku me pikën, i matur nga boshti vertikal në drejtim të kundërt të akrepave të orës; M është momenti i forcave të aplikuara në një pikë materiale.

Llogaritni këto vlera. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Por M(N)=0, meqenëse vija e veprimit të forcës kalon në pikën O. M(G)=-mgrsinj. Shenja "-" do të thotë që momenti i forcës drejtohet në drejtim të kundërt me lëvizjen. Zëvendësoni momentin e inercisë dhe momentin e forcës në ekuacionin e lëvizjes dhe merrni ekuacionin e treguar në Fig. 1s. Duke reduktuar masën, shfaqet një marrëdhënie (shih Fig. 1d). Këtu nuk ka asnjë argument.

Ne kemi mësuar tashmë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike. Tani le t'i zgjerojmë metodat e studiuara në ekuacione racionale.

Çfarë është një shprehje racionale? Ne e kemi hasur tashmë këtë koncept. Shprehje racionale janë shprehje të përbëra nga numra, ndryshore, fuqitë e tyre dhe simbole të veprimeve matematikore.

Prandaj, ekuacionet racionale janë ekuacione të formës: , ku - shprehje racionale.

Më parë, ne konsideruam vetëm ato ekuacione racionale që mund të reduktohen në ato lineare. Tani le të shohim ato ekuacione racionale që mund të reduktohen në ekuacione kuadratike.

Shembulli 1

Zgjidheni ekuacionin: .

Zgjidhja:

Një thyesë është e barabartë me 0 nëse dhe vetëm nëse numëruesi i saj është i barabartë me 0 dhe emëruesi i tij nuk është i barabartë me 0.

Ne marrim sistemin e mëposhtëm:

Ekuacioni i parë i sistemit është një ekuacion kuadratik. Para se ta zgjidhim, le t'i ndajmë të gjithë koeficientët e tij me 3. Marrim:

Marrim dy rrënjë: ; .

Meqenëse 2 nuk është kurrë e barabartë me 0, duhet të plotësohen dy kushte: . Meqenëse asnjë nga rrënjët e ekuacionit të marrë më sipër nuk përkon me vlerat e pavlefshme të ndryshores që janë marrë gjatë zgjidhjes së pabarazisë së dytë, ato janë të dyja zgjidhje për këtë ekuacion.

Përgjigje:.

Pra, le të formulojmë një algoritëm për zgjidhjen e ekuacioneve racionale:

1. Zhvendoseni të gjithë termat në anën e majtë në mënyrë që ana e djathtë të përfundojë me 0.

2. Transformoni dhe thjeshtoni anën e majtë, sillni të gjitha thyesat në një emërues të përbashkët.

3. Barazoni thyesën që rezulton me 0 duke përdorur algoritmin e mëposhtëm: .

4. Shkruani ato rrënjë që janë marrë në ekuacionin e parë dhe plotësoni mosbarazimin e dytë në përgjigje.

Le të shohim një shembull tjetër.

Shembulli 2

Zgjidhe ekuacionin: .

Zgjidhje

Që në fillim i lëvizim të gjitha termat majtas në mënyrë që 0 të mbetet në të djathtë. Marrim:

Tani le të sjellim anën e majtë të ekuacionit në një emërues të përbashkët:

Ky ekuacion është i barabartë me sistemin:

Ekuacioni i parë i sistemit është një ekuacion kuadratik.

Koeficientët e këtij ekuacioni: . Ne llogarisim diskriminuesin:

Marrim dy rrënjë: ; .

Tani le të zgjidhim pabarazinë e dytë: produkti i faktorëve nuk është i barabartë me 0 nëse dhe vetëm nëse asnjë nga faktorët nuk është i barabartë me 0.

Duhet të plotësohen dy kushte: . Ne gjejmë se nga dy rrënjët e ekuacionit të parë, vetëm një është e përshtatshme - 3.

Përgjigje:.

Në këtë mësim, ne kujtuam se çfarë është një shprehje racionale, dhe gjithashtu mësuam se si të zgjidhim ekuacionet racionale, të cilat reduktohen në ekuacione kuadratike.

Në mësimin tjetër do të shikojmë ekuacionet racionale si modele të situatave reale, dhe gjithashtu do të shohim problemet e lëvizjes.

Bibliografi

Bashmakov M.I. Algjebra, klasa e 8-të. - M.: Arsimi, 2004.
Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dhe të tjerë Algjebra, 8. 5th ed. - M.: Arsimi, 2010.
Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algjebra, klasa e 8-të. Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm. - M.: Arsimi, 2006.

Festivali i ideve pedagogjike "Mësim i Hapur" ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Detyre shtepie

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Në një ekuacion të zgjedhur në mënyrë arbitrare (nga sistemi), futni numrin 11 në vend të "lojës" së gjetur tashmë dhe llogaritni të panjohurën e dytë:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Përgjigja për këtë sistem ekuacionesh është x=116, y=11.

Metoda grafike.
Ai konsiston në gjetjen praktike të koordinatave të pikës në të cilën vijat e drejta, të shkruara matematikisht në një sistem ekuacionesh, kryqëzohen. Grafikët e të dy vijave duhet të vizatohen veçmas në të njëjtin sistem koordinativ. Forma e përgjithshme e ekuacionit të drejtëzës: – у=khх+b. Për të ndërtuar një vijë të drejtë, mjafton të gjesh koordinatat e dy pikave dhe x zgjidhet në mënyrë arbitrare.
Le të jepet sistemi: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Një vijë e drejtë ndërtohet duke përdorur ekuacionin e parë; për lehtësi, duhet ta shkruani: y = 2x-4. Dilni me vlera (më të lehta) për x, duke e zëvendësuar atë në ekuacion, duke e zgjidhur atë dhe duke gjetur y. Marrim dy pika përgjatë të cilave ndërtohet një vijë e drejtë. (shiko foton)
x 0 1

y -4 -2
Një drejtëz ndërtohet duke përdorur ekuacionin e dytë: y=-3x+1.
Ndërtoni gjithashtu një vijë të drejtë. (shiko foton)

y 1 -5
Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të dy vijave të ndërtuara në grafik (nëse vijat nuk kryqëzohen, atëherë sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje - kjo ndodh).

Video mbi temën

Këshilla të dobishme

Nëse zgjidhni të njëjtin sistem ekuacionesh në tre mënyra të ndryshme, përgjigja do të jetë e njëjtë (nëse zgjidhja është e saktë).

Burimet:

Algjebra e klasës së 8-të
zgjidhni një ekuacion me dy të panjohura në internet
Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare me dy

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh është sfiduese dhe emocionuese. Sa më kompleks të jetë sistemi, aq më interesant është për t'u zgjidhur. Më shpesh në matematikën e shkollës së mesme ka sisteme ekuacionesh me dy të panjohura, por në matematikën e lartë mund të ketë më shumë variabla. Sistemet mund të zgjidhen duke përdorur disa metoda.

Udhëzimet

Metoda më e zakonshme për zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh është zëvendësimi. Për ta bërë këtë, është e nevojshme të shprehni një variabël në terma të një tjetri dhe ta zëvendësoni atë në ekuacionin e dytë të sistemit, duke reduktuar kështu ekuacionin në një ndryshore. Për shembull, jepen ekuacionet e mëposhtme: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Nga shprehja e dytë është e përshtatshme të shprehni një nga variablat, duke lëvizur gjithçka tjetër në anën e djathtë të shprehjes, duke mos harruar të ndryshoni shenjën e koeficientit: x = 3-y.

Hapni kllapat: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1. Vlerën që rezulton y e zëvendësojmë me shprehjen: x=3-y;x=3-1;x=2 .

Në shprehjen e parë të gjithë termat janë 2, mund të vendosni 2 jashtë kllapave

Ne prezantuam ekuacionin e mësipërm në § 7. Së pari, le të kujtojmë se çfarë është një shprehje racionale. Kjo është një shprehje algjebrike e përbërë nga numra dhe ndryshorja x duke përdorur veprimet e mbledhjes, zbritjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe fuqizimit me një eksponent natyror.

Nëse r(x) është një shprehje racionale, atëherë ekuacioni r(x) = 0 quhet ekuacion racional.

Sidoqoftë, në praktikë është më i përshtatshëm të përdoret një interpretim pak më i gjerë i termit "ekuacion racional": ky është një ekuacion i formës h(x) = q(x), ku h(x) dhe q(x) janë shprehjet racionale.

Deri më tani, ne nuk mund të zgjidhnim asnjë ekuacion racional, por vetëm një ekuacion që, si rezultat i transformimeve dhe arsyetimit të ndryshëm, u reduktua në ekuacioni linear. Tani aftësitë tona janë shumë më të mëdha: do të jemi në gjendje të zgjidhim një ekuacion racional që reduktohet jo vetëm në linear
mu, por edhe te ekuacioni kuadratik.

Le të kujtojmë se si kemi zgjidhur ekuacionet racionale më parë dhe të përpiqemi të formulojmë një algoritëm zgjidhjeje.

Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë

Në këtë rast, si zakonisht, përfitojmë nga fakti se barazitë A = B dhe A - B = 0 shprehin të njëjtën marrëdhënie midis A dhe B. Kjo na lejoi të zhvendosim termin në anën e majtë të ekuacionit me shenjë e kundërt.

Le të transformojmë anën e majtë të ekuacionit. Ne kemi

Le të kujtojmë kushtet e barazisë thyesat zero: nëse dhe vetëm nëse dy marrëdhënie janë të kënaqura njëkohësisht:

1) numëruesi i thyesës është zero (a = 0); 2) emëruesi i thyesës është i ndryshëm nga zero).
Duke barazuar numëruesin e thyesës në anën e majtë të ekuacionit (1) me zero, marrim

Mbetet për të kontrolluar përmbushjen e kushtit të dytë të treguar më lart. Lidhja do të thotë për ekuacionin (1) që . Vlerat x 1 = 2 dhe x 2 = 0,6 plotësojnë marrëdhëniet e treguara dhe për këtë arsye shërbejnë si rrënjët e ekuacionit (1), dhe në të njëjtën kohë rrënjët e ekuacionit të dhënë.

1) Le ta shndërrojmë ekuacionin në formë

2) Le të transformojmë anën e majtë të këtij ekuacioni:

(ndryshuan njëkohësisht shenjat në numërues dhe
thyesat).
Kështu, ekuacioni i dhënë merr formën

3) Zgjidhe ekuacionin x 2 - 6x + 8 = 0. Gjeni

4) Për vlerat e gjetura, kontrolloni përmbushjen e kushtit . Numri 4 e plotëson këtë kusht, por numri 2 jo. Kjo do të thotë se 4 është rrënja e ekuacionit të dhënë, dhe 2 është një rrënjë e jashtme.
PËRGJIGJE: 4.

2. Zgjidhja e ekuacioneve racionale duke futur një ndryshore të re

Metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re është e njohur për ju; ne e kemi përdorur atë më shumë se një herë. Le të tregojmë me shembuj se si përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve racionale.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin x 4 + x 2 - 20 = 0.

Zgjidhje. Le të prezantojmë një ndryshore të re y = x 2 . Meqenëse x 4 = (x 2) 2 = y 2, ekuacioni i dhënë mund të rishkruhet si

y 2 + y - 20 = 0.

Ky është një ekuacion kuadratik, rrënjët e të cilit mund të gjenden duke përdorur të njohura formulat; marrim y 1 = 4, y 2 = - 5.
Por y = x 2, që do të thotë se problemi është reduktuar në zgjidhjen e dy ekuacioneve:
x 2 =4; x 2 = -5.

Nga ekuacioni i parë konstatojmë se ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë.
Përgjigje:.
Një ekuacion i formës ax 4 + bx 2 + c = 0 quhet ekuacion bikuadratik ("bi" është dy, d.m.th., një lloj ekuacioni "të dyfishtë kuadratik"). Ekuacioni i sapozgjidhur ishte pikërisht bikuadratik. Çdo ekuacion bikuadratik zgjidhet në të njëjtën mënyrë si ekuacioni nga Shembulli 3: futni një ndryshore të re y = x 2, zgjidhni ekuacionin kuadratik që rezulton në lidhje me ndryshoren y dhe pastaj kthehuni te ndryshorja x.

Shembulli 4. Zgjidhe ekuacionin

Zgjidhje. Vini re se e njëjta shprehje x 2 + 3x shfaqet dy herë këtu. Kjo do të thotë se ka kuptim të prezantohet një ndryshore e re y = x 2 + 3x. Kjo do të na lejojë të rishkruajmë ekuacionin në një formë më të thjeshtë dhe më të këndshme (që, në fakt, është qëllimi i prezantimit të një e ndryshueshme- dhe thjeshtimi i regjistrimit
bëhet më e qartë dhe struktura e ekuacionit bëhet më e qartë):

Tani le të përdorim algoritmin për zgjidhjen e një ekuacioni racional.

1) Le t'i zhvendosim të gjitha termat e ekuacionit në një pjesë:

= 0
2) Transformoni anën e majtë të ekuacionit

Pra, ekuacionin e dhënë e kemi shndërruar në formë

3) Nga ekuacioni - 7y 2 + 29y -4 = 0 gjejmë (ju dhe unë kemi zgjidhur tashmë mjaft ekuacione kuadratike, kështu që ndoshta nuk ia vlen të jepni gjithmonë llogaritjet e detajuara në tekstin shkollor).

4) Le të kontrollojmë rrënjët e gjetura duke përdorur kushtin 5 (y - 3) (y + 1). Të dy rrënjët e plotësojnë këtë kusht.
Pra, ekuacioni kuadratik për ndryshoren e re y është zgjidhur:
Meqenëse y = x 2 + 3x, dhe y, siç kemi përcaktuar, merr dy vlera: 4 dhe , ne ende duhet të zgjidhim dy ekuacione: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Rrënjët e ekuacionit të parë janë numrat 1 dhe - 4, rrënjët e ekuacionit të dytë janë numrat

Në shembujt e shqyrtuar, metoda e prezantimit të një ndryshoreje të re ishte, siç duan të thonë matematikanët, adekuate për situatën, domethënë, ajo korrespondonte mirë me të. Pse? Po, sepse e njëjta shprehje u shfaq qartë në ekuacion disa herë dhe kishte një arsye për ta caktuar këtë shprehje me një shkronjë të re. Por kjo nuk ndodh gjithmonë; ndonjëherë një ndryshore e re "shfaqet" vetëm gjatë procesit të transformimit. Kjo është pikërisht ajo që do të ndodhë në shembullin tjetër.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Zgjidhje. Ne kemi
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Kjo do të thotë se ekuacioni i dhënë mund të rishkruhet në formë

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Tani një ndryshore e re është "shfaqur": y = x 2 - 3x.

Me ndihmën e tij, ekuacioni mund të rishkruhet në formën y (y + 2) = 24 dhe pastaj y 2 + 2y - 24 = 0. Rrënjët e këtij ekuacioni janë numrat 4 dhe -6.

Duke u rikthyer te ndryshorja origjinale x, marrim dy ekuacione x 2 - 3x = 4 dhe x 2 - 3x = - 6. Nga ekuacioni i parë gjejmë x 1 = 4, x 2 = - 1; ekuacioni i dytë nuk ka rrënjë.

PËRGJIGJE: 4, - 1.

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendarik për vitin, rekomandimet metodologjike, programi i diskutimit Mësime të integruara

Qasja e autorit ndaj kësaj teme nuk është e rastësishme. Ekuacionet me dy ndryshore ndeshen për herë të parë në lëndën e klasës së 7-të. Një ekuacion me dy ndryshore ka një numër të pafund zgjidhjesh. Kjo tregohet qartë nga grafiku i një funksioni linear, i dhënë si ax + by=c. Në kursin e shkollës nxënësit studiojnë sistemet e dy ekuacioneve me dy ndryshore. Si rezultat, një sërë problemesh me kushte të kufizuara në koeficientin e ekuacionit, si dhe metodat për zgjidhjen e tyre, bien jashtë syve të mësuesit dhe, rrjedhimisht, të studentit.

Po flasim për zgjidhjen e një ekuacioni me dy të panjohura në numra të plotë ose në numra natyrorë.

Në shkollë, në klasat 4-6 studiohen numrat natyrorë dhe numrat e plotë. Në kohën kur ata mbarojnë shkollën, jo të gjithë studentët i mbajnë mend dallimet midis grupeve të këtyre numrave.

Megjithatë, një problem si "zgjidh një ekuacion të formës ax + by=c në numra të plotë" gjendet gjithnjë e më shumë në provimet pranuese në universitete dhe në materialet e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Zgjidhja e ekuacioneve të pasigurta zhvillon të menduarit logjik, inteligjencën dhe vëmendjen ndaj analizës.

Unë propozoj zhvillimin e disa mësimeve mbi këtë temë. Nuk kam rekomandime të qarta për kohën e këtyre mësimeve. Disa elementë mund të përdoren edhe në klasën e 7-të (për një klasë të fortë). Këto mësime mund të merren si bazë dhe të zhvillohet një lëndë e vogël zgjedhore për formimin paraprofesional në klasën e 9-të. Dhe, sigurisht, ky material mund të përdoret në klasat 10-11 për t'u përgatitur për provime.

Qëllimi i mësimit:

përsëritja dhe përgjithësimi i njohurive për temën "Ekuacionet e rendit të parë dhe të dytë"
duke ushqyer interesin njohës për këtë temë
zhvillimi i aftësisë për të analizuar, për të bërë përgjithësime, për të transferuar njohuri në një situatë të re

Mesimi 1.

Gjatë orëve të mësimit.

1) Org. moment.

2) Përditësimi i njohurive bazë.

Përkufizimi. Një ekuacion linear në dy ndryshore është një ekuacion i formës

mx + ny = k, ku m, n, k janë numra, x, y janë ndryshore.

Shembull: 5x+2y=10

Përkufizimi. Një zgjidhje për një ekuacion me dy ndryshore është një çift vlerash variablash që e kthejnë ekuacionin në një barazi të vërtetë.

Ekuacionet me dy ndryshore që kanë zgjidhje të njëjta quhen ekuivalente.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6

Ky ekuacion mund të ketë çdo numër zgjidhjesh. Për ta bërë këtë, mjafton të marrësh çdo vlerë x dhe të gjesh vlerën përkatëse y.

Le të jetë x = 2, y = -2,5 2+6 = 1

x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4

Çiftet e numrave (2;1); (4;-4) – zgjidhjet e ekuacionit (1).

Ky ekuacion ka pafundësisht shumë zgjidhje.

3) Sfondi historik

Ekuacionet e pacaktuara (Diofantine) janë ekuacione që përmbajnë më shumë se një ndryshore.

Në shekullin III. pas Krishtit - Diofanti i Aleksandrisë shkroi "Aritmetikën", në të cilën ai zgjeroi grupin e numrave në ato racionale dhe futi simbolikën algjebrike.

Diofanti shqyrtoi edhe problemet e zgjidhjes së ekuacioneve të pacaktuara dhe dha metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të pacaktuara të shkallës së dytë dhe të tretë.

4) Studimi i materialit të ri.

Përkufizim: Një ekuacion diofantin johomogjen i rendit të parë me dy të panjohura x, y është një ekuacion i formës mx + ny = k, ku m, n, k, x, y Z k0

Deklarata 1.

Nëse termi i lirë k në ekuacionin (1) nuk është i pjesëtueshëm me pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) të numrave m dhe n, atëherë ekuacioni (1) nuk ka zgjidhje me numër të plotë.

Shembull: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 nuk pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 17, nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Le të pjesëtohet k me gcd (m, n). Duke pjesëtuar të gjithë koeficientët, mund të sigurohemi që m dhe n të bëhen relativisht të thjeshtë.

Deklarata 2.

Nëse m dhe n e ekuacionit (1) janë numra relativisht të thjeshtë, atëherë ky ekuacion ka të paktën një zgjidhje.

Deklarata 3.

Nëse koeficientët m dhe n të ekuacionit (1) janë numra të përbashkët, atëherë ky ekuacion ka pafundësisht shumë zgjidhje:

Ku (; ) është çdo zgjidhje e ekuacionit (1), t Z

Përkufizimi. Një ekuacion homogjen diofantin i rendit të parë me dy të panjohura x, y është një ekuacion i formës mx + ny = 0, ku (2)

Deklarata 4.

Nëse m dhe n janë numra të dyfishtë, atëherë çdo zgjidhje e ekuacionit (2) ka formën

5) Detyrat e shtëpisë. Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë:

9x – 18y = 5
x + y= xy
Disa fëmijë po zgjidhnin mollët. Çdo djalë mblodhi 21 kg, kurse vajza 15 kg. Në total ata grumbulluan 174 kg. Sa djem dhe sa vajza mblodhën mollë?

Koment. Ky mësim nuk jep shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë. Prandaj, fëmijët zgjidhin detyrat e shtëpisë bazuar në pohimin 1 dhe përzgjedhjen.

Mësimi 2.

1) Momenti organizativ

2) Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

1) 9x – 18y = 5

5 nuk pjesëtohet me 9; nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Duke përdorur metodën e përzgjedhjes mund të gjeni një zgjidhje

Përgjigje: (0;0), (2;2)

3) Le të bëjmë një ekuacion:

Le të jenë djemtë x, x Z dhe vajzat y, y Z, atëherë mund të krijojmë ekuacionin 21x + 15y = 174

Shumë studentë, pasi kanë shkruar një ekuacion, nuk do të jenë në gjendje ta zgjidhin atë.

Përgjigje: 4 djem, 6 vajza.

3) Mësimi i materialit të ri

Duke hasur në vështirësi në kryerjen e detyrave të shtëpisë, studentët u bindën për nevojën për të mësuar metodat e tyre për zgjidhjen e ekuacioneve të pasigurta. Le të shohim disa prej tyre.

I. Metoda për marrjen në konsideratë të mbetjeve të pjesëtimit.

Shembull. Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë 3x – 4y = 1.

Ana e majtë e ekuacionit është e pjesëtueshme me 3, prandaj ana e djathtë duhet të jetë e pjestueshme. Le të shqyrtojmë tre raste.

Përgjigje: ku m Z.

Metoda e përshkruar është e përshtatshme për t'u përdorur nëse numrat m dhe n nuk janë të vegjël, por mund të zbërthehen në faktorë të thjeshtë.

Shembull: Zgjidhini ekuacionet me numra të plotë.

Le të y = 4n, atëherë 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) pjesëtohet me 4.

y = 4n+1, pastaj 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n nuk pjesëtohet me 4.

y = 4n+2, atëherë 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n nuk pjesëtohet me 4.

y = 4n+3, atëherë 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n nuk pjesëtohet me 4.

Prandaj y = 4n, atëherë

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Përgjigje: , ku n Z.

II. Ekuacione të pasigurta të shkallës së dytë

Sot në mësim do të prekim vetëm zgjidhjen e ekuacioneve diofantine të rendit të dytë.

Dhe nga të gjitha llojet e ekuacioneve, ne do të shqyrtojmë rastin kur mund të aplikojmë formulën e diferencës së katrorëve ose një metodë tjetër faktorizimi.

Shembull: Zgjidh një ekuacion me numra të plotë.

13 është një numër i thjeshtë, kështu që mund të faktorizohet vetëm në katër mënyra: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1) (-13) = (-13) (-1)

Le të shqyrtojmë këto raste

Përgjigje: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Detyrat e shtëpisë.

Shembuj. Zgjidheni ekuacionin me numra të plotë:

(x - y)(x + y)=4


2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	nuk përshtatet	nuk përshtatet

2x = -4	nuk përshtatet	nuk përshtatet
x = -2
y = 0

Përgjigje: (-2;0), (2;0).

Përgjigjet: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

Përgjigje: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Rezultatet. Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion me numra të plotë?

Cilat metoda për zgjidhjen e ekuacioneve të pasigurta dini?

Aplikacion:

Ushtrime për stërvitje.

1) Zgjidh me numra të plotë.

a) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
b) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
e) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
e) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Gjeni zgjidhje jonegative me numra të plotë të ekuacionit:

Zgjidhja:Z (2; -1)

Letërsia.

Enciklopedia për fëmijë "Pedagogji", Moskë, 1972.
Algjebra-8, N.Ya. Vilenkin, VO "Shkenca", Novosibirsk, 1992
Problemet e konkurrencës bazuar në teorinë e numrave. V.Ya. Galkin, D.Yu. Sychugov. MSU, VMK, Moskë, 2005.
Probleme të vështirësisë së shtuar në lëndën e algjebrës për klasat 7-9. N.P. Kosrykina. "Iluminizmi", Moskë, 1991
Algjebra 7, Makarychev Yu.N., "Iluminizmi".