Për të gjetur rrënjët e një ekuacioni jolinear përdoret. Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve jolineare. Algjebër. Metoda e thjeshtë e përsëritjes

Ekuacionet që përmbajnë funksione të panjohura të ngritura në një fuqi më të madhe se një quhen jolineare.
Për shembull, y=ax+b - ekuacioni linear, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – jolineare (përgjithësisht shkruhet si F(x)=0).

Një sistem ekuacionesh jolineare është zgjidhja e njëkohshme e disa ekuacioneve jolineare me një ose më shumë ndryshore.

Ka shumë metoda zgjidhja e ekuacioneve jolineare dhe sistemet e ekuacioneve jolineare, të cilat zakonisht klasifikohen në 3 grupe: numerike, grafike dhe analitike. Metodat analitike bëjnë të mundur përcaktimin e vlerave të sakta të zgjidhjes së ekuacioneve. Metodat grafike janë më pak të sakta, por lejojnë ekuacione komplekse përcaktoni vlerat më të përafërta, nga të cilat në të ardhmen mund të filloni të gjeni zgjidhje më të sakta për ekuacionet. Zgjidhja numerike e ekuacioneve jolineare përfshin kalimin në dy faza: ndarjen e rrënjës dhe përsosjen e saj në një saktësi të caktuar të caktuar.
Ndarja e rrënjëve kryhet në mënyra të ndryshme: grafikisht, duke përdorur programe të ndryshme kompjuterike të specializuara, etj.

Le të shqyrtojmë disa metoda për rafinimin e rrënjëve me një saktësi specifike.

Metodat për zgjidhjen numerike të ekuacioneve jolineare

Metoda e gjysmëpjestimit.

Thelbi i metodës së gjysmëpjestimit është që të ndahet intervali në gjysmë (с=(a+b)/2) dhe të hidhet poshtë pjesa e intervalit në të cilën nuk ka rrënjë, d.m.th. kushti F(a)xF(b)

Fig.1. Përdorimi i metodës së gjysmëpjestimit në zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

Konsideroni një shembull.

E ndajmë segmentin në 2 pjesë: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Nëse prodhimi F(a)*F(x)>0, atëherë fillimi i segmentit a transferohet në x (a=x), përndryshe, fundi i segmentit b transferohet në pikën x (b=x ). Segmentin që rezulton e ndajmë përsëri në gjysmë, etj. Të gjitha llogaritjet janë paraqitur në tabelën më poshtë.

Fig.2. Tabela e rezultateve të llogaritjes

Si rezultat i llogaritjeve, marrim vlerën, duke marrë parasysh saktësinë e kërkuar, e barabartë me x=-0.946

metoda e akordit.

Kur përdorni metodën e kordës, specifikohet një segment, në të cilin ka vetëm një rrënjë me saktësinë e specifikuar e. Një vijë (akord) vizatohet nëpër pikat në segmentin a dhe b, të cilat kanë koordinata (x(F(a); y(F(b))) Më pas, pikat e prerjes së kësaj drejtëze me boshtin e abshisave. (pika z) përcaktohen.
Nëse F(a)xF(z)

Fig.3. Përdorimi i metodës së kordave në zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

Konsideroni një shembull.Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 brenda e

Në përgjithësi, ekuacioni duket si: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Gjeni vlerat e F(x) në skajet e segmentit:

F(-1) = - 0,2>0;

Le të përcaktojmë derivatin e dytë F''(x) = 6x-0.4.

F''(-1)=-6.4
F''(0)=-0.4

Në skajet e segmentit vërehet kushti F(-1)F''(-1)>0, prandaj, për të përcaktuar rrënjën e ekuacionit, përdorim formulën:

Të gjitha llogaritjet janë paraqitur në tabelën më poshtë.

Fig.4. Tabela e rezultateve të llogaritjes

Si rezultat i llogaritjeve, marrim vlerën, duke marrë parasysh saktësinë e kërkuar, e barabartë me x=-0.946

Metoda tangjente (Njuton)

Kjo metodë bazohet në ndërtimin e tangjentave të grafikut, të cilat vizatohen në një nga skajet e intervalit. Në pikën e kryqëzimit me boshtin X (z1), ndërtohet një tangjente e re. Kjo procedurë vazhdon derisa vlera e fituar të jetë e krahasueshme me parametrin e dëshiruar të saktësisë e (F(zi)

Fig.5. Përdorimi i metodës së tangjenteve (Njuton) në zgjidhjen e ekuacioneve jolineare.

Konsideroni një shembull.Është e nevojshme të zgjidhet ekuacioni x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5 = 0 brenda e

Në përgjithësi, ekuacioni duket si: F(x)= x^3 - 0.2x^2 + 0.5x + 1.5

Le të përcaktojmë derivatin e parë dhe të dytë: F'(x)=3x^2-0.4x+0.5, F''(x)=6x-0.4;

F''(-1)=-6-0.4=-6.4
F''(0)=-0.4
Kushti F(-1)F''(-1)>0 plotësohet, kështu që llogaritjet bëhen sipas formulës:

Ku x0=b, F(a)=F(-1)=-0.2

Të gjitha llogaritjet janë paraqitur në tabelën më poshtë.

Fig.6. Tabela e rezultateve të llogaritjes

Si rezultat i llogaritjeve, marrim vlerën, duke marrë parasysh saktësinë e kërkuar, e barabartë me x=-0.946

ku funksioni f(x) është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të fundëm ose të pafundëm x(a, b) .

Një rrënjë e vetme quhet rrënjë e thjeshtë. Dy ekuacione quhen ekuivalente (ekuivalente) nëse bashkësitë e zgjidhjeve të tyre janë të njëjta.

Ekuacionet jolineare me një variabël ndahen në algjebrik (funksioni f(x) është algjebrik) dhe transcendent përndryshe. Tashmë në shembullin e një polinomi algjebrik, dihet se zerot f (x) mund të jenë reale dhe komplekse. Prandaj, një deklaratë më e saktë e problemit konsiston në gjetjen e rrënjëve të ekuacionit (6.1) të vendosura në një rajon të caktuar të planit kompleks. Mund të merret parasysh gjithashtu problemi i gjetjes së rrënjëve reale të vendosura në një segment të caktuar. Ndonjëherë, duke neglizhuar saktësinë e formulimeve, ata thjesht thonë se kërkohet të zgjidhet ekuacioni (6.1). Shumica e ekuacioneve jolineare algjebrike dhe transcendentale nuk mund të zgjidhen në mënyrë analitike (d.m.th., saktësisht), prandaj, në praktikë, përdoren metoda numerike për të gjetur rrënjët. Në këtë drejtim, me zgjidhjen e ekuacionit (6.1) nënkuptojmë problemin e gjetjes së rrënjëve të përafërta.

ekuacionet e formës (6.1). Në këtë rast, afërsia e vlerës së përafërt x me rrënjën ξ të ekuacionit, si rregull, kuptohet si përmbushje e pabarazisë.

| ξ − x |< ε при малых ε > 0 ,

ato. gabimi absolut i barazisë së përafërt x ≈ ξ .

Përdoret edhe gabimi relativ, d.m.th. vlera | ξ − x | .

Një funksion jolinear f (x) në domenin e tij të përkufizimit mund të ketë një numër të fundëm ose të pafundëm zerosh, ose mund të mos i ketë fare.

Zgjidhja numerike e ekuacionit jolinear (6.1) është të gjesh me një saktësi të caktuar vlerat e të gjitha ose disa prej rrënjëve të ekuacionit dhe ndahet në disa nëndetyra:

së pari, është e nevojshme të hulumtohet numri dhe natyra e rrënjëve (reale ose komplekse, të thjeshta ose të shumëfishta),

së dyti, për të përcaktuar vendndodhjen e tyre të përafërt, d.m.th. vlerat e fillimit dhe të fundit të segmentit, mbi të cilin shtrihet vetëm një rrënjë,

së treti, zgjidhni rrënjët e interesit për ne dhe llogaritni ato me saktësinë e kërkuar.

Shumica e metodave për gjetjen e rrënjëve kërkojnë njohuri për intervalet ku sigurisht ka një zero unike të funksionit. Për këtë arsye quhet detyra e dytë ndarja e rrënjëve. Pasi e kanë zgjidhur atë, në fakt, ata gjejnë vlerat e përafërta të rrënjëve me një gabim që nuk e kalon gjatësinë e segmentit që përmban rrënjën.

6.1. Ndarja e rrënjëve të një ekuacioni jolinear

Për funksionet pamje e përgjithshme Nuk ka mënyra universale për të zgjidhur problemin e ndarjes së rrënjëve. Vëmë re dy metoda të thjeshta për ndarjen e rrënjëve reale të një ekuacioni - tabelore dhe grafike.

Truku i parë është të llogaritni një tabelë të vlerave të funksionit në pikat e dhëna x i të vendosura në një distancë relativisht të vogël h nga njëra-tjetra dhe të përdorni teoremat e mëposhtme të analizës matematikore:

1. Nëse funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [а,b] dhe f(a)f(b)<0, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0.

2. Nëse funksioni y=f(x) është i vazhdueshëm në intervalin [а,b], f(a)f(b)< 0 и f′(x) на интервале (a,b) сохраняет знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0.

Duke llogaritur vlerat e funksionit në këto pika (ose vetëm duke përcaktuar shenjat e f (x i) ), ato krahasohen në pikat fqinje, d.m.th. kontrollo, jo

nëse në segmentin [ x i − 1 , x i ] plotësohet kushti f (x i − 1 ) f (x i ) ≤ 0. Kështu, nëse për disa i numrat f (x i − 1 ) dhe f (x i ) kanë shenja të ndryshme, atëherë kjo do të thotë se në intervalin (x i − 1 , x i ) ekuacioni ka të paktën

një rrënjë reale e shumëfishimit tek (më saktë, një numër tek rrënjët). Është shumë e vështirë të identifikosh rrënjën e shumëfishimit nga tabela. Nëse numri i rrënjëve në zonën në studim dihet paraprakisht, atëherë duke rafinuar hapin e kërkimit h , një proces i tillë mund t'i lokalizojë ato ose të sjellë

procesi në një gjendje që lejon të pohohet prania e çifteve të rrënjëve që janë të padallueshme me një saktësi h = ε. Kjo është një mënyrë e njohur e përsëritjes.

Sipas tabelës, mund të vizatoni funksionin y \u003d f (x) . Të rrënjosura

Ekuacionet (6.1) janë ato vlera x në të cilat grafiku i funksionit pret boshtin x. Kjo metodë është më vizuale dhe jep vlera të mira të përafërta të rrënjëve. Grafikimi i një funksioni, edhe me saktësi të ulët, zakonisht jep një ide për vendndodhjen dhe natyrën e rrënjëve të ekuacionit (ndonjëherë madje zbulon rrënjët e shumëfishimit). Në shumë probleme teknike, një saktësi e tillë tashmë është e mjaftueshme.

Nëse vizatimi i funksionit y \u003d f (x) është i vështirë, duhet ta transformoni ekuacionin origjinal në formën ) mjafton

janë të thjeshta. Abshisat e pikave të kryqëzimit të këtyre grafikëve do të jenë rrënjët e ekuacionit.

ξ2.

Le të supozojmë se rrënja e dëshiruar e ekuacionit është e ndarë, d.m.th. gjeti një segment në të cilin ka vetëm një rrënjë të ekuacionit. Për të llogaritur rrënjën me saktësinë e kërkuar ε, zakonisht përdoret një procedurë përsëritëse për rafinimin e rrënjës, e cila ndërton një sekuencë numerike prej x n vlerash që konvergojnë në rrënjën e dëshiruar të ekuacionit.

Përafrimi fillestar x 0 zgjidhet në segment, vazhdo

llogaritjet deri në mosbarazimin x n − 1 − x n< ε , и считают, что x n – есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Имеется

shumë metoda të ndryshme për ndërtimin e sekuencave të tilla dhe zgjedhja e një algoritmi është një pikë shumë e rëndësishme në zgjidhjen praktike të problemit. Një rol të rëndësishëm në këtë luhet nga vetitë e tilla të metodës si thjeshtësia, besueshmëria, ekonomia, karakteristika më e rëndësishme është shkalla e konvergjencës së saj.

α =1 konvergjenca quhet lineare, për 1<α <2 – сверхлинейной, при α =2 – квадратичной. С ростом α алгоритм, как правило, усложняется и условия сходимости становятся более жесткими.

Vlerat e përafërta të rrënjëve rafinohen me metoda të ndryshme përsëritëse. Le të shqyrtojmë më efektivët prej tyre.

6.2. Metoda e prerjes (prerjet, dikotomitë)

Le të jetë funksioni f (x) i përcaktuar dhe i vazhdueshëm për të gjitha x [ a , b ] dhe të ndryshojë shenjën, d.m.th. f(a) f(b)< 0 . Тогда согласно теореме 1 уравнение имеет на (a , b ) хотя бы один корень. Возьмем произвольную точку c (a , b ) . Будем называть в этом случае отрезок промежутком

ekzistenca, rrënja dhe pika c - një pikë prove. Meqenëse këtu po flasim vetëm për funksionet reale të një ndryshoreje reale, atëherë

llogaritja e vlerës së f(c) do të rezultojë në një nga sa vijon

situata ekskluzive reciproke:

A) f(a) f(c)< 0 Б) f (c ) f (b ) < 0 В) f (c ) = 0

Nëse f (c) = 0, atëherë gjendet rrënja e ekuacionit. Përndryshe, nga dy pjesët e segmentit [ a , c ] ose [ c , b ] zgjedhim atë në skajet e së cilës funksioni ka shenja të ndryshme, pasi njëra prej rrënjëve shtrihet në këtë gjysmë.

Në një hap të metodës së përgjysmimit, intervali i ekzistencës së rrënjës përgjysmohet saktësisht. Prandaj, nëse për përafrimin k-të me rrënjën ξ të ekuacionit marrim pikën xk , e cila është mesi i segmentit [ ak , bk ] i marrë në hapin e k-të, duke vendosur a 0 = a , b 0 = b , atëherë vijmë te pabarazia

e cila, nga njëra anë, na lejon të pohojmë se sekuenca (x k ) ka një kufi - rrënja ξ e dëshiruar e ekuacionit (6.1), nga ana tjetër, është një vlerësim apriori gabimi absolut i barazisë x k ≈ ξ , i cili bën të mundur llogaritjen e numrit të hapave (përsëritjeve) të metodës së dyfishimit, të mjaftueshëm për të marrë rrënjën ξ me një saktësi të dhënë ε. Për

e cila duhet të gjejë vetëm k-në natyrore më të vogël që plotëson pabarazinë

b 2 − k a< ε .

E thënë thjesht, nëse doni të gjeni një rrënjë me një saktësi prej ε, atëherë vazhdojmë të ndajmë në gjysmë derisa gjatësia e segmentit të bëhet më e vogël se 2ε. Pastaj mesi i segmentit të fundit do të japë vlerat e rrënjës me saktësinë e kërkuar.

Dikotomia është e thjeshtë dhe shumë e besueshme: ajo konvergjon në një rrënjë të thjeshtë për çdo funksion të vazhdueshëm f(x), duke përfshirë ato jo të diferencueshme;

në të njëjtën kohë, është rezistent ndaj gabimeve të rrumbullakosjes. Shkalla e konvergjencës është e ulët: në një përsëritje, saktësia rritet me rreth një faktor prej dy, d.m.th. Përsosja e tre shifrave kërkon 10 përsëritje. Por saktësia e përgjigjes është e garantuar.

Disavantazhet kryesore të metodës së dikotomisë përfshijnë sa vijon.

1. Për të filluar llogaritjen, duhet të gjeni segmentin në të cilin funksioni ndryshon shenjën. Nëse ka disa rrënjë në këtë segment, atëherë nuk dihet paraprakisht se në cilën prej tyre procesi do të konvergojë (edhe pse patjetër do të konvergojë në njërën prej tyre).

2. Metoda nuk është e zbatueshme për rrënjët madje të shumëfishta.

3. Për rrënjët me shumësi teke të larta, ai konvergjon, por është më pak i saktë dhe më pak rezistent ndaj gabimeve të rrumbullakosjes që ndodhin gjatë llogaritjes së vlerave të funksionit.

Dikotomia përdoret kur kërkohet besueshmëri e lartë e llogaritjes dhe shkalla e konvergjencës ka pak rëndësi.

Një nga të metat e dikotomisë - konvergjenca në një rrënjë të panjohur - është karakteristike për pothuajse të gjitha metodat përsëritëse. Mund të eliminohet duke hequr rrënjën e gjetur tashmë.

Nëse x 1 është një rrënjë e thjeshtë e ekuacionit dhe f (x) është Lipschitz-i vazhdueshëm, atëherë funksioni ndihmës g (x) = f (x) /(x − x 1) është i vazhdueshëm, dhe të gjitha zerot e funksioneve f (x) dhe g(x) përkojnë, përveç x 1, pasi g (x 1 ) ≠ 0. Nëse x 1 është një rrënjë e shumëfishtë e ekuacionit, atëherë do të jetë zero g (x) e shumëfishimit për njësi

më pak; zerot e mbetura të të dy funksioneve do të jenë ende të njëjta. Prandaj, rrënja e gjetur mund të fshihet, d.m.th. shkoni në funksion

kjo rrënjë, është afër g(x) . Në mënyrë që kjo të mos ndikojë në gjetjen e rrënjëve të ardhshme, duhet të llogarisni secilën rrënjë me saktësi të lartë, veçanërisht nëse është një shumëfish ose një rrënjë tjetër e ekuacionit ndodhet afër saj.

6.3. metoda e akordit

Është logjike të supozohet se në familjen e metodave të dikotomisë, mund të arrihen rezultate disi më të mira nëse segmenti ndahet me pikën c jo në gjysmë, por në proporcion me vlerat e ordinatave f (a) dhe f ( b) .

Kjo do të thotë se ka kuptim të gjendet pika c si abshisa e pikës së kryqëzimit

bosht Ox me një vijë të drejtë që kalon nëpër pikat A (a, f (a)) dhe B (b, f (b)), përndryshe, me një akord

harqet e grafikut të funksionit f (x) . Kjo mënyrë

zgjedhja e një pike prove quhet metoda e kordave ose me interpolim linear.

Le të shkruajmë ekuacionin e një drejtëze që kalon nëpër pikat A dhe B:

Metoda e kordës, si algoritmi i metodës së përgjysmimit, ndërton një sekuencë segmentesh të mbivendosur [a n, b n], por x n merret si pika e kryqëzimit të kordës me boshtin e abshisës:

Në këtë rast, gjatësia e intervalit të lokalizimit të rrënjës mund të mos priret në zero, kështu që zakonisht llogaritja kryhet derisa vlerat e dy përafrimeve të njëpasnjëshme të përkojnë me një saktësi prej ε. Metoda konvergon në mënyrë lineare, por afërsia e dy përafrimeve të njëpasnjëshme nuk do të thotë gjithmonë se rrënja gjendet me saktësinë e kërkuar. Pra, nëse 0< m ≤ | f ′ (x )| ≤ M , x [ a , b ] ,

M − m

Një kriter praktik më i besueshëm për përfundimin e përsëritjeve në metodën e kordës është përmbushja e pabarazisë

konverguar në rrënjën e këtij ekuacioni

funksioni i shenjës së vazhdueshme. Ne zgjedhim një përafrim zero x 0 dhe llogarisim përafrime të mëtejshme duke përdorur formulat

Këto formula përcaktojnë një metodë të përgjithshme përsëritëse me një hap të quajtur metodë e thjeshtë e përsëritjes. Le të përpiqemi të kuptojmë se si

funksioni ϕ (x) duhet të plotësojë kërkesat në mënyrë që sekuenca (x k) e përcaktuar nga (6.7) të jetë konvergjente, dhe si

ndërtoni një funksion ϕ (x) nga një funksion f (x) në mënyrë që kjo sekuencë

f(x) = 0 .

Le të jetë ϕ (x) një funksion i vazhdueshëm në një segment [a, b]. Nëse sekuenca (x k ) e përcaktuar me formulën (6.7) konvergjon në

disa numra ξ , d.m.th. ξ = lim x k ​​, pastaj, duke kaluar në kufirin në barazi

k→∞

(6.7), marrim ξ = ϕ (ξ ) . Kjo barazi do të thotë se ξ është rrënja

ekuacioni (6.6) dhe ekuacioni origjinal ekuivalent i tij.

Gjetja e rrënjës së ekuacionit (6.6) quhet problema e pikës fikse. Ekzistenca dhe veçantia e kësaj rrënje bazohet në parimin e hartëzimit të tkurrjes.

Përkufizim: Një funksion i vazhdueshëm ϕ (x) quhet kontraktues në segmentin [ a , b ] nëse:

1) ϕ (x) , x

2) q (0,1) : |ϕ (x 2 )− ϕ (x 1 )|≤ q |x 2 − x 1 |, x 1 ,x 2 .

Kushti i dytë për një funksion të diferencueshëm në [ a , b ] është ekuivalent me përmbushjen e pabarazisë ϕ "(x) ≤ q< 1 на этом отрезке.

Metoda e përsëritjeve të thjeshta ka një interpretim të thjeshtë gjeometrik: gjetja e rrënjës së ekuacionit f(x)=0 është ekuivalente me gjetjen e pikës fikse të funksionit x= ϕ (x) , d.m.th. pikat e kryqëzimit

grafikët e funksioneve y= ϕ (x) dhe y=x . Metoda e thjeshtë e përsëritjes nuk siguron gjithmonë konvergjencën me rrënjën e ekuacionit. Një kusht i mjaftueshëm për konvergjencën e kësaj metode është përmbushja e pabarazisë ϕ "(x) ≤ q< 1 на

Le të ilustrojmë (Fig. 6.4) gjeometrikisht sjelljen e sekuencës përsëritëse konvergjente (x k ) , pa vënë në dukje vlerën e ϕ (x k ), por

duke i pasqyruar në boshtin x duke përdorur përgjysmuesin e këndit të koordinatave

y= x.

Fig.6.4 Konvergjenca e metodës së thjeshtë të përsëritjes për ϕ "(x) ≤ q< 1 .

Siç shihet nga fig. 6.4 nëse derivati ​​ϕ ′ (x)< 0 , то последовательные приближения колеблются около корня, если же производная ϕ ′ (x ) >0, atëherë

përafrimet e njëpasnjëshme konvergojnë në mënyrë monotone në rrënjë. Teorema e mëposhtme e pikës fikse është e vlefshme.

Teorema: Le të jetë ϕ (x) i përcaktuar dhe i diferencueshëm në [ a , b ] . Atëherë, nëse plotësohen kushtet:

Pranë rrënjës, përsëritjet konvergojnë afërsisht si një progresion gjeometrik me

ϕ (x) është zgjedhur.

Për shembull, për të nxjerrë rrënjën katrore, d.m.th. për zgjidhje

Natyrisht, ekuacioni ka tre rrënjë të vendosura në segmentet [ - 3; − 2] , [− 1;0] dhe . Më i vogli është në segment [ − 3; − 2] .

Sepse në këtë segment x2 ≠ 0 , pjesëtojeni ekuacionin me x2 . Ne marrim:

Koment: Për të gjetur dy rrënjët e tjera të ekuacionit origjinal me përsëritje të thjeshtë, nuk është më e mundur të përdoret formula: x= x1 2 − 3 ,

Kushti i konvergjencës në këto segmente nuk është i plotësuar.

Metoda e relaksimit- një nga variantet e metodës së thjeshtë të përsëritjes, në të cilën

ϕ ( x ) = x − τ f ( x ) ,

ato. ekuacioni ekuivalent është:

x = x − τ f ( x ) .

funksione f(x) . Le te jete

0 ≤α ≤ f′ (x) ≤γ <∞

Parametri τ zgjidhet ashtu që derivati ϕ ′ (x) = 1 − τ f′ (x) në rajonin e dëshiruar ishte i vogël në modul.

1 − τ γ ≤ ϕ ′ (x) ≤ 1 − λα

dhe kjo do të thotë

|ϕ ′ (x)|≤ q(τ ) = max (| 1 − τα |,|1− τγ |}

Le të jepet një funksion që është i vazhdueshëm së bashku me disa derivatet e tij. Kërkohet të gjenden të gjitha ose disa rrënjë reale të ekuacionit

Kjo detyrë është e ndarë në disa nëndetyra. Së pari, është e nevojshme të përcaktohet numri i rrënjëve, për të hetuar natyrën dhe vendndodhjen e tyre. Së dyti, gjeni vlerat e përafërta të rrënjëve. Së treti, të zgjedhim prej tyre rrënjët e interesit për ne dhe t'i llogarisim ato me saktësinë e kërkuar. Detyrat e para dhe të dyta zgjidhen, si rregull, me metoda analitike ose grafike. Në rastin kur kërkohen vetëm rrënjët reale të ekuacionit (1), është e dobishme të përpilohet një tabelë e vlerave të funksionit. Nëse funksioni ka shenja të ndryshme në dy nyje fqinje të tabelës, atëherë midis këtyre nyjeve qëndron një numër tek i rrënjëve të ekuacionit (të paktën një). Nëse këto nyje janë afër, atëherë ka shumë të ngjarë që midis tyre të ketë vetëm një rrënjë.

Vlerat e përafërta të gjetura të rrënjëve mund të rafinohen duke përdorur metoda të ndryshme përsëritëse. Le të shqyrtojmë tre metoda: 1) metodën e dikotomisë (ose ndarjes së segmentit në gjysmë); 2) Metoda e thjeshtë e përsëritjes dhe 3) Metoda e Njutonit.

Metodat për zgjidhjen e problemit

Metoda e prerjes

Metoda më e thjeshtë për gjetjen e rrënjës së ekuacionit jolinear (1) është metoda e gjysmëpjestimit.

Le të jepet një funksion i vazhdueshëm në segment.Nëse vlerat e funksionit në skajet e segmentit kanë shenja të ndryshme, d.m.th. atëherë kjo do të thotë se brenda segmentit të dhënë ka një numër tek rrënjësh. Le të ketë, për përcaktim, vetëm një rrënjë. Thelbi i metodës është përgjysmimi i gjatësisë së segmentit në çdo përsëritje. Gjejmë mesin e segmentit (shih Fig. 1) Llogaritni vlerën e funksionit dhe zgjidhni segmentin në të cilin funksioni ndryshon shenjën e tij. Ndani përsëri segmentin e ri në gjysmë. Dhe ne vazhdojmë këtë proces derisa gjatësia e segmentit të jetë e barabartë me gabimin e paracaktuar në llogaritjen e rrënjës. Ndërtimi i disa përafrimeve të njëpasnjëshme sipas formulës (3) është paraqitur në figurën 1.

Pra, algoritmi i metodës së dikotomisë:

1. Vendosni intervalin dhe gabimin.

2. Nëse f(a) dhe f(b) kanë të njëjtat shenja, lëshoni një mesazh për pamundësinë e gjetjes së rrënjës dhe ndaloni.

Fig.1.

3. Ndryshe llogarit c=(a+b)/2

4. Nëse f(a) dhe f(c) kanë shenja të ndryshme, vendosni b=c, përndryshe a=c.

5. Nëse gjatësia e segmentit të ri, atëherë llogaritni vlerën e rrënjës c=(a+b)/2 dhe ndaloni, përndryshe shkoni në hapin 3.

Meqenëse në N hapa gjatësia e segmentit zvogëlohet me 2 N herë, gabimi i dhënë në gjetjen e rrënjës do të arrihet në përsëritje.

Siç shihet, shkalla e konvergjencës është e ulët, por avantazhet e metodës përfshijnë thjeshtësinë dhe konvergjencën e pakushtëzuar të procesit iterativ. Nëse segmenti përmban më shumë se një rrënjë (por një numër tek), atëherë një do të gjendet gjithmonë.

Komentoni. Për të përcaktuar intervalin në të cilin shtrihet rrënja, kërkohet një analizë shtesë e funksionit, bazuar ose në vlerësimet analitike ose në përdorimin e një metode zgjidhjeje grafike. Është gjithashtu e mundur të organizohet një kërkim i vlerave të funksionit në pika të ndryshme derisa të plotësohet kushti i ndryshimit të shenjës së funksionit

Pamje e përgjithshme e ekuacionit jolinear

f(x)=0, (6.1)

ku është funksioni f(x) – është i përcaktuar dhe i vazhdueshëm në një interval të fundëm ose të pafund.

Sipas llojit të funksionit f(x) Ekuacionet jolineare mund të ndahen në dy klasa:

algjebrike;

Transcendent.

algjebrike quhen ekuacione që përmbajnë vetëm funksione algjebrike (të plota, racionale, irracionale). Në veçanti, një polinom është një funksion i tërë algjebrik.

transcendent quhen ekuacione që përmbajnë funksione të tjera (trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, etj.)

Zgjidhja e ekuacionit jolinear do të thotë të gjesh rrënjët ose rrënjën e saj.

Çdo vlerë argumenti X, duke e kthyer funksionin f(x) në zero quhet rrënja e ekuacionit(6.1) ose funksioni zero f(x).

6.2. Metodat e zgjidhjes

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare ndahen në:

Përsëritëse.

Metodat e drejtpërdrejta na lejoni t'i shkruajmë rrënjët në formën e ndonjë relacioni (formule) të fundme. Nga kursi i algjebrës shkollore, metoda të tilla janë të njohura për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik, një ekuacioni bikuadratik (të ashtuquajturat ekuacione algjebrike më të thjeshta), si dhe të ekuacioneve trigonometrike, logaritmike dhe eksponenciale.

Megjithatë, ekuacionet e hasura në praktikë nuk mund të zgjidhen me metoda kaq të thjeshta, sepse

Lloji i funksionit f(x) mund të jetë mjaft kompleks;

Koeficientët e funksionit f(x) në disa raste njihen vetëm përafërsisht, ndaj problemi i përcaktimit të saktë të rrënjëve e humb kuptimin.

Në këto raste për zgjidhjen e ekuacioneve jolineare përdorim metodat përsëritëse pra metodat e përafrimeve të njëpasnjëshme. Duhet të theksohet algoritmi për gjetjen e rrënjës së ekuacionit i izoluar, pra, ai për të cilin ka një fqinjësi që nuk përmban rrënjë të tjera të këtij ekuacioni, përbëhet nga dy faza:

ndarja e rrënjëve, domethënë, përcaktimi i vlerës së përafërt të rrënjës ose segmentit, i cili përmban një dhe vetëm një rrënjë.

përsosje e vlerës së përafërt rrënjë, domethënë, duke e çuar vlerën e tij në një shkallë të caktuar saktësie.

Në fazën e parë, vlera e përafërt e rrënjës ( përafrimi fillestar) mund të gjendet në mënyra të ndryshme:

Për arsye fizike;

Nga zgjidhja e një problemi të ngjashëm;

Nga të dhënat e tjera burimore;

Metoda grafike.

Le të hedhim një vështrim më të afërt në metodën e fundit. Rrënja e ekuacionit real

f(x)=0

mund të përkufizohet përafërsisht si abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikut të funksionit y=f(x) me bosht 0x. Nëse ekuacioni nuk ka rrënjë afër njëra-tjetrës, atëherë në këtë mënyrë ato përcaktohen lehtësisht. Në praktikë, shpesh është e dobishme të zëvendësohet ekuacioni (6.1) me ekuivalentin

f 1 (x)=f 2 (x)

ku f 1 (x) Dhe f 2 (x) - më e thjeshtë se f(x) . Pastaj, vizatimi i grafikëve të funksioneve f 1 (x) Dhe f 2 (x), rrënja (rrënjët) e dëshiruar do të fitohet si abshisa e pikës së kryqëzimit të këtyre grafikëve.

Vini re se metoda grafike, me gjithë thjeshtësinë e saj, zakonisht është e zbatueshme vetëm për një përcaktim të përafërt të rrënjëve. Veçanërisht i pafavorshëm, për sa i përket humbjes së saktësisë, është rasti kur linjat kryqëzohen në një kënd shumë të mprehtë dhe praktikisht bashkohen përgjatë një harku të caktuar.

Nëse nuk mund të bëhen vlerësime të tilla apriori të përafrimit fillestar, atëherë gjenden dy pika të ndara ngushtë a, b mes të cilave funksioni ka një dhe vetëm një rrënjë. Për këtë veprim, është e dobishme të mbani mend dy teorema.

Teorema 1. Nëse një funksion i vazhdueshëm f(x) merr vlerat e shenjave të ndryshme në skajet e segmentit [ a, b], d.m.th

f(a) f(b)<0, (6.2)

atëherë brenda këtij segmenti ka të paktën një rrënjë të ekuacionit.

Teorema 2. Rrënja e ekuacionit në segmentin [ a, b] do të jetë unik nëse derivati ​​i parë i funksionit f’(x), ekziston dhe mban një shenjë konstante brenda segmentit, d.m.th

(6.3)

Zgjedhja e segmentit [ a, b] kryer

Grafikisht;

Në mënyrë analitike (duke ekzaminuar funksionin f(x) ose përzgjedhje).

Në fazën e dytë, gjendet një sekuencë e vlerave të përafërta të rrënjës X 1 , X 2 , …, X n. Çdo hap llogaritjeje x i thirrur përsëritje. Nëse x i me rritje n afrohu me vlerën e vërtetë të rrënjës, atëherë procesi përsëritës thuhet se konvergjon.

Për të gjetur rrënjën e një ekuacioni, mund të përdorni rrënjën ( f(x) ,x), ku argumenti i parë është funksioni f(x) , dhe argumenti i dytë është emri i sasisë së panjohur, d.m.th. x. Përpara se të telefononi këtë funksion, duhet t'i caktoni vlerën fillestare variablit të dëshiruar, mundësisht afër përgjigjes së pritur.

Ky përshkrim i funksionit është i vlefshëm për të gjitha versionet e sistemit MC. Ky funksion mund të thirret duke përdorur butonin f(x) në shiritin e veglave, duke zgjedhur artikullin Zgjidhja nga lista e majtë. Në MC14, funksioni i zgjedhur në këtë mënyrë ka katër argumente. Dy të parët prej tyre janë të njëjtë me atë të përshkruar më sipër, dhe argumentet e tretë dhe të katërt janë kufijtë majtas dhe djathtas të intervalit në të cilin shtrihet rrënja e dëshiruar. Nëse specifikoni argumentin e tretë dhe të katërt, atëherë vlera fillestare e ndryshores mund të mos caktohet.

Konsideroni përdorimin e këtij funksioni në shembullin e ekuacionit
. Le të bëjmë fillimisht ndarjen e rrënjëve. Për ta bërë këtë, ne ndërtojmë grafikët e funksioneve në anën e djathtë dhe të majtë (Fig. 19). Figura tregon se ekuacioni ka dy rrënjë. Njëra shtrihet në intervalin [–2; 0], tjetra - në . Le të përdorim të parën varianti i formatit të funksionit rrënjë. Rrënja e djathtë e ekuacionit sipas grafikut është afërsisht e barabartë me 1. Prandaj do të kryejmë detyrën x:= 1, thirrni funksionin rrënjë, specifikoni dy argumentet e para
dhe shtypni tastin =. Në ekran marrim rezultatin 1.062. Tani le të përdorim versionin e dytë të shabllonit. Ne thërrasim përsëri funksionin rrënjë, japim katër argumente dhe shtypim tastin =. Në ekran marrim rezultatin

Ne e gjejmë rrënjën e dytë si kjo:

Numri i karaktereve të shfaqura në ekranin e rrënjës së llogaritur nuk përputhet me saktësinë e gjetjes së rezultatit. Numri ruhet në memorien e kompjuterit me pesëmbëdhjetë karaktere dhe numri i karaktereve që është vendosur në menynë Format shfaqet në ekran nga ky regjistrim. Sa ndryshon vlera e gjetur e rrënjës nga vlera e saktë varet nga metoda për llogaritjen e rrënjës dhe nga numri i përsëritjeve në këtë metodë. Kjo kontrollohet nga ndryshorja e sistemit TOL, e cila parazgjedhur është 0.001. Në sistemin MC14, funksioni rrënjësor fokusohet në arritjen e saktësisë.
, nëse
, dhe për të arritur saktësinë e specifikuar nga ndryshorja TOL nëse vlera e saj është më e vogël se
. Vlera e kësaj ndryshore është më e vogël se
, nuk rekomandohet vendosja, sepse mund të cenohet konvergjenca e procesit llogaritës.

Duhet të theksohet se në disa raste të jashtëzakonshme, rezultati mund të devijojë nga vlera e saktë e rrënjës shumë më tepër se vlera e TOL. Ju mund ta ndryshoni vlerën e TOL ose me caktim të thjeshtë, ose duke përdorur menynë Tools, Opsionet e fletës së punës, Ndryshoret e integruara.

Për të gjetur rrënjët e një polinomi, mund të përdorni një funksion tjetër që do të kthejë të gjitha rrënjët e polinomit, përfshirë ato komplekse. Ky është funksioni polyroots(■), ku argumenti është një vektor, koordinatat e të cilit janë koeficientët e polinomit, koordinata e parë është një term i lirë, i dyti është koeficienti në shkallën e parë të ndryshores, i fundit është koeficienti. në shkallën më të lartë. Funksioni thirret në të njëjtën mënyrë si funksioni rrënjë. Për shembull, rrënjët e polinomit
mund të merret si kjo:

.

Disa ekuacione të thjeshta mund të zgjidhen gjithashtu duke përdorur shndërrime simbolike. Ju mund të gjeni rrënjët e një polinomi të shkallës së dytë ose të tretë nëse koeficientët janë numra të plotë ose thyesa të zakonshme. Si shembull, merrni polinomet, rrënjët e të cilëve janë të njohura. Këto polinome i marrim si produkt i faktorëve linearë. Merrni një polinom
. Le të marrim shënimin e tij për sa i përket fuqive x. Për ta bërë këtë, siç përshkruhet në mësimin e parë, ne zgjedhim një variabël në këtë hyrje x, zgjidhni artikullin Variable në menynë Symbolics dhe artikullin Mblidhni në dritaren e hapur:

.

Si rezultat, ne zgjedhim variablin x, zgjidhni artikullin Variable në menynë Symbolics dhe artikullin Zgjidh në dritaren e hapur. Marr

.

Siç mund ta shihni, rrënjët janë gjetur saktë. Merrni një polinom të shkallës së tretë
. Ne i gjejmë rrënjët e tij në tre mënyra:

,

,

dhe transformimet simbolike (rezultojnë në Fig. 20).

Siç mund ta shohim, rezultati i fundit ka pak përdorim, megjithëse është "absolutisht" i saktë. Ky rezultat do të jetë edhe "më keq" nëse një term me . Provoni të përdorni transformime simbolike për të gjetur rrënjët e një polinomi të tillë. Provoni të përdorni shndërrime simbolike për të gjetur rrënjët e një polinomi të shkallës së katërt.

Llogaritjet simbolike janë efikase nëse rrënjët janë numra të plotë ose racional:

.

Në këtë shembull, llogaritjet simbolike bëhen duke përdorur panelin simbolik. Ekziston gjithashtu një zgjidhje duke përdorur funksionin polyroots. Rezultatet e fundit janë më pak spektakolare, megjithëse nga pikëpamja llogaritëse jo më keq, pasi një inxhinier i arsyeshëm do të rrumbullakos rrënjën e dytë në një numër - i.

Gjetja simbolike e rrënjëve mund të përdoret gjithashtu për ekuacionet që përmbajnë funksione të ndryshme nga polinomet:

.Kini kujdes kur përdorni llogaritjet simbolike. Pra, kur gjejmë zerot e funksionit vijues, MC14 jep vetëm një vlerë: , megjithëse në interval
ky funksion ka 6 zero:
. Në një version të mëparshëm të sistemit (MC2000), të gjitha zerat u specifikuan.

Për një përgjigje të plotë, duhet të shtoni një numër që është shumëfish i
.

Le të zgjidhim një problem më të vështirë. Funksioni y(x) dhënë në mënyrë implicite nga ekuacioni
. Kërkohet të vizatohet ky funksion y(x) në segment.

Për të zgjidhur këtë problem, është e natyrshme të përdoret funksioni rrënjë. Sidoqoftë, kërkon një tregues të segmentit në të cilin shtrihet rrënja e dëshiruar. Për ta bërë këtë, ne gjejmë vlerën y grafikisht me vlera të shumta x. (Grafikët janë dhënë më poshtë si figura të veçanta, dhe jo siç janë vendosur në ekranin MATHCAD).

Ndërtojmë një grafik (Fig. 21). Tregon se vlerat e “arsyeshme”. y shtrihen në intervalin [– 5; pesë]. Le të ndërtojmë një grafik në këtë varg. Mund të bëhen ndryshime në shabllonet në vizatimin ekzistues. Rezultati është treguar në fig. 22. Shohim se rrënja shtrihet në segment. Le të marrim vlerën e mëposhtme x. Në letër, këto janë hyrje të reja, por në ekran, mjafton të bëhen ndryshime në bllokun ku xështë caktuar vlera. Në
marrim Fig.23. Sipas tij, rrënja qëndron në segment. Në
marrim Fig. 24. Rrënja shtrihet në segment. Si rezultat, ne mund të presim që rrënja për ndonjë x shtrihet në linjë

Le të prezantojmë një funksion përdoruesi Le të ndërtojmë një grafik të këtij funksioni, duke marrë parasysh variablat z, dhe shabllonet përgjatë boshtit vertikal mund të lihen bosh, sistemi do të shkallëzohet vetë. Grafiku është paraqitur në Fig.25. Nga ky grafik, mund të gjurmoni vlerat e funksionit duke përdorur panelin X-Y Trace, siç përshkruhet më sipër.