Pädagogische Forschungsarbeit zur mathematischen Logik. Forschungsarbeit „Methoden zur Lösung logischer Probleme. Vorgeschlagene Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen
BILDUNGSMINISTERIUM
DIE REPUBLIK WEISSRUSSLAND
Gebiet Minsk, Bezirk Borissow
Staatliche Bildungseinrichtung
„Bezirksgymnasium Loshnitsa“
Forschung
Mathematik
Karpovich Anna Igorevna, Schülerin der 11. Klasse,
Melech Alexey Vladimirovich, Schüler der 9. Klasse,
Demidchik Artyom Alekseevich, Schüler der 9. Klasse
Aufsicht:
Yakimenko Ivan Viktorovich, Mathematiklehrer
Loshnitsa, 2006-2008
Einleitung 3
Relevanz des gewählten Themas 3
Literaturübersicht zu Thema 4
Konzeptbildung 4
Entwicklungsstand des Problems 4
Studiengegenstand 5
Studienfach 5
Ziele setzen 5
Ziele setzen 5
Hauptteil 6
Empirische Grundlage der Studie 6
Beschreibung der Forschungswege und -methoden 6
1. Studium der Bibliographie 6
2. Versuch und Irrtum 6
3. Variante 7
Forschungsergebnisse 8
Zuverlässigkeit der erzielten Ergebnisse 8
Fazit 9
Zusammenfassend. Schlussfolgerungen 9
Praktische Bedeutung der erzielten Ergebnisse 9
Wissenschaftliche Neuheit der erzielten Ergebnisse 9
Bewerbungen 10
Anhang 1. Klassifizierung von Logikspielen 10
Anhang 2. Spielregeln „Dutzend“ 10
Anhang 3. Spielregeln „Devil's Dozen“ 10
Anhang 4. Klassifizierung der Figuren im Spiel „Dutzend“ 11
Anhang 5. Zusätzliche Teile des Spiels „Dutzend“ 12
Anhang 6. Figuren des Spiels „Devil's Dozen“ 17
Literatur 18
Einführung
Relevanz des ausgewählten Themas
Kein einziges Kind, vom Erstklässler bis zum Absolventen, hat sich jemals geweigert, einfach nur zu spielen, schon gar nicht statt oder während des Unterrichts.Sie benötigen hierfür keine spezielle Ausrüstung, lediglich ein Notizbuchblatt und einen Stift. Schulspiele sind einfach zu spielen, haben immer ein Ende und garantieren alle drei Ergebnisse: Sieg, Niederlage, Unentschieden.
Allerdings sind die meisten Spiele, die Schulkinder spielen, seit langem bekannt und daher erforscht und uninteressant. Zum Beispiel werden zwei starke Spieler beim Tic-Tac-Toe nie gegeneinander verlieren. Dieses „Spielvakuum“ führt unweigerlich zu einer Suche nach Neuheiten in einer der folgenden Richtungen:
- in den Spielregeln ry („Tic Tac Toe“ bis fünf),
- in der Größe des Spielfeldes(dimensionslose „Winkel“),
- in der Anzahl der Spieler(Crossover „Schlachtschiff“).
In diesem Zusammenhang halten wir es für relevant, neue Spiele für Schüler zu erfinden, zu testen und zu erkunden.
Die Relevanz des Forschungsthemas wird durch das ungebrochene Interesse an Scharaden, Rebussen und Rätseln bestätigt, die als Testgelände für Schüler dienen, um ihre Fähigkeiten bei der Lösung von Problemen und Aufgaben jeglicher Komplexität zu testen. Mit anderen Worten: Indem wir Logik entwickeln, lernen wir zu überleben.
Gottfried-Wilhelm Leibniz notierte in einem Brief an seinen Kollegen: „...sogar Spiele, sowohl solche, die Geschicklichkeit erfordern, als auch solche, die auf Zufall basieren, bieten enormes Material für wissenschaftliche Studien. Darüber hinaus könnte der ganz gewöhnliche Kinderspaß die Aufmerksamkeit des größten Mathematikers auf sich ziehen.“(, S. 19-20).
Und schließlich wurden wir von den Lorbeeren von Erne Rubik heimgesucht, dem Erfinder des berühmtesten (und kommerziellsten!) Puzzles – des Zauberwürfels.
Im vergangenen Jahr haben wir das Spiel „Dozen“ entwickelt (siehe. Anlage 2). Die Arbeit am Spiel wurde in diesem Jahr mit dem Ziel der Verfeinerung, Erforschung von Spielkombinationen und der Entwicklung neuer Spieloptionen fortgesetzt.
Literaturübersicht zum Thema
Bildung von Konzepten
Logiken. 1. Die Wissenschaft der Gesetze des Denkens und seiner Formen. 2. Argumentation, Schlussfolgerungen. 3. Angemessenheit, innere Regelmäßigkeit.(, S.167)Ein Spiel. Etwas tun, um Spaß zu haben, sich zu entspannen oder an Wettbewerben teilzunehmen.(, S.127)
Schon beim ersten Vergleich fällt die Inkonsistenz dieser beiden Konzepte und sogar der Phrase auf „Logikspiele“ Scheint im Allgemeinen wie verbaler Unsinn zu sein.
Basierend auf den obigen Definitionen kann ein Logikspiel betrachtet werden als Aktivität zur Unterhaltung und Entwicklung des Denkens.
In dieser Arbeit werden folgende Begriffe verwendet:
„Papierspiel“ ist ein Spiel für zwei oder mehr Spieler, bei dem ein Blatt Papier und ein Stift verwendet werden.
Unter "Computerspiel" Wir werden ein Papier- oder anderes Logikspiel verstehen, für das eine Computerversion existiert oder erstellt werden kann.
Begriff „Inventarspiel“ Unter Spiel versteht man ein Spiel, das zusätzliche, speziell angefertigte Ausrüstung erfordert.
„Mathe-Spiel“- ein Spiel, das mathematische Kenntnisse aus verschiedenen Bereichen der Algebra oder Geometrie erfordert.
„Gewinnstrategie“ wird im üblichen Sinne interpretiert, also als Spielweise, die unweigerlich zum Sieg führt.
„Spielergebnis“- Ende des Spiels. Es gibt drei mögliche Spielausgänge: Sieg, Niederlage, Unentschieden.
Entwicklungsgrad des Problems
Beim Studium der Literatur zu dem untersuchten Thema stellten wir fest, dass jede Tatsache, Abhängigkeit, jedes Phänomen sofort gemessen, berechnet, klassifiziert usw. wird, wenn Mathematiker darauf aufmerksam werden.„Das Queens-Problem“(, S. 100) ist in der Theorie ausführlich beschrieben und hat für n=8 nachweislich 92 Lösungen (ebd.).
Alter Mathe-Spaß „Bashes Spiel“, „Jianshizi“ Und „Nim“ werden im Allgemeinen Spiele genannt, „deren Theorie mit erschöpfender Vollständigkeit entwickelt wurde“ (S. 59).
In den untersuchten Quellen wurde ein so berühmtes Spiel jedoch nicht einmal erwähnt „Punkte“.
Das weit verbreitete Problem, ein Schachfeld mit dem Zug eines Schachspringers zu füllen (, S. 104), wird sowohl für das nxn-Feld als auch für das mxn-Feld betrachtet. Allerdings gibt es in der Literatur für das Problem nur eine Variante für ein abgeschnittenes 9x9-Feld ohne Ecken (, S. 20), was bedeutet, dass es möglicherweise andere, unerforschte Anfangsbedingungen hat.
Die Frage, ob es Lösungen dafür gibt „Magische Quadrate“ jeglicher Größe bleibt noch offen (, S.25, , S.89).
Somit erschöpft das Studium der Literatur zu logischen Spielen, Einfallsreichtumsaufgaben, Spiel- und Unterhaltungsaufgaben nicht die gesamte Vielfalt der Bedingungen und Lösungen, was bedeutet Der Entwicklungsstand des Problems kann als unzureichend definiert werden.
Studienobjekt
Gegenstand der Studie ist lehrreich Und kreative Interessen der Studierenden 8-11 Klassen.Gegenstand der Studie
Gegenstand der Studie ist ein von den Autoren erstelltes Spiel "Dutzend" und seine Fortsetzung – das Spiel „Bäcker-Dutzend“.Ziele setzen
Der Zweck dieser Studie ist Entwicklung, Erprobung und Studium neuer Logikspiele.Ziele setzen
Um dieses Ziel zu erreichen, müssen folgende spezifische Aufgaben gelöst werden:
Studieren Sie Literatur zu einem interessanten Thema.
Klassifizieren Sie die Gewinnergebnisse des Spiels (Stücke).
Verbessern und erweitern Sie Ihr eigenes Spiel.
Klären Sie die Relevanz und Nachfrage der erstellten Spiele.
Formulieren Sie Empfehlungen für die Erstellung von Spielen.
Hauptteil
Empirische Grundlage der Studie
Die empirische Grundlage unserer Forschung sind die Ergebnisse nach dem Testen des Spiels "Dutzend".Dazu gehören auch zahlreiche handgeschriebene Versionen des Spiels selbst, die von den Autoren und Befragten getestet wurden, sowie ein Miniturnier im Rahmen der Woche der exakten Wissenschaften.
Beschreibung der Forschungswege und -methoden
Bei der Arbeit kamen folgende Methoden zum Einsatz:1. Studium der Bibliographie
Zu diesem Zeitpunkt suchten wir beim Studium der Literatur zu diesem Thema (hauptsächlich Bücher zur Unterhaltungsmathematik) nach Logikspielen und klassifizierten sie nach bestimmten Kriterien (siehe Anhang 3).Es stellte sich heraus, dass keines der Spiele spezifisch ist, d.h. kann sich nicht nur auf eine Art beziehen.
Zum Beispiel das Spiel „Pentamino“(, S. 13) besteht darin, beliebige Pentomino-Figuren (eine flache Figur, die aus fünf gleichen Quadraten besteht) zu verwenden, um eine große Figur zu bilden – ein Quadrat, ein Rechteck usw. Wir zeichnen Pentominos auf kariertem Papier – ein Papierspiel, schneiden sie aus Pappe – ein Inventarspiel. Wir kennen dieses Spiel jedoch eher als Fortsetzung des Computerspiels. „Tetris“ – „Pentix“.
Darüber hinaus waren wir erneut davon überzeugt, dass alle Spiele in gewissem Maße lehrreich sind und die Denkfähigkeit der Spieler fördern.
2. Versuch und Irrtum
Beschreiben Sie kurz die Spielregeln "Dutzend" Wer zuerst eines der vorher vereinbarten Stücke bekommt, gewinnt (siehe Anhänge 2,4,5).Auf den ersten Blick kann das Spiel mit solchen Regeln nicht unentschieden ausgehen, da nur ein Spieler den letzten Zug macht und es bei dieser Vielfalt einfach unmöglich ist, nicht mindestens eine Figur zu ziehen. Allerdings sollten beide Spieler die gleichen Chancen haben, also lassen wir ihnen die gleiche Anzahl an Zügen zu, dann können sie „beide gewinnen“.
Erinnern wir uns daran, dass das Spiel seinen Namen von der Anzahl der Risiken erhielt, die die Gewinnzahl ausmachen.
Die Entwicklung des Themas war Computerinterpretation. Das Spiel verfügt über drei elektronische Versionen: eine in MicroSoft Word und zwei in MicroSoft Excel. Um zu spielen "Ein Dutzend", müssen Sie die Office-Oberfläche anpassen, wofür es praktisch ist, ein neues Arbeitsfeld zu erstellen.
3. Variation
Die Variationsmethode besteht darin, verschiedene Optionen für eine Situation durchzuspielen (durchzuspielen, durchzudenken). Variation ist die Arbeit des logischen Denkens. In unserem Fall ist es:Formulierung der einfachsten und am schnellsten zu merkenden Spielregeln,
Ermittlung optimaler Feldgrößen,
Erhöhung der Anzahl möglicher Figuren.
Wir versuchten uns in die Lage eines Anführers oder eines Außenseiters zu versetzen und suchten nach Auswegen aus der aktuellen Position auf dem Spielfeld. Das Wichtigste bei dieser Arbeit war die Suche nach dem Möglichen Gewinnstrategie, denn wenn so etwas gefunden wird, wird unser Spiel nach einiger Zeit genauso abgedroschen wie die anderen.
Das Spielfeld besteht aus einer Reihe von Risiken:
Horizontal – 6x7=42,
Vertikal – 6x7=42,
Diagonale – 2x36=72,
Gesamt – 2x42+72=156.
Eine elementare Rechnung - 156:12 = 13 zeigt, dass auf dem Feld gleichzeitig 13 Figuren aufgebaut werden können, bestehend aus den erforderlichen 12 Markierungen. Die Vielzahl der Gesamtzahl der Risiken für die Zahl 13 wurde zum ersten Hinweis auf eine Änderung der Spielregeln.
^ Allgemeine Anweisungen Folgende Regeländerungen wurden variiert:
Verbot, eine zweite Diagonale zu zeichnen (beschleunigt das Spiel erheblich und bietet zusätzliche Möglichkeiten für ein Unentschieden);
Verbot, die Risiken anderer Menschen auszunutzen (macht das Spiel für den Gegner zu „transparent“);
Größe eines Feldes ändern (Eine Erhöhung hatte einen negativen Effekt; bei einer Verringerung gehen einige Grundzahlen verloren);
Ergänzung zum Grundsatz der Siegerfiguren (asymmetrische, nicht konvexe Polygone, offene Figuren);
Erhöhung der Notenanzahl in Grundfiguren .
Forschungsergebnisse
Es waren die letzten beiden Variationsrichtungen, die die ermutigendsten Ergebnisse lieferten. Erstens war die Vielfalt der resultierenden Figuren so groß, dass für sie eine spezielle Klassifizierung erfunden werden musste (vgl. Anhang 4). Darüber hinaus sind die meisten nach den Spielregeln erhaltenen Figuren nicht konvexe achsensymmetrische Polygone.Zweitens hatten wir das Gefühl, zu asymmetrischen Figuren überzugehen dringender Bedarf Fügen Sie den Zahlen ein weiteres Risiko hinzu! Mit der Hinzufügung der 13. Marke wurde es schwierig, eine Symmetrie zu erreichen. Das machte das Spiel noch spannender. Der Name des neuen Spiels erschien von selbst: „Bakers Dutzend».
Die Erforschung eines modernisierten Spiels wird wahrscheinlich zu erheblichen Regeländerungen führen. Wenn Sie beispielsweise unterschiedliche Figuren auf dem Spielfeld zulassen, können Sie in einem Spiel so viele Punkte „verdienen“, wie die gewinnende Figur Risiken enthält. Für die Stücke verschiedene Formen(siehe Klassifizierung) Sie können auch Bonuspunkte usw. eingeben.
Zuverlässigkeit der erzielten Ergebnisse
Die Verlässlichkeit der Forschungsergebnisse wird gewährleistet durch:
praktische Bestätigung der wesentlichen Inhalte der Studie (Das erstellte Spiel bietet einen riesigen Forschungsspielraum für Schüler jeden Alters);
sorgfältige Verarbeitung der während der Studie gewonnenen Daten (Beim Ändern der Spielregeln werden alle allgemeinen Änderungsrichtungen der Spielergebnisse und der Gewinnstrategie berücksichtigt.).
Abschluss
Zusammenfassend. Schlussfolgerungen
Ein Spiel "Dutzend„Kann im Mathematikstudium auf allen Bildungsebenen eingesetzt werden.
Ein Spiel „Bakers Dutzend„ist eine Fortsetzung, logische Weiterentwicklung des Spiels "Dutzend».
„Bakers Dutzend» erfüllt die in der Zielsetzung gestellten Anforderungen vollständig.
Das Thema erfordert eine Weiterentwicklung in Form einer Untersuchung von Logikspielen.
Praktische Bedeutung der erzielten Ergebnisse
Das modernisierte Spiel hat einen praktischen WertWie pädagogisches Werkzeug Für:
Mathematiker (Entwicklung des logischen Denkens, Vertrautheit mit geometrischen Figuren).
Informatiker (Vertrautheit mit Microsoft Office-Programmen, Mauskenntnisse, Arbeiten mit der Office-Zwischenablage).
Grund- und weiterführende Schüler (Modernisierung von Spielen im Rahmen der Forschungsarbeit).
Spieler jeden Alters (Wettbewerbe, Turniere).
Wissenschaftliche Neuheit der erzielten Ergebnisse
Das Originalspiel „12“ und das modernisierte Spiel „13“ haben laut Autor, Manager und Befragten keine Analogien und sind geistiges Eigentum ihrer Entwickler.Anwendungen
Anhang 1. Klassifizierung von Logikspielen
Inventar
Papier
Pädagogisch (mathematisch)
Sprachlich
Computer
Anhang 2. Spielregeln „Dutzend“
Das Spiel „Dutzend“ („Zwölf“) richtet sich an Schulkinder im Alter von 6-16 Jahren.Die Aufgabe des Spielers besteht darin, vor dem Gegner eine vorher vereinbarte Figur bestehend aus 12 Linien zu zeichnen. Um eine Figur zu erhalten, können Sie sowohl Ihr eigenes als auch das vom Gegner gezogene Risiko einsetzen.
Anhang 3. Spielregeln „Devil's Dozen“
Das Spiel „Devil's Dozen“ („Thirteen“) richtet sich an Schulkinder im Alter von 10-17 Jahren.Das Spielfeld ist ein 6x6 großes Quadrat. Zwei Leute spielen. Als Zug gilt das Zeichnen einer von vier Linien: der horizontalen Seite der Zelle, der vertikalen Seite der Zelle oder einer beliebigen Diagonale der Zelle. Ein Zug kann nur aus einem bereits gezogenen Risiko erfolgen. Diagonale Markierungen können sich überschneiden.
Die Aufgabe des Spielers besteht darin, vor dem Gegner eine vorher vereinbarte Figur bestehend aus 13 Linien zu zeichnen. Um eine Figur zu erhalten, können Sie sowohl Ihr eigenes als auch das vom Gegner gezogene Risiko nutzen.
Als Bonus gilt der Erhalt einer neuen Figur (im gegenseitigen Einvernehmen der Spieler).
Anhang 4. Klassifizierung der Figuren im Spiel „Dutzend“
Durch Symmetrie:1) Axialsymmetrie:
Seitensymmetrie (die Symmetrieachse verläuft entlang der Seite der Zelle);
diagonale Symmetrie (die Symmetrieachse verläuft entlang der Diagonale der Zelle);
sekundär (die Symmetrieachse verläuft innerhalb der Zelle).
3) universelle Symmetrie (lateral, diagonal und zentral zugleich);
4) Asymmetrie.
Durch Konvexität:
konvex;
nicht konvex.
geometrische Figuren;
Objekte animieren;
leblose Gegenstände.
Anhang 5. Zusätzliche Teile des Spiels „Dutzend“
Herz
kurze Hose
Wolf
Boomerang
Schmetterling
schnell
Anhang 6. Figuren des Spiels „Devil's Dozen“
Schlange
Wolf
der Igel
Flugzeug
Literatur
Barabanov E.A. und andere. Internationaler Mathematikwettbewerb „Kangaroo“ in Weißrussland – Mn.: NGO „Bel. Assozi. „Wettbewerb“, 2005. – 96 S.; krank.
Bakhankov A.E.; Erklärendes Wörterbuch der russischen Sprache. Mn.: NGO „Bel. Assozi. „Wettbewerb“, 2006. – 416 S.
Bondareva L.A. usw.; Aufgaben mit einem Sternchen. Mn.: NGO „Bel. Assozi. „Wettbewerb“, 2006. – 159 S.
Germanovich P. Yu.; Sammlung von Problemen in der Mathematik für Intelligenz. M.: „Uchpedgiz“, 1960. – 224 S.
Domoryad A.P.; Mathematische Spiele und Unterhaltung. M.: Staatlicher Verlag für physikalische und mathematische Literatur, 1961. – 264 S.
Zhikalkina T.K.; Spiel- und Unterhaltungsaufgaben in Mathematik, 2. Klasse. M.: „Aufklärung“, 1987. – 62 S.
Kordemsky B.A.; Essays über mathematische Probleme für Einfallsreichtum. M.: „Uchpedgiz“, 1958. – 116 S.
Leman Johannes, Übersetzung aus dem Deutschen von Danilov; CH. Herausgeber L.A. Erlykin. Faszinierende Mathematik. M.: Verlag „Wissen“, 1985. - 270 S.
Lehman Johannes; Herausgeber E.K. Vakulina; 2x2 = Witz. M.: „Aufklärung“ 1974. – 192 S.
Minskin E.M.; Vom Spiel zum Wissen: Entwicklungs- und Lernspiele für Grundschulkinder. M.: Bildung, 1982. - 192 S.; krank.
Mikhailova Z.A.; Herausgeber: L.G. Fronina. Spielunterhaltsame Aufgaben für Vorschulkinder; M.: „Aufklärung“, 1990. – 95 S.
Petrakow I.S.; Mathe-Clubs in den Klassen 8-10; M.: Bildung, 1987. – 224 S.
Repkin V.V.; Pädagogisches Wörterbuch der russischen Sprache. M.: Infoline, 1999. – 656 Seiten: Abb.
Sobolevsky R.F.; Logische und mathematische Spiele. Mn.: „Nar. Asveta“, 1977. – 96 S.
Ed. Hinn O.G.; Ich erkunde die Welt: Kinderlexikon: Mathematik / M.: LLC "Firm Publishing House AST", 1999. - 480 S.
Um diese PDF-Datei mit Formatierung und Markup anzuzeigen, laden Sie sie herunter und öffnen Sie sie auf Ihrem Computer.
Bildungsministerium der Region Orenburg
Staatliche autonome professionelle Bildungseinrichtung
„Hochschule für Maschinenbau Orsk“
Orsk, Region Orenburg
Forschung
Mathematik
«
Mathe ohne
FORMELN, GLEICHUNGEN UND
UNGLEICHHEITEN
»
Vorbereitet
:
Thorik Ekaterina
,
Gruppenschüler
15LP
Aufsicht:
Marchenko O.V.
.,
Mathelehrer
matiki
Mathematik
–
Dies ist eine besondere Welt, in der Formeln eine führende Rolle spielen.
Symbole und geometrische Objekte. In der Forschung
Bei der Arbeit haben wir uns entschieden
Finden Sie heraus, was passiert, wenn Sie Formeln, Gleichungen usw. entfernen
Ungleichheit?
Die Relevanz dieser Studie liegt darin
von Jahr zu Jahr
Verlorenes Interesse an Mathematik. Sie mögen Mathematik nicht, besonders weil
-
für Formeln.
In diesem
In unserer Arbeit wollen wir nicht nur die Schönheit der Mathematik zeigen, sondern auch
Aufkommende Vorstellungen über „Trockenheit“ in den Köpfen der Schüler überwinden,
formaler Charakter, Isolation dieser Wissenschaft vom Leben und der Praxis.
Zweck der Arbeit: Beweisen, dass die Mathematik vollständig bleibt
fortgeschrittene Wissenschaft, mit
Das ist interessant und vielfältig, wenn man Formeln, Gleichungen usw. entfernt
Ungleichheiten.
Berufsziele:
Zeigen Sie diesen Mathematiker
A
ohne Formeln, Gleichungen und
Ungleichheiten
ist eine vollständige Wissenschaft
; eine Untersuchung führen
beide
cha
Yu
Arbeiten; Studie
informativ
e Quellen; Machen Sie sich mit den wichtigsten Lösungen vertraut
logische Probleme.
Vorausgesetzt, dass die mathematischen Formeln
-
einfach eine bequeme Sprache
die Ideen und Methoden der Mathematik darzustellen, dann können diese Ideen selbst beschrieben werden,
unter Verwendung vertrauter und visueller Bilder von
umgebendes Leben.
Gegenstand unserer Forschung waren Methoden zur Lösung mathematischer Probleme
Probleme ohne Formeln, Gleichungen und Ungleichungen.
Unsere College-Studenten wurden gebeten, die Frage zu beantworten: Was
Was passiert mit der Mathematik, wenn Formeln, Gleichungen und anderes
Gleichwertigkeit?
indem Sie eine Antwort aus den folgenden Optionen auswählen:
a) Zahlen, Zahlen, Buchstaben werden bleiben. b) Nur die Theorie wird bleiben
c) Theoreme und Beweise bleiben bestehen. d) Graphen bleiben bestehen
e) Mathematik wird zur Literatur g) Nichts wird übrig bleiben
Die Ergebnisse davon
Die Umfrage ergab, dass die Mehrheit der Schüler auch ohne zuversichtlich ist
Formeln, Gleichungen und Ungleichungen, Mathematik wird zur Literatur. Wir beschlossen
widerlegen diese Meinung. Ohne Formeln, Gleichungen und Ungleichungen in der Mathematik, in
Zunächst einmal wird es logische Aufgaben geben
e stellen am häufigsten dar
die meisten Aufgaben bei der Mathematikolympiade. Vielzahl von logischen
Die Aufgaben sind sehr groß. Es gibt auch viele Möglichkeiten, sie zu lösen. Aber das Größte
Weit verbreitet sind: die Argumentationsmethode, die Tabellenmethode, die Methode
Diagramme, Kreise Hey
Lera, Blockmethode
-
Schemata
Argumentationsmethode
der primitivste Weg. Auf diese Weise
Die einfachsten logischen Probleme werden gelöst. Seine Idee ist, dass wir
Führen Sie eine Argumentation durch, indem Sie nacheinander alle Bedingungen des Problems verwenden, und
Wir kommen zu dem Schluss, dass
wird die Antwort auf das Problem sein.
Auf diese Weise
lösen normalerweise einfache logische Probleme.
Die wichtigste Technik, die beim Lösen von Textlogik verwendet wird
Aufgaben ist
Tische bauen
. Tabellen ermöglichen nicht nur die Visualisierung
gegenwärtiger Zustand h
Probleme oder ihre Antwort, aber sie helfen sehr
Ziehen Sie bei der Lösung eines Problems die richtigen logischen Schlussfolgerungen.
Diagrammmethode.
Graph
-
Es ist eine Sammlung von Objekten mit Verbindungen zwischen ihnen.
Objekte werden als Scheitelpunkte oder Knoten eines Diagramms dargestellt (sie werden als bezeichnet).
Das
Brillen) und Anschlüsse
-
wie Bögen oder Rippen. Wenn die Verbindung unidirektional ist
im Diagramm durch Linien mit Pfeilen angezeigt, wenn die Verbindung zwischen Objekten besteht
doppelseitig ist im Diagramm durch Linien ohne Pfeile gekennzeichnet.
Euler-Kreis-Methode.
Zur Lösung werden Euler-Diagramme verwendet
eine große Gruppe logischer Probleme. Herkömmlicherweise können alle diese Aufgaben in drei Teile unterteilt werden
Typ. Bei Problemen der ersten Art ist es notwendig, viele symbolisch auszudrücken
Gesten,
in Euler-Diagrammen mit dem Vorzeichen schattiert
ki von Kreuzungsoperationen,
Kombinationen und Ergänzungen.
Bei Problemen der zweiten Art, Euler-Diagramme
werden zur Analyse von Situationen im Zusammenhang mit der Klassendefinition verwendet. Dritter Typ
Probleme, für die Euler-Diagramme verwendet werden,
-
Aufgaben für
logisches Konto.
Blockmethode
-
Schemata
.
Diese Art der logischen Problemlösung
im Kurs enthalten
Vermittlung eines Informatikkurses für Studierende allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
Programmieren in der Sprache
Pascal
.
Neben logischen Problemen in der Mathematik,
Ory einfach zu lösen
Bei mathematischen Problemen muss man absurde Dinge tun, die darüber hinausgehen
ra
die Grenzen unserer Logik, unseres Denkens.
Absurd
–
in Mathematik und Logik,
bedeutet, was
-
dann hat das Element innerhalb des Gegebenen keine Bedeutung
Theorien,
Systeme bzw
Felder, grundsätzlich inkompatibel mit ihnen, obwohl das Element
was in diesem System absurd ist
es könnte auf eine andere Art und Weise Sinn machen.
In der Mathematik werden Sophismen (Fertigkeit, Fertigkeit) in eine eigene Gruppe eingeteilt.
-
eine komplexe Schlussfolgerung, die bei oberflächlicher Betrachtung dennoch zu erkennen ist
scheint richtig zu sein.
Ohne Formeln in der Mathematik kann eine Situation entstehen, in der
der andere kann
existieren in der Realität, haben aber keine logische Erklärung. So eine Situation
ein Paradoxon genannt. Die Entstehung von Paradoxien ist nichts
-
Das
unregelmäßig, unerwartet, zufällig in der Geschichte der wissenschaftlichen Entwicklung
Denken. Ihr Erscheinen ist signalisiert
spricht von der Notwendigkeit, das Vorherige zu überarbeiten
theoretische Ideen, die angemessenere Konzepte und Prinzipien vorschlagen
und Forschungsmethoden.
Die Welt einer Wissenschaft wie der Mathematik beschränkt sich nicht nur auf das Lösen
besondere Art von Aufgaben. Neben all den Schwierigkeiten,
es hat etwas Schönes und Interessantes,
manchmal sogar lustig. Mathematischer Humor sowie die mathematische Welt,
raffiniert und besonders.
Somit bleibt die Mathematik ohne Formeln, Gleichungen und Ungleichungen
eine vollwertige Wissenschaft, zugleich interessant und vielfältig.
Bibliographische Liste.
Agafonova, I. G. Denken lernen: Unterhaltsame logische Aufgaben,
Tests und Übungen für Kinder. Tutorial [Tex] /
I. G. Agafonova
St. Petersburg
IKF MiM
–
Express, 1996.
–
Balayan E.N. Olympiade 1001 und unterhaltsame Probleme
und von
Mathematik
[Tex]
/ E.N. Balayan.
-
3
-
ed.
-
Rostow n/d: Phoenix, 2008.
-
Farkov, A.V. Mathematikolympiaden in der Schule. 5
-
11. Klasse.
[Tex]/
A. V. Farkov.
-
8
-
ed., rev. und zusätzlich
-
M.: Iris
-
Presse, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
Turnier benannt nach M. V. Lomonosova (Moskau)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
Angehängte Dokumente
Einführung. 3
1. Mathematische Logik (bedeutungslose Logik) und Logik des „gesunden Menschenverstandes“ 4
2. Mathematische Urteile und Schlussfolgerungen. 6
3. Mathematische Logik und „gesunder Menschenverstand“ im 21. Jahrhundert. elf
4. Unnatürliche Logik in den Grundlagen der Mathematik. 12
Abschluss. 17
Referenzen… 18
Die Ausweitung des Bereichs logischer Interessen ist mit allgemeinen Trends in der Entwicklung wissenschaftlicher Erkenntnisse verbunden. Somit war die Entstehung der mathematischen Logik in der Mitte des 19. Jahrhunderts das Ergebnis jahrhundertealter Bestrebungen von Mathematikern und Logikern, eine universelle symbolische Sprache aufzubauen, die frei von den „Mängeln“ der natürlichen Sprache (hauptsächlich ihrer Polysemie, d. h. Polysemie) ist. .
Die Weiterentwicklung der Logik ist mit der kombinierten Verwendung klassischer und mathematischer Logik in angewandten Bereichen verbunden. Nichtklassische Logiken (deontische, relevante, rechtliche Logik, Entscheidungslogik usw.) befassen sich häufig mit der Unsicherheit und Unschärfe der untersuchten Objekte sowie mit der nichtlinearen Natur ihrer Entwicklung. Bei der Analyse recht komplexer Probleme in Systemen der künstlichen Intelligenz stellt sich daher das Problem der Synergie zwischen verschiedenen Argumentationsarten bei der Lösung desselben Problems. Aussichten für die Entwicklung der Logik im Einklang mit der Konvergenz mit der Informatik sind mit der Schaffung einer bestimmten Hierarchie möglicher Argumentationsmodelle verbunden, einschließlich Argumentation in natürlicher Sprache, plausiblem Denken und formalisierten deduktiven Schlussfolgerungen. Dies kann mit klassischer, mathematischer und nichtklassischer Logik gelöst werden. Wir sprechen also nicht von unterschiedlichen „Logiken“, sondern von unterschiedlichen Formalisierungsgraden des Denkens und der „Dimension“ logischer Bedeutungen (zweiwertige, mehrwertige usw. Logik).
Identifizierung der Hauptrichtungen der modernen Logik:
1. allgemeine oder klassische Logik;
2. symbolische oder mathematische Logik;
3. Nichtklassische Logik.
Mathematische Logik ist ein eher vages Konzept, da es auch unendlich viele mathematische Logiken gibt. Hier werden wir einige davon besprechen und dabei mehr der Tradition als dem gesunden Menschenverstand Tribut zollen. Denn möglicherweise ist das gesunder Menschenverstand... Logisch?
Die mathematische Logik lehrt Sie nicht mehr als jeder andere Zweig der Mathematik, logisch zu denken. Dies liegt daran, dass die „Logik“ des Denkens in der Logik durch die Logik selbst bestimmt wird und nur in der Logik selbst richtig angewendet werden kann. Im Leben verwenden wir beim logischen Denken in der Regel unterschiedliche Logiken und unterschiedliche Methoden des logischen Denkens und vermischen schamlos Deduktion mit Induktion... Darüber hinaus bauen wir im Leben unsere Argumentation auf der Grundlage widersprüchlicher Prämissen auf, zum Beispiel „Don „Verschiebe nicht auf morgen, was du heute tun kannst“ und „Du wirst die Leute schnell zum Lachen bringen.“ Es kommt oft vor, dass eine logische Schlussfolgerung, die uns nicht gefällt, zu einer Überarbeitung der ursprünglichen Prämissen (Axiome) führt.
Vielleicht ist es an der Zeit, über die Logik zu sagen, vielleicht das Wichtigste: Bei der klassischen Logik geht es nicht um Bedeutung. Weder gesund noch irgendein anderes! Um den gesunden Menschenverstand zu studieren, gibt es übrigens die Psychiatrie. Aber in der Psychiatrie ist Logik eher schädlich.
Wenn wir Logik von Sinn unterscheiden, meinen wir natürlich zunächst die klassische Logik und das alltägliche Verständnis des gesunden Menschenverstandes. In der Mathematik gibt es keine verbotenen Richtungen, daher ist das Studium der Bedeutung durch Logik und umgekehrt in verschiedenen Formen in einer Reihe moderner Zweige der Logikwissenschaft präsent.
(Der letzte Satz hat gut funktioniert, obwohl ich nicht versuchen werde, den Begriff „logische Wissenschaft“ auch nur annähernd zu definieren.) Bedeutung, oder Semantik, wenn man so will, wird beispielsweise in der Modelltheorie behandelt. Und im Allgemeinen wird der Begriff Semantik häufig durch den Begriff Interpretation ersetzt. Und wenn wir mit Philosophen darin übereinstimmen, dass die Interpretation (Darstellung!) eines Objekts sein Verständnis in einem bestimmten Aspekt ist, dann werden die Grenzbereiche der Mathematik, die zum Angriff auf die Bedeutung in der Logik genutzt werden können, unverständlich!
In der Praxis ist die theoretische Programmierung gezwungen, sich für Semantik zu interessieren. Und darin gibt es neben der reinen Semantik auch operative, denotationale, prozedurale usw. usw. Semantik...
Erwähnen wir nur die Apotheose – DIE THEORIE DER KATEGORIEN, die die Semantik zu einer formalen, obskuren Syntax führte, bei der die Bedeutung bereits so einfach ist – in den Regalen ausgelegt, dass es für einen Normalsterblichen völlig unmöglich ist, ihr auf den Grund zu gehen es... Das ist für die Elite.
Was macht also die Logik? Zumindest im klassischsten Teil? Logik tut nur das, was sie tut. (Und sie definiert dies äußerst streng). Das Wichtigste in der Logik ist, sie streng zu definieren! Stellen Sie die Axiomatik ein. Und dann sollten die logischen Schlussfolgerungen (!) weitgehend automatisch erfolgen ...
Über diese Schlussfolgerungen nachzudenken, ist eine andere Sache! Aber diese Argumente sprengen bereits den Rahmen der Logik! Daher erfordern sie ein strenges mathematisches Gespür!
Es mag scheinen, dass dies ein einfacher verbaler Balanceakt ist. NEIN! Als Beispiel für ein bestimmtes logisches (axiomatisches) System nehmen wir das bekannte Spiel 15. Legen wir die anfängliche Anordnung der quadratischen Chips fest (mischen). Dann kann das Spiel (logische Schlussfolgerung!) und insbesondere die Bewegung der Chips auf ein leeres Feld durch ein mechanisches Gerät gesteuert werden, und Sie können geduldig zusehen und sich freuen, wenn als Ergebnis möglicher Bewegungen eine Sequenz von 1 bis 15 entsteht Aber niemand verbietet es, ein mechanisches Gerät zu steuern und es auf der Grundlage des gesunden Menschenverstandes mit den richtigen Bewegungen der Chips zu veranlassen, um den Prozess zu beschleunigen. Oder beweisen Sie vielleicht sogar, indem Sie zum logischen Denken beispielsweise einen Zweig der Mathematik wie die KOMBINATORIK verwenden, dass es mit einer gegebenen anfänglichen Anordnung der Chips überhaupt unmöglich ist, die erforderliche endgültige Kombination zu erhalten!
In dem Teil der Logik, der LOGISCHE ALGEBRA genannt wird, gibt es keinen gesunden Menschenverstand. Hier werden LOGISCHE OPERATIONEN vorgestellt und ihre Eigenschaften definiert. Wie die Praxis gezeigt hat, entsprechen die Gesetze dieser Algebra in manchen Fällen möglicherweise der Logik des Lebens, in anderen jedoch nicht. Aufgrund dieser Unbeständigkeit können die Gesetze der Logik nicht als Gesetze aus der Sicht der Lebenspraxis betrachtet werden. Ihr Wissen und ihr mechanischer Einsatz können nicht nur helfen, sondern auch schaden. Vor allem Psychologen und Anwälte. Die Situation wird durch die Tatsache erschwert, dass es neben den Gesetzen der Algebra der Logik, die manchmal mit dem Denken im Leben übereinstimmen oder nicht, logische Gesetze gibt, die einige Logiker kategorisch nicht anerkennen. Dies gilt in erster Linie für die sogenannten Gesetze des AUSSCHLIESSLICHEN DRITTEN und DES WIDERSPRUCHS.
2. Mathematische Urteile und Schlussfolgerungen
Im Denken treten Begriffe nicht einzeln auf; sie sind in einer bestimmten Weise miteinander verbunden. Die Form der Verbindung von Begriffen untereinander ist ein Urteil. In jedem Urteil wird ein Zusammenhang oder eine Beziehung zwischen Begriffen hergestellt, was die Existenz eines Zusammenhangs oder einer Beziehung zwischen den von den entsprechenden Begriffen abgedeckten Gegenständen bestätigt. Wenn Urteile diese objektiv bestehenden Abhängigkeiten zwischen den Dingen richtig widerspiegeln, dann nennen wir solche Urteile wahr, andernfalls sind die Urteile falsch. So ist beispielsweise der Satz „Jede Raute ist ein Parallelogramm“ ein wahrer Satz; Der Satz „Jedes Parallelogramm ist eine Raute“ ist ein falscher Satz.
Somit ist ein Urteil eine Form des Denkens, die die Anwesenheit oder Abwesenheit des Objekts selbst (die Anwesenheit oder Abwesenheit seiner Merkmale und Verbindungen) widerspiegelt.
Denken bedeutet, Urteile zu fällen. Mit Hilfe von Urteilen erfahren Denken und Konzept ihre Weiterentwicklung.
Da jeder Begriff eine bestimmte Klasse von Objekten, Phänomenen oder Beziehungen zwischen ihnen widerspiegelt, kann jedes Urteil als Einschluss oder Nichteinschluss (teilweise oder vollständig) eines Begriffs in die Klasse eines anderen Begriffs betrachtet werden. Beispielsweise weist der Satz „Jedes Quadrat ist eine Raute“ darauf hin, dass der Begriff „Quadrat“ im Begriff „Rhombus“ enthalten ist; Der Satz „Schnittlinien sind nicht parallel“ besagt, dass Schnittlinien nicht zu der Menge der Linien gehören, die als parallel bezeichnet werden.
Ein Urteil hat seine eigene sprachliche Hülle – einen Satz, aber nicht jeder Satz ist ein Urteil.
Ein charakteristisches Merkmal eines Urteils ist das obligatorische Vorhandensein von Wahrheit oder Falschheit in dem Satz, in dem es zum Ausdruck kommt.
Beispielsweise drückt der Satz „Dreieck ABC ist gleichschenklig“ ein Urteil aus; der Satz „Wird ABC gleichschenklig sein?“ äußert kein Urteil.
Jede Wissenschaft stellt im Wesentlichen ein bestimmtes System von Urteilen über die Gegenstände dar, die Gegenstand ihrer Untersuchung sind. Jedes der Urteile wird in Form eines bestimmten Vorschlags formalisiert, der in Begriffen und Symbolen ausgedrückt wird, die dieser Wissenschaft innewohnen. Die Mathematik stellt auch ein bestimmtes System von Urteilen dar, die in mathematischen Sätzen durch mathematische oder logische Begriffe oder die entsprechenden Symbole ausgedrückt werden. Mathematische Begriffe (oder Symbole) bezeichnen jene Konzepte, die den Inhalt einer mathematischen Theorie ausmachen, logische Begriffe (oder Symbole) bezeichnen logische Operationen, mit deren Hilfe aus einigen mathematischen Sätzen andere mathematische Sätze konstruiert werden, aus einigen Urteilen andere Urteile , deren Gesamtheit die Mathematik als Wissenschaft ausmacht.
Im Allgemeinen werden Urteile im Denken auf zwei Arten gebildet: direkt und indirekt. Im ersten Fall wird das Wahrnehmungsergebnis mit Hilfe eines Urteils ausgedrückt, zum Beispiel „Diese Figur ist ein Kreis“. Im zweiten Fall entsteht das Urteil als Ergebnis einer besonderen geistigen Aktivität, die als Folgerung bezeichnet wird. Zum Beispiel: „Die Menge gegebener Punkte auf einer Ebene ist so, dass ihr Abstand von einem Punkt gleich ist; Das bedeutet, dass diese Figur ein Kreis ist.“
Im Verlauf dieser geistigen Aktivität erfolgt üblicherweise ein Übergang von einem oder mehreren miteinander verbundenen Urteilen zu einem neuen Urteil, das neue Erkenntnisse über den Untersuchungsgegenstand enthält. Dieser Übergang ist die Schlussfolgerung, die die höchste Form des Denkens darstellt.
Unter Schlussfolgerung versteht man also den Prozess, aus einem oder mehreren gegebenen Urteilen eine neue Schlussfolgerung zu ziehen. Beispielsweise teilt die Diagonale eines Parallelogramms dieses in zwei kongruente Dreiecke (erster Satz).
Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 2d (zweiter Satz).
Die Summe der Innenwinkel eines Parallelogramms ist gleich 4d (neue Schlussfolgerung).
Der kognitive Wert mathematischer Schlussfolgerungen ist äußerst groß. Sie erweitern die Grenzen unseres Wissens über Objekte und Phänomene der realen Welt, da die meisten mathematischen Sätze eine Schlussfolgerung aus einer relativ kleinen Anzahl grundlegender Urteile sind, die in der Regel durch direkte Erfahrung gewonnen werden und unsere widerspiegeln einfachste und allgemeinste Kenntnisse über seine Gegenstände.
Schlussfolgerungen unterscheiden sich (als Denkform) von Konzepten und Urteilen dadurch, dass es sich um eine logische Operation einzelner Gedanken handelt.
Nicht jede Kombination von Urteilen untereinander stellt eine Schlussfolgerung dar: Zwischen den Urteilen muss ein gewisser logischer Zusammenhang bestehen, der den in der Realität bestehenden objektiven Zusammenhang widerspiegelt.
Beispielsweise kann man aus den Aussagen „Die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks beträgt 2d“ und „2*2=4“ keine Schlussfolgerung ziehen.
Es ist klar, welche Bedeutung die Fähigkeit, verschiedene mathematische Sätze korrekt zu bilden oder im Denkprozess Schlussfolgerungen zu ziehen, im System unseres mathematischen Wissens hat. Gesprochene Sprache ist schlecht geeignet, um bestimmte Urteile auszudrücken, geschweige denn, um die logische Struktur des Denkens zu erkennen. Daher ist es selbstverständlich, dass die im Argumentationsprozess verwendete Sprache verbessert werden musste. Dabei erwies sich die mathematische (bzw. symbolische) Sprache als am besten geeignet. Das im 19. Jahrhundert entstandene Spezialgebiet der Wissenschaft, die mathematische Logik, löste nicht nur das Problem der Erstellung einer mathematischen Beweistheorie vollständig, sondern hatte auch großen Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik insgesamt.
Die formale Logik (die in der Antike in den Werken des Aristoteles entstand) wird nicht mit der mathematischen Logik (die im 19. Jahrhundert in den Werken des englischen Mathematikers J. Boole entstand) identifiziert. Gegenstand der formalen Logik ist das Studium der Gesetze des Verhältnisses von Urteilen und Konzepten in Schlussfolgerungen und Beweisregeln. Die mathematische Logik unterscheidet sich von der formalen Logik dadurch, dass sie auf der Grundlage der Grundgesetze der formalen Logik die Muster logischer Prozesse erforscht, die auf der Verwendung mathematischer Methoden basieren: „Die logischen Zusammenhänge, die zwischen Urteilen, Konzepten usw. bestehen, werden ausgedrückt in Formeln, deren Interpretation frei von Unklarheiten ist, die leicht aus dem verbalen Ausdruck entstehen könnten. Somit ist die mathematische Logik durch die Formalisierung logischer Operationen und eine vollständigere Abstraktion vom spezifischen Inhalt von Sätzen (die ein beliebiges Urteil ausdrücken) gekennzeichnet.
Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen. Betrachten Sie die folgende Schlussfolgerung: „Wenn alle Pflanzen rot sind und alle Hunde Pflanzen sind, dann sind alle Hunde rot.“
Jedes der hier verwendeten Urteile und das Urteil, das wir aufgrund zurückhaltender Schlussfolgerungen erhielten, scheinen offenkundiger Unsinn zu sein. Aus Sicht der mathematischen Logik haben wir es hier jedoch mit einem wahren Satz zu tun, da in der mathematischen Logik die Wahrheit oder Falschheit einer Schlussfolgerung nur von der Wahrheit oder Falschheit ihrer konstituierenden Prämissen und nicht von deren spezifischem Inhalt abhängt. Wenn also einer der Grundbegriffe der formalen Logik ein Urteil ist, dann ist der analoge Begriff der mathematischen Logik der Begriff einer Aussage-Aussage, für die es nur Sinn macht, zu sagen, ob sie wahr oder falsch ist. Man sollte nicht denken, dass jede Aussage inhaltlich durch einen Mangel an „gesundem Menschenverstand“ gekennzeichnet ist. Es ist nur so, dass der sinnvolle Teil des Satzes, aus dem diese oder jene Aussage besteht, in der mathematischen Logik in den Hintergrund tritt und für die logische Konstruktion oder Analyse dieser oder jener Schlussfolgerung unwichtig ist. (Obwohl es natürlich wichtig ist, um den Inhalt dessen zu verstehen, was bei der Betrachtung dieses Themas diskutiert wird.)
Es ist klar, dass in der Mathematik selbst sinnvolle Aussagen berücksichtigt werden. Indem sie verschiedene Verbindungen und Beziehungen zwischen Konzepten herstellen, bestätigen oder leugnen mathematische Urteile jegliche Beziehungen zwischen Objekten und Phänomenen der Realität.
3. Mathematische Logik und „gesunder Menschenverstand“ im 21. Jahrhundert.
Logik ist nicht nur eine rein mathematische, sondern auch eine philosophische Wissenschaft. Im 20. Jahrhundert stellte sich heraus, dass diese beiden miteinander verbundenen Hypostasen der Logik in unterschiedliche Richtungen getrennt waren. Einerseits wird Logik als die Wissenschaft von den Gesetzen des richtigen Denkens verstanden, andererseits wird sie als eine Reihe lose verbundener künstlicher Sprachen dargestellt, die als formale logische Systeme bezeichnet werden.
Für viele ist es offensichtlich, dass Denken ein komplexer Prozess ist, mit dessen Hilfe alltägliche, wissenschaftliche oder philosophische Probleme gelöst und brillante Ideen oder fatale Wahnvorstellungen geboren werden. Viele verstehen Sprache einfach als Mittel, mit dem die Ergebnisse des Denkens an Zeitgenossen weitergegeben oder den Nachkommen überlassen werden können. Aber nachdem wir in unserem Bewusstsein das Denken mit dem Konzept des „Prozesses“ und die Sprache mit dem Konzept der „Mittel“ verbunden haben, bemerken wir im Wesentlichen nicht mehr die unveränderliche Tatsache, dass in diesem Fall die „Mittel“ dem „Prozess“ nicht vollständig untergeordnet sind. , aber abhängig von unserer gezielten oder unbewussten Wahl bestimmter oder verbaler Klischees hat es einen starken Einfluss auf den Verlauf und das Ergebnis des „Prozesses“ selbst. Darüber hinaus gibt es viele Fälle, in denen sich ein solcher „umgekehrter Einfluss“ nicht nur als Hindernis für das richtige Denken, sondern manchmal sogar als dessen Zerstörer erweist.
Aus philosophischer Sicht wurde die im Rahmen des logischen Positivismus gestellte Aufgabe nie abgeschlossen. Insbesondere einer der Begründer dieser Strömung, Ludwig Wittgenstein, kam in seinen späteren Studien zu dem Schluss, dass die natürliche Sprache nicht nach dem von den Positivisten entwickelten Programm reformiert werden kann. Sogar die Sprache der Mathematik als Ganzes widerstand dem starken Druck des „Logizismus“, obwohl viele Begriffe und Strukturen der von den Positivisten vorgeschlagenen Sprache in einige Bereiche der diskreten Mathematik eingingen und diese erheblich ergänzten. Die Popularität des logischen Positivismus als philosophischer Trend ging in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts merklich zurück – viele Philosophen kamen zu dem Schluss, dass die Ablehnung vieler „Unlogikitäten“ der natürlichen Sprache ein Versuch sei, sie in den Rahmen der Grundprinzipien einzuordnen Der logische Positivismus beinhaltet die Entmenschlichung des Erkenntnisprozesses und gleichzeitig die Entmenschlichung der menschlichen Kultur als Ganzes.
Viele in natürlicher Sprache verwendete Argumentationsmethoden lassen sich oft nur sehr schwer eindeutig in die Sprache der mathematischen Logik übertragen. In einigen Fällen führt eine solche Zuordnung zu einer erheblichen Verzerrung des Wesens des natürlichen Denkens. Und es gibt Grund zu der Annahme, dass diese Probleme eine Folge der anfänglichen methodischen Position der analytischen Philosophie und des Positivismus hinsichtlich der Unlogik der natürlichen Sprache und der Notwendigkeit ihrer radikalen Reform sind. Auch die sehr originelle methodische Einstellung des Positivismus hält der Kritik nicht stand. Der gesprochenen Sprache vorzuwerfen, sie sei unlogisch, ist einfach absurd. Tatsächlich zeichnet Unlogik nicht die Sprache selbst aus, sondern viele Benutzer dieser Sprache, die die Logik einfach nicht kennen oder nicht verwenden wollen und diesen Fehler durch psychologische oder rhetorische Techniken der Öffentlichkeitsbeeinflussung oder in ihrer Argumentation kompensieren als Logik ein System, das nur durch Missverständnis als Logik bezeichnet wird. Gleichzeitig gibt es viele Menschen, deren Sprache sich durch Klarheit und Logik auszeichnet, und diese Eigenschaften werden nicht durch Kenntnis oder Unkenntnis der Grundlagen der mathematischen Logik bestimmt.
In der Argumentation derjenigen, die als Gesetzgeber oder Anhänger der Formensprache der mathematischen Logik einzustufen sind, offenbart sich häufig eine Art „Blindheit“ gegenüber elementaren logischen Fehlern. Einer der großen Mathematiker, Henri Poincaré, machte zu Beginn unseres Jahrhunderts in den grundlegenden Werken von G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano und anderen auf diese Blindheit aufmerksam.
Ein Beispiel für einen solchen unlogischen Denkansatz ist die Formulierung des berühmten Russell-Paradoxons, bei dem zwei rein heterogene Konzepte „Element“ und „Menge“ unangemessen verwechselt werden. In vielen modernen Werken zur Logik und Mathematik, in denen der Einfluss von Hilberts Programm spürbar ist, werden viele Aussagen, die aus Sicht der Naturlogik eindeutig absurd sind, nicht erklärt. Die Beziehung zwischen „Element“ und „Menge“ ist das einfachste Beispiel dieser Art. Viele Arbeiten in dieser Richtung behaupten, dass eine bestimmte Menge (nennen wir sie A) ein Element einer anderen Menge (nennen wir sie B) sein kann.
In einem bekannten Handbuch zur mathematischen Logik finden wir beispielsweise den folgenden Satz: „Mengen selbst können Elemente von Mengen sein, so hat beispielsweise die Menge aller Mengen ganzer Zahlen Mengen als Elemente.“ Beachten Sie, dass es sich bei dieser Aussage nicht nur um einen Haftungsausschluss handelt. Es ist als „verborgenes“ Axiom in der formalen Mengenlehre enthalten, die viele Experten als Grundlage der modernen Mathematik betrachten, sowie in dem formalen System, das der Mathematiker K. Gödel beim Beweis seines berühmten Theorems über die Unvollständigkeit formaler Systeme aufgebaut hat. Dieser Satz bezieht sich auf eine eher enge Klasse formaler Systeme (dazu gehören die formale Mengenlehre und die formale Arithmetik), deren logische Struktur eindeutig nicht der logischen Struktur des natürlichen Denkens und Begründens entspricht.
Allerdings ist es seit mehr als einem halben Jahrhundert Gegenstand heftiger Diskussionen unter Logikern und Philosophen im Rahmen der allgemeinen Erkenntnistheorie. Bei einer so breiten Verallgemeinerung dieses Theorems stellt sich heraus, dass viele elementare Konzepte grundsätzlich nicht erkennbar sind. Aber bei einer nüchterneren Betrachtung stellt sich heraus, dass Gödels Theorem nur die Inkonsistenz des von D. Hilbert vorgeschlagenen und von vielen Mathematikern, Logikern und Philosophen aufgegriffenen Programms zur formalen Begründung der Mathematik zeigte. Der breitere methodologische Aspekt von Gödels Theorem kann kaum als akzeptabel angesehen werden, bis die folgende Frage beantwortet ist: Ist Hilberts Programm zur Begründung der Mathematik das einzig mögliche? Um die Mehrdeutigkeit der Aussage „Menge A ist ein Element von Menge B“ zu verstehen, reicht es aus, eine einfache Frage zu stellen: „Aus welchen Elementen wird in diesem Fall Menge B gebildet?“ Aus Sicht der Naturlogik sind nur zwei sich gegenseitig ausschließende Erklärungen möglich. Erklärung eins. Die Elemente der Menge B sind die Namen einiger Mengen und insbesondere der Name oder die Bezeichnung der Menge A. Beispielsweise ist die Menge aller geraden Zahlen als Element in der Menge aller Namen (oder Bezeichnungen) enthalten. von Mengen, die sich durch einige Merkmale von der Menge aller ganzen Zahlen unterscheiden. Um ein anschaulicheres Beispiel zu geben: Die Menge aller Giraffen ist als Element in der Menge aller bekannten Tierarten enthalten. In einem weiteren Kontext kann die Menge B auch aus begrifflichen Definitionen von Mengen oder Verweisen auf Mengen gebildet werden. Erklärung zwei. Die Elemente der Menge B sind die Elemente einiger anderer Mengen und insbesondere alle Elemente der Menge A. Beispielsweise ist jede gerade Zahl ein Element der Menge aller ganzen Zahlen, oder jede Giraffe ist ein Element der Menge Satz aller Tiere. Doch dann stellt sich heraus, dass in beiden Fällen der Ausdruck „Menge A ist ein Element von Menge B“ keinen Sinn ergibt. Im ersten Fall stellt sich heraus, dass das Element der Menge B nicht die Menge A selbst ist, sondern ihr Name (oder ihre Bezeichnung oder ein Verweis darauf). In diesem Fall wird implizit eine Äquivalenzbeziehung zwischen der Menge und ihrer Bezeichnung hergestellt, die weder aus der Sicht des gewöhnlichen gesunden Menschenverstandes noch aus der Sicht der mathematischen Intuition, die mit übermäßigem Formalismus unvereinbar ist, inakzeptabel ist. Im zweiten Fall stellt sich heraus, dass Menge A in Menge B enthalten ist, d.h. ist eine Teilmenge davon, aber kein Element. Auch hier liegt eine offensichtliche Substitution von Begriffen vor, da die Beziehung der Einbeziehung von Mengen und die Beziehung der Zugehörigkeit (ein Element einer Menge zu sein) in der Mathematik grundsätzlich unterschiedliche Bedeutungen haben. Russells berühmtes Paradoxon, das das Vertrauen der Logiker in das Konzept einer Menge untergrub, basiert auf dieser Absurdität – das Paradoxon basiert auf der mehrdeutigen Prämisse, dass eine Menge ein Element einer anderen Menge sein kann.
Eine andere mögliche Erklärung ist möglich. Eine Menge A sei durch eine einfache Aufzählung ihrer Elemente definiert, zum Beispiel A = (a, b). Die Menge B wiederum wird durch Aufzählung einiger Mengen spezifiziert, zum Beispiel B = ((a, b), (a, c)). In diesem Fall scheint es offensichtlich, dass das Element von B nicht der Name der Menge A ist, sondern die Menge A selbst. Aber auch in diesem Fall sind die Elemente der Menge A keine Elemente der Menge B, sondern der Menge A wird hier als untrennbare Sammlung betrachtet, die durchaus durch ihren Namen ersetzt werden kann. Wenn wir jedoch alle Elemente der darin enthaltenen Mengen als Elemente von B betrachten würden, wäre in diesem Fall die Menge B gleich der Menge (a, b, c) und die Menge A wäre in diesem Fall nicht an Element von B, sondern eine Teilmenge davon. Es stellt sich also heraus, dass diese Version der Erklärung je nach unserer Wahl auf die zuvor aufgeführten Optionen hinausläuft. Und wenn keine Wahlmöglichkeit besteht, kommt es zu elementarer Mehrdeutigkeit, die oft zu „unerklärlichen“ Paradoxien führt.
Ohne einen Umstand wäre es möglich, diesen terminologischen Nuancen keine besondere Aufmerksamkeit zu schenken. Es stellt sich heraus, dass viele der Paradoxien und Inkonsistenzen der modernen Logik und diskreten Mathematik eine direkte Folge oder Nachahmung dieser Mehrdeutigkeit sind.
Beispielsweise wird im modernen mathematischen Denken häufig das Konzept der „Selbstanwendbarkeit“ verwendet, das Russells Paradoxon zugrunde liegt. In der Formulierung dieses Paradoxons impliziert Selbstanwendbarkeit die Existenz von Mengen, die Elemente ihrer selbst sind. Diese Aussage führt sofort zu einem Paradoxon. Wenn wir die Menge aller „nicht selbstanwendbaren“ Mengen betrachten, stellt sich heraus, dass sie sowohl „selbstanwendbar“ als auch „nicht selbstanwendbar“ ist.
Die mathematische Logik hat viel zur rasanten Entwicklung der Informationstechnologie im 20. Jahrhundert beigetragen, aber das Konzept des „Urteils“, das bereits zu Zeiten des Aristoteles in der Logik auftauchte und auf dem als Grundlage die logische Grundlage der natürlichen Sprache ruht , fiel aus seinem Blickfeld. Eine solche Unterlassung trug überhaupt nicht zur Entwicklung einer logischen Kultur in der Gesellschaft bei und löste bei vielen sogar die Illusion aus, dass Computer nicht schlechter denken könnten als der Mensch selbst. Vielen ist es nicht einmal peinlich, dass vor dem Hintergrund der allgemeinen Computerisierung am Vorabend des dritten Jahrtausends logische Absurditäten innerhalb der Wissenschaft selbst (ganz zu schweigen von Politik, Gesetzgebung und Pseudowissenschaften) noch häufiger vorkommen als am Ende des 19. Jahrhunderts . Und um das Wesen dieser Absurditäten zu verstehen, muss man sich nicht den komplexen mathematischen Strukturen mit mehrstelligen Beziehungen und rekursiven Funktionen zuwenden, die in der mathematischen Logik verwendet werden. Es stellt sich heraus, dass es zum Verständnis und zur Analyse dieser Absurditäten völlig ausreicht, eine viel einfachere mathematische Urteilsstruktur anzuwenden, die den mathematischen Grundlagen der modernen Logik nicht nur nicht widerspricht, sondern sie in gewisser Weise ergänzt und erweitert.
Referenzliste
1. Vasiliev N. A. Imaginäre Logik. Ausgewählte Werke. - M.: Wissenschaft. 1989; - S. 94-123.
2. Kulik B.A. Grundprinzipien der Philosophie des gesunden Menschenverstandes (kognitiver Aspekt) // Artificial Intelligence News, 1996, Nr. 3, S. 7-92.
3. Kulik B.A. Logische Grundlagen des gesunden Menschenverstandes / Herausgegeben von D.A. Pospelov. - St. Petersburg, Polytechnikum, 1997. 131 S.
4. Kulik B.A. Die Logik des gesunden Menschenverstandes. - Common Sense, 1997, Nr. 1(5), S. 44 - 48.
5. Styazhkin N.I. Bildung der mathematischen Logik. M.: Nauka, 1967.
6. Soloviev A. Diskrete Mathematik ohne Formeln. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
Das Senden Ihrer guten Arbeit an die Wissensdatenbank ist ganz einfach. Nutzen Sie das untenstehende Formular
Studierende, Doktoranden und junge Wissenschaftler, die die Wissensbasis in ihrem Studium und ihrer Arbeit nutzen, werden Ihnen sehr dankbar sein.
Veröffentlicht am http://www.allbest.ru/
DIPLOMARBEIT
Thema der wissenschaftlichen Arbeit
„Einsatz von Elementen der mathematischen Logik im Mathematikunterricht der Grundschule“
Mathematische Logik Grundkenntnisse
Einführung
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen für das Studium der Elemente der mathematischen Logik in der Grundschule
1.1 Verständnis der logischen Struktur mathematischer Konzepte und Sätze
1.2 Studium der Logik als Teilgebiet der Mathematik
1.3 Logisches Denken
Schlussfolgerungen zu Kapitel 1
Kapitel 2. Verwendung von Elementen der mathematischen Logik im Mathematikunterricht in der Grundschule
2.1 Verwendung von Elementen der Logik in einem Mathematik-Grundkurs
2.2 Psychologische und pädagogische Grundlagen der Verwendung von Elementen der mathematischen Logik gemäß dem Bildungskomplex „Prospektive Grundschule“
2.3 Ein Aufgabensystem, das darauf abzielt, das Konzept der „Elemente der mathematischen Logik“ bei Schülern nach Abschluss der Grundschule zu entwickeln
Schlussfolgerungen zu Kapitel 2
Abschluss
Referenzliste
Anwendungen
Einführung
Derzeit sucht das Land aktiv nach Möglichkeiten, den Mathematikunterricht zu verbessern. Basierend auf dem Landesbildungsstandard der Neuen Allgemeinbildung müssen Grundschüler die Anforderungen an die Ergebnisse der Beherrschung des Grundbildungsprogramms der Grundschule im Fach Mathematik einhalten:
1) grundlegende mathematische Kenntnisse verwenden, um umgebende Objekte, Prozesse und Phänomene zu beschreiben und zu erklären sowie ihre quantitativen und räumlichen Beziehungen zu bewerten;
2) die Grundlagen des logischen und algorithmischen Denkens, des räumlichen Vorstellungsvermögens und der mathematischen Sprache, der Messung, Neuberechnung, Schätzung und Bewertung, der visuellen Darstellung von Daten und Prozessen sowie der Aufzeichnung und Ausführung von Algorithmen beherrschen;
3) in der Lage sein, mündliche und schriftliche Rechenoperationen mit Zahlen und numerischen Ausdrücken durchzuführen, Wortprobleme zu lösen, die Fähigkeit, nach einem Algorithmus zu handeln und einfache Algorithmen zu erstellen, geometrische Formen zu erforschen, zu erkennen und darzustellen, mit Tabellen, Diagrammen und Grafiken zu arbeiten und Diagramme, Ketten, Aggregate, präsentieren, analysieren und interpretieren Daten.
Heute ist der Mathematikunterricht Teil des weiterführenden Bildungssystems und zugleich eine Art eigenständige Bildungsstufe. Die neuen Inhalte des Mathematikunterrichts konzentrieren sich hauptsächlich auf die Bildung einer Kultur und Unabhängigkeit des Denkens jüngerer Schüler, Elemente pädagogischer Aktivitäten mit Mitteln und Methoden der Mathematik. Während des Trainings müssen Kinder allgemeine Handlungsmethoden erlernen, eine schrittweise Kontrolle und Selbstbewertung abgeschlossener Aktivitäten durchführen, um die Übereinstimmung ihrer Handlungen mit dem beabsichtigten Plan festzustellen.
Deshalb ist es kein Zufall, dass in Mathematikprogrammen besonderes Augenmerk auf die Bildung algorithmischer, logischer und kombinatorischer Linien gelegt wird, die im Rahmen des Studiums der arithmetischen, algebraischen und geometrischen Abschnitte des Programms entwickelt werden.
In den Werken der Mathematiker A.N. Kolmogorov, A.I. Markushevich A.S. Stolyara, A.M. Pyshkalo, P.M. Erdnieva und andere betonen die grundlegenden Fragen der Verbesserung des schulischen Mathematikunterrichts, insbesondere Fragen im Zusammenhang mit der Stärkung der logischen Basis des Schulkurses, einschließlich der darin enthaltenen Elemente der mathematischen Logik.
Im letzten Jahrzehnt, als die Schule in den Prozess der Modernisierung eintrat und neue Standards, Technologien, Methoden und verschiedene Lehrmittel in die Praxis eingeführt wurden, gewann die Frage der Kontinuität in der Bildung zwischen der Primar- und der Grundstufe an Bedeutung. Das Vorhandensein einer Reihe von Lehrbüchern ist ein wichtiger Bestandteil der Kontinuität zwischen diesen Ebenen. Laut A.A. Stolyar „brauche ein mentales, logisches Programm, das in der Grund- und Sekundarstufe umgesetzt werden soll.“
Forschung von Psychologen und Lehrern V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Davydova, N.M. Skatkina und andere zeigen, dass es unter bestimmten Bedingungen möglich ist, nicht nur ein hohes Maß an Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten, sondern auch eine allgemeine Entwicklung zu erreichen. Im traditionellen Unterricht erscheint Entwicklung als wünschenswertes, aber alles andere als vorhersehbares Produkt des Lernens.
Unserer Meinung nach wird in der psychologischen und methodischen Literatur das Problem der Bildung von Elementen der mathematischen Logik bei Schülern teilweise im Zusammenhang mit dem Mathematikunterricht an weiterführenden Schulen betrachtet.
Somit stellt der Zahlensatz ab den ersten Klassen einer allgemeinbildenden Schule das Labor dar, in dem es möglich ist, die Denkfähigkeiten der Schüler klarer zu entwickeln, die die Grundlage für die Feststellung der Wahrheit oder Falschheit eines bestimmten Ansatzes bilden, a bestimmte Formulierung eines Problems. Es stellt sich die Frage: „Ist eine solche Aufgabe das Hauptziel des Mathematikunterrichts in der Schule und welcher Anteil dieses Problems tritt in der Grundschule auf?“ Die Antwort auf diese Frage kann nur nach einer gründlichen Analyse des Programms und der Lehrbücher in Mathematik für die Klassen I-IV erhalten werden.
Die Dringlichkeit des Problems besteht darin, die Inhalte des Mathematikunterrichts in der Grundschule zu verbessern mit dem Ziel, Elemente der mathematischen Logik bei jüngeren Schülern zu vermitteln.
Der Zweck der Studie Berücksichtigen Sie das Studium von Elementen der mathematischen Logik im Rahmen eines Mathematikkurses beim Mathematikunterricht in den Klassen 1-4 und entwickeln Sie pädagogische und methodische Instrumente für deren Umsetzung.
Studienobjekt- der Prozess des Studiums von Elementen der mathematischen Logik im Mathematikunterricht in der Grundschule.
Artikel- Methoden und Mittel zur Bildung von Elementen der mathematischen Logik bei Schülern der Klassen 1-4.
Forschungshypothese ist, dass es möglich ist, den Prozess des Mathematikunterrichts so zu organisieren, dass wir neben der Vorbereitung mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten bewusst und systematisch logische Fähigkeiten entwickeln.
Um das Ziel zu erreichen und die Hypothese umzusetzen, wurde Folgendes identifiziert: Forschungsschwerpunkte:
1. Geben Sie das Konzept der logischen Struktur mathematischer Konzepte und Sätze an;
2. Logik als Wissenschaft und Zweig der Mathematik studieren;
3. Finden Sie heraus, was logisches Denken ist, und geben Sie seine Definitionen an.
4. Bildungsstandards, Lehrpläne und aktuelle Schulbücher in Mathematik unter dem Gesichtspunkt der logischen Entwicklung der Schüler analysieren;
5. Ermittlung der psychologischen, pädagogischen und methodischen Grundlagen für die Ausbildung von Elementen der mathematischen Logik bei Kindern im Mathematikunterricht in der Grundschule;
6. Führen Sie eine experimentelle Studie durch, um die Wirksamkeit der entwickelten Methoden im Grundschulumfeld zu testen.
Die theoretische und methodische Grundlage der Studie bestand aus: den Grundprinzipien der dialektisch-materialistischen Philosophie und der auf ihrer Grundlage entwickelten Lehre vom persönlich-aktiven Lernansatz (A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein usw.); die Ausgangspunkte der Theorie des Entwicklungslernens (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya usw.); Grundideen methodischer Mathematiker (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).
Kapitel 1. Theoretische Grundlagen für das Studium der Elemente der mathematischen Logik in der Grundschule
1.1 Verständnis der logischen Struktur mathematischer Konzepte und Sätze
Beim Mathematikstudium in der Schule ist es notwendig, ein bestimmtes System von Konzepten, Sätzen und Beweisen zu beherrschen, aber um dieses System zu beherrschen und dann die erworbenen Kenntnisse und Fähigkeiten erfolgreich anzuwenden, muss man jüngere Schüler unterrichten und das Problem ihrer Entwicklung mithilfe der Mathematik lösen , müssen Sie verstehen, was die Merkmale mathematischer Konzepte sind, wie sie strukturierte Definitionen, Sätze, die die Eigenschaften von Konzepten ausdrücken, und Beweise sind.
Ein Grundschullehrer braucht solche Kenntnisse, weil er Kinder als erster in die Welt des mathematischen Wissens einführt und die Einstellung des Kindes zum künftigen Mathematikstudium davon abhängt, wie kompetent und erfolgreich er dies tut.
Das Studium dieses Materials ist mit der Beherrschung der mengentheoretischen Sprache verbunden, die nicht nur bei der Betrachtung der logischen Struktur mathematischer Konzepte, Sätze und Beweise, sondern auch beim Aufbau des gesamten Kurses verwendet wird.
Die in einem Einführungskurs in die Mathematik vermittelten Konzepte werden in der Regel in vier Gruppen präsentiert. Die erste umfasst Konzepte im Zusammenhang mit Zahlen und deren Operationen: Zahl, Addition, Term, Größer usw. Dazu gehören algebraische Konzepte: Ausdruck, Gleichheit, Gleichung usw. Die dritte Gruppe besteht aus geometrischen Konzepten: Gerade, Strecke, Dreieck usw. Die vierte Gruppe besteht aus Konzepten, die sich auf Größen und deren Messung beziehen.
Um eine solche Fülle sehr unterschiedlicher Konzepte zu untersuchen, ist es notwendig, eine Vorstellung vom Konzept als logischer Kategorie und den Merkmalen mathematischer Konzepte zu haben.
In der Logik werden Begriffe als eine Denkform betrachtet, die Gegenstände (Gegenstände oder Phänomene) in ihren wesentlichen und allgemeinen Eigenschaften widerspiegelt. Die sprachliche Form eines Begriffs ist ein Wort oder eine Wortgruppe.
Über einen Gegenstand nachzudenken bedeutet, ihn von anderen ähnlichen Gegenständen unterscheiden zu können. Mathematische Konzepte weisen eine Reihe von Merkmalen auf. Die Hauptsache ist, dass die mathematischen Objekte, in Bezug auf die Konzepte gebildet werden, tatsächlich nicht existieren. Alle mathematischen Objekte werden vom menschlichen Geist erschaffen. Ideal für Objekte, die reale Objekte oder Phänomene widerspiegeln.
In der Geometrie untersuchen sie beispielsweise die Form und Größe von Objekten, ohne andere Eigenschaften zu berücksichtigen: Farbe, Masse, Härte usw. Sie sind von all dem abgelenkt, abstrahiert. Daher sagt man in der Geometrie anstelle des Wortes „Objekt“ „geometrische Figur“.
Das Ergebnis der Abstraktion sind mathematische Konzepte wie „Zahl“ und „Größe“.
Im Allgemeinen existieren mathematische Objekte nur im menschlichen Denken und in den Zeichen und Symbolen, die die mathematische Sprache bilden.
Durch das Studium der räumlichen Formen und quantitativen Beziehungen der materiellen Welt nutzt die Mathematik nicht nur verschiedene Abstraktionstechniken, sondern die Abstraktion selbst fungiert als mehrstufiger Prozess.
Das Auftauchen neuer Konzepte und damit neuer Begriffe, die diese Konzepte bezeichnen, in der Mathematik setzt deren Definition voraus.
Eine Definition ist normalerweise ein Satz, der das Wesentliche eines neuen Begriffs (oder einer neuen Bezeichnung) erklärt. Dies erfolgt in der Regel auf Basis zuvor eingeführter Konzepte.
Da es sich bei der Definition eines Begriffs durch Gattung und spezifische Differenz im Wesentlichen um eine bedingte Vereinbarung handelt, einen neuen Begriff einzuführen oder eine Reihe bekannter Begriffe zu ersetzen, kann über die Definition nicht gesagt werden, ob sie richtig oder falsch ist; es ist weder bewiesen noch widerlegt. Bei der Formulierung von Definitionen halten sie sich jedoch an eine Reihe von Regeln:
· Die Festlegung muss verhältnismäßig sein. Das bedeutet, dass die Volumina der definierten und definierenden Konzepte übereinstimmen müssen. Diese Regel folgt aus der Tatsache, dass die definierten und definierenden Konzepte austauschbar sind;
· Es sollte keinen Teufelskreis in der Definition (oder ihrem System) geben. Das bedeutet, dass Sie ein Konzept nicht durch sich selbst definieren können (der definierende Begriff sollte den zu definierenden Begriff nicht enthalten) oder es durch einen anderen definieren können, der wiederum durch ihn definiert. Denn in der Mathematik betrachtet man nicht nur einzelne Konzepte. Und ihr System, dann verbietet diese Regel den Teufelskreis im System der Definitionen;
· Die Definition muss klar sein. Dies ist auf den ersten Blick keine offensichtliche Regel, aber sie bedeutet viel. Zunächst ist es erforderlich, dass die Bedeutung der im definierenden Konzept enthaltenen Begriffe zum Zeitpunkt der Einführung der Definition des neuen Konzepts bekannt ist. Zu den Bedingungen der Klarheit der Definition gehört auch die Empfehlung, in die konkrete Differenz nur so viele Eigenschaften einzubeziehen, wie notwendig und ausreichend sind, um die definierten Gegenstände aus dem Geltungsbereich des Gattungsbegriffs herauszulösen.
Beim Mathematikunterricht in der Grundschule werden Definitionen durch Gattungs- und Artunterscheidung selten verwendet. Im Mathematik-Grundkurs gibt es viele Konzepte.
Im Mathematikunterricht in der Grundschule werden am häufigsten sogenannte implizite Definitionen verwendet. In ihrer Struktur ist es unmöglich, das Bestimmte vom Bestimmenden zu unterscheiden. Unter ihnen werden kontextuelle und ostensive unterschieden.
Bei kontextuellen Definitionen wird der Inhalt eines neuen Konzepts durch eine Textpassage, durch den Kontext, durch eine Analyse einer bestimmten Situation offenbart. Beschreiben der Bedeutung des eingeführten Konzepts. Durch den Kontext wird eine Verbindung zwischen dem definierten Konzept und anderen bekannten Konzepten hergestellt und dadurch sein Inhalt indirekt offenbart. Ein Beispiel für eine kontextbezogene Definition wäre die Definition einer Gleichung und ihrer Lösung.
Ostensive Definitionen sind Definitionen durch Demonstration. Sie werden verwendet, um Begriffe einzuführen, indem sie die Objekte demonstrieren, auf die sich die Begriffe beziehen. Beispielsweise können so die Begriffe Gleichheit und Ungleichheit in der Grundschule definiert werden.
Das Studium realer Prozesse, mathematische Beschreibungen, werden als natürliche verbale Sprache und symbolische Bedeutung verwendet. Beschreibungen werden aus Sätzen gebildet. Damit mathematisches Wissen jedoch die Realität, die uns umgibt, genau und angemessen widerspiegelt, müssen diese Vorschläge wahr sein. Jede mathematische These ist durch Inhalt und logische Form (Struktur) gekennzeichnet, und der Inhalt ist untrennbar mit der Form verbunden, und es ist unmöglich, die erste zu verstehen, ohne die zweite zu verstehen.
1) Die Zahl 12 ist gerade;
Wir sehen, dass in der Mathematik verwendete Sätze sowohl in natürlicher (russischer) Sprache als auch in mathematischer Sprache unter Verwendung von Symbolen geschrieben werden können. Zu den Sätzen 1,4,5 und 6 können wir sagen, dass sie wahre Informationen enthalten, und zu Satz 2 – falsch. Bezüglich des Satzes x +5 = 8 lässt sich im Allgemeinen nicht sagen, ob er wahr oder falsch ist. Die Betrachtung eines Satzes unter dem Gesichtspunkt von wahr oder falsch führte zum Konzept einer Aussage.
1.2 Studium der Logik als Teilgebiet der Mathematik
Logik ist eine der ältesten Wissenschaften. Es lässt sich derzeit nicht genau feststellen, wer, wann und wo sich erstmals jenen Aspekten des Denkens zuwandte, die Gegenstand der Logik sind. Wie Ivin A.A. betont. Einige der Ursprünge der Logiklehre liegen in Indien am Ende des 2. Jahrtausends v. Chr. Wenn wir jedoch über die Entstehung der Logik als Wissenschaft sprechen, also über einen mehr oder weniger systematisierten Wissensbestand, dann wäre es fair, die große Zivilisation des antiken Griechenlands als Geburtsort der Logik zu betrachten. Es befand sich hier im 5.-4. Jahrhundert v. Chr. In der Zeit der rasanten Entwicklung der Demokratie und der damit verbundenen beispiellosen Wiederbelebung des gesellschaftspolitischen Lebens wurden die Grundlagen dieser Wissenschaft durch die Werke von Demokrit, Platon und Sokrates gelegt. Der Vorfahre, der „Vater“ der Logik, gilt zu Recht als der größte Denker der Antike. Platons Schüler ist Aristoteles (384-322 v. Chr.). Er war es, der in seinen Werken, die unter dem allgemeinen Titel „Organon“ (Werkzeug der Erkenntnis) zusammengefasst sind, erstmals die grundlegenden logischen Formen und Regeln des Denkens gründlich analysiert und beschrieb, nämlich: die Formen der Schlussfolgerungen aus dem so- sogenannte kategoriale Urteile – der kategoriale Syllogismus („Erste Analytik“), formulierte die Grundprinzipien wissenschaftlicher Beweise („Zweite Analytik“), analysierte die Bedeutung bestimmter Arten von Aussagen („Über Interpretation“) und skizzierte die wichtigsten Ansätze zur Entwicklung der Begriffslehre („Kategorien“). Aristoteles widmete auch der Aufdeckung verschiedener Arten logischer Fehler und sophistischer Techniken in Streitigkeiten große Aufmerksamkeit („Über sophistische Widerlegungen“).
Die Logik hat eine lange und reiche Geschichte, die untrennbar mit der Entwicklungsgeschichte der gesamten Gesellschaft verbunden ist.
Der Entstehung der Logik als Theorie ging eine jahrtausendealte Denkpraxis voraus. Mit der Entwicklung der Arbeits-, Material- und Produktionsaktivitäten der Menschen kam es zu einer allmählichen Verbesserung und Entwicklung ihrer Denkfähigkeiten, insbesondere der Fähigkeit zur Abstraktion und zum Schluss. Und dies hätte früher oder später, aber unweigerlich, dazu führen müssen, dass das Denken selbst mit seinen Formen und Gesetzen zum Gegenstand der Forschung wurde.
Wie Ivin A.A. betont. Die Geschichte zeigt, dass einzelne logische Probleme vor über 2,5 Tausend Jahren vor dem menschlichen Geist auftauchten – zuerst im alten Indien und im alten China. Eine umfassendere Entwicklung erfahren sie dann im antiken Griechenland und Rom. Erst nach und nach entsteht ein mehr oder weniger kohärentes System logischen Wissens und eine eigenständige Wissenschaft.
Was sind die Gründe für die Entstehung der Logik? Ivin A.A. glaubt, dass es zwei Hauptgründe gibt. Eine davon ist der Ursprung und die anfängliche Entwicklung der Wissenschaften, insbesondere der Mathematik. Dieser Prozess geht auf das 6. Jahrhundert zurück. Chr. und erhält seine vollständigste Entwicklung im antiken Griechenland. Die Wissenschaft entstand im Kampf gegen Mythologie und Religion und basierte auf theoretischem Denken, das Schlussfolgerungen und Beweise beinhaltete. Daher besteht die Notwendigkeit, die Natur des Denkens selbst als Mittel der Erkenntnis zu untersuchen.
Laut Kurbatov V.I. Die Logik entstand zunächst als Versuch, jene Anforderungen zu identifizieren und zu begründen, die wissenschaftliches Denken erfüllen muss, damit seine Ergebnisse der Realität entsprechen.
Ein weiterer, vielleicht noch wichtigerer Grund ist die Entwicklung der Redekunst, einschließlich der Gerichtskunst, die unter den Bedingungen der antiken griechischen Demokratie florierte. Der größte römische Redner und Wissenschaftler Cicero (106-43 v. Chr.) betonte über die Macht des Redners, der die „göttliche Gabe“ der Beredsamkeit besitzt: „Er kann selbst unter bewaffneten Feinden sicher bleiben, geschützt nicht so sehr durch.“ seine Mitarbeiter, wie viel durch seinen Titel als Redner; er kann mit seinem Wort die Empörung seiner Mitbürger erregen und die Strafe für die Schuldigen von Verbrechen und Täuschung herabsetzen und die Unschuldigen durch die Macht seines Talents vor Gericht und Bestrafung bewahren; er ist in der Lage, schüchterne und unentschlossene Menschen zum Heldentum zu motivieren, kann sie aus dem Irrtum führen, kann sie gegen Schurken aufhetzen und das Murren gegen würdige Männer beruhigen; Er weiß schließlich, wie er mit einem Wort alle menschlichen Leidenschaften sowohl erregen als auch beruhigen kann, wenn die Umstände des Falles es erfordern.“
Laut Ivin A.A. gilt der Begründer der Logik – oder, wie man manchmal sagt, „der Vater der Logik“ – als der größte antike griechische Philosoph und Enzyklopädist Aristoteles (384-322 v. Chr.). Es sollte jedoch berücksichtigt werden, dass die erste ziemlich detaillierte und systematische Darstellung logischer Probleme tatsächlich von dem früheren antiken griechischen Philosophen und Naturforscher Demokrit (460 – etwa 370 v. Chr.) gegeben wurde. Zu seinen zahlreichen Werken gehörte eine umfangreiche Abhandlung in drei Büchern, „On Logical, or On the Canons“. Hier wurden nicht nur das Wesen des Wissens, seine Hauptformen und Wahrheitskriterien enthüllt, sondern auch die große Rolle des logischen Denkens im Wissen aufgezeigt und eine Klassifizierung der Urteile vorgenommen. Einige Arten des schlussfolgernden Wissens wurden heftig kritisiert und es wurde versucht, die induktive Logik – die Logik des experimentellen Wissens – zu entwickeln. Leider ist uns diese Abhandlung Demokrits wie alle anderen nicht überliefert.
Eine neue, höhere Stufe in der Entwicklung der Logik beginnt im 17. Jahrhundert. Diese Stufe ist organisch mit der Schaffung der induktiven Logik in ihrem Rahmen verbunden, zusammen mit der deduktiven Logik. Es spiegelt die vielfältigen Prozesse der Gewinnung allgemeiner Erkenntnisse auf der Grundlage zunehmend gesammelten empirischen Materials wider. Die Notwendigkeit, solche Kenntnisse zu erlangen, wurde in seinen Werken am deutlichsten von dem herausragenden englischen Philosophen und Naturwissenschaftler F. Bacon (1561-1626) erkannt und zum Ausdruck gebracht. Er wurde zum Begründer der induktiven Logik. „...die Logik, die jetzt existiert, ist für die Entdeckung von Wissen nutzlos“, verkündete er sein hartes Urteil. Deshalb schrieb Bacon, als ob er im Gegensatz zum alten „Organon“ des Aristoteles stünde, „Das neue Organon...“, in dem er die induktive Logik darlegte. Sein Hauptaugenmerk galt der Entwicklung induktiver Methoden zur Bestimmung der kausalen Abhängigkeit von Phänomenen. Das ist Bacons großes Verdienst. Ironischerweise erwies sich die von ihm entwickelte Induktionslehre jedoch nicht als Leugnung der bisherigen Logik. Und seine weitere Bereicherung und Entwicklung. Es trug zur Schaffung einer verallgemeinerten Inferenztheorie bei. Und das ist natürlich, denn wie weiter unten gezeigt wird, schließen sich Induktion und Deduktion nicht aus, sondern setzen einander voraus und stehen in organischer Einheit.
Russische Wissenschaftler haben einen bekannten Beitrag zur Entwicklung der traditionellen formalen Logik geleistet. So bereits in den ersten Abhandlungen zur Logik, etwa ab dem 10. Jahrhundert. Es wurde versucht, die Werke von Aristoteles und anderen Wissenschaftlern unabhängig zu kommentieren. Ursprüngliche logische Konzepte wurden in Russland im 18. Jahrhundert entwickelt. und sind hauptsächlich mit den Namen M. Lomonosov (1711-1765) und A. Radishchev (1749-1802) verbunden. Die Blütezeit der logischen Forschung in unserem Land reicht bis zum Ende des 19. Jahrhunderts zurück.
Ein grandioser Versuch, ein ganzheitliches System neuer, dialektischer Logik zu entwickeln, unternahm der deutsche Philosoph G. Hegel (1770-1831). In seinem grundlegenden Werk „Die Wissenschaft der Logik“ enthüllte er zunächst den grundlegenden Widerspruch zwischen bestehenden logischen Theorien und der tatsächlichen Denkpraxis, die zu diesem Zeitpunkt erhebliche Höhen erreicht hatte.
Wie Kurbatov V.I. betont, untersuchte Hegel die Natur des Denkens, seine Gesetze und Formen. In diesem Zusammenhang kam er zu dem Schluss, dass „die Dialektik die Natur des Denkens selbst ausmacht, dass sie als Vernunft in die Selbstverneinung, in den Widerspruch verfallen muss.“ Der Denker sah seine Aufgabe darin, einen Weg zu finden, diese Widersprüche aufzulösen. Hegel kritisierte die alte, gewöhnliche Logik wegen ihrer Verbindung mit der metaphysischen Erkenntnismethode scharf. Doch ging er in dieser Kritik so weit, dass er die auf dem Gesetz der Identität und dem Gesetz des Widerspruchs beruhenden Prinzipien ablehnte.
Ivin A.A. sagt, dass die Probleme der dialektischen Logik, ihre Beziehung zur formalen Logik, in den Werken der deutschen Philosophen und Wissenschaftler K. Marx (1818-1883) und F. Engels (1820-1895) weitere Konkretisierung und Entwicklung fanden. Unter Verwendung des reichhaltigsten intellektuellen Materials der Philosophie, der Natur- und Sozialwissenschaften schufen sie ein qualitativ neues, dialektisch-materialistisches System, das in Werken wie „Das Kapital“ von K. Marx, „Anti-Dühring“ und „Dialektik der Natur“ verkörpert wurde “ von F. Engels. Aus diesen allgemeinen philosophischen Positionen beurteilten Marx und Engels die besondere „Lehre des Denkens und seiner Gesetze“ – Logik und Dialektik. Sie leugneten nicht die Bedeutung der formalen Logik, hielten sie nicht für „Unsinn“, sondern betonten ihren historischen Charakter. So stellte Engels fest, dass das theoretische Denken jeder Epoche ein historisches Produkt ist, das zu verschiedenen Zeiten sehr unterschiedliche Formen und gleichzeitig sehr unterschiedliche Inhalte annimmt. „Folglich ist die Wissenschaft vom Denken wie jede andere Wissenschaft eine historische Wissenschaft, die Wissenschaft von der historischen Entwicklung des menschlichen Denkens.“
In den letzten Jahrzehnten wurden in unserem Land viele fruchtbare Versuche unternommen, die dialektische Logik systematisch darzustellen. Die Entwicklung verläuft in zwei Hauptrichtungen. Dies ist einerseits die Offenlegung der Reflexionsmuster der sich entwickelnden Realität im menschlichen Denken, ihrer objektiven Widersprüche und andererseits die Offenlegung der Entwicklungsmuster des Denkens selbst, seiner eigenen Dialektik.
Unter den Bedingungen der wissenschaftlichen und technologischen Revolution, wenn die Wissenschaften neue, tiefere Wissensebenen erreichen und die Rolle des dialektischen Denkens zunimmt, wird der Bedarf an dialektischer Logik immer größer. Es erhält neue Anreize für seine Weiterentwicklung.
Eine echte Revolution in der Logikforschung löste die Entstehung der mathematischen Logik in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts aus, die auch symbolisch genannt wurde und eine neue, moderne Etappe in der Entwicklung der Logik markierte.
Die Anfänge dieser Logik lassen sich bereits bei Aristoteles sowie bei seinen Anhängern, den Stoikern, in Form von Elementen der Prädikatenlogik und der Theorie der Modalschlüsse sowie der Aussagenlogik verfolgen. Die systematische Entwicklung seiner Probleme reicht jedoch in eine viel spätere Zeit zurück.
Wie Ivin A.A. betont, warfen die wachsenden Erfolge in der Entwicklung der Mathematik und die Durchdringung mathematischer Methoden in andere Wissenschaften bereits in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts dringend zwei grundlegende Probleme auf. Dabei handelt es sich einerseits um die Nutzung der Logik zur Entwicklung der theoretischen Grundlagen der Mathematik und andererseits um die Mathematisierung der Logik selbst als Wissenschaft. Der tiefgreifendste und fruchtbarste Versuch, die aufgetretenen Probleme zu lösen, wurde vom größten deutschen Philosophen und Mathematiker G. Leibniz (1646-1416) unternommen. Damit wurde er im Wesentlichen zum Begründer der mathematischen Logik. Leibniz träumte von einer Zeit, in der sich Wissenschaftler nicht mehr mit empirischer Forschung, sondern mit dem Bleistift in der Hand mit der Infinitesimalrechnung beschäftigen würden. Er versuchte zu diesem Zweck eine universelle Symbolsprache zu erfinden, durch die jede empirische Wissenschaft rationalisiert werden konnte. Neue Erkenntnisse werden seiner Meinung nach das Ergebnis logischer Berechnungen sein – der Infinitesimalrechnung.
Laut V. I. Kurbatov erfuhren die Ideen von Leibniz im 18. Jahrhundert und in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts eine gewisse Entwicklung. Die günstigsten Bedingungen für die kraftvolle Entwicklung der symbolischen Logik ergaben sich jedoch erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Zu diesem Zeitpunkt hatte die Mathematisierung der Wissenschaften besonders große Fortschritte gemacht, und in der Mathematik selbst traten neue grundlegende Probleme ihrer Rechtfertigung auf. Englischer Wissenschaftler, Mathematiker und Logiker Railway. Boole (1815-1864) wandte in seinen Werken vor allem die Mathematik auf die Logik an. Er gab eine mathematische Analyse der Theorie der Schlussfolgerungen und entwickelte die logische Analysis („Boolesche Algebra“). Der deutsche Logiker und Mathematiker G. Frege (1848-1925) wandte die Logik auf das Studium der Mathematik an. Durch erweiterte Prädikatenrechnung konstruierte er ein formalisiertes Arithmetiksystem.
Damit wurde eine neue, moderne Etappe in der Entwicklung der logischen Forschung eröffnet. Das vielleicht wichtigste Unterscheidungsmerkmal dieser Phase ist die Entwicklung und Verwendung neuer Methoden zur Lösung traditioneller logischer Probleme. Hierbei handelt es sich um die Entwicklung und Verwendung einer künstlichen, sogenannten formalisierten Sprache – einer Symbolsprache, d.h. alphabetische und andere Zeichen (daher der gebräuchlichste Name für moderne Logik – „symbolisch“).
Wie Ivin A.A. betont. Es gibt zwei Arten von logischen Kalkülen: Aussagenkalkül und Prädikatenkalkül. Beim ersten wird eine Abstraktion von der inneren, begrifflichen Struktur von Urteilen ermöglicht, beim zweiten wird diese Struktur berücksichtigt und dementsprechend die Symbolsprache bereichert und um neue Zeichen ergänzt.
Die Bedeutung symbolischer Sprachen in der Logik kann kaum überschätzt werden. G. Frege verglich es mit der Bedeutung eines Teleskops und eines Mikroskops. Und der deutsche Philosoph G. Klaus (1912-1974) glaubte, dass die Schaffung einer formalisierten Sprache für die Technologie des logischen Schlusses die gleiche Bedeutung habe wie der Übergang von Handarbeit zur Maschinenarbeit im Bereich der Produktion. Auf der Grundlage der traditionellen formalen Logik entstehend, verdeutlicht, vertieft und verallgemeinert die symbolische Logik einerseits bisherige Vorstellungen über logische Gesetze und Formen, insbesondere in der Schlusstheorie, andererseits erweitert und bereichert sie zunehmend logische Probleme . Die moderne Logik ist ein komplexes und hochentwickeltes Wissenssystem. Es umfasst viele Richtungen, separate, relativ unabhängige „Logiken“, die die Bedürfnisse der Praxis immer vollständiger zum Ausdruck bringen und letztendlich die Vielfalt der Komplexität der umgebenden Welt, die Einheit und Vielfalt des Denkens über diese Welt selbst widerspiegeln.
Symbolische Logik wird zunehmend auch in anderen Wissenschaften eingesetzt – nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik, Biologie, Kybernetik, Wirtschaftswissenschaften und Linguistik. Es führt zur Entstehung neuer Wissenszweige (Mathematik). Besonders eindrucksvoll und deutlich ist die Rolle der Logik im Bereich der Produktion. Es eröffnet die Möglichkeit, den Denkprozess zu automatisieren und ermöglicht die Übertragung einiger Denkfunktionen auf technische Geräte. Seine Ergebnisse werden zunehmend in der Technik genutzt: bei der Erstellung von Relaiskontaktschaltungen, Computern, Informationslogiksystemen usw. Nach dem bildlichen Ausdruck eines der Wissenschaftler ist die moderne Logik nicht nur das „Werkzeug“ des präzisen Denkens, sondern auch der „Gedanke“ eines präzisen Instruments, eines elektronischen Automaten. Auch im juristischen Bereich werden die Errungenschaften der modernen Logik genutzt. So erfolgt in der Forensik in verschiedenen Phasen des Studiums eine logische und mathematische Verarbeitung der gesammelten Informationen.
Die wachsenden Bedürfnisse des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts bestimmen die weitere intensive Entwicklung der modernen Logik.
Es bleibt zu sagen, dass russische Wissenschaftler einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung symbolischer Logiksysteme geleistet haben. Unter ihnen sticht besonders P. Poretsky (1846-1907) hervor. Er war der erste in Russland, der begann, Vorlesungen über mathematische Logik zu halten. Die mathematische Logik entwickelt sich auch heute noch weiter.
Laut V.I. Kurbatov diszipliniert das Studium der mathematischen Logik den Geist. Wenn wir uns an den berühmten Ausspruch von M. V. Lomonosov über die Mathematik erinnern, können wir sagen, dass die mathematische Logik mehr als jede andere mathematische Wissenschaft „den Geist in Ordnung bringt“.
Die Sprache jeder Algebra besteht aus einer Reihe von Zeichen, die als Alphabet dieser Sprache bezeichnet werden.
Die Zeichen des Alphabets werden analog zu den Zeichen des Alphabets der natürlichen Sprache Buchstaben genannt.
Es stellt sich natürlich die Frage: Welche Buchstaben sollten im Alphabet der Sprache der numerischen Algebra enthalten sein?
Zunächst benötigen wir natürlich Buchstaben zur Bezeichnung der Elemente einer Menge – des Trägers der Algebra, in diesem Fall zur Bezeichnung von Zahlen – und Variablen für die Elemente dieser Menge.
Wenn wir das dezimale Zahlensystem zur Bezeichnung von Zahlen verwenden, müssen wir zehn Buchstaben namens Zahlen in das Alphabet der numerischen Algebra aufnehmen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, mit deren Hilfe, entsprechend nach bestimmten Regeln die Namen beliebiger Zahlen.
Als numerische Variablen (Variablen für Zahlen einer der Mengen N, N0, Z, Q oder R) werden Buchstaben des lateinischen Alphabets a, b, c, x, y, z oder einer dieser Buchstaben mit Index verwendet, z Beispiel X1, X2, Xn.
Manchmal werden die Buchstaben des lateinischen Alphabets auch als numerische Konstanten verwendet, also als Namen von Zahlen (wenn es sich um eine bestimmte Zahl handelt, spielt es keine Rolle, um welche konkrete Zahl es sich handelt). Dabei werden üblicherweise die Anfangsbuchstaben des lateinischen Alphabets a, b, c als Konstanten und die letzten Buchstaben x, y, z als Variablen verwendet.
Wir benötigen auch Buchstaben, um Operationen darzustellen. Für die Addition und Multiplikation werden die bekannten Zeichen (Buchstaben) + bzw. * verwendet.
Darüber hinaus spielen Klammern (links und rechts) die Rolle von Satzzeichen in der Sprache der Algebra.
Daher muss das Alphabet einer Sprache, in der jede numerische Algebra beschrieben wird, eine Menge bestehend aus vier Buchstabenklassen enthalten: I – Zahlen, aus denen die Namen von Zahlen gebildet werden; II – Buchstaben des lateinischen Alphabets – numerische Variablen oder Konstanten; III – Betriebszeichen; IV – Klammern.
Subtraktions- (--) und Divisionszeichen (:) können durch Definitionen der entsprechenden Operationen eingeführt werden.
Nach und nach wird das Alphabet der numerischen Algebra durch andere „Buchstaben“ ergänzt, insbesondere werden Zeichen binärer Beziehungen „gleich“, „kleiner als“, „größer“ eingeführt.
Alle aufgeführten Zeichen sind im Alphabet der mathematischen Sprache enthalten, einer künstlichen Sprache, die im Zusammenhang mit dem Bedürfnis nach präzisen, prägnanten und eindeutig verständlichen Formulierungen mathematischer Gesetze, Regeln und Beweise entstand.
Historisch gesehen wurde die Symbolik der Mathematik im Laufe der Jahrhunderte unter Beteiligung vieler herausragender Wissenschaftler geschaffen. Daher wird angenommen, dass die Bezeichnung unbekannter Größen mit Buchstaben von Diophantus (3. Jahrhundert) verwendet wurde und die weit verbreitete Verwendung von Großbuchstaben des lateinischen Alphabets in der Algebra mit Vieta (16. Jahrhundert) begann. Kleinbuchstaben dieses Alphabets wurden von R. Descartes (17. Jahrhundert) zur Bezeichnung eingeführt. Das Gleichheitszeichen (=) tauchte erstmals in den Werken des englischen Wissenschaftlers R. Record (16. Jahrhundert) auf, wurde jedoch erst im 18. Jahrhundert allgemein verwendet. Ungleichheitszeichen (< , >) erschienen zu Beginn des 17. Jahrhunderts, sie wurden vom englischen Mathematiker Gariot eingeführt. Und obwohl die Zeichen „=“, „>“, „<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .
Eine Aussage in der Mathematik ist ein Satz, zu dem die Frage eine Bedeutung hat: sie ist wahr oder falsch.
Über Konzepte und Beziehungen zwischen ihnen können verschiedene Urteile gefällt werden. Die sprachliche Form von Urteilen sind Erzählsätze. Zum Beispiel. In einem Mathematik-Grundkurs findet man folgende Sätze:
1) Die Zahl 12 ist gerade;
4) Die Zahl 15 enthält eine Zehn und 5 Einsen;
5) Das Produkt ändert sich durch die Neuanordnung der Faktoren nicht;
6) Manche Zahlen sind durch 3 teilbar.
Wir sehen, dass in der Mathematik verwendete Sätze sowohl in natürlicher (russischer) Sprache als auch in mathematischer Sprache unter Verwendung von Symbolen geschrieben werden können. Zu den Sätzen 1,4,5 und 6 können wir sagen, dass sie wahre Informationen enthalten, und zu Satz 2 – falsch. Bezüglich des Satzes x +5 = 8 lässt sich im Allgemeinen nicht sagen, ob er wahr oder falsch ist.
Liegen die Aussagen A und B vor, so können daraus neue Aussagen mit den Konnektiven „und“, „oder“, „wenn ... dann ...“, „entweder ... oder ...“, „wenn“ gebildet werden und nur wenn, sowie das Teilchen „nicht“. Nehmen wir zum Beispiel an, dass A die Aussage „Jetzt ist es sonnig“ und B die Aussage „Jetzt ist es windig“ bedeuten soll. Dann bedeutet die Aussage „A und B“: „Es ist jetzt sonnig und windig“, die Aussage „Wenn es nicht A ist, dann ist es nicht B“ bedeutet „Wenn es jetzt nicht sonnig ist, dann ist es nicht windig.“
Solche Aussagen werden zusammengesetzte Aussagen genannt, und die darin enthaltenen Aussagen A und B werden Elementaraussagen genannt. Zwei zusammengesetzte Aussagen A und B heißen äquivalent, wenn sie unter allen Annahmen über die Wahrheit der in ihnen enthaltenen Elementaraussagen sowohl wahr als auch gleichzeitig falsch sind. In diesem Fall schreiben sie: A=B.
Schon in der ersten Mathematikstunde stoßen Grundschüler auf Aussagen, meist wahre. Sie kennen folgende Aussagen: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.
Wenn A eine Aussage ist, dann erhalten wir durch die Behauptung, dass sie falsch ist, eine neue Aussage, die aufgerufen wird Ablehnung der Aussage A und wird mit dem Symbol B bezeichnet.
Wenn also eine Aussage wahr ist, ist ihre Negation falsch und umgekehrt. Diese Schlussfolgerung lässt sich mithilfe einer Tabelle formulieren, in der „I“ eine wahre Aussage und „L“ eine falsche Aussage bedeutet. Tabellen dieser Art werden Wahrheitstabellen genannt (siehe Anhang 2, Abb. 1).
Seien A und B zwei Elementaraussagen. Wenn wir sie mit der Konjunktion „und“ verbinden, erhalten wir eine neue Aussage namens Verbindung Daten Aussagen und trägt die Bezeichnung A? B. Eintrag A? B lautete: „A und B.“
Per Definition ist eine Konjunktion zweier Aussagen genau dann wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Wenn mindestens eine davon falsch ist, dann ist die Konjunktion falsch (siehe Anhang 2, Abb. 2).
Betrachten Sie die Aussage „7 – 4 = 3 und 4 ist eine gerade Zahl.“ Es ist die Verbindung zweier Aussagen: „7 – 4 = 3“ und „4 ist eine gerade Zahl“. Da beide Aussagen wahr sind, ist auch ihre Konjunktion wahr.
Wenn in Konjunktion A? Wenn wir die Aussagen A und B vertauschen, erhalten wir dann eine Konjunktion der Form B? A. Aus der Wahrheitstabelle geht hervor, dass die Formeln A? B und B? Und denn unterschiedliche Bedeutungen der Aussagen A und B sind entweder gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch.
Folglich sind sie äquivalent, und für alle Aussagen A und B gilt: A? B = B? A
Diese Notation drückt die kommutative Eigenschaft einer Konjunktion aus, die es ermöglicht, Elemente der Konjunktion zu vertauschen.
Haben Sie Wahrheitstabellen für (A? B) zusammengestellt? S und A? (B? C) erhalten wir, dass für alle Wahrheitswerte der Aussagen A, B, C die Wahrheitswerte der Aussagen (A? B) ? S und A? (B? C) Übereinstimmung.
Somit ist (A? B)? C = A? (B? C).
Diese Gleichheit drückt die assoziative Eigenschaft einer Konjunktion aus. Eine solche Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.
Indem wir zwei Elementaraussagen A und B mit der Konjunktion „oder“ verbinden, erhalten wir eine neue Aussage namens Disjunktion Daten Aussagen . Die Disjunktion der Aussagen A und B wird mit A?B bezeichnet und lautet „A oder B“. Eine Disjunktion ist nur dann falsch, wenn beide Aussagen, aus denen sie gebildet wird, falsch sind; in allen anderen Fällen ist die Disjunktion wahr. Die Wahrheitstabelle der Disjunktion hat die Form (siehe Anhang 2, Abb. 3).
Sowohl für die Disjunktion als auch für die Konjunktion können mehrere Äquivalenzen angegeben werden. Für jedes A, B und C gilt:
A? B = B? A (kommutative Disjunktion);
(Huh? B)? C = A? (B? C) (Assoziativität der Disjunktion).
Die assoziative Eigenschaft der Disjunktion ermöglicht es uns, die Klammern wegzulassen und A? zu schreiben. IN? C statt (A? B)? MIT.
Mithilfe von Wahrheitstabellen lässt sich das leicht feststellen
(Huh? B)? C = (A? C)? (B? C)
(Huh? B)? C = (A? C)? (B?C)
Die erste Gleichheit drückt das Verteilungsgesetz der Konjunktion relativ zur Disjunktion aus, und die zweite Gleichheit drückt das Verteilungsgesetz der Disjunktion relativ zur Konjunktion aus.
Die Operationen Konjunktion, Disjunktion und Negation sind durch folgende Beziehungen verbunden, deren Gültigkeit anhand von Wahrheitstabellen festgestellt werden kann:
Diese Beziehungen werden als Formeln von de Morgan bezeichnet.
Betrachten wir eine zusammengesetzte Aussage, die aus zwei elementaren Aussagen mit den Worten „wenn ... dann ...“ gebildet wird.
Nehmen wir zum Beispiel die Aussagen A: „Gestern war Sonntag“ und B: „Ich war nicht bei der Arbeit.“ Dann hat die zusammengesetzte Aussage „Wenn gestern Sonntag war, dann war ich nicht bei der Arbeit“ die Formel „Wenn A, dann B.“
Die Aussage „Wenn A, dann B“ heißt Implikation von Aussagen A, B und mit Hilfe von Symbolen werden wie folgt geschrieben: A => B. Aussage A, die in der Implikation A => B enthalten ist, wird als Bedingung der Implikation bezeichnet, und Aussage B ist ihre Schlussfolgerung.
Daher sieht die Wahrheitstabelle der Implikation „Wenn A, dann B“ so aus (siehe Anhang 2, Abb. 4).
Aus zwei Aussagen A und B können Sie eine neue Aussage machen, die so lautet: „Und genau dann, wenn B.“ Diese Aussage heißt äquivalente Aussagen A und B und bezeichnen: A B. Aussage A B gilt als wahr, wenn beide Aussagen A und B wahr sind oder beide Aussagen A und B falsch sind. In anderen Fällen (d. h. wenn eine Aussage wahr und die andere falsch ist) gilt die Äquivalenz als falsch. Somit hat die Wahrheitstabelle für die Äquivalenz von A und B die Form (siehe Anhang 2, Abb. 5).
1.3 Logisches Denken
Jede Argumentation besteht aus einer Kette von Aussagen, die nach bestimmten Regeln aufeinander folgen. Die Fähigkeit, seine Schlussfolgerungen zu begründen und richtig zu begründen, ist für Menschen jeden Berufs erforderlich. Das Denken lernt der Mensch von dem Moment an, in dem er zu sprechen beginnt, die gezielte Schulung der Logik des Denkens beginnt jedoch bereits in der Schule. Bereits das Grundstudium der Mathematik setzt die Entwicklung der Fähigkeiten der Studierenden voraus, Vergleiche anzustellen, Gegenstände zu klassifizieren, Sachverhalte zu analysieren und einfachste Aussagen zu beweisen. Logisches Denken ist nicht nur für die Lösung mathematischer Probleme erforderlich, sondern auch für die grammatikalische Analyse, die Beherrschung der Prinzipien der Naturgeschichte usw. Daher muss ein Grundschullehrer mit Logik vertraut sein, d.h. mit der Wissenschaft von Gesetzen und Denkformen, von allgemeinen Denkmustern.
Die wichtigsten Arten von Urteilen und Schlussfolgerungen werden in der klassischen Logik betrachtet, die vom antiken griechischen Philosophen Aristoteles (384-322 v. Chr.) geschaffen wurde.
In der Logik wird das Denken unterteilt in:
1. richtig;
2. falsch.
Richtiges Denken ist Denken, bei dem alle Regeln und Gesetze der Logik beachtet werden. Falsches Denken ist ein Denken, bei dem logische Fehler aufgrund einer Verletzung der Regeln oder Gesetze der Logik gemacht werden.
Es gibt zwei Arten von logischen Fehlern:
1. Paralogismen;
2. Sophistik.
Paralogismen sind logische Fehler, die in Denkprozessen unbeabsichtigt (aus Unwissenheit) gemacht werden.
Sophismen sind logische Fehler, die in Denkprozessen absichtlich gemacht werden mit dem Ziel, den Gegner in die Irre zu führen, eine falsche Aussage zu rechtfertigen, was für ein Unsinn usw.
Sophismen sind seit der Antike bekannt. Sophisten verwendeten solche Überlegungen in ihrer Praxis häufig. Von ihnen stammt der Name „Sophismus“. Zahlreiche Argumentationsbeispiele, die die Sophisten in verschiedenen Streitigkeiten verwendeten, sind bis heute erhalten. Lassen Sie uns einige davon auflisten.
Der berühmteste antike Sophismus ist eine Argumentation namens „Gehörnte“.
Stellen Sie sich eine Situation vor: Eine Person möchte eine andere davon überzeugen, dass sie Hörner hat. Als Begründung dafür wird angeführt: „Was du nicht verloren hast, das hast du.“ Du hast deine Hörner nicht verloren. Du hast also Hörner.
Auf den ersten Blick scheint diese Überlegung richtig zu sein. Es enthält jedoch einen logischen Fehler, den eine Person, die die Logik nicht versteht, wahrscheinlich nicht sofort finden kann.
Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben. Protagoras (der Gründer der Sophistenschule) war ein Schüler von Euathlus. Der Lehrer und der Schüler einigten sich darauf, dass Evatl die Studiengebühren erst bezahlen würde, nachdem er seinen ersten Rechtsstreit gewonnen hatte. Doch nach Abschluss seines Studiums hatte Evatl keine Eile, vor Gericht zu erscheinen. Die Geduld des Lehrers ging zu Ende und er reichte eine Klage gegen seinen Schüler ein. „Euathlus muss mich auf jeden Fall bezahlen“, dachte Protagoras. - Er wird diesen Prozess entweder gewinnen oder verlieren. Wenn er gewinnt, zahlen Sie wie vereinbart; Wenn er verliert, wird er gemäß dem Gerichtsurteil zahlen.“ „Nichts dergleichen“, wandte Evatl ein. - Tatsächlich werde ich den Prozess entweder gewinnen oder verlieren.
Wenn ich gewinne, wird mich die Gerichtsentscheidung von der Zahlung befreien, aber wenn ich verliere, werde ich nicht gemäß unserer Vereinbarung zahlen*.
Auch in diesem Beispiel liegt ein logischer Irrtum vor. Und welches genau – das erfahren wir weiter.
Die Hauptaufgabe der Logik ist die Analyse richtiger Überlegungen. Logiker sind bestrebt, Muster solcher Überlegungen zu identifizieren und zu erforschen, ihre verschiedenen Typen zu definieren usw. Falsches Denken in der Logik wird nur unter dem Gesichtspunkt der darin gemachten Fehler analysiert.
Es ist zu beachten, dass die Richtigkeit einer Argumentation nicht die Wahrheit ihrer Prämissen und Schlussfolgerungen bedeutet. Im Allgemeinen geht es der Logik nicht darum, die Wahrheit oder Falschheit der Prämissen und Schlussfolgerungen von Überlegungen festzustellen. Aber in der Logik gibt es eine solche Regel: Wenn die Überlegung richtig aufgebaut ist (gemäß den Regeln und Gesetzen der Logik) und gleichzeitig auf wahren Prämissen basiert, dann wird die Schlussfolgerung einer solchen Argumentation immer bedingungslos wahr sein. In anderen Fällen kann die Richtigkeit der Schlussfolgerung nicht garantiert werden.
Wenn also eine Argumentation falsch konstruiert ist, kann die Schlussfolgerung dieser Argumentation in einem Fall wahr und im zweiten Fall falsch sein, auch wenn ihre Prämissen wahr sind.
Betrachten wir beispielsweise die folgenden zwei Überlegungen, die nach dem gleichen falschen Schema aufgebaut sind:
(1) Logik ist eine Wissenschaft.
Alchemie ist keine Logik.
Alchemie ist keine Wissenschaft.
(2) Logik ist eine Wissenschaft.
Gesetz ist keine Logik.
Recht ist keine Wissenschaft.
Es ist offensichtlich, dass die Schlussfolgerung in der ersten Argumentation wahr ist, in der zweiten jedoch falsch, obwohl die Prämissen in beiden Fällen wahre Aussagen sind.
Es ist auch nicht möglich, die Wahrheit der Schlussfolgerung eines Arguments zu garantieren, wenn mindestens eine seiner Prämissen falsch ist, selbst wenn diese Argumentation richtig ist.
Korrektes Denken ist ein Denken, bei dem einige Gedanken (Schlussfolgerungen) notwendigerweise aus anderen Meinungen (Prämissen) folgen.
Ein Beispiel für eine korrekte Argumentation könnte die folgende Schlussfolgerung sein: „Jeder Bürger der Ukraine muss ihre Verfassung anerkennen.“ Alle Volksabgeordneten der Ukraine sind Bürger der Ukraine. Daher muss jeder von ihnen die Verfassung seines Staates anerkennen“, und ein Beispiel für einen wahren Gedanken ist das Urteil: „Es gibt Bürger der Ukraine, die zumindest einige Artikel der Verfassung ihres Staates nicht anerkennen.“
Als falsch gilt folgende Argumentation: „Da sich die Wirtschaftskrise in der Ukraine nach der Unabhängigkeitserklärung deutlich bemerkbar macht, ist letztere die Ursache dieser Krise.“ Diese Art von logischem Fehler wird „danach – deswegen“ genannt. Es liegt darin, dass in solchen Fällen der zeitliche Ablauf der Ereignisse mit der Kausalität identifiziert wird. Ein Beispiel für eine unwahre Meinung könnte jede Position sein, die nicht der Realität entspricht, beispielsweise die Aussage, dass die ukrainische Nation überhaupt nicht existiert.
Der Zweck des Wissens besteht darin, wahres Wissen zu erlangen. Um solche Erkenntnisse durch Argumentation zu erlangen, muss man erstens über wahre Prämissen verfügen und zweitens diese richtig kombinieren, also nach den Gesetzen der Logik argumentieren. Wenn sie falsche Prämissen verwenden, begehen sie sachliche Fehler, und wenn sie gegen die Gesetze der Logik, die Regeln für die Konstruktion von Überlegungen, verstoßen, begehen sie logische Fehler. Natürlich müssen sachliche Fehler vermieden werden, was nicht immer möglich ist. Was die logischen Fehler angeht, kann eine Person mit hoher intellektueller Bildung diese Fehler vermeiden, da die Grundgesetze des logisch korrekten Denkens, die Regeln für die Konstruktion des Denkens und sogar sinnvoll typische Fehler im Denken seit langem formuliert sind.
Logik lehrt Sie, richtig zu argumentieren, logische Fehler zu vermeiden und richtiges Denken von falschem Denken zu unterscheiden. Es ordnet die richtigen Überlegungen ein, um sie systematisch zu verstehen. In diesem Zusammenhang könnte sich die Frage stellen: Ist es möglich, mit den Worten von Kozma Prutkov, das Grenzenlose anzunehmen, da es viele Überlegungen gibt? Ja, das ist möglich, denn die Logik lehrt einen zu argumentieren und sich dabei nicht auf den spezifischen Inhalt der Gedanken zu konzentrieren, die Teil der Argumentation sind, sondern auf das Schema, die Struktur der Argumentation, die Form der Kombination dieser Gedanken. Sagen wir eine Form der Argumentation wie „Jedes x ist y, und dieses z ist x; Folglich ist das gegebene r korrekt, und die Kenntnis seiner Richtigkeit beinhaltet viel umfangreichere Informationen als die Kenntnis der Richtigkeit eines separaten sinnvollen Arguments ähnlicher Form. Und die Form der Argumentation nach dem Schema „Jedes x ist y, und z ist auch y; daher ist z x x“ bezieht sich auf die falschen. So wie die Grammatik die Formen von Wörtern und ihre Kombinationen in einem Satz untersucht und dabei vom spezifischen Inhalt sprachlicher Ausdrücke abstrahiert, so untersucht die Logik die Formen von Meinungen und ihre Kombinationen und abstrahiert vom spezifischen Inhalt dieser Gedanken.
Um die Form eines Gedankens oder einer Überlegung offenzulegen, muss diese formalisiert werden.
Schlussfolgerungen zu Kapitel 1
Auf dieser Grundlage können folgende Schlussfolgerungen gezogen werden:
1. Die Logik entstand als Zweig des philosophischen Wissens. Die Hauptgründe für sein Auftreten sind die Entwicklung der Wissenschaften und der Redekunst. Da Wissenschaft auf theoretischem Denken basiert, das die Konstruktion von Schlussfolgerungen und Beweisen beinhaltet, besteht die Notwendigkeit, das Denken selbst als eine Form der Erkenntnis zu untersuchen.
2. In der modernen Wissenschaft ist die Bedeutung der symbolischen Logik sehr groß. Es findet Anwendung in der Kybernetik, Neurophysiologie und Linguistik. Die symbolische Logik ist eine moderne Stufe in der Entwicklung der formalen Logik. Es untersucht die Prozesse des Denkens und Beweisens anhand ihrer Darstellung in logischen Systemen. Somit ist diese Wissenschaft ihrem Gegenstand nach die Logik und ihrer Methode nach die Mathematik.
Nach dem Studium der Materialien haben wir unsere Vorstellungen zu mathematischen Konzepten geklärt:
Dies sind Konzepte idealer Objekte;
Jedes mathematische Konzept hat einen Begriff, einen Umfang und einen Inhalt;
Konzepte erhalten Definitionen; Sie können explizit oder implizit sein. Implizite umfassen kontextbezogene und ostensive Definitionen;
Das Konzeptlernen erfolgt von Klasse zu Klasse mit ausführlicher Auseinandersetzung mit dem Thema.
Beim Studium des Materials haben wir Konzepte kennengelernt, mit deren Hilfe wir die Bedeutung der Konjunktionen „und“, „oder“, des Teilchens „nicht“, der Wörter „jeder“, „existiert“, „deshalb“ und geklärt haben „äquivalent“ wird in der Mathematik verwendet. Dies sind die Konzepte:
Stellungnahme;
Elementare Aussagen;
Logische Verknüpfungen;
Zusammengesetzte Aussagen;
Konjunktion von Aussagen;
Disjunktion von Aussagen;
Ablehnung von Aussagen.
Habe die Regeln überprüft:
Bestimmen des Wahrheitswerts einer zusammengesetzten Aussage;
Konstruktionen der Negation von Sätzen unterschiedlicher Struktur.
Kapitel 2. Verwendung von Elementen der mathematischen Logik im Mathematikunterricht in der Grundschule
2.1 NutzungElemente der Logik im Grundkurs Mathematik
Die Mathematik bietet echte Voraussetzungen für die Entwicklung des logischen Denkens. Die Aufgabe des Lehrers besteht darin, diese Möglichkeiten beim Mathematikunterricht für Kinder besser zu nutzen. Es gibt jedoch kein spezifisches Programm zur Entwicklung logischer Denktechniken, die beim Studium dieses Fachs formuliert werden sollten. Infolgedessen erfolgt die Arbeit an der Entwicklung des logischen Denkens ohne Kenntnis des Systems der notwendigen Techniken, ohne Kenntnis ihres Inhalts und der Reihenfolge ihrer Entstehung.
Barakina V.T. hebt folgende Anforderungen an die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schüler beim Studium der Elemente der Logik in der Grundschule hervor:
1. Elemente der Mengenlehre:
Machen Sie sich anhand konkreter Beispiele und Schreibweisen (durch Aufzählung) mit Mengen unterschiedlicher Art vertraut;
Lernen Sie, Elemente einer Menge zu identifizieren;
Machen Sie sich mit den wichtigsten Arten von Beziehungen zwischen Mengen und der Art und Weise, wie sie mithilfe von Euler-Venn-Kreisen dargestellt werden, vertraut.
Lernen Sie, einige Operationen an Mengen durchzuführen (Vereinigung, Schnittmenge).
2. Elemente der Aussagentheorie:
Machen Sie sich mit der Aussage auf der Ebene der Ideen vertraut;
Lernen Sie, Aussagen von anderen Sätzen zu unterscheiden;
Machen Sie sich mit den wichtigsten Arten von Aussagen vertraut;
Lernen Sie, einige Operationen an Aussagen durchzuführen (Negation, Konjunktion, Disjunktion).
3. Elemente der Kombinatorik:
Machen Sie sich mit diesem Konzept auf der Ebene der Ideen vertraut;
Lernen Sie, kombinatorische Probleme von anderen Arten von Wortproblemen zu unterscheiden, die im Mathematikunterricht behandelt werden;
Lernen Sie, Probleme zu lösen, um die Anzahl der Platzierungen von n Elementen mal m Elementen zu bestimmen.
Elemente der Logik in der Grundschule werden sowohl im Mathematik- als auch im Informatikunterricht behandelt. Gleichzeitig unterscheiden sich die Anforderungen an die Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten der Studierenden sowie die Ausbildungsinhalte in diesem Bereich in den verschiedenen Studiengängen etwas. Dies ist zum einen darauf zurückzuführen, dass der Landesbildungsstandard für die allgemeine Grundschulbildung derzeit keine verpflichtende Berücksichtigung dieses Themas in den Klassen 1-4 vorschreibt.
Derzeit sind alle Mathematikkurse auf die Schülerentwicklung ausgerichtet. Zum Beispiel der Kurs von Istomina N.B. Sein Hauptziel ist die Entwicklung von Methoden der geistigen Aktivität der Schüler, geistiger Operationen: Analyse, Synthese, Vergleich, Klassifikation, Analogie, Verallgemeinerung.
...Ähnliche Dokumente
Studium der mathematischen Logik. Die Grundlage der Logik ist das Bewusstsein für die Struktur der mathematischen Wissenschaft und ihre Grundkonzepte. Historische Skizze. Äquivalenz von Sätzen. Ablehnung von Aussagen. Logische Nachbereitung.
Dissertation, hinzugefügt am 08.08.2007
Außerschulische Aktivitäten als eine der Arbeitsformen. Pädagogische Grundlagen für das Studium der mathematischen Logik in der Sekundarstufe im Rahmen außerschulischer Aktivitäten. Analyse bestehender Methoden zur Entwicklung allgemeiner logischer und logischer Fähigkeiten bei Schülern.
Kursarbeit, hinzugefügt am 19.11.2012
Grundlagen der Methoden zum Studium mathematischer Konzepte. Mathematische Konzepte, ihr Inhalt und Umfang, Klassifizierung von Konzepten. Psychologische und pädagogische Besonderheiten des Mathematikunterrichts in den Klassen 5-6. Psychologische Aspekte der Konzeptbildung.
Dissertation, hinzugefügt am 08.08.2007
Sprachliche Grundlagen des Adjektivlernens in der Grundschule. Psychologische und pädagogische Grundlagen des Adjektivlernens in der Grundschule. Methodik zur Arbeit an Adjektiven nach dem System der Entwicklungspädagogik L.V. Zankova.
Dissertation, hinzugefügt am 03.04.2007
Theoretische Grundlagen zur Vorbereitung von Kindern auf den Mathematikunterricht in der Schule. Fragen der Schulvorbereitung von Kindern in der psychologischen, pädagogischen und methodischen Literatur. Das Konzept, das Wesen und die Bedeutung der mathematischen Lernbereitschaft in der Schule. Forschungsprogramm.
Kursarbeit, hinzugefügt am 23.10.2008
Besonderheiten des Mathematikstudiums in der Grundschule nach dem Landesbildungsstandard Grundschule Allgemeinbildung. Kursinhalte. Analyse grundlegender mathematischer Konzepte. Die Essenz eines individuellen Ansatzes in der Didaktik.
Kursarbeit, hinzugefügt am 29.09.2016
Psychologische und pädagogische Grundlagen zur Entwicklung des logischen Denkens bei Grundschulkindern. Entwicklung einer Methodik zur Lösung des Problems der Entwicklung der logischen Kompetenz der Schüler im Mathematikunterricht in der Grundschule, Beispiele für die Lösung nicht standardmäßiger Rechenaufgaben.
Dissertation, hinzugefügt am 31.03.2012
Theoretische und methodische Grundlagen von Testaufgaben und ihren Arten. Psychologische und pädagogische Grundlagen. Tests im Mathematikunterricht. Analyse der Erfahrungen von Lehrern mit der Verwendung von Testaufgaben. Kurze Beschreibung der Vorteile der Verwendung einer Testform der Kontrolle.
Kursarbeit, hinzugefügt am 17.04.2017
Psychologische Merkmale eines Grundschulkindes. Techniken und Methoden zur Verwendung von Elementen der etymologischen Analyse im Grundschulunterricht. Merkmale des Unterrichtens von kompetentem Schreiben für Grundschulkinder. Analyse des Bildungskomplexes „Russische Sprache“ in der Grundschule.
Dissertation, hinzugefügt am 24.03.2015
Sprachentwicklung der Schüler im Mathematikunterricht. Techniken zur Entwicklung mathematischer Sprache. Zusammenhänge zwischen Sprechen, Denken und Sprache. Entwicklung von Logik, Ausdruckskraft, Evidenz und Genauigkeit der mathematischen Sprache. Steigerung des Niveaus der Sprachkultur der Schüler.
Dieser Abschnitt unserer Website präsentiert Forschungsarbeitsthemen zur Logik in Form von logischen Problemen, Sophismen und Paradoxien in der Mathematik, interessanten Spielen zu Logik und logischem Denken. Der Arbeitsbetreuer sollte den Studierenden bei seiner Forschung direkt anleiten und unterstützen.
Die im Folgenden vorgestellten Themen für Forschungs- und Entwurfsarbeiten im Bereich Logik eignen sich für Kinder, die gerne logisch denken, nicht standardmäßige Probleme und Beispiele lösen, Paradoxien und mathematische Probleme erforschen und nicht standardmäßige Logikspiele spielen.
In der Liste unten können Sie ein Logikprojektthema für jede Klasse einer weiterführenden Schule auswählen, von der Grundschule bis zum Gymnasium. Um Ihnen bei der korrekten Gestaltung eines Mathematikprojekts zu Logik und logischem Denken zu helfen, können Sie die entwickelten Anforderungen an die Arbeitsgestaltung nutzen.
Die folgenden Themen für Logikforschungsprojekte sind nicht endgültig und können aufgrund der vor dem Projekt festgelegten Anforderungen geändert werden.
Themen der Forschungsarbeiten zur Logik:
Beispielthemen für Forschungsarbeiten zum Thema Logik für Studierende:
Interessante Logik in der Mathematik.
Algebra-Logik
Logik und wir
Logiken. Gesetze der Logik
Logikbox. Eine Sammlung unterhaltsamer Logikprobleme.
Logische Aufgaben mit Zahlen.
Logikprobleme
Logikaufgaben „Lustige Arithmetik“
Logische Probleme in der Mathematik.
Logische Probleme zur Bestimmung der Anzahl geometrischer Formen.
Logische Aufgaben zur Entwicklung des Denkens
Logische Probleme im Mathematikunterricht.
Logikspiele
Logische Paradoxien
Mathematische Logik.
Methoden zur Lösung logischer Probleme und Methoden zu deren Erstellung.
Simulation logischer Probleme
Pädagogische Präsentation „Grundlagen der Logik“.
Grundtypen logischer Probleme und Methoden zu ihrer Lösung.
Auf den Spuren von Sherlock Holmes oder Methoden zur Lösung logischer Probleme.
Anwendung der Graphentheorie zur Lösung logischer Probleme.
Probleme von vier Farben.
Logische Probleme lösen
Logische Probleme mit der Graphenmethode lösen.
Logische Probleme auf unterschiedliche Weise lösen.
Lösen logischer Probleme mithilfe von Diagrammen
Logische Probleme mithilfe von Diagrammen und Tabellen lösen.
Logische Probleme lösen.
Syllogismen. Logische Paradoxien.
Themen von Logikprojekten
Beispielthemen für Logikprojekte für Studierende:
Sophistik
Sophistik um uns herum
Sophismen und Paradoxien
Methoden zum Komponieren und Methoden zur Lösung logischer Probleme.
Lernen, logische Probleme zu lösen
Algebra der Logik und logische Grundlagen eines Computers.
Arten von Aufgaben für logisches Denken.
Zwei Möglichkeiten, logische Probleme zu lösen.
Logik und Mathematik.
Logik als Wissenschaft
Logische Rätsel.
