A nemlineáris egyenlet gyökereinek megtalálásához használjuk. Nemlineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei. Algebra. Egyszerű iterációs módszer

Azokat az egyenleteket, amelyek egynél nagyobb hatványra emelt ismeretlen függvényeket tartalmaznak, nemlineárisnak nevezzük.
Például y=ax+b - lineáris egyenlet, х^3 – 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 – nemlineáris (általában F(x)=0-ként írják le).

A nemlineáris egyenletrendszer több, egy vagy több változós nemlineáris egyenlet egyidejű megoldása.

Sok módszer létezik nemlineáris egyenletek megoldásaés nemlineáris egyenletrendszerek, amelyeket általában 3 csoportba sorolnak: numerikus, grafikus és analitikai. Az analitikai módszerek lehetővé teszik az egyenletmegoldás pontos értékeinek meghatározását. A grafikus módszerek a legkevésbé pontosak, de megengedik összetett egyenletek határozza meg a legközelítőbb értékeket, amelyekből a jövőben elkezdhet pontosabb megoldásokat találni az egyenletekre. A nemlineáris egyenletek numerikus megoldása két szakaszon megy keresztül: a gyökér szétválasztásán és bizonyos meghatározott pontosságú finomításán.
A gyökerek szétválasztása többféle módon történik: grafikusan, különféle speciális számítógépes programok segítségével stb.

Tekintsünk több módszert a gyökerek meghatározott pontosságú finomítására.

Nemlineáris egyenletek numerikus megoldásának módszerei

felezési módszer.

A felezési módszer lényege, hogy az intervallumot kettéosztjuk (с=(a+b)/2) és kihagyjuk az intervallumnak azt a részét, amelyben nincs gyök, azaz. F(a)xF(b) feltétel

1. ábra. A félosztás módszerének alkalmazása nemlineáris egyenletek megoldásában.

Vegyünk egy példát.

Osszuk fel a szakaszt 2 részre: (a-b)/2 = (-1+0)/2=-0,5.
Ha az F(a)*F(x)>0 szorzat, akkor az a szakasz eleje átkerül x-be (a=x), ellenkező esetben a b szakasz vége átkerül az x pontba (b=x ). A kapott szegmenst ismét kettéosztjuk stb. Az összes számítás az alábbi táblázatban látható.

2. ábra. Számítási eredmények táblázata

A számítások eredményeként megkapjuk az értéket, figyelembe véve a szükséges pontosságot, x=-0,946

akkordmódszer.

Az akkordmódszer használatakor egy olyan szakaszt adunk meg, amelyben csak egy gyök van a megadott pontossággal e. Az a és b szakasz azon pontjain keresztül húzunk egy vonalat (húrt), amelyeknek koordinátái (x(F(a); y(F(b)))). Ezután ennek az egyenesnek az abszcissza tengellyel való metszéspontjai) (z pont) határozzák meg.
Ha F(a)xF(z)

3. ábra. Az akkordok módszerének alkalmazása nemlineáris egyenletek megoldásában.

Vegyünk egy példát. Meg kell oldani az x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 egyenletet e-n belül

Az egyenlet általában így néz ki: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Keresse meg az F(x) értékeit a szegmens végén:

F(-1) = -0,2>0;

Határozzuk meg a második derivált F''(x) = 6x-0,4.

F''(-1)=-6,4
F''(0)=-0,4

A szakasz végén az F(-1)F’’(-1)>0 feltétel figyelhető meg, ezért az egyenlet gyökerének meghatározásához a következő képletet használjuk:

Az összes számítás az alábbi táblázatban látható.

4. ábra. Számítási eredmények táblázata

A számítások eredményeként megkapjuk az értéket, figyelembe véve a szükséges pontosságot, x=-0,946

Tangens módszer (Newton)

Ez a módszer a gráf érintőinek felépítésén alapul, amelyeket az intervallum egyik végén rajzolnak meg. Az X tengellyel való metszéspontban (z1) új érintőt építünk. Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg a kapott érték össze nem hasonlítható a kívánt e pontossági paraméterrel (F(zi)

5. ábra. Az érintők (Newton) módszerének alkalmazása nemlineáris egyenletek megoldásában.

Vegyünk egy példát. Meg kell oldani az x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5 = 0 egyenletet e-n belül

Az egyenlet általában így néz ki: F(x)= x^3 - 0,2x^2 + 0,5x + 1,5

Határozzuk meg az első és a második derivált: F'(x)=3x^2-0,4x+0,5, F''(x)=6x-0,4;

F''(-1)=-6-0,4=-6,4
F''(0)=-0,4
Az F(-1)F''(-1)>0 feltétel teljesül, így a számításokat a következő képlet szerint végezzük:

ahol x0=b, F(a)=F(-1)=-0,2

Az összes számítás az alábbi táblázatban látható.

6. ábra. Számítási eredmények táblázata

A számítások eredményeként megkapjuk az értéket, figyelembe véve a szükséges pontosságot, x=-0,946

ahol az f(x) függvény definiált és folytonos egy véges vagy végtelen x(a, b) intervallumon.

Egyetlen gyökeret egyszerű gyökérnek nevezünk. Két egyenletet ekvivalensnek (ekvivalensnek) nevezünk, ha megoldásaik halmazai megegyeznek.

Az egyváltozós nemlineáris egyenletek algebraira (az f(x) függvény algebrai) és különben transzcendentálisra oszthatók. Már egy algebrai polinom példáján is ismert, hogy az f (x) nullák lehetnek valósak és összetettek is. Ezért a probléma pontosabb megfogalmazása abból áll, hogy megtaláljuk a (6.1) egyenletnek a komplex sík adott tartományában elhelyezkedő gyökereit. Megfontolható az adott szegmensen elhelyezkedő valódi gyökerek megtalálásának problémája is. Néha, figyelmen kívül hagyva a megfogalmazások pontosságát, egyszerűen azt mondják, hogy a (6.1) egyenlet megoldásához szükséges. A legtöbb algebrai és transzcendentális nemlineáris egyenlet analitikusan (azaz pontosan) nem oldható meg, ezért a gyakorlatban numerikus módszereket használnak a gyökerek megtalálására. Ebben a vonatkozásban a (6.1) egyenlet megoldásán a közelítő gyökök megtalálásának problémáját értjük

a (6.1) alakú egyenletek. Ebben az esetben a közelítő x érték közelsége az egyenlet ξ gyökéhez általában az egyenlőtlenség teljesüléseként értendő.

| ξ − x |< ε при малых ε > 0 ,

azok. az x ≈ ξ közelítő egyenlőség abszolút hibája.

Használják a relatív hibát is, pl. érték | ξ − x | .

A definíciós tartományában lévő f (x) nemlineáris függvénynek véges vagy végtelen számú nullája lehet, vagy lehet, hogy egyáltalán nem.

A nemlineáris egyenlet numerikus megoldása (6.1) az egyenlet összes vagy néhány gyökének adott pontossággal történő megkeresése, és több részfeladatra oszlik:

először is meg kell vizsgálni a gyökerek számát és jellegét (valós vagy összetett, egyszerű vagy többszörös),

másodszor, hogy meghatározzuk hozzávetőleges elhelyezkedésüket, azaz. a szegmens kezdetének és végének értékei, amelyeken csak egy gyök található,

harmadszor válassza ki a számunkra érdekes gyökereket, és számolja ki azokat a szükséges pontossággal.

A legtöbb gyökérkereső módszer megköveteli azon intervallumok ismeretét, ahol minden bizonnyal egyedi nulla van a függvénynek. Emiatt a második feladat ún gyökérszétválasztás. Megoldása után valójában a gyökerek hozzávetőleges értékeit olyan hibával találják meg, amely nem haladja meg a gyökeret tartalmazó szegmens hosszát.

6.1. Nemlineáris egyenlet gyökeinek szétválasztása

A funkciókhoz Általános nézet Nincsenek univerzális módszerek a gyökérszétválasztási probléma megoldására. Két egyszerű módszert figyelünk meg az egyenlet valódi gyökereinek elválasztására - táblázatos és grafikus.

Az első trükk az, hogy kiszámítjuk a függvényértékek táblázatát adott x i pontokban, amelyek egymástól feltételesen kis h távolságra vannak, és a következő matematikai elemzési tételeket használjuk:

1. Ha az y=f(x) függvény folytonos az [а,b] és f(a)f(b) intervallumon<0, то внутри отрезка существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0.

2. Ha az y=f(x) függvény folytonos az [а,b] intervallumon, akkor f(a)f(b)< 0 и f′(x) на интервале (a,b) сохраняет знак, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x)=0.

Miután ezeken a pontokon kiszámítottuk a függvény értékeit (vagy csak az f (x i ) előjeleit határoztuk meg), azokat a szomszédos pontokban hasonlítjuk össze, pl. ellenőrizze, nem

hogy a [ x i − 1, x i ] szakaszon teljesül-e az f (x i − 1 ) f (x i ) ≤ 0 feltétel. Tehát ha néhány i-re az f (x i − 1 ) és f (x i ) számok különböző előjelűek, akkor ez azt jelenti, hogy az (x i − 1 , x i ) intervallumon az egyenletnek legalább

a páratlan sokaság egy valódi gyöke (pontosabban páratlan számú gyök). Nagyon nehéz azonosítani a páros multiplicitás gyökerét a táblázatból. Ha a vizsgált területen a gyökerek száma előre ismert, akkor a h keresési lépés finomításával egy ilyen folyamat vagy lokalizálhatja őket, vagy

folyamat olyan állapotba kerül, amely lehetővé teszi a megkülönböztethetetlen gyökérpárok jelenlétének állítását h = ε pontossággal. Ez az iteráció jól ismert módja.

A táblázat szerint ábrázolhatja az y \u003d f (x) függvényt. Gyökeres

A (6.1) egyenletek azok az x értékek, amelyeknél a függvény grafikonja metszi az x tengelyt. Ez a módszer vizuálisabb, és jó közelítő értékeket ad a gyökerek számára. Egy függvény grafikonjának felépítése, még alacsony pontossággal is, általában képet ad az egyenlet gyökereinek helyéről és természetéről (néha még a többszörösség gyökereit is felfedi). Sok technikai probléma esetén ez a pontosság már elegendő.

Ha az y \u003d f (x) függvény ábrázolása nehéz, akkor az eredeti egyenletet át kell alakítani a ) alakra, elég volt

egyszerűek. Ezeknek a grafikonoknak a metszéspontjainak abszcisszája lesz az egyenlet gyöke.

ξ2.

Tegyük fel, hogy az egyenlet kívánt gyöke el van választva, azaz. talált egy szakaszt, amelyen csak egy gyöke van az egyenletnek. A gyökér szükséges ε pontosságú kiszámításához általában valamilyen iteratív eljárást alkalmazunk a gyök finomításához, amely x n értékből álló numerikus sorozatot épít fel, amely az egyenlet kívánt gyökéhez konvergál.

A kezdeti közelítés x 0 a szakaszon van kiválasztva, folytassa

számításokat az x n − 1 − x n egyenlőtlenségig< ε , и считают, что x n – есть корень уравнения, найденный с заданной точностью. Имеется

Az ilyen sorozatok felépítésének sokféle módja és az algoritmus kiválasztása nagyon fontos pont a probléma gyakorlati megoldásában. Ebben jelentős szerepet játszanak a módszer olyan tulajdonságai, mint az egyszerűség, megbízhatóság, gazdaságosság, a legfontosabb jellemző a konvergencia sebessége.

Az α =1 konvergenciát lineárisnak nevezzük, 1 esetén<α <2 – сверхлинейной, при α =2 – квадратичной. С ростом α алгоритм, как правило, усложняется и условия сходимости становятся более жесткими.

A gyökerek hozzávetőleges értékeit különféle iteratív módszerekkel finomítják. Tekintsük a leghatékonyabbat közülük.

6.2. Felezési módszer (felezés, dichotómiák)

Legyen az f (x) függvény definiált és folytonos minden x-re [ a , b ] és változtasson előjelet, azaz. f(a) f(b)< 0 . Тогда согласно теореме 1 уравнение имеет на (a , b ) хотя бы один корень. Возьмем произвольную точку c (a , b ) . Будем называть в этом случае отрезок промежутком

létezés, gyökér és a c pont - próbapont. Mivel itt csak egy valós változó valós függvényeiről beszélünk, akkor

f(c) értékének kiszámítása a következők bármelyikét eredményezi

egymást kizáró helyzetek:

A) f(a) f(c)< 0 Б) f (c ) f (b ) < 0 В) f (c ) = 0

Ha f (c) = 0, akkor az egyenlet gyöke található. Egyébként az [ a , c ] vagy a [ c , b ] szakasz két részéből azt választjuk, amelyiknek a végein a függvény különböző előjelű, mivel az egyik gyök ezen a felén fekszik.

A felező módszer egyik lépésében a gyökér létezési intervallumát pontosan felezzük. Ezért, ha az egyenlet ξ gyökének k-edik közelítésére az x k pontot vesszük, amely a k-adik lépésben kapott szakasz közepe [ a k , b k ], feltételezve, hogy a 0 = a, b 0 = b , akkor eljutunk az egyenlőtlenséghez

ami egyrészt lehetővé teszi számunkra annak állítását, hogy az (x k ) sorozatnak van határa – a (6.1) egyenlet kívánt ξ gyöke másrészt előzetes becslés az x k ≈ ξ egyenlőség abszolút hibája, amely lehetővé teszi a felezési módszer lépéseinek (iterációi) számának kiszámítását, amely elegendő a ξ gyök megadásához adott ε pontossággal.

amelynek csak az egyenlőtlenséget kielégítő legkisebb természetes k-t kell megtalálnia

b 2 − k a< ε .

Egyszerűen fogalmazva, ha ε pontosságú gyöket akarunk találni, akkor addig folytatjuk a felezést, amíg a szakasz hossza 2ε-nál kisebb lesz. Ezután az utolsó szegmens közepe megadja a gyökér értékeit a szükséges pontossággal.

A dichotómia egyszerű és nagyon megbízható: minden f(x) folytonos függvény egyszerű gyökjéhez konvergál, beleértve a nem differenciálható függvényeket is;

ugyanakkor ellenáll a kerekítési hibáknak. A konvergencia ráta alacsony: egy iteráció során a pontosság körülbelül kétszeresére nő, i.e. három számjegy finomítása 10 iterációt igényel. De a válasz pontossága garantált.

A dichotómia módszer fő hátrányai a következők.

1. A számítás elindításához meg kell találni azt a szegmenst, amelyen a függvény előjelet vált. Ha ebben a szegmensben több gyökér is van, akkor nem tudni előre, hogy melyikükhöz fog konvergálni a folyamat (bár az egyikhez mindenképpen konvergál).

2. A módszer nem alkalmazható páros többszörös gyökök esetén.

3. A páratlan nagy multiplicitású gyökeknél konvergál, de kevésbé pontos és kevésbé ellenáll a függvényértékek kiszámításakor fellépő kerekítési hibáknak.

A dichotómiát akkor alkalmazzuk, ha a számítás nagy megbízhatósága szükséges, és a konvergencia sebessége csekély jelentőséggel bír.

A dichotómia egyik hiányossága - az ismeretlen gyökhöz való konvergencia - szinte minden iteratív módszerre jellemző. A már megtalált gyökér eltávolításával megszüntethető.

Ha x 1 az egyenlet egyszerű gyöke és f (x) Lipschitz-folytonos, akkor a g (x) = f (x) /(x − x 1) segédfüggvény folytonos, és az f függvények minden nullája (x) és g(x) egybeesnek, kivéve x 1, mivel g (x 1 ) ≠ 0. Ha x 1 az egyenlet többszörös gyöke, akkor az egységenkénti multiplicitás nulla g (x) lesz.

Kevésbé; mindkét függvény többi nullája továbbra is ugyanaz marad. Ezért a megtalált gyökér törölhető, pl. menjen a funkcióhoz

ez a gyök közel van g(x ) -hez. Annak érdekében, hogy ez ne befolyásolja a következő gyökerek megtalálását, minden gyökeret nagy pontossággal kell kiszámítani, különösen akkor, ha az egyenlet többszöröse, vagy egy másik gyöke van a közelében.

6.3. akkordmódszer

Logikus feltételezés, hogy a dichotómiás módszerek családjában valamivel jobb eredmények érhetők el, ha a szakaszt a c ponttal nem felére, hanem az f (a) és f ordináta értékeivel arányosan osztjuk. b) .

Ez azt jelenti, hogy van értelme a c pontot a metszéspont abszcisszájaként találni

Ox tengely az A (a, f (a)) és B (b, f (b) pontokon átmenő egyenessel), egyébként húrral

f (x ) függvény grafikonjának ívei. Ily módon

próbapont kiválasztását nevezzük az akkordok módszerének ill lineáris interpolációval.

Írjuk fel az A és B ponton áthaladó egyenes egyenletét:

Az akkordmódszer, akárcsak a felezési módszer algoritmusa, beágyazott szegmensek sorozatát építi fel [а n ,b n ], de mint x n az akkord metszéspontja az abszcissza tengellyel:

Ebben az esetben a gyökér lokalizációs intervallumának hossza nem lehet nulla, ezért általában addig végezzük a számítást, amíg két egymást követő közelítés értéke egybe nem esik ε pontossággal. A módszer lineárisan konvergál, de a két egymás utáni közelítés közelsége nem mindig jelenti azt, hogy a gyökér a kívánt pontossággal megtalálható. Tehát ha 0< m ≤ | f ′ (x )| ≤ M , x [ a , b ] ,

M − m

Az akkordmódszerben az iterációk befejezésének megbízhatóbb gyakorlati kritériuma az egyenlőtlenség teljesülése.

konvergált ennek az egyenletnek a gyökeréhez

állandó előjelű függvény. Kiválasztunk egy x 0 nulla közelítést, és a képletekkel további közelítéseket számolunk

Ezek a képletek egy egylépéses általános iteratív módszert határoznak meg egyszerű iterációs módszer. Próbáljuk megérteni, hogyan

a ϕ (x ) függvénynek meg kell felelnie a követelményeknek, hogy a (6.7) által meghatározott (x k ) sorozat konvergens legyen, és mint

ϕ (x) függvényt készítsünk f (x) függvényből úgy, hogy ez a sorozat

f(x) = 0.

Legyen ϕ (x) folytonos függvény valamelyik [a, b] szakaszon. Ha a (6.7) képlettel definiált sorozat (x k ) ahhoz konvergál

valamilyen ξ szám, azaz. ξ = lim x k ​​, akkor az egyenlőségben a határértékre lépve

k→∞

(6.7), ξ = ϕ (ξ ) kapjuk. Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy ξ a gyök

a (6.6) egyenlet és az azzal egyenértékű eredeti egyenlet.

A (6.6) egyenlet gyökerének megtalálását fixpont-problémának nevezzük. Ennek a gyökérnek a létezése és egyedisége a kontrakciós leképezések elvén alapul.

Definíció: Egy ϕ (x) folytonos függvényt összehúzónak nevezünk az [ a , b ] szakaszon, ha:

1) ϕ (x ) , x

2) q (0,1) : |ϕ (x 2 )− ϕ (x 1 )|≤ q |x 2 − x 1 |, x 1 ,x 2 .

Az [ a , b ] ponton differenciálható függvény második feltétele ekvivalens a ϕ "(x) ≤ q egyenlőtlenség teljesülésével< 1 на этом отрезке.

Az egyszerű iterációk módszerének egyszerű geometriai értelmezése van: az f(x)=0 egyenlet gyökének megtalálása egyenértékű az x= ϕ (x) függvény fixpontjának megtalálásával, azaz. metszéspontok

y= ϕ (x) és y=x függvények grafikonjai. Az egyszerű iterációs módszer nem mindig biztosítja az egyenlet gyökeréhez való konvergenciát. E módszer konvergenciájának elégséges feltétele a ϕ "(x) ≤ q egyenlőtlenség teljesülése< 1 на

Szemléltessük geometriailag (6.4. ábra) a konvergens iteratív sorozat (x k ) viselkedését anélkül, hogy feljegyeznénk ϕ (x k ) értékét, de

tükrözve őket az x tengelyen a koordinátaszög felezőjének segítségével

y=x.

6.4. ábra Az egyszerű iterációs módszer konvergenciája ϕ "(x) ≤ q esetén< 1 .

ábrából látható. 6.4 ha a derivált ϕ ′ (x )< 0 , то последовательные приближения колеблются около корня, если же производная ϕ ′ (x ) >0, akkor

az egymást követő közelítések monoton konvergálnak a gyökhöz. A következő fixpont tétel érvényes.

Tétel: Legyen ϕ (x) definiált és differenciálható [ a , b ] -on. Ezután, ha a feltételek teljesülnek:

A gyökér közelében az iterációk megközelítőleg geometriai progresszióként konvergálnak

ϕ (x) van kiválasztva.

Például a négyzetgyök kinyerésére, pl. megoldásokért

Nyilvánvaló, hogy az egyenletnek három gyöke van a [ − szegmenseken 3; − 2] , [− 1;0] és . A legkisebb a szegmensen található [ − 3; − 2] .

Mert ezen a szegmensen x2 ≠ 0 , osszuk el az egyenletet x2 . Kapunk:

Megjegyzés: Az eredeti egyenlet másik két gyökének egyszerű iterációval történő megtalálásához már nem használható a képlet: x= x1 2 − 3 ,

A konvergencia feltétele ezeken a szegmenseken nem teljesül.

Relaxációs módszer- az egyszerű iterációs módszer egyik változata, amelyben

ϕ ( x ) = x − τ f ( x ) ,

azok. az ekvivalens egyenlet:

x = x − τ f ( x ) .

funkciókat f(x) . Hadd

0 ≤α ≤ f′ (x) ≤γ <∞

Paraméter τ úgy van megválasztva, hogy a származék ϕ ′ (x) = 1 − τ f′ (x) a kívánt régióban kis modulus volt.

1 − τ γ ≤ ϕ ′ (x) ≤ 1 − λα

és az azt jelenti

|ϕ ′ (x)|≤ q(τ ) = max(|1 − τα |,|1− τγ |}

Legyen adott egy függvény, amely több deriváltjával együtt folytonos. Meg kell találni az egyenlet összes vagy néhány valódi gyökerét

Ez a feladat több részfeladatra oszlik. Először is meg kell határozni a gyökerek számát, meg kell vizsgálni természetüket és elhelyezkedésüket. Másodszor, keresse meg a gyökerek hozzávetőleges értékeit. Harmadszor, hogy kiválasszuk belőlük a számunkra érdekes gyökereket, és a szükséges pontossággal kiszámoljuk. Az első és a második feladat megoldása általában analitikus vagy grafikus módszerekkel történik. Abban az esetben, ha az (1) egyenletnek csak a valós gyökereit keressük, célszerű a függvényértékek táblázatát összeállítani. Ha a függvénynek a táblázat két szomszédos csomópontjában eltérő előjele van, akkor ezek között a csomópontok között az egyenlet páratlan számú gyöke van (legalább egy). Ha ezek a csomópontok közel vannak, akkor valószínűleg csak egy gyökér van közöttük.

A gyökerek talált hozzávetőleges értékei különféle iteratív módszerekkel finomíthatók. Nézzünk három módszert: 1) a dichotómia módszere (vagy a szegmens felezése); 2) egyszerű iterációs módszer és 3) Newton-módszer.

A probléma megoldásának módszerei

Felezési módszer

Az (1) nemlineáris egyenlet gyökének megtalálásának legegyszerűbb módszere a felezési módszer.

Adjunk meg egy folytonos függvényt a szakaszon, ha a függvény értékei a szakasz végén eltérő előjelűek, pl. akkor ez azt jelenti, hogy az adott szegmensen belül páratlan számú gyök található. A határozottság kedvéért legyen csak egy gyöke. A módszer lényege, hogy minden iterációnál megfelezzük a szegmens hosszát. Megkeressük a szegmens közepét (lásd 1. ábra) Számítsuk ki a függvény értékét és válasszuk ki azt a szegmenst, amelyen a függvény előjelét változtatja. Osszuk újra ketté az új részt. És ezt a folyamatot addig folytatjuk, amíg a szegmens hossza megegyezik a gyökér kiszámításának előre meghatározott hibájával. A (3) képlet szerinti több egymást követő közelítés felépítését az 1. ábra mutatja.

Tehát a dichotómia módszer algoritmusa:

1. Állítsa be az intervallumot és a hibát.

2. Ha f(a) és f(b) azonos előjelű, adjunk ki üzenetet a gyökér és a stop megtalálásának lehetetlenségéről.

1. ábra.

3. Ellenkező esetben számolja ki a c=(a+b)/2-t

4. Ha f(a) és f(c) különböző előjelű, akkor b=c, ellenkező esetben a=c.

5. Ha az új szakasz hossza, akkor számítsa ki a c=(a+b)/2 gyök értékét és álljon meg, ellenkező esetben folytassa a 3. lépéssel.

Mivel N lépésben a szegmens hossza 2 N-szeresére csökken, így a gyökérkeresés adott hibáját az iterációk során érjük el.

Amint látható, a konvergencia mértéke alacsony, de a módszer előnyei közé tartozik az iteratív folyamat egyszerűsége és feltétlen konvergenciája. Ha a szegmens egynél több gyökeret tartalmaz (de páratlan számot), akkor egy mindig megtalálható.

Megjegyzés. A gyökér intervallumának meghatározásához a függvény további elemzésére van szükség, amely akár analitikus becsléseken, akár grafikus megoldási módszeren alapul. Lehetőség van függvényértékek keresésének megszervezésére is különböző pontokon, amíg a függvény előjel-változtatási feltétele nem teljesül

A nemlineáris egyenlet általános képe

f(x)=0, (6.1)

hol van a függvény f(x) – meghatározott és folytonos valamilyen véges vagy végtelen intervallumban.

A funkció típusa szerint f(x) A nemlineáris egyenletek két csoportra oszthatók:

Algebrai;

Transzcendens.

Algebrai csak algebrai függvényeket (teljes, racionális, irracionális) tartalmazó egyenleteknek nevezzük. Konkrétan a polinom egy teljes algebrai függvény.

transzcendens más függvényeket tartalmazó egyenleteknek nevezzük (trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus stb.)

Nemlineáris egyenlet megoldása gyökereinek vagy gyökerének megtalálását jelenti.

Bármilyen argumentumérték x, megfordítja a funkciót f(x) nullára hívják az egyenlet gyöke(6.1) vagy nulla függvény f(x).

6.2. Megoldási módszerek

A nemlineáris egyenletek megoldására szolgáló módszerek a következőkre oszthatók:

Ismétlődő.

Közvetlen módszerek lehetővé teszi, hogy a gyököket valamilyen véges összefüggés (képlet) formájában írjuk le. Az iskolai algebratanfolyamból ismertek ilyen módszerek másodfokú egyenlet, bikvadratikus egyenlet (az ún. legegyszerűbb algebrai egyenletek), valamint trigonometrikus, logaritmikus és exponenciális egyenletek megoldására.

A gyakorlatban előforduló egyenletek azonban nem oldhatók meg ilyen egyszerű módszerekkel, mert

Funkció típusa f(x) meglehetősen összetett lehet;

Funkció együtthatók f(x) egyes esetekben csak hozzávetőlegesen ismertek, így a gyökerek pontos meghatározásának problémája értelmét veszti.

Ezekben az esetekben a nemlineáris egyenletek megoldásához használjuk iteratív módszerek vagyis az egymást követő közelítések módszerei. Meg kell jegyezni az egyenlet gyökerének megtalálásának algoritmusát izolált, vagyis az, amelyikhez van egy szomszédság, amely nem tartalmazza ennek az egyenletnek más gyökét, két szakaszból áll:

gyökérszétválasztás, nevezetesen az egy és csak egy gyökeret tartalmazó gyökér vagy szegmens közelítő értékének meghatározása.

közelítő érték finomítása gyökér, azaz értékét adott pontossági fokra hozva.

Az első szakaszban a gyökér hozzávetőleges értéke ( kezdeti közelítés) többféleképpen is megtalálható:

Fizikai okokból;

Egy hasonló probléma megoldásából;

Egyéb forrásadatokból;

Grafikus módszer.

Nézzük meg közelebbről az utolsó módszert. Valós egyenletgyök

f(x)=0

közelítőleg a függvény grafikonja metszéspontjának abszcisszájaként definiálható y=f(x) tengellyel 0x. Ha az egyenletnek nincsenek egymáshoz közeli gyökei, akkor ily módon könnyen meghatározhatók. A gyakorlatban gyakran előnyös a (6.1) egyenletet az ekvivalenssel helyettesíteni

f 1 (x)=f 2 (x)

ahol f 1 (x) és f 2 (x) - egyszerűbb, mint f(x) . Ezután a függvények grafikonjainak ábrázolása f 1 (x) és f 2 (x), a kívánt gyökér (gyökök) a grafikonok metszéspontjának abszcisszája lesz.

Megjegyzendő, hogy a grafikus módszer minden egyszerűsége ellenére általában csak a gyökerek hozzávetőleges meghatározására alkalmazható. A pontosság elvesztése szempontjából különösen kedvezőtlen az az eset, amikor a vonalak nagyon éles szögben metszik egymást, és gyakorlatilag egy bizonyos ív mentén egyesülnek.

Ha a kezdeti közelítés ilyen a priori becslései nem adhatók meg, akkor két egymáshoz közeli pontot találunk a, b amelyek között a függvénynek egy és csak egy gyöke van. Ehhez a művelethez hasznos megjegyezni két tételt.

1. tétel. Ha folyamatos függvény f(x) különböző előjelek értékeit veszi fel a szegmens végén [ a, b], vagyis

f(a) f(b)<0, (6.2)

akkor ezen a szegmensen belül van legalább egy gyöke az egyenletnek.

2. tétel. Az egyenlet gyöke a [ szakaszon a, b] akkor lesz egyedi, ha a függvény első deriváltja f’(x), létezik, és állandó jelet tart a szegmensen belül, azaz

(6.3)

Szegmens kiválasztása [ a, b] előadta

Grafikusan;

Analitikusan (a függvény vizsgálatával f(x) vagy kiválasztás).

A második szakaszban hozzávetőleges gyökérértékek sorozata található x 1 , X 2 , … , X n. Minden számítási lépés x én hívott ismétlés. Ha egy x én növekedésével n megközelíti a gyökér valódi értékét, akkor az iteratív folyamatról azt mondjuk, hogy konvergál.

Egy egyenlet gyökerének megtalálásához használhatja a gyökér( f(x) ,x), ahol az első argumentum a függvény f(x) , a második argumentum pedig az ismeretlen mennyiség neve, azaz. x. A függvény meghívása előtt hozzá kell rendelni a kezdeti értéket a kívánt változóhoz, lehetőleg a várt válaszhoz közel.

Ez a funkcióleírás az MC rendszer összes verziójára érvényes. Ez a függvény az eszköztár f(x) gombjával hívható meg, a bal oldali listából a Megoldás elemet kiválasztva. Az MC14-ben az így kiválasztott függvénynek négy argumentuma van. Ezek közül az első kettő megegyezik a fent leírtakkal, a harmadik és negyedik argumentum pedig annak az intervallumnak a bal és jobb oldali határa, amelyen a kívánt gyök található. Ha megadja a harmadik és negyedik argumentumot, akkor előfordulhat, hogy a változó kezdeti értéke nem lesz hozzárendelve.

Tekintsük ennek a függvénynek a használatát az egyenlet példáján
. Először végezzük el a gyökérszétválasztást. Ehhez a függvények jobb és bal oldalán grafikonjait készítjük (19. ábra). Az ábrán látható, hogy az egyenletnek két gyöke van. Az egyik a [–2; 0], a másik - on . Használjuk az elsőt a gyökérfüggvény formátumváltozata. Az egyenlet jobb gyöke a grafikon szerint megközelítőleg egyenlő 1-gyel. Ezért végrehajtjuk a hozzárendelést x:= 1, hívja meg a gyökér függvényt, adja meg az első két argumentumot
és nyomja meg a = gombot. A képernyőn az 1.062 eredményt kapjuk. Most használjuk a sablon második verzióját. Ismét meghívjuk a gyökérfüggvényt, megadunk négy argumentumot, és megnyomjuk az = billentyűt. A képernyőn megkapjuk az eredményt

A második gyökeret így találjuk:

A számított gyökér képernyőjén megjelenő karakterek száma nem egyezik az eredmény megtalálásának pontosságával. A szám tizenöt karakterrel kerül tárolásra a számítógép memóriájában, és ebből a rekordból a Formátum menüben beállított karakterek száma jelenik meg a képernyőn. Az, hogy a gyökér talált értéke mennyiben tér el a pontos értéktől, a gyökér számítási módszerétől és az iterációk számától függ. Ezt a TOL rendszerváltozó vezérli, amely alapértelmezés szerint 0,001. Az MC14 rendszerben a gyökér funkció a pontosság elérésére összpontosít.
, ha
, és a TOL változó által meghatározott pontosság eléréséhez, ha annak értéke kisebb, mint
. Ennek a változónak az értéke kisebb, mint
, nem ajánlott beállítani, mert a számítási folyamat konvergenciája sérülhet.

Megjegyzendő, hogy néhány kivételes esetben az eredmény sokkal jobban eltérhet a gyökér pontos értékétől, mint a TOL értéke. A TOL értékét megváltoztathatja egyszerű hozzárendeléssel, vagy az Eszközök menü, Munkalap beállításai, Beépített változók segítségével.

Egy polinom gyökereinek megkereséséhez használhat egy másik függvényt, amely visszaadja a polinom összes gyökerét, beleértve a komplexeket is. Ez a polyroots(■) függvény, ahol az argumentum egy vektor, amelynek koordinátái a polinom együtthatói, az első koordináta szabad tag, a második a változó első fokán lévő együttható, az utolsó az együttható legmagasabb fokon. A függvényt ugyanúgy hívjuk meg, mint a gyökérfüggvényt. Például a polinom gyökerei
így lehet beszerezni:

.

Néhány egyszerű egyenlet szimbolikus transzformációkkal is megoldható. A másod- vagy harmadfokú polinom gyökereit akkor találhatja meg, ha az együtthatók egész számok vagy közönséges törtek. Példaként vegyünk olyan polinomokat, amelyek gyökerei ismertek. Ezeket a polinomokat lineáris tényezők szorzataként kapjuk. Vegyünk egy polinomot
. Nézzük a jelölését a hatáskörökben x. Ehhez az első leckében leírtak szerint kiválasztunk egy változót ebben a bejegyzésben x, válassza ki a Változó elemet a Szimbolikák menüben, és a megnyíló ablakban a Gyűjtés elemet:

.

Az eredményben kiválasztjuk a változót x, válassza ki a Szimbolikák menü Változó, a megnyíló ablakban a Megoldás elemet. Kap

.

Amint látja, a gyökerek helyesen találhatók. Vegyünk egy harmadik fokú polinomot
. A gyökereit háromféleképpen találjuk meg:

,

,

és szimbolikus transzformációk (eredmény: 20. ábra).

Amint látjuk, az utolsó eredménynek nem sok haszna van, pedig "abszolút" pontos. Ez az eredmény még "rosszabb" lesz, ha egy kifejezést . Próbáljon meg szimbolikus transzformációkat használni egy ilyen polinom gyökereinek megtalálásához. Próbálja meg szimbolikus transzformációkkal megkeresni a negyedfokú polinom gyökereit.

A szimbolikus számítások akkor hatékonyak, ha a gyökök egészek vagy racionális számok:

.

Ebben a példában a szimbolikus számításokat a Szimbolikus panel segítségével végezzük. Van egy megoldás a polyroots függvény használatával is. Ez utóbbi eredmények kevésbé látványosak, bár számításilag nem rosszabbak, mivel egy értelmes mérnök a második gyökért egy számra kerekíti - én.

A gyökök szimbolikus megtalálása polinomoktól eltérő függvényeket tartalmazó egyenletekhez is használható:

.Legyen óvatos a szimbolikus számítások során. Tehát a következő függvény nulláinak megtalálásakor az MC14 csak egy értéket ad: , bár az intervallumon
ennek a függvénynek 6 nullája van:
. A rendszer egy korábbi verziójában (MC2000) minden nullát jeleztek.

A teljes válaszhoz olyan számot kell hozzáadnia, amely többszöröse
.

Oldjunk meg egy nehezebb problémát. Funkció y(x) az egyenlet implicit módon megadja
. Ezt a függvényt ábrázolni kell y(x) a szegmensen.

A probléma megoldásához természetes a gyökérfüggvény használata. Ehhez azonban meg kell adni azt a szegmenst, amelyen a kívánt gyökér található. Ehhez megkeressük az értéket y grafikusan több értékkel x. (A grafikonok az alábbiakban külön ábrákként jelennek meg, nem pedig a MATHCAD képernyőn.

Építünk egy gráfot (21. ábra). Ez azt mutatja, hogy az "ésszerű" értékeket y feküdjön az intervallumban [– 5; 5]. Készítsünk grafikont ebben a tartományban. A meglévő rajz sablonjain módosíthatók. Az eredmény az ábrán látható. 22. Látjuk, hogy a gyök a szakaszon fekszik. Vegyük a következő értéket x. Papíron ezek új bejegyzések, de a képernyőn elég a hol blokkban változtatásokat végrehajtani xérték van hozzárendelve. Nál nél
kapjuk a 23. ábrát. Szerinte a gyökér a szegmensen rejlik. Nál nél
ábrát kapjuk. 24. A gyökér a szakaszon fekszik. Ennek eredményeként azt várhatjuk, hogy a gyökér bármely x a vonalon fekszik

Mutassunk be egy felhasználói függvényt, és készítsük el ennek a függvénynek a grafikonját, változók figyelembevételével z, és a függőleges tengely mentén lévő sablonok üresen hagyhatók, a rendszer méretezi magát. A grafikont a 25. ábra mutatja. Ezen a grafikonon nyomon követheti a függvényértékeket az X-Y Trace panel segítségével, a fent leírtak szerint.