증거가 있는 Raabe 제한 기호. 증가된 복잡성의 숫자 시리즈입니다. 부호 양수 급수의 수렴을 위한 필요충분조건
|
극한 형태의 공식화
논평.만약 표현식을 구문 분석할 수 없습니다(실행 파일 texvc찾을 수 없음; 설정 도움말은 수학/README를 참조하십시오.): R=1, 그러면 Raabe 기준은 급수의 수렴에 대한 질문에 답하지 않습니다.
증거
증명은 일반화된 고조파 계열과 비교할 때 일반화된 비교 기준의 사용을 기반으로 합니다.
또한보십시오
- d'Alembert 수렴 검정은 인접 항의 비율을 기반으로 하는 유사한 검정입니다.
기사 "라베의 표시"에 대한 리뷰 쓰기
문학
- Arkhipov, G.I., Sadovnichiy, V.A., Chubarikov, V.N.수학적 분석에 대한 강의: 대학과 ped의 교과서. 대학 / Ed. V. A. Sadovnichy. - M .: 고등 학교, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
- - 수학 백과사전의 기사
연결
- 와이스타인, 에릭 W.(영어) Wolfram MathWorld 웹사이트.
| |||
6. 라베의 표시
정리 6. 제한이 있는 경우:
그런 다음: 1) 계열의 경우 (A) 수렴, 2) 계열의 경우 발산합니다.
증거. 보조 주장이 증명됩니다.
진술 1. (12)
증거. 표현식은 다음과 같이 고려됩니다.
우리는 방정식의 양변에 로그를 취했습니다.
한계로 돌아갔다:
등식 (11)에서 숫자 시퀀스의 극한 정의에 따라 임의의 작은 항목에 대해 부등식에 대해 다음과 같이 존재합니다.
1) 그럼 하자. 그런 다음 숫자에서 시작하여 부등식 (13)에서 다음 부등식이 참임을 나타냅니다.
아무 숫자나 가져가세요. (12)에 따르면, 충분히 크면 다음이 참일 것입니다.
여기에서 (14)에 따르면 다음과 같습니다.
오른쪽 - Dirichlet 시리즈의 두 연속 구성원의 비율 정리 4를 적용하면 급수 (A)의 수렴이 명확해집니다.
2) 문단 (1)과 유사하게 (13)에서 다음 부등식이 다음과 같다.
여기에서 우리는 즉시 다음을 발견했습니다.
정리 4를 급수(A)와 디리클레 급수에 적용하면 급수(A)의 발산이 명확해집니다.
비고 5. Raabe의 검정은 d'Alembert의 검정보다 훨씬 강력합니다.
비고 6. Raabe의 기준은 제기된 질문에 대한 답을 제공하지 않습니다.
11) d'Alembert와 Raabe의 기호를 사용하여 시리즈를 탐색합니다.
d'Alembert의 검정은 이 급수의 수렴 문제에 대한 답을 제공하지 않습니다. 시리즈는 Raabe 테스트를 사용하여 조사됩니다.
이로 인해 유형 불확실성이 발생하여 1차 L'Hospital-Bernoulli 규칙을 적용했습니다.
Rad는 에서 발산하고 에서 수렴하며 에서 Raabe 기호는 수렴 문제에 답하지 않습니다.
12) Raabe 기호를 사용하여 시리즈 탐색:
유형불확도가 밝혀졌지만 1차 L'Hospital-Bernoulli 규칙을 적용하기 전에 식의 미분을 찾았습니다. 이를 위해 대수화하고 대수의 미분을 구합니다.
이제 표현식의 파생물을 찾을 수 있습니다.
한계로 돌아갑니다. 1차 L'Hospital-Bernoulli 규칙이 적용됩니다.
표현이 고려됩니다. 1st L'Hospital-Bernoulli 법칙을 적용한 후:
이것으로부터 다음이 따른다.
이 평등을 식에 대입합니다.
여기에서 Raabe 테스트에 따르면 주어진 급수는 에서 발산하고 에서 수렴하며 Raabe 테스트가 급수의 수렴 질문에 답하지 않을 때 따릅니다.
Dodatkovі 마음 zbіzhnostі 번호 행
Kummer의 징후를 고조파 행 (3.1)의 rozbіzhny 행으로 사용하십시오. 나는 그것을 도울 수 없습니다. 부의 표시의 Otrimana는 그러한 순위에서 공식화 될 수 있습니다. 정리(Raabe의 약어 기호). 숫자, zbіgaєtsya, 마치 그런 일이있는 것처럼 ...
교대 시리즈
정리(라이프니츠 테스트). 교대 급수는 다음과 같은 경우 수렴합니다. 급수 항의 절대 값 시퀀스가 단조롭게 감소합니다. ; 급수의 공통 항은 0에 가까운 경향이 있습니다. 또한 급수의 합 S는 부등식을 만족합니다. 비고...
정리 1(달랑베르 테스트). all > 0인 경우 계열을 지정합니다. 제한이 있는 경우 0에서<1 ряд сходится, а при >1행이 수렴합니다.
교대 및 교대 시리즈
정리 2(코시 테스트). 시리즈가 주어집니다. (1) 유한한 극한이 있는 경우 1) 의 경우 급수가 수렴하고 2) 의 경우 급수가 발산합니다.
교대 및 교대 시리즈
정리 3(수렴에 대한 적분 기준). 함수 f(x)를 정의하고 연속적이고 양수이며 광선에서 증가하지 않도록 합니다. 그런 다음 : 1) 숫자 시리즈가 수렴 ...
교대 및 교대 시리즈
정의. 숫자 시리즈 a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + … , 여기서 모든 숫자 an이 양수인 경우를 교대라고 합니다. 예시. 계열은 부호가 번갈아 표시되지만 계열은 부호가 번갈아 표시되지 않습니다...
거듭제곱 급수를 사용한 미분 방정식의 적분
수학적 응용에서 뿐만 아니라 경제학, 통계 및 기타 영역의 일부 문제를 풀 때, 항이 무한한 합이 고려됩니다. 여기서 우리는 그러한 금액이 의미하는 바를 정의할 것입니다...
1.D.P.: AC를 AM1=OC로, BD를 DN1=OB로 확장합니다. 2. 피타고라스 정리에 의해?M1ON1: M1N1=10. 3. M1KN1D를 그립니다. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1(기준: BO=KM1, OC=AM1, 구성에 따라 BOC=KM1A=90, BN1 KM1에 십자형으로 놓음, M1C - 시컨트) AK=BC. 5. M1KDN1 - 평행사변형, DK=M1N1=10; MN=DK/2= (AD+BC)/2=5...
다양한 방법평면 문제 해결
1.D.P.: AC를 AM1=OC로, BD를 DN=OB로 확장합니다. 2. ?OMN, NOM=90°를 고려한 다음 ?MON MN=10에서 피타고라스 정리에 의해. 3. 일어서자: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC 및 ?DFN=?BOK(특성 II의 경우) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. 답: MN=5...
하나의 경계 값 문제의 해결 가능성
비선형 경계 값 문제를 고려하십시오. (1) (2) 표현이 있습니다. (3) 연산자는 선형 경계 대칭입니다. 간격에 스펙트럼이 있습니다. - 양수입니다. 즉, 불평등이 성립하는 경우...
양수 급수가 주어졌다고 하자: , 어디서. (A) 정리 5. 극한이 있는 경우: , (5) 다음: 1) 급수에 대해 (A) 수렴, 2) 급수에 대해 발산합니다. 증거. 등식(5)에서, 수열의 극한 정의에 기초하여, 그것은 다음과 같습니다 ...
포지티브 시리즈의 수렴
정리 6. 극한이 있는 경우: (18) then: 1) 급수(A)가 수렴할 때, 2) - 발산할 때. 증거. Kummer의 계획을 사용하여 증명되었습니다. 허락하다. 우리는 시리즈를 고려합니다 발산하는 시리즈와 비교합시다 ...
Lyapunov에 따른 안정성
허락하다 --- 해결책일부 구간에서 정의된 연립방정식, 그리고 일부 구간에서 정의된 동일한 연립방정식의 해. 솔루션은 다음과 같은 경우 솔루션의 확장이라고 합니다.
달랑베르 테스트와 코시 테스트에서 결과가 나오지 않는 경우, 이 시리즈보다 "느리게" 수렴하거나 발산하는 다른 시리즈와의 비교를 기반으로 부호를 사용하여 긍정적인 답변을 제공할 수 있습니다. 기하학적 진행.
증거 없이 급수의 수렴을 위한 4가지 더 복잡한 기준의 공식화를 제시하겠습니다. 이 기준의 증명은 또한 연구 중인 계열의 정리 1-3(정리 2.2 및 2.3)을 수렴 또는 발산이 이미 설정된 일부 계열과 비교하는 데 기반합니다. 이러한 증명은 예를 들어 G. M. Fikhtengol's의 기본 교과서(Vol. 2)에서 찾을 수 있습니다.
정리 2.6. 라베의 표시. 어떤 숫자 M에서 시작하는 양수 계열의 구성원의 경우 부등식
(Rn £ 1), "n ³ M, (2.10)
그런 다음 시리즈는 수렴(발산)합니다.
제한 형식의 Raabe 기호. 위 급수의 항이 조건을 만족한다면
비고 6. d'Alembert 테스트와 Raabe 테스트를 비교하면 두 번째 테스트가 첫 번째 테스트보다 훨씬 강력하다는 것을 알 수 있습니다.
시리즈에 제한이 있는 경우
Raabe 시퀀스에는 한계가 있습니다.
따라서 d'Alembert 테스트가 급수의 수렴 또는 발산에 대한 질문에 대한 답을 제공하면 Raabe 테스트도 답을 제공하며 이러한 경우는 가능한 R 값 중 두 가지에만 적용됩니다. 및 -¥. 유한 R¹ 1의 다른 모든 경우는 Raabe 테스트가 급수의 수렴 또는 발산에 대한 질문에 긍정적인 답변을 제공할 때 D = 1의 경우, 즉 d' Alembert 테스트가 제공하지 않는 경우에 해당합니다. 시리즈의 수렴 또는 발산에 대한 질문에 대한 긍정적인 대답.
정리 2.7. Kummer 기호입니다. (сn)을 임의의 양수 시퀀스라고 하자. 어떤 숫자 M에서 시작하는 양수 계열의 구성원의 경우 부등식
(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)
그런 다음 시리즈가 수렴합니다. 
.
제한 형식의 Kummer 테스트. 위 시리즈에 제한이 있는 경우
그런 다음 시리즈가 수렴합니다. .
Kummer의 검정에서 결과적으로 d'Alembert, Raabe 및 Bertrand의 검정에 대한 증거를 쉽게 얻을 수 있습니다. 후자는 시퀀스(сn)로 취하면 얻어집니다.
cn=nln n, "n n n,
시리즈
발산(이 시리즈의 발산은 이 섹션의 예에서 보여질 것입니다).
정리 2.8. 제한 형식의 Bertrand 기준. 양수 계열의 구성원인 경우 Bertrand 수열
(2.12)
(Rn은 Raabe 시퀀스)
그런 다음 시리즈는 수렴(발산)합니다.
아래에서는 d'Alembert, Raabe, Bertrand의 오름차순으로 배열된 계열의 수렴 기준의 적용 범위 시퀀스에서 가장 강력한 Gauss 검정을 공식화합니다. 가우스 검정은 이전 검정의 모든 검정력을 일반화하고 훨씬 더 복잡한 급수를 연구할 수 있게 해주지만, 다른 한편, 이 검정을 적용하려면 급수 인접 항의 비율의 점근적 확장을 얻기 위해 더 미묘한 연구가 필요합니다 에 대해 2차 작습니다.
정리 2.9. 가우스 기호입니다. 양수 계열의 구성원인 경우 일부 숫자 M에서 시작하여 같음
, "n ³ M, (2.13)
여기서 l과 p는 상수이고 tn은 제한된 값입니다.
a) l > 1 또는 l = 1 및 p > 1인 경우 급수는 수렴합니다.
b) 내가< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.
2.5. Cauchy-Maclaurin 적분 검정,
Cauchy의 "망원경"기호와 Ermakov의 표시
위에서 고려한 계열의 수렴에 대한 기준은 비교 정리를 기반으로 하며 충분합니다. 즉, 주어진 계열에 대한 기능의 조건이 충족되면 해당 동작에 대한 특정 설명이 만들어질 수 있지만 기능의 조건이 다음과 같은 경우 그것에 대해 충족되지 않으면 시리즈의 수렴에 대해 아무 것도 주장할 수 없으며 수렴 및 발산할 수 있습니다.
Cauchy-Maclaurin 적분 검정은 무한 합(급수)과 무한(부적절) 적분의 비교에 기초하여 내용, 필요 충분, 형식 면에서 위에서 연구한 것과 다르며, 급수 이론과 적분 이론. 이 상호 관계는 비교 기준의 예에서도 쉽게 추적할 수 있습니다. 비교 기준의 유사성은 부적절한 적분에 대해 발생하고 공식은 거의 그대로 시리즈에 대한 공식과 일치합니다. 다음 절에서 공부할 임의의 수열의 수렴에 대한 충분한 기준과 Abel과 Dirichlet의 수렴에 대한 기준과 같은 부적절한 적분의 수렴에 대한 기준의 공식화에서도 완전한 유비가 관찰됩니다.
아래에서 러시아 수학자 V.P.가 얻은 "망원경"Cauchy 기준과 급수 수렴에 대한 원래 기준도 제공합니다. 에르마코프; 에르마코프의 검정력 검정은 Cauchy-Maclaurin 적분 검정과 거의 동일한 범위를 갖지만 공식에 적분 미적분의 용어와 개념을 포함하지 않습니다.
정리 2.10. Cauchy-Maclaurin 기호. 어떤 숫자 M에서 시작하여 양수 계열의 구성원에 대해 같음
여기서 함수 f(x)는 음수가 아니고 반선(x ³ M)에서 증가하지 않습니다. 부적절한 적분이 수렴하는 경우에만 수열이 수렴됩니다.
즉, 극한이 있으면 급수가 수렴한다.
, (2.15)
극한이 I = +¥이면 급수가 발산합니다.
증거. 비고 3(§ 1 참조) 덕분에 일반성을 잃지 않고 M = 1이라고 가정할 수 있습니다. M + 1), 우리는 시리즈를 고려하기 시작합니다.
, 
,
따라서 적분을 고려합니다.
또한 반선(x ³ 1) 함수 f(x)에서 음이 아니고 증가하지 않는 함수는 모든 유한 구간에서 리만 적분 가능성의 조건을 충족하므로 해당하는 부적절한 적분에 대한 고려가 의미가 있습니다. .
증명으로 넘어갑시다. 단위 길이가 m £ x £ m + 1인 모든 세그먼트에서 f(x)는 증가하지 않으므로 부등식은
세그먼트에 대해 적분하고 한정 적분의 해당 속성을 사용하여 부등식을 얻습니다.
, . (2.16)
이러한 부등식 항을 m = 1에서 m = n까지 합하면 다음을 얻습니다.
f(x)는 음이 아닌 함수이므로 적분은
는 인수 A의 비감소 연속 함수입니다. 그런 다음
, .
여기와 부등식(15)에서 다음이 따릅니다.
1) 만약 내가< +¥
(т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая
последовательность частичных сумм 
유계, 즉 급수가 수렴합니다.
2) I = +¥인 경우(즉, 부적절한 적분이 발산),
그러면 부분합의 비감소 시퀀스도 무한합니다. 즉, 급수가 발산합니다.
다른 한편, 를 나타내는 부등식 (16)에서 우리는 다음을 얻습니다.
1) S인 경우< +¥
(т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³
1 существует номер n такой, что n + 1 ³
А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £
S, а следовательно, 
, 즉, 적분은 수렴합니다.
2) S = +¥이면(즉, 급수가 발산), 충분히 큰 A에 대해 I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), 즉 적분은 발산합니다. Q.E.D.
증거 없는 수렴에 대한 두 가지 흥미로운 기준을 더 제시하겠습니다.
정리 2.11. Cauchy의 "망원경"기호. 항이 단조 감소하는 양의 숫자 계열은 계열이 수렴하는 경우에만 수렴합니다.
정리 2.12. 에르마코프 징후. 어떤 숫자 M0에서 시작하여
an = ¦(n), "n ³ М0,
여기서 함수 ¦(x)는 부분적으로 연속적이고 양수이며 x ³ M0만큼 단조 감소합니다.
그런 다음 모든 x ³ M에 대해 부등식과 같은 숫자 M ³ M0이 존재하는 경우
,
그런 다음 시리즈는 수렴(발산)합니다.
2.6. 수렴기준 적용 사례
정리 2를 사용하면 다음 급수의 수렴을 쉽게 조사할 수 있습니다.
(a > 0, b ³ 0; "a, b α R).
£ 1이면 수렴에 필요한 기준(속성 2)을 위반합니다(§ 1 참조).
,
따라서 계열이 분기됩니다.
a > 1이면 сn은 추정치를 만족하며, 이로부터 일련의 기하학적 진행의 수렴으로 인해 고려된 계열의 수렴이 뒤따릅니다.
비교 테스트 1(정리 2.2)에 의해 수렴합니다.
,
시리즈는 일련의 기하학적 진행으로 수렴됩니다.
비교 기준 2(정리 2.2의 추론 1)에 따라 여러 계열의 발산을 보여 드리겠습니다. 열
때문에 발산
.
때문에 발산
.
때문에 발산
.
(p > 0)
때문에 발산
.
달랑베르 테스트(정리 2.4)에 의해 수렴됩니다. 진짜
.
달랑베르 검정에 따라 수렴합니다. 진짜
.
.
Cauchy 테스트에서 수렴합니다(정리 2.5). 진짜
.
Raabe 기준을 적용한 예를 들어보겠습니다. 시리즈를 고려하십시오
,
여기서 표기법(k)!! k가 짝수(홀수)인 경우 2에서 k(1에서 k)까지의 모든 짝수(홀수) 숫자의 곱을 의미합니다. 달랑베르 테스트를 사용하여 다음을 얻습니다.
따라서 d'Alembert 검정은 급수의 수렴에 대해 명확한 진술을 허용하지 않습니다. Raabe 기호를 적용합니다.
따라서 시리즈는 수렴합니다.
Cauchy-Maclaurin 적분 검정의 적용 예를 들어 보겠습니다.
일반화 고조파 시리즈
부적절한 적분과 동시에 수렴 또는 발산
내가< +¥ при p >1(적분 수렴) 및 p £ 1(발산)에 대해 I = +¥입니다. 따라서 원래 급수는 p > 1에 대해서도 수렴하고 p £ 1에 대해 발산합니다.
부적절한 적분과 동시에 발산
따라서 적분은 발산합니다.
|
|
§ 3. 부호 교대 숫자 시리즈
3.1. 시리즈의 절대 및 조건부 수렴
이 섹션에서는 임의의 부호를 가진 실수를 구성원으로 하는 급수의 속성을 연구합니다.
정의 1. 숫자 시리즈
급수가 수렴하면 절대 수렴이라고합니다.
정의 2. 수열(3.1)은 급수(3.1)가 수렴하고 급수(3.2)가 발산하는 경우 조건부 수렴 또는 절대 수렴이 아니라고 합니다.
정리 3.1. 급수가 절대적으로 수렴하면 수렴합니다.
증거. 코시 기준(정리 1.1)에 따라 급수(3.1)의 절대 수렴은 관계식의 충족과 동일합니다.
" e > 0, $ M > 0 " n > M, " p ³ 1 Þ
(3.3)
여러 숫자의 합에 대한 계수가 계수의 합을 초과하지 않는 것으로 알려져 있으므로("삼각형 부등식"), (3.3)에서 부등식이 뒤따릅니다((3.3)에서와 동일한 숫자에 대해 유효, 숫자 e , 엠, n, p)
마지막 부등식의 충족은 급수(3.1)에 대한 코시 기준의 조건이 충족됨을 의미하므로 이 급수는 수렴됩니다.
결론 1. 급수(3.1)가 절대적으로 수렴하도록 하십시오. 급수(3.1)의 양의 항에서 구성하여 순서대로 번호를 다시 매기고(인덱스를 증가시키는 과정에서 발생하는 대로) 양의 숫자 급수
, (영국 = ). (3.4)
유사하게, 시리즈(3.1)의 부정적인 항의 모듈에서 순서대로 번호를 다시 매기면 다음과 같은 양의 숫자 시리즈를 구성합니다.
, (vm = ). (3.5)
그런 다음 급수 (3.3)과 (3.4)가 수렴합니다.
시리즈 (3.1), (3.3), (3.4)의 합을 각각 문자 A, U, V로 표시하면 공식
A = U - V. (3.6)
증거. 급수(3.2)의 합을 A*로 표시합시다. 정리 2.1에 의해 급수(3.2)의 모든 부분합은 A* 수로 제한되며 급수(3.4)와 (3.5)의 부분합은 부분합의 일부 항을 합산하여 얻어지기 때문에 급수의 합(3.2)을 보면 A*에 의해 더 제한된다는 것이 분명합니다. 그런 다음 적절한 표기법을 도입하여 부등식을 얻습니다.
;
여기서 정리 2.1에 의해 급수 (3.4)와 (3.5)가 수렴합니다.
(3.7)
숫자 k와 m은 n에 의존하기 때문에 n ® ¥, k ® ¥ 및 m ® ¥이 동시에 있음이 분명합니다. 그런 다음, 등식(3.7)을 극한(모든 극한은 정리 3.1으로 인해 존재하며 위에서 증명된 바와 같이 존재함)에 전달하면 다음을 얻습니다.
즉, 평등(3.6)이 증명됩니다.
결론 2. 급수(3.1)를 조건부로 수렴시키십시오. 그런 다음 급수 (3.4)와 (3.5)는 발산하고 조건부 수렴 급수에 대한 공식 (3.6)은 참이 아닙니다.
증거. 급수(3.1)의 n번째 부분합을 고려하면 이전 증명에서와 같이 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(3.8)
반면에 급수(3.2)의 n번째 부분합에 대해 식을 유사하게 쓸 수 있습니다.
(3.9)
반대를 가정합니다. 즉, 급수 (3.3) 또는 (3.4) 중 적어도 하나가 수렴하도록 합니다. 그런 다음 급수 (3.1)의 수렴을 고려하여 공식 (3.8)에서 급수 (각각 (3.5) 또는 (3.4))의 두 번째 급수는 두 수렴 급수의 차이로 수렴합니다. 그런 다음 공식 (3.9)은 급수 (3.2)의 수렴, 즉 조건부 수렴에 대한 정리의 조건과 모순되는 급수 (3.1)의 절대 수렴을 의미합니다.
따라서 (3.8)과 (3.9)에서
Q.E.D.
비고 1. 계열의 연관 속성. 무한 급수의 합은 극한까지의 경로를 포함한다는 점에서 유한 요소 수의 합과 본질적으로 다릅니다. 따라서 유한합의 일반적인 속성은 급수에 대해 종종 위반되거나 특정 조건에서만 보존됩니다.
따라서 유한 합계의 경우 조합(연관) 법칙이 발생합니다. 즉, 합계의 요소가 임의의 순서로 그룹화되면 합계가 변경되지 않습니다.
숫자 시리즈(3.1) 항의 임의의 그룹화(순열 없음)를 고려하십시오. 숫자의 증가하는 순서를 나타냅니다.
그리고 표기법을 소개합니다
그러면 위의 방법으로 얻은 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
다음 정리는 증명 없이 급수의 조합 속성과 관련된 몇 가지 중요한 설명을 수집합니다.
정리 3.2.
1. 급수(3.1)가 수렴하여 합이 A이면(조건부 수렴이면 충분) 형식(3.10)의 임의 급수는 수렴하여 합 A가 같다. 즉, 수렴 급수는 조합 성질을 갖는다.
2. 형식(3.10)의 수렴이 급수(3.1)의 수렴을 의미하지는 않습니다.
3. 급수(3.10)가 특수 그룹화에 의해 얻어지고 각 괄호 안에 하나의 부호에 대한 항만 있는 경우 이 급수(3.10)의 수렴은 급수(3.1)의 수렴을 의미합니다.
4. 계열(3.1)이 양수이고 형식(3.10)의 일부 계열이 이에 대해 수렴하면 계열(3.1)이 수렴됩니다.
5. 급수(3.1)의 항의 시퀀스가 극소수(즉, an)이고 각 그룹의 항의 수인 급수(3.10)의 구성원은 하나의 상수 M(즉, nk –nk–1 £ M, "k = 1, 2,…), 급수(3.10)의 수렴은 급수(3.1)의 수렴을 의미합니다.
6. 급수(3.1)가 조건부로 수렴하는 경우 순열 없이 결과 급수(3.10)가 절대적으로 수렴하도록 급수의 항을 그룹화하는 것이 항상 가능합니다.
비고 2. 급수의 가환성. 유한 숫자 합에 대해 가환(가환) 법칙이 성립합니다. 즉, 합은 항의 순열로 변경되지 않습니다
여기서 (k1, k2, …, kn)은 자연수 집합(1, 2,…, n)의 임의 순열입니다.
유사한 속성이 절대 수렴 급수에 대해 성립하고 조건부 수렴 급수에 대해서는 성립하지 않는다는 것이 밝혀졌습니다.
자연수 집합의 일대일 매핑이 있다고 가정합니다. N ® N, 즉 각 자연수 k는 고유한 자연수 nk에 해당하고 집합은 전체 자연수 시리즈를 간격 없이 재생산합니다. 위의 매핑에 해당하는 임의의 순열을 사용하여 급수(3.1)에서 얻은 급수를 다음과 같이 표시합니다.
급수의 가환 속성을 적용하는 규칙은 아래의 정리 3.3과 3.4에 증명 없이 반영됩니다.
정리 3.3. 급수(3.1)가 절대적으로 수렴하면 급수(3.1)의 항을 임의의 순열로 얻은 급수(3.11)도 절대 수렴하며 원래 급수와 합이 같습니다.
정리 3.4. 리만의 정리. 급수(3.1)가 조건부로 수렴하면 이 급수의 항은 그 합이 미리 할당된 숫자 D(유한 또는 무한: ±¥)와 같거나 정의되지 않도록 재정렬될 수 있습니다.
정리 3.3과 3.4에 기초하여 급수의 조건부 수렴이 상호 소거의 결과라는 것을 쉽게 확립할 수 있습니다. n번째 성장양수 또는 음수 항을 합에 추가하여 부분합을 n ® ¥로 표시하므로 급수의 조건부 수렴은 본질적으로 급수의 항의 순서에 따라 달라집니다. 급수의 절대 수렴은 급수 항의 절대값이 급격히 감소한 결과입니다.
그리고 그들의 순서에 의존하지 않습니다.
3.2. 교대 행. 라이프니츠 기호
교대 계열 중에서 중요한 특정 계열의 계열이 눈에 띕니다.
정의 3. 양수의 시퀀스 bп > 0, "n н N. 그런 다음 일련의 형식
교대 행이라고 합니다. 일련의 형식(3.12)에 대해 다음 주장이 적용됩니다.
정리 5. 라이프니츠 테스트. 교대 급수 (3.8) 항의 절대 값으로 구성된 시퀀스가 단조롭게 0으로 감소하는 경우
bn > bn+1, "n н N; (3.13)
그런 다음 이러한 교대 급수(3.12)를 라이프니츠 급수라고 합니다. 라이프니츠 급수는 항상 수렴합니다. 라이프니츠 시리즈의 나머지 부분에 대해
견적이 있습니다
rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nнN. (3.14)
증거. 형식의 항이 짝수인 급수(3.12)의 임의의 부분합을 작성해 보겠습니다.
조건(3.13)에 따라 이 식의 오른쪽에 있는 각 괄호는 양수이므로 k가 커질수록 수열은 단조 증가한다. 반면에 B2k 시퀀스의 모든 구성원은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,
조건 (3.13)에 의해 마지막 평등의 각 괄호에 양수가 있기 때문에 부등식은 분명히 유지됩니다.
B2K< b1, "k ³ 1.
따라서 우리는 위의 수열에서 단조 증가하고 경계를 가지며 이러한 수열은 극한 이론의 잘 알려진 정리에 따라 유한 극한을 갖습니다
B2k–1 = B2k + b2k,
그리고 시리즈의 공통 항(정리의 가설에 따라)이 n ® ¥로 0이 되는 경향을 고려하면, 우리는 다음을 얻습니다.
따라서 급수(3.12)가 조건(3.13)에서 수렴하고 그 합이 B와 같다는 것을 증명했습니다.
추정치를 증명합시다(3.14). 단조 증가하는 짝수 차수 B2k의 부분 합은 급수의 합인 극한 B에 도달하는 경향이 있음이 위에서 보여졌습니다.
홀수 차수의 부분합 고려
B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).
이 식에서 (조건 (3.13)이 충족되기 때문에) 시퀀스가 감소하고 결과적으로 위에서 증명된 바에 따라 위에서부터 극한 B로 가는 경향이 있음이 분명합니다. 따라서 우리는 불평등을 증명했습니다.
0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)
이제 시리즈의 나머지 부분(3.12)을 고려하면
첫 번째 항이 bп+1인 새로운 교대 급수로 부등식(3.15)을 기반으로 이 급수에 대해 각각 짝수 및 홀수 인덱스에 대해 쓸 수 있습니다.
r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,
r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.
따라서 라이프니츠 급수의 나머지는 항상 첫 번째 항의 부호를 가지며 절대값보다 작다는 것을 증명했습니다. 즉, 추정치(3.14)가 만족됩니다. 정리가 증명되었습니다.
3.3. 임의의 숫자 시리즈의 수렴 징후
이 하위 섹션에서는 증거 없이 임의의 실수(모든 부호)인 항이 있는 수치 급수에 대한 충분한 수렴 기준을 제시합니다. 또한 이러한 기준은 복잡한 항이 있는 급수에도 적합합니다.
2) 시퀀스는 제한된 변동으로 0으로 수렴하는 시퀀스입니다(bп ® 0 as n ® ¥).
그런 다음 급수(3.16)가 수렴합니다.
정리 3.9. 디리클레 기호. 수열(3.16)의 항이 다음 조건을 충족하도록 하십시오.
계열의 부분합 시퀀스는 제한됩니다(부등식(3.17)).
2) 시퀀스는 0으로 수렴하는 단조 시퀀스입니다(bп ® 0 as n ®¥).
그런 다음 급수(3.16)가 수렴합니다.
정리 3.10. 아벨의 두 번째 일반화 기호. 수열(3.16)의 항이 다음 조건을 충족하도록 하십시오.
1) 급수가 수렴한다.
2) 시퀀스는 변경이 제한된 임의 시퀀스입니다.
그런 다음 급수(3.16)가 수렴합니다.
정리 3.11. 아벨 기호입니다. 수열(3.16)의 항이 다음 조건을 충족하도록 하십시오.
1) 급수가 수렴한다.
2) 시퀀스는 모노톤 경계 시퀀스입니다.
그런 다음 급수(3.16)가 수렴합니다.
정리 3.12. 코시의 정리. 급수와 수렴이 절대적으로 이루어지고 그 합이 각각 A와 B와 같으면 aibj 형식의 모든 곱으로 구성된 급수(i = 1,2,…, ¥, j = 1,2,…,¥) , 임의의 순서로 번호가 매겨진 , 도 절대적으로 수렴하고 그 합은 AB와 같습니다.
3.4. 예
먼저 급수의 절대 수렴에 대한 몇 가지 예를 살펴보겠습니다. 아래에서는 변수 x가 임의의 실수일 수 있다고 가정합니다.
2) |x|에서 발산 > e는 d'Alembert와 동일한 기준으로;
3) |x|에 대해 발산 = e 무제한 형태의 달랑베르 테스트에 의해
분모의 지수 시퀀스가 한계에 도달하여 단조롭게 증가한다는 사실 때문에,
(¹ 0은 실수)
1) |x/a|에 대해 절대적으로 수렴합니다.< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в 이 경우우리는 분모 q = x/a 또는 급진적 코시 테스트(정리 2.5)에 의해 감소하는 기하학적 진행의 구성원으로 구성된 시리즈를 가지고 있습니다.
2) |x/a|에서 발산 ³ 1, 즉, |x| ³ |a|, 이 경우 수렴에 필요한 기준을 위반하기 때문에(속성 2(§1 참조))
표준 방법이지만 다른 예에서는 막다른 골목에 도달했습니다.
어려움은 무엇이며 어디에 걸림돌이 있을 수 있습니까? 비눗물은 잠시 접어두고 차분하게 원인을 분석하고 실질적인 해결 방법을 알아봅시다.
첫 번째이자 가장 중요한: 대부분의 경우 계열의 수렴을 연구하려면 익숙한 방법을 적용해야 하지만 계열의 일반적인 용어는 복잡한 내용으로 가득 차 있어 무엇을 해야할지 전혀 명확하지 않습니다. . 그리고 당신은 원을 그리며 돌아갑니다. 첫 번째 표시가 작동하지 않고 두 번째가 작동하지 않으며 세 번째, 네 번째, 다섯 번째 방법이 작동하지 않으면 초안을 버리고 모든 것이 새로 시작됩니다. 이것은 일반적으로 미적분학의 다른 부분에서 경험이 부족하거나 공백이 있기 때문입니다. 특히, 실행 중인 경우 시퀀스 제한그리고 표면적으로 분해 기능 제한, 그러면 어려울 것입니다.
즉, 지식이나 경험이 부족하여 필요한 솔루션을 보지 못하는 것입니다.
예를 들어 시리즈의 수렴에 필요한 기준이 단순히 충족되지 않았지만 무지, 부주의 또는 과실로 인해 이것이 보이지 않는 경우 "일식"도 비난받을 수 있습니다. 그리고 그것은 수학 교수가 야생 순환 수열과 숫자 시리즈의 도움으로 어린이 문제를 해결한 자전거에서와 같이 밝혀졌습니다 =)
최고의 전통에서 즉시 살아있는 예: 행 
그리고 그들의 친척 - 이론상 증명되기 때문에 갈라진다. 시퀀스 제한. 아마도 첫 학기에는 1-2-3 페이지의 증명을 위해 당신의 영혼을 때릴 것입니다. 그러나 지금은 시리즈의 수렴에 필요한 조건이 충족되지 않는다는 것을 보여주기에 충분합니다. 알려진 사실에. 유명한? 학생이 n차의 근이 매우 강력한 것임을 모른다면, 말하자면, 
그를 틀에 박아 넣습니다. 솔루션은 2와 2와 같지만, 즉 명백한 이유로 두 시리즈는 발산합니다. "이러한 한계는 이론상으로 입증되었습니다."(또는 아예 없는 경우에도) 겸손한 의견은 상쇄에 충분합니다. 결국 계산은 상당히 무거우며 숫자 시리즈 섹션에 속하지 않습니다.
그리고 다음 예제를 공부한 후에는 많은 솔루션의 간결함과 투명성에 놀랄 것입니다.
실시예 1
급수의 수렴을 조사하다
해결책: 우선 실행을 확인한다. 수렴에 필요한 기준. 이것은 형식이 아니지만 "작은 유혈 사태"의 예를 다룰 수있는 좋은 기회입니다.
"장면 조사"는 발산 급수(일반화된 고조파 급수의 경우)를 제안하지만, 다시 질문이 생깁니다. 분자의 로그를 고려하는 방법은 무엇입니까?
수업이 끝날 때 작업의 대략적인 예.
양방향(또는 3방향) 추론을 수행해야 하는 경우는 드문 일이 아닙니다.
실시예 6
급수의 수렴을 조사하다 
해결책: 먼저 분자의 횡설수설을 주의 깊게 다루십시오. 순서가 제한됩니다: . 그 다음에: 
시리즈와 시리즈를 비교해 보겠습니다. 방금 얻은 이중 부등식 덕분에 모든 "en"에 대해 다음과 같이 사실이 됩니다. 
이제 시리즈를 발산 고조파 시리즈와 비교하겠습니다.
분수 분모 더 적은분수의 분모, 그래서 분수 자체 – 더분수(명확하지 않은 경우 처음 몇 개의 용어를 기록). 따라서 모든 "en"에 대해: 
따라서 비교하여 시리즈 
발산하모닉 시리즈와 함께.
분모를 조금 바꾸면: 
, 추론의 첫 번째 부분은 비슷할 것입니다. 
. 그러나 급수의 발산을 증명하기 위해 부등식이 거짓이므로 비교 극한 검정만 이미 적용할 수 있습니다.
수렴 계열의 상황은 "거울"입니다. 예를 들어 계열에 대해 두 비교 기준을 모두 사용할 수 있고(부등식이 참) 계열에 대해 제한 기준만 사용할 수 있습니다(부등식이 거짓임).
우리는 우아하고 즙이 많은 영양 무리가 수평선에 어렴풋이 어렴풋이 나타난 야생을 통해 사파리를 계속합니다.
실시예 7
급수의 수렴을 조사하다
해결책: 필요한 수렴 기준이 충족되고 우리는 다시 고전적인 질문을 던집니다. 무엇을 해야 할까요? 그러나 우리 앞에는 수렴 급수와 유사한 것이 있지만 여기에는 명확한 규칙이 없습니다. 그러한 연관성은 종종 기만적입니다.
종종 있지만 이번에는 아닙니다. 사용하여 한계 비교 기준우리의 시리즈를 수렴 시리즈와 비교합시다. 한도를 계산할 때 다음을 사용합니다. 멋진 한계 
, 반면 극소스탠드: 
수렴와 함께 옆에 .
"3"으로 곱셈과 나눗셈의 표준 인공적인 방법을 사용하는 대신 처음에는 수렴 급수와 비교할 수 있었습니다.
그러나 여기서 주의할 점은 일반항의 상수 승수가 급수의 수렴에 영향을 미치지 않는다는 점입니다. 그리고 바로 이 스타일로 다음 예제의 솔루션이 설계되었습니다.
실시예 8
급수의 수렴을 조사하다
수업이 끝날 때 샘플.
실시예 9
급수의 수렴을 조사하다
해결책: 이전 예에서 사인의 경계를 사용했지만 이제 이 속성은 쓸모가 없습니다. 더 높은 분수의 분모 성장의 순서분자보다, 그래서 사인 인수와 전체 공통 항 무한히 작은. 수렴을 위한 필요조건은 아시다시피 충족되어 일을 게을리 하지 않습니다.
우리는 정찰을 수행할 것입니다: 놀라운 동등성 
, 정신적으로 사인을 버리고 급수를 얻습니다. 뭐, 그런 것이…….
결정하기:
연구 중인 계열을 분기 계열과 비교하겠습니다. 한계 비교 기준을 사용합니다. 
무한소를 동등한 것으로 바꾸자: 
.
받았다 유한 수, 이는 0과 다르며, 이는 연구 중인 시리즈가 발산하모닉 시리즈와 함께.
실시예 10
급수의 수렴을 조사하다
이것은 직접 만든 예입니다.
이러한 예에서 추가 작업을 계획하려면 사인, 아크사인, 탄젠트, 아크탄젠트에 대한 정신적 거부가 많은 도움이 됩니다. 그러나 이 가능성은 다음과 같은 경우에만 존재한다는 것을 기억하십시오. 극소논쟁, 얼마 전에 나는 도발적인 시리즈를 발견했습니다.
실시예 11
급수의 수렴을 조사하다 
.
해결책: 여기서 아크탄젠트의 제한을 사용하는 것은 무의미하며 등가도 작동하지 않습니다. 출력은 놀라울 정도로 간단합니다. 
스터디 시리즈 발산, 급수의 수렴에 필요한 기준을 만족하지 못하기 때문이다.
두 번째 이유"개그 작업"은 공통 구성원의 적절한 정교함으로 구성되어 기술적인 성격의 어려움을 유발합니다. 대략적으로 말하자면, 위에서 논의한 시리즈가 "추측한 수치" 범주에 속한다면 이 시리즈는 "당신이 결정하는" 범주에 속합니다. 실제로 이것은 "일반적인" 의미에서 복잡성이라고 합니다. 모든 사람이 사바나의 여러 요인, 정도, 뿌리 및 기타 거주자를 올바르게 해결하지는 않습니다. 물론 계승은 대부분의 문제를 일으킵니다.
실시예 12
급수의 수렴을 조사하다
계승을 거듭제곱하는 방법은 무엇입니까? 용이하게. 힘을 사용하는 작업 규칙에 따라 제품의 각 요소를 거듭제곱으로 올릴 필요가 있습니다.
그리고 물론, 주의와 다시 한 번 주의, d'Alembert 기호 자체는 전통적으로 작동합니다. 
따라서 연구 중인 시리즈 수렴.
불확실성을 제거하기 위한 합리적인 기술을 상기시켜 드립니다. 불확실성이 분명할 때 성장의 순서분자와 분모 - 고통을 겪고 괄호를 열 필요가 전혀 없습니다.
실시예 13
급수의 수렴을 조사하다
야수는 매우 드물지만 발견되며 카메라 렌즈로 우회하는 것은 불공평합니다.
이중 느낌표 계승이란 무엇입니까? 팩토리얼은 양의 짝수의 곱을 "감기"합니다. 
유사하게, 계승은 양수의 곱을 "감아줍니다" 홀수:
의 차이점이 무엇인지 분석
실시예 14
급수의 수렴을 조사하다
그리고 이 과제에서 학위와 혼동하지 않도록 노력하고, 멋진 등가물그리고 멋진 한계.
강의 끝에 샘플 솔루션과 답변이 있습니다.
그러나 학생은 호랑이뿐만 아니라 교활한 표범도 먹이를 추적합니다.
실시예 15
급수의 수렴을 조사하다 
해결책: 수렴의 필요기준, 한계기준, 달랑베르, 코시기준이 거의 순식간에 사라진다. 그러나 무엇보다 우리를 반복적으로 구해 온 불평등한 모습이 무력하다. 실제로 발산 급수와 비교하는 것은 불가능합니다. 
올바르지 않음 - 승수-로그는 분모만 증가시키고 분수 자체를 줄입니다. 
분수와 관련하여. 그리고 또 다른 글로벌 질문: 왜 처음에 우리 시리즈가 
발산할 수밖에 없으며 일부 발산 계열과 비교되어야 합니까? 그는 전혀 어울리나요?
통합 기능? 부적절한 적분 
우울한 분위기를 자아냅니다. 이제 행이 있으면 
… 그럼 네. 중지! 아이디어는 이렇게 탄생합니다. 우리는 두 단계로 결정을 내립니다.
1) 먼저 급수의 수렴을 연구한다. 
. 우리는 사용 통합 기능:
적분 마디 없는에
따라서 숫자 
해당 부적절한 적분과 함께 발산합니다.
2) 우리 시리즈를 분기 시리즈와 비교 
. 한계 비교 기준을 사용합니다.
0이 아닌 유한한 숫자가 얻어지며, 이는 연구 중인 시리즈가 발산나란히 나란히 
.
그리고 그러한 결정에는 이상하거나 창의적인 것이 없습니다. 그렇게 결정해야합니다!
다음 두 가지 움직임을 독립적으로 작성할 것을 제안합니다.
실시예 16
급수의 수렴을 조사하다 
대부분의 경우 경험이 있는 학생은 계열이 수렴하거나 발산하는지 여부를 즉시 알 수 있지만 포식자가 덤불에서 교묘하게 위장합니다.
실시예 17
급수의 수렴을 조사하다 
해결책: 언뜻보기에는이 시리즈가 어떻게 작동하는지 명확하지 않습니다. 그리고 우리 앞에 안개가 있다면 시리즈의 수렴에 필요한 조건을 대략적으로 확인하는 것으로 시작하는 것이 논리적입니다. 불확실성을 제거하기 위해 우리는 unsinkable을 사용합니다. 인접 표현에 의한 곱셈과 나눗셈 방법:
필요한 수렴 신호는 작동하지 않았지만 Tambov 동지를 밝혀냈습니다. 변환을 수행한 결과 등가 급수를 얻었습니다. 
, 이는 수렴 급수와 매우 유사합니다.
우리는 깨끗한 솔루션을 작성합니다.
이 급수를 수렴 급수와 비교하십시오. 한계 비교 기준을 사용합니다.
인접 표현식으로 곱하고 나눕니다.
0이 아닌 유한한 숫자가 얻어지며, 이는 연구 중인 시리즈가 수렴와 함께 옆에 .
일부 사람들은 아프리카 사파리에서 늑대가 어디에서 왔는지 궁금해 할 것입니다. 모르겠어. 아마 가져왔을 겁니다. 다음 트로피 스킨을 얻을 수 있습니다.
실시예 18
급수의 수렴을 조사하다 
강의 끝 부분에 있는 예제 솔루션
그리고 마지막으로 많은 학생들을 절망에 빠뜨리는 또 하나의 생각: 계열의 수렴에 대해 더 희귀한 기준을 사용할지 여부 대신? Raabe의 표시, Abel의 표시, Gauss의 표시, Dirichlet 및 기타 미지의 동물의 표시. 아이디어는 효과가 있지만 실제 사례에서는 매우 드물게 구현됩니다. 개인적으로, 연습의 모든 년에서 나는 단지 2-3 번만 의지했습니다. 라베의 표시표준 무기고에서 아무 것도 실제로 도움이되지 않았을 때. 나는 나의 극단적인 탐구의 과정을 완전히 재현한다:
실시예 19
급수의 수렴을 조사하다
해결책: 두말할 것 없이 달랑베르의 흔적. 계산 과정에서 나는 도의 속성을 적극적으로 사용합니다. 두 번째 멋진 한계:
여기 하나가 있습니다. D' Alembert의 기호는 대답을 제공하지 않았지만 그러한 결과를 예고하는 것은 없었습니다.
매뉴얼을 살펴본 후 이론상으로 입증된 잘 알려지지 않은 한계를 발견하고 보다 강력한 급진적 코시 기준을 적용했습니다.
여기 두 가지가 있습니다. 그리고 가장 중요한 것은 시리즈가 수렴하는지 발산하는지가 전혀 명확하지 않다는 것입니다(저에게는 극히 드문 상황입니다). 비교의 필요 표시? 별 기대 없이 - 분자와 분모의 성장 순서를 상상도 할 수 없는 방법으로 알아내더라도 보상이 보장되지는 않습니다.
완전한 달랑베르지만 최악은 시리즈를 풀어야 한다는 점이다. 필요. 결국, 내가 포기하는 것은 이번이 처음이 될 것입니다. 그리고 나서 더 강력한 신호가 있는 것 같았다는 것을 기억했습니다. 내 앞에는 더 이상 늑대도, 표범도, 호랑이도 아니었다. 커다란 몸통을 흔드는 거대한 코끼리였다. 유탄 발사기를 집어들어야 했습니다.
라베의 표시
양수 계열을 고려하십시오.
한계가 있는 경우 
, 그 다음에:
가) 연속으로 발산. 또한 결과 값은 0 또는 음수일 수 있습니다.
b) 연속으로 수렴. 특히 시리즈는 에 수렴합니다.
다) 언제 Raabe의 기호는 대답을 제공하지 않습니다.
우리는 극한을 구성하고 분수를 조심스럽게 단순화합니다. 
네, 그 그림은, 조금 말하자면, 불쾌하지만, 나는 더 이상 놀라지 않았습니다. 위치 규칙, 그리고 나중에 밝혀진 것처럼 첫 번째 생각은 올바른 것으로 판명되었습니다. 하지만 먼저 1시간 정도 '평범한' 방법으로 한계를 비틀고 돌렸지만 불확실성은 해소되고 싶지 않았다. 경험에서 알 수 있듯이 원을 그리며 걷는 것은 잘못된 해결 방법을 선택했다는 전형적인 신호입니다.
나는 러시아 민속 지혜로 돌아가야했습니다. "아무것도 도움이되지 않으면 지침을 읽으십시오." 그리고 내가 Fichtenholtz의 2권을 펼쳤을 때 나는 큰 기쁨으로 동일한 시리즈에 대한 연구를 발견했습니다. 그리고 나서 솔루션은 모델에 따라 진행되었습니다.
이 기사는 급수의 합을 찾는 것부터 수렴을 조사하는 것에 이르기까지 수 급수의 주제에 대한 거의 모든 예를 해결하는 데 필요한 정보를 수집하고 구성했습니다.
기사 검토.
양의 부호, 교대 부호 급수의 정의와 수렴의 개념부터 시작하겠습니다. 다음으로, 고조파 급수, 일반화 고조파 급수와 같은 표준 급수를 고려하고, 무한히 감소하는 기하 진행의 합을 찾는 공식을 기억하십시오. 그런 다음 수렴 급수의 속성으로 돌아가 급수의 수렴을 위한 필요 조건에 대해 살펴보고 급수의 수렴을 위한 충분한 기준을 설명합니다. 자세한 설명과 함께 대표적인 예를 풀어서 이론을 희석시키겠습니다.
페이지 탐색.
기본 정의 및 개념.
숫자 시퀀스가 있다고 합시다. 여기서 
.
다음은 숫자 시퀀스의 예입니다. 
.
숫자 시리즈형식의 숫자 시퀀스 구성원의 합계입니다. 
.
숫자 시리즈의 예로서 분모 q = -0.5를 사용하여 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 제공할 수 있습니다. 
.
라고 숫자 시리즈의 공통 멤버또는 시리즈의 k번째 멤버.
앞의 예에서 숫자 계열의 공통 용어는 입니다.
숫자 계열의 부분합는 형식의 합입니다. 여기서 n은 자연수입니다. 수열의 n번째 부분합이라고도 합니다.
예를 들어, 계열의 네 번째 부분합 
있다 
.
부분합 
숫자 급수의 부분합의 무한 시퀀스를 형성합니다.
우리 시리즈의 경우, n번째 부분 합은 기하 진행의 처음 n개 항의 합에 대한 공식에 의해 발견됩니다. 
즉, 다음과 같은 부분합 시퀀스를 갖게 됩니다. 
.
번호 라인이라고합니다 수렴, 부분합 시퀀스의 유한한 한계가 있는 경우. 숫자 계열의 부분 합 시퀀스의 극한이 존재하지 않거나 무한이면 계열을 호출합니다. 다른.
수렴하는 급수의 합부분합 시퀀스의 극한이라고 합니다. 즉, 
.
따라서 이 예에서는 시리즈 수렴하고 그 합은 16/3과 같습니다. 
.
발산 급수의 예는 분모가 1보다 큰 기하학적 진행의 합입니다. 
. n번째 부분합은 다음과 같이 주어진다. 
, 부분합의 한계는 무한합니다. 
.
발산 수열의 또 다른 예는 형식의 합입니다. 이 경우 n번째 부분합은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 부분합의 한계는 무한하다 
.
합계 보기 
~라고 불리는 고조파 시리즈.
합계 보기 
, 여기서 s는 실수입니다. 일반화 고조파 시리즈.
위의 정의는 다음과 같이 매우 자주 사용되는 진술을 입증하기에 충분하므로 기억할 것을 권장합니다.
고조파 시리즈는 발산합니다.
고조파 급수의 발산을 증명합시다.
급수가 수렴한다고 가정해 봅시다. 그런 다음 부분합의 유한한 한계가 있습니다. 이 경우 우리는 and를 쓸 수 있으며, 이는 우리를 평등으로 이끕니다. 
.
반면에, 
다음 불평등은 의심의 여지가 없습니다. 이런 식으로, . 결과적인 불평등은 평등이 이는 고조파 급수의 수렴에 대한 우리의 가정과 모순됩니다.
결론: 고조파 계열이 발산합니다.
분모 q가 있는 유형의 기하학적 진행의 합은 IF이고 발산 급수는 입니다.
증명해 봅시다.
우리는 기하학적 진행의 처음 n개의 항의 합이 공식에 의해 발견된다는 것을 알고 있습니다. 
.
공정할 때 
이는 숫자 시리즈의 수렴을 나타냅니다.
q = 1의 경우 숫자 시리즈가 있습니다. 
. 그것의 부분합은 로 발견되며 부분합의 한계는 무한합니다 
, 이 경우 계열의 발산을 나타냅니다.
q \u003d -1이면 숫자 시리즈는 다음 형식을 취합니다. 
. 부분 합은 홀수 n 및 짝수 n 에 대한 값을 취합니다. 이것으로부터 우리는 부분합의 극한이 존재하지 않고 급수가 발산한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
공정할 때 
숫자 계열의 발산을 나타냅니다.
일반화 고조파 시리즈는 s > 1에 대해 수렴하고 다이버는 에 대해 수렴합니다.
증거.
s = 1에 대해 우리는 고조파 급수를 얻고 그 이상에서 발산을 설정했습니다.
~에 s 부등식은 모든 자연적 k에 대해 성립합니다. 고조파 급수의 발산으로 인해 부분합의 순서가 무한하다고 주장할 수 있습니다(유한한 한계가 없기 때문에). 그런 다음 숫자 시리즈의 부분 합 시퀀스는 훨씬 더 무제한이므로(이 시리즈의 각 요소는 조화 시리즈의 해당 요소보다 큽니다), 따라서 일반화된 조화 시리즈는 s에서 발산합니다.
s > 1 에 대한 급수의 수렴을 증명해야 합니다.
차이점을 적어 보겠습니다. 
분명히, 그러면 
n = 2, 4, 8, 16, … 
이러한 결과를 사용하여 원래 숫자 시리즈로 다음 작업을 수행할 수 있습니다. 
표현 
분모가 인 기하학적 진행의 합입니다. s > 1인 경우를 고려하고 있으므로 . 그렇기 때문에 
. 따라서 s > 1에 대한 일반화 고조파 계열의 부분 합 시퀀스가 증가하고 동시에 위에서부터 값으로 제한되므로 계열의 수렴을 나타내는 제한이 있습니다. 증명이 완료되었습니다.
번호 라인이라고합니다 부호 양성모든 항이 양수인 경우, 즉, 
.
번호 라인이라고합니다 교대로인접 용어의 부호가 다른 경우. 대체 숫자 시리즈는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 
또는 
, 어디 .
번호 라인이라고합니다 교대로무한한 수의 양수 및 음수 항을 모두 포함하는 경우.
교번 급수는 교대 급수의 특별한 경우입니다.
순위 
각각 부호 양수, 부호 교대 및 부호 교대입니다.
교대 급수에는 절대 및 조건 수렴의 개념이 있습니다.
절대 수렴, 해당 구성원의 일련의 절대 값이 수렴하는 경우, 즉 양의 부호 숫자 계열이 수렴됩니다.
예를 들어, 숫자 라인 
그리고 
시리즈가 수렴하므로 절대 수렴합니다. 
, 이는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합입니다.
교대 시리즈라고합니다. 조건부 수렴급수가 발산하고 급수가 수렴하는 경우.
조건부로 수렴하는 급수의 예는 급수입니다. 
. 숫자 시리즈 
, 원래 계열의 멤버들의 절대값으로 구성되어 있고, 조화롭기 때문에 발산합니다. 동시에 원래 시리즈는 수렴되어 를 사용하여 쉽게 설정됩니다. 따라서 숫자 부호 교대 급수 조건부로 수렴합니다.
수렴하는 수열의 속성.
예시.
숫자 급수의 수렴을 증명하십시오.
해결책.
시리즈를 다른 형태로 쓰자 
. 일반화 고조파 급수는 s > 1에 대해 수렴하기 때문에 수 계열이 수렴되고 수렴 수 계열의 두 번째 속성으로 인해 수치 계수가 있는 계열도 수렴됩니다.
예시.
수열은 수렴합니까?
해결책.
원본 시리즈를 변환해 보겠습니다. 
. 따라서 우리는 두 개의 숫자 계열 및 의 합을 얻었고 각각 수렴합니다(이전 예 참조). 따라서 수렴하는 수열의 세 번째 속성으로 인해 원래 계열도 수렴합니다.
예시.
숫자 급수의 수렴을 증명하십시오. 
그리고 그 합을 계산합니다.
해결책.
이 숫자 계열은 두 계열의 차이로 나타낼 수 있습니다. 
이 급수 각각은 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합이므로 수렴합니다. 수렴 급수의 세 번째 속성을 통해 원래 숫자 급수가 수렴한다고 주장할 수 있습니다. 그 합을 계산해 봅시다.
급수의 첫 번째 항은 1이고 해당 기하 진행의 분모는 0.5이므로, 
.
급수의 첫 번째 항은 3이고 대응하는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 분모는 1/3이므로 
.
얻은 결과를 사용하여 원래 숫자 시리즈의 합을 찾습니다. 
급수의 수렴을 위한 필요조건.
숫자 시리즈가 수렴하면 k 번째 항의 극한은 0과 같습니다. .
수렴을 위한 숫자 계열을 조사할 때 먼저 필요한 수렴 조건이 충족되는지 확인해야 합니다. 이 조건을 준수하지 않으면 숫자 계열의 발산을 나타냅니다. 즉, 이면 계열이 발산합니다.
반면에 이 조건이 충분하지 않다는 것을 이해해야 합니다. 즉, 평등의 충족은 숫자 시리즈의 수렴을 나타내지 않습니다. 예를 들어, 고조파 급수의 경우 필요한 수렴 조건이 충족되고 급수가 발산합니다.
예시.
수렴에 대한 수열을 조사합니다.
해결책.
숫자 급수의 수렴에 필요한 조건을 확인합시다. 
한계 숫자 계열의 n번째 멤버는 0이 아니므로 계열이 발산합니다.
양의 부호 계열의 수렴을 위한 충분한 조건.
수렴을 위한 수열을 연구하기 위해 충분한 기능을 사용할 때 , 를 지속적으로 다루어야 하므로 어려운 경우 이 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.
양수 계열의 수렴을 위한 필요 충분 조건.
부호 양수 급수의 수렴을 위해 
부분합의 시퀀스가 제한되는 것이 필요하고 충분합니다.
시리즈 비교 기능부터 시작하겠습니다. 그들의 본질은 연구된 수치 계열을 수렴 또는 발산이 알려진 계열과 비교하는 데 있습니다.
첫 번째, 두 번째 및 세 번째 비교 표시.
행 비교의 첫 번째 표시입니다.
두 개의 양의 부호 숫자 계열이고 모든 k = 1, 2, 3, ...에 대해 부등식이 성립합니다. 그러면 계열의 수렴은 수렴을 의미하고 계열의 발산은 발산을 의미합니다.
첫 번째 비교 기준은 매우 자주 사용되며 수렴을 위해 숫자 계열을 검사하는 데 매우 강력한 도구입니다. 주요 문제는 비교에 적합한 시리즈를 선택하는 것입니다. 비교를 위한 급수는 일반적으로 (항상 그런 것은 아니지만) k번째 요소의 지수가 연구 중인 숫자 시리즈의 k번째 요소의 분자와 분모의 지수의 차이와 같도록 선택됩니다. 예를 들어, 분자와 분모의 지수의 차이는 2 - 3 = -1이므로 비교를 위해 k 번째 구성원이 있는 계열, 즉 고조파 계열을 선택합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시.
계열의 수렴 또는 발산을 설정합니다.
해결책.
급수의 공통항의 극한이 0이므로 급수의 수렴에 필요한 조건이 충족됩니다.
부등식은 모든 자연적 k 에 대해 참임을 쉽게 알 수 있습니다. 고조파 시리즈가 발산한다는 것을 알고 있으므로 첫 번째 비교 기호에 따라 원래 시리즈도 발산합니다.
예시.
수렴에 대한 수열을 조사합니다.
해결책.
수열의 수렴을 위한 필요조건이 만족되기 때문에 
. 불평등은 명백하다. 
k의 임의의 자연값에 대해. 일반화 고조파 급수가 s > 1에 대해 수렴하기 때문에 급수가 수렴됩니다. 따라서 계열 비교의 첫 번째 기호를 통해 원래 숫자 계열의 수렴을 나타낼 수 있습니다.
예시.
숫자 시리즈의 수렴 또는 발산을 결정합니다.
해결책.
, 따라서 수열의 수렴을 위한 필요조건이 만족된다. 비교를 위해 선택할 행은? 숫자 시리즈는 스스로를 암시하며 s를 결정하기 위해 숫자 시퀀스를 주의 깊게 조사합니다. 숫자 시퀀스의 항은 무한대로 증가합니다. 따라서 어떤 숫자 N부터(즉, N = 1619부터) 이 수열의 항은 2보다 큽니다. 이 숫자 N부터 시작하여 부등식이 유효합니다. 수열은 처음 N - 1 항을 버리고 수렴 급수에서 얻어지기 때문에 수렴 급수의 첫 번째 속성으로 인해 수렴됩니다. 따라서 첫 번째 비교 부호에 따라 급수는 수렴하고 수렴하는 숫자 급수의 첫 번째 속성으로 인해 급수도 수렴합니다.
두 번째 비교 표시.
Let and be 부호 양수 시리즈입니다. 이면 급수의 수렴은 의 수렴을 의미합니다. 인 경우 숫자 계열의 발산은 의 발산을 의미합니다.
결과.
및 이면 한 계열의 수렴은 다른 계열의 수렴을 의미하고 발산은 발산을 의미합니다.
우리는 두 번째 비교 기준을 사용하여 수렴에 대한 시리즈를 검사합니다. 수렴 급수를 급수로 생각해 봅시다. 숫자 시리즈의 k 번째 구성원 비율의 극한을 찾아 보겠습니다. 
따라서 두 번째 비교 기준에 따르면 숫자 계열의 수렴은 원래 계열의 수렴을 의미합니다.
예시.
수열의 수렴을 조사합니다.
해결책.
급수의 수렴을 위한 필요조건을 확인해보자 
. 조건이 충족됩니다. 두 번째 비교 부호를 적용하기 위해 고조파 급수를 살펴보겠습니다. k번째 멤버 비율의 극한을 구해봅시다. 
결과적으로 원래 계열의 발산은 두 번째 비교 기준에 따른 고조파 계열의 발산에서 따릅니다.
참고로 시리즈 비교를 위한 세 번째 기준을 제시합니다.
비교의 세 번째 표시.
Let and be 부호 양수 시리즈입니다. 특정 수 N에서 조건이 충족되면 급수의 수렴은 수렴을 의미하고 급수의 발산은 발산을 의미합니다.
달랑베르의 상징.
논평.
달랑베르 기호는 극한이 무한대일 때 유효합니다. 
, 시리즈는 다음과 같이 수렴합니다. 
, 그러면 계열이 분기됩니다.
이면 달랑베르 검정은 계열의 수렴 또는 발산에 대한 정보를 제공하지 않으며 추가 연구가 필요합니다.
예시.
d'Alembert를 기준으로 수렴하는 수열을 조사합니다.
해결책.
숫자 시리즈의 수렴에 필요한 조건이 충족되는지 확인하고 다음과 같이 한계를 계산합니다.
조건이 충족됩니다.
달랑베르 기호를 사용합시다. 
따라서 시리즈는 수렴됩니다.
Cauchy의 급진적 기호.
양의 부호 숫자 시리즈를 하자. 이면 계열이 수렴하고 이면 계열이 발산합니다.
논평.
Cauchy의 급진적 검정은 극한이 무한대인 경우 유효합니다. 
, 시리즈는 다음과 같이 수렴합니다. 
, 그러면 계열이 분기됩니다.
인 경우 급진적 코시 검정은 급수의 수렴 또는 발산에 대한 정보를 제공하지 않으며 추가 연구가 필요합니다.
일반적으로 급진적 코시 검정을 사용하는 것이 가장 좋은 경우를 쉽게 볼 수 있습니다. 일반적인 경우는 숫자 급수의 공통 항이 지수 거듭제곱 표현식인 경우입니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
예시.
급진적 코시 검정을 사용하여 수렴에 대한 양의 부호 숫자 계열을 조사합니다.
해결책.
. 급진적 코시 테스트에 의해 우리는 다음을 얻습니다. 
.
따라서 시리즈는 수렴합니다.
예시.
수열은 수렴합니까? 
.
해결책.
급진적 코시 테스트를 사용합시다. 
, 따라서 숫자 시리즈는 수렴합니다.
적분 코시 테스트.
양의 부호 숫자 시리즈를 하자. 함수와 유사한 연속 인수 y = f(x) 의 함수를 작성해 보겠습니다. 함수 y = f(x)가 양수이고 연속적이며 구간에서 감소한다고 가정합니다. 여기서 ). 그러면 수렴의 경우 부적절한 적분연구된 숫자 시리즈를 수렴합니다. 부적절한 적분이 발산하면 원래 급수도 발산됩니다.
간격에 대한 함수 y = f(x)의 감쇠를 확인할 때 섹션의 이론이 유용하다는 것을 알 수 있습니다.
예시.
수렴에 대한 양의 항이 있는 수열을 조사합니다.
해결책.
급수의 수렴을 위한 필요조건이 만족되기 때문에 
. 함수를 생각해 봅시다. 양수이고 연속적이며 구간에서 감소합니다. 이 기능의 연속성과 긍정성은 의심의 여지가 없지만 감소에 대해서는 조금 더 자세히 살펴보자. 도함수를 찾아보자: 
. 구간에서 음수이므로 이 구간에서 함수가 감소합니다.
