수학적 논리에 관한 교육 연구 작업. 연구 작업“논리적 문제를 해결하는 방법. 통합 상태 시험에 대한 제안된 작업
교육부
벨로루시 공화국
민스크 지역 보리소프 지구
주립 교육 기관
"Loshnitsa 지구 체육관"
연구
수학
Karpovich Anna Igorevna, 11학년 학생,
Melech Alexey Vladimirovich, 9학년 학생,
Demidchik Artyom Alekseevich, 9학년 학생
감독자:
Yakimenko Ivan Viktorovich, 수학 교사
로시니차, 2006-2008
소개 3
선택한 주제의 관련성 3
주제 4에 대한 문헌 검토
개념의 형성 4
문제 전개 수준 4
연구대상 5
연구 주제 5
목표 설정 5
목표 설정 5
주요 부분 6
연구의 경험적 근거 6
연구 경로 및 방법 설명 6
1. 참고문헌 연구 6
2. 시행착오 6
3. 변형 7
연구결과 8
얻은 결과의 신뢰성 8
결론 9
요약. 결론 9
얻은 결과의 실질적인 중요성 9
얻은 결과의 과학적 신규성 9
응용프로그램 10
부록 1. 논리 게임의 분류 10
부록 2. 게임 “다스” 10의 규칙
부록 3. "Devil's Dozen" 게임 규칙 10
부록 4. 게임 "Dozen"의 인물 분류 11
부록 5. 게임 “Dozen”의 추가 항목 12
부록 6. 게임 "Devil's Dozen"의 수치 17
문학 18
소개
선택한 주제의 관련성
1학년부터 졸업생까지 단 한 명의 어린이도, 특히 수업 대신이나 수업 중에 노는 것을 거부한 적이 없습니다.이를 위해서는 특별한 장비가 필요하지 않습니다. 노트 시트와 펜만 있으면 됩니다. 학교 게임은 플레이하기 쉽고 항상 엔딩이 있으며 승리, 패배, 무승부라는 세 가지 결과를 모두 보장합니다.
그러나 학생들이 즐기는 대부분의 게임은 오랫동안 알려져 왔기 때문에 연구되고 흥미롭지 않습니다. 예를 들어, 두 명의 강력한 플레이어는 tic-tac-toe에서 결코 서로 지지 않을 것입니다. 이러한 "게임 공백"은 필연적으로 다음 방향 중 하나로 참신함을 추구하게 됩니다.
- 게임 규칙에서 ry(“Tic Tac Toe” 최대 5개),
- 운동장의 크기에 맞춰(무차원 "각도"),
- 플레이어 수에 있어서(크로스오버 "전함").
이런 점에서 우리는 이것이 학생을 위한 새로운 게임을 발명하고, 테스트하고, 탐구하는 것과 관련이 있다고 생각합니다.
연구 주제의 타당성은 학생들이 복잡한 문제와 과제를 해결하는 능력을 테스트할 수 있는 시험장 역할을 하는 제스처, 수수께끼 및 퍼즐에 대한 끊임없는 관심으로 확인됩니다. 즉, 논리를 개발함으로써 우리는 생존하는 법을 배웁니다.
고트프리트-빌헬름 라이프니츠(Gottfried-Wilhelm Leibniz)는 동료에게 보낸 편지에서 다음과 같이 언급했습니다. “...손재주가 필요한 게임과 우연에 기초한 게임 모두 과학 연구에 막대한 자료를 제공합니다. 게다가 가장 평범한 아이들의 재미가 가장 위대한 수학자의 관심을 끌 수도 있습니다.”(, 19-20 페이지).
그리고 마지막으로 우리는 가장 유명한 (그리고 가장 상업적인!) 퍼즐인 루빅스 큐브의 발명가인 Erne Rubik의 영예에 사로잡혔습니다.
전년도에 우리는 "Dozen"이라는 게임을 만들었습니다(참조. 부록 2). 개선, 게임 조합 연구, 새로운 게임 옵션 개발을 목표로 올해에도 게임 작업이 계속되었습니다.
주제에 대한 문헌 검토
개념의 형성
논리. 1. 사고의 법칙과 그 형태에 관한 과학. 2. 추론 과정, 결론. 3. 합리성, 내부 규칙성.(, p.167)게임. 재미나 휴식을 위해 어떤 일을 하거나 어떤 일에 대한 대회에 참가하는 것.(, p.127)
첫 번째 비교에서도 이 두 개념의 불일치가 두드러지며, 심지어 "논리 게임"일반적으로 말도 안되는 말처럼 보입니다.
위의 정의에 기초하여 논리 게임은 다음과 같이 간주될 수 있습니다. 오락과 사고력 발달을 위한 활동.
이 작업에서는 다음 용어가 사용됩니다.
"종이게임"종이와 펜을 사용하여 두 명 이상의 플레이어가 즐기는 게임입니다.
아래에 "컴퓨터 게임"우리는 컴퓨터 버전이 존재하거나 생성될 수 있는 종이 게임이나 기타 논리 게임을 이해하게 됩니다.
용어 "인벤토리 게임"특별히 제작된 추가 장비가 필요한 게임으로 이해됩니다.
"수학 게임"- 다양한 대수학 또는 기하학 분야의 수학적 지식이 필요한 게임입니다.
"승리 전략"일반적인 의미, 즉 필연적으로 승리로 이어지는 게임을 플레이하는 방식으로 해석됩니다.
"게임 결과"- 게임 종료. 가능한 게임 결과는 세 가지입니다: 승리, 패배, 무승부.
문제의 전개 정도
연구 중인 문제에 대한 문헌을 연구하면서 우리는 수학자들이 주목하게 되면 모든 사실, 의존성, 현상이 즉시 측정, 계산, 분류된다는 점에 주목했습니다."여왕 문제"(, p. 100)은 이론상 자세히 설명되어 있으며 n=8인 경우 92개의 해가 있음이 입증되었습니다(ibid.).
고대 수학의 재미 "Bashe의 게임", "Jianshizi"그리고 "님"일반적으로 게임이라고 불리며, "이론은 철저하게 완전하게 개발되었습니다"(p. 59).
그러나 조사한 자료에는 다음과 같은 유명한 게임에 대한 언급조차 없었습니다. "점".
체스 기사의 움직임으로 체스 필드를 채우는 광범위한 문제(, p. 104)는 nxn 필드와 mxn 필드 모두에 대해 고려됩니다. 그러나 문헌에서 문제는 모서리가 없는 잘린 9x9 필드에 대한 변형이 하나만 있습니다(, 20페이지). 이는 탐색되지 않은 다른 초기 조건이 있을 수 있음을 의미합니다.
이에 대한 해결책이 있는지에 대한 질문 "마법의 사각형"어떤 규모든 여전히 열려 있습니다(, p.25, p.89).
따라서 논리 게임, 독창성 작업, 게임 및 오락 작업에 대한 문헌 연구는 다양한 조건과 솔루션을 모두 소진하지 않습니다. 문제의 발전 정도가 불충분하다고 정의할 수 있습니다..
연구대상
연구의 대상은 교육적인그리고 학생들의 창의적 관심 8-11학년.연구 주제
연구의 주제는 저자가 만든 게임이다. "다스"그리고 그 속편 - 게임 "베이커의 다스".목표 설정
이 연구의 목적은 새로운 논리 게임의 개발, 테스트 및 연구.목표 설정
이 목표를 실현하려면 다음과 같은 특정 작업을 해결해야 합니다.
관심 있는 주제에 관한 문헌을 공부하세요.
게임의 승리 결과(조각)를 분류합니다.
자신만의 게임을 개선하고 확장하세요.
제작된 게임의 관련성과 수요를 명확히 합니다.
게임 제작에 대한 권장 사항을 공식화합니다.
주요 부분
연구의 경험적 기초
우리 연구의 실증적 근거는 게임 테스트 후의 결과입니다. "다스".여기에는 저자와 응답자가 테스트한 게임 자체의 수많은 손글씨 버전과 정밀 과학 주간의 일부로 개최되는 미니 토너먼트도 포함됩니다.
연구 경로 및 방법에 대한 설명
작업 중에는 다음 방법이 사용되었습니다.1. 참고문헌 공부하기
이 단계에서는 관심 주제에 관한 문헌(주로 재미있는 수학에 관한 책)을 연구할 때 논리 게임을 찾아 특정 기준에 따라 분류했습니다. (부록 3 참조)어떤 게임도 구체적이지 않은 것으로 밝혀졌습니다. 한 종만을 지칭할 수는 없습니다.
예를 들어, 게임 "펜타미노"(, p. 13)은 펜토미노 도형(5개의 동일한 정사각형으로 구성된 평면 도형)을 사용하여 정사각형, 직사각형 등의 큰 도형을 형성하는 것으로 구성됩니다. 우리는 체크 무늬 종이에 펜토미노를 그립니다. 종이 게임이고, 판지로 잘라내어 인벤토리 게임입니다. 그러나 우리는 컴퓨터 게임의 연속으로서 이 게임에 더 익숙합니다. "테트리스" – "펜틱스".
또한 우리는 모든 게임이 어느 정도 교육적이며 플레이어의 사고 능력을 개발한다는 것을 다시 한 번 확신했습니다.
2. 시행착오
게임의 규칙을 간략하게 설명해주세요 "다스"미리 합의된 조각 중 하나를 먼저 얻는 사람이 승리합니다. (부록 2,4,5 참조)언뜻 보기에 이러한 규칙을 사용하면 게임에서 무승부 결과를 얻을 수 없습니다. 왜냐하면 단 한 명의 플레이어만이 최종 이동을 하고 이러한 다양성을 가진 최소한 하나의 조각을 뽑지 않는 것이 불가능하기 때문입니다. 그러나 두 플레이어 모두 동일한 기회를 가져야 하므로 동일한 수의 이동을 허용하면 "둘 다 승리"할 수 있습니다.
이 게임의 이름은 승리하는 인물을 구성하는 위험 수에서 따온 것임을 기억하십시오.
주제의 발전은 컴퓨터 해석이었습니다. 이 게임에는 세 가지 전자 버전이 있습니다. 하나는 MicroSoft Word이고 다른 두 개는 MicroSoft Excel입니다. 플레이하기 위해서는 "12개", 새 작업 패널을 만드는 것이 편리한 Office 인터페이스를 사용자 정의해야 합니다.
3. 변형
변형 방법은 상황에 대한 다양한 옵션을 실행(감시, 생각)하는 것으로 구성됩니다. 변형은 논리적 사고의 작업. 우리의 경우는 다음과 같습니다.가장 쉽고 가장 빨리 기억되는 게임 규칙의 공식화,
최적의 필드 크기 결정,
가능한 수치의 수를 늘립니다.
우리는 리더나 아웃사이더의 입장에 서기 위해 현장에서 현재의 위치에서 벗어나는 방법을 모색했습니다. 이 작업에서 가장 중요한 것은 가능성을 찾는 것이었습니다. 승리 전략, 왜냐하면 그러한 것이 발견되면 얼마 후 우리 게임도 다른 게임과 마찬가지로 엉망이 될 것이기 때문입니다.
경기장은 일련의 위험으로 구성됩니다.
수평 – 6x7=42,
수직 – 6x7=42,
대각선 – 2x36=72,
전체 – 2x42+72=156.
기본 계산 - 156:12 = 13은 필요한 12개의 마크로 구성된 13개의 숫자를 현장에서 동시에 구성할 수 있음을 보여줍니다. 숫자 13에 대한 총 위험 수의 다양성은 게임 규칙을 바꾸는 첫 번째 단서가 되었습니다.
^ 일반 지침 다음과 같은 규칙 변경 사항이 변경되었습니다.
두 번째 대각선 그리기 금지 (게임 속도가 상당히 빨라지고 추가 무승부 기회가 제공됩니다.)
타인의 위험 이용 금지 (게임이 상대에게 너무 "투명"하게 만듭니다)
필드 크기 조정 (증가는 부정적인 영향을 미쳤습니다. 감소하면 일부 기본 수치가 손실됩니다.)
기본 우승 작품 세트에 추가로 (비대칭, 볼록하지 않은 다각형, 열린 그림);
기본 수치의 마크 수 증가 .
연구결과
가장 고무적인 결과를 가져온 것은 변형의 마지막 두 방향이었습니다. 첫째, 결과 수치의 다양성이 너무 커서 이에 대한 특별한 분류를 고안해야 했습니다(참조. 부록 4). 더욱이 게임의 규칙에 따라 얻은 도형의 대부분은 볼록하지 않은 축대칭 다각형이다.둘째, 비대칭 도형으로 옮겨가면서 우리는 느꼈습니다. 긴급한 필요수치에 또 다른 위험을 추가하십시오! 13번째 마크가 추가되면서 대칭을 이루기가 어려워졌습니다. 이로 인해 게임이 더욱 흥미진진해졌습니다. 새 게임의 이름은 저절로 나타났습니다. "베이커의 다스».
현대화된 게임에 대한 연구는 상당한 규칙 변경으로 이어질 가능성이 높습니다. 예를 들어, 필드에 다양한 조각을 허용하는 경우 한 게임에서 승리한 조각에 위험이 포함된 만큼 많은 포인트를 "획득"할 수 있습니다. 조각을 위해 다른 모양(분류 참조) 보너스 포인트 등을 입력할 수도 있습니다.
얻은 결과의 신뢰성
연구 결과의 신뢰성은 다음을 통해 보장됩니다.
연구의 주요 조항에 대한 실질적인 확인 (만들어진 게임은 모든 연령대의 학생들을 위한 연구의 거대한 범위입니다);
연구 중에 얻은 데이터를 신중하게 처리 (게임의 규칙을 변경할 때에는 게임 결과와 승리 전략의 일반적인 변화 방향을 모두 고려합니다).
결론
요약. 결론
게임 "다스"모든 수준의 교육에서 수학 연구에 사용될 수 있습니다.
게임 "베이커의 다스"게임의 연속적이고 논리적인 발전입니다. "다스».
"베이커의 다스» 목표 설정에 설정된 요구 사항을 완전히 충족합니다.
이 주제는 논리 게임 연구 형태의 개발이 필요합니다.
얻은 결과의 실질적인 중요성
현대화된 게임은 실용적인 가치를 지닌다어떻게 교육 도구을 위한:
수학자(논리적 사고의 발달, 기하학적 도형에 대한 친숙함).
컴퓨터 과학자(MicroSoft Office 프로그램에 대한 지식, 마우스 기술, Office 클립보드 작업에 대한 지식)
초등학생 및 중등학생(연구 작업의 일환으로 게임 현대화)
모든 연령의 플레이어(대회, 토너먼트).
얻은 결과의 과학적 신규성
저자, 관리자 및 응답자에 따르면 원래 게임 "12"와 현대화된 게임 "13"은 유사점이 없으며 개발자의 지적 재산입니다.응용
부록 1. 논리 게임의 분류
목록
종이
교육적(수학적)
언어학
컴퓨터
부록 2. 게임 "Dozen"의 규칙
"Dozen"("12") 게임은 6~16세 학생을 대상으로 합니다.플레이어의 임무는 상대방 앞에 12개의 선으로 구성된 미리 합의된 그림을 그리는 것입니다. 조각을 얻으려면 자신의 위험과 상대방이 끌어낸 위험을 모두 사용할 수 있습니다.
부록 3. "Devil's Dozen" 게임 규칙
"Devil's Dozen"("Thirteen") 게임은 10~17세 학생을 대상으로 합니다.경기장은 6x6 정사각형입니다. 두 사람이 놀고 있습니다. 이동은 셀의 가로 면, 셀의 세로 면 또는 셀의 대각선 등 4개의 선 중 하나를 그리는 것으로 간주됩니다. 이미 발생한 위험에서만 이동할 수 있습니다. 대각선 표시가 교차할 수 있습니다.
플레이어의 임무는 상대방 앞에 13개의 선으로 구성된 미리 합의된 그림을 그리는 것입니다. 조각을 얻으려면 자신의 위험과 상대방이 끌어낸 위험을 모두 사용할 수 있습니다.
보너스는 (플레이어 간의 상호 합의에 따라) 새 작품을 받는 것으로 간주됩니다.
부록 4. 게임 "Dozen"의 인물 분류
대칭으로:1) 축 대칭:
측면 대칭 (대칭축은 셀의 측면을 따라 이어집니다)
대각선 대칭 (대칭축은 셀의 대각선을 따라 이어집니다)
2차(대칭축이 셀 내부를 통과함).
3) 보편적 대칭(동시에 측면, 대각선 및 중앙);
4) 비대칭.
볼록함에 따라:
볼록한;
볼록하지 않은.
기하학적 인물;
물체에 애니메이션을 적용합니다.
무생물.
부록 5. 게임 "Dozen"의 추가 부분
마음
반바지
늑대
부메랑
나비
빠른
부록 6. 게임 "Devil's Dozen"의 수치
뱀
늑대
고슴도치
비행기
문학
Barabanov E.A. 및 기타 벨로루시 국제 수학 경연 대회 "Kangaroo" - Mn.: NGO "Bel. 협회 “경쟁”, 2005. – 96p.; 아픈.
Bakhankov A.E.; 러시아어 설명 사전. Mn.: NGO “Bel. 협회 “경쟁”, 2006. – 416p.
본다레바 L.A. 등등; 별표가 있는 작업. Mn.: NGO “Bel. 협회 “경쟁”, 2006. – 159p.
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Zhikalkina T.K.; 2학년 수학 게임 및 오락 과제. M .: "계몽", 1987. – 62p.
Kordemsky B.A.; 독창성을 위한 수학적 문제에 대한 에세이. M.: "Uchpedgiz", 1958. – 116p.
Leman Johannes, Danilov의 독일어 번역; Ch. 편집자 L.A. Erlykin. 매혹적인 수학. M .: 출판사 "Knowledge", 1985. - 270 p.
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민스킨 E.M.; 놀이에서 지식까지: 초등학생을 위한 발달 및 교육 게임입니다. M .: 교육, 1982. - 192 페이지; 아픈.
Mikhailova Z.A.; 편집자: L.G. 프로니나. 미취학 아동을 위한 게임 오락 과제; M .: "계몽", 1990. – 95 p.
페트라코프 I.S.; 8-10학년 수학 클럽; M .: 교육, 1987. – 224p.
Repkin V.V.; 러시아어 교육 사전. M.: Infoline, 1999. – 656페이지: 아픈.
Sobolevsky R.F.; 논리 및 수학 게임. Mn., “나르. Asveta", 1977. – 96p.
에드. Hinn O.G.; 나는 세계를 탐험합니다: 어린이 백과사전: 수학 / M.: LLC "Firm Publishing House AST", 1999. - 480 p.
서식과 마크업이 포함된 이 PDF 파일을 보려면 다운로드하여 컴퓨터에서 엽니다.
오렌부르크 지역 교육부
국가자치전문교육기관
"오르스크 기계공학 전문학교"
오르스크, 오렌부르크 지역
연구
수학
«
수학 없이
공식, 방정식 및
불평등
»
준비됨
:
토릭 예카테리나
,
그룹 학생
15LP
감독자:
마르첸코 O.V.
.,
수학 선생님
마티키
수학
–
이것은 공식이 주도하는 특별한 세계입니다.
기호 및 기하학적 객체. 연구 중
우리는 결정했다
공식, 방정식 및 수식을 제거하면 어떻게 되는지 알아보세요.
불평등?
이 연구의 타당성은
해마다
수학에 대한 흥미를 잃었습니다. 그들은 특히 수학을 좋아하지 않습니다.
-
수식의 경우.
이에
우리 작업에서 우리는 수학의 아름다움을 보여줄 뿐만 아니라
학생들의 마음 속에 있는 "건조함"에 대한 새로운 생각을 극복하고,
형식적인 성격, 이 과학을 삶과 실천으로부터 분리시키는 것.
작업의 목적: 수학이 완전하게 유지된다는 것을 증명하는 것
첨단 과학,
수식, 방정식 및 수식을 제거하면 흥미롭고 다면적입니다.
불평등.
직무 목표:
그 수학자 보여줘
ㅏ
공식, 방정식 없이
불평등
완전한 과학이다
; 설문조사를 실시하다
둘 다
차
유
일하고 있는; 공부하다
정보 제공
전자 소스; 주요 솔루션에 대해 알아보세요.
논리적 문제.
수학 공식을 가정하면
-
그냥 편리한 언어
수학의 아이디어와 방법을 제시하기 위해 이러한 아이디어 자체를 설명할 수 있습니다.
o의 친숙하고 시각적인 이미지를 사용하여
주변 생활.
우리 연구의 목적은 수학적 문제를 해결하는 방법이었습니다.
공식, 방정식, 부등식이 없는 문제.
우리 대학생들은 다음 질문에 답하라는 요청을 받았습니다.
공식, 방정식 및 기타 문제가 발생하면 수학은 어떻게 될까요?
평등?
다음 옵션 중에서 하나의 답변을 선택하세요.
a) 숫자, 숫자, 문자는 남습니다. b) 이론만 남습니다.
c) 정리와 증명은 그대로 유지됩니다. d) 그래프는 그대로 유지됩니다.
e) 수학은 문학이 될 것이다 g) 아무것도 남지 않을 것이다
이것의 결과
설문 조사에 따르면 대다수의 학생들은 자신감을 갖고 있는 것으로 나타났습니다.
공식, 방정식, 부등식, 수학은 문학이 될 것입니다. 우리는 결정했다
이 의견을 반박하십시오. 수학의 공식, 방정식 및 부등식 없이
우선, 논리적인 작업이 남아 있을 것입니다.
e는 가장 자주 구성
수학 올림피아드의 대부분의 과제. 다양한 논리
작업이 매우 큽니다. 이를 해결하는 방법도 여러 가지가 있습니다. 그러나 가장 위대한
추론 방법, 테이블 방법, 방법 등이 널리 보급되었습니다.
그래프, 원 안녕하세요
레라, 블록 방식
-
계획
추론의 방법
가장 원시적인 방법. 이런 방법으로
가장 간단한 논리적 문제가 해결됩니다. 그의 생각은 우리가
문제의 모든 조건을 순차적으로 사용하여 추론을 수행하고,
우리는 다음과 같은 결론을 내렸습니다.
문제의 답이 될 것입니다.
이런 방법으로
일반적으로 간단한 논리적 문제를 해결합니다.
텍스트 로직을 풀 때 사용되는 주요 기술
작업은
테이블 만들기
. 테이블을 사용하면 시각화할 수 있을 뿐만 아니라
현재 상태 h
문제나 답변이 도움이 많이 되지만
문제를 해결할 때 올바른 논리적 결론을 내립니다.
그래프 방법.
그래프
-
이는 객체 간에 연결이 있는 객체의 모음입니다.
객체는 그래프의 정점 또는 노드로 표시됩니다(지정됨).
저것
안경) 및 연결
-
호나 갈비뼈처럼요. 연결이 단방향인 경우
개체 간의 연결이 있는 경우 다이어그램에 화살표가 있는 선으로 표시됩니다.
양면은 화살표가 없는 선으로 다이어그램에 표시됩니다.
오일러 원 방법.
오일러 다이어그램은 문제 해결에 사용됩니다.
논리적 문제의 큰 그룹. 일반적으로 이러한 모든 작업은 세 가지로 나눌 수 있습니다.
유형. 첫 번째 유형의 문제에서는 많은 것을 상징적으로 표현해야 한다.
제스처,
기호를 사용하여 오일러 다이어그램에 음영 처리됨
교차로 운영의 기,
조합과 추가.
두 번째 유형의 문제에서는 오일러 다이어그램
클래스 정의와 관련된 상황을 분석하는 데 사용됩니다. 세 번째 유형
오일러 다이어그램이 사용되는 문제,
-
작업
논리적 계정.
차단 방식
-
계획
.
이러한 유형의 논리적 문제 해결
코스에 포함되어 있습니다
일반 교육 기관의 학생들에게 컴퓨터 공학 과정을 가르치고 있습니다.
언어로 프로그래밍하기
파스칼
.
수학의 논리적 문제 외에도
간단하게 해결하기 위해
수학 문제를 넘어서는 터무니없는 일을 해야 한다
라
우리 논리와 사고의 한계.
터무니없는
–
수학과 논리에서는
무엇을 의미합니까?
-
그러면 요소는 주어진 내에서 의미가 없습니다.
이론,
시스템 또는
필드는 근본적으로 호환되지 않지만 요소는
이 시스템에서는 터무니없는 일이다
다른 의미로 해석될 수도 있습니다.
수학에서는 궤변(기술, 기술)을 별도의 그룹으로 분류합니다.
-
그럼에도 불구하고 표면적으로 살펴보면 복잡한 결론
맞는 것 같습니다.
수학에서 공식이 없으면 다음과 같은 상황이 발생할 수 있습니다.
다른 하나는 할 수
실제로 존재하지만 논리적인 설명이 없습니다. 그런 상황
역설이라고 불렀습니다. 역설의 출현은 뭔가가 아니다
-
저것
과학 발전의 역사에서 불규칙한, 예상치 못한, 우연한 일
생각. 그들의 등장이 신호된다
이전의 개정이 필요하다고 말함
이론적 아이디어,보다 적절한 개념, 원칙 제시
및 연구 방법.
수학과 같은 과학의 세계는 단순히 문제를 푸는 데만 국한되지 않습니다.
특별한 유형의 작업. 온갖 어려움 외에도
뭔가 아름답고 흥미로운 게 있어요.
때로는 웃기기도 합니다. 수학 유머는 물론, 수학의 세계까지,
정교하고 특별합니다.
따라서 공식, 방정식 및 불평등이 없으면 수학은 그대로 유지됩니다.
흥미롭고 다각적인 동시에 본격적인 과학입니다.
서지 목록.
Agafonova, I. G. 생각하는 법 배우기: 재미있는 논리적 작업,
아이들을 위한 테스트와 운동. 튜토리얼 [텍스] /
I. G. 아가포노바
SPb.
IKF 밈
–
익스프레스, 1996.
–
발라얀 E.N. 1001년 올림픽과 재미있는 문제들
그리고
수학
[텍스]
/ E.N. 발라얀.
-
3
-
전자 에드.
-
로스토프 n/d: 피닉스, 2008.
-
Farkov, A.V. 5
-
11학년.
[텍스]/
A. V. Farkov.
-
8
-
e ed., rev. 그리고 추가
-
M.: 아이리스
-
언론, 2009.
-
http://www.arhimedes.org/
이름을 딴 토너먼트 M. V. 로모노소프(모스크바)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/
첨부 파일
소개. 삼
1. 수학적 논리(무의미한 논리)와 '상식' 논리 4
2. 수학적 판단과 추론. 6
3. 21세기의 수학적 논리와 '상식'. 열하나
4. 수학의 기초에 있는 부자연스러운 논리. 12
결론. 17
참고자료… 18
논리적 관심 영역의 확장은 과학 지식 개발의 일반적인 추세와 관련이 있습니다. 따라서 19세기 중반 수학적 논리의 출현은 자연어의 "단점"(주로 다의어, 즉 다의어)이 없는 보편적인 상징 언어를 구축하려는 수학자 및 논리학자들의 수세기에 걸친 열망의 결과였습니다. .
논리의 추가 개발은 응용 분야에서 고전 논리와 수학적 논리를 결합하여 사용하는 것과 관련이 있습니다. 비고전적 논리(의무적 논리, 관련 논리, 법적 논리, 의사 결정 논리 등)는 종종 연구 대상의 불확실성과 모호함, 개발의 비선형 특성을 처리합니다. 따라서 인공지능 시스템의 다소 복잡한 문제를 분석할 때 동일한 문제를 해결할 때 서로 다른 유형의 추론 간의 시너지 문제가 발생합니다. 컴퓨터 과학과의 융합에 따른 논리 발전 전망은 자연어 추론, 그럴듯한 추론, 형식화된 연역적 결론을 포함하여 가능한 추론 모델의 특정 계층 구조 생성과 관련이 있습니다. 이는 고전적, 수학적, 비고전적 논리를 사용하여 해결할 수 있습니다. 따라서 우리는 서로 다른 "논리"에 대해 이야기하는 것이 아니라 사고의 다양한 형식화 수준과 논리적 의미의 "차원"(2 값, 다중 값 등 논리)에 대해 이야기하고 있습니다.
현대 논리학의 주요 방향 식별:
1. 일반 또는 고전 논리;
2. 상징적 또는 수학적 논리;
3. 비고전적인 논리.
수학적 논리는 수학적 논리가 무한히 많기 때문에 다소 모호한 개념입니다. 여기서 우리는 상식보다는 전통에 더 많은 경의를 표하면서 그 중 일부를 논의할 것입니다. 왜냐하면 아마도 이것은 상식이기 때문입니다... 논리적인가요?
수학적 논리는 수학의 다른 어떤 분야보다 더 논리적으로 추론하도록 가르칩니다. 이는 논리에서 추론의 '논리성'이 논리 자체에 의해 결정되며 논리 자체에서만 올바르게 사용될 수 있다는 사실 때문입니다. 인생에서 논리적으로 생각할 때 원칙적으로 우리는 다른 논리와 다른 논리적 추론 방법을 사용하여 연역과 귀납을 뻔뻔하게 혼합합니다... 또한 인생에서 우리는 모순되는 전제를 기반으로 추론을 구축합니다. 예를 들어 "Don 오늘 할 일을 내일로 미루지 말라”, “서둘러 사람들을 웃게 만들 것이다” 등의 반응을 보였다. 우리가 좋아하지 않는 논리적 결론이 초기 전제(공리)의 수정으로 이어지는 경우가 종종 있습니다.
아마도 가장 중요한 것은 논리학에 대해 말할 때가 온 것 같습니다. 고전 논리학은 의미와 관련이 없습니다. 건강하지도, 다른 것도 아닙니다! 그런데 상식을 연구하려면 정신의학이 있습니다. 그러나 정신의학에서는 논리가 오히려 해롭다.
물론, 논리와 감각을 구별할 때 우리는 무엇보다도 고전 논리학과 상식에 대한 일상적인 이해를 의미합니다. 수학에는 금지된 방향이 없으므로 논리에 의한 의미에 대한 연구(또는 그 반대로)가 다양한 형태로 현대 논리 과학 분야에 존재합니다.
(마지막 문장은 잘 풀렸지만 "논리과학"이라는 용어를 대략적으로 정의하려고 시도하지는 않겠습니다.) 의미 또는 의미론은 예를 들어 모델 이론에 의해 다루어집니다. 그리고 일반적으로 의미론이라는 용어는 종종 해석이라는 용어로 대체됩니다. 그리고 만약 우리가 대상의 해석(표시!)이 주어진 측면에서의 이해라는 철학자들의 의견에 동의한다면, 논리학의 의미를 공격하는 데 사용될 수 있는 수학의 경계 영역은 이해할 수 없게 됩니다!
실용적인 측면에서 이론적 프로그래밍은 의미론에 관심을 갖도록 강요됩니다. 그리고 그 안에는 의미론 외에도 조작적, 표시적, 절차적 등이 있습니다. 등등. 의미론...
의미가 이미 너무 단순하고 형식적이고 모호한 구문에 의미론을 가져온 범주 이론이라는 신격화를 언급해 보겠습니다. 이는 단순한 필사자가 바닥에 도달하는 것이 완전히 불가능할 정도로 선반에 배치되어 있습니다. ... 이것은 엘리트를 위한 것입니다.
그렇다면 논리는 무엇을 하는가? 적어도 가장 고전적인 부분에서는요? 논리는 자신이 하는 일만 합니다. (그리고 그녀는 이것을 매우 엄격하게 정의합니다). 논리에서 가장 중요한 것은 그것을 엄격하게 정의하는 것입니다! 공리를 설정합니다. 그리고 논리적 결론은 (!) 대체로 자동이어야 합니다...
이러한 결론에 대해 추론하는 것은 또 다른 문제입니다! 그러나 이러한 주장은 이미 논리의 한계를 벗어났습니다! 그러므로 엄격한 수학적 감각이 필요합니다!
이것은 단순한 언어 균형 행위인 것처럼 보일 수 있습니다. 아니요! 특정 논리(공리) 시스템의 예로 잘 알려진 게임 15를 살펴보겠습니다. 정사각형 칩의 초기 배열을 설정(혼합)해 보겠습니다. 그런 다음 게임(논리적 결론!), 특히 칩을 빈 공간으로 이동하는 것은 일부 기계 장치로 처리할 수 있으며 가능한 이동의 결과로 1에서 15까지의 시퀀스가 될 때 인내심을 갖고 지켜보고 기뻐할 수 있습니다. 그러나 아무도 제어 기계 장치를 금지하고 프로세스 속도를 높이기 위해 상식에 기초하여 칩의 올바른 움직임을 촉구합니다. 또는 예를 들어 COMBINATORICS와 같은 수학 분야와 같은 논리적 추론을 사용하여 주어진 초기 칩 배열로는 필요한 최종 조합을 얻는 것이 전혀 불가능하다는 것을 증명할 수도 있습니다!
논리 대수학(LOGICAL ALGEBRA)이라고 불리는 논리 부분에는 더 이상 상식이 없습니다. 여기서는 논리 연산이 소개되고 해당 속성이 정의됩니다. 실습에서 알 수 있듯이 어떤 경우에는 이 대수의 법칙이 삶의 논리와 일치할 수 있지만 다른 경우에는 그렇지 않습니다. 이러한 불일치로 인해 논리의 법칙은 삶의 실천 측면에서 법칙으로 간주될 수 없습니다. 그들의 지식과 기계적 사용은 도움이 될 뿐만 아니라 해를 끼칠 수도 있습니다. 특히 심리학자와 변호사. 때로는 삶의 추론과 일치하거나 일치하지 않는 논리 대수학의 법칙과 함께 일부 논리학자가 범주적으로 인식하지 못하는 논리 법칙이 있다는 사실로 인해 상황이 복잡해집니다. 이는 주로 배타적 제 3 및 모순의 법칙에 적용됩니다.
2. 수학적 판단과 추론
사고에서 개념은 개별적으로 나타나지 않으며 특정 방식으로 서로 연결됩니다. 개념이 서로 연결되는 형태는 판단입니다. 각각의 판단에서는 개념들 사이의 어떤 연결이나 관계가 확립되고, 이를 통해 해당 개념이 다루는 대상들 사이의 연결이나 관계가 존재함을 확인합니다. 판단이 사물 사이에 객관적으로 존재하는 종속성을 정확하게 반영한다면 우리는 그러한 판단을 참이라고 부르고, 그렇지 않으면 판단은 거짓이 될 것입니다. 예를 들어, "모든 마름모는 평행사변형이다"라는 명제는 참 명제입니다. "모든 평행사변형은 마름모이다"라는 명제는 잘못된 명제입니다.
따라서 판단은 대상 자체의 존재 여부(대상의 특징과 연결의 존재 여부)를 반영하는 사고 형태입니다.
생각한다는 것은 판단을 한다는 뜻이다. 판단의 도움으로 사고와 개념이 더욱 발전합니다.
모든 개념은 특정 클래스의 대상, 현상 또는 그들 사이의 관계를 반영하므로 모든 판단은 한 개념이 다른 개념 클래스에 포함되거나 포함되지 않는 것(부분 또는 전체)으로 간주될 수 있습니다. 예를 들어, "모든 정사각형은 마름모이다"라는 명제는 "사각형"이라는 개념이 "마름모"라는 개념에 포함된다는 것을 나타냅니다. "교차하는 선은 평행하지 않다"라는 명제는 교차하는 선이 평행이라고 불리는 선 집합에 속하지 않음을 나타냅니다.
판단에는 자체 언어 껍질, 즉 문장이 있지만 모든 문장이 판단은 아닙니다.
판단의 특징은 그것을 표현하는 문장에 진실 또는 거짓이 의무적으로 존재한다는 것입니다.
예를 들어, "삼각형 ABC는 이등변이다"라는 문장은 어떤 판단을 표현합니다. “ABC는 이등변이 될까요?”라는 문장 판단을 표현하지 않습니다.
각 과학은 본질적으로 연구 대상인 대상에 대한 특정 판단 시스템을 나타냅니다. 각 판단은 특정 제안의 형태로 공식화되며, 이 과학에 내재된 용어와 상징으로 표현됩니다. 수학은 또한 수학적 또는 논리적 용어 또는 해당 기호를 통해 수학적 문장으로 표현되는 특정 판단 시스템을 나타냅니다. 수학적 용어(또는 기호)는 수학 이론의 내용을 구성하는 개념을 나타내고, 논리 용어(또는 기호)는 일부 수학적 명제에서 다른 수학적 명제가 구성되고 일부 판단에서 다른 판단이 형성되는 논리적 연산을 나타냅니다. , 그 전체가 과학으로서의 수학을 구성합니다.
일반적으로 판단은 직접적 및 간접적이라는 두 가지 주요 방식으로 사고에서 형성됩니다. 첫 번째 경우, 지각의 결과는 판단의 도움으로 표현됩니다. 예를 들어 "이 그림은 원입니다." 두 번째 경우에는 추론이라는 특별한 정신 활동의 결과로 판단이 발생합니다. 예를 들어, “평면 위의 주어진 점 집합은 한 점으로부터의 거리가 동일합니다. 이는 이 도형이 원이라는 뜻입니다.”
이러한 정신 활동 과정에서 일반적으로 하나 이상의 상호 연결된 판단에서 연구 대상에 대한 새로운 지식이 포함된 새로운 판단으로 전환됩니다. 이러한 전환은 추론이며, 이는 사고의 가장 높은 형태를 나타냅니다.
따라서 추론은 하나 이상의 주어진 판단으로부터 새로운 결론을 얻는 과정입니다. 예를 들어, 평행사변형의 대각선은 평행사변형을 두 개의 합동 삼각형으로 나눕니다(첫 번째 명제).
삼각형의 내각의 합은 2d입니다(두 번째 명제).
평행사변형의 내각의 합은 4d입니다(새로운 결론).
수학적 추론의 인지적 가치는 매우 크다. 대부분의 수학적 명제는 일반적으로 직접적인 경험을 통해 얻고 우리의 대상에 대한 가장 간단하고 일반적인 지식입니다.
추론은 개인의 생각에 대한 논리적 작업이라는 점에서 (사고의 한 형태로서) 개념 및 판단과 다릅니다.
판단의 모든 조합이 결론을 구성하는 것은 아닙니다. 판단 사이에는 현실에 존재하는 객관적인 연결을 반영하는 특정한 논리적 연결이 있어야 합니다.
예를 들어, "삼각형의 내각의 합은 2d이다"와 "2*2=4"라는 명제에서는 결론을 내릴 수 없습니다.
다양한 수학적 문장을 정확하게 구성하거나 추론 과정에서 결론을 도출하는 능력이 우리의 수학적 지식 체계에서 얼마나 중요한지는 분명합니다. 음성 언어는 특정 판단을 표현하는 데 적합하지 않으며 추론의 논리적 구조를 식별하는 데는 더욱 적합하지 않습니다. 그러므로 추론 과정에서 사용되는 언어를 개선할 필요가 있었던 것은 당연하다. 이에 가장 적합한 언어는 수학적(또는 오히려 상징적) 언어임이 밝혀졌습니다. 19세기에 등장한 과학의 특수분야인 수리논리학은 수학적 증명이론을 만드는 문제를 완벽하게 해결했을 뿐만 아니라, 수학 전반의 발전에 큰 영향을 미쳤다.
형식 논리(고대에 아리스토텔레스의 작품에서 발생)는 수학적 논리(19세기 영국 수학자 J. Boole의 작품에서 발생)와 동일시되지 않습니다. 형식논리학의 주제는 추론과 증거의 규칙에서 판단과 개념의 관계에 관한 법칙을 연구하는 것입니다. 수학적 논리는 형식 논리의 기본 법칙을 바탕으로 수학적 방법을 사용하여 논리적 프로세스의 패턴을 탐구한다는 점에서 형식 논리와 다릅니다. “판단, 개념 등 사이에 존재하는 논리적 연결은 다음과 같이 표현됩니다. 구두 표현에서 쉽게 발생할 수 있는 모호함이 없는 해석을 제공하는 공식입니다. 따라서 수학적 논리는 논리적 연산의 형식화, 문장의 특정 내용(판단 표현)으로부터 보다 완전한 추상화를 특징으로 합니다.
한 가지 예를 들어 이를 설명하겠습니다. 다음 추론을 생각해 보십시오. “모든 식물이 빨간색이고 모든 개가 식물이라면 모든 개는 빨간색입니다.”
여기에 사용된 각각의 판단과 절제된 추론의 결과로 우리가 받은 판단은 특허 넌센스인 것 같습니다. 그러나 수학적 논리의 관점에서 우리는 여기서 참 문장을 다루고 있습니다. 왜냐하면 수학적 논리에서 결론의 참 또는 거짓은 구성 전제의 참 또는 거짓에만 의존하고 특정 내용에는 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 형식논리학의 기본 개념 중 하나가 판단이라면, 수학적 논리학의 유사한 개념은 진술문(statement-statement)의 개념이며, 이에 대해서는 그것이 참인지 거짓인지를 말하는 것이 의미가 있습니다. 모든 진술의 내용에 "상식"이 부족하다는 특징이 있다고 생각해서는 안됩니다. 단지 이것 또는 저 진술을 구성하는 문장의 의미있는 부분이 수학적 논리의 배경으로 사라지고 이것이거나 저 결론의 논리적 구성이나 분석에 중요하지 않다는 것입니다. (물론, 이 문제를 고려할 때 논의되는 내용을 이해하는 것이 필수적입니다.)
수학 자체에서 의미 있는 진술이 고려된다는 것은 분명합니다. 수학적 판단은 개념 간의 다양한 연결과 관계를 설정함으로써 사물과 현실 현상 간의 관계를 확인하거나 거부합니다.
3. 21세기의 수학적 논리와 '상식'.
논리학은 순전히 수학적인 과학일 뿐만 아니라 철학적인 과학이기도 합니다. 20세기에는 서로 연결된 두 논리의 hypostases가 서로 다른 방향으로 분리되어 있는 것으로 나타났습니다. 한편으로 논리는 올바른 사고의 법칙에 대한 과학으로 이해되고, 다른 한편으로는 형식적 논리 체계라고 불리는 느슨하게 연결된 인공 언어 집합으로 제시됩니다.
많은 사람들에게 사고는 일상적인, 과학적 또는 철학적 문제가 해결되고 뛰어난 아이디어나 치명적인 망상이 탄생하는 데 도움이 되는 복잡한 과정이라는 것이 분명합니다. 많은 사람들은 언어를 단순히 사고의 결과를 동시대인에게 전달하거나 후손에게 전달하는 수단으로 이해합니다. 그러나 우리의 의식 속에서 생각을 "과정"의 개념으로 연결하고 언어를 "수단"의 개념으로 연결함으로써 우리는 본질적으로 이 경우 "수단"이 "과정"에 완전히 종속되지 않는다는 불변의 사실을 알아차리지 못합니다. , 그러나 특정 또는 언어적 진부한 표현에 대한 우리의 의도적이거나 무의식적인 선택에 따라 "과정" 자체의 과정과 결과에 강한 영향을 미칩니다. 더욱이, 그러한 “역영향”이 올바른 사고에 장애가 될 뿐만 아니라, 때로는 그것을 파괴하는 경우도 많이 있습니다.
철학적 관점에서 볼 때, 논리적 실증주의의 틀 안에서 제기된 과제는 결코 완성되지 않았습니다. 특히, 이러한 경향의 창시자 중 한 명인 루트비히 비트겐슈타인(Ludwig Wittgenstein)은 그의 후기 연구에서 자연어는 실증주의자들이 개발한 프로그램에 따라 개혁될 수 없다는 결론에 도달했습니다. 실증주의자들이 제안한 언어의 많은 용어와 구조가 이산수학의 일부 부분에 들어가 이를 크게 보완했지만 수학 언어 전체는 "논리주의"의 강력한 압력에 저항했습니다. 20세기 후반의 철학적 추세로서 논리 실증주의의 인기는 눈에 띄게 떨어졌습니다. 많은 철학자들은 자연어의 많은 "비논리성"을 거부하고 이를 기본 원칙의 틀에 집어 넣으려는 시도라는 결론에 도달했습니다. 논리실증주의는 인지과정의 비인간화를 수반하는 동시에 인간 문화 전체의 비인간화를 수반한다.
자연어에 사용되는 많은 추론 방법은 수학적 논리의 언어로 명확하게 매핑하기가 매우 어려운 경우가 많습니다. 어떤 경우에는 그러한 매핑으로 인해 자연 추론의 본질이 크게 왜곡됩니다. 그리고 이러한 문제는 자연어의 비논리성과 급진적인 개혁의 필요성에 대한 분석 철학과 실증주의의 초기 방법론적 입장의 결과라고 믿을 만한 이유가 있습니다. 실증주의의 매우 독창적인 방법론적 설정 역시 비판을 견디지 못합니다. 구어가 비논리적이라고 비난하는 것은 그야말로 터무니없는 일입니다. 사실, 비논리성은 언어 자체를 특징짓는 것이 아니라 단순히 논리를 모르거나 사용하고 싶지 않은 이 언어의 많은 사용자가 대중에게 영향을 미치는 심리적 또는 수사학적 기술로 이 결함을 보상하거나 추론에서 사용합니다. 논리로서 오해에 의해서만 논리라고 불리는 시스템. 동시에 명확성과 논리로 연설이 구별되는 사람들이 많이 있으며 이러한 자질은 수학적 논리의 기초에 대한 지식이나 무지에 의해 결정되지 않습니다.
수학논리학의 형식언어의 입법자나 추종자로 분류될 수 있는 사람들의 추론에서는 기본적인 논리적 오류에 대한 일종의 '맹목'이 드러나는 경우가 많다. 위대한 수학자 중 한 명인 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)는 금세기 초 G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano 등의 기본 저작에서 이러한 맹목성에 주목했습니다.
추론에 대한 이러한 비논리적 접근 방식의 한 예는 순전히 이질적인 두 개념 "요소"와 "집합"이 불합리하게 혼동되는 유명한 러셀 역설의 공식화입니다. 힐베르트 프로그램의 영향이 눈에 띄는 논리학과 수학에 관한 많은 현대 작품에서는 자연 논리학의 관점에서 볼 때 분명히 터무니없는 많은 진술이 설명되지 않습니다. "요소"와 "세트" 사이의 관계는 이러한 종류의 가장 간단한 예입니다. 이 방향의 많은 연구에서는 특정 집합(A라고 칭함)이 다른 집합(B라고 칭함)의 요소가 될 수 있다고 주장합니다.
예를 들어, 수학적 논리에 대한 잘 알려진 매뉴얼에서 다음 문구를 찾을 수 있습니다. "집합 자체는 집합의 요소가 될 수 있으므로, 예를 들어 모든 정수 집합의 집합은 집합을 요소로 갖습니다." 이 진술은 단순한 면책 조항이 아닙니다. 이는 많은 전문가들이 현대 수학의 기초로 간주하는 형식 집합론과 수학자 K. 괴델이 형식 체계의 불완전성에 대한 유명한 정리를 증명할 때 구축한 형식 체계에 '숨겨진' 공리로 포함되어 있습니다. 이 정리는 형식 체계의 다소 좁은 클래스(형식 집합 이론 및 형식 산술 포함)를 의미하며, 그 논리 구조는 자연적 추론 및 정당화의 논리 구조와 분명히 일치하지 않습니다.
그러나 반세기 이상 동안 그것은 일반 지식 이론의 맥락에서 논리학자와 철학자 사이에서 열띤 토론의 주제였습니다. 이 정리를 광범위하게 일반화하면 많은 기본 개념이 근본적으로 알 수 없다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 좀 더 냉정하게 접근하면 괴델의 정리는 D. 힐베르트가 제안하고 많은 수학자, 논리학자, 철학자들이 채택한 수학의 형식적 정당화 프로그램의 불일치를 보여줄 뿐이라는 것이 밝혀졌습니다. 괴델 정리의 더 넓은 방법론적 측면은 다음 질문에 대답될 때까지 수용될 수 없다고 간주됩니다: 수학을 정당화하기 위한 힐베르트의 프로그램이 유일한 가능한 것입니까? "집합 A는 집합 B의 요소입니다"라는 진술의 모호함을 이해하려면 "이 경우 집합 B는 어떤 요소로 구성됩니까?"라는 간단한 질문을 하는 것으로 충분합니다. 자연 논리의 관점에서 보면 상호 배타적인 두 가지 설명만 가능합니다. 설명 1번. 집합 B의 요소는 일부 집합의 이름, 특히 집합 A의 이름 또는 지정입니다. 예를 들어 모든 짝수 집합은 모든 이름(또는 지정) 집합의 요소로 포함됩니다. 모든 정수 집합에서 일부 특성으로 구분된 집합입니다. 보다 명확한 예를 들자면 모든 기린 세트는 알려진 모든 동물 종 세트의 요소로 포함됩니다. 더 넓은 맥락에서 집합 B는 집합의 개념적 정의 또는 집합에 대한 참조로 구성될 수도 있습니다. 설명 2. 집합 B의 원소는 다른 집합의 원소이고, 특히 집합 A의 모든 원소이다. 예를 들어, 모든 짝수는 모든 정수 집합의 원소이거나, 모든 기린은 집합의 원소이다. 모든 동물의 집합입니다. 그러나 두 경우 모두 "집합 A는 집합 B의 요소이다"라는 표현은 의미가 없다는 것이 밝혀졌습니다. 첫 번째 경우, 집합 B의 요소는 집합 A 자체가 아니라 집합의 이름(또는 지정 또는 참조)이라는 것이 밝혀졌습니다. 이 경우 집합과 그 지정 사이에 암묵적으로 등가 관계가 설정되는데, 이는 일반적인 상식의 관점이나 과도한 형식주의와 양립할 수 없는 수학적 직관의 관점에서도 받아 들일 수 없습니다. 두 번째 경우에는 세트 A가 세트 B에 포함되어 있는 것으로 나타났습니다. 하위 집합이지만 요소는 아닙니다. 여기서도 개념의 명백한 대체가 있습니다. 왜냐하면 수학에서 집합의 포함 관계와 소속 관계(집합의 요소임)는 근본적으로 다른 의미를 갖기 때문입니다. 집합 개념에 대한 논리학자들의 신뢰를 약화시킨 러셀의 유명한 역설은 이러한 부조리에 기초를 두고 있습니다. 역설은 집합이 다른 집합의 요소가 될 수 있다는 모호한 전제에 기초하고 있습니다.
또 다른 가능한 설명이 가능합니다. 집합 A를 해당 요소의 간단한 열거로 정의합니다(예: A = (a, b)). 집합 B는 B = ((a, b), (a, c))와 같이 일부 집합을 열거하여 지정됩니다. 이 경우 B의 요소는 집합 A의 이름이 아니라 집합 A 자체임이 분명해 보입니다. 그러나 이 경우에도 집합 A의 요소는 집합 B의 요소가 아니며 집합은 집합입니다. 여기서 A는 분리할 수 없는 컬렉션으로 간주되며 이름으로 대체될 수 있습니다. 그러나 그 안에 포함된 집합의 모든 원소를 B의 원소로 간주한다면, 이 경우 집합 B는 집합 (a, b, c)와 같을 것이고, 이 경우 집합 A는 집합이 아닐 것입니다. B의 요소이지만 B의 하위 집합입니다. 따라서 우리의 선택에 따라 이 버전의 설명은 이전에 나열된 옵션으로 귀결됩니다. 그리고 선택의 여지가 없다면 기본적인 모호함이 초래되어 종종 "설명할 수 없는" 역설로 이어집니다.
한 가지 상황이 아니라면 이러한 용어의 뉘앙스에 특별한 주의를 기울이지 않을 수도 있습니다. 현대 논리학과 이산수학의 많은 역설과 불일치는 이러한 모호함의 직접적인 결과이거나 모방이라는 것이 밝혀졌습니다.
예를 들어, 현대 수학적 추론에서는 러셀의 역설의 기초가 되는 "자기 적용 가능성"이라는 개념이 자주 사용됩니다. 이 역설의 공식화에서 자기 적용 가능성은 그 자체의 요소인 집합의 존재를 의미합니다. 이 진술은 즉시 역설로 이어집니다. 모든 "자기 적용 가능" 집합을 고려하면 "자기 적용 가능" 및 "자기 적용 불가능"이 모두 있음이 밝혀집니다.
수학적 논리는 20세기 정보기술의 급속한 발전에 많은 기여를 했지만, 아리스토텔레스 시대부터 논리학에 등장한 '판단'이라는 개념이 자연어의 논리적 기초를 이루고 있다. , 시야에서 벗어났습니다. 그러한 누락은 사회의 논리적 문화 발전에 전혀 기여하지 않았으며 심지어 많은 사람들 사이에서 컴퓨터가 인간보다 더 나쁘지 않게 생각할 수 있다는 환상을 불러 일으켰습니다. 많은 사람들은 3천년 전의 일반적인 컴퓨터화를 배경으로 과학 자체(정치, 입법, 유사과학은 말할 것도 없고) 내에서 논리적 부조리가 19세기 말보다 훨씬 더 흔하다는 사실에 당황하지도 않습니다. . 그리고 이러한 부조리의 본질을 이해하기 위해 수학적 논리에 사용되는 다중 위치 관계와 재귀 함수를 사용하는 복잡한 수학적 구조로 전환할 필요가 없습니다. 이러한 부조리를 이해하고 분석하려면 현대 논리의 수학적 기초와 모순되지 않을뿐만 아니라 어떤 식 으로든 보완하고 확장하는 훨씬 간단한 수학적 판단 구조를 적용하는 것으로 충분합니다.
서지
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대학원 과정
논문주제
“초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소의 사용”
수학 논리 초등
소개
1장. 초등학교에서 수학적 논리의 요소를 연구하기 위한 이론적 기초
1.1 수학적 개념과 문장의 논리적 구조를 이해한다
1.2 수학의 한 분야인 논리학 연구
1.3 논리적 추론
1장에 대한 결론
2 장. 초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소 사용
2.1 초기 수학 과정에서 논리 요소 사용
2.2 교육 단지 "Prospective Primary School"에 따른 수학적 논리 요소를 사용하는 심리적, 교육적 기초
2.3 초등학교 졸업 후 학생들 사이에서 "수학적 논리 요소" 개념 개발을 목표로 하는 과제 시스템
제2장 결론
결론
서지
응용
소개
현재 우리나라는 수학 교육을 개선할 수 있는 방법을 적극적으로 모색하고 있습니다. 새로운 일반 교육의 연방 주 교육 표준에 따라 초등학생은 수학 과목에서 초등 일반 교육의 기본 교육 프로그램을 습득한 결과에 대한 요구 사항을 준수해야 합니다.
1) 기본 수학적 지식을 사용하여 주변 물체, 프로세스, 현상을 설명하고 양적 및 공간적 관계를 평가합니다.
2) 논리적 및 알고리즘적 사고, 공간적 상상력 및 수학적 언어, 측정, 재계산, 추정 및 평가, 데이터 및 프로세스의 시각적 표현, 알고리즘 기록 및 실행의 기초를 숙지합니다.
3) 숫자와 수치 표현을 사용하여 구두 및 서면 산술 연산을 수행하고, 단어 문제를 해결하고, 알고리즘에 따라 작동하고 간단한 알고리즘을 구축하는 능력, 기하학적 모양을 탐색, 인식 및 묘사하고, 표, 다이어그램, 그래프로 작업할 수 있습니다. 데이터를 다이어그램, 체인, 집계, 제시, 분석 및 해석합니다.
오늘날 수학 교육은 중등 교육 시스템의 일부인 동시에 일종의 독립적인 교육 단계입니다. 수학 교육의 새로운 콘텐츠는 주로 어린 학생들의 문화 형성과 사고의 독립성, 수학 수단과 방법을 통한 교육 활동 요소에 중점을 두고 있습니다. 훈련 중에 어린이는 자신의 행동이 의도한 계획에 부합하는지 확인하기 위해 일반적인 행동 방법, 완료된 활동에 대한 단계별 제어 및 자체 평가를 수행하는 방법을 배워야 합니다.
그렇기 때문에 수학 프로그램에서 프로그램의 산술, 대수 및 기하학 부분을 연구하는 과정에서 개발되는 알고리즘, 논리 및 조합 선의 형성에 특별한 주의를 기울이는 것은 우연이 아닙니다.
수학자 A.N. 콜모고로프, A.I. Markushevich A.S. 스톨리아라, A.M. 피시칼로, P.M. Erdnieva 등은 학교 수학 교육 개선의 근본적인 문제, 특히 수학적 논리 요소를 포함하여 학교 과정의 논리적 기반 강화와 관련된 문제를 강조합니다.
지난 10년 동안 학교가 현대화 과정에 들어서면서 새로운 표준, 기술, 방법 및 다양한 교수 도구가 실제로 도입되면서 초등 수준과 기초 수준 간의 교육 연속성 문제가 가장 중요해졌습니다. 교과서 세트의 존재는 이러한 수준 간의 연속성을 유지하는 중요한 구성 요소입니다. A.A. Stolyar는 "학교의 초등 및 중등 학년에서 실행되어야 하는 정신적이고 논리적인 프로그램이 필요합니다."
심리학자와 교사의 연구 V.V. 비고츠키, L.V. Davydova, N.M. Skatkina 및 기타 사람들은 특정 조건에서 높은 수준의 지식, 기술 및 능력뿐만 아니라 일반적인 개발도 달성할 수 있음을 보여줍니다. 전통적인 교육에서 발달은 바람직하지만 예측 가능한 학습 결과와는 거리가 먼 것으로 보입니다.
우리 의견으로는 심리학 및 방법론 문헌에서 학생들의 수학적 논리 요소를 형성하는 문제는 고등학교에서 수학을 가르치는 것과 관련하여 부분적으로 고려됩니다.
따라서 일반 교육 학교의 1학년부터 시작하는 숫자 세트는 학생들의 추론 기술을 보다 명확하게 개발할 수 있는 실험실을 나타내며, 이는 특정 접근 방식의 진실 또는 거짓을 결정하는 기초가 됩니다. 문제의 특정 공식화. "이런 과제가 학교에서 수학을 가르치는 과정의 주요 목표이며, 이 문제의 어느 부분이 초등학교에서 발생합니까?"라는 질문이 생깁니다. 이 질문에 대한 답은 I-IV학년 수학 프로그램과 교과서를 철저히 분석한 후에만 얻을 수 있습니다.
문제의 시급성은 어린 학생들에게 수학적 논리 요소를 형성하기 위해 초등학교 수학 교육 내용을 개선하는 것입니다.
연구의 목적 1-4학년에 수학을 가르칠 때 수학 과정의 틀 내에서 수학적 논리 요소에 대한 연구를 고려하고 그 구현을 위한 교육 및 방법론적 도구를 개발합니다.
연구대상- 초등학교에서 수학 수업을 가르칠 때 수학적 논리의 요소를 공부하는 과정.
안건- 1~4학년 학생들의 수학적 논리 요소를 형성하는 방법 및 수단.
연구 가설수학을 가르치는 과정을 정리할 수 있다는 점이며, 이는 수학적 지식과 기술의 준비와 함께 의식적이고 체계적으로 논리적 기술을 개발할 것입니다.
목표를 달성하고 가설을 구현하기 위해 다음이 확인되었습니다. 연구 목표:
1. 수학적 개념과 문장의 논리적 구조에 대한 개념을 제시합니다.
2. 과학이자 수학의 한 분야로서 논리학을 공부합니다.
3. 논리적 추론이 무엇인지 알아보고 그에 대한 정의를 제시하세요.
4. 학생들의 논리적 발달의 관점에서 수학 교육 표준, 커리큘럼 및 현재 학교 교과서를 분석합니다.
5. 초등학교에서 수학을 가르치는 과정에서 어린이의 수학적 논리 요소 형성을 위한 심리적, 교육학적, 방법론적 기초를 확인합니다.
6. 초등학교 환경에서 개발된 방법의 효과를 테스트하기 위해 실험적 연구를 수행합니다.
이 연구의 이론적, 방법론적 기초는 변증법적 유물론 철학의 기본 원칙과 그에 기초하여 개발된 학습에 대한 개인 적극적 접근 방식의 교리(A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein 등)로 구성됩니다. 발달 학습 이론의 출발점 (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya 등) 방법론 수학자(A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev)의 기본 아이디어.
1장. 초등학교에서 수학적 논리의 요소를 연구하기 위한 이론적 기초
1.1 수학적 개념과 문장의 논리적 구조를 이해한다
학교에서 수학을 공부할 때 특정 개념, 명제 및 증명 시스템을 숙지해야 하지만, 이 시스템을 숙지하고 습득한 지식과 기술을 성공적으로 적용하고 어린 학생들을 가르치며 수학을 사용하여 발달 문제를 해결하려면 , 수학적 개념의 특징이 무엇인지, 어떻게 구조화된 정의인지, 개념의 속성을 표현하는 문장, 증명인지 등을 이해해야 합니다.
초등학교 교사는 아이들에게 수학 지식의 세계를 가장 먼저 소개하는 사람이기 때문에 그러한 지식이 필요하며, 앞으로 수학 공부에 대한 아이의 태도는 그가 이를 얼마나 유능하고 성공적으로 수행하는지에 달려 있습니다.
이 자료를 공부하는 것은 집합론 언어를 익히는 것과 관련이 있으며, 이는 수학적 개념, 명제 및 증명의 논리적 구조를 고려할 때뿐만 아니라 전체 과정을 구성하는 데에도 사용됩니다.
수학 입문 과정에서 가르치는 개념은 일반적으로 네 그룹으로 나누어집니다. 첫 번째에는 숫자, 추가, 용어, 더 큰 등 숫자 및 연산과 관련된 개념이 포함됩니다. 여기에는 표현, 평등, 방정식 등 대수 개념이 포함됩니다. 세 번째 그룹은 직선, 선분, 삼각형 등의 기하학적 개념으로 구성됩니다. 네 번째 그룹은 수량 및 측정과 관련된 개념으로 구성됩니다.
매우 다양한 개념을 연구하려면 개념을 논리적 범주로 생각하고 수학적 개념의 특징을 갖는 것이 필요합니다.
논리학에서 개념은 대상(대상 또는 현상)의 본질적이고 일반적인 속성을 반영하는 사고의 한 형태로 간주됩니다. 개념의 언어적 형태는 단어 또는 단어의 그룹입니다.
어떤 대상에 대해 생각한다는 것은 그것을 다른 유사한 대상과 구별할 수 있다는 것을 의미합니다. 수학적 개념에는 여러 가지 특징이 있습니다. 가장 중요한 것은 개념이 형성되는 것과 관련된 수학적 대상이 실제로 존재하지 않는다는 것입니다. 모든 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 실제 물체나 현상을 반영하는 물체에 이상적입니다.
예를 들어 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 그들은 이 모든 것에서 주의가 산만해지고 추상화됩니다. 따라서 기하학에서는 "물체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다.
추상화의 결과는 "수"와 "크기"와 같은 수학적 개념입니다.
일반적으로 수학적 대상은 인간의 사고와 수학적 언어를 형성하는 기호 및 기호에만 존재합니다.
수학은 물질 세계의 공간적 형태와 양적 관계를 연구함으로써 다양한 추상화 기법을 사용할 뿐만 아니라 추상화 자체가 다단계 과정으로 작용합니다.
수학에서 새로운 개념의 출현, 따라서 이러한 개념을 나타내는 새로운 용어는 그 정의를 전제로 합니다.
정의는 일반적으로 새로운 용어(또는 명칭)의 본질을 설명하는 문장입니다. 일반적으로 이는 이전에 소개된 개념을 기반으로 수행됩니다.
속과 종의 차이를 통한 개념의 정의는 본질적으로 새로운 용어를 도입하거나 알려진 용어 집합을 대체하는 조건부 동의이기 때문에 정의에 대해 그것이 올바른지 틀리는지 말할 수 없습니다. 그것은 입증되지도 반증되지도 않습니다. 그러나 정의를 공식화할 때 다음과 같은 여러 규칙을 준수합니다.
· 결정은 비례적이어야 합니다. 이는 정의된 개념과 정의하는 개념의 양이 일치해야 함을 의미합니다. 이 규칙은 정의된 개념과 정의하는 개념이 상호 교환 가능하다는 사실에서 따릅니다.
· 정의(또는 그 체계)에 악순환이 있어서는 안 된다. 이는 개념 자체를 통해 개념을 정의하거나(정의 용어는 정의 중인 용어를 포함해서는 안 됨) 다른 개념을 통해 정의하고 다시 이를 통해 정의할 수 없음을 의미합니다. 수학에서는 개별 개념만 고려하는 것이 아니기 때문입니다. 그리고 그들의 시스템은 정의 시스템의 악순환을 금지합니다.
· 정의가 명확해야 합니다. 이것은 언뜻 보면 명확한 규칙이 아니지만 많은 의미를 갖습니다. 우선, 새로운 개념의 정의가 도입될 때 정의 개념에 포함된 용어의 의미가 알려져 있을 필요가 있다. 정의의 명확성을 위한 조건에는 일반 개념의 범위에서 정의된 개체를 분리하는 데 필요하고 충분한 속성만 구체적인 차이점에 포함하라는 권장 사항도 포함됩니다.
초등학교에서 수학을 공부할 때 속과 종의 구별을 통한 정의는 거의 사용되지 않습니다. 초기 수학 과정에는 많은 개념이 있습니다.
초등학교에서 수학을 공부할 때 소위 암묵적 정의가 가장 많이 사용됩니다. 그들의 구조에서는 결정된 것과 결정하는 것을 구별하는 것이 불가능합니다. 그 중에는 문맥상과 표면상이 구별됩니다.
맥락적 정의에서 새로운 개념의 내용은 텍스트의 통과, 맥락, 특정 상황의 분석을 통해 드러납니다. 도입된 개념의 의미를 설명합니다. 맥락을 통해 정의된 개념과 알려진 다른 개념 사이의 연결이 확립되고, 이를 통해 그 내용이 간접적으로 드러납니다. 상황에 따른 정의의 예로는 방정식과 그 해의 정의가 있습니다.
표면적 정의는 시연에 의한 정의입니다. 용어가 참조하는 개체를 보여줌으로써 용어를 소개하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 초등학교에서는 평등과 불평등의 개념을 이런 식으로 정의할 수 있습니다.
실제 과정에 대한 연구, 수학적 설명은 자연스러운 언어와 상징적 의미로 사용됩니다. 설명은 문장을 사용하여 구성됩니다. 그러나 수학적 지식이 우리를 둘러싼 현실을 정확하고 적절하게 반영하려면 이러한 제안이 사실이어야 합니다. 각 수학적 논문은 내용과 논리적 형식(구조)이 특징이며 내용은 형식과 불가분의 관계로 연결되어 있으며 두 번째를 이해하지 않고는 첫 번째를 이해할 수 없습니다.
1) 숫자 12는 짝수입니다.
수학에서 사용되는 문장은 기호를 사용하여 자연어(러시아어)와 수학 언어로 작성할 수 있음을 알 수 있습니다. 문장 1,4,5, 6에 대해서는 실제 정보를 전달하고 문장 2에 대해서는 거짓 정보를 전달한다고 말할 수 있습니다. x +5 = 8이라는 문장에 대해서는 일반적으로 그것이 참인지 거짓인지 말하기가 불가능합니다. 문장을 참과 거짓의 관점에서 바라보면 진술이라는 개념이 탄생하게 되었습니다.
1.2 수학의 한 분야로 논리학을 공부하다
논리는 가장 오래된 과학 중 하나입니다. 논리의 주제를 구성하는 사고의 측면을 누가, 언제, 어디서 처음으로 처음으로 설정했는지는 현재로서는 불가능합니다. Ivin A.A.가 지적했듯이. , 논리적 교육의 기원 중 일부는 기원전 2천년 말 인도에서 찾을 수 있습니다. 그러나 과학으로서의 논리의 출현, 즉 다소 체계화된 지식 체계에 대해 이야기한다면 고대 그리스의 위대한 문명을 논리의 발상지로 간주하는 것이 공정할 것입니다. 기원전 5~4세기에 이곳에 있었습니다. 민주주의의 급속한 발전과 그에 따른 사회 정치적 삶의 전례 없는 부흥 기간 동안, 이 과학의 기초는 데모크리토스, 플라톤 및 소크라테스의 작품에 의해 마련되었습니다. 논리의 "아버지"인 조상은 고대의 가장 위대한 사상가로 간주됩니다. 플라톤의 제자는 아리스토텔레스(BC 384-322)입니다. 그의 작품에서 "Organon"(인지 도구)이라는 일반 제목으로 통합되어 처음으로 기본 논리적 형식과 추론 규칙, 즉 결론의 형식을 철저하게 분석하고 설명한 사람이 바로 그 사람이었습니다. 범주적 판단이라고 함 - 범주형 삼단논법(“제1 분석”), 과학적 증거의 기본 원칙을 공식화(“제2 분석”)하고, 특정 유형의 진술의 의미를 분석하고(“해석에 대하여”) 주요 내용을 설명했습니다. 개념 교리 ( "범주") 개발에 대한 접근 방식. 아리스토텔레스는 또한 분쟁에서 다양한 종류의 논리적 오류와 궤변적인 기술을 폭로하는 데 심각한 관심을 기울였습니다("On Sophistic Refutations").
논리는 사회 전체의 발전 역사와 불가분의 관계가 있는 길고 풍부한 역사를 가지고 있습니다.
이론으로서의 논리의 출현은 수천 년 전으로 거슬러 올라가는 사고의 실천보다 먼저 이루어졌습니다. 인간의 노동, 물질, 생산 활동이 발전함에 따라 인간의 사고 능력, 특히 추상화 및 추론 능력이 점차 향상되고 발전했습니다. 그리고 이것은 조만간, 그러나 필연적으로 연구의 대상이 그 형태와 법칙에 따라 스스로 생각하게 된다는 사실로 이어져야 했습니다.
Ivin A.A.가 지적했듯이. , 역사는 25,000여 년 전에 고대 인도와 고대 중국에서 처음으로 사람의 정신적 시선 이전에 개인의 논리적 문제가 나타났음을 보여줍니다. 그런 다음 고대 그리스와 로마에서 더욱 완전한 발전을 이루었습니다. 점차적으로 논리적 지식의 일관된 시스템이 형성되고 독립적인 과학이 형성됩니다.
논리의 출현 이유는 무엇입니까? 아이빈 A.A. 두 가지 주요한 것이 있다고 믿습니다. 그 중 하나는 과학, 특히 수학의 기원과 초기 발전입니다. 이 과정은 6세기로 거슬러 올라간다. 기원전. 고대 그리스에서 가장 완벽한 발전을 이루었습니다. 신화와 종교에 맞서 투쟁하면서 탄생한 과학은 추론과 증거를 포함하는 이론적 사고를 기반으로 했습니다. 따라서 인지 수단으로서 사고 자체의 본질을 연구할 필요가 있습니다.
Kurbatov V.I. , 논리는 무엇보다도 결과가 현실과 일치하기 위해 과학적 사고가 충족해야 하는 요구 사항을 식별하고 정당화하려는 시도로 나타났습니다.
아마도 훨씬 더 중요한 또 다른 이유는 고대 그리스 민주주의 환경에서 번성했던 사법 예술을 포함한 웅변술의 발전 때문일 것입니다. 로마의 가장 위대한 연설가이자 과학자인 키케로(기원전 106-43년)는 웅변의 "신성한 선물"의 소유자인 연설가의 힘에 대해 다음과 같이 강조했습니다. 그의 직원, 그의 연사 직함은 얼마입니까? 그는 자신의 말로 동료 시민들의 분노를 불러일으킬 수 있고, 범죄와 사기를 저지른 사람에 대한 형벌을 내릴 수 있으며, 자신의 재능의 힘으로 무고한 사람들을 재판과 형벌에서 구할 수 있습니다. 그는 소심하고 우유부단한 사람들을 영웅주의로 이끌 수 있고, 그들을 오류에서 이끌어 낼 수 있으며, 악당들에 대해 그들을 선동하고 합당한 사람들에 대한 불평을 진정시킬 수 있습니다. 그는 상황에 따라 필요할 때 한 마디 말로 어떻게 인간의 열정을 자극하고 진정시킬 수 있는지 알고 있습니다.”
Ivin A.A.에 따르면 논리학의 창시자(때때로 "논리학의 아버지"라고도 함)는 고대 그리스의 가장 위대한 철학자이자 백과사전학자인 아리스토텔레스(기원전 384-322년)로 간주됩니다. 그러나 논리적 문제에 대한 최초의 매우 상세하고 체계적인 제시는 실제로 초기 고대 그리스 철학자이자 박물학자인 데모크리토스(기원전 460년 - 약 370년)에 의해 제시되었다는 점을 명심해야 합니다. 그의 수많은 작품 중에는 "논리학 또는 정경에 대하여"라는 세 권의 책으로 구성된 광범위한 논문이 있습니다. 여기에서는 지식의 본질, 진리의 주요 형태 및 기준이 드러났을뿐만 아니라 지식에서 논리적 추론의 큰 역할이 보여지고 판단의 분류가 제공되었습니다. 일부 유형의 추론적 지식은 강하게 비판을 받았으며 귀납적 논리, 즉 실험적 지식의 논리를 개발하려는 시도가 이루어졌습니다. 불행하게도 다른 모든 논문과 마찬가지로 데모크리토스의 이 논문은 우리에게 도달하지 못했습니다.
논리 발전의 새롭고 더 높은 단계는 17세기에 시작됩니다. 이 단계는 연역 논리, 귀납 논리와 함께 프레임워크 내에서 생성과 유기적으로 연결됩니다. 점점 축적되는 경험적 자료를 바탕으로 일반 지식을 획득하는 다양한 과정을 반영합니다. 그러한 지식을 얻을 필요성은 뛰어난 영국 철학자이자 자연과학자 F. Bacon(1561-1626)의 작품에서 가장 완벽하게 실현되고 표현되었습니다. 그는 귀납논리학의 창시자가 되었다. “...현재 존재하는 논리는 지식 발견에 쓸모가 없다”고 그는 가혹한 판결을 내렸다. 그러므로 베이컨은 마치 아리스토텔레스의 오래된 “오르가논”과 대조되는 것처럼 “새로운 오르가논...”을 썼는데, 여기서 그는 귀납적 논리의 개요를 설명했습니다. 그는 현상의 인과관계를 결정하기 위한 귀납적 방법의 개발에 주된 관심을 기울였습니다. 이것이 베이컨의 큰 장점이다. 그러나 그가 창안한 귀납론은 아이러니하게도 기존 논리를 부정하는 것이 아닌 것으로 드러났다. 그리고 더욱 풍부해지고 발전됩니다. 이는 일반화된 추론 이론의 탄생에 기여했습니다. 그리고 이는 아래에서 살펴보겠지만 귀납과 연역은 배제하는 것이 아니라 서로를 전제하고 유기적인 통일체를 이루고 있기 때문에 자연스러운 일이다.
러시아 과학자들은 전통적인 형식 논리의 발전에 잘 알려진 기여를 했습니다. 따라서 이미 10세기경부터 시작된 논리학에 관한 최초의 논문에 나와 있습니다. 아리스토텔레스와 다른 과학자들의 연구에 대해 독립적으로 논평하려는 시도가 있었습니다. 러시아의 독창적인 논리 개념은 18세기에 개발되었습니다. 주로 M. Lomonosov(1711-1765) 및 A. Radishchev(1749-1802)의 이름과 관련이 있습니다. 우리나라 논리연구의 전성기는 19세기 말로 거슬러 올라간다.
독일 철학자 G. 헤겔(1770-1831)은 새로운 변증법적 논리의 통합 시스템을 개발하려는 거창한 시도를 했습니다. 그의 기본 저서 '논리학'에서 그는 우선 기존 논리 이론과 실제 사고 실천 사이의 근본적인 모순을 드러냈는데, 이는 당시 상당한 수준에 이르렀습니다.
Kurbatov V.I.가 지적했듯이 헤겔은 사고의 본질, 법칙 및 형식을 재검토했습니다. 이와 관련하여 그는 "변증법은 사유 자체의 본질을 구성하며 이성으로서 자기 부정과 모순에 빠지게 된다"는 결론에 도달했습니다. 사상가는 자신의 임무를 이러한 모순을 해결할 방법을 찾는 것으로 보았습니다. 헤겔은 낡고 평범한 논리가 형이상학적인 지식 방법과 연관되어 있다는 이유로 신랄하게 비판했습니다. 그러나 이 비판에서 그는 동일성의 법칙과 모순의 법칙에 기초한 원칙을 거부하기까지 했습니다.
아이빈 A.A. 변증법적 논리의 문제, 형식 논리와의 관계는 독일 철학자와 과학자 K. Marx(1818-1883) 및 F. Engels(1820-1895)의 작업에서 더욱 구체화되고 발전했다고 말합니다. 철학, 자연과학, 사회과학을 통해 축적된 가장 풍부한 지적 자료를 사용하여 그들은 K. Marx의 "Capital", "Anti-Dühring" 및 "Dialectics of Nature"와 같은 작품에서 구현된 질적 새로운 변증법적 유물론 시스템을 만들었습니다. " F. 엥겔스. 이러한 일반적인 철학적 입장에서 마르크스와 엥겔스는 특별한 "사고와 그 법칙에 대한 교육"인 논리와 변증법을 평가했습니다. 그들은 형식논리의 중요성을 부정하지 않았고, 형식논리를 '말도 안되는' 것으로 간주하지 않았으며 형식논리의 역사적 성격을 강조했습니다. 따라서 엥겔스는 각 시대의 이론적 사고가 시대에 따라 매우 다른 형태와 동시에 매우 다른 내용을 취하는 역사적 산물이라고 지적했습니다. "결과적으로 사고의 과학은 다른 과학과 마찬가지로 역사 과학, 인간 사고의 역사적 발전에 관한 과학입니다."
최근 수십년간 우리나라에서는 변증법적 논리를 체계적으로 제시하려는 많은 유익한 시도가 있어왔습니다. 개발은 크게 두 가지 방향으로 진행됩니다. 한편으로는 인간의 사고에서 현실 발전의 반영 패턴, 객관적인 모순이 공개되고, 다른 한편으로는 사고 자체의 발전 패턴, 자체 변증법이 공개됩니다.
과학기술 혁명의 조건에서 과학이 새롭고 더 깊은 지식 수준으로 이동하고 변증법적 사고의 역할이 커질 때 변증법적 논리의 필요성은 점점 더 강화됩니다. 추가 개발을 위해 새로운 인센티브를 받습니다.
논리학 연구의 진정한 혁명은 19세기 후반 수학적 논리학의 창조로 인해 일어났는데, 이는 상징이라고도 불리며 논리학 발전의 새로운 현대적 단계를 표시했습니다.
이 논리의 시작은 아리스토텔레스와 그의 추종자인 스토아학파에서 이미 명제 논리뿐만 아니라 술어 논리, 양상 추론 이론의 요소 형태로 추적될 수 있습니다. 그러나 문제의 체계적인 발전은 훨씬 나중으로 거슬러 올라갑니다.
Ivin A.A.가 지적했듯이 이미 17세기 후반에 수학 발전의 성공과 수학적 방법의 다른 과학 침투로 인해 두 가지 근본적인 문제가 시급히 제기되었습니다. 한편으로는 수학의 이론적 기초를 개발하기 위해 논리를 사용하는 것이고, 다른 한편으로는 논리 자체를 과학으로 수학화하는 것입니다. 발생한 문제를 해결하려는 가장 심오하고 유익한 시도는 독일의 가장 위대한 철학자이자 수학자 G. 라이프니츠(1646-1416)에 의해 이루어졌습니다. 따라서 그는 본질적으로 수학적 논리학의 창시자가 되었습니다. 라이프니츠는 과학자들이 실증적 연구가 아닌 연필을 손에 들고 미적분학에 참여하는 시대를 꿈꿨습니다. 그는 이러한 목적을 위해 모든 경험 과학을 합리화할 수 있는 보편적인 상징 언어를 창안하려고 노력했습니다. 그의 의견으로는 새로운 지식은 논리적 계산, 즉 미적분의 결과가 될 것입니다.
V.I. Kurbatov에 따르면 라이프니츠의 사상은 18세기와 19세기 전반에 어느 정도 발전했습니다. 그러나 상징논리학의 강력한 발전을 위한 가장 유리한 조건은 19세기 후반에야 비로소 나타났다. 이때까지 과학의 수학화는 특히 중요한 진전을 이루었고 수학 자체에서 과학의 정당화에 대한 새로운 근본적인 문제가 발생했습니다. 영국의 과학자, 수학자, 논리학자 철도. Boole(1815-1864)은 주로 그의 작품에서 논리에 수학을 적용했습니다. 그는 추론 이론에 대한 수학적 분석을 제공하고 논리적 미적분학(“부울 대수”)을 개발했습니다. 독일의 논리학자이자 수학자 G. 프레게(1848-1925)는 수학 연구에 논리를 적용했습니다. 확장된 술어 계산을 통해 그는 공식화된 산술 시스템을 구축했습니다.
따라서 논리 연구 개발에 새롭고 현대적인 단계가 열렸습니다. 아마도 이 단계의 가장 중요한 특징은 전통적인 논리적 문제를 해결하기 위한 새로운 방법을 개발하고 사용하는 것입니다. 이것은 소위 형식화된 인공 언어, 즉 기호 언어의 개발 및 사용입니다. 알파벳 및 기타 기호(따라서 현대 논리의 가장 일반적인 이름 - "기호").
Ivin A.A.가 지적했듯이. , 논리 계산에는 명제 계산과 술어 계산의 두 가지 유형이 있습니다. 첫 번째에서는 판단의 내부 개념적 구조로부터의 추상화가 허용되고 두 번째에서는 이 구조가 고려되므로 상징적 언어가 새로운 기호로 풍부해지고 보완됩니다.
논리에서 기호 언어의 중요성은 과대평가하기 어렵습니다. G. Frege는 그것을 망원경과 현미경의 의미와 비교했습니다. 그리고 독일 철학자 G. 클라우스(1912-1974)는 형식화된 언어의 창조가 생산 영역에서 육체 노동에서 기계 노동으로의 전환이 갖는 것과 동일한 논리적 추론 기술의 중요성을 갖는다고 믿었습니다. 전통적인 형식 논리, 상징 논리를 기반으로 등장한 상징 논리는 특히 추론 이론에서 논리 법칙 및 형식에 대한 이전 아이디어를 명확하고 심화하며 일반화하는 동시에 논리적 문제를 점점 더 확장하고 풍부하게 합니다. . 현대 논리학은 복잡하고 고도로 발달된 지식 시스템입니다. 여기에는 다양한 방향, 개별적이고 상대적으로 독립적인 "논리"가 포함되어 있으며, 실천의 요구를 점점 더 완벽하게 표현하고 궁극적으로 주변 세계의 복잡성의 다양성, 이 세계 자체에 대한 사고의 통일성과 다양성을 반영합니다.
기호 논리는 수학뿐만 아니라 물리학, 생물학, 사이버네틱스, 경제학, 언어학 등 다른 과학에서도 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 이는 새로운 지식 분야(수학)의 출현으로 이어집니다. 생산 영역에서 논리의 역할은 특히 인상적이고 명확합니다. 추론 과정을 자동화할 가능성을 열어 일부 사고 기능을 기술 장치로 이전하는 것이 가능해졌습니다. 그 결과는 릴레이 접점 회로, 컴퓨터, 정보 논리 시스템 등의 생성과 같은 기술 분야에서 점점 더 많이 사용되고 있습니다. 한 과학자의 비유적인 표현에 따르면, 현대 논리학은 정확한 사고의 “도구”일 뿐만 아니라 정밀한 도구인 전자 자동 장치의 “사고”이기도 합니다. 현대 논리학의 성과는 법적 영역에서도 활용됩니다. 따라서 법의학에서는 연구의 다양한 단계에서 수집된 정보의 논리적, 수학적 처리가 수행됩니다.
증가하는 과학 기술 진보의 필요성은 현대 논리학의 더욱 집중적인 발전을 결정합니다.
러시아 과학자들이 상징 논리 시스템 개발에 중요한 공헌을 했다는 사실은 여전히 남아 있습니다. 그중에서도 특히 P. Poretsky(1846-1907)가 눈에 띕니다. 그는 러시아에서 처음으로 수학적 논리에 대한 강의를 시작했습니다. 수학적 논리는 오늘날에도 계속해서 발전하고 있습니다.
V.I. Kurbatov에 따르면 수학적 논리 연구는 마음을 훈련합니다. 수학에 대한 M.V. Lomonosov의 유명한 말을 기억하면서 우리는 다른 어떤 수학 과학보다 수학적 논리가 "마음을 정리한다"고 말할 수 있습니다.
모든 대수학의 언어는 이 언어의 알파벳이라고 불리는 일련의 기호로 구성됩니다.
자연어 알파벳 기호와 유사하게 알파벳 기호를 문자라고 합니다.
자연스럽게 질문이 생깁니다. 수치 대수학 언어의 알파벳에는 어떤 문자가 포함되어야 합니까?
우선, 분명히 우리는 집합의 요소를 나타내는 문자, 즉 대수학의 전달자(이 경우 숫자를 나타내는 문자)와 이 집합의 요소에 대한 변수가 있어야 합니다.
숫자를 지정하기 위해 십진수 체계를 사용하면 숫자 대수학의 알파벳에 숫자라고 불리는 10개의 문자(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)를 포함해야 합니다. 특정 규칙에 따라 모든 숫자의 이름.
숫자 변수(N, N0, Z, Q 또는 R 세트의 숫자에 대한 변수)로 라틴 알파벳 a, b, c, x, y, z 문자 또는 색인이 있는 문자 중 하나가 사용됩니다. 예: X1, X2, Xn.
때로는 라틴 알파벳 문자가 숫자 상수, 즉 숫자 이름으로도 사용됩니다(특정 숫자에 대해 이야기할 때 어떤 숫자인지는 중요하지 않습니다). 이 경우 일반적으로 라틴 알파벳의 첫 글자 a, b, c를 상수로 사용하고 마지막 글자 x, y, z를 변수로 사용합니다.
또한 작업을 나타내는 문자도 필요합니다. 덧셈과 곱셈에는 잘 알려진 기호(문자) +와 *가 각각 사용됩니다.
또한 대수학 언어에서 구두점의 역할은 괄호(왼쪽 및 오른쪽)로 수행됩니다.
따라서 수치 대수학을 설명하는 언어의 알파벳에는 네 가지 종류의 문자로 구성된 세트가 포함되어야 합니다. I - 숫자 이름이 구성되는 숫자; II - 라틴 알파벳 문자 - 숫자 변수 또는 상수 III - 작업 표시; IV - 괄호.
빼기(--) 및 나누기(:) 기호는 해당 연산의 정의에 따라 도입될 수 있습니다.
점차적으로 수치 대수의 알파벳은 다른 "문자"로 보완됩니다. 특히 이진 관계 "같음", "보다 작음", "큼" 기호가 도입됩니다.
나열된 모든 기호는 수학 법칙, 규칙 및 증명의 정확하고 간결하며 명확하게 이해되는 공식화의 필요성과 관련하여 발생한 인공 언어인 수학 언어의 알파벳에 포함됩니다.
역사적으로 수학의 상징은 수세기에 걸쳐 많은 뛰어난 과학자들의 참여로 만들어졌습니다. 따라서 문자로 미지의 수량을 지정하는 것은 Diophantus(3세기)에 의해 사용되었으며, 대수학에서 라틴 알파벳 대문자의 광범위한 사용은 Vieta(16세기)에서 시작되었다고 믿어집니다. 이 알파벳의 소문자는 R. Descartes(XVII 세기)의 지정을 위해 도입되었습니다. 등호(=)는 영국 과학자 R. Record(XVI 세기)의 작품에 처음 등장했지만 일반적으로 XVIII 세기에만 사용되었습니다. 불평등 기호(< , >)는 17세기 초 영국의 수학자 Gariot에 의해 소개되었습니다. 그리고 "=", ">", " 기호가 있지만<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .
수학의 진술은 질문이 의미가 있는 문장입니다. 즉, 참 또는 거짓입니다.
이들 사이의 개념과 관계에 대해 다양한 판단이 내려질 수 있다. 판단의 언어적 형태는 서술형 문장이다. 예를 들어. 기본 수학 과정에서는 다음 문장을 찾을 수 있습니다.
1) 숫자 12는 짝수입니다.
4) 숫자 15에는 10과 5가 포함되어 있습니다.
5) 요인을 재배열해도 제품은 변하지 않습니다.
6) 일부 숫자는 3으로 나누어집니다.
수학에서 사용되는 문장은 기호를 사용하여 자연어(러시아어)와 수학 언어로 작성할 수 있음을 알 수 있습니다. 문장 1,4,5, 6에 대해서는 실제 정보를 전달하고 문장 2에 대해서는 거짓 정보를 전달한다고 말할 수 있습니다. x +5 = 8이라는 문장에 대해서는 일반적으로 그것이 참인지 거짓인지 말하기가 불가능합니다.
진술 A와 B가 주어지면 접속사 "and", "or", "if ... then ...", "either ... or ...", "if"를 사용하여 새로운 진술을 만들 수 있습니다. 만약 그렇다면”, 입자 “아님”도 마찬가지입니다. 예를 들어 A는 "지금은 맑습니다"라는 진술을 의미하고 B는 "지금 바람이 불고 있습니다"라는 진술을 의미한다고 가정합니다. 그러면 "A와 B"라는 진술은 "지금은 맑고 바람이 불고 있습니다"를 의미하고, "A가 아니면 B가 아닙니다"라는 진술은 "지금 맑지 않으면 바람이 불지 않습니다"를 의미합니다.
이러한 진술을 복합명령문이라 하고, 그 안에 포함된 진술 A와 B를 기본명령문이라 한다. 두 복합 명제 A와 B는 그 안에 포함된 기본 명제의 참에 대한 어떤 가정 하에서 둘 다 참이면서 동시에 거짓인 경우 동등하다고 말합니다. 이 경우에는 A=B라고 씁니다.
이미 수학의 첫 수업부터 초등학생들은 대부분 사실인 진술을 접하게 됩니다. 그들은 다음 진술에 익숙해집니다: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.
A가 어떤 명제라면, 그것이 거짓이라고 주장함으로써 우리는 새로운 명제를 얻습니다. 발언 거부 A는 기호 B로 표시됩니다.
따라서 명제가 참이면 그 부정은 거짓이고 그 반대도 마찬가지입니다. 이 결론은 "I"가 참 진술을 의미하고 "L"이 거짓 진술을 의미하는 표를 사용하여 작성할 수 있습니다. 이러한 유형의 표를 진리표라고 합니다(부록 2, 그림 1 참조).
A와 B를 두 개의 기본 진술로 둡니다. 이들을 접속사 “and”와 연결하면 다음과 같은 새로운 진술이 생성됩니다. 접속사 데이터 진술 A로 지정되어 있나요? B. 항목 A? B는 "A와 B"라고 읽었습니다.
정의에 따르면, 두 명제의 결합은 두 명제가 모두 참인 경우에만 참입니다. 그 중 적어도 하나가 거짓이면 접속사는 거짓입니다 (부록 2, 그림 2 참조).
"7 - 4 = 3이고 4는 짝수입니다."라는 진술을 생각해 보세요. 이는 "7 - 4 = 3"과 "4는 짝수입니다"라는 두 진술의 결합입니다. 두 진술이 모두 참이므로, 그들의 결합은 참입니다.
A와 결합하면? 진술 A와 B를 바꾸면 B 형태의 결합을 얻습니까? A. 진리표에서 공식 A는 무엇입니까? B와 B? 그리고 진술 A와 B의 서로 다른 의미에 대해 동시에 참이거나 동시에 거짓입니다.
결과적으로 그들은 동등하며 진술 A와 B에 대해 다음과 같은 결과를 얻습니다. A? 비 = 비? ㅏ
이 표기법은 접속사의 교환 속성을 표현하며, 이는 접속사의 구성원을 교환할 수 있도록 합니다.
(A? B)에 대한 진리표를 편집했습니까? S와 A? (B? C), 진술 A, B, C의 모든 진리값에 대해 진술 (A? B)의 진리값을 얻습니다. S와 A? (B? C) 일치합니다.
따라서 (A?B)? ㄷ=A? (B? C).
이 동등성은 접속사의 결합 속성을 표현합니다. 그러한 접속사는 그 안에 포함된 모든 진술이 참인 경우에만 참입니다.
두 개의 기본 진술 A와 B를 접속사 "또는"으로 연결함으로써 우리는 다음과 같은 새로운 진술을 얻습니다. 분리 데이터 진술 . 진술 A와 B의 분리는 A?B로 표시되며 "A 또는 B"로 읽습니다. 분리는 그것이 형성된 두 진술이 모두 거짓인 경우에만 거짓입니다. 다른 모든 경우에는 분리가 참입니다. 분리의 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다(부록 2, 그림 3 참조).
결합뿐 아니라 분리의 경우에도 여러 가지 동등성이 표시될 수 있습니다. A, B, C에 대해 다음이 있습니다.
ㅏ? 비 = 비? A(교환적 분리);
(응? ㄴ) ? ㄷ=A? (B? C) (분리의 연관성).
분리의 결합 속성을 사용하면 괄호를 생략하고 A?를 쓸 수 있습니다. 안에? (A? B) 대신 C ? 와 함께.
진리표를 사용하면 다음을 쉽게 알 수 있습니다.
(응? ㄴ) ? C = (A? C) ? (B?C)
(응? ㄴ) ? C = (A? C) ? (기원전)
첫 번째 평등은 분리에 대한 결합의 분배 법칙을 표현하고 두 번째 평등은 결합에 대한 분리의 분배 법칙을 표현합니다.
결합, 분리 및 부정의 연산은 다음 관계로 연결되며, 그 타당성은 진리표를 사용하여 설정할 수 있습니다.
이러한 관계를 드 모르간(de Morgan)의 공식이라고 합니다.
"if ... then ..."이라는 단어를 사용하여 두 개의 기본 명령문으로 구성된 복합 명령문을 고려해 보겠습니다.
예를 들어 진술 A: "어제는 일요일이었습니다."와 진술 B: "나는 직장에 없었습니다."가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 "어제가 일요일이었다면 나는 직장에 없었습니다."라는 복합 진술에는 "A라면 B입니다."라는 공식이 있습니다.
"A이면 B이다"라는 명제는 다음과 같다. 진술의 의미 A, B 및 기호를 사용하여 다음과 같이 작성됩니다. A => B. 함축 A => B에 포함된 진술 A를 함축의 조건이라고 하며 진술 B는 결론입니다.
따라서 "A이면 B"라는 의미의 진리표는 다음과 같습니다 (부록 2, 그림 4 참조).
두 진술 A와 B에서 다음과 같은 새로운 진술을 만들 수 있습니다. "And if and only if B." 이 진술은 동등한 진술 A와 B는 다음을 나타냅니다. A B. 진술 A와 B가 모두 참이거나 진술 A와 B가 모두 거짓인 경우 진술 A B는 참으로 간주됩니다. 다른 경우(즉, 한 명제는 참이고 다른 명제는 거짓인 경우) 동등성은 거짓으로 간주됩니다. 따라서 A와 B의 동등성에 대한 진리표는 다음과 같은 형식을 갖습니다 (부록 2, 그림 5 참조).
1.3 논리적 추론
모든 추론은 특정 규칙에 따라 서로 이어지는 일련의 진술로 구성됩니다. 자신의 결론을 추론하고 정확하게 입증하는 능력은 모든 직업의 사람들에게 필요합니다. 사람은 말하기 시작하는 순간부터 추론하는 법을 배우지만 추론 논리에 대한 목표 교육은 학교에서 시작됩니다. 이미 수학의 초기 과정은 비교, 대상 분류, 사실 분석 및 가장 간단한 진술 증명에 대한 학생들의 기술 개발을 전제로 합니다. 수학적 문제를 해결하는 것뿐만 아니라 문법적 분석, 박물학의 원리를 익히는 것 등에도 논리적 추론이 필요합니다. 따라서 초등학교 교사는 논리에 익숙해야 합니다. 법칙과 사고 형태, 추론의 일반적인 패턴에 대한 과학.
판단과 추론의 주요 유형은 고대 그리스 철학자 아리스토텔레스(BC 384-322)가 창안한 고전 논리학에서 고려됩니다.
논리에서 추론은 다음과 같이 나뉩니다.
1. 정확하다;
2. 틀렸습니다.
올바른 추론은 논리의 모든 규칙과 법칙을 준수하는 추론입니다. 잘못된 추론은 논리의 규칙이나 법칙을 위반하여 논리적 오류가 발생하는 추론입니다.
논리적 오류에는 두 가지 유형이 있습니다.
1. 마비증;
2. 궤변.
평행론은 추론 과정에서 의도치 않게(무지에서) 발생하는 논리적 오류입니다.
궤변은 상대방을 오도하고, 거짓 진술을 정당화하고, 말도 안되는 일 등을 정당화하기 위해 의도적으로 추론 과정에서 발생하는 논리적 오류입니다.
궤변은 고대부터 알려져 왔습니다. 소피스트들은 그러한 고려 사항을 실천에 널리 사용했습니다. 다양한 분쟁에 사용 된 궤변가들이 우리 시대까지 살아남은 수많은 추론 사례가 "궤변"이라는 이름에서 유래되었습니다. 그 중 일부를 나열해 보겠습니다.
가장 유명한 고대 궤변은 "Horned"라는 추론입니다.
상황을 상상해 보십시오. 한 사람이 다른 사람에게 자신에게 뿔이 있다는 것을 확신시키고 싶어합니다. 이에 대한 정당성은 다음과 같습니다. “당신이 잃지 않은 것은 당신이 가지고 있는 것입니다. 당신은 뿔을 잃지 않았습니다. 그러니까 뿔이 있잖아."
언뜻 보면 이 생각이 맞는 것 같다. 하지만 논리를 모르는 사람이 바로 알아차리기 힘든 논리적 오류를 담고 있다.
또 다른 예를 들어 보겠습니다. 프로타고라스(소피스트 학교의 창시자)는 유아틀루스의 학생이었습니다. 교사와 학생은 Evatl이 첫 번째 소송에서 승리한 후에만 수업료를 지불하기로 합의했습니다. 그러나 학업을 마친 Evatl은 서두르지 않고 법정에 출두했습니다. 선생님의 인내심이 바닥나자 그는 학생을 상대로 소송을 제기했습니다. "어쨌든 유아틀루스는 나에게 돈을 지불해야 할 것입니다."라고 프로타고라스는 생각했습니다. - 그는 이 재판에서 이기거나 질 것입니다. 그가 이기면 합의한 대로 지불합니다. 패소하면 법원 판결에 따라 대가를 치르게 될 것입니다.” Evatl은 "그런 건 전혀 없습니다"라고 반대했습니다. -사실 나는 재판에서 이기거나 질 것입니다.
제가 이기면 법원 결정에 따라 지불이 면제되지만, 패할 경우 합의에 따라 지불하지 않을 것입니다 *.
이 예에는 논리적 오류도 있습니다. 그리고 정확히 어느 것입니까? 우리는 더 자세히 알아볼 것입니다.
논리의 주요 임무는 올바른 고려 사항을 분석하는 것입니다. 논리학자는 그러한 고려사항의 패턴을 식별 및 탐색하고 다양한 유형을 정의하는 등의 노력을 합니다. 논리의 잘못된 추론은 그 안에 발생한 오류의 관점에서만 분석됩니다.
추론의 정확성이 전제와 결론의 진실을 의미하는 것은 아니라는 점에 유의해야 합니다. 일반적으로 논리는 고려사항의 전제와 결론의 참 또는 거짓을 결정하는 데 관심이 없습니다. 그러나 논리에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 고려 사항이 (논리의 규칙 및 법칙에 따라) 올바르게 구성되고 동시에 실제 전제를 기반으로 하는 경우 그러한 추론의 결론은 항상 무조건 참입니다. 다른 경우에는 결론의 진실성을 보장할 수 없습니다.
따라서 추론이 잘못 구성되면 전제가 참이라는 사실에도 불구하고 그러한 추론의 결론이 한 경우에는 참이고 두 번째 경우에는 거짓일 수 있습니다.
예를 들어, 동일한 잘못된 체계에 따라 구성된 다음 두 가지 고려 사항을 고려해 보겠습니다.
(1) 논리는 과학이다.
연금술은 논리가 아닙니다.
연금술은 과학이 아닙니다.
(2) 논리는 과학이다.
법은 논리가 아니다.
법은 과학이 아닙니다.
첫 번째 추론에서는 결론이 참임이 분명하지만 두 번째 추론에서는 두 경우 모두 전제가 참인 진술임에도 불구하고 부정확합니다.
또한, 추론이 옳다 하더라도 전제 중 적어도 하나가 부정확할 경우 논증 결론의 진실성을 보장하는 것도 불가능합니다.
올바른 추론은 어떤 생각(결론)이 반드시 다른 의견(전제)을 따르는 추론입니다.
올바른 추론의 예는 다음과 같은 결론일 수 있습니다. “우크라이나의 모든 시민은 헌법을 인정해야 합니다. 우크라이나의 모든 국민 대표는 우크라이나 시민입니다. 따라서 그들 각자는 자신이 속한 국가의 헌법을 인정해야 합니다.” 그리고 진정한 생각의 예는 다음과 같은 판단입니다. “자신이 속한 국가의 헌법 중 적어도 일부 조항을 인정하지 않는 우크라이나 시민이 있습니다.”
다음 추론은 잘못된 것으로 간주되어야 합니다. "우크라이나의 경제 위기는 독립 선언 이후 분명히 느껴지기 때문에 후자가 이번 위기의 원인입니다." 이러한 유형의 논리적 오류를 "이후 - 이 때문에"라고 합니다. 그러한 경우 사건의 시간적 순서가 인과관계로 식별된다는 사실에 있습니다. 사실이 아닌 의견의 예로는 우크라이나 국가가 전혀 존재하지 않는다는 진술과 같이 현실과 일치하지 않는 입장이 있을 수 있습니다.
인지의 목적은 참된 지식을 얻는 것이다. 추론을 통해 그러한 지식을 얻으려면 먼저 참된 전제를 가지고 있어야 하며, 두 번째로 그것들을 올바르게 결합하여 논리 법칙에 따라 추론해야 합니다. 잘못된 전제를 사용하면 사실적 오류를 범하고, 고려 사항 구성 규칙인 논리 법칙을 위반하면 논리적 오류를 범합니다. 물론 사실적 오류는 피해야 하지만 항상 가능한 것은 아닙니다. 논리적인 경우에는 지적 문화가 높은 사람은 논리적으로 올바른 사고의 기본 법칙, 추론 구성 규칙, 추론의 의미 있고 전형적인 오류까지 오랫동안 공식화되어 왔기 때문에 이러한 실수를 피할 수 있습니다.
논리는 올바르게 추론하고, 논리적 오류를 피하고, 올바른 추론과 잘못된 추론을 구별하는 방법을 가르쳐줍니다. 올바른 고려사항을 체계적으로 이해하기 위해 분류합니다. 이러한 맥락에서 다음과 같은 질문이 생길 수 있습니다. 고려 사항이 많기 때문에 Kozma Prutkov의 말처럼 무한한 것을 포용하는 것이 가능합니까? 예, 논리는 추론의 일부인 생각의 구체적인 내용이 아니라 계획, 추론의 구조, 이러한 생각을 결합하는 형식에 초점을 맞춰 추론을 가르치기 때문에 가능합니다. “모든 x는 y이고, 이 z는 x이다; 결과적으로 주어진 r은 정확하며 그 정확성에 대한 지식은 유사한 형식의 별도의 의미 있는 논증의 정확성에 대한 지식보다 훨씬 더 풍부한 정보를 포함합니다. 그리고 “모든 x는 y이고 z도 y입니다.”라는 계획에 따른 추론의 형태입니다. 그러므로 z는 x입니다."는 잘못된 것을 나타냅니다. 문법이 언어 표현의 특정 내용을 추상화하여 문장에서 단어의 형태와 그 조합을 연구하는 것처럼 논리는 이러한 생각의 특정 내용을 추상화하고 의견의 형태와 그 조합을 연구합니다.
생각이나 고찰의 형태를 드러내려면 형식화해야 합니다.
1장에 대한 결론
위의 내용을 바탕으로 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.
1. 논리는 철학적 지식의 한 분야로 나타났습니다. 발생의 주된 이유는 과학과 웅변의 발전입니다. 과학은 결론과 증거의 구성을 포함하는 이론적 사고를 기반으로 하기 때문에 사고 자체를 인지의 한 형태로 연구할 필요가 있습니다.
2. 현대과학에서 기호논리학의 중요성은 매우 크다. 그것은 사이버네틱스, 신경생리학, 언어학에 적용됩니다. 상징논리학은 형식논리학 발전의 현대적 단계이다. 논리 시스템에서의 표현을 통해 추론 및 증명 과정을 연구합니다. 따라서 이 과학은 그 주제에 있어서 논리이고, 그 방법에 있어서는 수학이다.
자료를 연구한 후 우리는 수학적 개념에 대한 아이디어를 명확히 했습니다.
이것은 이상적인 객체의 개념입니다.
모든 수학적 개념에는 용어, 범위 및 내용이 있습니다.
개념에는 정의가 제공됩니다. 명시적이거나 암시적일 수 있습니다. 암시적 정의에는 문맥상 정의와 표면적 정의가 포함됩니다.
개념 학습은 주제에 대한 확장된 탐구를 통해 수업마다 진행됩니다.
자료를 공부할 때 우리는 접속사 "and", "or", 입자 "not", "every", "exists", "그러므로"라는 단어의 의미를 명확히 한 개념에 익숙해졌습니다. 수학에서는 "동등하게" 사용됩니다. 개념은 다음과 같습니다.
성명;
초등 진술;
논리적 연결;
복합 진술;
진술의 결합;
진술의 분리;
진술 거부.
규칙을 검토했습니다.
복합 진술의 진리값을 결정합니다.
다양한 구조의 문장 부정 구성.
2 장. 초등학교 수학 수업에서 수학적 논리 요소 사용
2.1 사용수학 초기 과정의 논리 요소
수학은 논리적 사고의 발달을 위한 실제 전제조건을 제공합니다. 교사의 임무는 아이들에게 수학을 가르칠 때 이러한 기회를 최대한 활용하는 것입니다. 그러나 이 주제를 공부할 때 공식화해야 할 논리적 사고 기술 개발을 위한 구체적인 프로그램은 없습니다. 결과적으로 논리적 사고 개발에 대한 작업은 필요한 기술 시스템에 대한 지식, 내용 및 형성 순서에 대한 지식 없이 진행됩니다.
바라키나 V.T. 초등학교에서 논리 요소를 공부할 때 학생들의 지식, 기술 및 능력에 대한 다음 요구 사항을 강조합니다.
1. 집합론의 요소:
구체적인 예와 작성 방법(열거를 통해)을 사용하여 다양한 성격의 집합에 대해 알아보세요.
세트의 요소를 식별하는 방법을 배우십시오.
집합 간 관계의 주요 유형과 집합이 오일러-벤 원을 사용하여 표현되는 방식에 대해 알아보세요.
집합(합집합, 교차점)에 대한 일부 작업을 수행하는 방법을 알아보세요.
2. 명제 이론의 요소:
아이디어 수준에서 진술에 대해 알아보세요.
진술을 다른 문장과 구별하는 법을 배우십시오.
주요 유형의 진술에 대해 알아보십시오.
명령문(부정, 접속, 분리)에 대해 몇 가지 작업을 수행하는 방법을 알아보세요.
3. 조합론의 요소:
아이디어 수준에서 이 개념에 대해 알아보세요.
수학 수업에서 다루는 다른 유형의 단어 문제와 조합 문제를 구별하는 방법을 배웁니다.
n개의 요소를 m개의 요소로 배치하는 수를 결정하는 문제를 해결하는 방법을 배웁니다.
초등학교의 논리 요소는 수학과 컴퓨터 과학 수업에서 모두 다룹니다. 동시에, 이 섹션의 교육 내용뿐만 아니라 학생들의 지식, 기술 및 능력에 대한 요구 사항 수준은 프로그램마다 다소 다릅니다. 이는 우선 현재 초등 일반 교육에 대한 연방 주 교육 표준이 1~4학년에서 이 주제를 의무적으로 고려할 것을 요구하지 않기 때문입니다.
현재 모든 수학 강좌는 학생의 발전을 목표로 하고 있습니다. 예를 들어 Istomina N.B. 주요 목표는 분석, 합성, 비교, 분류, 유추, 일반화와 같은 학생의 정신 활동, 정신 작업 방법 개발입니다.
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