미분 e. 온라인 미분 방정식. 합, 곱, 몫의 미분

뗄래야 뗄 수 없게 연결되어 있는 두 가지 모두 인간의 과학 및 기술 활동 과정에서 발생한 거의 모든 문제를 해결하는 데 수세기 동안 적극적으로 사용되어 왔습니다.

미분 개념의 출현

미분법의 창시자 중 한 명인 독일의 유명한 수학자 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(아이작 뉴턴과 함께)는 미분법이 무엇인지 최초로 설명했습니다. 그 전에는 17세기의 수학자들이 있었습니다. 매우 모호하고 모호한 아이디어는 알려진 함수의 아주 작은 "분할할 수 없는" 부분에 대해 사용되었습니다. 이는 매우 작은 상수 값을 나타내지만 0과 같지 않고 함수의 값보다 작을 수 없습니다. 여기에서 함수 인수의 극소 증분 개념과 함수 자체의 해당 증분 개념을 도입하기 위한 한 단계에 불과했으며, 후자의 도함수를 통해 표현되었습니다. 그리고 이 단계는 위에서 언급한 두 명의 위대한 과학자들에 의해 거의 동시에 이루어졌습니다.

빠르게 발전하는 산업과 기술로 인해 과학에 제기된 역학의 긴급한 실제 문제를 해결해야 할 필요성을 바탕으로 뉴턴과 라이프니츠는 함수 변화율(주로 물체의 기계적 속도와 관련)을 찾는 일반적인 방법을 창안했습니다. 알려진 궤적), 이는 함수의 미분 및 미분과 같은 개념의 도입으로 이어졌고, 또한 알려진(가변) 속도를 사용하여 이동 거리를 찾는 방법에 대한 역 문제를 해결하기 위한 알고리즘을 발견했습니다. 적분 개념의 등장.

라이프니츠와 뉴턴의 연구에서 미분은 인수 Δx의 증분에 비례하는 함수 Δy 증분의 주요 부분이며 후자의 값을 계산하는 데 성공적으로 사용될 수 있다는 아이디어가 처음 나타났습니다. 즉, 그들은 함수의 증가가 함수의 도함수를 통해 Δу = y"(x) Δх + αΔх로 표현될 수 있는 임의의 지점(정의 영역 내)일 수 있다는 것을 발견했습니다. 여기서 α Δх는 다음과 같은 나머지 항입니다. 0은 Δх→ 0으로 Δx 자체보다 훨씬 빠릅니다.

수학적 분석의 창시자들에 따르면, 미분은 정확히 모든 함수의 증분 표현에서 첫 번째 용어입니다. 수열의 극한에 대한 명확하게 공식화된 개념이 아직 없기 때문에 그들은 미분 값이 Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x)와 같은 함수의 도함수 경향이 있다는 것을 직관적으로 이해했습니다.

주로 물리학자였으며 수학적 장치를 물리적 문제 연구를 위한 보조 도구로 간주했던 뉴턴과 달리 라이프니츠는 수학적 수량에 대한 시각적이고 이해하기 쉬운 표기법 시스템을 포함하여 이 툴킷 자체에 더 많은 관심을 기울였습니다. 함수 dy = y"(x)dx, 인수 dx 및 비율 y"(x) = dy/dx 형태의 함수 도함수의 미분에 대해 일반적으로 허용되는 표기법을 제안한 사람이 바로 그 사람이었습니다.

현대적인 정의

현대 수학의 관점과 다른 점은 무엇입니까? 이는 변수의 증가 개념과 밀접한 관련이 있습니다. 변수 y가 먼저 y = y 1 값을 취하고 그 다음 y = y 2 값을 취하면 차이 y 2 ─ y 1을 y의 증분이라고 합니다.

증분은 양수일 수 있습니다. 음수이고 0과 같습니다. "증분"이라는 단어는 Δ로 표시되고, 표기법 Δу("delta y"로 읽음)는 값 y의 증분을 나타냅니다. 따라서 Δу = y 2 ─ y 1 입니다.

임의 함수 y = f (x)의 값 Δу가 Δу = A Δх + α 형식으로 표현될 수 있는 경우, 여기서 A는 Δх에 의존하지 않습니다. 즉, 주어진 x에 대해 A = const이고 Δх에 대한 항 α입니다. →0은 Δx 자체보다 훨씬 빠른 경향이 있으며, Δx에 비례하는 첫 번째("주") 항은 y = f(x)에 대한 미분이며 dy 또는 df(x)로 표시됩니다("de igrek" 읽기). , “x의 de ef "). 따라서 미분은 Δx에 대해 선형인 함수 증분의 "주요" 구성요소입니다.

기계적 해석

s = f(t)를 초기 위치에서 직선으로 이동하는 차량의 거리(t는 이동 시간)로 설정합니다. 증분 Δs는 시간 간격 Δt 동안 지점의 경로이고, 차이 ds = f" (t) Δt는 지점이 속도 f"(t를 유지했다면 동일한 시간 Δt에 도달했을 경로입니다. ) 시간 t까지 달성됩니다. 극소 Δt의 경우, 가상 경로 ds는 실제 Δs와 극소량만큼 다르며, 이는 Δt에 비해 더 높은 차수를 갖습니다. 순간 t의 속도가 0이 아니면 ds는 점의 작은 변위의 대략적인 값을 제공합니다.

기하학적 해석

선 L을 y = f(x)의 그래프로 둡니다. 그러면 Δ x = MQ, Δу = QM"(아래 그림 참조). 접선 MN은 세그먼트 Δy를 QN과 NM의 두 부분으로 분할합니다. 첫 번째는 Δх에 비례하며 QN = MQ∙tg(각도 QMN) = Δх f "(x)와 같습니다. 즉, QN은 미분 dy입니다.

두 번째 부분 NM"은 차이 Δу ─ dy를 제공하며, Δх→0인 경우 길이 NM"은 인수의 증가보다 훨씬 빠르게 감소합니다. 즉, 작은 순서가 Δх의 순서보다 높습니다. 고려 중인 경우, f "(x) ≠ 0(접선은 OX와 평행하지 않음)에 대해 세그먼트 QM"과 QN은 동일합니다. 즉, NM"은 총 증분 Δу = QM"보다 더 빠르게 감소합니다(작은 정도가 더 높음). 이는 그림에서 볼 수 있습니다(M이 "M에 접근함에 따라 세그먼트 NM"은 세그먼트 QM의 훨씬 더 작은 비율을 구성합니다).

따라서 그래픽적으로 임의 함수의 미분은 접선의 세로 좌표의 증가와 같습니다.

미분과 미분

함수 증분에 대한 표현식의 첫 번째 항에서 계수 A는 그 파생 값 f "(x)와 같습니다. 따라서 다음 관계는 dy = f "(x)Δx 또는 df (x)를 유지합니다. = f "(x)Δx.

독립 논증의 증가는 그 미분 Δх = dx와 같다고 알려져 있습니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다. f "(x) dx = dy.

미분 찾기("해결"이라고도 함)는 파생 상품과 동일한 규칙을 따릅니다. 그 목록은 아래에 나와 있습니다.

더 보편적인 것: 논증의 증가 또는 미분

여기서 몇 가지 설명을 해야 합니다. x를 인수로 고려할 때 값 f "(x)Δx로 미분을 나타내는 것이 가능합니다. 그러나 함수는 복잡할 수 있으며 x는 일부 인수 t의 함수일 수 있습니다. 그런 다음 표현식 f "로 미분을 나타냅니다. (x)Δx는 원칙적으로 불가능합니다. 선형 의존성의 경우를 제외하고 x = at + b.

공식 f "(x)dx = dy의 경우 독립 인수 x(이후 dx = Δx)의 경우와 t에 대한 x의 매개변수 의존성의 경우 모두 미분을 나타냅니다.

예를 들어, 2 x Δx 표현식은 x가 인수일 때 y = x 2에 대한 미분을 나타냅니다. 이제 x = t 2라고 놓고 t를 인수로 고려해 보겠습니다. 그러면 y = x 2 = t 4입니다.

이 표현식은 Δt에 비례하지 않으므로 이제 2xΔx는 미분이 아닙니다. 이는 방정식 y = x 2 = t 4에서 찾을 수 있습니다. 이는 dy=4t 3 Δt와 같은 것으로 밝혀졌습니다.

2xdx라는 표현을 사용하면 임의의 인수 t에 대한 미분 y = x 2를 나타냅니다. 실제로 x = t 2에 대해 dx = 2tΔt를 얻습니다.

이는 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, 즉 두 개의 서로 다른 변수로 작성된 미분 표현이 일치함을 의미합니다.

증분을 미분으로 대체

f "(x) ≠ 0이면 Δу와 dy는 동일합니다(Δх→0의 경우). f "(x) = 0(dy = 0을 의미)이면 동일하지 않습니다.

예를 들어, y = x 2이면 Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, dy = 2xΔх입니다. x=3이면 Δу = 6Δх + Δх 2 및 dy = 6Δх가 있으며 이는 Δх 2 →0으로 인해 동일합니다. x=0에서 Δу = Δх 2 및 dy=0 값은 동일하지 않습니다.

이 사실은 미분의 단순한 구조(즉, Δx에 대한 선형성)와 함께 작은 Δx에 대해 Δy ≒dy라는 가정 하에 근사 계산에 자주 사용됩니다. 함수의 미분을 찾는 것은 일반적으로 증분의 정확한 값을 계산하는 것보다 쉽습니다.

예를 들어, 모서리 x = 10.00cm인 금속 입방체가 있는데, 가열하면 모서리의 길이가 Δx = 0.001cm 증가합니다. V = x 2이므로 dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3(cm 3)입니다. 부피 ΔV의 증가는 미분 dV와 동일하므로 ΔV = 3 cm 3 입니다. 전체 계산에서는 ΔV = 10.01 3 ─ 10 3 = 3.003001이 됩니다. 그러나 이 결과에서는 첫 번째 수치를 제외한 모든 수치는 신뢰할 수 없습니다. 이는 중요하지 않으며 3cm 3로 반올림해야 함을 의미합니다.

분명히 이 접근 방식은 이로 인해 발생하는 오류의 크기를 추정할 수 있는 경우에만 유용합니다.

기능 차이: 예

도함수를 찾지 않고 함수 y = x 3의 미분을 구해 봅시다. 인수에 증분을 부여하고 Δу를 정의해 보겠습니다.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

여기서 계수 A = 3x 2는 Δx에 의존하지 않으므로 첫 번째 항은 Δx에 비례하는 반면, Δx→0에서 다른 항 3xΔx 2 + Δx 3은 인수의 증가보다 빠르게 감소합니다. 따라서 3x 2 Δx 항은 미분 y = x 3입니다.

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx 또는 d(x 3) = 3x 2 dx.

이 경우 d(x 3) / dx = 3x 2입니다.

이제 함수 y = 1/x의 dy를 도함수를 통해 구해 보겠습니다. 그러면 d(1/x) / dx = ─1/x 2입니다. 따라서 dy = ─ Δx/x 2.

기본 대수 함수의 미분은 다음과 같습니다.

미분을 사용한 대략적인 계산

x=a에서 함수 f (x)와 그 도함수 f "(x)를 계산하는 것은 어렵지 않지만 x=a 지점 근처에서 동일한 작업을 수행하는 것은 쉽지 않습니다. 그러면 대략적인 표현식 구조하러 온다

f(a + Δх) ≒ f "(a)Δх + f(a).

이는 미분 f "(a)Δх를 통해 작은 증분 Δх에 대한 함수의 대략적인 값을 제공합니다.

결과적으로, 이 공식은 길이 Δx의 특정 구간의 끝점에서 함수에 대한 대략적인 표현을 이 구간의 시작점(x=a)에서의 값과 동일한 시작점에서의 미분의 합 형태로 제공합니다. 가리키다. 함수의 값을 결정하는 이 방법의 오류는 아래 그림에 설명되어 있습니다.

그러나 유한 증분 공식(즉, 라그랑주 공식)으로 제공되는 x=a+Δх에 대한 함수 값의 정확한 표현도 알려져 있습니다.

f(a+ Δх) ≒ f "(ξ) Δх + f(a),

여기서 점 x = a+ ξ는 x = a에서 x = a + Δx까지의 세그먼트에 위치하지만 정확한 위치는 알 수 없습니다. 정확한 공식을 사용하면 대략적인 공식의 오류를 추정할 수 있습니다. 라그랑주 공식에 ξ = Δx /2를 넣으면 정확하지는 않지만 일반적으로 미분을 통해 원래 식보다 훨씬 더 나은 근사치를 제공합니다.

미분을 사용하여 공식의 오류 추정

원칙적으로 이는 부정확하며 측정 데이터에 해당 오류가 발생합니다. 이 오류는 한계 또는 간단히 말해 최대 오류로 특징지어집니다. 이는 절대값에서 이 오류보다 분명히 큰(또는 극단적인 경우에는 그 오류와 동일한) 양수입니다. 한계는 측정량의 절대값으로 나눈 몫입니다.

정확한 공식 y= f (x)를 사용하여 함수 y를 계산하지만 x 값은 측정 결과이므로 y에 오류가 발생합니다. 그런 다음 최대 절대 오류 │‌‌Δу│function y를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.

│‌‌Δу│││‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

여기서 │Δх│는 인수의 최대 오류입니다. │‌‌Δу│ 값은 위쪽으로 반올림되어야 합니다. 증분 계산을 미분 계산으로 대체하는 것은 부정확합니다.

기능의 경우 시점에서 구별 가능 , 그 증분은 두 항의 합으로 표현될 수 있습니다.

. 이 항은 다음과 같은 극소 함수입니다.
.첫 번째 항은 다음과 관련하여 선형입니다.
, 두 번째는 다음보다 더 높은 차수의 무한소입니다.
.정말,

따라서 두 번째 항은
함수의 증분을 찾을 때 더 빨리 0이 되는 경향이 있습니다.
첫 번째 용어가 주요 역할을합니다.
또는 (이후
)
.

정의 . 기능증가의 주요부분
그 시점에 , 에 대해 선형
,차동이라고 불리는 기능 이 시점에서 지정되었습니다.다이또는df(엑스)

. (2)

따라서 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 독립변수의 미분은 그 증가분과 일치합니다. 즉
.

관계 (2)는 이제 다음과 같은 형식을 취합니다.

(3)

논평 . 간결함을 위해 공식 (3)은 종종 다음과 같은 형식으로 작성됩니다.

(4)

미분의 기하학적 의미

미분 함수의 그래프를 고려하십시오.
. 포인트들
그리고 함수의 그래프에 속합니다. 그 시점에 중탄젠트가 그려진 에게각도가 축의 양의 방향과 일치하는 함수 그래프
다음으로 표시하다
. 직선을 그리자 미네소타 축에 평행 황소 그리고
축에 평행 아야. 함수의 증분은 세그먼트의 길이와 같습니다.
. 직각 삼각형에서
, 어느
, 우리는 얻는다

위의 고려 사항을 통해 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다.

기능 미분
그 시점에 해당 지점에서 이 함수의 그래프에 대한 접선의 세로 좌표의 증분으로 표시됩니다.
.

미분과 미분의 관계

공식 (4)를 고려하십시오.

이 평등의 양쪽을 다음과 같이 나누자. dx, 그 다음에

따라서, 함수의 미분은 독립 변수의 미분에 대한 미분의 비율과 같습니다..

이런 태도를 보이는 경우가 많습니다 단순히 함수의 도함수를 나타내는 기호로 취급됩니다. ~에논쟁으로 엑스.

파생 상품에 대한 편리한 표기법은 다음과 같습니다.

,
등등.

항목도 사용됩니다.

,
,

복잡한 표현식의 파생물을 구할 때 특히 편리합니다.

2. 합, 곱, 몫의 미분.

미분은 미분에 독립 변수의 미분을 곱하여 얻어지기 때문에 기본 기본 함수의 미분과 미분을 찾는 규칙을 알면 미분을 찾는 유사한 규칙을 얻을 수 있습니다.

1 0 . 상수의 미분은 0입니다.

2 0 . 유한한 수의 미분 가능한 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다.

3 0 . 두 개의 미분 가능한 함수의 곱의 미분은 첫 번째 함수의 두 번째 미분과 두 번째 함수의 첫 번째 미분의 곱의 합과 같습니다.

결과. 상수 승수는 미분 부호에서 꺼낼 수 있습니다.

예. 함수의 미분을 구합니다.

해결 방법: 이 함수를 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.

그러면 우리는 얻는다

4. 매개변수적으로 정의된 기능과 차별화.

정의 . 기능
두 변수가 모두 있는 경우 매개변수적으로 제공된다고 합니다. 엑스 그리고 ~에 각각은 동일한 보조 변수(매개변수)의 단일 값 함수로 별도로 정의됩니다.티:

어디티범위 내에서 다양함
.

논평 . 함수의 매개변수 지정은 이론적 역학에서 널리 사용됩니다. 티 시간을 나타내고 방정식은 다음과 같습니다.
이동점 투영의 변화 법칙을 나타냅니다.
축에
그리고
.

논평 . 원과 타원의 매개변수 방정식을 제시해 보겠습니다.

a) 원점과 반지름이 중심인 원 아르 자형 매개변수 방정식이 있습니다:

어디
.

b) 타원에 대한 매개변수 방정식을 작성해 보겠습니다.

어디
.

매개변수를 제외하면 티 고려 중인 선의 매개변수 방정식으로부터 표준 방정식에 도달할 수 있습니다.

정리 . 기능의 경우 인수의 y x는 방정식에 의해 매개변수적으로 제공됩니다.
, 어디
그리고
에 대해 구별 가능티기능과
, 저것

예. 함수의 도함수 찾기 ~에~에서 엑스, 매개변수 방정식으로 제공됩니다.

해결책.
.

애플리케이션

학생들이 자신이 다룬 자료를 통합할 수 있도록 웹사이트에서 온라인으로 미분 방정식을 푼다. 그리고 실무 능력을 훈련하세요. 온라인 미분 방정식. 온라인으로 Difurs, 온라인으로 수학을 해결합니다. 온라인 수학 문제에 대한 단계별 솔루션입니다. 미분방정식의 차수 또는 차수는 그 안에 포함된 도함수 중 가장 높은 차수입니다. 온라인 미분 방정식. 미분 방정식을 푸는 과정을 적분이라고 합니다. 결과 적분이 알려진 함수의 관점에서 최종 형태로 표현되는지 여부에 관계없이 미지의 함수를 찾는 것이 구적법으로 이어질 수 있으면 미분 방정식을 적분하는 문제는 해결된 것으로 간주됩니다. 온라인 미분 방정식의 단계별 솔루션. 모든 미분 방정식은 하나의 인수에 대한 함수(및 그 도함수)만 포함하는 상미분 방정식(ODE)과 입력 함수가 여러 변수에 의존하는 편미분 방정식(PDE)으로 나눌 수 있습니다. 온라인 미분 방정식. 무작위 과정을 포함하는 확률론적 미분 방정식(SDE)도 있습니다. 온라인 미분 방정식의 단계별 솔루션. 도함수, 함수, 독립변수의 조합에 따라 미분방정식은 선형과 비선형, 상수 또는 가변 계수, 동종 또는 비동질 등으로 구분됩니다. 적용의 중요성으로 인해 준선형(고차 도함수에 대해 선형) 편미분 방정식은 별도의 클래스로 분류됩니다. 미분방정식의 해는 일반해와 특수해로 구분됩니다. 온라인 미분 방정식. 일반적인 해에는 미결정 상수와 편미분 방정식의 경우 추가 적분 조건(상미분 방정식의 초기 조건, 편미분 방정식의 초기 조건 및 경계 조건)을 통해 정제할 수 있는 독립 변수의 임의 함수가 포함됩니다. 온라인 미분 방정식의 단계별 솔루션. 표시된 상수 및 부정 함수의 유형을 결정한 후 솔루션이 특별해집니다. 상미분방정식에 대한 해법을 찾으려는 노력으로 특수 함수 클래스(알려진 기본 함수를 통해 표현할 수 없는 응용 프로그램에서 자주 접하는 함수)가 확립되었습니다. 온라인 미분 방정식. 그들의 속성을 자세히 연구하고, 값 표를 작성하고, 상호 관계를 결정했습니다. . 열거된 숫자 집합을 탐색할 수 있습니다. 주어진 문제에 대한 최선의 답변. 발견된 상한을 찾지 않고 미분 방정식에 대한 수렴 영역으로 나가는 벡터를 첫 번째 근사치로 찾는 방법. 수학적 기능을 증가시키기 위한 선택은 분명합니다. 연구 수준 이상의 진보적인 방법이 있습니다. 문제의 초기 조건을 미분 방정식 풀이와 맞추면 고유하게 선택된 값을 찾는 데 도움이 됩니다. 그는 미지의 것을 즉시 식별할 수 있을 수도 있습니다. 수학 문제에 대한 해를 지정하는 이전 예에서와 같이 선형 미분 방정식은 지정된 시간 내에 특정 문제에 대한 답입니다. 연구 절차의 유지는 지역적으로 결정되지 않습니다. 각 학생에 대한 예가 발견되고 미분 방정식의 해는 최소한 두 가지 값에서 책임자에게 할당된 사람에 의해 결정됩니다. 특정 세그먼트에 대한 일반적인 값의 기능을 취하고 어느 축을 따라 간격이 있을 것인지 경고합니다. 온라인으로 미분 방정식을 연구하면 초기 조건에 따라 결과가 제공되는 경우 결과가 얼마나 중요한지 명확하게 보여줄 수 있습니다. 작업에 대한 로컬 정의가 없기 때문에 기능 정의에서 영역을 잘라내는 것은 불가능합니다. 방정식 시스템에서 구한 답에는 일반적인 의미에서 셀 수 있는 변수가 포함되어 있지만, 온라인에서 미분 방정식을 푸는 것은 당연히 해당 조건을 결정하는 이러한 작업 없이도 가능합니다. 세그먼트 간격 옆에서 온라인으로 미분 방정식을 푸는 것이 어떻게 학생들의 지식을 차단하는 순간에 연구 결과를 긍정적인 방향으로 발전시킬 수 있는지 확인할 수 있습니다. 최고가 항상 일반적으로 받아들여지는 비즈니스 접근 방식에서 나오는 것은 아닙니다. 2x 수준에서는 필요한 모든 선형 미분 방정식을 자연 표현으로 검토하는 것이 유용하지만 수치를 계산할 수 있으면 지식이 향상됩니다. 수학의 어떤 방법에 따르면, 동종 또는 복소수와 같이 본질적으로 다른 표현으로 표현되는 미분 방정식이 있습니다. 함수 연구에 대한 일반적인 분석을 수행한 결과 미분을 가능성 집합으로 해결하는 것은 값의 명확한 오류를 나타냄이 분명해졌습니다. 그 안에 있는 진실은 가로좌표선 위의 공간에 있습니다. 복잡한 함수 정의 영역의 어딘가, 정의의 특정 지점에서 선형 미분 방정식은 분석 형식으로 답을 제시할 수 있습니다. 즉, 일반적인 용어로 본질입니다. 변수를 변경해도 아무런 변화가 없습니다. 하지만 특별한 관심을 갖고 답을 살펴봐야 합니다. 계산기는 결국 관계를 변경합니다. 즉, 미분 방정식의 해가 전역 값에 비례하고 원하는 해의 한계 내에서 지정되는 방식을 변경합니다. 어떤 경우에는 대규모 오류 경고가 불가피합니다. 온라인 미분 방정식은 문제에 대한 일반적인 아이디어를 구현하지만 결국 벡터 곱의 긍정적인 측면을 가능한 한 빨리 제공해야 합니다. 수학에서는 정수론에 대한 오해가 드물지 않습니다. 반드시 확인이 필요할 것입니다. 당연히 해당 분야의 전문가에게 이 권리를 부여하는 것이 더 좋으며 그들의 경험은 거대하고 긍정적이기 때문에 온라인으로 미분 방정식을 푸는 데 도움이 될 것입니다. 그림의 표면과 면적의 차이는 온라인으로 볼 수 있는 미분방정식을 풀 수 있는 것이 아니라 교차하지 않는 개체의 집합이 선이 축과 평행하도록 되어 있다는 것입니다. 결과적으로 두 배의 값을 얻을 수 있습니다. 명시적이지는 않지만 형식 표기법의 정확성에 대한 우리의 이해는 보기 영역과 결과 품질의 고의적인 과대평가와 관련된 선형 미분 방정식을 포함합니다. 모든 학생이 관심을 갖는 주제에 대한 패널 토론은 여러 번 검토됩니다. 전체 강의 과정을 통해 우리는 미분 방정식 및 관련 과학 연구 분야에 세심한 주의를 기울일 것입니다. 이것이 진실과 모순되지 않는 한 말입니다. 여행을 시작할 때 많은 단계를 피할 수 있습니다. 미분 방정식을 푸는 것이 여전히 근본적으로 학생들에게 새로운 것이라면, 오래된 것은 전혀 잊혀지지 않고 높은 발전 속도로 미래로 발전합니다. 처음에는 수학 문제의 조건이 다양하지만 이는 오른쪽 단락에 표시되어 있습니다. 정의에 따라 지정된 시간이 지나면 벡터 이동의 다양한 평면에서 비례 종속 결과가 발생할 가능성을 배제할 수 없습니다. 이러한 간단한 경우는 선형 미분 방정식이 계산기에 일반적인 형식으로 설명되는 것과 동일한 방식으로 수정될 수 있으며, 속도가 더 빨라지고 계산 오프셋으로 인해 잘못된 의견이 발생하지 않습니다. 이론에 따라 명명된 다섯 가지 사례만이 현재 일어나고 있는 일의 경계를 넓힐 수 있습니다. 우리의 미분 방정식 솔루션은 함수 공간 분해의 첫 번째 단계에서 이미 숫자 값을 수동으로 계산하는 데 도움이 됩니다. 올바른 위치에서는 일반적인 의미에서 네 선의 접촉점을 나타내는 것이 필요합니다. 그러나 작업을 대체해야 한다면 복잡성을 동일시하는 것이 쉬울 것입니다. 초기 데이터는 인접한 다리를 설계하는 데 충분하며 온라인 미분 방정식은 왼쪽 정렬된 것처럼 보이고 표면은 한쪽이 벡터의 회전자를 향하도록 되어 있습니다. 상한치를 초과하면 지정된 조건을 넘는 수치가 가능합니다. 수학 공식을 고려하고 비율의 일반적인 값에서 세 가지 미지수를 사용하여 온라인으로 미분 방정식을 풀 수 있습니다. 로컬 계산 방법이 유효한 것으로 인식됩니다. 좌표계는 평면의 상대 운동에서 직사각형입니다. 온라인 미분 방정식의 일반 해법을 사용하면 명시적으로 지정된 함수의 그래프 위에 있는 전체 직선에 대한 행렬 정의를 통해 계산 실행에 유리한 결론을 명확하게 도출할 수 있습니다. 세 반구의 접촉점에 모션 벡터를 적용하면 솔루션이 명확하게 표시됩니다. 원통은 측면을 중심으로 직사각형을 회전시켜 얻어지며 선형 미분 방정식은 주어진 운동 법칙 표현에 따라 점의 운동 방향을 표시할 수 있습니다. 초기 데이터는 정확하며 수학 문제는 하나의 간단한 조건 하에서 상호 교환 가능합니다. 그러나 상황에 따라 제기된 하위 작업의 복잡성으로 인해 미분 방정식은 3차원 공간 수준에서 수치 공간을 계산하는 과정을 단순화합니다. 달리 증명하는 것은 쉽지만 주어진 예에서와 같이 피할 수 있습니다. 고등 수학에서는 다음과 같은 사항이 제공됩니다. 문제가 단순화된 형태로 축소되면 학생들은 가능한 한 최대한의 노력을 그 문제에 적용해야 합니다. 서로 겹쳐진 선이 고려됩니다. 미분을 해결하는 방법은 여전히 곡선에서 상기 방법의 장점을 재개합니다. 필요하지 않은 것을 먼저 인식하면 수학 공식이 표현에 대한 새로운 의미를 만들어냅니다. 목표는 교수가 설정한 과제를 해결하기 위한 최적의 접근 방식입니다. 단순화된 형태의 선형 미분 방정식이 예상 결과를 초과할 것이라고 가정해서는 안 됩니다. 유한하게 구성된 표면에 세 개의 벡터를 배치합니다. 서로 직교합니다. 제품을 계산해 봅시다. 더 많은 수의 기호를 추가하고 결과 표현식에서 함수의 모든 변수를 작성해 보겠습니다. 비율이 있습니다. 계산이 끝나기 전 여러 가지 작업을 수행하면 미분 방정식의 해에 대한 명확한 답이 즉시 제공되지 않고 y축을 따라 할당된 시간이 경과한 후에만 제공됩니다. 함수에서 암시적으로 지정된 불연속점 왼쪽에 가장 많이 증가하는 벡터에 직교하는 축을 그리고 수학적 개체의 아래쪽 면의 가장 작은 경계 값을 따라 온라인 미분 방정식을 배치합니다. 함수 중단 영역에 추가 인수를 추가합니다. 곡선이 있는 점 오른쪽에 공통 분모로 축소하기 위해 작성한 공식이 온라인으로 미분 방정식을 푸는 데 도움이 됩니다. 우리는 일반적으로 이론에서 실제까지 해결되지 않은 문제를 명확하게 밝혀줄 유일한 올바른 접근 방식을 취할 것입니다. 주어진 점의 좌표 방향에 있는 선은 결코 정사각형의 극단 위치를 닫지 않지만 온라인으로 미분 방정식을 푸는 것은 수학을 공부하는 이 분야의 학생, 우리 및 초보자에게 도움이 될 것입니다. 우리는 한 필드의 모든 중요한 줄에 값 인수를 대체할 가능성에 대해 이야기하고 있습니다. 원칙적으로 예상할 수 있듯이 선형 미분 방정식은 주어진 의미의 단일 개념으로 분리된 것입니다. 학생들을 돕기 위해 유사한 서비스 중에서 최고의 계산기 중 하나입니다. 모든 강좌를 수강하고 자신에게 가장 적합한 강좌를 선택하세요.

24.1. 미분함수의 개념

함수 y=f(x)가 점 x에서 0이 아닌 도함수를 갖는다고 가정합니다.

그런 다음 함수, 극한 및 무한 함수 사이의 연결에 대한 정리에 따라 D у/D x=f"(x)+α라고 쓸 수 있습니다. 여기서 α→0은 Δх→0 또는 Δу에서 =f"(x) Δх+α Δх.

따라서 함수 Δу의 증분은 두 항 f"(x) Δx와 Δx의 합이며, 이는 Δx→0에 대해 극소입니다. 더욱이 첫 번째 항은 다음과 같은 차수의 극소 함수입니다. Δx, 이후 두 번째 항은 Δx보다 높은 차수의 무한함수입니다.

따라서 첫 번째 항 f"(x) Δx는 다음과 같습니다. 증가의 주요 부분기능 Δу.

기능 미분 x 지점에서 y=f(x)는 함수의 도함수와 인수 증분의 곱과 동일한 증분의 주요 부분이라고 하며 dу(또는 df(x))로 표시됩니다.

dy=f"(x) Δх.(24.1)

dу 미분은 다음과 같이 불립니다. 1차 미분.독립변수 x의 미분, 즉 함수 y=x의 미분을 구해 봅시다.

y"=x"=1이므로 공식 (24.1)에 따르면 dy=dx=Δx가 됩니다. 즉, 독립 변수의 미분은 이 변수의 증분과 같습니다: dx=Δx.

따라서 식 (24.1)은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

dy=f"(х)dх, (24.2)

즉, 함수의 미분은 이 함수의 미분과 독립 변수의 미분의 곱과 같습니다.

공식(24.2)에서 dy/dx=f"(x) 등식을 따릅니다. 이제 표기법은 다음과 같습니다.

미분 dy/dx는 미분 dy와 dx의 비율로 간주될 수 있습니다.

<< Пример 24.1

함수 f(x)=3x 2 -sin(l+2x)의 미분을 구합니다.

해결책: 공식 dy=f"(x) dx를 사용하여 다음을 찾습니다.

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

함수의 미분 구하기

x=0, dx=0.1에 대해 dy를 계산합니다.

해결책:

x=0과 dx=0.1을 대입하면 다음을 얻습니다.

24.2. 미분함수의 기하학적 의미

미분의 기하학적 의미를 알아봅시다.

이를 위해 점 M(x; y)에서 함수 y=f(x)의 그래프에 접선 MT를 그리고 점 x+Δx에 대한 이 접선의 세로좌표를 고려해 보겠습니다(그림 138 참조). 그림에서 ½ AM½ =Δх, |AM 1 |=Δу. 직각 삼각형 MAV로부터 우리는 다음을 얻습니다:

그러나 미분의 기하학적 의미에 따르면 tga=f"(x)이므로 AB=f"(x) Δx가 됩니다.

얻은 결과를 공식 (24.1)과 비교하면 dy=AB를 얻습니다. 즉, 지점 x에서 함수 y=f(x)의 미분은 이 지점에서 함수 그래프에 대한 접선의 세로 좌표 증분과 같습니다. x가 증분 Δx를 받을 때 지점.

이것이 미분의 기하학적 의미입니다.

24.3 미분에 관한 기본 정리

미분에 대한 기본 정리는 미분과 함수의 도함수(dy=f"(x)dx) 사이의 연결과 도함수에 대한 해당 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.

예를 들어, 함수 y=c의 미분은 0과 같으므로 상수 값의 미분은 0과 같습니다: dy=с"dx=0 dx=0.

정리 24.1.두 미분 가능한 함수의 합, 곱, 몫의 미분은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

예를 들어 두 번째 공식을 증명해 보겠습니다. 미분의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

정리 24.2.복소 함수의 미분은 중간 인수에 대한 이 함수의 도함수와 이 중간 인수의 미분의 곱과 같습니다.

y=f(u)와 u=ψ(x)를 복소 함수 y=f(ψ(x))를 형성하는 두 개의 미분 가능한 함수로 둡니다. 복잡한 함수의 도함수에 대한 정리를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

y" x =y" u u" x.

이 등식의 양쪽에 dx를 곱하면 y" x dx=y" u u" x dx를 알 수 있습니다. 그러나 y" x dx=dy 및 u" x dx=du입니다. 결과적으로 마지막 등식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

dy=у" u du.

dy=y" x dx 및 dy=y" u du 공식을 비교하면 함수 y=f(x)의 첫 번째 미분은 해당 인수가 독립 변수인지 또는 다른 인수의 기능.

미분의 이러한 속성을 첫 번째 미분 형식의 불변성(불변성)이라고 합니다.

공식 dy=y" x dx는 공식 dy=y" u du와 일치하지만 둘 사이에는 근본적인 차이가 있습니다. 첫 번째 공식에서 x는 독립 변수이므로 두 번째 공식에서는 dx=Δx입니다. x의 함수가 있으므로 일반적으로 du≠Δu가 됩니다.

미분의 정의와 미분에 대한 기본 정리를 사용하면 미분표를 미분표로 쉽게 변환할 수 있습니다.

예: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. 미분 테이블

24.5. 근사 계산에 미분 적용

이미 알려진 바와 같이, 점 x에서 함수 y=f(x)의 증분 Δу는 Δу=f"(x) Δх+α Δх로 표현될 수 있으며, 여기서 Δх→0에서 α→0, 또는 Δу= dy+α Δх보다 높은 차수의 극소 α Δх를 버리면 대략적인 동일성을 얻습니다.

Δу≒dy, (24.3)

더욱이, 이 평등은 Δх가 작을수록 더 정확합니다.

이러한 동일성을 통해 우리는 매우 정확하게 미분 가능한 함수의 증분을 대략적으로 계산할 수 있습니다.

미분은 일반적으로 함수의 증분보다 찾기가 훨씬 간단하므로 공식 (24.3)은 컴퓨팅 실습에서 널리 사용됩니다.

<< Пример 24.3

x=2 및 Δx=0.001에서 함수 y=x 3 -2x+1 증분의 대략적인 값을 구합니다.

해결책: 공식 (24.3)을 적용합니다: Δу¿dy=(x 3 -2x+1)" Δx=(3x 2 -2) Δx.

따라서 Δу» 0.01입니다.

함수의 증분 대신 미분을 계산하여 어떤 오류가 발생했는지 살펴보겠습니다. 이를 위해 우리는 Δу를 찾습니다.

Δу=((x+Δx) 3 -2(x+Δx)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 Δx+3x (Δx) 2 +(Δx ) 3 -2x-2 Δx+1-x 3 +2x-1=Δx(3x 2 +3x Δx+(Δx) 2 -2);

근사의 절대 오차는 다음과 같습니다.

|Δу-dy|=|0.010006-0.011=0.000006.

Δу와 dy의 값을 평등 (24.3)으로 대체하면 다음을 얻습니다.

f(x+Δx)-f(x)≒f"(x)Δx

f(х+Δх)≒(х)+f"(х) Δх.(24.4)

공식 (24.4)은 함수의 대략적인 값을 계산하는 데 사용됩니다.

<< Пример 24.4

대략 arctan(1.05)을 계산합니다.

해결 방법: f(x)=arctgx 함수를 생각해 보세요. 공식 (24.4)에 따르면 다음과 같습니다.

arctg(x+Δх)≒arctgx+(arctgx)" Δх,

즉.

x+Δx=1.05이므로 x=1 및 Δx=0.05에서 다음을 얻습니다.

식 (24.4)의 절대 오차는 M (Δx) 2 값을 초과하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 여기서 M은 세그먼트 [x;x+Δx]에서 |f"(x)|의 가장 큰 값입니다.

<< Пример 24.5

낙하 시작 후 10.04초 동안 달에 자유낙하하는 동안 물체는 얼마나 이동할 수 있습니까? 신체의 자유 낙하 방정식

H=g l t 2 /2, g l =1.6 m/s 2.

해결책: H(10,04)를 찾아야 합니다. 대략적인 공식(ΔH≒dH)을 사용해보자

H(t+Δt)≒H(t)+H"(t) Δt. t=10 s 및 Δt=dt=0.04 s에서 H"(t)=g l t를 구하면 다음과 같습니다.

문제(독립적인 솔루션의 경우)질량 m=20kg인 물체가 속도 ν=10.02m/s로 움직입니다. 신체의 대략적인 운동 에너지를 계산하십시오.

24.6. 고차 미분

y=f(x)를 미분 가능한 함수로 두고 인수 x를 다음과 같이 설정합니다. 독립 변수.그러면 첫 번째 미분 dy=f"(x)dx도 x의 함수입니다. 이 함수의 미분을 찾을 수 있습니다.

함수 y=f(x)의 미분의 미분은 다음과 같습니다. 그녀의 두 번째 미분(또는 2차 미분)이며 d 2 y 또는 d 2 f(x)로 표시됩니다.

따라서 정의에 따르면 d 2 y=d(dy)입니다. 함수 y=f(x)의 두 번째 미분에 대한 표현식을 찾아보겠습니다.

dx=Δх는 x에 의존하지 않으므로 미분할 때 dx 상수를 고려합니다.

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(f"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 즉 .

d 2 y=f"(х)dх 2. (24.5)

여기서 dx2는 (dx)2를 의미합니다.

3차 미분은 유사하게 정의되고 발견됩니다.

d 3 y=d(d 2 y)=d(f"(x)dx 2)≒f"(x)(dx) 3 .

그리고 일반적으로 n차 미분은 (n-1)차 미분과의 미분입니다: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .

여기에서 우리는 특히 n=1,2,3의 경우를 발견합니다.

따라서 우리는 다음을 얻습니다:

즉, 함수의 미분은 해당 차수의 미분과 독립 변수의 미분의 해당 정도의 비율로 간주될 수 있습니다.

위의 모든 공식은 x가 독립 변수인 경우에만 유효합니다. 함수 y=f(x)인 경우 x는 다음과 같습니다. 다른 독립변수의 함수, 두 번째 이상의 차수의 미분은 형태 불변의 속성을 갖지 않으며 다른 공식을 사용하여 계산됩니다. 2차 미분의 예를 사용하여 이를 보여드리겠습니다.

곱 미분 공식(d(uv)=vdu+udv)을 사용하여 다음을 얻습니다.

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(f"(x))dx+f"(x) d(dx)=f"(x)dx dx+f"(x) d 2 x , 즉.

d 2 y=f"(x)dx 2 +f"(x) d 2 x. (24.6)

공식 (24.5)와 (24.6)을 비교하면 복잡한 함수의 경우 2차 미분 공식이 변경되어 두 번째 항 f"(x) d 2 x가 나타남을 확신합니다.

x가 독립변수라면,

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

그리고 식(24.6)은 식(24.5)에 들어간다.

<< Пример 24.6

y = e 3x이고 x가 독립변수인 경우 d 2 y를 구합니다.

풀이: y"=3e 3x, y"=9e 3x이므로 공식 (24.5)에 따르면 d 2 y=9e 3x dx 2 가 됩니다.

<< Пример 24.7

y=x 2 이고 x=t 3 +1이고 t가 독립변수인 경우 d 2 y를 구합니다.

해결책: 우리는 공식 (24.6)을 사용합니다.

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

저것 d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

또 다른 해법: y=x 2, x=t 3 +1. 따라서 y=(t 3 +1) 2입니다. 그런 다음 공식 (24.5)에 따라

d 2y=y ¢¢ DT 2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

인수의 미분은 인수의 증분입니다. dx = ∆ 엑스 .

함수의 미분은 도함수와 인수의 증분의 곱입니다. 다이 = 에프 ′( 엑스 )∙∆ 엑스 또는 다이 = 에프 ′( 엑스 )∙ dx .

논평:

증분 차동 비교.

허락하다 ∆ y와 Δx는 크기가 동일합니다.

Dy와 Δx는 동일한 차수의 작음, 즉 dy와 Δy는 동일한 차수의 작음입니다.

α∙Δx는 Δx보다 작은 차수의 무한소입니다.

.미분은 기능 증가의 주요 부분입니다. .

함수의 미분은 함수의 무한소 증가와 다릅니다.

인수 증분보다 높은 순서입니다.

미분 함수의 기하학적 의미.

dy =f′(x)∙Δx=tgψ∙Δx=NT.

미분은 접선의 세로좌표 증분과 같습니다.

차등 속성.

합의 미분은 미분의 합과 같습니다.

디 ( 유 + v) = du + dv.

제품차별 디 ( 유 V ) = 뒤 ∙ V + 유 dv .

복잡한 함수의 미분.

y = f(u), u = Φ(x), dy = y′ 엑스 dx =

다이 = 에프 ′( 유 ) 뒤 – 미분 형태의 불변성.

더 높은 차수의 미분.

다이 = 에프 ′(엑스)∙ dx, 여기에서

쌍곡선 함수.

수학적 분석의 많은 응용에서 지수 함수의 조합이 발생합니다.

정의.

쌍곡선 함수의 정의로부터 관계는 다음과 같습니다:

채널 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ. 쌍곡선 함수의 파생물.

롤의 정리.

기능의 경우 에프 ( 엑스 )는 닫힌 구간 [에서 정의되고 연속적입니다. ㅏ , 비 ]는 이 구간의 모든 내부 점에서 도함수를 가지며 구간의 끝에서 동일한 값을 취하며 구간 내부에는 그러한 점이 하나 이상 있습니다.엑스 = ξ, 이는 에프 ′(ξ) = 0.

기하학적 의미.

와이

에프(ㅏ) = 에프(비), 케이 카스 = 0.

ㅏ씨비부드러운 호에서 [ㅏ, 비] 그런 점이 있어요

에프(ㅏ) 에프(비) C에서는 접선이 현과 평행합니다.

ㅏ ξ 비 엑스

라그랑주의 정리(1736-1813, 프랑스).

함수가 정의되고 닫힌 구간에서 연속인 경우 [ ㅏ , 비 ] 그리고 이 구간의 모든 내부 점에서 도함수를 가지며, 이 구간 내부에는 다음과 같은 최소 하나의 점 x = ξ가 있습니다.에프 ( 비 ) – 에프 ( ㅏ ) = 에프 ′(ξ)∙( 비 – ㅏ ).