Funksioni kompleks dhe derivati i tij. derivatet komplekse. Derivat logaritmik. Derivat i funksionit eksponencial. Funksionet e brendshme dhe të jashtme

Në këtë mësim, ne do të mësojmë se si të gjejmë derivat i një funksioni kompleks. Mësimi është një vazhdim logjik i mësimit Si të gjeni derivatin?, mbi të cilin analizuam derivatet më të thjeshta, si dhe u njohëm me rregullat e diferencimit dhe disa metoda teknike për gjetjen e derivateve. Kështu, nëse nuk jeni shumë të mirë me derivatet e funksioneve ose disa pika të këtij artikulli nuk janë plotësisht të qarta, atëherë së pari lexoni mësimin e mësipërm. Ju lutemi përshtatuni me një humor serioz - materiali nuk është i lehtë, por prapë do të përpiqem ta paraqes thjesht dhe qartë.

Në praktikë, duhet të merreni me derivatin e një funksioni kompleks shumë shpesh, madje do të thosha pothuajse gjithmonë, kur ju jepen detyra për të gjetur derivatet.

Ne shikojmë në tabelë rregullin (nr. 5) për diferencimin e një funksioni kompleks:

Ne e kuptojme. Para së gjithash, le të hedhim një vështrim në shënimin. Këtu kemi dy funksione - dhe , dhe funksioni, në mënyrë figurative, është i vendosur në funksion. Një funksion i këtij lloji (kur një funksion është i vendosur brenda një tjetri) quhet funksion kompleks.

Unë do të thërrasë funksionin funksioni i jashtëm, dhe funksionin – funksion i brendshëm (ose i mbivendosur)..

! Këto përkufizime nuk janë teorike dhe nuk duhet të shfaqen në hartimin përfundimtar të detyrave. Unë përdor shprehjet joformale "funksion i jashtëm", "funksion i brendshëm" vetëm për ta bërë më të lehtë për ju të kuptoni materialin.

Për të sqaruar situatën, merrni parasysh:

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni

Nën sinus, nuk kemi vetëm shkronjën "x", por të gjithë shprehjen, kështu që gjetja e derivatit menjëherë nga tabela nuk do të funksionojë. Vëmë re gjithashtu se është e pamundur të zbatohen katër rregullat e para këtu, duket se ka një ndryshim, por fakti është se është e pamundur të "shkëputet" sinusi:

Në këtë shembull, tashmë nga shpjegimet e mia, është intuitivisht e qartë se funksioni është një funksion kompleks, dhe polinomi është një funksion i brendshëm (ngulitje) dhe një funksion i jashtëm.

Hapi i parë, e cila duhet të kryhet kur gjetja e derivatit të një funksioni kompleks është të kuptojnë se cili funksion është i brendshëm dhe cili është i jashtëm.

Në rastin e shembujve të thjeshtë, duket qartë se një polinom është i vendosur nën sinus. Por çfarë nëse nuk është e qartë? Si të përcaktohet saktësisht se cili funksion është i jashtëm dhe cili është i brendshëm? Për ta bërë këtë, unë propozoj të përdorni teknikën e mëposhtme, e cila mund të kryhet mendërisht ose në një draft.

Le të imagjinojmë se duhet të llogarisim vlerën e shprehjes me një kalkulator (në vend të një, mund të ketë çdo numër).

Çfarë llogarisim fillimisht? Kryesisht do t'ju duhet të kryeni veprimin e mëposhtëm: , kështu që polinomi do të jetë një funksion i brendshëm:

Së dyti do t'ju duhet të gjeni, kështu që sinusi - do të jetë një funksion i jashtëm:

Pasi ne KUPTOJE Me funksionet e brendshme dhe të jashtme, është koha për të zbatuar rregullin e diferencimit të funksionit të përbërë.

Ne fillojmë të vendosim. Nga mësimi Si të gjeni derivatin? kujtojmë se dizajni i zgjidhjes së çdo derivati gjithmonë fillon kështu - ne e mbyllim shprehjen në kllapa dhe vendosim një goditje lart djathtas:

Ne fillim gjejmë derivatin e funksionit të jashtëm (sinus), shikojmë tabelën e derivateve të funksioneve elementare dhe vërejmë se . Të gjitha formulat tabelare janë të zbatueshme edhe nëse "x" zëvendësohet nga një shprehje komplekse, në këtë rast:

Vini re se funksioni i brendshëm nuk ka ndryshuar, nuk e prekim.

Epo, është mjaft e qartë se

Rezultati përfundimtar i aplikimit të formulës duket si ky:

Faktori konstant zakonisht vendoset në fillim të shprehjes:

Nëse ka ndonjë keqkuptim, shkruajeni vendimin në letër dhe lexoni përsëri shpjegimet.

Shembulli 2

Gjeni derivatin e një funksioni

Shembulli 3

Gjeni derivatin e një funksioni

Si gjithmonë, ne shkruajmë:

Ne kuptojmë se ku kemi një funksion të jashtëm dhe ku është një funksion i brendshëm. Për ta bërë këtë, ne përpiqemi (mendërisht ose në një draft) të llogarisim vlerën e shprehjes për . Çfarë duhet bërë së pari? Para së gjithash, duhet të llogaritni se me çfarë është baza:, që do të thotë se polinomi është funksioni i brendshëm:

Dhe, vetëm atëherë kryhet fuqizimi, prandaj, funksioni i fuqisë është një funksion i jashtëm:

Sipas formulës, së pari ju duhet të gjeni derivatin e funksionit të jashtëm, në këtë rast, shkallën. Ne kërkojmë formulën e dëshiruar në tabelë:. E përsërisim përsëri: çdo formulë tabelare është e vlefshme jo vetëm për "x", por edhe për një shprehje komplekse. Kështu, rezultati i zbatimit të rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks është si më poshtë:

E theksoj sërish se kur marrim derivatin e funksionit të jashtëm, funksioni i brendshëm nuk ndryshon:

Tani mbetet të gjejmë një derivat shumë të thjeshtë të funksionit të brendshëm dhe të "krehim" pak rezultatin:

Shembulli 4

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të orës së mësimit).

Për të konsoliduar kuptimin e derivatit të një funksioni kompleks, do të jap një shembull pa komente, do të përpiqeni ta kuptoni vetë, arsyetoni, ku është funksioni i jashtëm dhe ku është funksioni i brendshëm, pse zgjidhen detyrat në atë mënyrë?

Shembulli 5

a) Gjeni derivatin e një funksioni

b) Gjeni derivatin e funksionit

Shembulli 6

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu kemi një rrënjë, dhe për të dalluar rrënjën, ajo duhet të përfaqësohet si një shkallë. Kështu, së pari e sjellim funksionin në formën e duhur për diferencim:

Duke analizuar funksionin, arrijmë në përfundimin se shuma e tre termave është një funksion i brendshëm, dhe fuqizimi është një funksion i jashtëm. Ne zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:

Shkalla përfaqësohet përsëri si një radikal (rrënjë), dhe për derivatin e funksionit të brendshëm, zbatojmë një rregull të thjeshtë për diferencimin e shumës:

Gati. Ju gjithashtu mund ta sillni shprehjen në një emërues të përbashkët në kllapa dhe të shkruani gjithçka si një thyesë. Është e bukur, sigurisht, por kur merren derivate të rënda të gjata, është më mirë të mos e bësh këtë (është e lehtë të ngatërrohesh, të bësh një gabim të panevojshëm dhe do të jetë e papërshtatshme që mësuesi të kontrollojë).

Shembulli 7

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të orës së mësimit).

Është interesante të theksohet se ndonjëherë, në vend të rregullit për diferencimin e një funksioni kompleks, mund të përdoret rregulli për diferencimin e një koeficienti. , por një zgjidhje e tillë do të dukej si një perversion qesharak. Këtu është një shembull tipik:

Shembulli 8

Gjeni derivatin e një funksioni

Këtu mund të përdorni rregullin e diferencimit të herësit , por është shumë më e dobishme të gjesh derivatin përmes rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks:

Ne përgatisim funksionin për diferencim - nxjerrim shenjën minus të derivatit dhe ngremë kosinusin në numërues:

Kosinusi është një funksion i brendshëm, fuqizimi është një funksion i jashtëm.
Le të përdorim rregullin tonë:

Gjejmë derivatin e funksionit të brendshëm, rivendosim kosinusin poshtë:

Gati. Në shembullin e konsideruar, është e rëndësishme të mos ngatërroheni në shenja. Nga rruga, përpiquni ta zgjidhni atë me rregullin , përgjigjet duhet të përputhen.

Shembulli 9

Gjeni derivatin e një funksioni

Ky është një shembull për vetë-zgjidhje (përgjigja në fund të orës së mësimit).

Deri më tani kemi shqyrtuar raste kur kemi pasur vetëm një fole në një funksion kompleks. Në detyrat praktike, shpesh mund të gjesh derivate, ku, si kukulla fole, njëra brenda tjetrës, 3 ose edhe 4-5 funksione janë fole në të njëjtën kohë.

Shembulli 10

Gjeni derivatin e një funksioni

Ne i kuptojmë bashkëngjitjet e këtij funksioni. Ne përpiqemi të vlerësojmë shprehjen duke përdorur vlerën eksperimentale. Si do të llogarisim në një kalkulator?

Së pari ju duhet të gjeni, që do të thotë se arksina është foleja më e thellë:

Ky hark i unitetit duhet të vendoset në katror:

Dhe së fundi, ne i ngremë të shtatët në fuqi:

Kjo do të thotë, në këtë shembull kemi tre funksione të ndryshme dhe dy fole, ndërsa funksioni më i brendshëm është arksina, dhe funksioni më i jashtëm është funksioni eksponencial.

Ne fillojmë të vendosim

Sipas rregullit, së pari duhet të merrni derivatin e funksionit të jashtëm. Shikojmë tabelën e derivateve dhe gjejmë derivatin e funksionit eksponencial: I vetmi ndryshim është se në vend të "x" kemi një shprehje komplekse, e cila nuk e mohon vlefshmërinë e kësaj formule. Pra, rezultati i zbatimit të rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks është si më poshtë:

Nën vizën, ne kemi përsëri një funksion të ndërlikuar! Por tashmë është më e lehtë. Është e lehtë të shihet se funksioni i brendshëm është arksina dhe funksioni i jashtëm është shkalla. Sipas rregullit të diferencimit të një funksioni kompleks, së pari duhet të merrni derivatin e shkallës.

Nese nje g(x) dhe f(u) janë funksione të diferencueshme të argumenteve të tyre, përkatësisht, në pika x dhe u= g(x), atëherë funksioni kompleks është gjithashtu i diferencueshëm në pikë x dhe gjendet me formulë

Një gabim tipik gjatë zgjidhjes së problemeve mbi derivatet është transferimi automatik i rregullave të diferencimit funksione të thjeshta për funksione komplekse. Ne do të mësojmë ta shmangim këtë gabim.

Shembulli 2 Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje e gabuar: njehsoni logaritmin natyror të secilit term në kllapa dhe gjeni shumën e derivateve:

Zgjidhja e duhur: përsëri përcaktojmë ku është "molla" dhe ku "mishi i grirë". Këtu, logaritmi natyror i shprehjes në kllapa është "molla", domethënë funksioni në argumentin e ndërmjetëm. u, dhe shprehja në kllapa është "mish i grirë", pra një argument i ndërmjetëm u nga ndryshorja e pavarur x.

Pastaj (duke përdorur formulën 14 nga tabela e derivateve)

Në shumë probleme reale, shprehja me logaritmin është disi më e ndërlikuar, prandaj ka një mësim

Shembulli 3 Gjeni derivatin e një funksioni

Zgjidhje e gabuar:

Zgjidhja e duhur. Edhe një herë përcaktojmë se ku është "molla" dhe ku "mishi i grirë". Këtu, kosinusi i shprehjes në kllapa (formula 7 në tabelën e derivateve) është "mollë", gatuhet në modalitetin 1, duke prekur vetëm atë, dhe shprehja në kllapa (derivati i shkallës - numri 3 në tabela e derivateve) është "mish i grirë", gatuhet në modalitetin 2, duke prekur vetëm atë. Dhe si gjithmonë, ne lidhim dy derivate me një shenjë produkti. Rezultati:

Derivati i një funksioni logaritmik kompleks është një detyrë e shpeshtë në teste, ndaj ju rekomandojmë fuqimisht që të vizitoni mësimin "Derivati i një funksioni logaritmik".

Shembujt e parë ishin për funksionet komplekse, në të cilët argumenti i ndërmjetëm në ndryshoren e pavarur ishte një funksion i thjeshtë. Por në detyrat praktike shpesh kërkohet gjetja e derivatit të një funksioni kompleks, ku argumenti i ndërmjetëm është ose në vetvete një funksion kompleks ose përmban një funksion të tillë. Çfarë duhet bërë në raste të tilla? Gjeni derivatet e funksioneve të tilla duke përdorur tabela dhe rregullat e diferencimit. Kur gjendet derivati i argumentit të ndërmjetëm, ai thjesht zëvendësohet në vendin e duhur në formulë. Më poshtë janë dy shembuj se si bëhet kjo.

Përveç kësaj, është e dobishme të dini sa vijon. Nëse një funksion kompleks mund të paraqitet si një zinxhir prej tre funksionesh

atëherë derivati i tij duhet të gjendet si prodhim i derivateve të secilit prej këtyre funksioneve:

Shumë nga detyrat tuaja të shtëpisë mund t'ju kërkojnë të hapni mësime në dritare të reja. Veprimet me fuqi dhe rrënjë dhe Veprimet me thyesa .

Shembulli 4 Gjeni derivatin e një funksioni

Zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks, duke mos harruar se në produktin rezultues të derivateve, argumenti i ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur x nuk ndryshon:

Ne përgatisim faktorin e dytë të produktit dhe zbatojmë rregullin për diferencimin e shumës:

Termi i dytë është rrënja, pra

Kështu, u mor se argumenti i ndërmjetëm, që është shuma, përmban një funksion kompleks si një nga termat: fuqia është një funksion kompleks, dhe ajo që ngrihet në një fuqi është një argument i ndërmjetëm nga një ndryshore e pavarur. x.

Prandaj, ne përsëri zbatojmë rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:

Shkallën e faktorit të parë e shndërrojmë në rrënjë dhe duke diferencuar faktorin e dytë, nuk harrojmë se derivati i konstantës është i barabartë me zero:

Tani mund të gjejmë derivatin e argumentit të ndërmjetëm që nevojitet për të llogaritur derivatin e funksionit kompleks të kërkuar në kushtin e problemit y:

Shembulli 5 Gjeni derivatin e një funksioni

Së pari, ne përdorim rregullin e diferencimit të shumës:

Merrni shumën e derivateve të dy funksioneve komplekse. Gjeni të parën:

Këtu, ngritja e sinusit në fuqi është një funksion kompleks, dhe vetë sinusi është një argument i ndërmjetëm në variablin e pavarur x. Prandaj, ne përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks gjatë rrugës duke nxjerrë shumëzuesin nga kllapat :

Tani gjejmë termin e dytë nga ato që formojnë derivatin e funksionit y:

Këtu, ngritja e kosinusit në fuqi është një funksion kompleks f, dhe vetë kosinusi është një argument i ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur x. Përsëri, ne përdorim rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks:

Rezultati është derivati i kërkuar:

Tabela e derivateve të disa funksioneve komplekse

Për funksionet komplekse, bazuar në rregullin e diferencimit të një funksioni kompleks, formula për derivatin e një funksioni të thjeshtë merr një formë tjetër.

1. Derivat i funksionit kompleks të fuqisë, ku u x
2. Derivat i rrënjës së shprehjes
3. Derivati i funksionit eksponencial
4. Rasti i veçantë i funksionit eksponencial
5. Derivat i një funksioni logaritmik me bazë pozitive arbitrare a
6. Derivat i funksionit logaritmik kompleks, ku uështë një funksion i diferencueshëm i argumentit x
7. Derivat sinus
8. Derivati i kosinusit
9. Derivati tangjent
10. Derivat i kotangjentes
11. Derivat i arksinës
12. Derivat i kosinusit të harkut
13. Derivat i tangjentit të harkut
14. Derivati i tangjentes së anasjelltë

Është shumë e lehtë për t'u mbajtur mend.

Epo, ne nuk do të shkojmë larg, do të shqyrtojmë menjëherë funksionin e anasjelltë. Cila është anasjellta e funksionit eksponencial? Logaritmi:

Në rastin tonë, baza është një numër:

Një logaritëm i tillë (d.m.th., një logaritëm me bazë) quhet "natyror" dhe ne përdorim një shënim të veçantë për të: ne shkruajmë në vend të tij.

Çfarë është e barabartë me? Sigurisht, .

Derivat i logaritmi natyror gjithashtu shumë e thjeshtë:

Shembuj:

Gjeni derivatin e funksionit.
Cili është derivati i funksionit?

Përgjigjet: Eksponenti dhe logaritmi natyror janë funksione që janë unike të thjeshta për sa i përket derivatit. Funksionet eksponenciale dhe logaritmike me çdo bazë tjetër do të kenë një derivat të ndryshëm, të cilin do ta analizojmë më vonë, pasi të kalojmë rregullat e diferencimit.

Rregullat e diferencimit

Çfarë rregullash? Edhe një mandat i ri, sërish?!...

Diferencimiështë procesi i gjetjes së derivatit.

Vetëm dhe gjithçka. Cila është fjala tjetër për këtë proces? Jo proizvodnovanie... Diferenciali i matematikës quhet vetë rritja e funksionit në. Ky term vjen nga latinishtja differentia - dallim. Këtu.

Kur nxjerrim të gjitha këto rregulla, ne do të përdorim dy funksione, për shembull, dhe. Do të na duhen gjithashtu formula për shtimet e tyre:

Janë 5 rregulla në total.

Konstanta hiqet nga shenja e derivatit.

Nëse - një numër konstant (konstant), atëherë.

Natyrisht, ky rregull funksionon edhe për ndryshimin: .

Le ta vërtetojmë. Lëreni, ose më lehtë.

Shembuj.

Gjeni derivatet e funksioneve:

në pikën;
në pikën;
në pikën;
në pikën.

Zgjidhjet:

(derivati është i njëjtë në të gjitha pikat, pasi është një funksion linear, mbani mend?);

Derivat i një produkti

Gjithçka është e njëjtë këtu: ne prezantojmë veçori e re dhe gjeni shtimin e tij:

Derivat:

Shembuj:

Gjeni derivatet e funksioneve dhe;
Gjeni derivatin e një funksioni në një pikë.

Zgjidhjet:

Derivat i funksionit eksponencial

Tani njohuritë tuaja janë të mjaftueshme për të mësuar se si të gjeni derivatin e çdo funksioni eksponencial, dhe jo vetëm eksponentin (e keni harruar akoma se çfarë është?).

Pra, ku është një numër.

Ne e dimë tashmë derivatin e funksionit, kështu që le të përpiqemi ta sjellim funksionin tonë në një bazë të re:

Për këtë përdorim rregull i thjeshtë: . Pastaj:

Epo, funksionoi. Tani përpiquni të gjeni derivatin dhe mos harroni se ky funksion është kompleks.

Ka ndodhur?

Këtu, kontrolloni veten:

Formula doli të ishte shumë e ngjashme me derivatin e eksponentit: siç ishte, mbetet, u shfaq vetëm një faktor, i cili është vetëm një numër, por jo një ndryshore.

Shembuj:
Gjeni derivatet e funksioneve:

Përgjigjet:

Ky është vetëm një numër që nuk mund të llogaritet pa një kalkulator, domethënë nuk ka asnjë mënyrë për ta shkruar atë në më shumë forme e thjeshte. Prandaj, në përgjigje është lënë në këtë formë.

Vini re se këtu është herësi i dy funksioneve, kështu që ne zbatojmë rregullin e duhur të diferencimit:

Në këtë shembull, produkti i dy funksioneve:

Derivat i një funksioni logaritmik

Këtu është e ngjashme: ju tashmë e dini derivatin e logaritmit natyror:

Prandaj, për të gjetur një arbitrar nga logaritmi me një bazë të ndryshme, për shembull, :

Ne duhet ta sjellim këtë logaritëm në bazë. Si të ndryshoni bazën e një logaritmi? Shpresoj ta mbani mend këtë formulë:

Vetëm tani në vend të ne do të shkruajmë:

Emëruesi doli të ishte vetëm një konstante (një numër konstant, pa një ndryshore). Derivati është shumë i thjeshtë:

Derivatet e funksioneve eksponenciale dhe logaritmike pothuajse nuk gjenden në provim, por nuk do të jetë e tepërt t'i njihni ato.

Derivat i një funksioni kompleks.

Çfarë është një "funksion kompleks"? Jo, ky nuk është një logaritëm dhe as një tangjente harku. Këto funksione mund të jenë të vështira për t'u kuptuar (edhe pse nëse logaritmi ju duket i vështirë, lexoni temën "Logaritmet" dhe gjithçka do të funksionojë), por në aspektin matematikor, fjala "kompleks" nuk do të thotë "e vështirë".

Imagjinoni një transportues të vogël: dy persona janë ulur dhe bëjnë disa veprime me disa objekte. Për shembull, e para mbështjell një çokollatë në një mbështjellës, dhe e dyta e lidh atë me një fjongo. Rezulton një objekt i tillë i përbërë: një çokollatë e mbështjellë dhe e lidhur me një fjongo. Për të ngrënë një çokollatë, duhet të bëni hapat e kundërt në rend të kundërt.

Le të krijojmë një tubacion të ngjashëm matematikor: së pari do të gjejmë kosinusin e një numri dhe më pas do ta katrorim numrin që rezulton. Pra, ata na japin një numër (çokollatë), unë gjej kosinusin e saj (mbështjellësin) dhe pastaj ju katrore atë që mora (e lidhni me një fjongo). Cfare ndodhi? Funksioni. Ky është një shembull i një funksioni kompleks: kur, për të gjetur vlerën e tij, ne bëjmë veprimin e parë drejtpërdrejt me ndryshoren, dhe më pas një veprim tjetër të dytë me atë që ndodhi si rezultat i të parit.

Me fjale te tjera, Një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është një funksion tjetër: .

Për shembullin tonë,.

Ne mund të bëjmë të njëjtat veprime në rend të kundërt: së pari ju katrore, dhe më pas unë kërkoj kosinusin e numrit që rezulton:. Është e lehtë të merret me mend se rezultati pothuajse gjithmonë do të jetë i ndryshëm. Një tipar i rëndësishëm i funksioneve komplekse: kur ndryshon rendi i veprimeve, funksioni ndryshon.

Shembulli i dytë: (i njëjtë). .

Veprimi i fundit që bëjmë do të quhet funksioni "i jashtëm"., dhe veprimi i kryer i pari - respektivisht funksioni "i brendshëm".(këto janë emra joformalë, i përdor vetëm për të shpjeguar materialin në gjuhë të thjeshtë).

Mundohuni të përcaktoni vetë se cili funksion është i jashtëm dhe cili është i brendshëm:

Përgjigjet: Ndarja e funksioneve të brendshme dhe të jashtme është shumë e ngjashme me ndryshimin e variablave: për shembull, në funksion

Çfarë veprimi do të ndërmarrim së pari? Së pari ne llogarisim sinusin dhe vetëm atëherë e ngremë atë në një kub. Pra, është një funksion i brendshëm, jo i jashtëm.
Dhe funksioni origjinal është përbërja e tyre: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .
E brendshme: ; e jashtme: .
Ekzaminimi: .

ne ndryshojmë variablat dhe marrim një funksion.

Epo, tani do të nxjerrim çokollatën tonë - kërkoni derivatin. Procedura është gjithmonë e kundërt: fillimisht kërkojmë derivatin e funksionit të jashtëm, pastaj shumëzojmë rezultatin me derivatin e funksionit të brendshëm. Për shembullin origjinal, duket kështu:

Një shembull tjetër:

Pra, le të formulojmë më në fund rregullin zyrtar:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Duket të jetë e thjeshtë, apo jo?

Le të kontrollojmë me shembuj:

Zgjidhjet:

1) E brendshme: ;

E jashtme: ;

2) E brendshme: ;

(thjesht mos u përpiqni të zvogëloni deri tani! Asgjë nuk është hequr nga kosinusi, mbani mend?)

3) E brendshme: ;

E jashtme: ;

Është menjëherë e qartë se këtu ekziston një funksion kompleks me tre nivele: në fund të fundit, ky tashmë është një funksion kompleks në vetvete, dhe ne ende e nxjerrim rrënjën prej tij, domethënë kryejmë veprimin e tretë (vendosim çokollatën në një mbështjellës dhe me një fjongo në një çantë). Por nuk ka asnjë arsye për t'u frikësuar: gjithsesi, ne do ta "zhpaketojmë" këtë funksion në të njëjtin rend si zakonisht: nga fundi.

Domethënë, së pari dallojmë rrënjën, pastaj kosinusin dhe vetëm më pas shprehjen në kllapa. Dhe pastaj i shumëzojmë të gjitha.

Në raste të tilla, është e përshtatshme të numërohen veprimet. Kjo do të thotë, le të imagjinojmë atë që dimë. Me çfarë rendi do të kryejmë veprimet për të llogaritur vlerën e kësaj shprehjeje? Le të shohim një shembull:

Sa më vonë të kryhet veprimi, aq më "i jashtëm" do të jetë funksioni përkatës. Sekuenca e veprimeve - si më parë:

Këtu foleja është përgjithësisht me 4 nivele. Le të përcaktojmë rrjedhën e veprimit.

1. Shprehje radikale. .

2. Rrënja. .

3. Sinus. .

4. Sheshi. .

5. Duke i bashkuar të gjitha:

DERIVATIV. SHKURTËZIM PËR KRYESORIN

Derivati i funksionit- raporti i rritjes së funksionit ndaj rritjes së argumentit me një rritje infiniteminale të argumentit:

Derivatet bazë:

Rregullat e diferencimit:

Konstanta hiqet nga shenja e derivatit:

Derivati i shumës:

Produkti derivat:

Derivati i herësit:

Derivati i një funksioni kompleks:

Algoritmi për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

Ne përcaktojmë funksionin "të brendshëm", gjejmë derivatin e tij.
Ne përcaktojmë funksionin "të jashtëm", gjejmë derivatin e tij.
Ne shumëzojmë rezultatet e pikës së parë dhe të dytë.

Funksione lloj kompleks nuk është plotësisht e saktë të quajmë termin "funksion kompleks". Për shembull, duket shumë mbresëlënëse, por ky funksion nuk është i komplikuar, ndryshe nga ai.

Në këtë artikull, ne do të merremi me konceptin e një funksioni kompleks, do të mësojmë se si ta identifikojmë atë si pjesë e funksioneve elementare, do të japim një formulë për gjetjen e derivatit të tij dhe do të shqyrtojmë në detaje zgjidhjen e shembujve tipikë.

Gjatë zgjidhjes së shembujve, ne do të përdorim vazhdimisht tabelën e derivateve dhe rregullat e diferencimit, ndaj mbajini ato para syve.

Funksion kompleksështë një funksion, argumenti i të cilit është gjithashtu një funksion.

Nga këndvështrimi ynë, ky përkufizim është më i kuptueshëm. Në mënyrë konvencionale, mund të shënohet si f(g(x)) . Domethënë, g(x) është, si të thuash, një argument i funksionit f(g(x)) .

Për shembull, nëse f është funksioni arktangjent dhe g(x) = lnx është funksioni i logaritmit natyror, atëherë funksioni kompleks f(g(x)) është arctg(lnx) . Një shembull tjetër: f është një funksion i ngritjes në fuqinë e katërt, dhe është një funksion i tërë racional (shih), atëherë .

Nga ana tjetër, g(x) mund të jetë gjithashtu një funksion kompleks. Për shembull, . Në mënyrë konvencionale, një shprehje e tillë mund të shënohet si . Këtu f është funksioni sinus, është funksioni i rrënjës katrore, është një funksion racional thyesor. Është logjike të supozohet se shkalla e foleve të funksioneve mund të jetë çdo numër natyror i fundëm.

Shpesh mund të dëgjoni se thirret një funksion kompleks përbërjen e funksionit.

Formula për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks.

Shembull.

Gjeni derivatin e një funksioni kompleks.

Vendimi.

Në këtë shembull, f është një funksion katror dhe g(x) = 2x+1 është një funksion linear.

Këtu është një zgjidhje e detajuar duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks:

Le ta gjejmë këtë derivat, pasi të thjeshtojmë formën e funksionit origjinal.

Prandaj,

Siç mund ta shihni, rezultatet përputhen.

Mundohuni të mos ngatërroni se cili funksion është f dhe cili është g(x) .

Le ta shpjegojmë këtë me një shembull për vëmendje.

Shembull.

Gjeni derivatet e funksioneve komplekse dhe .

Vendimi.

Në rastin e parë, f është funksioni katror dhe g(x) është funksioni sinus, pra
.

Në rastin e dytë, f është një funksion sinus, dhe është një funksion fuqie. Prandaj, me formulën për produktin e një funksioni kompleks, kemi

Formula e derivatit për një funksion ka formën

Shembull.

Funksioni i diferencimit .

Vendimi.

Në këtë shembull, funksioni kompleks mund të shkruhet me kusht si , ku është funksioni i sinusit, funksioni i ngritjes në fuqinë e tretë, funksioni i logaritmit në bazën e, funksioni i marrjes së tangjentës së harkut, përkatësisht funksioni linear.

Sipas formulës për derivatin e një funksioni kompleks

Tani gjejmë

Duke bashkuar rezultatet e ndërmjetme të marra:

Nuk ka asgjë të tmerrshme, çmontoni funksione komplekse si kukullat e foleve.

Kjo mund të kishte përfunduar artikullin, nëse jo për një, por ...

Është e dëshirueshme të kuptohet qartë se kur duhet të zbatohen rregullat e diferencimit dhe tabela e derivateve, dhe kur formula për derivatin e një funksioni kompleks.

JENI SHUME KUJDES TANI. Ne do të flasim për ndryshimin midis funksioneve komplekse dhe funksioneve komplekse. Nga sa e shihni këtë ndryshim, suksesi në gjetjen e derivateve do të varet.

Le të fillojmë me shembuj të thjeshtë. Funksioni mund të konsiderohet si kompleks: g(x) = tgx, . Prandaj, mund të aplikoni menjëherë formulën për derivatin e një funksioni kompleks

Dhe këtu është funksioni nuk mund të quhet më e vështirë.

Ky funksion është shuma e tre funksioneve, 3tgx dhe 1. Edhe pse - është një funksion kompleks: - është një funksion fuqie (një parabolë kuadratike), dhe f është një funksion tangjent. Prandaj, së pari aplikojmë formulën për diferencimin e shumës:

Mbetet për të gjetur derivatin e një funksioni kompleks:

Kështu që .

Shpresojmë ta kuptoni thelbin.

Nëse shikoni më gjerësisht, mund të argumentohet se funksionet e një lloji kompleks mund të jenë pjesë e funksioneve komplekse dhe funksionet komplekse mund të jenë përbërës të funksioneve të një lloji kompleks.

Si shembull, le t'i hedhim një vështrim pjesë përbërëse funksionin .

Para së gjithash, është një funksion kompleks që mund të përfaqësohet si , ku f është funksioni i logaritmit bazë 3, dhe g(x) është shuma e dy funksioneve dhe . dmth, .

Së dyti, le të merremi me funksionin h(x) . Është e lidhur me .

Kjo është shuma e dy funksioneve dhe , ku - një funksion kompleks me një koeficient numerik 3 . - funksioni i kubit, - funksioni kosinus, - funksioni linear.

Kjo është shuma e dy funksioneve dhe , ku - funksion kompleks, - funksion eksponencial, - funksion eksponencial.

Kështu,.

Së treti, shkoni te , që është produkt i një funksioni kompleks dhe një funksion të tërë racional

Funksioni katror është funksioni i logaritmit me bazën e.

Prandaj, .

Për të përmbledhur:

Tani struktura e funksionit është e qartë dhe u bë e qartë se cilat formula dhe në çfarë sekuence duhet të zbatohen gjatë diferencimit të tij.

Në seksionin diferencimi i një funksioni (gjetja e një derivati) mund të gjeni zgjidhjen e problemeve të tilla.

Funksionet komplekse nuk përshtaten gjithmonë me përkufizimin e një funksioni kompleks. Nëse ekziston një funksion i formës y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, atëherë ai nuk mund të konsiderohet kompleks, ndryshe nga y \u003d sin 2 x.

Ky artikull do të tregojë konceptin e një funksioni kompleks dhe identifikimin e tij. Të punojmë me formula për gjetjen e derivatit me shembuj zgjidhjesh në përfundim. Përdorimi i tabelës së derivateve dhe rregullave të diferencimit reduktojnë ndjeshëm kohën e gjetjes së derivatit.

Përkufizimet bazë

Përkufizimi 1

Një funksion kompleks është një funksion, argumenti i të cilit është gjithashtu një funksion.

Shënohet në këtë mënyrë: f (g (x)) . Kemi që funksioni g (x) konsiderohet argument f (g (x)) .

Përkufizimi 2

Nëse ka një funksion f dhe është një funksion kotangjent, atëherë g(x) = ln x është funksioni i logaritmit natyror. Marrim se funksioni kompleks f (g (x)) do të shkruhet si arctg (lnx). Ose një funksion f, i cili është një funksion i ngritur në fuqinë e 4-të, ku g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 konsiderohet një funksion i tërë racional, marrim se f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Është e qartë se g(x) mund të jetë e ndërlikuar. Nga shembulli y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, mund të shihet se vlera e g ka një rrënjë kubike me një fraksion. Kjo shprehje mund të shënohet si y = f (f 1 (f 2 (x))) . Nga ku kemi se f është një funksion sinus, dhe f 1 është një funksion i vendosur nën rrënjën katrore, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 është një funksion racional thyesor.

Përkufizimi 3

Shkalla e foleve përcaktohet nga çdo numër natyror dhe shkruhet si y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Përkufizimi 4

Koncepti i përbërjes së funksionit i referohet numrit të funksioneve të mbivendosur sipas deklaratës së problemit. Për zgjidhjen, formula për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks të formës

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Shembuj

Shembulli 1

Gjeni derivatin e një funksioni kompleks të formës y = (2 x + 1) 2 .

Vendimi

Sipas konventës, f është një funksion katror dhe g(x) = 2 x + 1 konsiderohet një funksion linear.

Zbatojmë formulën e derivatit për një funksion kompleks dhe shkruajmë:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

Është e nevojshme të gjendet një derivat me një formë fillestare të thjeshtuar të funksionit. Ne marrim:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Prandaj e kemi atë

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultatet përputheshin.

Gjatë zgjidhjes së problemeve të këtij lloji, është e rëndësishme të kuptohet se ku do të vendoset funksioni i formës f dhe g (x).

Shembulli 2

Ju duhet të gjeni derivatet e funksioneve komplekse të formës y \u003d sin 2 x dhe y \u003d sin x 2.

Vendimi

Hyrja e parë e funksionit thotë se f është funksioni katror dhe g(x) është funksioni sinus. Pastaj e marrim atë

y "= (mëkat 2 x)" = 2 mëkat 2 - 1 x (mëkat x)" = 2 mëkat x cos x

Hyrja e dytë tregon se f është një funksion sinus, dhe g (x) = x 2 tregojnë funksioni i fuqisë. Nga kjo rrjedh se produkti i një funksioni kompleks mund të shkruhet si

y " \u003d (sin x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Formula për derivatin y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) do të shkruhet si y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2" (f 3 (. . . (f n (x )) )) . . . f n "(x)

Shembulli 3

Gjeni derivatin e funksionit y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Vendimi

Ky shembull tregon kompleksitetin e shkrimit dhe përcaktimit të vendndodhjes së funksioneve. Atëherë y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) shënoni, ku f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) është funksioni sinus, funksioni i ngritjes në 3 gradë, një funksion me logaritëm dhe bazë e, një funksion i tangjentes së harkut dhe një linear.

Nga formula për përcaktimin e një funksioni kompleks, kemi atë

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Të marrësh çfarë të gjesh

f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) si derivat i sinusit në tabelën e derivateve, pastaj f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x )))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) si një derivat i një funksioni fuqie, pastaj f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 "(f 3 (f 4 (x))) si një derivat logaritmik, pastaj f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 "(f 4 (x)) si derivat i tangjentës së harkut, pastaj f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Kur gjeni derivatin f 4 (x) \u003d 2 x, hiqni 2 nga shenja e derivatit duke përdorur formulën për derivatin e funksionit të fuqisë me një eksponent që është 1, pastaj f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Ne kombinojmë rezultatet e ndërmjetme dhe e marrim atë

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza e funksioneve të tilla i ngjan kukullave me fole. Rregullat e diferencimit nuk mund të zbatohen gjithmonë në mënyrë eksplicite duke përdorur një tabelë derivative. Shpesh ju duhet të aplikoni formulën për gjetjen e derivateve të funksioneve komplekse.

Ka disa ndryshime midis një pamje komplekse dhe një funksioni kompleks. Me një aftësi të qartë për ta dalluar këtë, gjetja e derivateve do të jetë veçanërisht e lehtë.

Shembulli 4

Është e nevojshme të merret parasysh sjellja e një shembulli të tillë. Nëse ka një funksion të formës y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , atëherë mund të konsiderohet si një funksion kompleks i formës g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Natyrisht, është e nevojshme të zbatohet formula për derivatin kompleks:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Një funksion i formës y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nuk konsiderohet kompleks, pasi ka shumën t g x 2 , 3 t g x dhe 1 . Sidoqoftë, t g x 2 konsiderohet një funksion kompleks, atëherë marrim një funksion fuqie të formës g (x) \u003d x 2 dhe f, që është një funksion i tangjentes. Për ta bërë këtë, duhet të dalloni sipas sasisë. Ne e kuptojmë atë

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Le të kalojmë në gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Marrim se y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funksionet komplekse mund të përfshihen në funksionet komplekse, dhe vetë funksionet komplekse mund të jenë funksione të përbëra të formës komplekse.

Shembulli 5

Për shembull, merrni parasysh një funksion kompleks të formës y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ky funksion mund të përfaqësohet si y = f (g (x)) , ku vlera e f është funksion i logaritmit bazë 3, dhe g (x) konsiderohet shuma e dy funksioneve të formës h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 dhe k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Natyrisht, y = f (h (x) + k (x)) .

Konsideroni funksionin h(x) . Ky është raporti i l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 me m (x) = e x 2 + 3 3

Kemi që l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) është shuma e dy funksioneve n (x) = x 2 + 7 dhe p ( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , ku p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) është një funksion kompleks me një koeficient numerik 3, dhe p 1 është një funksion kub, funksion p 2 kosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 - funksion linear.

Ne zbuluam se m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) është shuma e dy funksioneve q (x) = e x 2 dhe r (x) = 3 3, ku q (x) = q 1 (q 2 (x)) është një funksion kompleks, q 1 është një funksion me një eksponent, q 2 (x) = x 2 është një funksion fuqie.

Kjo tregon se h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kur kalon në një shprehje të formës k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), është e qartë se funksioni përfaqësohet si një kompleks s (x) \ u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) me numër të plotë racional t (x) = x 2 + 1, ku s 1 është funksioni katror dhe s 2 (x) = ln x është logaritmike me bazën e .

Nga kjo rrjedh se shprehja do të marrë formën k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Pastaj e marrim atë

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Sipas strukturave të funksionit, u bë e qartë se si dhe cilat formula duhet të zbatohen për të thjeshtuar shprehjen kur ajo diferencohet. Për t'u njohur me probleme të tilla dhe për të kuptuar zgjidhjen e tyre, është e nevojshme t'i referohemi pikës së diferencimit të një funksioni, domethënë gjetjes së derivatit të tij.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter