Ligji themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese. Dinamika rrotulluese
Konceptet bazë.
Momenti i fuqisë në lidhje me boshtin e rrotullimit është prodhimi vektorial i vektorit të rrezes nga forca.
Momenti i forcës është një vektor , drejtimi i të cilit përcaktohet nga rregulli i gjilpërës (vidhos së djathtë), në varësi të drejtimit të forcës që vepron në trup. Momenti i forcës drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit dhe nuk ka një pikë të caktuar zbatimi.
Vlera numerike e këtij vektori përcaktohet nga formula:
M=r×F× sina(1.15),
ku a - këndi ndërmjet vektorit të rrezes dhe drejtimit të forcës.
Nëse a=0 ose fq, momenti i fuqisë M=0, d.m.th. forca që kalon nëpër boshtin e rrotullimit ose që përkon me të nuk shkakton rrotullim.
Momenti më i madh i rrotullimit krijohet nëse forca vepron në një kënd a=p/2 (M > 0) ose a=3p/2 (M< 0).
Përdorimi i konceptit të shpatullës së forcës (sup i forcës dështë një pingul i rënë nga qendra e rrotullimit në vijën e veprimit të forcës), formula për momentin e forcës merr formën:
ku 
(1.16)
Rregulli i momentit të forcës(gjendja e ekuilibrit për një trup me një bosht fiks rrotullimi):
Në mënyrë që një trup me një bosht të caktuar rrotullimi të jetë në ekuilibër, është e nevojshme që shuma algjebrike e momenteve të forcave që veprojnë në këtë trup të jetë e barabartë me zero.
S M i =0(1.17)
Njësia SI për momentin e forcës është [N×m]
Gjatë lëvizjes rrotulluese, inercia e një trupi varet jo vetëm nga masa e tij, por edhe nga shpërndarja e tij në hapësirë në raport me boshtin e rrotullimit.
Inercia gjatë rrotullimit karakterizohet nga momenti i inercisë së trupit në lidhje me boshtin e rrotullimit J.
Momenti i inercisë pikë materiale në lidhje me boshtin e rrotullimit është një vlerë e barabartë me produktin e masës së një pike dhe katrorin e distancës së saj nga boshti i rrotullimit:
J i \u003d m i × r i 2(1.18)
Momenti i inercisë së trupit rreth boshtit është shuma e momenteve të inercisë së pikave materiale që përbëjnë trupin:
J=S m i × r i 2(1.19)
Momenti i inercisë së një trupi varet nga masa dhe forma e tij, si dhe nga zgjedhja e boshtit të rrotullimit. Për të përcaktuar momentin e inercisë së një trupi rreth një boshti të caktuar, përdoret teorema Steiner-Huygens:
J=J 0 + m × d 2(1.20),
ku J0– momenti i inercisë rreth një boshti paralel që kalon nëpër qendrën e masës së trupit, d– distanca ndërmjet dy akseve paralele . Momenti i inercisë në SI matet në [kg × m 2]
Momenti i inercisë gjatë lëvizjes rrotulluese të trupit të njeriut përcaktohet në mënyrë empirike dhe llogaritet afërsisht sipas formulave për një cilindër, një shufër të rrumbullakët ose një top.
Momenti i inercisë së një personi në lidhje me boshtin vertikal të rrotullimit, i cili kalon nëpër qendrën e masës (qendra e masës së trupit të njeriut është në rrafshin sagittal pak përpara vertebrës së dytë sakrale), në varësi të pozicionit. të personit, ka këto vlera: kur qëndron në këmbë - 1,2 kg × m 2; me pozën "arabeske" - 8 kg × m 2; në një pozicion horizontal - 17 kg × m 2.
Puna në lëvizje rrotulluese ndodh kur një trup rrotullohet nën veprimin e forcave të jashtme.
Puna elementare e forcës në lëvizjen rrotulluese është e barabartë me produktin e momentit të forcës dhe këndit elementar të rrotullimit të trupit:
dA i = M i × dj(1.21)
Nëse në trup veprojnë disa forca, atëherë puna elementare e rezultantit të të gjitha forcave të aplikuara përcaktohet nga formula:
dA=M× dj(1.22),
ku M- momenti total i të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në trup.
Energjia kinetike e një trupi rrotulluesW te varet nga momenti i inercisë së trupit dhe shpejtësia këndore e rrotullimit të tij:
Momenti i momentit (momenti i momentit) - një sasi numerikisht e barabartë me prodhimin e momentit të trupit dhe rrezes së rrotullimit.
L=p× r=m× V× r(1.24).
Pas transformimeve të duhura, mund të shkruani formulën për përcaktimin e momentit këndor në formën:
(1.25).
Momenti këndor është një vektor, drejtimi i të cilit përcaktohet nga rregulli i vidës së djathtë. Njësia SI e momentit këndor është [kg×m 2 /s]
Ligjet themelore të dinamikës së lëvizjes rrotulluese.
Ekuacioni bazë për dinamikën e lëvizjes rrotulluese:
Nxitimi këndor i një trupi rrotullues është drejtpërdrejt proporcional me momentin total të të gjitha forcave të jashtme dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me momentin e inercisë së trupit.
(1.26).
Ky ekuacion luan të njëjtin rol në përshkrimin e lëvizjes rrotulluese si ligji i dytë i Njutonit për lëvizjen përkthimore. Nga ekuacioni mund të shihet se nën veprimin e forcave të jashtme, nxitimi këndor është sa më i madh, aq më i vogël është momenti i inercisë së trupit.
Ligji i dytë i Njutonit për dinamikën e lëvizjes rrotulluese mund të shkruhet në një formë tjetër:
(1.27),
ato. derivati i parë i momentit këndor të trupit në lidhje me kohën është i barabartë me momentin total të të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në këtë trup.
Ligji i ruajtjes së momentit të trupit:
Nëse momenti total i të gjitha forcave të jashtme që veprojnë në trup është zero, d.m.th.
S M i =0, pastaj dL/dt=0 (1.28).
Nga kjo rrjedh ose (1.29).
Kjo deklaratë është thelbi i ligjit të ruajtjes së momentit këndor të trupit, i cili formulohet si më poshtë:
Momenti këndor i një trupi mbetet konstant nëse momenti total i forcave të jashtme që veprojnë në një trup rrotullues është zero.
Ky ligj vlen jo vetëm për një trup absolutisht të ngurtë. Një shembull është një patinator që kryen një rrotullim rreth një boshti vertikal. Duke shtypur duart e tij, patinatori zvogëlon momentin e inercisë dhe rrit shpejtësinë këndore. Për të ngadalësuar rrotullimin, përkundrazi, i shtrin krahët gjerësisht; si rezultat rritet momenti i inercisë dhe zvogëlohet shpejtësia këndore e rrotullimit.
Si përfundim, ne japim një tabelë krahasuese të sasive dhe ligjeve kryesore që karakterizojnë dinamikën e lëvizjeve përkthimore dhe rrotulluese.
Tabela 1.4.
| lëvizje përkthimore | lëvizje rrotulluese | ||
| Sasia fizike | Formula | Sasia fizike | Formula |
| Pesha | m | Momenti i inercisë | J=m×r2 |
| Forca | F | Momenti i fuqisë | M=F×r nëse |
| Momenti i trupit (momenti) | p=m×V | vrulli i trupit | L=m×V×r; L=J×w |
| Energjia kinetike | Energjia kinetike | ||
| punë mekanike | dA=FdS | punë mekanike | dA=Mdj |
| Ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes përkthimore | Ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese | , | |
| Ligji i ruajtjes së momentit të trupit |
ose  nëse
| Ligji i ruajtjes së momentit të trupit | ose SJ i w i = konst, nëse |
Centrifugimi.
Ndarja e sistemeve johomogjene të përbëra nga grimca me dendësi të ndryshme mund të kryhet nën veprimin e gravitetit dhe forcës së Arkimedit (forca e lëvizjes). Nëse ekziston një pezullim ujor i grimcave me densitet të ndryshëm, atëherë forca rezultante vepron mbi to
F p \u003d F t - F A \u003d r 1 × V × g - r × V × g, d.m.th.
F p \u003d (r 1 - r) × V ×g(1.30)
ku V është vëllimi i grimcave, r1 dhe r janë përkatësisht dendësia e substancës së grimcës dhe ujit. Nëse dendësitë ndryshojnë pak nga njëra-tjetra, atëherë forca që rezulton është e vogël dhe ndarja (depozitimi) ndodh mjaft ngadalë. Prandaj, ndarja e detyruar e grimcave përdoret për shkak të rrotullimit të mediumit që do të ndahet.
centrifugimi quhet procesi i ndarjes (ndarjes) të sistemeve, përzierjeve ose pezullimeve heterogjene, të përbërë nga grimca me masa të ndryshme, që ndodhin nën veprimin e forcës centrifugale të inercisë.
Baza e centrifugës është një rotor me ndenjëse me tub provë, i vendosur në një strehë të mbyllur, i cili drejtohet nga një motor elektrik. Kur rotori i centrifugës rrotullohet me një shpejtësi mjaft të lartë, grimcat e pezullimit, në masë të ndryshme, shpërndahen në shtresa në thellësi të ndryshme nën veprimin e forcës centrifugale të inercisë, dhe ato më të rëndat vendosen në fund të epruvetës.
Mund të tregohet se forca nën të cilën ndodh ndarja përcaktohet nga formula:
(1.31)
ku w- shpejtësia këndore e rrotullimit të centrifugës, rështë distanca nga boshti i rrotullimit. Efekti i centrifugimit është sa më i madh, aq më i madh është ndryshimi midis densitetit të grimcave të ndara dhe lëngut, dhe gjithashtu varet ndjeshëm nga shpejtësia këndore e rrotullimit.
Ultracentrifugat që funksionojnë me një shpejtësi të rotorit prej rreth 10 5 -10 6 rrotullime në minutë janë në gjendje të ndajnë grimcat më të vogla se 100 nm në madhësi, të pezulluara ose të tretura në një lëng. Ata kanë gjetur aplikim të gjerë në kërkimet biomjekësore.
Duke përdorur ultracentrifugimin, qelizat mund të ndahen në organele dhe makromolekula. Në fillim vendosen pjesë më të mëdha (bërthama, citoskelet) (sediment). Me një rritje të mëtejshme të shpejtësisë së centrifugimit, grimcat më të vogla depozitohen në mënyrë sekuenciale - së pari mitokondri, lizozomet, pastaj mikrozomet, dhe në fund ribozomet dhe makromolekulat e mëdha. Gjatë centrifugimit, fraksione të ndryshme vendosen me shpejtësi të ndryshme, duke formuar breza të veçantë në epruvetën, të cilat mund të izolohen dhe ekzaminohen. Ekstraktet e qelizave të fraksionuara (sistemet pa qeliza) përdoren gjerësisht për të studiuar proceset ndërqelizore, për shembull, për të studiuar biosintezën e proteinave dhe për të deshifruar kodin gjenetik.
Për sterilizimin e dorezave në stomatologji, përdoret një sterilizues vaji me centrifugë, me të cilin hiqet vaji i tepërt.
Centrifugimi mund të përdoret për të precipituar grimcat e pezulluara në urinë; ndarja e elementeve të formuar nga plazma e gjakut; ndarja e biopolimerëve, viruseve dhe strukturave nënqelizore; kontroll mbi pastërtinë e barit.
Detyrat për vetëkontroll të njohurive.
Ushtrimi 1 . Pyetje për vetëkontroll.
Cili është ndryshimi midis lëvizjes rrethore uniforme dhe lëvizjes drejtvizore uniforme? Në çfarë kushtesh trupi do të lëvizë në mënyrë të njëtrajtshme në një rreth?
Shpjegoni arsyen pse lëvizja rrethore e njëtrajtshme ndodh me nxitim.
A mund të ndodhë lëvizja e lakuar pa nxitim?
Në cilin kusht momenti i forcës është i barabartë me zero? merr vlerën më të madhe?
Tregoni kufijtë e zbatueshmërisë së ligjit të ruajtjes së momentit, momentit këndor.
Specifikoni veçoritë e ndarjes nën veprimin e gravitetit.
Pse është e mundur të ndahen proteinat me pesha të ndryshme molekulare me centrifugim, por metoda e distilimit fraksional është e papranueshme?
Detyra 2 . Testet për vetëkontroll.
Fut fjalën që mungon:
Një ndryshim në shenjën e shpejtësisë këndore tregon një ndryshim në _ _ _ _ _ lëvizje rrotulluese.
Një ndryshim në shenjën e nxitimit këndor tregon një ndryshim në lëvizjen ___ rrotulluese
Shpejtësia këndore është e barabartë me _ _ _ _ _ derivatin e këndit të rrotullimit të vektorit të rrezes në lidhje me kohën.
Nxitimi këndor është i barabartë me _ _ _ _ _ _ derivati kohor i këndit të rrotullimit të vektorit të rrezes.
Momenti i forcës është _ _ _ _ _ nëse drejtimi i forcës që vepron në trup përkon me boshtin e rrotullimit.
Gjeni përgjigjen e saktë:
Momenti i forcës varet vetëm nga pika e aplikimit të forcës.
Momenti i inercisë së një trupi varet vetëm nga masa e trupit.
Lëvizja e njëtrajtshme rrethore ndodh pa nxitim.
A. E drejta. B. E gabuar.
Të gjitha sasitë e mësipërme janë skalare, me përjashtim të
A. momenti i forcës;
B. punë mekanike;
C. energjia potenciale;
D. momenti i inercisë.
Madhësitë vektoriale janë
A. shpejtësia këndore;
B. nxitimi këndor;
C. momenti i forcës;
D. momenti këndor.
Përgjigjet: 1 - drejtime; 2 - karakter; 3 - i pari; 4 - sekondë; 5 - zero; 6 - B; 7 - B; 8 - B; 9 - A; 10 - A, B, C, D.
Detyra 3. Merrni lidhjen midis njësive matëse :
shpejtësi lineare cm/min dhe m/s;
nxitimi këndor rad/min 2 dhe rad/s 2;
momenti i forcës kN×cm dhe N×m;
momenti i trupit g×cm/s dhe kg×m/s;
momenti i inercisë g×cm 2 dhe kg×m 2 .
Detyra 4. Detyrat e përmbajtjes mjekësore dhe biologjike.
Detyra numër 1. Pse në fazën e fluturimit të një kërcimi, një atlet nuk mund të ndryshojë trajektoren e qendrës së gravitetit të trupit me asnjë lëvizje? A kryejnë punë muskujt e atletit kur ndryshon pozicioni i pjesëve të trupit në hapësirë?
Përgjigje: Me lëvizjet në fluturim të lirë përgjatë një parabole, një atlet mund të ndryshojë vetëm vendndodhjen e trupit dhe pjesëve të tij individuale në lidhje me qendrën e tij të gravitetit, e cila në këtë rastështë qendra e rrotullimit. Atleti bën punë për të ndryshuar energjinë kinetike të rrotullimit të trupit.
Detyra numër 2.Çfarë fuqie mesatare zhvillon një person kur ecën nëse kohëzgjatja e hapit është 0,5 s? Supozoni se puna është shpenzuar për përshpejtimin dhe ngadalësimin e ekstremiteteve të poshtme. Lëvizja këndore e këmbëve është rreth Dj=30 o. Momenti i inercisë së gjymtyrëve të poshtme është 1.7 kg × m 2. Lëvizja e këmbëve konsiderohet si rrotulluese po aq e ndryshueshme.
Vendimi:
1) Le të shkruajmë një kusht të shkurtër të problemit: Dt= 0,5 s; DJ=30 0 =p/ 6; Unë= 1.7 kg × m 2
2) Përcaktoni punën në një hap (këmbën e djathtë dhe të majtë): A= 2×Iw 2 / 2=Iw 2.
Duke përdorur formulën për shpejtësinë mesatare këndore w av =Dj/Dt, marrim: w= 2w cf = 2×Dj/Dt; N=A/Dt= 4×I×(Dj) 2 /(Dt) 3
3) Zëvendësoni vlerat numerike: N=4× 1,7× (3,14) 2 /(0,5 3 × 36)=14,9 (W)
Përgjigje: 14,9 W.
Detyra numër 3. Cili është roli i lëvizjes së krahut në ecje?
Përgjigju: Lëvizja e këmbëve, duke lëvizur në dy plane paralele, të vendosura në një distancë nga njëri-tjetri, krijon një moment force që tenton të rrotullojë trupin e njeriut rreth një boshti vertikal. Një person lëkundet krahët "drejt" lëvizjes së këmbëve, duke krijuar kështu një moment forcash të shenjës së kundërt.
Detyra numër 4. Një nga mënyrat për të përmirësuar stërvitjet e përdorura në stomatologji është rritja e shpejtësisë së rrotullimit të stërvitjes. Shpejtësia e rrotullimit të majës së borit në stërvitjet me këmbë është 1500 rpm, në stërvitjet elektrike të palëvizshme - 4000 rpm, në stërvitjet me turbina - tashmë arrin 300,000 rpm. Pse po zhvillohen modifikime të reja të stërvitjeve me një numër të madh rrotullimesh për njësi të kohës?
Përgjigje: Dentina është disa mijëra herë më e ndjeshme ndaj dhimbjes sesa lëkura: ka 1-2 pika dhimbjeje për 1 mm 2 lëkurë dhe deri në 30,000 pikë dhimbjeje për 1 mm 2 dentinë incizive. Rritja e numrit të rrotullimeve, sipas fiziologëve, zvogëlon dhimbjen gjatë trajtimit të zgavrës së kariesit.
Z detyra 5 . Plotësoni tabelat:
Tabela 1. Vizatoni një analogji midis karakteristikave lineare dhe këndore të lëvizjes rrotulluese dhe tregoni marrëdhënien midis tyre.
Tabela numër 2.
Detyra 6. Plotësoni kartën e veprimit tregues:
| Detyrat kryesore | Drejtimet | Përgjigjet |
| Pse gjimnasti i përkul gjunjët dhe i shtyp në gjoks në fazën fillestare të saltosë dhe drejton trupin e tij në fund të rrotullimit? | Përdorni konceptin e momentit këndor dhe ligjin e ruajtjes së momentit këndor për të analizuar procesin. | |
| Shpjegoni pse qëndrimi në majë të gishtave (ose mbajtja e një ngarkese të rëndë) është kaq e vështirë? | Konsideroni kushtet për ekuilibrin e forcave dhe momentet e tyre. | |
| Si do të ndryshojë nxitimi këndor me rritjen e momentit të inercisë së trupit? | Analizoni ekuacionin bazë të dinamikës së lëvizjes rrotulluese. | |
| Si varet efekti i centrifugimit nga ndryshimi në densitetin e lëngut dhe grimcave që ndahen? | Konsideroni forcat që veprojnë gjatë centrifugimit dhe marrëdhëniet ndërmjet tyre |
Kapitulli 2. Bazat e biomekanikës.
Pyetje.
Leva dhe nyje në sistemin muskuloskeletor të njeriut. Koncepti i shkallëve të lirisë.
Llojet e tkurrjes së muskujve. Sasitë fizike bazë që përshkruajnë kontraktimet e muskujve.
Parimet e rregullimit motorik te njerëzit.
Metodat dhe pajisjet për matjen e karakteristikave biomekanike.
2.1. Leva dhe nyje në sistemin muskuloskeletor të njeriut.
Anatomia dhe fiziologjia e aparatit motorik të njeriut kanë karakteristikat e mëposhtme që duhet të merren parasysh në llogaritjet biomekanike: lëvizjet e trupit përcaktohen jo vetëm forca muskulare, por edhe forcat e jashtme të reagimit, graviteti, forcat inerciale, si dhe forcat elastike dhe fërkimi; struktura e aparatit motorik lejon vetëm lëvizje rrotulluese. Me ndihmën e analizës së vargjeve kinematike, lëvizjet përkthimore mund të reduktohen në lëvizje rrotulluese në nyje; lëvizjet kontrollohen nga një mekanizëm shumë kompleks kibernetik, në mënyrë që të ketë një ndryshim të vazhdueshëm në përshpejtimet.
Sistemi muskuloskeletor i njeriut përbëhet nga kocka të artikuluara të skeletit, në të cilat muskujt janë ngjitur në pika të caktuara. Kockat e skeletit veprojnë si leva që kanë një pikëmbështetje në nyje dhe drejtohen nga forca tërheqëse që ndodh kur muskujt tkurren. Të dallojë tre lloje levash:
1) Leva në të cilën forca vepruese F dhe forcën e rezistencës R ngjitur në anët e kundërta të pikëmbështetjes. Një shembull i një levë të tillë është kafka e parë në rrafshin sagittal.
2) Një levë forca operative e së cilës F dhe forcën e rezistencës R aplikuar në njërën anë të pikëmbështetjes, për më tepër, forca F aplikuar në fund të levës, dhe forca R më afër pikës së ankorimit. Kjo levë jep një fitim në forcë dhe një humbje në distancë, d.m.th. eshte nje levave. Shembull është veprimi i harkut të këmbës kur ngrihen në gishta, levat e rajonit maksilofacial (Fig. 2.1). Lëvizjet e aparatit të përtypjes janë shumë komplekse. Gjatë mbylljes së gojës, ngritja e nofullës së poshtme nga pozicioni i uljes maksimale në pozicionin e mbylljes së plotë të dhëmbëve të saj me dhëmbët e nofullës së sipërme kryhet nga lëvizja e muskujve që ngrenë nofullën e poshtme. Këta muskuj veprojnë në nofullën e poshtme si një levë e klasit të dytë me një pikëmbështetje në nyje (duke dhënë një fitim në fuqinë përtypëse).
3) Një levë në të cilën forca vepruese zbatohet më afër pikës mbështetëse sesa forca e rezistencës. Kjo levë është levë shpejtësie, sepse jep një humbje në forcë, por një fitim në lëvizje. Një shembull janë kockat e parakrahut.
Oriz. 2.1. Levat e rajonit maksilofacial dhe harkut të këmbës.
Shumica e kockave të skeletit janë nën veprimin e disa muskujve që zhvillojnë përpjekje në drejtime të ndryshme. Rezultantja e tyre gjendet me mbledhje gjeometrike sipas rregullit të paralelogramit.
Kockat e sistemit musculoskeletal janë të lidhura me njëra-tjetrën në nyje ose nyje. Skajet e kockave që formojnë nyjen mbahen së bashku me ndihmën e një qese artikulare që i mbulon fort, si dhe me ligamentet e ngjitura në kocka. Për të reduktuar fërkimin, sipërfaqet kontaktuese të kockave janë të mbuluara me kërc të lëmuar dhe midis tyre ka shtrese e holle lëng ngjitës.
Hapi i parë në analizën biomekanike të proceseve motorike është përcaktimi i kinematikës së tyre. Mbi bazën e një analize të tillë ndërtohen zinxhirë kinematikë abstrakte, lëvizshmëria ose qëndrueshmëria e të cilave mund të kontrollohet në bazë të konsideratave gjeometrike. Ka zinxhirë kinematikë të mbyllur dhe të hapur të formuar nga nyje dhe lidhje të ngurtë të vendosura ndërmjet tyre.
Gjendja e një pike të lirë materiale në hapësirën tredimensionale jepet nga tre koordinata të pavarura - x, y, z. Ndryshoret e pavarura që karakterizojnë gjendjen e një sistemi mekanik quhen shkallët e lirisë. Sistemet më komplekse mund të kenë më shumë shkallë lirie. Në përgjithësi, numri i shkallëve të lirisë përcakton jo vetëm numrin e variablave të pavarur (që karakterizon gjendjen e sistemit mekanik), por edhe numrin e zhvendosjeve të pavarura të sistemit.
Numri i gradave liria është karakteristika kryesore mekanike e bashkimit, d.m.th. përcakton numri i akseve, rreth të cilit është i mundur rrotullimi i ndërsjellë i kockave të artikuluara. Kjo është kryesisht për shkak të formës gjeometrike të sipërfaqes së kockave në kontakt në nyje.
Numri maksimal i shkallëve të lirisë në nyje është 3.
Shembuj të një artikulimi njëaksial (të sheshtë) në trupin e njeriut janë nyjet humeroulnare, suprakalkaneale dhe falangale. Ato lejojnë vetëm mundësinë e përkuljes dhe shtrirjes me një shkallë lirie. Pra, ulna, me ndihmën e një niveli gjysmërrethor, mbulon një zgjatje cilindrike në humerus, e cila shërben si bosht i kyçit. Lëvizja në nyje - përkulje dhe shtrirje në një rrafsh pingul me boshtin e nyjës.
Nyja e kyçit të dorës, në të cilën përkulja dhe shtrirja, si dhe aduksioni dhe rrëmbimi, mund t'i atribuohen nyjeve me dy shkallë lirie.
Lidhjet me tre shkallë lirie (artikulimi hapësinor) përfshijnë nyjet e kofshës dhe shpatullave. Për shembull, në nyjen skapulare-humeral, koka sferike e humerusit hyn në zgavrën sferike të zgjatjes së skapulës. Lëvizjet në nyje - përkulja dhe shtrirja (në rrafshin sagittal), aduksioni dhe rrëmbimi (në planin ballor) dhe rrotullimi i gjymtyrës rreth boshtit gjatësor.
Zinxhirët kinematikë planar të mbyllur kanë numrin e shkallëve të lirisë f F, e cila llogaritet nga numri i lidhjeve n në mënyrën e mëposhtme:
Situata për zinxhirët kinematikë në hapësirë është më e ndërlikuar. Këtu lidhja
(2.2)
ku fi- numri i shkallëve të kufizimeve të lirisë i- lidhjen.
Në çdo trup, ju mund të zgjidhni akse të tilla, drejtimi i të cilave do të ruhet gjatë rrotullimit pa ndonjë pajisje të veçantë. Ata kanë një emër boshtet e rrotullimit të lirë
Momenti i inercisë rreth boshtit të rrotullimit
Momenti i inercisë së një pike materiale , (1.8) ku është masa e pikës, është distanca e saj nga boshti i rrotullimit.
1. Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë diskret , (1.9) ku është elementi masiv i trupit të ngurtë; është distanca e këtij elementi nga boshti i rrotullimit; është numri i elementeve të trupit.
2. Momenti i inercisë në rast të shpërndarjes së vazhdueshme të masës (trup i ngurtë i ngurtë). (1.10) Nëse trupi është homogjen, d.m.th. dendësia e tij është e njëjtë në të gjithë vëllimin, atëherë përdoret shprehja (1.11), ku dhe është vëllimi i trupit.
3. Teorema e Shtajnerit. Momenti i inercisë së një trupi të çdo boshti rrotullimi është i barabartë me momentin e inercisë së tij rreth një boshti paralel që kalon nga qendra e masës së trupit, i shtuar produktit të masës së trupit me katrorin e distancës ndërmjet tyre. . (1.12)
1. 
, (1.13) ku është momenti i forcës, është momenti i inercisë së trupit, është shpejtësia këndore, është momenti këndor.
2. Në rastin e një momenti konstant të inercisë së trupit - , (1.14) ku është nxitimi këndor.
3. Në rastin e momentit konstant të forcës dhe momentit të inercisë, ndryshimi i momentit të momentit të një trupi rrotullues është i barabartë me produktin e momentit mesatar të forcave që veprojnë në trup për kohëzgjatjen e këtij momenti. (1.15)
Nëse boshti i rrotullimit nuk kalon nëpër qendrën e masës së trupit, atëherë momenti i inercisë së trupit rreth këtij boshti mund të përcaktohet nga teorema e Shtajnerit: momenti i inercisë së trupit rreth një boshti arbitrar është i barabartë me shuma e momenteve të inercisë së këtij trupi rreth boshtit të rrotullimit O 1 O 2 që kalon nëpër qendrën e masës së trupit C në boshte paralele dhe produktin e masës trupore me katrorin e distancës ndërmjet këtyre boshteve (shih Fig. 1), d.m.th. .
Momenti i inercisë së sistemit organet individualeështë e barabartë (për shembull, momenti i inercisë së një lavjerrësi fizik është , ku momenti i inercisë së shufrës në të cilën është montuar disku me momentin e inercisë ).
Tabela e analogjive
| lëvizje përkthimore | lëvizje rrotulluese |
| zhvendosje elementare | këndi i fshirjes elementare |
| shpejtësia e linjës | shpejtësia këndore |
| nxitimi | nxitimi këndor |
| peshë t | Momenti i inercisë J |
| forcë | momenti i fuqisë |
| ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes përkthimore | ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese |
| pulsi | momenti këndor |
| ligji i momentit | ligji i ndryshimit të momentit këndor |
| Punë | Punë |
| energjia kinetike | energjia kinetike |
Momenti këndor (momenti kinetik, momenti këndor, momenti orbital, momenti këndor) karakterizon sasinë e lëvizjes rrotulluese. Një sasi që varet nga sa masë rrotullohet, si shpërndahet rreth boshtit të rrotullimit dhe sa shpejt ndodh rrotullimi. Duhet të theksohet se rrotullimi këtu kuptohet në një kuptim të gjerë, jo vetëm si një rrotullim i rregullt rreth një boshti. Për shembull, edhe me një lëvizje drejtvizore të një trupi përtej një pike imagjinare arbitrare që nuk shtrihet në vijën e lëvizjes, ai gjithashtu ka një moment këndor. Ndoshta rolin më të madh e luan momenti këndor në përshkrimin e lëvizjes aktuale rrotulluese, momenti këndor në lidhje me një pikë është një pseudovektor, dhe momenti këndor në lidhje me një bosht është një pseudoskalar.
Ligji i ruajtjes së momentit (Ligji i ruajtjes së momentit) thotë se shuma vektoriale e momentit të të gjithë trupave (ose grimcave) të një sistemi është një vlerë konstante nëse shuma vektoriale e forcave të jashtme që veprojnë në sistem është zero.
1) Karakteristika më lineare: rruga S, shpejtësia, nxitimi tangjencial dhe normal.
2) Kur trupi rrotullohet rreth një boshti fiks, vektori këndor i nxitimit ε drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit drejt vektorit të rritjes elementare të shpejtësisë këndore. Gjatë lëvizjes së përshpejtuar, vektori ε bashkëdrejtohet te vektori ω (Fig. 3), ndërsa gjatë lëvizjes së ngadaltë është i kundërt me të.
4) Momenti i inercisë - një sasi skalare që karakterizon shpërndarjen e masave në trup. Momenti i inercisë është një masë e inercisë së një trupi gjatë rrotullimit (kuptimi fizik).
Përshpejtimi karakterizon shkallën e ndryshimit të shpejtësisë.
5) Momenti i forcës (sinonimet: çift rrotullues, çift rrotullues, çift rrotullues, çift rrotullues) - vektor sasi fizike, e barabartë me produktin vektorial të vektorit të rrezes (i tërhequr nga boshti i rrotullimit deri në pikën e aplikimit të forcës - sipas përkufizimit), nga vektori i kësaj force. Karakterizon veprimin rrotullues të forcës në një trup të ngurtë.
6) Nëse ngarkesa është e pezulluar dhe në qetësi, atëherë moduli i elasticitetit \ tensionit \ fijes është i barabartë me forcën e gravitetit.
Momenti i fuqisë
Veprimi rrotullues i një force përcaktohet nga momenti i saj. Momenti i forcës rreth një pike është prodhimi kryq
Vektori i rrezes i tërhequr nga pika në pikë e aplikimit të forcës (Fig. 2.12). Njësia e momentit të forcës 
.
Figura 2.12
Madhësia e momentit të forcës
,
ose mund të shkruani
ku është shpatulla e forcës (distanca më e shkurtër nga pika në vijën e veprimit të forcës).
Drejtimi i vektorit përcaktohet nga rregulli i produktit kryq ose nga rregulli i "vidhos së djathtë" (ne bashkojmë vektorët dhe përkthimin paralel në pikën O, drejtimi i vektorit përcaktohet në mënyrë që nga fundi i tij kthesa nga vektori në është e dukshme në drejtim të kundërt - në figurën 2.12 vektori është i drejtuar pingul me planin që vizaton "nga ne" (në mënyrë të ngjashme, sipas rregullit të gimlet - lëvizja përkthimore korrespondon me drejtimin e vektorit, rrotullimi korrespondon me një kthesë nga tek)).
Momenti i një force rreth një pike është zero nëse vija e veprimit e forcës kalon nëpër atë pikë.
Projeksioni i një vektori në çdo bosht, për shembull, boshti z, quhet momenti i forcës rreth këtij boshti. Për të përcaktuar momentin e forcës rreth boshtit, fillimisht projektoni forcën në një rrafsh pingul me boshtin (Fig. 2.13), dhe më pas gjeni momentin e këtij projeksioni në lidhje me pikën e kryqëzimit të boshtit me rrafshin pingul me të. . Nëse vija e veprimit e forcës është paralele me boshtin, ose e kalon atë, atëherë momenti i forcës rreth këtij boshti është i barabartë me zero.
Figura 2.13
momenti këndor
Momenti i vrullit pikë materiale një masë që lëviz me një shpejtësi në lidhje me çdo pikë referimi quhet produkt vektorial
,
Vektori i rrezes së një pike materiale (Fig. 2.14), 
- vrulli i saj.
Figura 2.14
Vlera e momentit këndor të pikës materiale
,
ku - distanca më e shkurtër vektor jashtë linjës 
deri në pikën.
Drejtimi i momentit këndor përcaktohet në mënyrë të ngjashme me drejtimin e momentit të forcës.
Nëse shprehja për L 0 shumëzohet dhe pjesëtohet me l, marrim:
ku 
- momenti i inercisë së një pike materiale - një analog i masës në lëvizje rrotulluese.
- shpejtësia këndore.
Momenti i inercisë së një trupi të ngurtë
Mund të shihet se formulat që rezultojnë janë shumë të ngjashme me shprehjet për momentin dhe për ligjin e dytë të Njutonit, respektivisht, vetëm në vend të shpejtësisë dhe nxitimit linear, përdoren shpejtësia këndore dhe nxitimi, dhe në vend të masës, sasia. I=mR 2, i quajtur momenti i inercisë së një pike materiale .
Nëse trupi nuk mund të konsiderohet pikë materiale, por mund të konsiderohet absolutisht i ngurtë, atëherë momenti i tij i inercisë mund të konsiderohet shuma e momenteve të inercisë së pjesëve të tij pafundësisht të vogla, pasi shpejtësitë këndore të rrotullimit të këtyre pjesëve janë të njëjta. (Fig. 2.16). Shuma e infinitesimaleve është integrali:
Për çdo trup, ka akse që kalojnë nëpër qendrën e tij të inercisë, të cilat kanë këtë veti: kur trupi rrotullohet rreth boshteve të tilla në mungesë të ndikimeve të jashtme, boshtet e rrotullimit nuk ndryshojnë pozicionin e tyre. Sëpata të tilla quhen sëpata të lira të trupit . Mund të vërtetohet se për një trup të çdo forme dhe me çdo shpërndarje dendësie ekzistojnë tre boshte të lirë reciprokisht pingul, të quajtur boshtet kryesore të inercisë trupi. Momentet e inercisë së një trupi rreth boshteve kryesore quhen momentet kryesore (të brendshme) të inercisë trupi.
Momentet kryesore të inercisë së disa trupave janë dhënë në tabelë:
Teorema e Huygens-Steiner.
.
Kjo shprehje quhet Teorema e Huygens-Steiner : momenti i inercisë së trupit rreth një boshti arbitrar është i barabartë me shumën e momentit të inercisë së trupit rreth një boshti paralel me atë të dhënë dhe që kalon nga qendra e masës së trupit, dhe produkti i trupit masë për katrorin e distancës ndërmjet boshteve.
Ekuacioni themelor i dinamikës së lëvizjes rrotulluese
Ligji bazë i dinamikës së lëvizjes rrotulluese mund të merret nga ligji i dytë i Njutonit për lëvizjen përkthimore të një trupi të ngurtë.
ku Fështë forca që ushtrohet në trup nga masa m; aështë nxitimi linear i trupit.
Nëse për një trup të ngurtë me masë m në pikën A (Fig. 2.15) aplikoni forcë F, atëherë si rezultat i një lidhjeje të ngurtë midis të gjitha pikave materiale të trupit, të gjitha ato do të marrin nxitimin këndor ε dhe nxitimet lineare përkatëse, sikur në secilën pikë vepron një forcë F 1 …F n. Për çdo pikë materiale, mund të shkruani:
ku 
Kjo është arsyeja pse
ku m i- peshë i- pika e th; ε është nxitimi këndor; r iështë distanca e tij nga boshti i rrotullimit.
Duke shumëzuar anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me r i, marrim
ku 
- momenti i forcës është produkt i forcës mbi supin e tij.
Pyetje
Pika materiale- një trup, dimensionet e të cilit në kushte të caktuara të lëvizjes mund të neglizhohen.
Trup absolutisht i fortë quhet trupi, deformimet e të cilit sipas kushteve të problemit mund të neglizhohen. Në një trup absolutisht të ngurtë, distanca midis ndonjë prej pikave të tij nuk ndryshon me kalimin e kohës. Në kuptimin termodinamik, një trup i tillë nuk duhet të jetë i ngurtë. Lëvizja arbitrare e një trupi të ngurtë mund të ndahet në përkthimore dhe rrotulluese rreth një pike fikse.
Sistemet e referencës. Për të përshkruar lëvizjen mekanike të një trupi (pike), duhet të dini koordinatat e tij në çdo kohë. Për të përcaktuar koordinatat e një pike materiale, para së gjithash duhet zgjedhur një trup referencë dhe të lidhet një sistem koordinativ me të. Për të përcaktuar pozicionin e një pike materiale në çdo moment në kohë, është gjithashtu e nevojshme të vendosni origjinën e referencës kohore. Sistemi i koordinatave, trupi i referencës dhe treguesi i origjinës së formularit të referencës kohore sistemi i referencës, në lidhje me të cilën merret parasysh lëvizja e trupit. Trajektorja e lëvizjes së trupit, distanca e përshkuar dhe zhvendosja varen nga zgjedhja e kornizës së referencës.
Kinematika e pikave- një pjesë e kinematikës që studion përshkrimin matematikor të lëvizjes së pikave materiale. Detyra kryesore e kinematikës është të përshkruajë lëvizjen me ndihmën e një aparati matematikor pa gjetur arsyet që shkaktojnë këtë lëvizje.
Rruga dhe lëvizja. Vija përgjatë së cilës lëviz pika e trupit quhet trajektorja. Gjatësia e trajektores quhet mënyra se si kemi udhëtuar. Vektori që lidh pikat e fillimit dhe të fundit të trajektores quhet lëvizjes. Shpejtësia- sasi fizike vektoriale që karakterizon shpejtësinë e lëvizjes së trupit, numerikisht e barabartë me raportin e lëvizjes në një periudhë të vogël kohore me vlerën e kësaj periudhe. Intervali kohor konsiderohet mjaft i vogël nëse shpejtësia gjatë lëvizjes së pabarabartë gjatë këtij intervali nuk ka ndryshuar. Formula përcaktuese për shpejtësinë është v = s/t. Njësia e shpejtësisë është m/s. Në praktikë, njësia e shpejtësisë e përdorur është km/h (36 km/h = 10 m/s). Matni shpejtësinë me shpejtësi.
Nxitimi- sasi fizike vektoriale që karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë, numerikisht e barabartë me raportin e ndryshimit të shpejtësisë me periudhën kohore gjatë së cilës ka ndodhur ky ndryshim. Nëse shpejtësia ndryshon njësoj gjatë gjithë kohës së lëvizjes, atëherë nxitimi mund të llogaritet me formulën a=Δv/Δt. Njësia e nxitimit - m / s 2
| Figura 1.4.1. Projeksionet e vektorëve të shpejtësisë dhe nxitimit në boshtet koordinative. një x = 0, një y = –g |
Nëse rruga s kaluar nga një pikë materiale gjatë një periudhe kohore t2-t1, e ndarë në segmente mjaft të vogla D s i, pastaj për secilën i seksioni th, gjendja
Atëherë e gjithë rruga mund të shkruhet si një shumë
Mesatarja- karakteristikë numerike e një grupi numrash ose funksionesh; - një numër i mbyllur midis vlerave më të vogla dhe më të mëdha të tyre.
Nxitimi normal (centripetal) drejtohet drejt qendrës së lakimit të trajektores dhe karakterizon ndryshimin e shpejtësisë në drejtim:
v- shpejtësia e menjëhershme, rështë rrezja e lakimit të trajektores në një pikë të caktuar.
Nxitimi tangjencial (tangjencial) drejtohet në mënyrë tangjenciale në trajektoren dhe karakterizon ndryshimin në modulin e shpejtësisë.
Nxitimi total me të cilin lëviz një pikë materiale është e barabartë me:
Nxitimi tangjencial karakterizon shpejtësinë e ndryshimit të shpejtësisë së lëvizjes me vlerë numerike dhe drejtohet tangjencialisht në trajektore.
Prandaj
Nxitimi normal karakterizon shkallën e ndryshimit të shpejtësisë në drejtim. Le të llogarisim vektorin:
Pyetje
Kinematika e lëvizjes rrotulluese.
Lëvizja e trupit mund të jetë si përkthimore ashtu edhe rrotulluese. Në këtë rast, trupi përfaqësohet si një sistem pikash materiale të ndërlidhura fort.
Me lëvizjen përkthimore, çdo vijë e drejtë e tërhequr në trup lëviz paralelisht me vetveten. Sipas formës së trajektores, lëvizja përkthimore mund të jetë drejtvizore dhe lakuar. Në lëvizjen përkthimore, të gjitha pikat e një trupi të ngurtë për të njëjtën periudhë kohore bëjnë lëvizje të barabarta në madhësi dhe drejtim. Prandaj, shpejtësitë dhe nxitimet e të gjitha pikave të trupit në çdo moment të kohës janë gjithashtu të njëjta. Për të përshkruar lëvizjen përkthimore, mjafton të përcaktojmë lëvizjen e një pike.
Lëvizja rrotulluese e një trupi të ngurtë rreth një boshti fiks quhet një lëvizje e tillë në të cilën të gjitha pikat e trupit lëvizin përgjatë rrathëve, qendrat e të cilave shtrihen në një vijë të drejtë (boshti i rrotullimit).
Boshti i rrotullimit mund të kalojë përmes trupit ose të shtrihet jashtë tij. Nëse boshti i rrotullimit kalon nëpër trup, atëherë pikat që shtrihen në bosht mbeten në qetësi gjatë rrotullimit të trupit. Pikat e një trupi të ngurtë, të vendosura në distanca të ndryshme nga boshti i rrotullimit, udhëtojnë distanca të ndryshme në të njëjtat intervale kohore dhe, për rrjedhojë, kanë shpejtësi të ndryshme lineare.
Kur një trup rrotullohet rreth një boshti fiks, pikat e trupit për të njëjtën periudhë kohore bëjnë të njëjtën zhvendosje këndore. Moduli është i barabartë me këndin e rrotullimit të trupit rreth boshtit në kohë, drejtimi i vektorit të zhvendosjes këndore me drejtimin e rrotullimit të trupit është i lidhur me rregullin e vidës: nëse kombinoni drejtimet e rrotullimit të vidës me drejtimin e rrotullimit të trupit, atëherë vektori do të përkojë me lëvizjen përkthimore të vidës. Vektori drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit.
Shpejtësia e ndryshimit të zhvendosjes këndore përcakton shpejtësinë këndore - ω. Për analogji me shpejtësinë lineare, konceptet shpejtësia këndore mesatare dhe e menjëhershme:
Shpejtësia këndoreështë një sasi vektoriale.
Shpejtësia e ndryshimit të shpejtësisë këndore karakterizon mesatare dhe të menjëhershme
nxitimi këndor.
Vektori dhe mund të përkojë me vektorin dhe të jetë i kundërt me të
Rrotullues i thirrur. kjo lloj lëvizjeje në të cilën çdo t. e një trupi të ngurtë përshkruan një rreth në procesin e lëvizjes së tij. ndryshimi i këndit të rrotullimit për njësi të kohës c.s. të gjitha m.Trupi do të ketë të njëjtin nxitim këndor (ε) - një sasi fizike numerikisht e barabartë me ndryshimin e shpejtësisë këndore për njësinë e kohës ε=dw/dt, W=dφ/dt ε=dw/dt=d 2 φ/ lidhje dt. ε V=Wr a t =dv/dt=d/dt(Wr)=r*dw/dt(ε) a t =[ε*r] a n = V 2 / r \u003d W 2 * r 2 / r një n \u003d W 2 r
Shpejtësia lineare tregon se çfarë rruge përshkohet për njësi të kohës kur lëvizni në një rreth, nxitimi linear tregon se sa ndryshon shpejtësia lineare për njësi të kohës. Shpejtësia këndore tregon se në çfarë këndi lëviz trupi kur lëviz në një rreth, nxitimi këndor tregon se sa ndryshon shpejtësia këndore për njësi të kohës. Vl \u003d R * w; a = R*(beta)
Pyetje
Si rezultat i zhvillimit të fizikës në fillim të shekullit të 20-të, u përcaktua fushëveprimi i mekanikës klasike: ligjet e saj janë të vlefshme për lëvizjet, shpejtësia e të cilave është shumë më e vogël se shpejtësia e dritës. U zbulua se me rritjen e shpejtësisë, pesha e trupit rritet. Në përgjithësi, ligjet e Njutonit të mekanikës klasike janë të vlefshme për rastin e kornizave inerciale të referencës. Në rastin e kornizave jo-inerciale të referencës, situata është e ndryshme. Me lëvizjen e përshpejtuar të një sistemi koordinativ jo-inercial në lidhje me një sistem inercial, ligji i parë i Njutonit (ligji i inercisë) nuk zbatohet në këtë sistem - trupat e lirë në të do të ndryshojnë shpejtësinë e tyre të lëvizjes me kalimin e kohës.
Mospërputhja e parë në mekanika klasike u zbulua kur u zbulua mikrobota. Në mekanikën klasike, zhvendosjet në hapësirë dhe përcaktimi i shpejtësisë studioheshin pavarësisht se si realizoheshin këto zhvendosje. Në lidhje me fenomenet e mikrobotës, një situatë e tillë, siç doli, është e pamundur në parim. Këtu lokalizimi hapësinor-kohor që qëndron në themel të kinematikës është i mundur vetëm për disa raste të veçanta, të cilat varen nga kushtet specifike dinamike të lëvizjes. Në një shkallë makro, përdorimi i kinematikës është mjaft i pranueshëm. Për shkallët mikro, ku roli kryesor i përket kuanteve, kinematika, e cila studion lëvizjen pavarësisht kushteve dinamike, humbet kuptimin e saj.
Ligji i parë i Njutonit
Ekzistojnë sisteme referimi në lidhje me të cilat trupat e mbajnë shpejtësinë e tyre konstante nëse nuk ndikohen nga trupa dhe fusha të tjera (ose veprimi i tyre kompensohet reciprokisht).
pesha e trupit quhet karakteristikë sasiore e inercisë së trupit. Masa - shkëmbinj. madhësia, rajoni Vetitë:
Nuk varet nga shpejtësia. trupi
Masa është një sasi shtesë, d.m.th. masa e sistemit është shuma e masave të mat. d.m.th., hyrja në këtë sistem
Nën çdo ndikim, ligji i ruajtjes së masës përmbushet: masa totale e trupave ndërveprues para dhe pas bashkëveprimit është e barabartë me njëri-tjetrin.
|
|
Impuls, ose sasia e lëvizjes së tapetit. quhet një sasi vektoriale p, e barabartë me prodhimin e masës m mat. tregon shpejtësinë e saj. Momenti i sistemit është p=mV c.
Ligji i dytë i Njutonit- ligji diferencial i lëvizjes, i cili përshkruan marrëdhënien midis forcës së aplikuar në një pikë materiale dhe nxitimit që rezulton nga kjo pikë. Në fakt, ligji i dytë i Njutonit prezanton masën si masë e manifestimit të inercisë së një pike materiale në sistemin e zgjedhur të referencës inerciale (ISO).
Ligji i dytë i Njutonit Shtetet që
Në një kornizë inerciale të referencës, nxitimi që merr një pikë materiale është drejtpërdrejt proporcionale me forcën e aplikuar ndaj saj dhe në përpjesëtim të zhdrejtë me masën e saj.
Me një zgjedhje të përshtatshme të njësive matëse, ky ligj mund të shkruhet si formulë:
ku është nxitimi i një pike materiale; - forca e aplikuar në një pikë materiale; mështë masa e një pike materiale.
Ose në një formë më të njohur:
Në rastin kur masa e një pike materiale ndryshon me kalimin e kohës, ligji i dytë i Njutonit formulohet duke përdorur konceptin e momentit:
Në një kornizë inerciale të referencës, shpejtësia e ndryshimit të momentit të një pike materiale është e barabartë me forcën që vepron mbi të.
Ku është momenti i pikës, ku është shpejtësia e pikës; t- koha;
Derivat i impulsit në lidhje me kohën.
Ligji i dytë i Njutonit është i vlefshëm vetëm për shpejtësi shumë më të vogla se shpejtësia e dritës dhe në kornizat inerciale të referencës. Për shpejtësi afër shpejtësisë së dritës, përdoren ligjet e teorisë së relativitetit.
Ligji i tretë i Njutonit pohon: forca e veprimit është e barabartë në vlerë absolute dhe e kundërt në drejtim me forcën e reaksionit.
Vetë ligji:
Trupat veprojnë mbi njëri-tjetrin me forca të së njëjtës natyrë, të drejtuara përgjatë së njëjtës vijë të drejtë, të barabartë në madhësi dhe të kundërta në drejtim:
gravitetit
Sipas këtij ligji, dy trupa tërhiqen nga njëri-tjetri me një forcë që është drejtpërdrejt proporcionale me masat e këtyre trupave. m 1 dhe m 2 dhe është në përpjesëtim të zhdrejtë me katrorin e distancës ndërmjet tyre:
Këtu rështë distanca ndërmjet qendrave të masës së këtyre trupave, G− konstanta gravitacionale, vlera e së cilës, e gjetur në mënyrë eksperimentale, është .
Forca e tërheqjes gravitacionale është forcë qendrore, d.m.th. drejtuar përgjatë një vije të drejtë që kalon nëpër qendrat e trupave ndërveprues.
PYETJE
Një lloj pushteti privat, por jashtëzakonisht i rëndësishëm për ne gravitetit eshte nje forca e tërheqjes së trupave drejt tokës. Kjo forcë quhet gravitetit. Sipas ligjit të gravitetit universal, ai shprehet me formulën
, (1)
ku m- masa trupore, Mështë masa e tokës, Rështë rrezja e tokës, hështë lartësia e trupit mbi sipërfaqen e tokës. Forca e gravitetit drejtohet vertikalisht poshtë drejt qendrës së tokës.
Graviteti është forca që vepron në çdo trup afër sipërfaqes së tokës.
Përkufizohet si shuma gjeometrike e forcës së tërheqjes gravitacionale ndaj Tokës që vepron në trup dhe forcës centrifugale të inercisë, duke marrë parasysh efektin e rrotullimit ditor të Tokës rreth boshtit të vet, d.m.th. 
. Drejtimi i gravitetit është drejtimi i vertikales në një pikë të caktuar në sipërfaqen e tokës.
POR madhësia e forcës centrifugale të inercisë është shumë e vogël në krahasim me forcën e gravitetit të Tokës (raporti i tyre është afërsisht 3∙10 -3), atëherë forca zakonisht neglizhohet. Pastaj .
Pesha e trupit është forca me të cilën trupi, për shkak të tërheqjes së tij nga Toka, vepron në një mbështetje ose pezullim.
Sipas ligjit të tretë të Njutonit, të dyja këto forca elastike janë të barabarta në vlerë absolute dhe të drejtuara në drejtime të kundërta. Pas disa lëkundjeve, trupi në burim është në qetësi. Kjo do të thotë se moduli i gravitetit është i barabartë me forcën e elasticitetit F kontrolli i pranverës. Por e njëjta forcë është e barabartë me peshën e trupit.
Kështu, në shembullin tonë, pesha e trupit, të cilën do ta shënojmë me shkronjë, është e barabartë në vlerë absolute me forcën e gravitetit:
Nën veprimin e forcave të jashtme, ndodhin deformime (d.m.th., ndryshime në madhësi dhe formë) të trupave. Nëse pas përfundimit të veprimit të forcave të jashtme, trupi rikthehet forma dhe dimensionet e mëparshme, atëherë deformimi quhet elastike. Deformimi ka karakter elastik nëse forca e jashtme nuk kalon një vlerë të caktuar, e quajtur kufiri elastik.
Forcat elastike lindin në të gjithë pranverën e deformuar. Çdo pjesë e sustës vepron në një pjesë tjetër me një forcë elastike F psh.
Zgjatja e sustës është proporcionale me forcën e jashtme dhe përcaktohet nga ligji i Hukut:
k- ngurtësi e pranverës. Mund të shihet se aq më shumë k, aq më pak zgjatim do të marrë susta nën veprimin e një force të caktuar.
Meqenëse forca elastike ndryshon nga ajo e jashtme vetëm në shenjë, d.m.th. F ish = - F vn, ligji i Hukut mund të shkruhet si
,
F ish = - kx.
Forca e fërkimit
Fërkimi- një nga llojet e bashkëveprimit të trupave. Ndodh kur dy trupa vijnë në kontakt. Fërkimi, si të gjitha llojet e tjera të ndërveprimit, i bindet ligjit të tretë të Njutonit: nëse një forcë fërkimi vepron në një nga trupat, atëherë forca me të njëjtën madhësi, por e drejtuar në drejtim të kundërt, vepron edhe në trupin e dytë. Forcat e fërkimit, si forcat elastike, janë të natyrës elektromagnetike. Ato lindin si rezultat i ndërveprimit midis atomeve dhe molekulave të trupave fqinjë.
Forcat e fërkimit të thatë quhen forcat që lindin kur dy trupa të ngurtë bien në kontakt në mungesë të një shtrese të lëngët ose të gaztë ndërmjet tyre. Ato janë të drejtuara gjithmonë në mënyrë tangjenciale në sipërfaqet e çiftëzimit.
Fërkimi i thatë që ndodh kur trupat janë në qetësi relative quhet fërkimi statik.
Forca statike e fërkimit nuk mund të kalojë një vlerë maksimale të caktuar (F tr) max. Nëse forca e jashtme është më e madhe se (F tr) max, ka rrëshqitje relative. Forca e fërkimit në këtë rast quhet forca rrëshqitëse e fërkimit. Ai drejtohet gjithmonë në drejtim të kundërt me drejtimin e lëvizjes dhe, në përgjithësi, varet nga shpejtësia relative e trupave. Megjithatë, në shumë raste, përafërsisht forca e fërkimit rrëshqitës mund të konsiderohet e pavarur nga madhësia e shpejtësisë relative të trupave dhe e barabartë me forcën maksimale të fërkimit statik.
|
Koeficienti i proporcionalitetit μ quhet koeficienti i fërkimit të rrëshqitjes.
Koeficienti i fërkimit μ është një sasi pa dimension. Zakonisht koeficienti i fërkimit është më i vogël se uniteti. Varet nga materialet e trupave kontaktues dhe nga cilësia e trajtimit të sipërfaqes.
Kur një trup i ngurtë lëviz në një lëng ose gaz, forca viskoze e fërkimit. Forca e fërkimit viskoz është shumë më e vogël se forca e fërkimit të thatë. Ai drejtohet gjithashtu në drejtim të kundërt me shpejtësinë relative të trupit. Me fërkim viskoz, nuk ka fërkim statik.
Forca e fërkimit viskoz varet fuqishëm nga shpejtësia e trupit. Me shpejtësi mjaft të ulët F tr ~ υ, në shpejtësi të larta F tr ~ υ 2 . Në këtë rast, koeficientët e proporcionalitetit në këto raporte varen nga forma e trupit.
Forcat e fërkimit lindin gjithashtu kur një trup rrotullohet. Megjithatë forca e fërkimit të rrotullimit zakonisht mjaft të vogla. Kur zgjidhen probleme të thjeshta, këto forca neglizhohen.
Forcat e jashtme dhe të brendshme
Forca e jashtme është një masë e ndërveprimit ndërmjet trupave. Në problemet e forcës së materialeve, forcat e jashtme supozohen gjithmonë të jepen. Reagimet mbështetëse u përkasin edhe forcave të jashtme.
Forcat e jashtme ndahen në voluminoze dhe sipërfaqësore. Forcat e trupit aplikohet në çdo grimcë të trupit gjatë gjithë vëllimit të tij. Një shembull i forcave të trupit janë forcat e peshës dhe forcat e inercisë. Forcat sipërfaqësore ndahen në e fokusuar dhe të shpërndara.
I fokusuar
merren parasysh forcat e aplikuara në një sipërfaqe të vogël, përmasat e së cilës janë të vogla në krahasim me dimensionet e trupit. Megjithatë, kur llogariten sforcimet pranë zonës së aplikimit të forcës, ngarkesa duhet të konsiderohet e shpërndarë. Ngarkesat e përqendruara përfshijnë jo vetëm forca të përqendruara, por edhe çifte forcash, një shembull i të cilave është ngarkesa e krijuar nga një çelës kur shtrëngoni një arrë. Përpjekjet e përqendruara maten në kN.
Ngarkesa të shpërndara
janë të shpërndara në gjatësi dhe sipërfaqe. Forcat e shpërndara zakonisht maten në kN/m2.
Si rezultat i veprimit të forcave të jashtme në trup,. forcat e brendshme.
force e brendshme
- masa e bashkëveprimit ndërmjet grimcave të një trupi.
sistem i mbyllurështë një sistem termodinamik që nuk shkëmbehet me mjedisi as materie as energji. Në termodinamikë, supozohet (si rezultat i përgjithësimit të përvojës) që një sistem i izoluar gradualisht vjen në një gjendje ekuilibri termodinamik, nga i cili nuk mund të dalë spontanisht ( ligji zero i termodinamikës).
PYETJE
Ligjet e ruajtjes- ligjet themelore fizike, sipas të cilave, në kushte të caktuara, disa madhësi fizike të matshme që karakterizojnë një sistem fizik të mbyllur nuk ndryshojnë me kalimin e kohës.
Disa nga ligjet e ruajtjes janë gjithmonë dhe në të gjitha kushtet (për shembull, ligjet e ruajtjes së energjisë, momentit, momentit këndor, ngarkesës elektrike), ose, në çdo rast, proceset që bien ndesh me këto ligje nuk janë respektuar kurrë. Ligjet e tjera janë vetëm të përafërta dhe zbatohen në kushte të caktuara.
Ligjet e ruajtjes
Në mekanikën klasike, ligjet e ruajtjes së energjisë, momentit dhe momentit këndor rrjedhin nga homogjeniteti/izotropia e Lagranzhit të sistemit - Lagranzhi (funksioni Lagranzhit) nuk ndryshon me kohën në vetvete dhe nuk ndryshon nga përkthimi. ose rrotullimi i sistemit në hapësirë. Në thelb, kjo do të thotë se kur konsiderohet një sistem i caktuar i mbyllur në laborator, do të merren të njëjtat rezultate - pavarësisht nga vendndodhja e laboratorit dhe koha e eksperimentit. Simetri të tjera të Lagranzhit të sistemit, nëse ka, korrespondojnë me sasi të tjera të ruajtura në sistemin e caktuar (integrale të lëvizjes); për shembull, simetria e Lagranzhit të problemit gravitacional dhe Kulombit me dy trupa çon në ruajtjen e jo vetëm të energjisë, momentit dhe momentit këndor, por edhe të vektorit Laplace-Runge-Lenz.
Pyetje
Ligji i ruajtjes së momentitështë pasojë e ligjit të dytë dhe të tretë të Njutonit. Ajo zhvillohet në një sistem të izoluar (të mbyllur) trupash.
Një sistem i tillë quhet një sistem mekanik, në secilin prej trupave të të cilit nuk veprojnë forca të jashtme. Në një sistem të izoluar manifestohen forcat e brendshme, d.m.th. forcat e ndërveprimit ndërmjet trupave të përfshirë në sistem.
Qendra e masësështë një pikë gjeometrike që karakterizon lëvizjen e një trupi ose të një sistemi grimcash në tërësi.
Përkufizimi
Pozicioni i qendrës së masës (qendra e inercisë) në mekanikën klasike përcaktohet si më poshtë:
ku është vektori i rrezes së qendrës së masës, është vektori i rrezes i th pikat e sistemit,
Pesha i- pika e saj.
.
Ky është ekuacioni i lëvizjes së qendrës së masës së një sistemi pikash materiale me masë të barabartë me masën e të gjithë sistemit, në të cilin zbatohet shuma e të gjitha forcave të jashtme (vektori kryesor i forcave të jashtme), ose teorema mbi lëvizjen e qendrës së masës.
Propulsion reaktiv.
Lëvizja e një trupi që ndodh si rezultat i ndarjes së një pjese të masës së tij prej tij me një shpejtësi të caktuar quhet reaktive.
Të gjitha llojet e lëvizjes, përveç lëvizjes reaktive, janë të pamundura pa praninë e forcave të jashtme të një sistemi të caktuar, d.m.th., pa bashkëveprimin e trupave të këtij sistemi me mjedisin, dhe për zbatimin e lëvizjes reaktive, ndërveprimin e trupit. me mjedisin nuk kërkohet .
Fillimisht, sistemi është në qetësi, d.m.th., momenti i tij total është zero. Kur një pjesë e masës së tij fillon të nxirret nga sistemi me një shpejtësi të caktuar, atëherë (pasi momenti i përgjithshëm i një sistemi të mbyllur, sipas ligjit të ruajtjes së momentit, duhet të mbetet i pandryshuar), sistemi merr një shpejtësi të drejtuar në drejtimin e kundërt. Në të vërtetë, meqenëse m 1 v 1 + m 2 v 2 \u003d 0, atëherë m 1 v 1 \u003d -m 2 v 2, d.m.th. v 2 \u003d -v 1 m 1 / m 2.
Nga kjo formulë del se shpejtësia v 2 e përftuar nga një sistem me masë m 2 varet nga masa e nxjerrë m 1 dhe shpejtësia v 1 e nxjerrjes së tij.
Një motor nxehtësie në të cilin forca e shtytjes që lind nga reaksioni i një rryme gazesh të nxehtë të emetuar zbatohet drejtpërdrejt në trupin e tij quhet reaktive. Ndryshe nga automjetet e tjera, një pajisje me motor jet mund të lëvizë nëpër hapësirën e jashtme.
Lëvizja e trupave me masë të ndryshueshme.
ekuacioni Meshchersky.
,
ku v rel - shpejtësia e rrjedhjes së karburantit në lidhje me raketën;
v është shpejtësia e raketës;
m është masa e raketës në ky moment koha.
Formula e Tsiolkovsky.
,
m 0 - masa e raketës në momentin e lëshimit
Pyetje
Puna me forcë të ndryshueshme
Lëreni trupin të lëvizë në një vijë të drejtë me një forcë uniforme në një kënd £ në drejtimin e lëvizjes dhe të kalojë distancën S / Puna e forcës F është një sasi fizike skalare e barabartë me produktin skalar të vektorit të forcës nga zhvendosja vektoriale. A=F s cos £. A=0 nëse F=0, S=0, £=90º. Nëse forca nuk është konstante (ndryshon), atëherë për të gjetur punën, trajektorja duhet të ndahet në seksione të veçanta. Ndarja mund të bëhet derisa lëvizja të bëhet drejtvizore dhe forca të jetë konstante │dr│=ds │ cos £=(F;dr)=F t dS A=F S cos £=F t S . Kështu, puna e një force të ndryshueshme në një seksion të trajektores është e barabartë me shumën e punimeve elementare në seksione të vogla të veçanta të shtegut A=SdA=SF t dS= =S(F dr).
Puna e një force të ndryshueshme në përgjithësi llogaritet duke integruar:
Fuqia (fuqi e menjëhershme) quhet skalar N e barabartë me raportin e punës elementare dA për një periudhë të shkurtër kohe dt gjatë së cilës kryhet kjo punë.
Fuqia mesatare quhet vlerë
sistemi konservator- një sistem fizik, puna e forcave jokonservatore të të cilit është e barabartë me zero dhe për të cilin zbatohet ligji i ruajtjes së energjisë mekanike, domethënë, shuma e energjisë kinetike dhe energjisë potenciale të sistemit është konstante.
Një shembull i një sistemi konservator është sistemi diellor. Në kushte tokësore, ku prania e forcave të rezistencës (fërkimi, rezistenca mjedisore, etj.) është e pashmangshme, duke shkaktuar një ulje të energjisë mekanike dhe kalimin e saj në forma të tjera të energjisë, për shembull në nxehtësi, një sistem konservativ realizohet vetëm afërsisht. . Për shembull, një lavjerrës lëkundës mund të konsiderohet përafërsisht një sistem konservator nëse fërkimi në boshtin e pezullimit dhe rezistenca e ajrit neglizhohen.
Sistemi shpërndarësështë një sistem i hapur që funksionon larg ekuilibrit termodinamik. Me fjalë të tjera, kjo është një gjendje e qëndrueshme që ndodh në një mjedis jo ekuilibër nën kushtin e shpërndarjes (shpërndarjes) të energjisë që vjen nga jashtë. Nganjëherë quhet edhe një sistem shpërhapës sistem i palëvizshëm i hapur ose sistem i hapur jo ekuilibër.
Një sistem shpërhapës karakterizohet nga pamja spontane e një strukture komplekse, shpesh kaotike. Një tipar dallues i sistemeve të tilla është mosruajtja e vëllimit në hapësirën fazore, domethënë mospërmbushja e teoremës së Liouville.
Një shembull i thjeshtë i një sistemi të tillë janë qelizat Benard. sa më shumë shembuj të vështirë të quajtura lazer, reaksioni Belousov-Zhabotinsky dhe vetë jeta biologjike.
Termi "strukturë disipative" u prezantua nga Ilya Prigogine.
Ligji i ruajtjes së energjisë- ligji themelor i natyrës, i vendosur në mënyrë empirike dhe që konsiston në faktin se energjia e një sistemi të izoluar (të mbyllur) ruhet në kohë. Me fjalë të tjera, energjia nuk mund të lindë nga asgjëja dhe nuk mund të zhduket askund, ajo mund të kalojë vetëm nga një formë në tjetrën. Ligji i ruajtjes së energjisë ndodh në degë të ndryshme të fizikës dhe manifestohet në ruajtje lloje te ndryshme energji. Për shembull, në termodinamikë, ligji i ruajtjes së energjisë quhet ligji i parë i termodinamikës.
Meqenëse ligji i ruajtjes së energjisë nuk i referohet sasive dhe fenomeneve specifike, por pasqyron një model të përgjithshëm që është i zbatueshëm kudo dhe gjithmonë, është më e saktë të quhet jo ligji, a parimi i ruajtjes së energjisë.
Ligji i ruajtjes së energjisë është universal. Për çdo sistem të mbyllur specifik, pavarësisht nga natyra e tij, është e mundur të përcaktohet një sasi e caktuar e quajtur energji, e cila do të ruhet në kohë. Në të njëjtën kohë, përmbushja e këtij ligji të ruajtjes në çdo sistem të veçantë justifikohet me nënshtrimin e këtij sistemi ndaj ligjeve të tij specifike të dinamikës, të cilat, në përgjithësi, ndryshojnë për sisteme të ndryshme.
Sipas teoremës së Noether-it, ligji i ruajtjes së energjisë është pasojë e homogjenitetit të kohës.
W=W k + W p = konst
Pyetje
Energjia kinetike trupi quhet energjia e lëvizjes së tij mekanike.
Në mekanikën klasike
Energjia kinetike e një sistemi mekanik
Ndryshimi në energjinë kinetike të një sistemi mekanik është i barabartë me shumën algjebrike të punës së të gjitha forcave të brendshme dhe të jashtme që veprojnë në këtë sistem.
Ose 
Nëse sistemi nuk është i deformuar, atëherë
Energjia kinetike e një sistemi mekanik është e barabartë me shumën e energjisë kinetike të lëvizjes përkthimore të qendrës së tij të masës dhe energjisë kinetike të të njëjtit sistem në lëvizjen e tij në lidhje me një kornizë referimi lëvizëse përkthimore me origjinën në qendër të masa W në "(teorema e Koenigut)
Energji potenciale. Shqyrtimi i shembujve të bashkëveprimit të trupave nga forcat gravitacionale dhe forcat elastike na lejon të zbulojmë shenjat e mëposhtme të energjisë potenciale:
Energjia e mundshme nuk mund të zotërohet nga një trup që nuk ndërvepron me trupa të tjerë. Energjia potenciale është energjia e bashkëveprimit të trupave.
Energjia potenciale e një trupi të ngritur mbi Tokëështë energjia e bashkëveprimit të trupit dhe Tokës nga forcat gravitacionale. Energjia potenciale e një trupi të deformuar elastikishtështë energjia e bashkëveprimit të pjesëve të veçanta të trupit me njëra-tjetrën nga forcat elastike.
Energjia mekanike e një grimce në një fushë force
Shuma e energjisë kinetike dhe potenciale quhet energjia totale mekanike e një grimce në një fushë:
 | (5.30) |
Vini re se energjia totale mekanike E, si ajo potenciale, përcaktohet deri në shtimin e një konstante arbitrare të parëndësishme.
Pyetje
Nxjerrja e ligjit bazë të dinamikës së lëvizjes rrotulluese.
Oriz. 8.5. Për nxjerrjen e ekuacionit bazë të dinamikës së lëvizjes rrotulluese.
Dinamika e lëvizjes rrotulluese të një pike materiale. Le të shqyrtojmë një grimcë me masë m, që rrotullohet rreth rrymës O përgjatë një rrethi me rreze R, nën veprimin e forcës që rezulton F(shih figurën 8.5). Në një kornizë inerciale referimi, 2 oh ligji i Njutonit. Le ta shkruajmë atë në lidhje me një pikë arbitrare në kohë:
F= m a.
Komponenti normal i forcës nuk është i aftë të shkaktojë rrotullim të trupit, kështu që do të shqyrtojmë vetëm veprimin e përbërësit tangjencial të tij. Në projeksion në drejtimin tangjencial, ekuacioni i lëvizjes merr formën:
Meqenëse a t = e R, atëherë
F t = m e R (8.6)
Duke shumëzuar anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit në mënyrë skalare me R, marrim:
F t R= m e R 2 (8.7)
M = Dmth. (8.8)
Ekuacioni (8.8) është 2 oh Ligji i Njutonit (ekuacioni dinamik) për lëvizjen rrotulluese të një pike materiale. Mund t'i jepet një karakter vektor, duke pasur parasysh se prania e një momenti forcash shkakton shfaqjen e një vektori këndor të nxitimit paralel me të, të drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit (shih Fig. 8.5):
M= Unë e. (8.9)
Ligji bazë i dinamikës së një pike materiale gjatë lëvizjes rrotulluese mund të formulohet si më poshtë:
1 | | | |
LEKTURA №4
LIGJET THEMELORE TË KINETIKËS DHE DINAMIKËS
LËVIZJA Rrotulluese. MEKANIKE
VETITË E BIOTISKËVE. BIOMEKANIKE
PROCESET NË SISTEMIN LOKOMOTOR
NJERËZORE.
1. Ligjet themelore të kinematikës së lëvizjes rrotulluese.
Lëvizja rrotulluese e trupit rreth një boshti fiks është më së shumti pamje e thjeshtë lëvizjes. Karakterizohet nga fakti se çdo pikë e trupit përshkruan rrathë, qendrat e të cilëve ndodhen në një vijë të drejtë 0 ﺍ 0 ﺍﺍ , e cila quhet bosht rrotullimi (Fig. 1).
Në këtë rast, pozicioni i trupit në çdo moment të kohës përcaktohet nga këndi i rrotullimit φ të vektorit të rrezes R të çdo pike A në lidhje me pozicionin e saj fillestar. Varësia e saj nga koha:
(1)
është ekuacioni i lëvizjes rrotulluese. Shpejtësia e rrotullimit të trupit karakterizohet nga shpejtësia këndore ω. Shpejtësia këndore e të gjitha pikave të trupit rrotullues është e njëjtë. Është një sasi vektoriale. Ky vektor drejtohet përgjatë boshtit të rrotullimit dhe lidhet me drejtimin e rrotullimit sipas rregullit të vidës së djathtë:
.
(2)
Me lëvizje uniforme të një pike përgjatë një rrethi
,
(3)
ku Δφ=2π është këndi që i përgjigjet një rrotullimi të plotë të trupit, Δt=T është koha e një rrotullimi të plotë, ose periudha e rrotullimit. Njësia matëse e shpejtësisë këndore [ω]=c -1.
Me lëvizje uniforme, nxitimi i trupit karakterizohet nga nxitimi këndor ε (vektori i tij ndodhet në mënyrë të ngjashme me vektorin e shpejtësisë këndore dhe drejtohet sipas tij në të përshpejtuar dhe në drejtim të kundërt - në lëvizje të ngadaltë):
.
(4)
Njësia e nxitimit këndor [ε]=c -2 .
Lëvizja rrotulluese mund të karakterizohet gjithashtu nga shpejtësia lineare dhe nxitimi i pikave të saj individuale. Gjatësia e harkut dS, e përshkruar nga çdo pikë A (Fig. 1) kur rrotullohet përmes një këndi dφ, përcaktohet me formulën: dS=Rdφ. (5)
Pastaj shpejtësia lineare e pikës 
:
.
(6)
Nxitimi linear a:
.
(7)
2. Ligjet bazë të dinamikës së lëvizjes rrotulluese.
Rrotullimi i trupit rreth boshtit shkaktohet nga forca F e aplikuar në çdo pikë të trupit, që vepron në një rrafsh pingul me boshtin e rrotullimit dhe i drejtuar (ose ka një komponent në këtë drejtim) pingul me vektorin e rrezes së pika e aplikimit (Fig. 1).
Momenti i forcës 
në raport me qendrën e rrotullimit quhet një sasi vektoriale numerikisht e barabartë me produktin e forcës 
me gjatësinë e pingules d, e ulur nga qendra e rrotullimit në drejtimin e forcës, e quajtur krahu i forcës. Në Fig.1 d=R, pra
.
(8)
Moment 
forca rrotulluese është një sasi vektoriale. Vektor 
ngjitur në qendër të rrethit O dhe drejtuar përgjatë boshtit të rrotullimit. drejtimi i vektorit 
është në përputhje me drejtimin e forcës sipas rregullit të vidës së djathtë. Puna elementare dA i , kur rrotullohet përmes një këndi të vogël dφ, kur trupi kalon një shteg të vogël dS, është i barabartë me:
Një masë e inercisë së një trupi në lëvizjen përkthimore është masa. Kur një trup rrotullohet, masa e inercisë së tij karakterizohet nga momenti i inercisë së trupit rreth boshtit të rrotullimit.
Momenti i inercisë I i i një pike materiale në lidhje me boshtin e rrotullimit është një vlerë e barabartë me produktin e masës së pikës dhe katrorin e distancës së saj nga boshti (Fig. 2):
.
(10)
Momenti i inercisë së trupit rreth boshtit është shuma e momenteve të inercisë së pikave materiale që përbëjnë trupin:
.
(11)
Ose në kufirin (n→∞): 
,
(12)
G 
deintegrimi kryhet në të gjithë vëllimin V. Në mënyrë të ngjashme llogariten momentet e inercisë së trupave homogjenë me formë të rregullt gjeometrike. Momenti i inercisë shprehet në kg m 2 .
Momenti i inercisë së një personi në lidhje me boshtin vertikal të rrotullimit që kalon nëpër qendrën e masës (qendra e masës së një personi është në rrafshin sagittal pak përpara vertebrës së dytë kryq), në varësi të pozicionit të personit; ka këto vlera: 1,2 kg m 2 në vëmendje; 17 kg m 2 - në një pozicion horizontal.
Kur një trup rrotullohet, energjia e tij kinetike është shuma e energjive kinetike të pikave individuale të trupit:
Duke diferencuar (14), marrim një ndryshim elementar në energjinë kinetike:
.
(15)
Duke barazuar punën elementare (formula 9) të forcave të jashtme me ndryshimin elementar të energjisë kinetike (formula 15), marrim: 
, ku: 
ose duke pasur parasysh atë 
marrim: 
.
(16)
Ky ekuacion quhet ekuacioni bazë i dinamikës së lëvizjes rrotulluese. Kjo varësi është e ngjashme me ligjin II të Njutonit për lëvizjen përkthimore.
Momenti këndor L i i një pike materiale në lidhje me boshtin është një vlerë e barabartë me produktin e momentit të pikës dhe distancën e saj me boshtin e rrotullimit:
.
(17)
Momenti këndor L i një trupi që rrotullohet rreth një boshti fiks:
Momenti këndor është një sasi vektoriale e orientuar përgjatë drejtimit të vektorit të shpejtësisë këndore.
Tani le të kthehemi te ekuacioni kryesor (16):
,
.
Ne e sjellim vlerën konstante I nën shenjën e diferencialit dhe marrim: 
,
(19)
ku Mdt quhet impuls i momentit të forcës. Nëse në trup nuk veprojnë forcat e jashtme (M=0), atëherë edhe ndryshimi i momentit këndor (dL=0) është i barabartë me zero. Kjo do të thotë që momenti këndor mbetet konstant: 
.
(20)
Ky përfundim quhet ligji i ruajtjes së momentit këndor rreth boshtit të rrotullimit. Përdoret, për shembull, për lëvizje rrotulluese rreth një boshti të lirë në sport, si akrobaci, etj. Kështu, një patinator figurash në akull, duke ndryshuar pozicionin e trupit gjatë rrotullimit dhe, në përputhje me rrethanat, momentin e inercisë në lidhje me boshtin e rrotullimit, mund të rregullojë shpejtësinë e rrotullimit të tij.
