Omjer nalazimo progresijom nazivnika. Geometrijska progresija. Primjer rješenja. Zbir članova geometrijske progresije
Formula za n-ti član geometrijske progresije je vrlo jednostavna stvar. I po značenju i općenito. Ali postoje razni problemi za formulu n-tog člana - od vrlo primitivnih do prilično ozbiljnih. A u procesu našeg upoznavanja, svakako ćemo razmotriti oboje. Pa, da se upoznamo?)
Dakle, za početak, zapravo formulan
evo nje:
b n = b 1 · q n -1
Formula kao formula, ništa natprirodno. Izgleda još jednostavnije i kompaktnije od slične formule za . Značenje formule je također jednostavno, poput filcane čizme.
Ova formula vam omogućava da pronađete BILO KOJI član geometrijske progresije PO NJEGOVOM BROJU " n".
Kao što vidite, značenje je potpuna analogija s aritmetičkom progresijom. Znamo broj n - možemo izračunati i pojam pod ovim brojem. Šta želimo. Ne množenje uzastopno sa "q" mnogo, mnogo puta. To je cela poenta.)
Razumijem da bi vam na ovom nivou rada s progresijama sve količine koje su uključene u formulu već trebale biti jasne, ali smatram da je moja dužnost da dešifrujem svaku od njih. Samo u slučaju.
pa idemo:
b 1 – prvočlan geometrijske progresije;
q – ;
n– broj člana;
b n – n-ti (nth)član geometrijske progresije.
Ova formula povezuje četiri glavna parametra bilo koje geometrijske progresije - bn, b 1 , q i n. A oko ove četiri ključne figure vrte se svi zadaci u napredovanju.
"A kako se to prikazuje?"- Čujem čudno pitanje... Elementarno! Pogledaj!
Šta je jednako sekundačlan napredovanja? Nema problema! Pišemo direktno:
b 2 = b 1 q
A treći član? Nije problem! Drugi član množimo ponovo naq.
Volim ovo:
B 3 \u003d b 2 q
Prisjetite se sada da je drugi član, zauzvrat, jednak b 1 q i zamijenite ovaj izraz u našu jednakost:
B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2
Dobijamo:
B 3 = b 1 q 2
Sada pročitajmo naš unos na ruskom: trećičlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in sekunda stepen. Da li shvatate? Ne još? Ok, još jedan korak.
Šta je četvrti mandat? Sve isto! Pomnožite prethodni(tj. treći član) na q:
B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3
Ukupno:
B 4 = b 1 q 3
I opet prevodimo na ruski: četvrtočlan je jednak prvom članu pomnoženom sa q in treći stepen.
itd. Pa kako? Jeste li uhvatili uzorak? Da! Za bilo koji član s bilo kojim brojem, broj jednakih faktora q (tj. snaga nazivnika) uvijek će biti jedan manji od broja željenog članan.
Stoga će naša formula biti, bez opcija:
b n =b 1 · q n -1
To je sve.)
Pa, hajde da riješimo probleme, hoćemo li?)
Rješavanje problema na formulinth član geometrijske progresije.
Počnimo, kao i obično, direktnom primjenom formule. Evo tipičnog problema:
To je poznato eksponencijalno b 1 = 512 i q = -1/2. Pronađite deseti član progresije.
Naravno, ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula. Baš kao geometrijska progresija. Ali moramo se zagrijati s formulom n-og člana, zar ne? Evo nas rastajemo.
Naši podaci za primjenu formule su sljedeći.
Prvi termin je poznat. Ovo je 512.
b 1 = 512.
Poznat je i imenilac progresije: q = -1/2.
Ostaje samo otkriti čemu je jednak broj pojma n. Nema problema! Da li nas zanima deseti mandat? Dakle, zamjenjujemo deset umjesto n u općoj formuli.
I pažljivo izračunajte aritmetiku:
Odgovor: -1
Kao što vidite, deseti član progresije je ispao sa minusom. Nije ni čudo: imenilac progresije je -1/2, tj. negativan broj. A to nam govori da se znakovi našeg napredovanja izmjenjuju, da.)
Ovdje je sve jednostavno. I ovdje je sličan problem, ali malo složeniji u smislu proračuna.
U geometrijskoj progresiji znamo da:
b 1 = 3
Pronađite trinaesti član progresije.
Sve je isto, samo ovaj put imenilac progresije - iracionalno. Koren od dva. Pa, ništa strašno. Formula je univerzalna stvar, nosi se sa bilo kojim brojevima.
Radimo direktno prema formuli:
Formula je, naravno, funkcionirala kako treba, ali... ovdje će neki visiti. Šta dalje sa root-om? Kako podići korijen na dvanaesti stepen?
Kako-kako... Morate shvatiti da je svaka formula, naravno, dobra stvar, ali znanje sve prethodne matematike nije poništeno! Kako podići? Da, zapamtite svojstva stepeni! Promijenimo korijen u razlomni stepen i - formulom podizanja stepena na stepen.
Volim ovo:
Odgovor: 192
I sve stvari.)
Koja je glavna poteškoća u direktnoj primjeni formule n-tog člana? Da! Glavna poteškoća je rad sa diplomama! Naime, eksponencijacija negativnih brojeva, razlomaka, korijena i sličnih konstrukcija. Tako da oni koji imaju problema sa ovim, hitan zahtjev za ponavljanje diploma i njihovih svojstava! Inače ćete usporiti u ovoj temi, da...)
Sada da riješimo tipične probleme pretraživanja jedan od elemenata formule ako se daju svi ostali. Za uspješno rješavanje ovakvih problema, recept je jedinstven i jednostavan do užasa - napišite formulunčlan u opšti pogled! Odmah u notesu pored stanja. A onda, iz uslova, shvatimo šta nam je dato, a šta nije dovoljno. I izražavamo željenu vrijednost iz formule. Sve!
Na primjer, takav bezazlen problem.
Peti član geometrijske progresije sa nazivnikom 3 je 567. Pronađite prvi član ove progresije.
Ništa komplikovano. Radimo direktno prema čaroliji.
Zapisujemo formulu n-tog člana!
b n = b 1 · q n -1
Šta nam je dato? Prvo, dan je imenilac progresije: q = 3.
Osim toga, dato nam je peti mandat: b 5 = 567 .
Sve? Ne! Također nam je dat broj n! Ovo je petica: n = 5.
Nadam se da ste već shvatili šta je u zapisniku b 5 = 567 dva parametra su skrivena odjednom - ovo je sam peti član (567) i njegov broj (5). U sličnoj lekciji o tome sam već govorio, ali mislim da nije suvišno podsjetiti ovdje.)
Sada zamjenjujemo naše podatke u formulu:
567 = b 1 3 5-1
Razmatramo aritmetiku, pojednostavljujemo i dobijamo jednostavno linearna jednačina:
81 b 1 = 567
Rešavamo i dobijamo:
b 1 = 7
Kao što vidite, nema problema sa pronalaženjem prvog člana. Ali kada se traži nazivnik q i brojevi n može biti iznenađenja. I također morate biti spremni za njih (iznenađenja), da.)
Na primjer, takav problem:
Peti član geometrijske progresije sa pozitivnim nazivnikom je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite imenilac progresije.
Ovaj put nam je dat prvi i peti član, i od nas se traži da pronađemo imenilac progresije. Evo počinjemo.
Pišemo formulunth member!
b n = b 1 · q n -1
Naši početni podaci će biti sljedeći:
b 5 = 162
b 1 = 2
n = 5
Nema dovoljno vrijednosti q. Nema problema! Nađimo ga sada.) Sve što znamo zamjenjujemo u formulu.
Dobijamo:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Jednostavna jednačina četvrtog stepena. Ali sada - pažljivo! U ovoj fazi rješenja mnogi učenici odmah radosno izvlače korijen (četvrtog stepena) i dobijaju odgovor q=3 .
Volim ovo:
q4 = 81
q = 3
Ali generalno, ovo je nedovršen odgovor. Ili bolje rečeno, nepotpuno. Zašto? Poenta je da je odgovor q = -3 također odgovara: (-3) 4 bi također bilo 81!
To je zbog jednačine snage x n = a uvek jeste dva suprotna korena at čakn . plus i minus:
Obojica odgovaraju.
Na primjer, rješavanje (tj. sekunda stepeni)
x2 = 9
Iz nekog razloga niste iznenađeni što vidite dva korijeni x=±3? I ovdje je isto. I sa bilo kojim drugim čak stepen (četvrti, šesti, deseti, itd.) će biti isti. Detalji - u temi o
Dakle, ispravno rješenje bi bilo:
q 4 = 81
q= ±3
U redu, shvatili smo znakove. Šta je tačno - plus ili minus? Pa, ponovo čitamo stanje problema u potrazi za Dodatne informacije. To, naravno, možda i ne postoji, ali u ovom problemu takve informacije dostupan. U našem stanju, direktno je navedeno da je progresija data sa pozitivni imenilac.
Dakle, odgovor je očigledan:
q = 3
Ovdje je sve jednostavno. Šta mislite da bi se dogodilo da je izjava o problemu ovakva:
Peti član geometrijske progresije je 162, a prvi član ove progresije je 2. Nađite imenilac progresije.
Koja je razlika? Da! U stanju ništa nema pomena imenioca. Ni direktno ni indirektno. I ovdje bi problem već imao dva resenja!
q = 3 i q = -3
Da da! I sa plusom i minusom.) Matematički, ova činjenica bi značila da postoje dvije progresije koji odgovaraju zadatku. I za svaku - svoj imenilac. Za zabavu, vježbajte i zapišite prvih pet pojmova svakog od njih.)
Sada vježbajmo pronalaženje broja člana. Ovo je najteže, da. Ali i kreativniji.
S obzirom na geometrijsku progresiju:
3; 6; 12; 24; …
Koji je broj 768 u ovoj progresiji?
Prvi korak je isti: napišite formulunth member!
b n = b 1 · q n -1
I sada, kao i obično, u njega zamjenjujemo podatke koji su nam poznati. Hm... ne pristaje! Gdje je prvi član, gdje je imenilac, gdje je sve ostalo?!
Gde, gde... Zašto su nam potrebne oči? Lepršanje trepavica? Ovaj put nam je progresija data direktno u formi sekvence. Možemo li vidjeti prvi mandat? Vidimo! Ovo je trojka (b 1 = 3). Šta je sa imeniocem? Još ga ne vidimo, ali je vrlo lako izbrojati. Ako, naravno, razumete.
Ovdje razmatramo. Direktno prema značenju geometrijske progresije: uzimamo bilo koji njen član (osim prvog) i dijelimo s prethodnim.
barem ovako:
q = 24/12 = 2
Šta još znamo? Također znamo neki član ove progresije, jednak 768. Pod nekim brojem n:
b n = 768
Ne znamo njegov broj, ali naš zadatak je upravo da ga pronađemo.) Dakle, tražimo. Već smo preuzeli sve potrebne podatke za zamjenu u formuli. Neprimjetno.)
Ovdje zamjenjujemo:
768 = 3 2n -1
Napravimo elementarne - oba dijela podijelimo sa tri i prepišemo jednačinu u uobičajenom obliku: nepoznato lijevo, poznato desno.
Dobijamo:
2 n -1 = 256
Evo jedne zanimljive jednadžbe. Moramo pronaći "n". Šta je neobično? Da, ne raspravljam se. Zapravo, to je najjednostavnije. Zove se tako jer je nepoznato (u ovaj slučaj ovaj broj n) stoji unutra indikator stepen.
U fazi upoznavanja sa geometrijskom progresijom (ovo je deveti razred), eksponencijalne jednačine se ne uče rješavati, da... Ovo je tema za srednju školu. Ali nema ništa strašno. Čak i ako ne znate kako se takve jednačine rješavaju, pokušajmo pronaći našu n vođen jednostavnom logikom i zdravim razumom.
Počinjemo da raspravljamo. Na lijevoj strani imamo dvojku do određenog stepena. Još ne znamo šta je tačno ovaj stepen, ali to nije strašno. Ali s druge strane, mi čvrsto znamo da je ovaj stepen jednak 256! Dakle, sećamo se u kojoj meri nam dvojka daje 256. Sećate se? Da! AT osmo stepeni!
256 = 2 8
Ako se niste setili ili sa prepoznavanjem stepena problema, onda je takođe u redu: samo sukcesivno dižemo dva na kvadrat, na kocku, na četvrti stepen, peti i tako dalje. Izbor je, zapravo, ali na ovom nivou, prilično dobar.
Na ovaj ili onaj način, dobićemo:
2 n -1 = 2 8
n-1 = 8
n = 9
Dakle 768 je devetočlan našeg napredovanja. To je to, problem riješen.)
Odgovor: 9
Šta? Dosadan? Umorni ste od osnovne? Slažem se. Ja također. Idemo na sljedeći nivo.)
Složeniji zadaci.
A sada brže rješavamo zagonetke. Nije baš super, ali na čemu morate malo poraditi da biste došli do odgovora.
Na primjer, ovako.
Pronađite drugi član geometrijske progresije ako je njen četvrti član -24, a sedmi član 192.
Ovo je klasik žanra. Neka dva različita člana progresije su poznata, ali se mora naći još jedan član. Štaviše, svi članovi NISU komšije. Ono što na prvu zbuni, da...
Kao iu , razmatramo dvije metode za rješavanje takvih problema. Prvi način je univerzalan. Algebarski. Radi besprijekorno sa bilo kojim izvornim podacima. Dakle, tu ćemo početi.)
Svaki pojam slikamo prema formuli nth member!
Sve je potpuno isto kao i kod aritmetičke progresije. Samo ovaj put sarađujemo drugi opšta formula. To je sve.) Ali suština je ista: uzimamo i zauzvrat zamjenjujemo naše početne podatke u formulu n-tog člana. Za svakog člana - svoje.
Za četvrti pojam pišemo:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Tu je. Jedna jednačina je potpuna.
Za sedmi pojam pišemo:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
Ukupno su dobijene dvije jednačine za ista progresija .
Od njih sastavljamo sistem:
Uprkos svom sjajnom izgledu, sistem je prilično jednostavan. Najočigledniji način rješavanja je uobičajena zamjena. Mi izražavamo b 1 iz gornje jednadžbe i zamjena u donju:
Malo petljanje s nižom jednadžbom (smanjenje eksponenata i dijeljenje sa -24) daje:
q 3 = -8
Inače, do iste jednačine se može doći i na jednostavniji način! Šta? Sada ću vam pokazati još jednu tajnu, ali vrlo lijep, moćan i koristan način rješavanja ovakvih sistema. Takvi sistemi u čijim jednačinama sjede samo radi. Barem u jednom. pozvao metoda podjele termina jedna jednačina drugoj.
Dakle, imamo sistem:
U obje jednačine na lijevoj strani - rad, a na desnoj strani je samo broj. Ovo je veoma dobar znak.) Uzmimo i ... podijelimo, recimo, donju jednačinu gornjom! Šta znači, podijeliti jednu jednačinu drugom? Veoma jednostavno. Mi uzimamo lijeva strana jedna jednačina (niža) i delimo na njoj lijeva strana druga jednačina (gornja). Desna strana je slična: desna strana jedna jednačina delimo na desna strana drugi.
Cijeli proces podjele izgleda ovako:
Sada, smanjivanjem svega što se smanji, dobijamo:
q 3 = -8
Šta je dobro u ovoj metodi? Da, jer se u procesu takve podjele sve loše i nezgodno može sigurno smanjiti i ostaje potpuno bezopasna jednadžba! Zato je toliko važno imati samo množenja u barem jednoj od jednadžbi sistema. Nema množenja - nema šta da se smanji, da...
Općenito, ova metoda (kao i mnogi drugi netrivijalni načini rješavanja sistema) čak zaslužuje posebnu lekciju. Definitivno ću ga pobliže pogledati. jednog dana…
Međutim, kako god riješili sistem, u svakom slučaju, sada moramo riješiti rezultirajuću jednačinu:
q 3 = -8
Nema problema: izvlačimo korijen (kubni) i - gotovo!
Imajte na umu da ovdje nije potrebno stavljati plus/minus prilikom vađenja. Imamo korijen neparnog (trećih) stepena. A odgovor je isti, da.
Dakle, imenilac progresije je pronađen. Minus dva. Fino! Proces je u toku.)
Za prvi član (recimo iz gornje jednačine) dobijamo:
Fino! Znamo prvi član, znamo imenilac. I sada imamo priliku pronaći bilo kojeg člana progresije. Uključujući i drugu.)
Za drugog člana sve je prilično jednostavno:
b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6
Odgovor: -6
Dakle, riješili smo algebarski način rješavanja problema. Komplikovano? Ne mnogo, slažem se. Dugo i dosadno? Da, definitivno. Ali ponekad možete značajno smanjiti količinu posla. Za ovo postoji grafički način. Dobro staro i poznato nam po .)
Hajde da nacrtamo problem!
Da! Upravo. Opet prikazujemo našu progresiju na brojevnoj osi. Ne nužno lenjirom, nije potrebno održavati jednake intervale između članova (koji, inače, neće biti isti, jer je progresija geometrijska!), već jednostavno shematski nacrtajte naš niz.
dobio sam ovako:
Sada pogledajte sliku i razmislite. Koliko jednakih faktora "q" dijeli četvrto i sedmičlanovi? Tako je, tri!
Stoga, imamo pravo da napišemo:
-24q 3 = 192
Odavde je sada lako pronaći q:
q 3 = -8
q = -2
To je super, nazivnik nam je već u džepu. A sada ponovo gledamo sliku: koliko je takvih imenilaca između njih sekunda i četvrtočlanovi? Dva! Stoga, da bismo zabilježili odnos između ovih članova, podići ćemo imenilac na kvadrat.
Ovdje pišemo:
b 2 · q 2 = -24 , gdje b 2 = -24/ q 2
Naš pronađeni nazivnik zamjenjujemo u izraz za b 2 , računamo i dobijamo:
Odgovor: -6
Kao što vidite, sve je mnogo jednostavnije i brže nego kroz sistem. Štaviše, ovdje uopće nismo trebali ni brojati prvi mandat! Uopšte.)
Evo tako jednostavnog i vizualnog svjetla. Ali ima i ozbiljan nedostatak. Pogodio? Da! Dobar je samo za vrlo kratke dijelove progresije. One u kojima udaljenosti između članova koji nas zanimaju nisu velike. Ali u svim ostalim slučajevima već je teško nacrtati sliku, da... Onda problem rješavamo analitički, kroz sistem.) A sistemi su univerzalna stvar. Pozabavite se bilo kojim brojem.
Još jedna epska:
Drugi član geometrijske progresije je 10 veći od prvog, a treći član 30 veći od drugog. Pronađite imenilac progresije.
šta je kul? Ne sve! Sve isto. Ponovo prevodimo uslov problema u čistu algebru.
1) Svaki pojam slikamo prema formuli nth member!
Drugi član: b 2 = b 1 q
Treći član: b 3 = b 1 q 2
2) Odnos između članova zapisujemo iz stanja problema.
Čitanje uslova: "Drugi član geometrijske progresije je 10 više od prvog." Stani, ovo je vrijedno!
Pa pišemo:
b 2 = b 1 +10
I ovu frazu prevodimo u čistu matematiku:
b 3 = b 2 +30
Imamo dvije jednadžbe. Kombinujemo ih u sistem:
Sistem izgleda jednostavno. Ali postoji mnogo različitih indeksa za slova. Zamenimo umesto drugog i trećeg člana njihov izraz kroz prvi član i imenilac! Uzalud, ili šta, farbali smo ih?
Dobijamo:
Ali takav sistem više nije dar, da... Kako to riješiti? Nažalost, univerzalna tajna čarolija za rješavanje kompleksa nelinearne U matematici nema sistema i ne može ih biti. Fantastično je! Ali prva stvar koja bi vam trebala pasti na pamet kada pokušate da razbijete tako tvrd orah je da shvatite Ali nije li jedna od jednačina sistema svedena na prekrasan oblik, koji olakšava, na primjer, izražavanje jedne od varijabli u terminima druge?
hajde da pogodimo. Prva jednačina sistema je očigledno jednostavnija od druge. Mučićemo ga.) Zašto ne pokušati iz prve jednačine nešto izraziti kroz nešto? Pošto želimo da nađemo imenilac q, tada bi bilo najpovoljnije da se izrazimo b 1 kroz q.
Pa pokušajmo napraviti ovaj postupak s prvom jednadžbom, koristeći stare dobre:
b 1 q = b 1 +10
b 1 q - b 1 \u003d 10
b 1 (q-1) = 10
Sve! Ovdje smo izrazili nepotrebno koristimo varijablu (b 1) kroz neophodno(q). Da, nije najjednostavniji izraz primljen. Nekakav razlomak... Ali naš sistem je na pristojnom nivou, da.)
Tipično. Šta da radimo - znamo.
Pišemo ODZ (obavezno!) :
q ≠ 1
Sve pomnožimo sa nazivnikom (q-1) i smanjimo sve razlomke:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Sve podijelimo sa deset, otvorimo zagrade, skupimo sve s lijeve strane:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Rješavamo rezultat i dobivamo dva korijena:
q 1 = 1
q 2 = 3
Postoji samo jedan konačan odgovor: q = 3 .
Odgovor: 3
Kao što vidite, način rješavanja većine problema za formulu n-tog člana geometrijske progresije uvijek je isti: čitamo pažljivo stanje problema i, koristeći formulu n-tog člana, prevodimo sve korisne informacije u čistu algebru.
naime:
1) Svaki član dat u zadatku zapisujemo posebno prema formulinth član.
2) Iz uslova zadatka vezu između članova prevodimo u matematički oblik. Sastavljamo jednačinu ili sistem jednačina.
3) Rešavamo rezultirajuću jednačinu ili sistem jednačina, nalazimo nepoznate parametre progresije.
4) U slučaju dvosmislenog odgovora, pažljivo čitamo stanje problema u potrazi za dodatnim informacijama (ako ih ima). Dobiveni odgovor također provjeravamo sa uslovima ODZ-a (ako ih ima).
A sada navodimo glavne probleme koji najčešće dovode do grešaka u procesu rješavanja problema geometrijske progresije.
1. Elementarna aritmetika. Operacije sa razlomcima i negativnim brojevima.
2. Ako je barem jedna od ove tri tačke problem, onda ćete neminovno pogriješiti u ovoj temi. Nažalost... Zato ne budite lijeni i ponovite gore navedeno. I pratite linkove - idite. Ponekad pomaže.)
Modificirane i ponavljajuće formule.
A sada pogledajmo nekoliko tipičnih ispitnih problema sa manje poznatim prikazom stanja. Da, da, pogodili ste! Ovo je modificirano i ponavljajuća formule n-tog člana. Već smo se susreli sa takvim formulama i radili u softveru. aritmetička progresija. Ovdje je sve slično. Suština je ista.
Na primjer, takav problem od OGE:
Geometrijska progresija je data formulom b n = 3 2 n . Nađi zbir prvog i četvrtog člana.
Ovaj put nam je progresija data ne baš kao i obično. Neka vrsta formule. Pa šta? Ova formula je takođe formulanth member! Svi znamo da se formula n-tog člana može napisati i u opštem obliku, kroz slova i za specifična progresija. With specifično prvi član i imenilac.
U našem slučaju, zapravo nam je data opšta formula za geometrijsku progresiju sa sledećim parametrima:
b 1 = 6
q = 2
Provjerimo?) Hajde da napišemo formulu n-og člana u opštem obliku i zamenimo je b 1 i q. Dobijamo:
b n = b 1 · q n -1
b n= 6 2n -1
Pojednostavljujemo, koristeći faktorizaciju i svojstva snage, i dobijamo:
b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n
Kao što vidite, sve je pošteno. Ali naš cilj s vama nije da demonstriramo izvođenje određene formule. To je tako, lirska digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je da rešimo problem prema formuli koja nam je data u uslovu. Shvaćate li?) Dakle, radimo s modificiranom formulom direktno.
Računamo prvi termin. Zamena n=1 u opštu formulu:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Volim ovo. Inače, nisam previše lijen i još jednom ću vam skrenuti pažnju na tipičnu grešku sa obračunom prvog člana. NEMOJTE gledati formulu b n= 3 2n, odmah požurite da napišete da je prvi član trojka! To je velika greška, da...)
Nastavljamo. Zamena n=4 i razmotrimo četvrti termin:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
I na kraju, izračunavamo potrebnu količinu:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Odgovor: 54
Još jedan problem.
Geometrijska progresija je data uslovima:
b 1 = -7;
b n +1 = 3 b n
Pronađite četvrti član progresije.
Ovdje je progresija data rekurentnom formulom. Pa, u redu.) Kako raditi s ovom formulom - takođe znamo.
Evo mi glumimo. Korak po korak.
1) brojeći dva sukcesivnočlan progresije.
Prvi mandat nam je već dat. Minus sedam. Ali sljedeći, drugi član, može se lako izračunati korištenjem rekurzivne formule. Ako razumete kako to funkcioniše, naravno.)
Ovdje razmatramo drugi termin prema čuvenom prvom:
b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21
2) Uzimamo u obzir imenilac progresije
Takođe nema problema. Iskreno, podijeli sekunda dick on prvo.
Dobijamo:
q = -21/(-7) = 3
3) Napišite formulunth člana u uobičajenom obliku i smatrati željenog člana.
Dakle, znamo prvi član, imenilac takođe. Ovdje pišemo:
b n= -7 3n -1
b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189
Odgovor: -189
Kao što vidite, rad sa takvim formulama za geometrijsku progresiju se u suštini ne razlikuje od onog za aritmetičku progresiju. Važno je samo razumjeti opštu suštinu i značenje ovih formula. Pa, značenje geometrijske progresije također treba razumjeti, da.) I tada neće biti glupih grešaka.
Pa, hajde da odlučimo sami?)
Sasvim elementarni zadaci, za zagrijavanje:
1. S obzirom na geometrijsku progresiju u kojoj b 1 = 243, i q = -2/3. Pronađite šesti član progresije.
2. Uobičajeni termin geometrijske progresije je dat formulom b n = 5∙2 n +1 . Pronađite broj posljednjeg trocifrenog člana ove progresije.
3. Geometrijska progresija je data uslovima:
b 1 = -3;
b n +1 = 6 b n
Pronađite peti član progresije.
Malo komplikovanije:
4. S obzirom na geometrijsku progresiju:
b 1 =2048; q =-0,5
Koji je njegov šesti negativni pojam?
Šta izgleda super teško? Ne sve. Logika i razumijevanje značenja geometrijske progresije će spasiti. Pa, formula n-tog člana, naravno.
5. Treći član geometrijske progresije je -14, a osmi član je 112. Nađite imenilac progresije.
6. Zbir prvog i drugog člana geometrijske progresije je 75, a zbir drugog i trećeg člana je 150. Pronađite šesti član progresije.
Odgovori (u neredu): 6; -3888; -jedan; 800; -32; 448.
To je skoro sve. Ostaje samo naučiti kako računati zbir prvih n članova geometrijske progresije da otkrij beskonačno opadajuća geometrijska progresija i njen iznos. Usput, vrlo zanimljiva i neobična stvar! Više o tome u kasnijim lekcijama.)
Primjer geometrijske progresije: 2, 6, 18, 54, 162.
Ovdje je svaki pojam nakon prvog 3 puta veći od prethodnog. To jest, svaki sljedeći član je rezultat množenja prethodnog člana sa 3:
2 3 = 6
6 3 = 18
18 3 = 54
54 3 = 162 .
U našem primjeru, kada dijelimo drugi član prvim, treći drugim, itd. dobijamo 3. Broj 3 je imenilac ove geometrijske progresije.
Primjer:
Vratimo se našoj geometrijskoj progresiji 2, 6, 18, 54, 162. Uzmimo četvrti član i kvadriramo ga:
54 2 = 2916.
Sada množimo članove lijevo i desno od broja 54:
18 162 = 2916.
Kao što vidite, kvadrat trećeg člana jednak je proizvodu susjednog drugog i četvrtog člana.
Primjer 1: Uzmimo neku geometrijsku progresiju, u kojoj je prvi član jednak 2, a imenilac geometrijske progresije je jednak 1,5. Moramo pronaći 4. član ove progresije.
Dato:
b 1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b 4 - ?
Odluka.
Primjena formule b n= b 1 q n- 1, ubacujući odgovarajuće vrijednosti u njega:
b 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 \u003d 2 3,375 = 6,75.
Odgovori: Četvrti član date geometrijske progresije je broj 6,75.
Primjer 2: Pronađite peti član geometrijske progresije ako su prvi i treći član 12 odnosno 192.
Dato:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?
Odluka.
1) Prvo treba da nađemo imenilac geometrijske progresije, bez koje je nemoguće rešiti problem. Kao prvi korak, koristeći našu formulu, izvodimo formulu za b 3:
b 3 = b 1 q 3 - 1 = b 1 q 2
Sada možemo pronaći imenilac geometrijske progresije:
b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12
q= √16 = 4 ili -4.
2) Ostaje pronaći vrijednost b 5 .
Ako a q= 4, dakle
b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.
At q= -4 rezultat će biti isti. Dakle, problem ima jedno rješenje.
Odgovori: Peti član date geometrijske progresije je broj 3072.
Primjer: Pronađite zbir prvih pet članova geometrijske progresije ( b n), u kojem je prvi član jednak 2, a nazivnik geometrijske progresije je 3.
Dato:
b 1 = 2
q = 3
n = 5
————
S 5 - ?
Odluka.
Primjenjujemo drugu formulu od dvije gore navedene:
b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2
Odgovori: Zbir prvih pet članova date geometrijske progresije je 242.
Zbir beskonačne geometrijske progresije.
Potrebno je razlikovati koncepte "zbir beskonačne geometrijske progresije" i "zbir nčlanovi geometrijske progresije. Drugi koncept se odnosi na bilo koju geometrijsku progresiju, a prvi - samo na onu kod koje je nazivnik manji od 1 modula.
Pa hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju njih). Koliko god brojeva da napišemo, uvijek možemo reći koji je od njih prvi, koji drugi i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:
Numerički niz je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.
Na primjer, za naš niz:
Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan redni broj. Drugim riječima, u nizu ne postoje tri sekundarna broja. Drugi broj (kao i -ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se -ti član niza.
Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), a svaki član ovog niza - istim slovom sa indeksom jednakim broju ovog člana: .
u našem slučaju:
Najčešći tipovi progresije su aritmetička i geometrijska. U ovoj temi ćemo govoriti o drugoj vrsti - geometrijska progresija.
Zašto nam je potrebna geometrijska progresija i njena istorija.
Još u antičko doba, italijanski matematičar, monah Leonardo iz Pize (poznatiji kao Fibonači), bavio se praktičnim potrebama trgovine. Monah je bio suočen sa zadatkom da odredi koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje robe? U svojim spisima, Fibonači dokazuje da je takav sistem pondera optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su ljudi morali da se suoče sa geometrijskom progresijom, za koju ste verovatno čuli i barem imate opšti koncept. Kada u potpunosti shvatite temu, razmislite zašto je takav sistem optimalan?
Trenutno se u životnoj praksi manifestuje geometrijska progresija pri ulaganju novca u banku, kada se iznos kamate obračunava na iznos akumuliran na računu za prethodni period. Drugim riječima, ako stavite novac na oročenje u štedionicu, onda će se za godinu dana depozit povećati od prvobitnog iznosa, tj. novi iznos će biti jednak doprinosu pomnoženom sa. U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za, tj. iznos koji se tada dobije ponovo se množi sa i tako dalje. Slična situacija je opisana u problemima računanja tzv složena kamata- procenat se uzima svaki put od iznosa koji se nalazi na računu, uzimajući u obzir prethodnu kamatu. O ovim zadacima ćemo govoriti nešto kasnije.
Postoji mnogo jednostavnijih slučajeva u kojima se primjenjuje geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba je zarazila osobu, ona je, zauzvrat, zarazila drugu osobu, tako da je drugi talas infekcije osoba, a oni su, zauzvrat, zarazili drugu ... i tako dalje.. .
Inače, finansijska piramida, isti MMM, je jednostavan i suv proračun prema svojstvima geometrijske progresije. Zanimljivo? Hajde da to shvatimo.
Geometrijska progresija.
Recimo da imamo niz brojeva:
Odmah ćete odgovoriti da je to lako i naziv takvog niza je s razlikom njegovih članova. Šta kažete na ovako nešto:
Oduzmete li prethodni broj od sljedećeg broja, tada ćete vidjeti da svaki put dobijete novu razliku (i tako dalje), ali niz definitivno postoji i lako ga je primijetiti - svaki sljedeći broj je puta veći od prethodnog. !
Ova vrsta niza se zove geometrijska progresija i označena je.
Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.
Ograničenja da prvi član ( ) nije jednak i nisu slučajni. Recimo da ih nema, a prvi član je i dalje jednak, a q je, hmm .. neka, onda ispada:
Slažete se da ovo nije napredak.
Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako je to bilo koji broj osim nule, ali. U tim slučajevima jednostavno neće biti progresije, budući da ceo numeričke serijeće biti ili sve nule, ili jedan broj i sve ostale nule.
Hajde sada da razgovaramo detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno o.
Opet, ovo je broj koliko puta se mijenja svaki naredni pojam geometrijska progresija.
Šta mislite da bi to moglo biti? Tako je, pozitivno i negativno, ali ne nula (o tome smo pričali malo više).
Recimo da imamo pozitivu. Neka u našem slučaju, a. Šta je drugi mandat i? Na to možete lako odgovoriti:
U redu. Prema tome, ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni pozitivno.
Šta ako je negativan? Na primjer, a. Šta je drugi mandat i?
To je sasvim druga priča
Pokušajte izbrojati trajanje ove progresije. Koliko si dobio? Imam. Dakle, ako, onda se znaci članova geometrijske progresije izmjenjuju. Odnosno, ako vidite progresiju sa naizmjeničnim predznacima u njenim članovima, tada je njen nazivnik negativan. Ovo znanje vam može pomoći da se testirate kada rješavate probleme na ovu temu.
Sada malo vježbajmo: pokušajmo odrediti koji su numerički nizovi geometrijska progresija, a koji aritmetički:
Jasno? Uporedite naše odgovore:
- Geometrijska progresija - 3, 6.
- Aritmetička progresija - 2, 4.
- To nije ni aritmetička ni geometrijska progresija - 1, 5, 7.
Vratimo se na našu posljednju progresiju i pokušajmo pronaći njen termin na isti način kao u aritmetici. Kao što ste možda pretpostavili, postoje dva načina da ga pronađete.
Svaki član sukcesivno množimo sa.
Dakle, -ti član opisane geometrijske progresije je jednak.
Kao što već pogađate, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći da pronađete bilo koji član geometrijske progresije. Ili ste to već sami iznijeli, opisujući kako da pronađete th člana u fazama? Ako je tako, onda provjerite ispravnost svog razmišljanja.
Ilustrirajmo ovo na primjeru pronalaženja -tog člana ove progresije:
Drugim riječima:
Pronađite sebi vrijednost člana date geometrijske progresije.
Desilo se? Uporedite naše odgovore:
Obratite pažnju da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo sukcesivno množili svaki prethodni član geometrijske progresije.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - dovodimo je u opći oblik i dobivamo:
Izvedena formula vrijedi za sve vrijednosti - i pozitivne i negativne. Provjerite sami tako što ćete izračunati uslove geometrijske progresije sa sljedećim uvjetima: , a.
Jeste li brojali? Uporedimo rezultate:
Slažem se da bi bilo moguće pronaći člana progresije na isti način kao i člana, međutim, postoji mogućnost pogrešnog izračuna. A ako smo već pronašli th član geometrijske progresije, a, što bi onda moglo biti lakše nego koristiti „skraćeni“ dio formule.
Beskonačno opadajuća geometrijska progresija.
Nedavno smo pričali o tome šta može biti ili veće ili manje od nule, međutim, postoje posebne vrijednosti za koje se naziva geometrijska progresija beskonačno opadajuća.
Šta mislite zašto ima takav naziv?
Za početak, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od članova.
Recimo onda:
Vidimo da je svaki naredni pojam manji od prethodnog puta, ali hoće li biti ikakav broj? Odmah ćete odgovoriti sa „ne“. Zato beskonačno opadajuće - opada, opada, ali nikada ne postaje nula.
Da bismo jasno razumjeli kako ovo izgleda vizualno, pokušajmo nacrtati graf našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj, formula ima sljedeći oblik:
Na grafikonima smo navikli da gradimo zavisnost od:
Suština izraza se nije promijenila: u prvom unosu smo pokazali ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije od njegovog rednog broja, au drugom unosu jednostavno smo uzeli vrijednost člana geometrijske progresije za, i redni broj je označen ne kao, već kao. Sve što je preostalo je da nacrtate grafik.
Hajde da vidimo šta imaš. Evo grafikona koji sam dobio:
Vidiš? Funkcija se smanjuje, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, tako da je beskonačno opadajuća. Označimo naše tačke na grafu, a ujedno i šta znače koordinate i:
Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte u čemu je razlika s našim prethodnim grafikonom?
Jeste li uspjeli? Evo grafikona koji sam dobio:
Sada kada ste u potpunosti razumjeli osnove teme geometrijske progresije: znate šta je to, znate kako pronaći njen pojam, a znate i šta je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, prijeđimo na njeno glavno svojstvo.
svojstvo geometrijske progresije.
Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti članova ove progresije. Zapamtite? Ovo:
Sada smo suočeni sa potpuno istim pitanjem za termine geometrijske progresije. Da bismo izveli takvu formulu, počnimo crtati i zaključivati. Vidjet ćete, vrlo je lako, a ako zaboravite, možete to sami izvaditi.
Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju u kojoj znamo i. Kako pronaći? Uz aritmetičku progresiju, ovo je lako i jednostavno, ali kako je ovdje? U stvari, ni u geometriji nema ništa komplicirano - samo trebate obojiti svaku vrijednost koja nam je data prema formuli.
Pitate se, a šta ćemo sad s tim? Da, vrlo jednostavno. Za početak, oslikajmo ove formule na slici i pokušajmo s njima napraviti razne manipulacije kako bismo došli do vrijednosti.
Apstrahujemo od brojeva koji su nam dati, fokusiraćemo se samo na njihov izraz kroz formulu. Moramo pronaći vrijednost označenu narandžastom bojom, znajući termine koji su uz nju. Pokušajmo proizvoditi s njima razne aktivnosti, kao rezultat čega možemo dobiti.
Dodatak.
Pokušajmo dodati dva izraza i dobićemo:
Iz ovog izraza, kao što vidite, nećemo moći ni na koji način izraziti, stoga ćemo pokušati drugu opciju - oduzimanje.
Oduzimanje.
Kao što vidite, ni iz ovoga ne možemo izraziti, pa ćemo pokušati da ove izraze pomnožimo jedni s drugima.
Množenje.
Sada pažljivo pogledajte šta imamo, množeći termine geometrijske progresije koja nam je data u poređenju sa onim što treba pronaći:
Pogodite o čemu pričam? Ispravno, da bismo ga pronašli, moramo uzeti kvadratni korijen brojeva geometrijske progresije koji su susjedni željenom broju međusobno pomnoženih:
Pa. Sami ste zaključili svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte da napišete ovu formulu u opštem obliku. Desilo se?
Kada ste zaboravili stanje? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte sami izračunati, na. Šta se dešava u ovom slučaju? Tako je, potpuna glupost, jer formula izgleda ovako:
Shodno tome, ne zaboravite ovo ograničenje.
Sada izračunajmo šta je
Tačan odgovor - ! Ako pri računanju niste zaboravili drugu moguću vrijednost, onda ste odličan momak i možete odmah krenuti sa treningom, a ako ste zaboravili pročitajte šta je analizirano u nastavku i obratite pažnju zašto u odgovoru moraju biti zapisana oba korijena .
Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu s vrijednošću, a drugu s vrijednošću, i provjerimo imaju li obje pravo na postojanje:
Da bismo provjerili postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti da li je ista između svih njenih zadatih članova? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj.
Vidite zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak traženog člana zavisi od toga da li je pozitivan ili negativan! A pošto ne znamo šta je to, moramo da napišemo oba odgovora sa plusom i minusom.
Sada kada ste savladali glavne tačke i zaključili formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, znajući i
Uporedite svoje odgovore sa tačnim:
Što mislite, što ako nam nisu date vrijednosti članova geometrijske progresije koji su susjedni željenom broju, već jednako udaljeni od njega. Na primjer, trebamo pronaći, i dati i. Možemo li koristiti formulu koju smo izveli u ovom slučaju? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, opisujući od čega se svaka vrijednost sastoji, kao što ste to učinili kada ste prvobitno izveli formulu.
šta si dobio?
Sada ponovo pažljivo pogledajte.
i shodno tome:
Iz ovoga možemo zaključiti da formula funkcionira ne samo sa susedima sa željenim terminima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljena od onoga što članovi traže.
Dakle, naša originalna formula postaje:
Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da može biti jednako bilo kojem prirodnom broju koji je manji. Glavna stvar je da budu isti za oba data broja.
Vežbajte za konkretnim primjerima samo budite izuzetno oprezni!
- , . Naći.
- , . Naći.
- , . Naći.
Odlučio sam? Nadam se da ste bili izuzetno pažljivi i da ste primijetili malu zamku.
Upoređujemo rezultate.
U prva dva slučaja mirno primjenjujemo gornju formulu i dobivamo sljedeće vrijednosti:
U trećem slučaju, pažljivim razmatranjem serijskih brojeva brojeva koji su nam dati, shvatamo da oni nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali uklonjen na poziciju, tako da nije moguće da primeni formulu.
Kako to riješiti? Zapravo i nije tako teško kao što se čini! Hajde da zapišemo sa vama od čega se sastoji svaki broj koji nam je dat i željeni broj.
Dakle, imamo i. Hajde da vidimo šta možemo sa njima. Predlažem razdvajanje. Dobijamo:
Svoje podatke zamjenjujemo u formulu:
Sljedeći korak koji možemo pronaći - za to trebamo uzeti kubni korijen rezultirajućeg broja.
Pogledajmo sada ponovo šta imamo. Imamo, ali moramo pronaći, a to je, zauzvrat, jednako:
Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamjena u formuli:
Naš odgovor: .
Pokušajte sami riješiti još jedan isti problem:
Dato: ,
Naći:
Koliko si dobio? Imam - .
Kao što vidite, u stvari, trebate zapamtite samo jednu formulu- . Sve ostalo možete sami povući bez ikakvih poteškoća u bilo koje vrijeme. Da biste to učinili, jednostavno napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju na komad papira i zapišite čemu je, prema gornjoj formuli, jednak svaki njegov broj.
Zbir članova geometrijske progresije.
Sada razmotrite formule koje nam omogućavaju da brzo izračunamo zbir članova geometrijske progresije u datom intervalu:
Da bismo izveli formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije, množimo sve dijelove gornje jednadžbe sa. Dobijamo:
Pogledajte pažljivo: šta je zajedničko poslednje dve formule? Tako je, zajednički članovi, na primjer i tako dalje, osim prvog i posljednjeg člana. Pokušajmo da oduzmemo 1. jednačinu od 2. jednačine. šta si dobio?
Sada izrazite kroz formulu člana geometrijske progresije i zamijenite rezultirajući izraz u našoj posljednjoj formuli:
Grupirajte izraz. Trebali biste dobiti:
Sve što ostaje da se uradi je da izrazimo:
Shodno tome, u ovom slučaju.
Šta ako? Koja formula onda radi? Zamislite geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Tačno niz identičnih brojeva, odnosno, formula će izgledati ovako:
Kao i kod aritmetičke i geometrijske progresije, postoje mnoge legende. Jedna od njih je legenda o Setu, tvorcu šaha.
Mnogi ljudi znaju da je igra šaha izmišljena u Indiji. Kada ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznolikošću mogućih pozicija u njoj. Saznavši da ga je izmislio jedan od njegovih podanika, kralj je odlučio da ga lično nagradi. Pozvao je pronalazača k sebi i naredio mu da traži šta god želi, obećavajući da će ispuniti i najvještiju želju.
Seta je tražio vremena za razmišljanje, a kada se sledećeg dana Seta pojavio pred kraljem, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahteva. Tražio je zrno pšenice za prvo polje šahovske ploče, pšenicu za drugo, za treće, za četvrto i tako dalje.
Kralj je bio ljut i otjerao Seta, rekavši da je molba sluge nedostojna kraljevske velikodušnosti, ali je obećao da će sluga dobiti svoje žito za sve ćelije odbora.
A sada se postavlja pitanje: koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, izračunajte koliko zrna Set treba da dobije?
Počnimo s raspravom. Pošto je, prema uslovu, Set tražio zrno pšenice za prvu ćeliju šahovske table, za drugu, za treću, za četvrtu itd., vidimo da je problem oko geometrijske progresije. Šta je jednako u ovom slučaju?
Ispravno.
Ukupan broj ćelija šahovske ploče. Odnosno, . Imamo sve podatke, ostaje samo da ih zamijenimo u formulu i izračunamo.
Da bismo predstavili barem približno "skale" datog broja, transformiramo koristeći svojstva stepena:
Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati kakav ćete broj dobiti, a ako ne, morate mi vjerovati na riječ: konačna vrijednost izraza će biti.
tj.:
kvintilion kvadrilion trilion milijardi miliona hiljada.
Fuh) Ako želite da zamislite ogromnu veličinu ovog broja, onda procijenite kolika bi ambara bila potrebna da primi cjelokupnu količinu žita.
Sa visinom štale od m i širinom od m, njena dužina bi se morala protezati na km, tj. duplo dalje nego od Zemlje do Sunca.
Da je kralj jak u matematici, mogao bi da ponudi i samog naučnika da prebroji zrna, jer da bi prebrojao milion zrna, trebao bi mu najmanje dan neumornog brojanja, a s obzirom da je potrebno prebrojati kvintilione, zrna bi se morala brojati ceo život.
A sada ćemo riješiti jednostavan problem o zbiru pojmova geometrijske progresije.
Vasja, učenik 5. razreda, razbolio se od gripe, ali nastavlja da ide u školu. Vasya svakoga dana zarazi dvije osobe koje, zauzvrat, zaraze još dvije osobe i tako dalje. Samo jedna osoba u razredu. Za koliko dana će ceo razred dobiti grip?
Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasja, odnosno osoba. član geometrijske progresije, to su dvije osobe koje je zarazio prvog dana svog dolaska. Ukupan zbir članova progresije jednak je broju učenika 5A. Shodno tome, govorimo o progresiji u kojoj:
Zamijenimo naše podatke u formulu za zbir članova geometrijske progresije:
Cijeli razred će se razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete u formule i brojeve? Pokušajte sami dočarati "zarazu" učenika. Desilo se? Pogledajte kako to kod mene izgleda:
Izračunajte sami koliko bi dana đaci dobili grip ako bi svi zarazili osobu, a u razredu je bila osoba.
Koju vrijednost ste dobili? Ispostavilo se da su svi počeli da se razboljevaju nakon jednog dana.
Kao što vidite, takav zadatak i crtež za njega podsjećaju na piramidu, u kojoj svaki sljedeći "donosi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada ovo drugo ne može nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je klasa izolirana, osoba iz zatvara lanac (). Dakle, ako je osoba uključena u finansijsku piramidu u kojoj je dat novac ako dovedete još dva učesnika, tada ta osoba (ili u općenitom slučaju) ne bi dovela nikoga, odnosno izgubila bi sve što je uložila u ovu finansijsku prevaru .
Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo posebna vrsta je beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Kako izračunati zbir njegovih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene karakteristike? Hajde da to shvatimo zajedno.
Dakle, za početak, pogledajmo ponovo ovu sliku beskonačno opadajuće geometrijske progresije iz našeg primjera:
A sada pogledajmo formulu za sumu geometrijske progresije, izvedenu malo ranije:
ili
čemu težimo? Tako je, grafikon pokazuje da teži nuli. Odnosno, kada će biti gotovo jednako, odnosno, kada izračunamo izraz, dobićemo skoro. S tim u vezi, smatramo da se pri izračunavanju sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije ova zagrada može zanemariti, jer će biti jednaka.
- formula je zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbir beskrajno broj članova.
Ako je naveden određeni broj n, tada koristimo formulu za zbir n članova, čak i ako je ili.
A sada vježbajmo.
- Nađi zbir prvih članova geometrijske progresije sa i.
- Naći zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa i.
Nadam se da ste bili veoma oprezni. Uporedite naše odgovore:
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da pređete s teorije na praksu. Najčešći eksponencijalni problemi koji se nalaze na ispitu su problemi složenih kamata. O njima ćemo govoriti.
Problemi za obračun složene kamate.
Sigurno ste čuli za takozvanu formulu složene kamate. Da li razumete šta ona misli? Ako ne, hajde da to shvatimo, jer kada ste shvatili sam proces, odmah ćete shvatiti kakve veze ima geometrijska progresija s tim.
Svi idemo u banku i znamo da postoje različiti uslovi za depozite: ovo je i rok, i dopunsko održavanje, i kamate sa dva različita načina obračuna - jednostavnim i složenim.
With obična kamata sve je manje-više jasno: kamata se obračunava jednokratno na kraju roka oročenja. Odnosno, ako govorimo o ulaganju 100 rubalja godišnje, onda će oni biti kreditirani tek na kraju godine. U skladu s tim, do kraja depozita, dobit ćemo rublje.
Složena kamata je opcija u kojoj kapitalizacija kamata, tj. njihovo dodavanje na iznos depozita i naknadni obračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Kapitalizacija se ne dešava stalno, već sa određenom periodičnošću. Po pravilu, takvi periodi su jednaki i banke najčešće koriste mjesec, kvartal ili godinu.
Recimo da stavljamo sve iste rublje godišnje, ali sa mjesečnom kapitalizacijom depozita. šta dobijamo?
Razumijete li sve ovdje? Ako ne, idemo korak po korak.
Doneli smo rublje u banku. Do kraja mjeseca bi na našem računu trebao imati iznos koji se sastoji od naših rubalja plus kamate na njih, odnosno:
Slažem se?
Možemo ga izvaditi iz zagrade i tada dobijamo:
Slažem se, ova formula je već sličnija onoj koju smo napisali na početku. Ostaje da se pozabavimo procentima
U stanju problema, rečeno nam je o godišnjem. Kao što znate, mi ne množimo sa - mi pretvaramo procente u decimale, tj.:
zar ne? Sada pitate odakle vam broj? Veoma jednostavno!
Ponavljam: stanje problema govori o ANNUAL obračunate kamate MJESEČNO. Kao što znate, za godinu dana u mjesecu, banka će nam naplatiti dio godišnje kamate mjesečno:
Realized? Sada pokušajte da napišete kako bi izgledao ovaj dio formule kada bih rekao da se kamata obračunava dnevno.
Jeste li uspjeli? Uporedimo rezultate:
Dobro urađeno! Vratimo se našem zadatku: zapišite koliko će biti kreditirano na naš račun za drugi mjesec, vodeći računa da se na akumulirani iznos depozita obračunava kamata.
Evo šta mi se desilo:
Ili, drugim riječima:
Mislim da ste već primijetili uzorak i vidjeli geometrijsku progresiju u svemu tome. Napišite koliko će biti jednak njen član ili, drugim riječima, koliko ćemo novca dobiti na kraju mjeseca.
Napravljeno? Provjeravam!
Kao što vidite, ako stavite novac u banku godinu dana uz prostu kamatu, onda ćete dobiti rublje, a ako ga stavite po složenoj stopi, dobit ćete rublje. Korist je mala, ali to se dešava samo tokom 1. godine, ali na duži period kapitalizacija je mnogo isplativija:
Razmotrite drugu vrstu problema složenih kamata. Nakon onoga što ste shvatili, bit će vam elementarno. Dakle, zadatak je:
Zvezda je počela da ulaže u industriju 2000. godine sa dolarskim kapitalom. Svake godine od 2001. godine ostvaruje profit jednak kapitalu prethodne godine. Koliko će dobiti Zvezdina kompanija na kraju 2003. godine, ako dobit nije povučena iz prometa?
Kapital kompanije Zvezda 2000. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2001. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2002. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2003. godine.
Ili možemo ukratko napisati:
Za naš slučaj:
2000, 2001, 2002 i 2003.
odnosno:
rublja
Imajte na umu da u ovom zadatku nemamo podjelu ni po ni po, jer se procenat daje GODIŠNJE i izračunava se GODIŠNJE. Odnosno, prilikom čitanja problema za složenu kamatu obratite pažnju na to koji je procenat dat, iu kom periodu se naplaćuje, pa tek onda pređite na obračun.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.
Vježbati.
- Nađi član geometrijske progresije ako je to poznato, i
- Naći zbir prvih članova geometrijske progresije, ako je to poznato, i
- MDM Capital je počeo da investira u industriju 2003. godine sa dolarskim kapitalom. Svake godine od 2004. ostvarivala je profit jednak kapitalu prethodne godine. Kompanija "MSK Cash Flows" počela je da ulaže u industriju 2005. godine u iznosu od 10.000 dolara, počevši da ostvaruje profit 2006. godine u iznosu od 10.000 dolara. Za koliko dolara kapital jedne kompanije premašuje kapital druge na kraju 2007. godine, ako dobit nije povučena iz opticaja?
odgovori:
- Budući da uvjet zadatka ne kaže da je progresija beskonačna i da je potrebno pronaći zbir određenog broja njegovih članova, proračun se vrši prema formuli:
Kompanija "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
odnosno:
rublja
MSK Novčani tokovi:2005, 2006, 2007.
- povećava se za, odnosno puta.
odnosno:
rublja
rublja
Hajde da sumiramo.
1) Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.
2) Jednačina članova geometrijske progresije -.
3) može imati bilo koju vrijednost, osim i.
- ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni pozitivno;
- ako, onda svi naredni članovi progresije alternativni znakovi;
- at - progresija se naziva beskonačno opadajućom.
4) , at je svojstvo geometrijske progresije (susedni pojmovi)
ili
, at (jednako udaljeni pojmovi)
Kada ga nađete, nemojte to zaboraviti trebalo bi da postoje dva odgovora..
Na primjer,
5) Zbir članova geometrijske progresije izračunava se po formuli:
ili
ili
BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uslov eksplicitno kaže da je potrebno pronaći zbir beskonačnog broja članova.
6) Zadaci za složenu kamatu računaju se i po formuli th člana geometrijske progresije, pod uslovom da gotovina nije povučeno iz prometa:
GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNOM
Geometrijska progresija( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se zove imenilac geometrijske progresije.
Imenilac geometrijske progresije može uzeti bilo koju vrijednost osim za i.
- Ako, onda svi naredni članovi progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni;
- ako, onda svi sljedeći članovi progresije zamjenjuju znakove;
- at - progresija se naziva beskonačno opadajućom.
Jednadžba članova geometrijske progresije - .
Zbir članova geometrijske progresije izračunato po formuli:
ili
Ako je progresija beskonačno opadajuća, tada:
PREOSTALE 2/3 ČLANKA DOSTUPNE SAMO YOUCLEVER STUDENTIMA!
Postanite student YouClevera,
Pripremite se za OGE ili USE iz matematike po cijeni "šoljica kafe mjesečno",
I također dobijte neograničen pristup udžbeniku "YouClever", programu obuke "100gia" (knjiga rješenja), neograničenom probnom USE i OGE, 6000 zadataka sa analizom rješenja i drugim YouClever i 100gia servisima.
Hajde da razmotrimo seriju.
7 28 112 448 1792...
Apsolutno je jasno da je vrijednost bilo kojeg od njegovih elemenata tačno četiri puta veća od prethodnog. Dakle, ova serija je napredak.
Geometrijska progresija je beskonačan niz brojeva glavna karakteristika a to je da se sljedeći broj dobije od prethodnog množenjem sa nekim određenim brojem. To se izražava sljedećom formulom.
a z +1 =a z q, gdje je z broj odabranog elementa.
Prema tome, z ∈ N.
Period kada se izučava geometrijska progresija u školi je 9. razred. Primjeri će vam pomoći da shvatite koncept:
0.25 0.125 0.0625...
Na osnovu ove formule, nazivnik progresije se može naći na sljedeći način:
Ni q ni b z ne mogu biti nula. Takođe, svaki od elemenata progresije ne bi trebao biti jednak nuli.
U skladu s tim, da biste saznali sljedeći broj u nizu, trebate posljednji pomnožiti sa q.
Da biste specificirali ovu progresiju, morate specificirati njen prvi element i nazivnik. Nakon toga moguće je pronaći bilo koji od narednih članova i njihov zbir.
Sorte
Ovisno o q i a 1, ova progresija se dijeli na nekoliko tipova:
- Ako su i 1 i q veći od jedan, onda je takav niz geometrijska progresija koja raste sa svakim sljedećim elementom. Primjer takvog je predstavljen u nastavku.
Primjer: a 1 =3, q=2 - oba parametra su veća od jedan.
Tada se numerički niz može napisati ovako:
3 6 12 24 48 ...
- Ako |q| manji od jedan, to jest, množenje njime je ekvivalentno dijeljenju, tada je progresija sa sličnim uvjetima opadajuća geometrijska progresija. Primjer takvog je predstavljen u nastavku.
Primjer: a 1 =6, q=1/3 - a 1 je veći od jedan, q manji.
Tada se numerički niz može napisati na sljedeći način:
6 2 2/3 ... - bilo koji element je 3 puta veći od elementa koji slijedi.
- Varijabla sa znakom. Ako je q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.
Primjer: a 1 = -3 , q = -2 - oba parametra su manja od nule.
Tada se niz može napisati ovako:
3, 6, -12, 24,...
Formule
Za praktično korištenje geometrijskih progresija, postoji mnogo formula:
- Formula z-tog člana. Omogućava vam da izračunate element pod određenim brojem bez izračunavanja prethodnih brojeva.
primjer:q = 3, a 1 = 4. Potrebno je izračunati četvrti element progresije.
Odluka:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.
- Zbir prvih elemenata čiji je broj z. Omogućava vam da izračunate zbir svih elemenata niza doa zinkluzivno.
Od (1-q) je u nazivniku, tada (1 - q)≠ 0, stoga q nije jednak 1.
Napomena: ako je q=1, tada bi progresija bila niz broja koji se beskonačno ponavlja.
Zbir geometrijske progresije, primjeri:a 1 = 2, q= -2. Izračunajte S 5 .
Odluka:S 5 = 22 - obračun po formuli.
- Iznos ako |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.
primjer:a 1 = 2 , q= 0,5. Pronađite iznos.
Odluka:Sz = 2 · = 4
Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4
Neke nekretnine:
- karakteristično svojstvo. Ako je sledeći uslov izvedeno za bilo kojez, tada je dati niz brojeva geometrijska progresija:
a z 2 = a z -1 · az+1
- Također, kvadrat bilo kojeg broja geometrijske progresije nalazi se sabiranjem kvadrata bilo koja druga dva broja u datom nizu, ako su jednako udaljeni od ovog elementa.
a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , gdjetje udaljenost između ovih brojeva.
- Elementirazlikuju se u qjednom.
- Logaritmi elemenata progresije također čine progresiju, ali već aritmetičku, odnosno svaki od njih je veći od prethodnog za određeni broj.
Primjeri nekih klasičnih problema
Da bismo bolje razumjeli što je geometrijska progresija, mogu pomoći primjeri sa rješenjem za 9. razred.
- Uslovi:a 1 = 3, a 3 = 48. Nađiq.
Rješenje: svaki sljedeći element je veći od prethodnog uq jednom.Neophodno je izraziti neke elemente kroz druge pomoću nazivnika.
dakle,a 3 = q 2 · a 1
Prilikom zamjeneq= 4
- Uslovi:a 2 = 6, a 3 = 12. Izračunajte S 6 .
Odluka:Da biste to učinili, dovoljno je pronaći q, prvi element i zamijeniti ga u formulu.
a 3 = q· a 2 , dakle,q= 2
a 2 = q a 1 ,Zbog toga a 1 = 3
S 6 = 189
- · a 1 = 10, q= -2. Pronađite četvrti element progresije.
Rješenje: da biste to učinili, dovoljno je četvrti element izraziti kroz prvi i kroz nazivnik.
a 4 = q 3· a 1 = -80
Primjer primjene:
- Klijent banke je položio depozit u iznosu od 10.000 rubalja, pod kojim svake godine klijent dodaje 6% na glavnicu. Koliko novca će biti na računu nakon 4 godine?
Rješenje: Početni iznos je 10 hiljada rubalja. Dakle, godinu dana nakon ulaganja, račun će imati iznos jednak 10.000 + 10.000 · 0,06 = 10000 1,06
Shodno tome, iznos na računu nakon još jedne godine biće iskazan na sledeći način:
(10000 1,06) 0,06 + 10000 1,06 = 1,06 1,06 10000
Odnosno, svake godine iznos se povećava za 1,06 puta. To znači da je za pronalaženje iznosa sredstava na računu nakon 4 godine dovoljno pronaći četvrti element progresije, koji je dat prvim elementom jednakim 10 hiljada, a imeniocem jednakim 1,06.
S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10000 = 12625
Primjeri zadataka za izračunavanje sume:
U raznim problemima koristi se geometrijska progresija. Primjer za pronalaženje sume može se dati na sljedeći način:
a 1 = 4, q= 2, izračunajS5.
Rješenje: svi podaci potrebni za izračun su poznati, samo ih trebate zamijeniti u formulu.
S 5 = 124
- a 2 = 6, a 3 = 18. Izračunajte zbir prvih šest elemenata.
Odluka:
Geom. progresije, svaki sljedeći element je q puta veći od prethodnog, odnosno da biste izračunali zbir, morate znati elementa 1 i imenilacq.
a 2 · q = a 3
q = 3
Slično tome, moramo pronaćia 1 , znajućia 2 iq.
a 1 · q = a 2
a 1 =2
S 6 = 728.
Geometrijska progresija je numerički niz, čiji je prvi član različit od nule, a svaki sljedeći član jednak je prethodnom članu pomnoženom istim brojem koji nije nula.
Geometrijska progresija je označena b1,b2,b3, …, bn, … .
Odnos bilo kog člana geometrijske greške u odnosu na prethodni član jednak je istom broju, to jest, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ovo direktno slijedi iz definicije aritmetičke progresije. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije. Obično se nazivnik geometrijske progresije označava slovom q.
Monotoni i konstantni niz
Jedan od načina za postavljanje geometrijske progresije je postavljanje njenog prvog člana b1 i nazivnika geometrijske greške q. Na primjer, b1=4, q=-2. Ova dva uslova daju geometrijsku progresiju od 4, -8, 16, -32, … .
Ako je q>0 (q nije jednako 1), onda je progresija monotoni niz. Na primjer, niz, 2, 4,8,16,32, ... je monotono rastući niz (b1=2, q=2).
Ako je nazivnik q=1 u geometrijskoj grešci, tada će svi članovi geometrijske progresije biti međusobno jednaki. U takvim slučajevima se kaže da je napredovanje konstantan niz.
Formula n-tog člana geometrijske progresije
Da bi brojčani niz (bn) bio geometrijska progresija, potrebno je da svaki njegov član, počevši od drugog, bude geometrijska sredina susjednih članova. Odnosno, potrebno je ispuniti sljedeću jednačinu
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za bilo koje n>0, gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.
Formula za n-ti član geometrijske progresije je:
bn=b1*q^(n-1),
gdje n pripada skupu prirodnih brojeva N.
Formula za zbir prvih n članova geometrijske progresije
Formula za zbir prvih n članova geometrijske progresije je:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1) gdje q nije jednako 1.
Razmotrite jednostavan primjer:
U geometrijskoj progresiji b1=6, q=3, n=8 naći Sn.
Da bismo pronašli S8, koristimo formulu za zbir prvih n članova geometrijske progresije.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.
