Raabe határtábla igazolással. Fokozott összetettségű numerikus sorozatok. Az előjel-pozitív számsorok konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele

Sor texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): \sum_(n=1)^\infty a_n konvergál, ha elég nagy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc az egyenlőtlenséget Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): R_n=n\left(\frac(a_n)(a_(n+1))-1\right)\geqslant r, ahol Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): r>1 . Ha Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítást.): R_n< 1 , néhánytól kezdve Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; Lásd a math/README beállítási segítséget.): n, majd a sor Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): a_n eltér.

Kiszerelés határértékben

Megjegyzés. Ha egy Nem sikerült elemezni a kifejezést (futtatható fájl texvc nem található; A beállítási segítségért lásd a math/README részt.): R=1, akkor a Raabe-kritérium nem ad választ a sorozatok konvergenciájára vonatkozó kérdésre.

Bizonyíték

A bizonyítás egy általánosított összehasonlítási kritériumon alapul, ha összehasonlítjuk egy általánosított harmonikus sorozattal

Lásd még

• A d'Alembert-féle konvergenciateszt egy hasonló teszt, amely a szomszédos tagok arányán alapul.

Írjon véleményt a "Raabe jele" című cikkről

Irodalom

• Arhipov, G. I., Sadovnichiy, V. A., Chubarikov, V. N. Matematikai elemzési előadások: Egyetemi tankönyv és ped. egyetemek / Szerk. V. A. Sadovnichy. - M .: Felsőiskola, 1999. - 695 p. - ISBN 5-06-003596-4..
• - cikk a Mathematical Encyclopedia-ból

Linkek

• Weisstein, Eric W.(angolul) a Wolfram MathWorld honlapján.

– So-so-so... Madonna Isidorának vendégei vannak!.. Nagyon vicces. Magától a Meteorától, ha nem tévedek? A Nagy Észak személyesen!... Bemutatnál, Isidora? Szerintem nagyon hasznos lesz mindannyiunk számára! Caraffa elégedetten nevetve nyugodtan leült egy székre ... Caraffa szertartás nélkül nézett északra, mintha egy ritka, különös állat lenne. Valamilyen okból kifolyólag a pápa arca ragyogott a bizalomtól, ami jobban megrémített, mintha felénk vetette volna rettenetes elégedetlenségének „villámait”... – Nos, tisztelt Sever, végre találkoztunk! Végül is egyszer megígértem, hogy eljössz hozzám - általában nem változtatlak az ígéreteimen. - Ne hízelegj magadnak, Caraffa. – mondta North nyugodtan. „Soha nem adnék neked ekkora örömet. És te nagyon jól tudod. Isidore Madonnája érdekel... Túl értékes ahhoz, hogy a kezedben lehessen. De ezt természetesen nem fogja tudni megérteni, sajnos ... – Egy emberi érték attól függ, mennyire tud hasznos lenni Isten számára... Nos, Madonna Isidora, mint tudod, egy boszorkány. És nagyon erős. Ezért az Úrhoz való hozzáállása nem hagy reményt arra, hogy jobbra változzon. Így az „értéke” számomra és legszentebb templomunk számára nullára csökken, kedves Észak.

6. Raabe jele

6. Tétel. Ha van határ:

akkor: 1) az (A) sorozatra konvergál, 2) a sorozatra divergál.

Bizonyíték. Egy segéd állítás bizonyítást nyer:

1. nyilatkozat (12)

Bizonyíték. A kifejezést úgy tekintjük:

Felvettük az egyenlet mindkét oldalának logaritmusát:

Visszatérve a határhoz:

A (11) egyenlőségből egy numerikus sorozat határának meghatározása alapján az következik, hogy bármely tetszőlegesen kicsire létezik olyan, hogy az egyenlőtlenségre:

1) Akkor hagyjuk. Jelöltük, tehát a számból kiindulva a (13) egyenlőtlenségből következik, hogy a következő egyenlőtlenség igaz:

vegyen bármilyen számot. A (12) szerint elég nagyra a következő lesz igaz:

Innen a (14) szerint a következő:

A jobb oldalon - a Dirichlet-sorozat két egymást követő tagjának aránya; a 4. Tétel alkalmazása után nyilvánvalóvá válik az (A) sorozat konvergenciája.

2) Legyen tehát az (1) bekezdéshez hasonlóan a (13)-ból a következő egyenlőtlenség:

Innen azonnal megtaláltuk:

a 4. Tétel (A) sorozatra és a Dirichlet-sorra történő alkalmazása után egyértelművé válik az (A) sorozat divergenciája.

Megjegyzés 5. Raabe tesztje sokkal erősebb, mint d'Alembert tesztje

Megjegyzés 6. Raabe kritériuma nem ad választ a feltett kérdésre.

11) Fedezze fel a sorozatot d'Alembert és Raabe jeleivel:

d'Alembert tesztje nem ad választ e sorozat konvergenciájának kérdésére. A sorozatot a Raabe teszt segítségével vizsgáljuk:

Ez típusbizonytalanságot eredményezett, ezért alkalmaztuk az 1. L'Hospital-Bernoulli szabályt:

Rad tér el, konvergál -nál és -nál, a Raabe jel nem ad választ a konvergencia kérdésére.

12) Fedezze fel a sorozatot a Raabe-jel segítségével:

Kiderült a típusbizonytalanság, de az 1. L'Hopital-Bernoulli szabály alkalmazása előtt megkeresik a kifejezés deriváltját, ehhez logaritizálják és megkeresik a logaritmus deriváltját:

Most megtalálhatja a kifejezés származékát:

Vissza a határhoz. Az 1. L'Hospital-Bernoulli szabály érvényes:

A kifejezést figyelembe veszik. Miután alkalmazta rá az 1. L'Hospital-Bernoulli szabályt:

Ebből az következik, hogy:

Helyettesítsd be ezt az egyenlőséget a kifejezésbe:

Innen a Raabe-teszt szerint az következik, hogy az adott sorozat at divergál, akkor konvergál, és amikor a Raabe-teszt nem ad választ a sorozatok konvergenciájának kérdésére.

Dodatkovі elme zbіzhnostі számsorok

Vegyük Kummer jeleit rozbіzhny harmonikus sorokként (3.1). Nem tehetek róla. A gazdagság jegyének Otrimana ilyen rangban fogalmazható meg. Tétel (Raabe rövidítésének jele). Egy szám, zbіgaєtsya, mintha lenne ilyen...

váltakozó sorozatok

Tétel (Leibniz-próba). Egy váltakozó sorozat akkor konvergál, ha: A sorozat tagjainak abszolút értékeinek sorozata monoton csökken, pl. ; A sorozat közös tagja nullára hajlik:. Ráadásul a sorozat S összege kielégíti az egyenlőtlenségeket. Megjegyzések...

1. tétel (d'Alembert-próba). Legyen olyan sorozat, ahol minden > 0. Ha van határ, akkor 0-nál<1 ряд сходится, а при >1 sor összefolyik.

Váltakozó és váltakozó sorozatok

2. Tétel (Cauchy-próba). Legyen adott egy sorozat. (1) Ha van véges határ, akkor 1) esetén a sorozat konvergál, 2) esetén a sorozat divergál.

Váltakozó és váltakozó sorozatok

3. tétel (konvergencia integrál kritériuma). Legyen az f(x) függvény definiált, folytonos, pozitív és nem növekvő a sugáron. Ekkor: 1) a számsorok konvergálnak...

Váltakozó és váltakozó sorozatok

Meghatározás. Az a1 - a2 + a3 - … + (- 1) n - 1an + … számsort, ahol minden an pozitív, váltakozónak nevezzük. Példa. Egy sorozat jel-változó, de egy sorozat nem jel-változó...

Differenciálegyenletek integrálása hatványsorok segítségével

A matematikai alkalmazásokban, valamint a közgazdaságtan, a statisztika és más területek egyes problémáinak megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt fogjuk meghatározni, mit kell érteni az ilyen összegek alatt...

1.D.P.: Az AC kiterjesztése AM1=OC-ra, a BD pedig DN1=OB-ra. 2. A Pitagorasz-tétel szerint?M1ON1: M1N1=10. 3. Rajzolja le az M1KN1D-t. MK?AK=K. 4. ?BOC=?KAM1 (alapon: BO=KM1, OC=AM1, konstrukció szerint, BOC=KM1A=90, keresztben fekvő BN1 KM1, M1C - szekáns) AK=BC. 5. M1KDN1 - paralelogramma, DK=M1N1=10; MN=DK/2= (AD+BC)/2=5...

Különféle módszerek planimetriai feladatok megoldása

1.D.P.: Az AC kiterjesztése AM1=OC-ra, a BD pedig DN=OB-ra. 2. Tekintsük?OMN, NOM=90°, majd a Pitagorasz-tétel alapján?MON MN=10. 3. Álljunk meg: AEMN, DFMN, OKBC. 4. ?AME = ?KOC és?DFN=?BOK (II. tulajdonság esetén) ME=KC, FN=BKMN=BC+AD=a+b=10MN=10/2=5. Válasz: MN=5...

Egy határérték probléma megoldhatósága

Tekintsünk egy nemlineáris határérték problémát: (1) (2) Van egy reprezentáció (3) Az operátor lineárisan korlátos szimmetrikus; spektruma van az intervallumban; - pozitív, azaz mindenre érvényes az egyenlőtlenség...

Legyen adott egy pozitív sorozat: , hol. (A) 5. Tétel. Ha van határ: , (5), akkor: 1) az (A) sorozatra konvergál, 2) a sorozatra divergál. Bizonyíték. Az (5) egyenlőségből a numerikus sorozat határának meghatározása alapján következik ...

Pozitív sorozatok konvergenciája

6. Tétel. Ha van határ: (18), akkor: 1) amikor az (A) sorozat konvergál, 2) ha - divergál. Bizonyíték. Kummer sémájával bizonyított. Hadd. Sorozatnak tekintünk Hasonlítsuk össze egy olyan sorozattal, amely eltér...

Stabilitás Ljapunov szerint

Hadd --- megoldás egyenletrendszer, valamilyen intervallumon definiálva, és --- ugyanazon egyenletrendszer megoldása, valamilyen intervallumon definiálva. Azt mondjuk, hogy a megoldás a megoldás kiterjesztése, ha...

Azokban az esetekben, amikor a d'Alembert- és Cauchy-tesztek nem adnak eredményt, néha igenlő választ adhatnak olyan jelek, amelyek más sorozatokkal való összehasonlításon alapulnak, amelyek a sorozatnál "lassabb" konvergálnak vagy divergálnak. geometriai progresszió.

Bizonyítás nélkül mutassuk be a sorozatok konvergenciájának négy körülményesebb kritériumának megfogalmazását. Ezen kritériumok bizonyítása is a vizsgált sorozat 1–3. tételén (2.2. és 2.3. tétel) alapul néhány olyan sorozattal, amelyek konvergenciáját vagy divergenciáját már megállapítottuk. Ezek a bizonyítások megtalálhatók például G. M. Fikhtengol'ts alapvető tankönyvében (2. kötet).

Tétel 2.6. Raabe jele. Ha egy pozitív számsorozat tagjaira valamilyen M számból kiindulva az egyenlőtlenség

(Rn £ 1), "n ³ M, (2,10)

akkor a sorozat konvergál (divergál).

Raabe jele korlátozó formában. Ha a fenti sorozat feltételei kielégítik a feltételt

6. megjegyzés. Ha összehasonlítjuk a d'Alembert- és Raabe-tesztet, megmutathatjuk, hogy a második sokkal erősebb, mint az első.

Ha a sorozatnak van határa

akkor a Raabe sorozatnak van határa

Tehát ha a d'Alembert-teszt választ ad a sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának kérdésére, akkor a Raabe-teszt is megadja, és ezekre az esetekre az R lehetséges értékei közül csak kettő vonatkozik: +¥ és -¥. A véges R ¹ 1 összes többi esete, amikor a Raabe-teszt igenlő választ ad a sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának kérdésére, megfelel a D = 1 esetnek, azaz annak az esetnek, amikor a d'Alembert-teszt nem ad igenlő válasz a sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának kérdésére.

2.7. Tétel. Kummer jel. Legyen (сn) pozitív számok tetszőleges sorozata. Ha egy pozitív számsorozat tagjaira valamilyen M számból kiindulva az egyenlőtlenség

(Qn £ 0), "n ³ M, (2.11)

akkor a sorozat konvergál .

Kummer tesztje korlátozó formában. Ha a fenti sorozatra van korlát

akkor a sorozat konvergál .

Kummer tesztjéből következésképpen könnyű bizonyítékot szerezni d'Alembert, Raabe és Bertrand tesztjére. Ez utóbbit akkor kapjuk meg, ha a (сn) sorozatot vesszük

cn=nln n, "n н N,

amelyre a sorozat

eltér (ennek a sorozatnak a divergenciáját ennek a szakasznak a példái mutatják be).

Tétel 2.8. Bertrand-kritérium a korlátozó formában. Ha egy pozitív számsorozat tagjaira a Bertrand-sorozat

(2.12)

(Rn a Raabe sorozat) van egy határértéke

akkor a sorozat konvergál (divergál).

Az alábbiakban megfogalmazzuk a Gauss-tesztet, amely a legerősebb a d'Alembert, Raabe és Bertrand sorozat konvergenciakritériumainak növekvő sorrendjében rendezett alkalmazhatósági területek sorrendjében. A Gauss-teszt általánosítja az előző tesztek minden erejét, és lehetővé teszi sokkal bonyolultabb sorozatok tanulmányozását, másrészt alkalmazása finomabb vizsgálatokat igényel, hogy a sorozat szomszédos tagjainak arányának aszimptotikus kiterjesztését kapjuk. tekintetében a kicsinység második rendjére.

2.9. Tétel. Gauss jel. Ha egy pozitív számsorozat tagjaira valamilyen M számból kiindulva az egyenlőség

, "n ³ M, (2.13)

ahol l és p állandók, tn pedig korlátos érték.

a) l > 1 vagy l = 1 és p > 1 esetén a sorozat konvergál;

b) az l< 1 или l = 1 и р £ 1 ряд расходится.

2.5. Cauchy-Maclaurin integrálteszt,

Cauchy "teleszkópos" jele és Ermakov jele

A sorozatok fentebb vizsgált konvergenciájának kritériumai összehasonlítási tételeken alapulnak, és elegendőek, azaz ha egy adott sorozatra a jellemző feltételei teljesülnek, akkor bizonyos állítások tehetők a viselkedésére vonatkozóan, de ha a jellemző feltételei nem teljesül, akkor a sorozatok konvergenciájáról nem lehet állítani semmit, lehet konvergálni és eltérni is.

A Cauchy-Maclaurin integrálteszt tartalmilag, szükséges és elégséges, de formailag is eltér a fent vizsgáltaktól, egy végtelen összeg (sorozat) és egy végtelen (nem megfelelő) integrál összehasonlításán alapul, és természetes kapcsolatot mutat be a sorozatelmélet és integrálelmélet. Ez az összefüggés az összehasonlítási kritériumok példáján is könnyen nyomon követhető, amelyek analógjai helytelen integrálokra vonatkoznak, és megfogalmazásaik szinte szó szerint egybeesnek a sorozatok megfogalmazásával. Teljes analógia figyelhető meg a tetszőleges numerikus sorozatok konvergenciájára vonatkozó elegendő kritériumok megfogalmazásában is, amelyeket a következő részben fogunk tanulmányozni, valamint a nem megfelelő integrálok konvergenciájának kritériumait, például Abel és Dirichlet konvergenciájának kritériumait.

Az alábbiakban megadjuk a „teleszkópos” Cauchy-kritériumot és a sorozatok konvergenciájának eredeti kritériumát is, amelyet V. P. orosz matematikus kapott. Ermakov; Az Ermakov-teszt a maga erejében megközelítőleg azonos hatókörű, mint a Cauchy–Maclaurin-féle integrálteszt, de nem tartalmazza az integrálszámítás fogalmait és fogalmait a megfogalmazásban.

2.10. Tétel. A Cauchy-Maclaurin jel. Legyen egy pozitív számsor tagjaira valamilyen M számból kiindulva az egyenlőség

ahol az f(x) függvény nem negatív és nem növekvő a félegyenesen (x ³ M). A számsor akkor és csak akkor konvergál, ha a nem megfelelő integrál konvergál

Vagyis a sorozat konvergál, ha van határ

, (2.15)

és a sorozat eltér, ha a határérték I = +¥.

Bizonyíték. A 3. megjegyzés alapján (lásd 1. §) nyilvánvaló, hogy az általánosság elvesztése nélkül feltételezhetjük, hogy M = 1, hiszen a sorozat (M – 1) tagjának elvetésével és a k = (n – ) helyettesítésével M + 1), átgondoljuk a sorozatot, amelyhez

, ,

és ennek megfelelően az integrál figyelembevételére.

Megjegyezzük továbbá, hogy az f(x) félegyenes (x ³ 1) függvény nemnegatív és nem növekvő függvénye bármely véges intervallumon kielégíti a Riemann-integrálhatóság feltételeit, ezért van értelme a megfelelő nem megfelelő integrál figyelembevételének. .

Térjünk át a bizonyításra. Bármely m £ x £ m + 1 egységhosszúságú szakaszon, mivel f(x) nem növekszik, az egyenlőtlenség

Egy szegmensre integrálva és egy határozott integrál megfelelő tulajdonságát felhasználva megkapjuk az egyenlőtlenséget

, . (2.16)

Ezeket az egyenlőtlenségeket m = 1-től m = n-ig tagonként összegezve kapjuk

Mivel f (x) nemnegatív függvény, az integrál

az A argumentum nem csökkenő folytonos függvénye. Ekkor

, .

Innen és a (15) egyenlőtlenségből az következik, hogy:

1) ha én< +¥ (т. е. несобственный интеграл сходится), то и неубывающая последовательность частичных сумм korlátos, azaz a sorozat konvergál;

2) ha I = +¥ (azaz a nem megfelelő integrál eltér),

akkor a részösszegek nem csökkenő sorozata is korlátlan, azaz a sorozat eltér.

Másrészt jelölve a (16) egyenlőtlenségből kapjuk:

1) ha S< +¥ (т. е. ряд сходится), то для неубывающей непрерывной функции I(А), "А ³ 1 существует номер n такой, что n + 1 ³ А, и I(А) £ I(n + 1) £ Sn £ S, а следовательно, , azaz az integrál konvergál;

2) ha S = +¥ (azaz a sorozat divergál), akkor bármely elég nagy A esetén létezik n £ A úgy, hogy I(A) ³ I(n) ³ Sn – f(1) ® +¥ (n ® ¥), azaz az integrál divergál. Q.E.D.

Mutassunk be még két érdekes kritériumot a bizonyítás nélküli konvergencia szempontjából.

2.11. tétel. Cauchy "teleszkópos" jele. Egy pozitív numerikus sorozat, amelynek tagjai monoton csökkenőek, akkor és csak akkor konvergál, ha a sorozat konvergál.

2.12. Tétel. Ermakov jele. Legyenek egy pozitív numerikus sorozat tagjai olyanok, hogy valamely M0 számból kiindulva az egyenlőségek

an = ¦(n), "n ³ М0,

ahol a ¦(x) függvény darabonként folytonos, pozitív, és monoton csökken, mint x ³ M0.

Ekkor ha létezik olyan M ³ M0 szám, amelyre minden x ³ M egyenlőtlenség

,

akkor a sorozat konvergál (divergál).

2.6. Példák a konvergenciakritériumok alkalmazására

A 2. Tétel segítségével könnyen megvizsgálható a következő sorozatok konvergenciája

(a > 0, b³ 0; "a, b Î R).

Ha egy £ 1, akkor a konvergencia szükséges kritériuma (2. tulajdonság) sérül (lásd 1. §).

,

ezért a sorozat eltér.

Ha a > 1, akkor сn kielégíti a becslést, amelyből a geometriai progresszió sorozatának konvergenciája miatt a vizsgált sorozatok konvergenciája következik.

konvergál az 1. összehasonlító teszttel (2.2. Tétel), mivel megvan az egyenlőtlenség

,

és a sorozat geometriai progresszió sorozataként konvergál.

Mutassuk meg több sorozat divergenciáját, ami a 2. összehasonlítási kritériumból következik (2.2. Tétel 1. következtetése). Sor

eltér, mert

.

eltér, mert

.

eltér, mert

.

(p > 0)

eltér, mert

.

konvergál a d'Alembert-próbával (2.4. Tétel). Igazán

.

konvergál a d'Alembert-teszt szerint. Igazán

.

.

konvergál a Cauchy-próbában (2.5. Tétel). Igazán

.

Adjunk példát a Raabe-kritérium alkalmazására. Fontolja meg a sorozatot

,

ahol a jelölés (k)!! az összes páros (páratlan) szám szorzatát jelenti 2-től k-ig (1-től k-ig), ha k páros (páratlan). A d'Alembert-teszt segítségével azt kapjuk

Így a d'Alembert-teszt nem teszi lehetővé a sorozatok konvergenciájáról határozott állítást. A Raabe jelet alkalmazzuk:

ezért a sorozat konvergál.

Mondjunk példákat a Cauchy–Maclaurin integrálteszt alkalmazására.

Általánosított harmonikus sorozat

a nem megfelelő integrállal egyidejűleg konvergál vagy divergál

Nyilvánvaló, hogy én< +¥ при p >1 (az integrál konvergál), és I = +¥ p £ 1 esetén (divergál). Így az eredeti sorozat p > 1 esetén is konvergál, és p £ 1 esetén divergál.

divergál egyidejűleg a nem megfelelő integrállal

tehát az integrál eltér.

3. § Jel-váltakozó számsor

3.1. Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája

Ebben a részben azoknak a sorozatoknak a tulajdonságait vizsgáljuk, amelyek tagjai tetszőleges előjelű valós számok.

Definíció 1. Számsorozat

abszolút konvergensnek nevezzük, ha a sorozat konvergál

Definíció 2. Egy számsort (3.1) feltételesen konvergensnek vagy nem abszolút konvergensnek mondunk, ha a (3.1) sorozat konvergál, a (3.2) sorozat pedig divergál.

3.1. Tétel. Ha egy sorozat abszolút konvergál, akkor konvergál.

Bizonyíték. A Cauchy-kritériumnak megfelelően (1.1. tétel) a (3.1) sorozat abszolút konvergenciája ekvivalens az összefüggések teljesülésével.

" e > 0, $ M > 0 úgy, hogy " n > M, " p ³ 1 Þ

(3.3)

Mivel ismert, hogy több szám összegének modulusa nem haladja meg moduljai összegét („háromszög-egyenlőtlenség”), ezért a (3.3)-ból az egyenlőtlenség következik (ugyanazokra a számokra érvényes, mint a (3.3-ban), az e számok , M, n, p)

Az utolsó egyenlőtlenség teljesülése a (3.1) sorozatra vonatkozó Cauchy-kritérium feltételeinek teljesülését jelenti, ezért ez a sorozat konvergál.

Következmény 1. Legyen a (3.1) sorozat abszolút konvergál. A (3.1) sorozat pozitív tagjaiból, sorra átszámozva (ahogyan előfordulnak az index növelése során) alkossunk egy pozitív numerikus sorozatot

, (uk = ). (3.4)

Hasonlóan a (3.1) sorozat negatív tagjainak moduljaiból, sorra átszámozva a következő pozitív numerikus sorozatokat állítjuk össze:

, (vm = ). (3.5)

Ekkor a (3.3) és a (3.4) sorozatok konvergálnak.

Ha a (3.1), (3.3), (3.4) sorozatok összegeit rendre A, U, V betűkkel jelöljük, akkor a képlet

A = U - V. (3.6)

Bizonyíték. Jelöljük A*-val a (3.2) sorozat összegét. A 2.1 Tétel alapján azt kaptuk, hogy a (3.2) sorozat összes parciális összegét az A* szám korlátozza, és mivel a (3.4) és (3.5) sorozatok részösszegeit a parciális sorozat néhány tagjának összegzésével kapjuk. a sorozat összegei (3.2), nyilvánvaló, hogy azokat inkább A* korlátozza. Ezután a megfelelő jelölés bevezetésével megkapjuk az egyenlőtlenségeket

;

amelyből a 2.1. Tétel értelmében a (3.4) és a (3.5) sorozatok konvergálnak.

(3.7)

Mivel a k és m számok n-től függenek, nyilvánvaló, hogy mint n ® ¥, k ® ¥ és m ® ¥ egyszerre. Ezután a (3.7) egyenlőséget átengedve a határértékre (a 3.1. Tételből adódóan minden határ létezik, és a fentiek szerint) megkapjuk

azaz a (3.6) egyenlőség bebizonyosodott.

Következmény 2. A (3.1) sorozat feltételesen konvergáljon. Ekkor a (3.4) és (3.5) sorozatok eltérnek, és a (3.6) képlet a feltételesen konvergens sorozatokra nem igaz.

Bizonyíték. Ha figyelembe vesszük a (3.1) sorozat n-edik részösszegét, akkor az előző bizonyításhoz hasonlóan felírható

(3.8)

Másrészt a (3.2) sorozat n-edik részösszegére hasonlóan felírható a kifejezés

(3.9)

Tegyük fel az ellenkezőjét, azaz a (3.3) vagy (3.4) sorozatok közül legalább az egyik konvergáljon. Ekkor a (3.8) képletből a (3.1) sorozatok konvergenciáját tekintve az következik, hogy a sorozat második része ((3.5) vagy (3.4)) két konvergens sorozat különbségeként konvergál. Ekkor azonban a (3.9) képlet magában foglalja a (3.2) sorozat konvergenciáját, azaz a (3.1) sorozat abszolút konvergenciáját, ami ellentmond a tétel feltételes konvergenciájára vonatkozó feltételének.

Így (3.8) és (3.9)-ből az következik, hogy mivel

Q.E.D.

Megjegyzés 1. Sorozatok asszociatív tulajdonsága. Egy végtelen sorozat összege lényegében abban különbözik véges számú elem összegétől, hogy magában foglalja a határértékhez való átlépést is. Ezért a véges összegek szokásos tulajdonságait sorozatoknál gyakran megsértik, vagy csak bizonyos feltételek mellett őrzik meg.

Tehát véges összegekre érvényes az asszociatív (asszociatív) törvény, nevezetesen: az összeg nem változik, ha az összeg elemei bármilyen sorrendben vannak csoportosítva.

Tekintsük a (3.1) numerikus sorozat tagjainak tetszőleges csoportosítását (permutáció nélkül). Jelölje a növekvő számsort

és vezesse be a jelölést

Ekkor a fenti módszerrel kapott sorozatot így írhatjuk fel

A következő tétel bizonyítás nélkül több fontos állítást gyűjt össze a sorozatok kombinációs tulajdonságával kapcsolatban.

Tétel 3.2.

1. Ha a (3.1) sorozat konvergál, és A összeggel rendelkezik (a feltételes konvergencia elegendő), akkor a (3.10) alakú tetszőleges sorozat konvergál, és azonos A összeggel rendelkezik. Vagyis a konvergens sorozat rendelkezik a kombináció tulajdonsággal.

2. A (3.10) alakú sorozat konvergenciája nem jelenti a (3.1) sorozat konvergenciáját.

3. Ha a (3.10) sorozatot speciális csoportosítással kapjuk meg úgy, hogy minden zárójelben csak egy előjelű tagok szerepelnek, akkor ennek a sorozatnak a (3.10) konvergenciája a (3.1) sorozat konvergenciáját jelenti.

4. Ha a (3.1) sorozat pozitív, és a (3.10) alakú sorozatok konvergálnak, akkor a (3.1) sorozatok konvergálnak.

5. Ha a (3.1) sorozat tagjainak sorozata végtelenül kicsi (azaz an) és az egyes csoportok tagjainak száma, a (3.10) sorozat egy tagját egy M konstans korlátozza (azaz nk –nk– 1 £ M, "k = 1, 2,…), akkor a (3.10) sorozat konvergenciája a (3.1) sorozat konvergenciáját jelenti.

6. Ha a (3.1) sorozat feltételesen konvergál, akkor permutáció nélkül mindig lehetséges a sorozat tagjait úgy csoportosítani, hogy a kapott sorozat (3.10) abszolút konvergens legyen.

Megjegyzés 2. Kommutatív tulajdonság sorozatokhoz. Véges numerikus összegekre egy kommutatív (kommutatív) törvény érvényes, nevezetesen: az összeg nem változik a tagok semmilyen permutációjával

ahol (k1, k2, …, kn) a természetes számok (1, 2,…, n) halmazának tetszőleges permutációja.

Kiderült, hogy egy hasonló tulajdonság érvényes az abszolút konvergens sorozatokra, és nem érvényes a feltételesen konvergens sorozatokra.

Legyen a természetes számok halmazának egy az egyhez leképezése önmagára: N ® N, azaz minden k természetes szám egy egyedi nk természetes számnak felel meg, és a halmaz hézag nélkül reprodukálja a teljes természetes számsort. Jelöljük a (3.1) sorozatból kapott sorozatot a fenti leképezésnek megfelelő tetszőleges permutáció segítségével a következőképpen:

A sorozatok kommutatív tulajdonságainak alkalmazására vonatkozó szabályokat az alábbi 3.3 és 3.4 tétel tükrözi, bizonyítás nélkül.

3.3. Tétel. Ha a (3.1) sorozat abszolút konvergál, akkor a (3.1) sorozat tagjainak tetszőleges permutációjával kapott (3.11) sorozat is abszolút konvergál, és összege megegyezik az eredeti sorozatéval.

3.4. Tétel. Riemann tétele. Ha a (3.1) sorozat feltételesen konvergál, akkor ennek a sorozatnak a tagjai átrendezhetők úgy, hogy összege bármely adott D számmal egyenlő legyen (véges vagy végtelen: ±¥), vagy definiálatlan legyen.

A 3.3 és 3.4 tétel alapján könnyen megállapítható, hogy a sorozatok feltételes konvergenciája kölcsönös törlésből adódik. n-edik növekedés parciális összeget n ® ¥-ként úgy, hogy az összeghez pozitív vagy negatív tagokat adunk, és ezért a sorozatok feltételes konvergenciája alapvetően a sorozat tagjainak sorrendjétől függ. A sorozat abszolút konvergenciája a sorozatok abszolút értékeinek gyors csökkenésének eredménye

és nem függ a sorrendjüktől.

3.2. Váltakozó sor. Leibniz jel

A váltakozó sorozatok közül kiemelkedik a sorozatok egy fontos sajátos osztálya - a váltakozó sorozatok.

3. definíció. Legyen pozitív számok sorozata bп > 0, "n н N. Ekkor egy sorozat

váltakozó sornak nevezzük. A (3.12) forma sorozataira a következő állítás érvényes.

5. Tétel. Leibniz-próba. Ha a váltakozó sorozat (3.8) abszolút értékeiből álló sorozat monoton nullára csökken

bn > bn+1, "n н N; (3.13)

akkor egy ilyen váltakozó sorozatot (3.12) Leibniz-sorozatnak nevezünk. A Leibniz-sorozat mindig konvergál. A Leibniz-sorozat hátralevő részére

van egy becslés

rn = (–1) nqnbn+1, (0 £ qn £ 1) "nнN. (3.14)

Bizonyíték. Írjuk fel a (3.12) sorozat tetszőleges részösszegét páros számú taggal a formában

A (3.13) feltétel szerint ennek a kifejezésnek a jobb oldalán lévő zárójelek mindegyike pozitív szám, ezért a k növekedésével a sorozat monoton növekszik. Másrészt a B2k sorozat bármely tagja felírható

B2k = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) –… – (b2k–2 – b2k–1) – b2k,

és mivel a (3.13) feltétel szerint az utolsó egyenlőség minden zárójelében van egy pozitív szám, az egyenlőtlenség nyilvánvalóan érvényes

B2k< b1, "k ³ 1.

Tehát van egy monotonan növekvő és felülről korlátos sorozatunk, és egy ilyen sorozatnak a határelméletből jól ismert tétel szerint véges határa van.

B2k–1 = B2k + b2k,

és figyelembe véve, hogy a sorozat közös tagja (a tétel hipotézise szerint) n ® ¥ként nullára hajlik, azt kapjuk, hogy

Így bebizonyítottuk, hogy a (3.12) sorozat a (3.13) feltétel mellett konvergál, és összege egyenlő B-vel.

Bizonyítsuk be a (3.14) becslést. Fentebb bemutattuk, hogy a B2k páros rendű részösszegek, monotonan növekvőek, a B határhoz, a sorozat összegéhez hajlanak.

Tekintsük páratlan sorrendű részösszegeket

B2k–1 = b1 – (b2 – b3) – (b4 – b5) – … – (b2k–2 – b2k–1).

Ebből a kifejezésből nyilvánvaló (mivel a (3.13) feltétel teljesül), hogy a szekvencia csökkenőben van, következésképpen a fentebb bizonyított módon felülről a B határáig tart. Ezzel bebizonyítottuk az egyenlőtlenséget

0 < B2k < B < B2k–1 < b1. (3.15)

Ha most figyelembe vesszük a sorozat többi részét (3.12)

új váltakozó sorozatként a bп+1 első taggal, akkor ehhez a sorozathoz a (3.15) egyenlőtlenség alapján páros és páratlan indexekre írhatunk,

r2k = b2k+1 – b2k+2 + …, 0< r2k < b2k+1,

r2k–1 = – b2k + b2k+1 – …, r2k< 0, | r2k–1 | < b2k.

Így bebizonyítottuk, hogy a Leibniz-sor maradékának mindig az első tagjának előjele van, és abszolút értékben kisebb nála, azaz teljesül rá a (3.14) becslés. A tétel bizonyítást nyert.

3.3. Tetszőleges számsorok konvergenciájának jelei

Ebben az alfejezetben bizonyítás nélkül elegendő konvergenciakritériumot mutatunk be tetszőleges (bármilyen előjelű) valós számokkal rendelkező numerikus sorozatokhoz, sőt ezek a kritériumok alkalmasak összetett tagú sorozatokhoz is.

2) a sorozat egy nullához konvergáló sorozat (bп ® 0 mint n ® ¥), korlátos változással.

Ekkor a (3.16) sorozat konvergál.

3.9. Tétel. Dirichlet jel. A (3.16) számsor feltételei teljesítsék a feltételeket:

a sorozat részösszegeinek sorozata korlátos ((3.17) egyenlőtlenségek);

2) a sorozat egy monoton sorozat, amely nullához konvergál (bп ® 0 mint n ®¥).

Ekkor a (3.16) sorozat konvergál.

3.10. Tétel. Ábel második általános jele. A (3.16) számsor feltételei teljesítsék a feltételeket:

1) a sorozat konvergál;

2) a sorozat egy tetszőleges sorozat korlátozott változással.

Ekkor a (3.16) sorozat konvergál.

3.11. tétel. Ábel jel. A (3.16) számsor feltételei teljesítsék a feltételeket:

1) a sorozat konvergál;

2) a sorozat egy monoton korlátos sorozat.

Ekkor a (3.16) sorozat konvergál.

3.12. Tétel. Cauchy-tétel. Ha a sorozat és a sorozat abszolút konvergál, és összegük egyenlő A-val, illetve B-vel, akkor az aibj alakú összes szorzatból álló sorozat (i = 1,2,…, ¥; j = 1,2,…,¥) A tetszőleges sorrendben számozott , szintén abszolút konvergál, és összege egyenlő AB-vel.

3.4. Példák

Először nézzünk meg néhány példát a sorozatok abszolút konvergenciájára. Az alábbiakban feltételezzük, hogy az x változó bármilyen valós szám lehet.

2) |x|-nél eltér > e ugyanazon d'Alembert alapján;

3) eltér |x|-re = e a d'Alembert-próbával korlátlan formában, hiszen

amiatt, hogy a nevezőben az exponenciális sorozat a határáig hajlik, monoton növekszik,

(a ¹ 0 valós szám)

1) abszolút konvergál |x/a|-ra< 1, т. е. при |x| < |a|, так как в ez az eset van egy sorozatunk, amely csökkenő geometriai progresszió tagjaiból áll, nevezőjével q = x/a, vagy a Cauchy-próbával (2.5. Tétel);

2) |x/a|-nál eltér ³ 1, azaz |x| esetén ³ |a|, mivel ebben az esetben a konvergencia szükséges kritériuma sérül (2. tulajdonság (lásd 1. §))

Szabványos módszerek, de egy másik példával zsákutcába jutottak.

Mi a nehézség és hol lehet gubanc? Tegyük félre a szappanos kötelet, higgadtan elemezzük az okokat és ismerkedjünk meg a megoldás gyakorlati módszereivel.

Az első és legfontosabb: az esetek túlnyomó többségében egy sorozat konvergenciájának vizsgálatához valamilyen ismert módszert kell alkalmazni, de a sorozat közös kifejezése olyan trükkös töltelékkel van tele, hogy egyáltalán nem nyilvánvaló, hogy mit kezdjünk vele . És körbe-körbe jársz: az első jel nem működik, a második nem működik, a harmadik, negyedik, ötödik módszer nem működik, majd a piszkozatokat félredobják, és minden kezdődik elölről. Ennek oka általában a tapasztalat hiánya vagy a számítás más szakaszaiban fennálló hiányosságok. Különösen, ha fut sorozathatárokés felületesen szétszerelve funkció korlátai, akkor nehéz lesz.

Más szóval, az ember egyszerűen nem látja a szükséges megoldást tudás vagy tapasztalat hiánya miatt.

Néha a „fogyatkozás” is okolható, amikor például egy sorozat konvergenciájának szükséges kritériuma egyszerűen nem teljesül, de tudatlanság, figyelmetlenség vagy hanyagság miatt ez kikerül a szemünk elől. És úgy alakul, mint abban a bicikliben, ahol a matematika professzora vad, visszatérő sorozatok és számsorok segítségével oldott meg egy gyerekfeladatot =)

A legjobb hagyományok szerint azonnal élő példák: sorok és rokonaik - eltérnek, mivel elméletben bebizonyosodott sorozathatárok. Valószínűleg az első félévben ki lesz verve a lelked egy 1-2-3 oldalas bizonyításért, de egyelőre bőven elég megmutatni, hogy nem teljesül a sorozat konvergenciájának szükséges feltétele, hivatkozva ismert tényekre. Híres? Ha a hallgató nem tudja, hogy az n-edik fok gyökere rendkívül erős dolog, akkor mondjuk a sorozat nyomdába hozd. Bár a megoldás olyan, mint a kettő és a kettő: , azaz. nyilvánvaló okokból mindkét sorozat eltér egymástól. Egy szerény megjegyzés, hogy „ezek a határok elméletben bebizonyosodtak” (sőt annak hiánya) bőven elég az ellensúlyozáshoz, elvégre a számítások elég nehézkesek, és határozottan nem a numerikus sorozatok részébe tartoznak.

A következő példák tanulmányozása után pedig meg fog lepődni számos megoldás rövidsége és átláthatósága:

1. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: először is ellenőrizze a végrehajtást a konvergencia szükséges kritériuma. Ez nem formalitás, hanem remek lehetőség a "kis vérontás" példájával foglalkozni.

"A jelenet vizsgálata" divergens sorozatot sugall (egy általánosított harmonikus sorozat esete), de ismét felmerül a kérdés, hogyan lehet figyelembe venni a logaritmust a számlálóban?

Hozzávetőleges példák a feladatokra az óra végén.

Nem ritka, amikor kétirányú (vagy akár háromirányú) érvelést kell végrehajtania:

6. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: először is óvatosan kezelje a számláló halandzsáját. A sorozat korlátozott: . Akkor:

Hasonlítsuk össze sorozatunkat a sorozattal. Az imént kapott kettős egyenlőtlenség alapján minden "en" igaz lesz:

Hasonlítsuk össze a sorozatokat az eltérő harmonikus sorozatokkal.

Tört nevező Kevésbé a tört nevezője, tehát maga a tört – több törtek (írja fel az első néhány kifejezést, ha nem egyértelmű). Így minden "en" esetén:

Összehasonlításképpen tehát a sorozat eltér a harmonikus sorozattal együtt.

Ha egy kicsit megváltoztatjuk a nevezőt: , akkor az okfejtés első része hasonló lesz: . De a sorozat divergenciájának bizonyítására már csak az összehasonlítás határtesztje alkalmazható, mivel az egyenlőtlenség hamis.

A konvergáló sorozatok helyzete „tükör”, azaz például egy sorozatnál mindkét összehasonlítási kritérium használható (az egyenlőtlenség igaz), egy sorozatnál pedig csak a korlátozó kritérium (az egyenlőtlenség hamis).

Folytatjuk szafarinkat a vadonban, ahol kecses és zamatos antilopok csordája derengett a láthatáron:

7. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: teljesül a szükséges konvergenciakritérium, és ismét feltesszük a klasszikus kérdést: mit tegyünk? Előttünk valami konvergens sorozatra emlékeztet, azonban itt nincs egyértelmű szabály - az ilyen asszociációk gyakran megtévesztőek.

Gyakran, de ezúttal nem. Használva Limit összehasonlítási kritérium Hasonlítsuk össze sorozatunkat a konvergens sorozattal. A limit kiszámításakor használjuk csodálatos határ , ahol as elenyészőáll:

konvergál mellette együtt .

A „hármas” szorzás és osztás szokásos mesterséges technikája helyett kezdetben lehetőség nyílt egy konvergens sorozattal való összehasonlításra.
De itt kívánatos egy figyelmeztetés, hogy az általános tag állandó-szorzója nem befolyásolja a sorozatok konvergenciáját. És éppen ebben a stílusban készült a következő példa megoldása:

8. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Minta az óra végén.

9. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: az előző példákban a szinusz korlátját használtuk, de most ez a tulajdonság nem játszik szerepet. A magasabb töredékének nevezője növekedési sorrend mint a számláló, tehát amikor a szinusz argumentum és a teljes közös kifejezés végtelenül kicsi. A konvergencia szükséges feltétele, ahogy Ön is tudja, teljesül, ami nem teszi lehetővé, hogy kibújjunk a munkából.

Felderítést fogunk végezni: összhangban figyelemre méltó egyenértékűség , mentálisan dobd el a szinust és kapsz egy sorozatot. Hát valami ilyesmi….

Döntés meghozatala:

Hasonlítsuk össze a vizsgált sorozatokat az eltérő sorozatokkal. A határérték összehasonlítási kritériumot használjuk:

Helyettesítsük az infinitezimálist az ekvivalensre: for .

Megkapta véges szám, ami eltér a nullától, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat eltér a harmonikus sorozattal együtt.

10. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Ez egy „csináld magad” példa.

A további cselekvések tervezésében ilyen példákban sokat segít a szinusz, arcszinusz, érintő, arctangens mentális elutasítása. De ne feledje, ez a lehetőség csak akkor létezik elenyészőérv, nem is olyan régen ráakadtam egy provokatív sorozatra:

11. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját
.

Megoldás: itt felesleges az arc tangens korlátozottságát használni, és az ekvivalencia sem működik. A kimenet meglepően egyszerű:


Tanulmánysorozat eltér, mivel a sorozatok konvergenciájához szükséges kritérium nem teljesül.

A második ok A „Gag on the job” a közös tag megfelelő kifinomultságából áll, ami technikai jellegű nehézségeket okoz. Nagyjából elmondható, hogy ha a fentebb tárgyalt sorozatok a „kitalált alakok” kategóriájába tartoznak, akkor ezek a „te döntesz” kategóriába tartoznak. Valójában ezt nevezik komplexitásnak a "szokásos" értelemben. Nem mindenki fogja helyesen feloldani a szavanna számos tényezőjét, fokát, gyökerét és más lakóit. Természetesen a faktoriálisok okozzák a legtöbb problémát:

12. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Hogyan lehet egy faktoriálist hatalommá emelni? Könnyen. A hatványokkal végzett műveletek szabálya szerint a szorzat minden tényezőjét hatványra kell emelni:

És persze figyelem és még egyszer figyelem, maga a d'Alembert-tábla hagyományosan működik:

Így a vizsgált sorozat konvergál.

Emlékeztetlek egy racionális technikára a bizonytalanság megszüntetésére: amikor tiszta növekedési sorrend számláló és nevező - egyáltalán nem szükséges szenvedni és kinyitni a zárójeleket.

13. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

A fenevad nagyon ritka, de megtalálható, és igazságtalan lenne kameralencsével megkerülni.

Mi az a kettős felkiáltójeles faktoriális? A faktoriális "feltekeri" a pozitív páros számok szorzatát:

Hasonlóképpen a faktoriális „feltekerteti” a pozitív szorzatát páratlan számok:

Elemezze, mi a különbség a kettő között

14. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

És ebben a feladatban próbálj meg ne keveredni a fokozatokkal, csodálatos egyenértékűségekés csodálatos határok.

Megoldási minták és válaszok az óra végén.

De a tanuló nem csak a tigriseket eteti, a ravasz leopárdok is felkutatják zsákmányukat:

15. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: a szükséges konvergenciakritérium, a korlátozó kritérium, a d'Alembert- és a Cauchy-kritérium szinte azonnal eltűnik. De ami a legrosszabb, az egyenlőtlenségekkel járó jellemző, amely többször is megmentett minket, tehetetlen. Valójában az egyenlőtlenség miatt lehetetlen összehasonlítani egy divergens sorozattal helytelen - a szorzó-logaritmus csak növeli a nevezőt, csökkentve magát a törtet törthez viszonyítva. És még egy globális kérdés: miért vagyunk eleinte biztosak abban, hogy a sorozatunk kétségtelenül eltér, és össze kell hasonlítani néhány eltérő sorozattal? Egyáltalán belefér?

Integrált tulajdonság? Nem megfelelő integrál gyászos hangulatot ébreszt. Ha most veszekednénk … akkor igen. Állj meg! Így születnek az ötletek. A döntést két lépésben hozzuk meg:

1) Először a sorozatok konvergenciáját vizsgáljuk . Mi használjuk szerves jellemzője:

Integrand folyamatos a

Így egy szám divergál a megfelelő nem megfelelő integrállal együtt.

2) Hasonlítsa össze sorozatunkat az eltérő sorozatokkal . A határérték összehasonlítási kritériumot használjuk:

A nullától eltérő véges számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat eltér együtt egymás mellett .

És nincs semmi szokatlan vagy kreatív egy ilyen döntésben – így kell dönteni!

Javaslom a következő két lépés önálló elkészítését:

16. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Egy kis tapasztalattal rendelkező diák a legtöbb esetben azonnal látja, hogy a sorozatok konvergálnak vagy eltérnek, de előfordul, hogy egy ragadozó ügyesen álcázza magát a bokrok közé:

17. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: első pillantásra egyáltalán nem világos, hogyan viselkedik ez a sorozat. És ha köd van előttünk, akkor logikus a sorozat konvergenciájához szükséges feltétel durva ellenőrzésével kezdeni. A bizonytalanság kiküszöbölése érdekében elsüllyeszthetetlent használunk szorzási és osztási módszer adjungált kifejezéssel:

A konvergencia szükséges jele nem működött, de napvilágra hozta Tambov elvtársunkat. Az elvégzett transzformációk eredményeként egy ekvivalens sorozatot kaptunk , ami viszont erősen hasonlít egy konvergens sorozatra .

Tiszta megoldást írunk:

Hasonlítsa össze ezt a sorozatot a konvergens sorozattal. A határérték összehasonlítási kritériumot használjuk:

Szorozzuk és osszuk az adjunkt kifejezéssel:

A nullától eltérő véges számot kapunk, ami azt jelenti, hogy a vizsgált sorozat konvergál mellette együtt .

Talán van néhány kérdés, hogy honnan érkeztek a farkasok afrikai szafarinkon? Nem tudom. Valószínűleg elhozták. A következő trófeás bőrt kapod:

18. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Egy példamegoldás a lecke végén

És végül még egy gondolat, amely sok kétségbeesett diákot meglátogat: ahelyett, hogy használjunk-e ritkább kritériumot a sorozatok konvergenciájára? Raabe jele, Ábel jele, Gauss jele, Dirichlet és más ismeretlen állatok jele. Az ötlet működik, de a valós példákban nagyon ritkán valósul meg. Személy szerint a gyakorlati évek során mindössze 2-3 alkalommal vettem igénybe Raabe jele amikor a standard arzenálból nem igazán segített semmi. Teljesen reprodukálom extrém küldetésem menetét:

19. példa

Vizsgálja meg egy sorozat konvergenciáját

Megoldás: Kétségtelenül d'Alembert jele. A számítások során aktívan használom a fokok tulajdonságait, valamint második csodálatos határ:

Íme egy az Ön számára. D'Alembert jele nem adott választ, bár semmi sem vetített előre ilyen eredményt.

A kézikönyv áttekintése után találtam egy elméletben bizonyított, kevéssé ismert határt, és egy erősebb radikális Cauchy-kritériumot alkalmaztam:

Itt van neked kettő. És ami a legfontosabb, egyáltalán nem világos, hogy a sorozatok konvergálnak vagy szétválnak (ez számomra rendkívül ritka helyzet). Szükséges összehasonlítási jel? Sok remény nélkül - még ha elképzelhetetlen módon ki is találom a számláló és a nevező növekedési sorrendjét, ez még mindig nem garantálja a jutalmat.

Egy komplett d'Alembert, de a legrosszabb az, hogy a sorozatot meg kell oldani. Szükség. Végül is ez lesz az első alkalom, hogy feladom. És akkor eszembe jutott, hogy úgy tűnik, vannak erősebb jelek. Előttem már nem volt farkas, nem leopárd és nem tigris. Egy hatalmas elefánt volt, aki nagy törzsével hadonászott. Fel kellett vennem egy gránátvetőt:

Raabe jele

Tekintsünk egy pozitív számsort.
Ha van határ , akkor:
a) Egy sorban eltér. Ezenkívül a kapott érték lehet nulla vagy negatív.
b) Egy sorban konvergál. Különösen a sorozat konvergál.
c) Mikor Raabe jele nem ad választ.

Összeállítjuk a határt, és gondosan egyszerűsítjük a törtet:


Igen, a kép finoman szólva is kellemetlen, de ezen már nem lepődtem meg. lopitális szabályok, és az első gondolat, mint később kiderült, helyesnek bizonyult. Előbb azonban nagyjából egy órán keresztül „szokásos” módszerekkel csavargattam a határt, de a bizonytalanság nem akart megszűnni. A körbejárás pedig a tapasztalatok szerint tipikus jele annak, hogy rossz megoldási módot választottak.

Az orosz népi bölcsességhez kellett fordulnom: "Ha semmi sem segít, olvassa el az utasításokat." És amikor kinyitottam a Fichtenholtz 2. kötetét, nagy örömömre találtam egy tanulmányt egy azonos sorozatról. És akkor a megoldás a modell szerint ment.

Ez a cikk összegyűjtötte és strukturálta azokat az információkat, amelyek a számsorok témájában szinte minden példa megoldásához szükségesek, a sorozat összegének megállapításától a konvergenciájának vizsgálatáig.

Cikk áttekintése.

Kezdjük a pozitív előjelű, váltakozó előjelű sorozat definícióival és a konvergencia fogalmával. Ezután tekintsünk szabványos sorozatokat, például egy harmonikus sorozatot, egy általánosított harmonikus sorozatot, és idézzük fel a képletet a végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének meghatározásához. Ezt követően kitérünk a konvergens sorozatok tulajdonságaira, elidőzünk a sorozatok konvergenciájának szükséges feltételén, és megfelelő feltételeket fogalmazunk meg a sorozatok konvergenciájához. Az elméletet felhígítjuk tipikus példák részletes magyarázatokkal történő megoldásával.

Oldalnavigáció.

Alapvető definíciók és fogalmak.

Legyen egy numerikus sorozatunk, ahol .

Íme egy példa egy numerikus sorozatra: .

Számsorozat az alak numerikus sorozatának tagjainak összege .

Példaként egy számsorra megadhatjuk egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összegét q = -0,5 nevezővel: .

hívják számsor közös tagja vagy a sorozat k-ik tagja.

Az előző példában a számsor közös tagja a .

Számsorozat részösszege az alak összege, ahol n valamilyen természetes szám. számsor n-edik részösszegének is nevezik.

Például a sorozat negyedik részösszege van .

Részösszegek számsorozat részösszegeinek végtelen sorozatát alkotják.

Sorozatunkban az n-edik részösszeget a geometriai folyamat első n tagjának összegének képletével találjuk meg. , azaz a következő részösszegek sorozata lesz: .

A számsort hívják összetartó, ha a részösszegek sorozatának véges határa van. Ha egy numerikus sorozat részösszegei sorozatának határa nem létezik, vagy végtelen, akkor a sorozatot ún. divergens.

Egy konvergens számsor összege részösszegei sorozatának határának nevezzük, azaz .

Példánkban tehát a sorozat konvergál, és összege tizenhat harmaddal egyenlő: .

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai progresszió összege: . Az n-edik részösszeget a , és a részösszegek határa végtelen: .

Egy másik példa a divergens számsorra az alak összege. Ebben az esetben az n-edik részösszeg így számítható ki. A részösszegek határa végtelen .

Összeg nézet hívott harmonikus számsorok.

Összeg nézet , ahol s valamilyen valós szám, hívjuk általánosított harmonikus számsor.

A fenti definíciók elegendőek az alábbi nagyon gyakran használt állítások alátámasztására, javasoljuk, hogy emlékezzen rájuk.

A HARMONIC SOROZAT Eltérő.

Bizonyítsuk be a harmonikus sorozat divergenciáját.

Tegyük fel, hogy a sorozat konvergál. Ekkor a részösszegeinek véges határa van. Ebben az esetben írhatunk és -t, ami az egyenlőséghez vezet .

Másrészről,


A következő egyenlőtlenségek nem kétségesek. Ily módon,. Az ebből eredő egyenlőtlenség azt mondja nekünk, hogy az egyenlőség nem érhető el, ami ellentmond a harmonikus sorozatok konvergenciájára vonatkozó feltételezésünknek.

Következtetés: a harmonikus sorozatok eltérnek.

A TÍPUS EGY GEOMETRIAI ELŐRELEGEDÉSÉNEK ÖSSZEGZÉSE A q NEVEZŐVEL EGY IF KONVERGENS SZÁMSOROZAT ÉS EGY AT DIVERGENS SOR.

Bizonyítsuk be.

Tudjuk, hogy egy geometriai haladás első n tagjának összegét a képlet határozza meg .

Amikor igazságos


amely a numerikus sorozatok konvergenciáját jelzi.

q = 1-re van egy számsorunk . Részösszegei így találhatók, a részösszegek határa pedig végtelen , ami jelen esetben a sorozat divergenciáját jelzi.

Ha q \u003d -1, akkor a számsor alakja lesz . A részösszegek értéket vesznek fel páratlan n és páros n esetén. Ebből arra következtethetünk, hogy a részösszegek határa nem létezik, és a sorozatok eltérnek.

Amikor igazságos


amely a numerikus sorozat divergenciáját jelzi.

ÁLTALÁNOSÍTOTT HARMONIKUS SOROZAT KONVERGÁL s > 1-hez ÉS DIVERS FOR .

Bizonyíték.

Ha s = 1, akkor megkapjuk a harmonikus sorozatot, és fentebb megállapítottuk a divergenciáját.

Nál nél s az egyenlőtlenség minden természetes k-re érvényes. A harmonikus sorozat divergenciája miatt azt mondhatjuk, hogy részösszegeinek sorrendje korlátlan (mivel nincs véges határ). Ekkor a számsorok részösszegeinek sorozata annál korlátlanabb (ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint a harmonikus sorozat megfelelő tagja), ezért az általánosított harmonikus sorozat s-nél eltér.

Be kell bizonyítani a sorozatok konvergenciáját s > 1 esetén.

Írjuk a különbséget:



Nyilván akkor


Írjuk fel az eredményül kapott egyenlőtlenséget n = 2, 4, 8, 16, …



Ezen eredmények felhasználásával a következő műveletek hajthatók végre az eredeti numerikus sorozattal:



Kifejezés egy geometriai progresszió összege, amelynek nevezője . Mivel s > 1 esetét vizsgáljuk, akkor . Ezért
. Így az s > 1 általánosított harmonikus sorozat parciális összegeinek sorozata növekszik, és egyben felülről határolja az értékkel, ezért van egy határa, amely a sorozat konvergenciáját jelzi. A bizonyítás kész.

A számsort hívják előjel-pozitív ha minden feltétele pozitív, azaz .

A számsort hívják váltakozó ha szomszédos kifejezéseinek előjele eltérő. Egy váltakozó számsor felírható így vagy , ahol .

A számsort hívják váltakozó ha végtelen számú pozitív és negatív tagot is tartalmaz.

A váltakozó számsor a váltakozó sorozat speciális esete.

rangok

előjel-pozitív, jel-váltakozó és jel-váltakozó.

Egy váltakozó sorozat esetében létezik az abszolút és feltételes konvergencia fogalma.

abszolút konvergens, ha tagjainak abszolút értékeinek sorozata konvergál, azaz egy pozitív előjelű numerikus sorozat konvergál.

Például számsorok és teljesen konvergálnak, mivel a sorozatok konvergálnak , amely egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege.

A váltakozó sorozat az ún feltételesen konvergens ha a sorozatok eltérnek és a sorozatok konvergálnak.

A feltételesen konvergens számsorra példa a sorozat . Számsorozat , amely az eredeti sorozat tagjainak abszolút értékéből áll, divergens, mivel harmonikus. Ugyanakkor az eredeti sorozat konvergens, ami a segítségével könnyen megállapítható. Így a számjel-váltakozó sorozat feltételesen konvergens.

Konvergens numerikus sorozatok tulajdonságai.

Példa.

Igazolja a numerikus sorozatok konvergenciáját!

Megoldás.

Írjuk meg a sorozatot más formában . A számsorok konvergálnak, mivel az általánosított harmonikus sorozat s > 1 esetén konvergens, és a konvergens számsorok második tulajdonsága miatt a numerikus együtthatós sorozat is konvergál.

Példa.

Konvergál a számsor?

Megoldás.

Alakítsuk át az eredeti sorozatot: . Így megkaptuk két és numerikus sorozat összegét, és mindegyik konvergál (lásd az előző példát). Ezért a konvergens numerikus sorozatok harmadik tulajdonsága miatt az eredeti sorozat is konvergál.

Példa.

Igazoljuk a számsorok konvergenciáját! és számítsa ki az összegét.

Megoldás.

Ez a számsor két sorozat különbségeként ábrázolható:

Ezen sorozatok mindegyike egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, ezért konvergens. A konvergens sorozatok harmadik tulajdonsága lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy az eredeti numerikus sorozatok konvergálnak. Számítsuk ki az összegét.

A sorozat első tagja egy, és a megfelelő geometriai progresszió nevezője 0,5, ezért .

A sorozat első tagja 3, a hozzá tartozó végtelenül csökkenő geometriai progresszió nevezője pedig 1/3, tehát .

A kapott eredmények segítségével keressük meg az eredeti számsor összegét:

Egy sorozat konvergenciájának szükséges feltétele.

Ha a számsor konvergál, akkor k-edik tagjának határa nullával egyenlő: .

A konvergencia bármely numerikus sorozatának vizsgálatakor mindenekelőtt a konvergenciához szükséges feltétel teljesülését kell ellenőrizni. Ennek a feltételnek a be nem tartása a numerikus sorozat divergenciáját jelzi, vagyis ha , akkor a sorozat eltér.

Másrészt meg kell érteni, hogy ez a feltétel nem elegendő. Azaz az egyenlőség teljesülése nem jelzi a számsorok konvergenciáját. Például egy harmonikus sorozat esetén teljesül a szükséges konvergenciafeltétel, és a sorozat eltér.

Példa.

Vizsgálja meg a számsorok konvergenciáját!

Megoldás.

Ellenőrizzük a numerikus sorozatok konvergenciájának szükséges feltételét:

Határ a numerikus sorozat n-edik tagja nem egyenlő nullával, ezért a sorozat divergál.

Elegendő feltételek egy pozitív előjelű sorozat konvergenciájához.

Ha elegendő jellemzőt használ a numerikus sorozatok konvergenciájának tanulmányozásához, folyamatosan foglalkoznia kell a -val, ezért javasoljuk, hogy nehézségek esetén tekintse át ezt a részt.

Egy pozitív előjelű számsor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele.

Előjel-pozitív számsorok konvergenciájára szükséges és elégséges, hogy részösszegeinek sorrendje korlátos legyen.

Kezdjük a sorozat-összehasonlítási funkciókkal. Lényegük abban rejlik, hogy a vizsgált numerikus sorozatokat összehasonlítják egy olyan sorozattal, amelynek konvergenciája vagy divergenciája ismert.

Az összehasonlítás első, második és harmadik jele.

A sorok összehasonlításának első jele.

Legyen és két pozitív előjelű numerikus sorozat, és az egyenlőtlenség minden k = 1, 2, 3, ... esetén teljesül. Ekkor a sorozat konvergenciája a konvergenciát jelenti, a sorozat divergenciája pedig a divergenciát.

Az első összehasonlítási kritériumot nagyon gyakran használják, és ez egy nagyon hatékony eszköz a numerikus sorozatok konvergencia vizsgálatára. A fő probléma az összehasonlításhoz megfelelő sorozat kiválasztása. Az összehasonlítás sorozatát általában (de nem mindig) úgy választjuk meg, hogy k-edik tagjának kitevője egyenlő legyen a vizsgált számsor k-edik tagjának számlálójának és nevezőjének kitevőinek különbségével. Például legyen , a számláló és a nevező kitevője közötti különbség 2 - 3 = -1, ezért összehasonlításképpen a k-adik tagú sorozatot, azaz harmonikus sorozatot választunk. Nézzünk néhány példát.

Példa.

Állítsa be a sorozatok konvergenciáját vagy divergenciáját.

Megoldás.

Mivel a sorozat közös tagjának határa nulla, így a sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül.

Könnyen belátható, hogy az egyenlőtlenség minden természetes k-re igaz. Tudjuk, hogy a harmonikus sorozat divergens, ezért az összehasonlítás első jele szerint az eredeti sorozat is divergens.

Példa.

Vizsgálja meg a számsorok konvergenciáját!

Megoldás.

A számsorok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül, hiszen . Nyilvánvaló, hogy az egyenlőtlenség k bármely természeti értékére. A sorozat konvergál, mert az általánosított harmonikus sorozat s > 1 esetén konvergál. Így a sorozat-összehasonlítás első jele lehetővé teszi, hogy megállapítsuk az eredeti numerikus sorozatok konvergenciáját.

Példa.

Határozza meg a számsorok konvergenciáját vagy divergenciáját!

Megoldás.

, tehát a numerikus sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül. Melyik sort válasszam az összehasonlításhoz? Egy numerikus sorozat javasolja magát, és az s meghatározásához alaposan megvizsgáljuk a numerikus sorozatot. A numerikus sorozat tagjai a végtelen felé nőnek. Így valamely N számból kiindulva (nevezetesen N = 1619-ből) ennek a sorozatnak a tagjai nagyobbak lesznek 2-nél. Ebből az N számból kiindulva érvényes az egyenlőtlenség. A számsor a konvergens sorozatok első tulajdonsága miatt konvergál, mivel egy konvergens sorozatból kapjuk az első N - 1 tag elvetésével. Így az összehasonlítás első jele szerint a sorozat konvergens, és a konvergens numerikus sorozatok első tulajdonsága miatt a sorozat is konvergens lesz.

Az összehasonlítás második jele.

Legyen és előjel-pozitív numerikus sorozat. Ha , akkor a sorozat konvergenciája a konvergenciáját jelenti. Ha , akkor a numerikus sorozat divergenciája a divergenciát jelenti.

Következmény.

Ha és , akkor az egyik sorozat konvergenciája a másik konvergenciáját, a divergencia pedig a divergenciát jelenti.

A sorozat konvergenciáját a második összehasonlítási kritérium segítségével vizsgáljuk. Vegyünk egy konvergens sorozatot sorozatnak. Határozzuk meg a numerikus sorozat k-edik tagjainak arányának határát:

Így a második összehasonlítási ismérv szerint a numerikus sorozatok konvergenciája az eredeti sorozatok konvergenciáját jelenti.

Példa.

Vizsgálja meg egy számsor konvergenciáját!

Megoldás.

Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciájához szükséges feltételt . A feltétel teljesül. Az összehasonlítás második jelének alkalmazásához vegyünk egy harmonikus sorozatot. Keressük meg a k-edik tagok arányának határát:

Következésképpen az eredeti sorozat divergenciája a harmonikus sorozatok divergenciájából következik a második összehasonlítási ismérv szerint.

Tájékoztatásul bemutatjuk a sorozatok összehasonlításának harmadik kritériumát.

Az összehasonlítás harmadik jele.

Legyen és előjel-pozitív numerikus sorozat. Ha a feltétel adott N számtól teljesül, akkor a sorozat konvergenciája a konvergenciát, a sorozat divergenciája pedig a divergenciát jelenti.

D'Alembert jele.

Megjegyzés.

d'Alembert előjele akkor érvényes, ha a határ végtelen, vagyis ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat szétválik.

Ha , akkor a d'Alembert-teszt nem ad információt a sorozatok konvergenciájáról vagy divergenciájáról, és további kutatásokra van szükség.

Példa.

Vizsgáljuk meg a számsorok konvergenciáját d'Alembert alapján.

Megoldás.

Ellenőrizzük a numerikus sorozatok konvergenciájához szükséges feltétel teljesülését, a határértéket a következőképpen számítjuk ki:

A feltétel teljesül.

Használjuk d'Alembert jelét:

Így a sorozat konvergál.

Cauchy radikális jele.

Legyen pozitív előjelű számsorozat. Ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat eltér.

Megjegyzés.

A Cauchy-féle radikális teszt akkor érvényes, ha a határ végtelen, vagyis ha , akkor a sorozat konvergál, ha , akkor a sorozat szétválik.

Ha , akkor a Cauchy-gyökpróba nem ad információt a sorozatok konvergenciájáról vagy divergenciájáról, és további kutatások szükségesek.

Általában elég könnyű belátni azokat az eseteket, amikor a legjobb a radikális Cauchy-teszt használata. Jellemző eset, amikor a numerikus sorozat közös tagja egy exponenciális hatványkifejezés. Nézzünk néhány példát.

Példa.

Vizsgálja meg a pozitív előjelű számsorok konvergenciáját a radikális Cauchy-próbával.

Megoldás.

. A radikális Cauchy-teszttel azt kapjuk .

Ezért a sorozat konvergál.

Példa.

Konvergál a számsor? .

Megoldás.

Használjuk a radikális Cauchy-tesztet , ezért a számsorok konvergálnak.

Integrált Cauchy-teszt.

Legyen pozitív előjelű számsorozat. Készítsünk egy függvényt az y = f(x) folytonos argumentumból, hasonlóan a függvényhez. Legyen az y = f(x) függvény pozitív, folytonos és csökkenő az intervallumon, ahol ). Majd konvergencia esetén helytelen integrál konvergálja a vizsgált számsorokat. Ha a nem megfelelő integrál eltér, akkor az eredeti sorozat is eltér.

Ha egy y = f(x) függvény lecsengését egy intervallumon keresztül ellenőrizzük, hasznosnak találhatja a szakasz elméletét.

Példa.

Vizsgáljuk meg a pozitív tagú számsorokat a konvergenciára.

Megoldás.

A sorozatok konvergenciájának szükséges feltétele teljesül, hiszen . Tekintsünk egy függvényt. Pozitív, folyamatos és az intervallumon csökkenő. Ennek a függvénynek a folytonossága és pozitivitása kétségtelen, de térjünk ki egy kicsit részletesebben a csökkenésre. Keressük a származékot:
. Az intervallumon negatív, ezért a függvény ezen az intervallumon csökken.